Schoene
范文一：关于方程、方程组定义的几个问题
关于方程、方程组定义的几个问题,本刊专稿,
李春花 约1764字
学生在初中学习了一元一次方程,二元一次方程组,可化为一元一次方程的分式方程,一元二次方程等几个关于方程､方程组的问题. 在学习这些与方程､方程组有关的问题过程中,有些概念说得不是很清楚,在此作如下讨论.
一､关于x的方程ax = b,当a = 0时,它是一元一次方程吗
有人认为关于x的一元一次方程ax = b可作如下讨论:
a ? 0时,方程有唯一的解即x =.
若a = 0,当b = 0时,方程有无数个解;当b ? 0时,方程无解.
我们知道,关于x的方程a0xn + a1xn-1 + ? + an-1x + an = 0(a0 ? 0)是一元n次方程,并且一元n次方程有n个根(含虚数根).
因此当a = 0时,关于x的方程ax = b不是一元一次方程,这个道理与我们不认为ax2 + bx + c = 0,a = 0时不是关于x的一元二次方程相同.
二､关于x的方程|x + 1| = 2,它是一元一次方程吗
关于x的方程|x + 1| = 2不是一元一次方程. 因为式子|x + 1|含有绝对值符号,它不是整式,因此|x + 1| = 2不是一元一次方程. 从另一个角度说,一元一次方程有且只有一个解,而方程|x + 1| = 2有两个解.
整式是由运算符号加､差､乘把数字及表示数字的字母连接起来的式子,而绝对值符号并不是运算符号,因此|x + 1| = 2不是一元一次方程.我们可以把它叫做绝对值方程,可以借助学过的一元一次方程知识及绝对值的意义解出这个方程.
三､如何理解人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册中关于二元一次方程的意义
教科书中P93 ~ P94中说,把两个方程合在一起,写成x + y = 22,2x + y = 40.像这样,把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
可以理解为这是关于二元一次方程组的不完整意义,是在初中阶段要求学生理解并会解的二元一次方程组.
像2(x - 1) = 5,3x + 4y = 11这样,由一个一元一次方程,一个二元一次方程组成的方程组,当然其中的未知数有两个,组成的方程组也是二元一次方程组. 甚至像 = 6,3(y + 2) =
2y这样,由两个含不同未知数的一元一次方程组成的方程组也是二元一次方程组.
而且有三个或三个以上具有相同未知数的二元一次方程合在一起组成的方程也是二元一次方程组.
虽然教材中没有给出二元一次方程组完整的意义,但是它指明了在初中阶段要求学生会解一般的具有相同未知数的二元一次方程组成的方程组,这是本章的核心内容.
一般地,在初中数学中也不必讨论a1x + b1y = c1,a2x + b2y = c2无解或有无数个解的情况.
四､三元一次方程组一定含有三个方程吗
人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册中关于三元一次方程的意义 (P111):
把三个方程合在一起,写成x + y + z = 12,x + 2y + 5z = 22的形式,x = 4y这个方程组含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
在这里提到的三元一次方程组有“三个方程”,那么像x + 2y + 3z = 6,5x - 7y + 4z =
2,或5x + 6y - 4z = 7,9x - 5y + 2z = 9,6x - 2y - 7z = 8,3x - y + 8z = 6这样,方程组中由两个或四个方程算不算三元一次方程组呢?
应该说这样的方程组也是三元一次方程组,只不过,由两个三元一次方程组成的方程组一般有无数多个解,由四个三元一次方程组成的方程组有可能无解,由三个三元一次方程组成的方程组也有无解或无数个解的情况.
因此初中阶段要求学生了解并会解的三元一次方程组如教材中指出的那样,是有唯一一个解的三元一次方程组.
综上所述,辨析教科书中的各种概念的实质,完整地理解义务教育阶段对提高学生素质的要求是教学中应准确把握的关键.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” 。
范文二：关于不定方程的整数解问题
关于不定方程的整数解问题
初中数学教与学
.专题研究o
2007年
关子不定方程的整数勰问题
潘波
(江苏省苏州中学,215007) 在历届全国和各地的初中数学竞赛试卷 中,几乎都涉及到不定方程的整数解的问题. 由于此类问题内涵丰富且与其它知识点交织 在一起,形式多样,切人点多,思路灵活,解法 千变万化,所以这类问题极具综合性,是培养 和考查学生思维的深刻性,缜密性的极佳素 材.笔者认为有必要对这样一类试题进行深 刻的研究与剖析,以便为数学教学活动服务. 本文研究这类问题的求解方法.
