一撸定乾坤
范文一：插值法公式
插值法公式
首先你得分清楚插值和拟合这两个的区别，
拟合是指你做一条曲线或直线，使得你的数据点跟这条线的“误差”最小。注意，这个要求并不要求所有的数据点在我们的拟合曲线上。
插值是指你做一条曲线或直线完全经过这些点，就是说数据点一定都要在插值曲线上。
插值也有好多种:比如拉格朗日插值，分段插值，样条插值(样条插值要求你还要知道这些数据点的一阶导数)
我们知道两点确定一条直线(一次多项式)，三点确定一条抛物线(二次多项式)，试想一下有10个点是不是可以确定一个9次多项式(9次多项式里面还有一个常数项，就是10个未知数，我们有10个数据点，刚好可以求解)
(**)拉格朗日插值就是上面的这种插值。但是它就是把这些多项式系数重新表示了一下(就是不用去求上面所说的10个系数)。你求出这些系数后，只要将你想要的x的值往里一代，马上就得到你想要的函数值。但这种插值在头尾附近会出现一些不好的振荡现象(龙格现象) (**)分段插值，还是按照上面的原则，比如说，我两个点两个点地确定一条直线(比如1，2点连起来，2，3点连起来)，最后所有直线的集合(这时应当是一系列的折线)这个分段函数也是经过所有的数据点。当然你也可以三个点三个点地确定一条抛物线。用这一方面时，你要先确定你想要的x值在哪一个区间里，然后用这一区间的表达式来计算出函数值就可以了。本方法不会出现龙格现象
(***)样条插值，上面提到分段插值是一系列折线，折线使得不光滑，样条就是用其导数值，使得它们变光滑。
范文二：再谈利用内插值法求解内含报酬率
再谈利用内插值法求解内含报酬率
袁 太 芳
摘要 本文描述了内插值法的思想本质 ,并提出了应用其思想来解决问题 的方法 。在此基础上 ,提供了一套求解内含报酬率既快又准的方法 ,克服了传统内含 报酬率求解过程中的快而不准或准而不快的不足 。
关 键 词 内插值 内含报酬率 现金净流量
作者简介 1968 年生 ,赣南师范学院数学与计算机系讲师 。
一 、问题的提出
( ) ( ) 内含报酬率 IRR就其本质来说 ,是在其经济寿命周期内 ,净现值 N PV等于零时的贴现
率 ,即 :
n - k () N PV = ?Ak 1 + r- A= 0 时的 r1 0 k = 1
) ( 这里 A为初始一次性投资额 ,Ak = 1 ,2 , , n为第 K 年末的现金净流量 , n 为此项长 0 k
期投资的经济寿命 。
就其求解 r 的方法来说 ,目前主要有两种 :
? 方法 1 :
n - k ( ) () 令 f r= ?A1 + r- A k 0k = 1
( ) 第一步逐次测试 ,先估计一个折现率 r ,求出 f r。
( ) ( ) 若 f r> 0 ,r 则递增地取值 ,并相应地计算出 f r值 。
( ) ( ) 若 f r< 0="" ,r="" 则递减地取值="" ,并相应地计算出="" f="" r值="" 。="">
( ) 以上取值中 ,不论采用何种顺序 ,均可取得一组递增的 r 值 ,相对应于一组递减的 f r值 。
) ( ) ( 并可找到两相邻的 r,r使 r< r的情况下="" ,有="" f="">< 0="">< f="" r。="" 1="" 2="" 1="" 2="" 2="" 1="">
第二步 ,内插值法求 IRR ,代入公式
) ( | f r| 1 ) ( IRR = r+ r- r× 1 2 1 ) ( ) ( | f r| + | f r| 1 2
? 方法 2 :
( ) 第一步 ,现金净流量 N CF的算术平均化 ,即将
n - k () ?A1 + r- A= 0 转化成 k 0 k = 1
收稿日期 :1997 - 10 - 01
第 1 期袁太芳 :再谈利用内插值法求解内含报酬率 〃47 〃
n - k () A ?A1 + r- A= 0 , k 0 k = 1 1 )(+ A其中 A = A+ A+ A3 + n1 2 n n - k () ( ) ?A1 + r= A/ A 即 PV IFA r ,n= A/ A k 0 0 k = 1
第二步 ,内插值法求解 IRR ,利用 n 不变 ,在一元年金现值系数表中寻找两个数 r, r,使 1 2
( ) ( ) r< r,且="" pv="" ifa="" r,n?a/="" a="">< pv="" ifa="" r,n,则代入公式="" 2="" 2="" 2="" 0="" 1="">
IRR = r+ (A/ A - PV IFA ( r,n) ) ×( r- r) / ( PV IFA ( r,n) - PV IFA ( r,n) ) 1 0 1 2 1 2 1 上述两种求解方法中 ,有以下几点值得注意 :
11 均需要运用内插值法求解 ,但给出的公式都未说明其来历且有给人以太烦难记忆之 感 ,那么内插值法的基本思想是什么 ,如何掌握呢 ?