一
,利用不等式确定字母的范围
大家知道方程,Y,)=0(,Y,是整
数)的重要功能之一是制约其变量的取值范 围.具体的说就是由方程,y,z)=0的特点 先构造关于某个字母的不等式得到其范围, 比如口??b,然后根据它是整数求其值.依 次类推再运用分类讨论的思想求其它字母的 整数值.根据方程的特点一般有以下三种方 式来构造要求字母的不等式,以达到求其范 围的目的.
1.借助于一元二次方程根的性质
例1已知口,b,c是整数,且口一2b:4, 口6+c一1=0,求口+b+c的值.
剖析本题是一个三元二次方程组,易 消去.得到关于b的一元二次方程,借助于一 元二次方程根的判别式即可求出c的范围,再 根据c是整数求其值.从而字母n,6的值就迎 刃而解了.
解将口一2b=4代人求n6+c一1= 0,得26+46+c一1=0.
?
.
'
b是整数,...b是实数,
?'?…'?…???????.'"?…'?…??…??…??ooo??…??ooo??…??ooo?
?…??ooo??…??…??…??…??…??…??.oo??…??ooo??…??…?
?.oo??…??ooo??…??…??…??…??…'?…??…??…'???"???
24.(1)依题意得:
y:(一30)[20+(70一)]一500,
即y=一+120x一3200(40??70). (2)依题意得:一+120x一3200=300. 解得:I=50,2=70.
.
'
.
当日均获利达300元时,销售单价为50元或 70元.
(3)由(1)得:
y:一+12x一3200=一(一60)+400.
当:60时,在40??70范围. ,
.
.
当=60元时,日均获利最多,最多为 400元.
25.(1)由原方程整理得:
3x一lOx(x一1)+8(x一1)=0, [3x一4(x一1)][一2(X一1)]=0. ?
28?
解得:l=4,2=2.
'
.
'm>n,.'.m:4,n=2.
(2)由(1)得c(4,2),OC,BD交点坐标为 (2,1).
'
.
'
把矩形OBCD面积平分的直线必过其对角 线交点,.'.1:2a一口,.'.口=1. .
.
.
此一次函数解析式为y=,1. (3)(i)当0<<2时,,,=; (ii)当2??4时,y=(4一)×2=8—2x; (iii)当>4时,y=0.
.
'
.
y与的函数关系式为-y=(0<<2),
或y=8—2(2??4),或,,=0(>4).
(由湖北省江陵县资市中学(43410o)
王立文提供)
第4期
.
?
./t=4一8(C2—1)=6—2c?0. .
?
.
一
?c?
?
.
'c是整数,.'.c只能取一1,0,1, 当c=一1时,ab=0且0=2b+4,这时 f口l=4,f口2=0,
L6l=0,L62=一2,
.
?
.
此时0+6+c的值是一3,3. 当c=0时,不存在这样的整数.和b; 当c=1时,ab=0且0=2b+4,这时 『03=4,『04=0,
L63=0,L64=一2.
.
?
.
此时0+b+c的值是一1,5.
综上所述,所求0+b+c的值为一3,一1, 3,5.
2.借助于0的非负性
例2已知0,b,c是整数,且0—2b=4, 06+c.一1=0,求0+b+c的值.
剖析仍选择例1作为例2的目的是,说 明不定方程的解法的多样性,不同的视角,会 产生不同的思路(后面还要用到例1). 由条件0—2b=4,ab+c一1=0易消去 0得到c=1—2b一4b,根据c的非负性构造 出关于b的不等式即可求出c的范围,再根据c 是整数求其值.
解将0—2b=4代人求06+c.一1= 0,得c=l一26一4b=3—2(b+1)?0, 且这是一个完全平方式.
.
?
.
2(b+1)?3.
?
.
'
b是整数,
.
?
.
(b+1)=1,即bl=0,b2=一2,
=
这时
.
?
.
此时0+6+c的值是3,5.
当6=一2时,这时fL~3{.
.
?
.
此时0+6+c的值是一3,一1.
综上所述,所求o+b+c的值为一3,一1, 3,5.
3.借助于不等式的放缩
例3已知RY,Z是整数,且R>>Y 初中教学教与学
>,若R,,),,满足方程16(2+2+2+2) =
330,求(+Y+)的值.
剖析由R>>',>知2>2>2 >2>0,以2为突破口通过不等式的性质 将方程右边的代数式放大和缩小以达到求2 的范围的目的,再根据尺为整数便求出其值, 同理可求出剩下字母的值.
解'.'R>>Y>Z, .
?
.2>2>2>2>0.
'
.
'
16(2+2+2+2)=330,() .
?
.
330<16×4×2片目.
16×2片<330.
又'.'尺是整数,
.
?
.6?2?20.
.
'
.R:3.4.
当R:3时,得2,2,2的最大值分别为 4,2,1,而16×15=240<330,故R=3不成 立;
当R=4时,得16(16+2+2+2)=
330,即16(2+2+2)=74,通过用不等式的 放缩处理()式的办法便得到=2,Y=一 1.0=一3.
.
?
.
(+Y+)=(2—1—3)=16. .
?
.
所求(+Y+)的值为16.
评注利用一元二次方程的根的性质, o的非负性构造某一变量的不等式来控制此 变量的取值范围,是解决不定方程的整数解问 题的重要手段之一.
二,利用部分分式法
方程,Y)=0(,Y为整数)的另一个
重要功能是消元,将方程,Y)=0变形得Y gl)+(gI(,gz)中的系数是
整数,o是整数).利用n要被g()整除先求 出,从而求出Y.由于对方程,Y)=0的变 形类似于求函数值域的部分分式法,便于交 流,笔者借用此名称来称谓这种求不定方程的 解法.
侈04方程2一y一3+Y+2006= 0?的正整数解(,)共有——对.
剖析方程?看似是很复杂的二元二次 ?
29?
初中教学教与学2007生
不定方程,但稍作观察,即可发现它关于Y是 一
次的,易将y用表示成ygl()+ 的形式,下面由Y为正整数来讨论的取值. 解将方程?变形为
(一1)Y=2x一3x+2006.
?
.
.:1不满足方程,即?1,故得
Y:{()——一
一
(二2:?(二!?QQ一
一
1
:2(一1)+1+—2—
0—
0—
5
:
2一1+—2—
005
.
戈一l
由于2005=1×2005:5×401,即2005 有因数1,5,401,2005,故分别取一1为1,5,
401,2005时为正整数,且相应的Y也是正整 数,所以答案是四对.
评注(1)用部分分式法解不定方程时 要经常用到配方,因式分解等方法,要求比较 高,本题对()式的变形用的通法即配方 法,对()的变形还可以用因式分解法进 行.
2一3+2006
y=
一(二2(二2?Q
一
1
:
2一1+—2—
005
.
戈一l
(2)对于任意一个:这样
U1-
式的形式,读者不妨 的式子都能化成()
试试.
(3)仅把题中的"2x一xy一3x+Y+2006 =
0"改为"2一一2+Y+205=0",其余
不变,结论如何?请读者尝试一下.
三,利用因式分解
类比整数的质因数分解,可将方程-厂(,Y) =
O(x,y~_tj整数)化为g.(,Y)g:(,Y)=o=
m.×m:(g.(),g:()的中系数是整数,o是 整数)的形式.通过这种将整数.质因数分解, ?
30?
然后进行"降次"将原方程化归为解方程组 fg?(,)ml'从而达到求出x,y的目的. 【g2(,Y)=m2.
例5方程2x一xy一3x+Y+2006=0 ?
的正整数解(,Y)共有——对.
剖析仍借助于例4来说明这个观点.根 据题目的特点,可将方程?直接变形为(o. +blY+c1)(02+b2Y+c2)=mn(系数都为整
数),然后将其化归为解方程组. 解将方程?变形为
2一3+1一xy+Y+2005=0.
.
.
.
(一1)(2x一1)一Y(一1)=一2005,
.
'
.
(一1)(2x一1一Y)=一2005,
.
.
.
(一1)(Y一2x一1)
=2005=1×2005=5X401.
-
?
-
2;
或f一=2005,
Ly一2x一1=1;
或,
Ly一2x一1=401; 或一=40,
Ly一2x一1=5.
.
?
.
或
或或
故答案是4对.
评注解二次或高次不定方程的一条重 要经验就是"降次",将本题中的方程?变形 为两个一次因式的乘积,转化为两个一次方程 来解,是对这条经验极好的诠释.由于这个方 法用的比较广泛,笔者再举一例与读者共享. 例6已知,Y为正整数,且满足
xy一(+Y)=2p+q.?
其中P,g分别是与Y的最大公约数和最 小公倍数,求所有这样的数对(,Y)(?Y). 剖析这是江苏省第二十届初中数学竞 赛题,需要借助于本文上述谈到的构造不等式
第4卿
控制变量的范围以及消元,因式分解三种方法 共同来完成,因此本题具有很强的综合性.对 学生的运算能力,思维能力,意志力的要求相 当的高.
解由题意,设=ap,Y:6p(a,b为整
数且(a,b):1,a?b),于是q=06p.此时,方 程?可化为
ap?6p一(ap+bp)=2p+abq, 即(P一1)ab=a+b+2.?
?式表明:
P一1>0,
且o<p一1=?+1+2?4.
所以,P:2,3,4或5.