21 方法 1 的计算结果比较准确 ,但在第一步逐次测试值时 ,要找出这样的 r、r用手工需 1 2
() 要较大的工作量 除非运气很好,当然 ,此工作可以用计算机完成 。但在手工计算中 ,此方法 可谓准而不快 ,那么 ,是否有更快的方法减少测试的次数呢 ?
31 方法 2 中计算速度较快 ,但我们通过下面的例题计算会发现有时结果误差太大 ,以致 于做出错误的决策 。
例 :设某投资方案所需一次性投资 40 万元 ,有效使用期为 10 年 ,期满有残值 4 万元 ,每年 末的现金净流量为 7 万元 ,资金成本为 13 % ,试决策此投资方案是否可行 。 由题意得内含报酬率 r 满足
( ) ( ) 7 PV IFA r ,10+ 4 PV IFA r ,10- 40 = 0
按传统方法 2 ,有
)(平均每年 N CF = 7 + 4/ 10 = 7 . 4 万元
( ) 7 . 4 PV IFA r ,10= 40 即有
( ) PV IFA r ,10= 5 . 4054
通过 1 元年金现值系数表 ,可知 r 介于 12 %和 14 %之间 ,其中
() PV IFA 12 % ,10= 5 . 650
() PV IFA 14 % ,10= 5 . 216
所以 IRR = 12 % + (5 . 4054 - 5 . 650) ×(14 % - 12 %) / (5 . 216 - 5 . 650) = 13 . 127 % 由 13 . 127 % > 13 %可得方案可行 。
( ) ( ) ( ) 而事实上 ,令 f r= 7 PV IFA r ,10+ 4 PV IFA r ,10- 40
)() (则 f 12 %= 7 ×5 . 650 + 4 ×0 . 322 - 40 = 0 . 838 万元
() )(f 14 %= 7 ×5 . 216 + 4 ×0 . 270 - 40 = - 2 . 408 万元
() () ( ) 所以 IRR = 12 % + 0 - 0 . 838×14 % - 12 %/ - 2 . 408 - 0 . 838= 12 . 516 % 从 12 . 516 % < 13="" %可知此方案是不可行的="" ,运用方法="" 2="" 使决策产生错误="" 。可见="" ,此方法="" 可谓快而不准="" ,那么="" ,是否有更好的计算方法="" ,使计算结果更准确呢="">
(在提出一个“继承传统方法优点的基础上 ,既快又准地求解内含报酬率”方法 自然解决了
) 上述问题 2 、3之前 ,有必要对内插值法的基本思想进行探讨 。
()1998 年南昌大学学报 哲社版 〃48 〃
二 “、内插值法”的基本思想
)( ) (( ) 设方程 f x= a a 为常数 其中 y = f x为连续函数 ,求 x 的值 。
) ( ) ( ) ( 由于 y = f x为连续函数 ,不妨画成附图所示 ,存在 x,x为已知 ,使 f x,f x一者大于 1 2 1 2
) ) ) ( ) ) (( ( ( a ,一者小于 a 若恰好等于 a ,则已解,设 A x,f x,B x,f x,则连 A ,B 线段 ,则在线段 1 1 2 2
( ) AB 上纵坐标为 a 对应点 P 的横坐标 ,即为方程 f x= a 的近似解 。
这里 ,我们借用了 A 、B 、P 三点共线 ,且 P 一定在 A 、
() B 之间 内插值法由 此 而 得 名, 根 据 此 , 我 们 就 可 利 用
A 、B 、P 三点共线的方法来求解 ,从而免除了前述公式记
忆之烦 ,同时也使我们对内插值法的基本思想有了一个
全面的了解 。
( ) 值得注意的是 ,这里求的 x 仍然是方程 f x= a 的
近似解 ,并非百分之百的精确 ,要使 x 更精确 ,必须使线
段两端点的距离越短越好 。
( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 由 A x,f x,p x ,a,B x,f x三点共线 ,利 1 1 2 2
用斜率一样的原理 ,可得方程 : 附图 ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) x - x/ a - f x= x- x/ f x- f x,解得 x . 1 1 2 1 2 1
上述仅是一个一般的推导 ,在解题时 ,并不要去强记 ,只要知道三点的坐标 ,再利用三点共 线的原理列出方程求解即可 。
( ) 事实上 ,内插值法在计算静态投资回收期 P P时就不知不觉地应用上了 ,只不过大多未 知其原理罢了 。
例 :设某固定资产投资方案一次性投资额为 30 万元 ,有效使用年限为 6 年 ,期满有残值为
( ) )(3 万元 ,每年末的现金净流量 N CF如下 : 单元 :万元
年 12 3 4 5 6
N CF 合计 5 6 7 7 8 7
要计算投资回收期 P P ,先计算每年的累计 N CF ,有下表 :
年 12 3 4 5 6
累计 N CF 511 18 25 33 40
从上表可知 , P P 是介于 4 和 5 年之间 。
4 年期满时累计 N CF 为 25 万元 ,5 年期满时累计 N CF 为 33 万元 ,要求的 P P 为达到 P P
( ) 年时点时的累计 N CF 恰为原一次性投资额 30 万元 介于 25 万元和 33 万元之间,根据内插
() () () 值法的基本原理 , P P 应满足三点 4 ,25, pp ,30, 5 ,33共线 ,即可得方程
( ) () () ()P P - 4/ 30 - 25= 5 - 4/ 33 - 25
得 pp = 4 . 625 (年)
三 、内含报酬率的求解方法
第一步 求出 r 可能的取值范围
第 1 期袁太芳 :再谈利用内插值法求解内含报酬率 〃49 〃
n 1 - k 令 A = (+ A) () A+ A取 A ?1 + r- A= 0 0 n1 2k = 1 n ( ) 即 PV IFA r ,n= A/ A 0
( )通过一元年金的现值系数表可以获得 r 的取值范围 ,设为 r,r 1 2
第二步 试值分析
n - k () ( ) 取 f r= ?A1 + r- A k 0k = 1
) ) ( ( ( ) 若 A?A? ?A,则先求 f r。11 若 f r> 0 ,据 f r减函数的基本原理 ,则找到一 1 2 n 2 2
) ) ( ) ( ( 元年金现值系数表中 r相邻的较大一个 r,代入 f r中求得 f r。若 f r< 0="" ,则此步工作="" 2="" 3="" 3="" 3="">
) ( ) ( ) ( 已完成 ,否则 ,继续找更大的 r 代入 f r中 ,直到第一次出现 f r< 0="" 为止="" 。21="" 若="" f="">< 0="" ,则="" 2="">
( ) ( ) 找到比 r小的相邻的 r,代入 f r中 ,若 f r> 0 ,即完成此步工作 ,否则继续找更小的 r 代下 2 3 3
( ( ) 去 ,直到出现第一次 f r> 0 为止 。从实践中可知 ,很快便可以找到相邻 此相邻指一元年金
) ) ( ) ( 现值系数表中的 r 相邻值的两个 r′,r′,使 r′< r′且="" f="" r′=""> 0 > f r′. 1 2 1 2 1 2
) ) ( ( 若 A?A? ?A,则先求 f r,据 f r的符号类似上述方法可找出相邻两点 r′, r′, 1 2 n 1 1 1 2
) ( )( 使的 r′< r′,且="" f="" r′=""> 0 > f r′ 1 2 1 2
若 A,A,,An 无一定规律性 ,可任取 r, r中的一个 ,代值取点 ,同样的原理可以找出 1 2 1 2
) ( ) ( 相邻的 r′,r′,使 r′< r′且="" f="" r′=""> 0 > f r′。 1 2 1 2 1 2
第三步 内插值法求解
( ( ( ( ) ) ( ) ) ) ( ) 通过第二步 ,已找到两点 r′,f r′, r′,f r′满足 r′< r′且="" f="" r′=""> 0 > f r′而要 1 1 2 2 1 2 1 2
( ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) 求的 r 有 f r= 0 ,据内插值法的基本思想 ,可据三点 r′,f r′, r ,0, r′,f r′共线的基 1 1 2 2
本原理列出方程求出 r 。
( ) 实质上 ,第一步就是借用传统方法 2 的思想找出一个测试 f r的起点值 ,第二步找出内插
值法需要的两个端点 ,第三步是内插值法的应用 。
应用上述步骤计算内含报酬率 ,第一 、二步可以克服传统方法 1 中的寻找 r, r工作量大 1 2
的缺点 ,而第二 、三步又克服了传统方法 2 的计算结果不精确以至导致决策错误的可能 ,使得
内含报酬率的计算更快更精确 。
四 、应用
为更好的说明上述方法 ,以下举例来说明
例 :假定兴华公司有一固定资产投资方案 ,方案所需一次性投资额为 300000 元 ,有效使用
( ) () 期为 5 年 ,期满有残值 5000 元 ,各年末的现金净流量 N CF如下 单位 :元:
年1 2 3 4 5
N CF 合计 139000 129000 119000 109000 89000 又假定资金成本为 24 % ,试问此投资方案是否可行 ?