(1)P=2时,?式为06一a—b+1=3, 即(a一1)(b一1):3=3×1, 所以{_.=3,得{_.,【b一1=1.【b=2. 此时与(a,b)=1矛盾,不合要求; (2)p=3时,?式为2ab—a—b=2, 即(2a一1)(2b一1)=5=5×1, 所以』2.一=5,得f.=3, L2b一1=1.Lb=1. 故
(3)P=4时,?式为3ab—a—b=2, 即(3a一1)(3b一1)=7=7×1, 所以』3.一=7,此方程组无整数解; (4)p=5时,?式为4ab—a—b=2, 即(4a一1)(46—1)
=9×1=3×3.
所以』4.一9,此方程组无整数解. 由
13
得
b1.
'
【46一=.L:.
故
6
ap
p
5
综上所述,满足条件的(,Y)是(5,5)和 (9,3).
初中数学教与学
四,利用配方法
配方法在数学中的运用非常广泛,在某些 不定方程的整数解时也有其独到之处.具体的 说就是将方程,),)=0(,Y为整数)变形 为g(,Y)+g(,Y)=c(g,(),g()中的
系数是整数,C是整数)的形式.接着有两种 思路可走:一种是利用不等式进行估值,前面 已有阐述,这里不在赘述;一种是将C拆成两 个完全平方数的和,于是通过"降次"将原方 程化归为解方程组fg?('ym,' tg2(,Y)=m2.
例7已知a,b,C是整数,且a一2b=4, 06+C一1=0,求a+b+C的值.
剖析由条件a一2b=4,ab+C一1= 0易消去b得到?C+26+46=1,将此方程的 右边配方成两个完全平方式的和,然后便得到 了关于b,C的方程组,解之即可.
解将a一2b=4代人求06+C一1= 0得C+26+4b:1,
配方,得2(b+1)+C=3=2×1+1, .
?
.
12
(以下讨论过程略.)
评注(1)通过用配方法解决这道方程 的整数解的问题,要求我们对解方程的基本方 法,如消元,移项,配方,因式分解等有深刻的
理解,熟练掌握一些基本公式和运算技能,这 样才能在较复杂的竞赛题面前透过复杂形式 的表面,看到它们的实质.
(2)通过对例1和例4的不同解法,可以 看出解不定方程(组)没有定法只有优法,必 须善于观察方程的结构和特点,因题而异地将 方程适当的变形,设计出各种不同寻常的解 法.
至此,我们可以进一步理解,命题人在数 学竞赛中为什么如此青睐不定方程整数解的 问题,因为此类问题灵活多变,需要学生灵活 运用多种解题策略.这正体现了新课程标准的 理念.
?
31?
范文三：关于比例的方程组问题
?x?2y?z?0(1)
第一题：?（1）×2+（2）得9x?3z?0
?7x?4y?5z?0(2)?z?3x（3） 即：x:z?1:3
将（3）代入（1）得：y?2x 即x:y?1:2
?x:y:z?1:2:3（因为x的基数都是1）
?x?3y?8z?0(1)
第二题：?
?x?2y?7z?0(2)
（2）—（1）得：y?3z（3）即：y:z?3:1 将（3）代入（2）得：?x?z（4）即：x:z?1:1
?x:y:z?1:3:1（因为z的基数都是1）
由（1）（4）得：
2x?3y?6zx?5y?7z
第三题：
2
2
222
2
?
2z?3?9z?6zz?5?9z?7z
2
2
222
2
?
2z?3?9z?6zz?5?9z?7z
2
2
222
2
?
3553
3x?2y
4
4
?
2x?y?2
2
??
2x?5y3
?
x?5y3
(1)
?3x
??
原式化为：?
?3x??
?2y?2y4
2x?y?2
(2)
?x?4?x?4?
化简为：?解得：?10
?5x?14y?y?
7?
?x:y:z?1:2:7(1)
第四题：?