由题意可知 ,内含报酬率 r 满足
- 1 - 2 - 3 - 4 () ( ) ( ) ( ) ( 139000 1 + r + 129000 1 + r + 119000 1 + r + 109000 1 + r + 89000 +
- 5 ) () 50001 + r- 300000 = 0
11 确定可能的取值范围
()1998 年南昌大学学报 哲社版 〃50 〃
1 ) () (平均每年 N CF = ?139000 + 129000 + 119000 + 109000 + 89000 + 5000?= 118000 元5 ( ) ( ) PV IFA r ,5= 2 . 54237 则 118000 PV IFA r ,5= 300000
通过一元年金现值系数表可知 r 可能介于 24 %和 28 %之间 。
21 试值分析
( ) 由于现金净流量 N CF呈递减变化趋势 ,先用 28 %试值
- 1 - 2 - 3 - 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f r = 139000 1 + r + 129000 1 + r + 119000 1 + r + 109000 1 + r
- 5 () () + 89000 + 50001 + r- 300000
- 1 - 2 - 3 () () () () ( f 28 %= 139000 1 + 28 %+ 129000 1 + 28 %+ 119000 1 + 28 %+ 109000 1 +
- 4 - 5 28 %) + (89000 + 5000) (1 + 28 %) - 300000 = 12023 (元)
() 因为 f 28 %> 0 ,因此再用 32 %测试
- 1 - 2 - 3 () () () () ( f 32 %= 139000 1 + 32 %+ 129000 1 + 32 %+ 119000 1 + 32 %+ 109000 1 +
- 4 - 5 32 %) + (89000 + 5000) (1 + 32 %) - 300000 = - 9466 (元) 所以 r 的值应为 28 %和 32 %之间 。
31 内插值法求解
() ( ) () 由 28 % ,12023, r ,0, 32 % , - 9466三点共线得 :
( ) () () ( )r - 28 %/ 0 - 12023= 32 % - 28 %/ - 9466 - 12023
推得 r = 30 . 24 %
因为 ,内含报酬率 30124 %大于资金成本 24 %1
因此此固定资产投资方案是可行的 。
事实上 ,上述方法介绍的主要目的在于用更快更精确的方法求内含报酬率 ,而在决策时 ,
不一定非得求出内含报酬率 IRR 不可 ,如上例题 :
( ) 设内含报酬率为 IRR ,则 f IRR= 0
- 1 - 2 - 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 而 f 24 %= 139000 1 + 24 %+ 129000 1 + 24 %+ 119000 1 + 24 %+ 109000
- 4 - 5 () )() () (1 + 24 %+ 89000 + 50001 + 24 %- 300000 = 36401 元
() ( )即 f 24 %> 0 = f IRR
() ( ) 又 y = f x在 0 , + ?上是严格单调减函数
所以 IRR > 24 %
则自然可得此固定资产投资方案是可行的 。
()责任编辑 刘雪斌 注 :
?余绪缨主编《管理会计》,辽宁人民出版社 1996 年 1 月出版 。
?李天民编《管理会计学》,中央广播电视大学出版社 1984 年 7 月出版 。
范文三：运用插值法进行利率计算公式的解析
26 4 第 卷 第 期 郑州铁路职业技术学院学报 Vol〃 26 No〃 4
2014 12 年 月 Journal of Zhengzhou ,ailway Vocational , Technical College Dec〃 2014
运用插值法进行利率计算公式的解析
马 伟
( ,213164)常州纺织服装职业技术学院江苏 常州
,。,: 摘 要财务管理课程中用插值法进行利率计算是难点单纯记忆公式很容易出错在教学过程中通过
,,,对公式的推导让学生从根本上理解和掌握这一公式很重要文章通过简单的图表对插值法在利率计算中的 原
。理进行了解析
: ; ; 关键词插值法利率计算原理 中图分
: G475 : A 类号文献标识码
DOI:10.13920/j.cnki.zztlzyjsxyxb.2014.04.026
,,2 财务管理课程中用插值法进行利率计算即知 年金现值系数表 表
i 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 8 % 10 % 12 % 14 % … n ,,晓现值或终值系数通过现值系数表或终值系数表1 0〃99 0〃98 0〃97 0〃961 0〃952 0〃943 0〃925 0〃909 0〃892 0〃877 … ,找出两个相邻的利率和其对应的系数再通过插值 2 1〃97 1〃941 1〃913 1〃886 1〃859 1〃833 1〃783 1〃735 1〃69 1〃646 …
3 2〃94 2〃883 2〃828 2〃775 2〃723 2〃673 2〃577 2〃486 2〃401 2〃321 … 。的方式计算出利率的方法一般财务管理课程的教
〃 〃 〃 〃 〃 〃〃 〃 〃〃 〃〃,材对这一方法仅通过文字叙述然后给出相应的公 〃 〃 〃 〃 〃 〃〃 〃 〃〃 〃〃〃 〃 〃 〃 〃 〃〃 〃 〃〃 〃〃,,。式并没有解释其由来学生单纯记忆难以掌握我
1 2 ,i c表 和表 反映出利率 和利率对应的系数 ,们不妨通过插值法的公式推导让学生在理解的基 ,,i ,c 成反方向变化即现值系数表中利率 越大系数 。础上掌握插值法在利率计算中的公式 ,,1 ,越小反映在坐标系中即图 中的弧线当弧线中 i,假设需要求的利率为 其对应的已知系数为 x ,。的两点比较接近时可以将弧线近视为直线 c,ii、c与 相邻的两个利率和对应的系数分别为 x 1 1
i、c,i,i。和 利率较小的为 利率较大的为 根据四 2 2 1 2
。张系数表进行推算
、一现值系数表
,1、复利现值系数表和年金现值系数表如表 表
2 。所示
1 表 复利现值系数表 i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 8% 10% 12% 14% …n 1 0〃99 0〃98 0〃97 0〃961 0〃952 0〃943 0〃925 0〃909 0〃892 0〃877 … 1 图 现值系数图 2 0〃98 0〃961 0〃942 0〃924 0〃907 0〃889 0〃857 0〃826 0〃797 0〃769 … ,i,c,i、将弧线近视为直线分别在坐标系中取 x 1 3 0〃97 0〃942 0〃915 0〃888 0〃863 0〃839 0〃793 0〃751 0〃711 0〃674 …
〃 〃 〃 〃 〃 c〃 i、c,〃 〃 〃 〃 〃 〃和 将对应的利率和系数的交点如图连接起 1 2 2 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 ,,2 。来为两个相似三角形如图 所示
: 2014 ,06 ,20 收稿日期
: ( 1983 , ) ,,,,,、、。作者简介马 伟男江苏泰州人常州纺织服装职业技术学院讲师硕士研究方向为财务管理学审计学高职 教育教学
75
,,将弧线近视为直线同样分别在坐标 系中取 i,c,i、ci、c,和 在坐标系中将对应的利率和系数 x 1 1 2 2
,,4 的交点如图连接起来为两个相似三角形如图 所
。示
2 图 现值系数近视图
,c、c、c、i、i,i,在坐标系上已知 求 利用几何 1 2 1 2 x
,,原理两个相似三角形的对应边之比相等列出等式
一
,i i c,c x 11 = i , i c,c 2 1 1 2 、二终值系数表 4 图 终值系数近视图
,观察复利终值系数表和年金终值系数表如表 ,c、c、c、i、i,i,已知 求 利用几何 在坐标系上1 2 1 2 x 3、4。表 ,,原理两个相似三角形的对应边之比相等列出等式
3 表 复利终值系数表 二
i 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 % … n c ,c i , i 1 1〃01 1〃02 1〃03 1〃04 1〃05 1〃06 1〃07 1〃08 1〃09 1〃1 … 1 x 1 = ,c i,i c 2 1〃02 1〃04 1〃061 1〃082 1〃103 1〃124 1〃145 1〃166 1〃188 1〃21 … 2 12 13 1〃03 1〃061 1〃093 1〃125 1〃158 1〃191 1〃225 1〃26 1〃295 1〃331 … 、三推导结论
〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 c, c ,i i 1 1x 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 :等式一 = 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 ?–c i , i 2c 2 1 1 4 表 年金终值系数表 ( c , c) × ( , 1) i , i 1 x 1 = ?i 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 % … n ( c, c) × ( , 1) i,i 1 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … i,i c ,c x 1 2 2〃01 2〃02 2〃03 2〃04 2〃05 2〃06 2〃07 2〃08 2〃09 2〃1 … 1= i , i 3 3〃03 3〃06 3〃091 3〃122 3〃153 3〃184 3〃215 3〃246 3〃278 3〃31 … c,c 2 1 2 1c , c〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃1i,i x 1: 等式二 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃= 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 c,c i,i 2 12 1