?2x?y?3z?21(2)
解：由（1）可设：x
?k则：y?2k,z?7k代入（3）得：
2?k?2k?3?7k?21，解得：k?1
所以：x?1,y?2,z?7
范文四：关于方程教学中的一些问题
关于方程教学中的一些问题
一、在列方程解决实际问题的教学中，重视对实际问题中等量关系的寻找，这是列方程解的关键。学生找的等量关系要与所列的方程相一致。
找等量关系练习。
1．黑兔的只数是白兔只数的5倍。—— 白兔只数×5＝黑兔只数
2．电视塔的高度比居民楼的30倍多5米。—— 居民楼的高度×30＋5＝电视塔的高度
3．松树的棵数比柏树的棵数的4倍少8棵。—— 柏树的棵树×4－8＝松树的棵树
4．科技书的本数比故事书的3倍少24本。—— 故事书的本数×3－24＝科技书的本数
5．买苹果花了6.7元，找回3.3元。—— 总共用的钱－买苹果花的钱＝找回的钱
6．60元买了15个皮球。—— 每个皮球的价格×皮球个数＝总共花的钱
处理的时候还可以分一些层次：先是根据叙述找到等量关系，再给出已知量和问题，要学生说说根据这个等量关系，用什么方法解比较方便。
以“科技书的本数比故事书的3倍少24本。”为例：
等量关系为： 故事书的本数×3－24=科技书的本数
如果已知故事书的本数，那就直接可以利用等量关系式求出科技书的本数。
如果已知的是科技书的本数，那么等量关系式中故事书的本数就是未知数，就要设这个未知数为x ，这样进行列方程解比较简便。
通过这样的练习能够让一部分学生体验到列方程解的好处。
二、对未知数在方程中的减数的位置和除数的位置中出现的情况，是否要进行一定的教学辅导。因为教材中的解方程是用等式的性质来完成的而不是应用三者关系来解的，所以教材中不出现未知数在减数的位置和除数的位置上的方程。但是在实际问题解决的时候，学生根据等量关系就会出现这样的方程，那就不会解了。我们认为虽然教材中对这种情况是避免的，但是我们在教学时还是适当进行补充教学。
利用三者关系解这一类的方程，或者仍然运用等式的性质，化系数为1，进行教学。
三、为什么解方程时要“绕圈”？
在解方程：X-6=3时，有的教材用到下面的方法：
X-6=3
解：X-6+6=3+6
X=3+6
X=9
对于上面步骤中的“X-6+6=3+6”有的老师不理解，为什么解方程要绕圈。
有一种说法：“四则运算走不远，要走代数化，要用方程处理运算。平面几何走不远，也要代数化，走解析几何的路子。”这一种说法，至少给我们一个这样的信息。用四则运算解方程和用代数方法解方程所用的处理思路或说其中的数学思想是不同的。而这里的不同并不仅仅是指所处理的问题的范围或说是能处理的问题的复杂程度之间的差异。
在解方程时是用算术法解还是用代数的方法来解，我们大多关注的是思维的方法和依据，是逆向思维还是顺向思维，是用到的等式性质还是四则运算的关系。我想除了这些不同之外，还有以下的不同。
１．对“＝”号的理解。
1
２．对未知数的理解。
先说“＝”号。
“＝”号表示什么意思？２＋３＝５，表示２与３的和是５，表示２加上３的答案是５，这里的“＝”号是表示运算的结果，表示答案。我们很少说“＝”号表示相等，即使说“相等”也常常是指２与３的和与５是相等的。很少再做进一步的发展。
仔细看一下解方程的过程，我们会发现，“＝”号的意义在这里已有了变化。它主要是指两边的部分相等。这种相等多了平衡、配平的意味。我们是把“＝”号连同它的两边看成是一个整体，是一个等式，就象达到平衡状态的一架天平。运算、结果已变得不再重要，只要它们两边相等，能平衡就行。——而这种发展，学生是很难一下子理解到的，又需要一个过程。
对于未知数的理解。
有的教材中处理时用“□”表示未知数，有的用“○”，有的用x,y,z,a,b,c…等等，我们说这都是形式，不是实质。形式是容易学的，是容易模仿的，而实质是需要理解的。那么，这里的实质是什么？是把x 当成是一种数，是一种超出一般的、不同于具体的数的数，它可以代表任何的一个数，比2,3,6, 这些具体的数更有一般性。说了这一堆，还是难理解。我们还是看学生在用算术法和用代数法解方程时对待未知数的不同。
用代数法解：
X-6=3
解：X-6+6=3+6
X=3+6
X=9
在这个解法中，我们不关注X ，关注的是如何把与X 不同的“6”（或者说“-6” ）处理掉，X 是什么数，我们不去管。它就是一个可以参与运算的数，至于是多少，它在什么位置，与其他的数有什么关系，我们不去想，不在它身上劳神费力。在这种解法中，我们更关注的是X 与其他数在形式上的不同。
再看用算术法解：
X-6=3
解：X=3+6
X=9