, 1,将等式一的左半边分子分母同乘以 等式一 3 4 ,i c 表 和表 反映出利率 和利率对应的系数
,:,,i ,c 和等式二是一样的求出 成同方向变化即终值系数表中利率 越大系数
,3 ,越大反映在坐标系中即图 中的弧线当弧线中的 c ,c 1i= i+ × ( i, i) x 1 ,。2 1 两点比较接近时可以将弧线近视为直线 –c c 12 ,、、、因此复利现值年金现值复利终值年金终值
,,。中用插值法求利率其只有如上一种公式通过公
,。式推导演示学生很容易理解并掌握
参考文献
,1,〃 ,M,〃 : ,曹惠民主 编财务管理学上海立信会计出版社
2011〃 ,2,,〃 ,M,〃 : 栾庆伟迟国泰主编财务管理大连大连理工大学 出
,2008〃版社
3 图 终值系数图 ,: ,责任编辑赵 伟
76
范文四：插值法
实验二、插值法
一、实验目的
1、 理解插值的基本概念, 掌握各种插值方法, 包括拉格朗日插值和牛顿插值等, 注意其不同特点;
2、通过实验进一步理解并掌握各种插值的基本算法。
二、算法实例
例 2.1 已知函数 ) (x f 在 ]3, 1[上具有二阶连续导数, 5) (
X=[1,3];Y=[1,2];
x=1.5;
yy=Y(1)+(Y(2)-Y(1))/(X(2)-X(1))*(x-X(1))
算法二:两点式,输入程序
X=[1,3];Y=[1,2];
x=1.5;
yy=((X(2)-x)/(X(2)-X(1)))*Y+((x-X(1))/(X(2)-X(1)))*Y(2)
算法三:输入程序
X=[1,3];Y=[1,2];
l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2))
l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1))
l0=poly2sym (l01)
l1=poly2sym (l11)
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2)
L=poly2sym (P)
x=1.5;
Y = polyval(P,x)
例 2.3 求将区间 [0, π/2] 分成 n 等份 ) 2, 1(=n , 用 x x f y c os ) (==产生 1+n 个节点,然后分别作线性插值函数 ) (1x P 和抛物线插值函数 ) (2x P . 用它们分 别计算 cos (π/6) (取四位有效数字 ) ,并估计其误差。
解:算法一,输入程序
X=[0,pi/2]; Y =cos(X)
l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2))
l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1))
l0=poly2sym (l01)
l1=poly2sym (l11)
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=pi/6;
Y = polyval(P,x)
算法二:输入程序
X=0:pi/4:pi/2; Y =cos(X)
l01= conv (poly(X(2)),poly(X(3)))/(( X(1)- X(2))* ( X(1)- X(3))) l11= conv (poly(X(1)), poly(X(3)))/(( X(2)- X(1))* ( X(2)- X(3))) l21= conv (poly(X(1)), poly(X(2)))/(( X(3)- X(1))* ( X(3)- X(2))) l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21),
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3), L=poly2sym (P),x=pi/6; Y = polyval(P,x)
算法三:输入程序
X=0:pi/4:pi/2; Y =cos(X)
x=pi/6;
l01=(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))
l02=(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))
l03=(x-X(1))*(x-X(2))/((X(3)-X(1))*(X(3)-X(2)))
L=Y(1)*l01+Y(2)*l02+Y(3)*l03
例 2.4 给出节点数据 00. 17) 00. 2(=-f , 00. 1) 00. 0(=f , 00. 2) 00. 1(=f , 00. 17) 00. 2(=f ,作三次拉格朗日插值多项式计算 ) 6. 0(f ,并估计其误差。
解:输入程序
X=[-2,0,1,2]; Y =[17,1,2,17];
p1=poly(X(1)); p2=poly(X(2));
p3=poly(X(3)); p4=poly(X(4));
l01= conv ( conv (p2, p3), p4)/(( X(1)- X(2))* ( X(1)- X(3)) * ( X(1)- X(4)));
l11= conv ( conv (p1, p3), p4)/(( X(2)- X(1))* ( X(2)- X(3)) * ( X(2)- X(4)));
l21= conv ( conv (p1, p2), p4)/(( X(3)- X(1))* ( X(3)- X(2)) * ( X(3)- X(4)));
l31= conv ( conv (p1, p2), p3)/(( X(4)- X(1))* ( X(4)- X(2)) * ( X(4)- X(3)));
l0=poly2sym (l01)
l1=poly2sym (l11)
l2=poly2sym (l21)
l3=poly2sym (l31)
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3) + l31* Y(4)
L=poly2sym (P),x=0.6; Y = polyval(P,x)
syms m ; x=0.6;
R3=m*abs((x-X(1))*(x-X(2)) *(x-X(3)) *(x-X(4)))/24
结果运行后输出插值多项式和插值为
L = x^3+4*x^2-4*x+1, Y =0.2560
误差 R3 =91/2500*m
三、实验任务
1、已知函数表
i x
i
y 0.82741 0.82659 0.82577 0.82495
用二次拉格朗日插值多项式求 5635
. 0
x 时的函数近似值。
解:输入程序
X=[0.56160,0.56280,0.56401]; Y =[0.82741,0.82659,0.82577];
p1=poly(X(1)); p2=poly(X(2));p3=poly(X(3));
l01=conv (p2, p3)/(( X(1)- X(2))* ( X(1)- X(3)));
l11=conv (p1, p3)/(( X(2)- X(1))* ( X(2)- X(3)));
l21=conv (p1, p2)/(( X(3)- X(1))* ( X(3)- X(2)));
l0=poly2sym (l01)
l1=poly2sym (l11)
l2=poly2sym (l21)
P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3)
L=poly2sym (P)
x=0.5635; Y = polyval(P,x)
结果运行后输出插值多项式和插值为
L=20128900373/8589934592*x^2-57005448435/17179869184*x+67063928099/34 359738368
Y = 0.8261
拉格朗日
X=[0.56280,0.56401,0.56521];
Y=[0.82659,0.82577,0.82495];
x=0.5635;
[y,R]=lagranzi(X,Y,0.5635,1)
结果运行后输出插值多项式和插值为
y =0.8261
R =1.0175e-010
牛顿插值
X=[0.56280,0.56401,0.56521];
Y=[0.82659,0.82577,0.82495];
x=0.5635;
[y,R]= newcz(X,Y,0.5635,1)
结果运行后输出插值多项式和插值为
y = 0.8261
R = 1.0175e-010
牛顿插值法的 MATLAB 综合程序
X=[0.56280,0.56401,0.56521];
Y=[0.82659,0.82577,0.82495];
x=0.5635;
[y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,0.5635,1)
结果运行后输出插值多项式和插值为
y = 0.8261
R = 1.0175e-010
A = 0.8266 0 0
0.8258 -0.6777 0
0.8249 -0.6833 -2.3433
C = -2.3433 1.9628 0.4642
L=-5276670459500779/2251799813685248*x^2+8839583887184885/4503599627370496*x+8361673327176829/18014398509481984
2、已知函数表 i x i y ) 596. 0(3N 和 ) 895. 0(4N 。
牛顿插值法的 MATLAB 综合程序 1
X=[0.4,0.55,0.65,0.8,0.9];
Y=[0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652];
x=0.596;
[y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,0.596,1)
结果运行后输出插值多项式和插值为
y =0.6319
R =2.5161e-007
A = 0.4108 0 0 0 0
0.5782 1.1160 0 0 0
0.6967 1.1860 0.2800 0 0
0.8881 1.2757 0.3589 0.1973 0
1.0265 1.3841 0.4335 0.2130 0.0312
C = 0.0312 0.1224 0.0304 0.9899 0.0013