我们关注的是X,6,3这三个数涉及到什么运算，它们三个数有什么关系。要关注三个数的关系，至于X 是被减数还是减数则一定要看清楚，否则会出大错。在这里，我们自始至终是把X 当成和6,3一样的具体的数来看的。在这种解法中更多关注的是X 与其他数的相同点。
最后再说一点，课标要求是“会用等式的性质解简单的方程(如3x+2＝5，2x-x ＝3)”，对于 X-6=3型的方程我们可以让学生用算术方法去解。愿意用方程去解也可以，处理X-6+6时可以这样想，X 这个数减去6再加上6等于没有变化，所以还是X 。
其实，上面说了许多话，是说为什么学生理解解方程这么难的，没有正面回答为什么解方程要“绕圈”。有关方程解法的问题，可以参考（四）
四、从五年级解方程谈“瞻前顾后”
记得我们上学的时候，解最简单的方程的方式是这样的：比如1+x=3就是x=3-1，x=2。很好懂吧！但是现在五年级课本上是这样的：1+x=3，1+x-1=3-1，x=2。看起来很啰嗦吧！那么为什么教材这样来改呢？如果单单从简单的加减乘除的方程来看，第一种方法无疑是简单易懂而且步骤少，而第二种方法就相对复杂了。那教材这样来改的目的是什么呢？我曾经跟博山教研室的李效宏科长探讨过这个问题，他谈到了教学要“瞻前顾后”的问题，使我深受启发。
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大家都知道，知识是有层次性的，新知识必然以旧知识为基础，正所谓“温故而知新”，旧知识学好了，必然有利于新知识的学习，打好基础是很重要的。老师们都懂得在学习新知识前要了解学生以前学习了哪些相关的基础知识，这样才能根据学生的知识基础进行新知识的教学。但是你有没有想到，你现在教给学生的新知识，也将成为学生以后学习的知识基础，那我们做到“瞻前”了，是不是也需要“顾后”呢！还是以上面的五年级的方程为例，很多老师觉得孩子对第一种方法容易理解，解起方程来正确率也高，再加上老师们在教学中也习惯了第一种解方程的方法，所以有些老师以为不必拘泥于教材，就仍然用第一种方法来教学生解方程，而且学生出错很少，考试成绩也不错。
那学生考试成绩高了是否就可以认为教学是成功的呢？答案显然是否定的！小学五年级不是教学的终点，而是学生漫长学习生涯中的一个阶段，这就像马拉松，你在某一段路上的加速并不说明你的最后成绩，反而也许是你耗尽体力打乱生理规律的罪魁祸首。五年级的方程是孩子学习方程的起点，打好基础对孩子以后用方程解决数学问题至关重要，而学生现在学习的解方程的方法，不能仅仅以求出方程的解为唯一目的，重要的是让学生一开始接触就了解方程的基本性质，利用方程的基本性质来解方程，这样的方法才是普遍的规律性的东西，即使学生到了中学，这也是正确有效的方法，因为它是本质性的东西。而前面说的第一种方法显然具有很大的局限性，能够解决小学阶段的大多数问题，却与以后学生要学习的东西没有多少内在联系，而且到了中学这种方法在很多时候已经不能继续使用，这势必使学生要么对新的方法有所抵触，要么对以前的方法产生怀疑，不利于知识的衔接。
虽说教师不能拘泥于教材，但是首先你要了解教材编写的意图，教材设计如果不尽合理，教师可以灵活变通，但在对教材不熟悉的情况下随意改变教学内容和方法，是不恰当的。解方程的问题就是一个例子。只有瞻前顾后，既了解所教知识的起点，又要清楚所教知识的发展，承上启下，有机联系，使学生对知识的掌握具有连贯性和可持续性，才是成功的教学，才是真正为学生将来负责的教学。
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范文五：关于分数的解方程问题
考点分析
1、一个数比另?一个数多(少)百分之几 = 一个数比另?一个数多(少)的量?另一个数。
2、应该缴纳的?税款叫做应?纳税额，应纳税额与?各种收入的?比率叫做税?率，应纳税额 =
收入 × 税率
3、存入银行的?钱叫做本金?，取款时银行?除还给本金?外，另外付给的?钱叫做利息?，利息
占本金?的百分率叫?做利率。
4、利息=本金×利率×时间。
5、几折就是十?分之几，也就是百分?之几十。
6、商品现价 = 商品原价 × 折数。
典型例题
例1、(解决“求一个数比?另一个数多?百分之几”的实际问题?)
向阳客车厂?原计划生产?客车500?0辆，实际生产5?500辆。实际比计划?多生产百分?之几,
分析与解:要求“实际比计划?多生产百分?之几”，就是求实际?比计划多生?产的辆数占?计划产
量的?百分之几，把原计划产?量看作单位?“1”。两者之间的?关系可用线?段图表示。
计划产量
5000辆? 实际比计划?多的
实际产量
5500辆?
例2、(解决“求一个数比?另一个数少?百分之几”的实际问题?)
向阳客车厂?原计划生产?客车500?0辆，实际生产5?500辆。计划比实际?少生产百分?之几,
分析与解:要求“计划比实际?少生产百分?之几”，就是求计划?比实际少生?产的辆数占?实际产
量的?百分之几，把实际产量?看作单位“1”。两者之间的?关系可用线?段图表示。
计划产量
5000辆?
计划比实际?少的
实际产量
5500辆?
点评:想一想，在分数乘法?应用题中的?最基本的数?量关系式:“单位1 × 分率 = 分率
对应的?量”，如果和百分?数应用题结?合起来，求一种量比?另一种量多?(少)百
分之几，实际上就是?求分率。就用“多(少)的量 ? 单位1”。
例3、(难点突破)
一筐苹果比?一筐梨重2?0,，那么一筐梨?就比一筐苹?果轻20,
点评:在求一个数?比另一个数?多(少)百分之几的?百分数应用?题中，关键还是要?找准单
位“1”的量。从结论可以?得出“一个数比另?一个数多百?分之几，另一个数就?比一
个数少?百分之几。”这句话是错?的。为什么呢,把两个百分?之几比较一?下，就可
以得出?这两个百分?之几对应的?量是一个数?比另一个数?多的量或另?一个数比一?个数
少的量?，而这两种说?法是相同的?，也就表示的?是同一个量?;而单位“1”一个是
梨，一个是苹果?，所以这两个?百分之几是?不可能相等?的。
、(考点透视) 例4
一种电子产?品，原价每台5?000元，现在降低到?3000元?。降价百分之?几,
分析与解:降低到30?00元，即现价为3?000元，说明降低了?2000元?。求降价百分?之几，就是
求降低?的价格占原?价的百分之?几。
例5、(考点透视)
一项工程，原计划10?天完成，实际8天就?完成了任务?，实际每天比?原计划多修?百分之几,
1可以得到:原计划每天?完成这项工?程的;根据“实分析与解:根据“原计划10?天完成”，10
1际8天完?成”，可以得到:实际每天完?成这项工程?。用“实际比原计的?划每8
天多完?成的量 ? 原计划每天?完成的量”，就可以求出?实际每天多?修百分之几?。
点评:找准解决问?题的数量关?系式是解答?好这一题的?关键，题目中要求?的是每天完?成
的任务量?，而不能用1?0和8去求?，因为10和?8是工作时?间，在解答时容?易发生
错误?。
例6、(应纳税额的?计算方法)
益民五金公?司去年的营?业总额为4?00万元。如果按营业?额的3,缴纳营业税?，去年应缴
纳?营业税多少?万元,
”。 缴纳营业税?占营业分析与解:如果按营业?额的3,缴纳营业税?，是把营业额?看作单位“1
额的?
3,，即400万?元的3,。求一个数的?百分之几是?多少，也用乘法计?算。计算时可
将?百分数化成?分数或小数?来计算。
例7、(和应纳税额?有关的简单?实际问题)
王叔叔买了?一辆价值1?6000元?的摩托车。按规定，买摩托车要?缴纳10,的车辆购置?
税。王叔叔买这?辆摩托车一?共要花多少?钱,
分析与解:王叔叔买这?辆摩托车所?需的钱应包?含购买价和?10,的车辆购置?税两部分，而车辆
购置?税是占摩托?车购买价的?10,，可先算出要?缴纳的车辆?购置税。也可以这样?
想:车辆购置税?占购买价的?10,，把购买价看?作单位“1”，王叔叔买这?辆摩托
车所?需的钱相当?于购买价的?(1 + 10,)，即求160?00元的1?10,是多少，也用乘
法计?算。
例8、扬州某风景?区2007?年“十一”黄金周接待?游客9万人?次，门票收入达?270
万元。按门票的5?,缴纳营业税?计算，“十一”黄金周期间?应缴纳营业?税0.45万元。
分析与解:营业税是按?门票的5,缴纳，是占门票收?入的5,，而不是占游?客人数的5?,
例9、(解决税前利?息)李明把50?0元钱按三?年期整存整?取存入银行?，到期后应得?利息多
少元?,
存期(整存整取) 年利率
一年 3.87,
二年 4.50,
三年 5.22,
分析与解:根据储蓄年?利率表，三年定期年?利率5.22,。
例10、(解决税后利?息)
根据国家税?法规定，个人在银行?存款所得的?利息要按5?,的税率缴纳?利息税。例1
中纳税?后李明实得?利息多少元?,
分析与解:从应得利息?中扣除利息?税剩下的就?是实得利息?。
税后实得利?息 = 本金 × 利率 × 时间 ×(1 - 5,)
例11、方明将15?00元存入?银行，定期二年，年利率是4?.50,。两年后方明?取款时要按
?5,缴纳 利息税，到期后方明?实得利息多?少元,
点评:求利率根据?实际情况有?时要扣掉利?息税，根据国家规?定利息税的?税率是5,，所
以利息分?税前利息和?税后利息，在做题时要?注意区分。但也有一些?是不需要缴?