L=562735496296743/18014398509481984*x^4+8817104459036227/720575940379 27936*x^3+4383023253354247/144115188075855872*x^2+4457978592059411/45 03599627370496*x+11754137678903/9007199254740992
牛顿插值法的 MATLAB 综合程序 2
X=[0.4,0.55,0.65,0.8,0.9];
Y=[0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652];
x=0.895;
[y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,0.895,1)
结果运行后输出插值多项式和插值为
y=1.0194
R=1.6562e-007
A = 0.4108 0 0 0 0
0.5782 1.1160 0 0 0
0.6967 1.1860 0.2800 0 0
0.8881 1.2757 0.3589 0.1973 0
1.0265 1.3841 0.4335 0.2130 0.0312
C =0.0312 0.1224 0.0304 0.9899 0.0013
L=562735496296743/18014398509481984*x^4+8817104459036227/720575940379
27936*x^3+4383023253354247/144115188075855872*x^2+4457978592059411/45 03599627370496*x+11754137678903/9007199254740992
拉格朗日插值法 1
X=[0.4,0.55,0.65,0.8,0.9];
Y=[0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652];
x=0.596;
[y,R]=lagranzi(X,Y,0.596,1)
结果运行后输出插值多项式和插值为
y =0.6319
R =2.5161e-007
拉格朗日插值法 2
X=[0.4,0.55,0.65,0.8,0.9];
Y=[0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652];
x=0.895;
[y,R]=lagranzi(X,Y,0.895,1)
结果运行后输出插值多项式和插值为
y =1.0194
R =1.6562e-007
四.实验总结
通过本次上机实验, 让我加深了对课堂内容的理解, 减少很多不必要的错误, 提 高了上机的效率,让我受益匪浅。
范文五：插值法
插值法计算
GB50300-2013中有插值法计算，很多人不太熟悉插值法的计算，先列于此，供大家参考。
表D.O.1-1和表D.0.1-2给出的样本容量不连续，对合格判定细数需要进行取整处理。例如样本容量为15，按表D.O.1-1插值得出的合格判定系数为3.571，四舍五入取整可得合格判定数为4，不合格判定数为5。
举例：
已知：两个人吃4个包子，四个人吃8个包子，那3个人吃几个包子呢? 口算也知道6个，因为成比例。
那么成比例的算式，能否用插值法计算呢，当然可以。按上式为例“即： x2= ⊿x 4
y4= ⊿y 8
z 3= ⊿ z?
根据插值法公式：⊿ⅹ- ⊿Z /ⅹ-Z= ⊿Z- ⊿Y /Z-Y
把数据代入公示：4 - ⅹ / 2-3=? - 8 / 3 - 4
解： 4- ⅹ /-1= ？ -8/-1;
(代入后？为ⅹ )
1 去分母： 4- ⅹ /-1=?-8/-1 得 4- ⅹ = ⅹ -8
2 移去左边ⅹ：得 4 =2 ⅹ -8 ;
3 移去右边8：得12=2 ⅹ;
ⅹ=12/2=6
如果说13个能分到3个包子，20个人能分到5个包子，那18个人能分到几个，口算就吃力了，就需要公式⊿ⅹ- ⊿Z /ⅹ-Z= ⊿Z- ⊿Y /Z-Y计算了。
插值法计算过程： 已知13=3，20=5，求15=？ 根据公式 ⊿ⅹ- ⊿z /ⅹ-z= ⊿z- ⊿y /z-y。 设： ⅹ13= ⊿ⅹ3 y 20=⊿y 5 z 15=⊿z ⅹ 将数据带入公式; 得 3 -ⅹ/13-15=ⅹ-5/15-20 计算过程为： 1 算分母： 3 -ⅹ/ -2 =ⅹ-5/ -5 2 去分母-2：3 -ⅹ=2ⅹ-10/5 3 去分母5： 15-5ⅹ=2ⅹ-10 4 移5ⅹ：15 =7ⅹ-10 5 去-10：25=7ⅹ 6 得ⅹ =25/7=3.571 四舍五入得4。合格判定数为4，不合格判定数为5.
在实际应用中，还可以用更简便的方法来速算。以上表为例，已知32个样本的合格判定数为7，50个样本的合格判定数为10，求40的合格判定数为多少？
用10–7=3，50–32=18，3÷18=1.1667，（40–32）×0.1667=1.3336,四舍五入是1，7+1=8，40的合格判定数是8，9就为合格。
试计算：
求50的合格判定数是多少？上表已经有了是10，那么求保留三位小数点呢？就是说10 是由什么数四舍五入得来的。
以简便方法计算如下：
14–7=7，80–32=48，7÷48=0.1458，（50–32）×0.1458= 2.624，就知道10是从2.624四舍五入得来的。
如果计算整数，四舍五入是3，再加上底数7就10 。
以上计算就够实用了，如果再想深究，把合格判定数都算成小数点后几位，还需要看其他的规范，去认识判定数的函数曲线图了。
于五星 2014.815