利息税的，比如:国家建设债?券、教育储蓄等?。
例12、(求折扣)一本书现价?6.4元，比原价便宜?1.6元。这本书是打?几折出售的?, 分析与解:打了几折是?求实际售价?是原价的百?分之几，只要用实际?售价除以原?价。 例5、(已知折扣求?原价)
“国庆”商场促销，一套西服打?八五折出售?是1020?元，这套西服原?价多少元,
分析与解:打八五折出?售，即实际售价?相当于原价?的85,。已知原价的?85,是1020?元， 例7、(折上折)
一批电冰箱?，原来每台售?价2000?元，现促销打九?折出售，有一顾客购?买时，要求再打九?折，如果能够成?交，售价是多少?元,
例8、(考点透视)
商店以40?元的价钱卖?出一件商品?，亏了20,。这件商品原?价多少元，亏了多少元?,
分析与解:以40元的?价钱卖出，说明实际售?价是40元?;亏了20,，即亏了原价?的
20,，因此实际售?价相当于原?价的(1 - 20,)。
例9、(考点透视)
某商店同时?卖出两件商?品，每件各得3?0元，其中一件盈?利20,，另一件亏本?20,。这个商店卖?出这两件商?品总体上是?盈利还是亏?本,具体是多少?, 分析与解:盈利20,，即售出价是?成本价的(1 + 20,);亏本20,，即售出价是?成本
价的(1 - 20,)。两件商品的?售出价都是?30元，可分别算出?两件商品的?
成本价。
例1、(列方程解答?和倍问题)
一根绳子长?48米，截成甲、乙两段，其中乙绳长?度是甲绳的?60,。甲、乙两绳各长?多
少米,
分析与解:乙绳长度是?甲绳的60?,，把甲绳长度?看作单位“1”。
,米
甲绳
?
( )米 ? 48米
乙绳
乙绳是甲绳?的60,
等量关系式?:甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度
例2、(列方程解答?差倍问题)
体育馆内排?球的个数是?篮球的75?,，篮球比排球?多6个。篮球和排球?各有多少个?, 分析与解:排球的个数?是篮球的7?5,，是把篮球个?数看作单位?“1”。
,个
篮球
?
()个 ?多6个
排球
排球的个数?是篮球的7?5,
等量关系式?:篮球 – 排球 = 6个
点评:在列方程解?答和倍、差倍问题的?题目时，要注意找准?单位“1”的量，通常情况下
?设单位“1”的量为,，再用另一个?量和单位“1”之间的关系?，用含有,的?式子表
示出?另一个量，最后根据它?们的和或差?列出方程。
例3、六年级男生?比女生少4?0人，六年级女生?人数相当于?男生人数的?140,，六年级男
生?有多少人,
点评:要记住找单?位“1”的量时候，首先要去找?分率(百分率)，因为没有分?率就没有单?位“1”的量，就不能看到?“比”，而“比”后面的那个?量就是单位?“1”的量。 例4、(列方程解决?“已知比一个?数少百分之?几的数是多?少，求这个数”的百分数实?
际问题)
白兔有36?只，比灰兔少2?0,。灰兔有多少?只,
分析与解:白兔比灰兔?少20,，把灰兔看作?单位“1”。
?只
灰兔
?
36只 ?
白兔
比灰兔少2?0,
等量关系式?:灰兔的只数? – 白兔比灰兔?少的只数 = 白兔的只数? 例5、(列方程解决?“已知比一个?数多百分之?几的数是多?少，求这个数”的百分数实?
际问题)
白兔有48?只，比灰兔多2?0,。灰兔有多少?只,
分析与解:白兔比灰兔?多20,，把灰兔看作?单位“1”。
?只
灰兔
?比灰兔多2?0 ,
?
白兔
48只
等量关系式?:灰兔的只数? + 白兔比灰兔?多的只数 = 白兔的只数?
的量。在解题时同?样要注意找?准单位“1”的点评:和前面例题?一样，都是去求单?位“1”
量，看问题求什?么，确定用什么?方法计算。
例6、(难点突破)
某商品如果?按现价18?元出售，则亏了25?,，原来成本是?多少元,如果想盈利?25,，应按多少元?出售该商品?,
分析与解:不管是亏2?5,，还是盈利2?5,，单位“1”都是这件商?品的成本。所以要先
求?这件商品的?成本。18元亏2?5,，说明18元?比成本少2?5,，即是成本的?
(1 - 25,)。盈利25,，说明盈利的?是原来成本?的25,，实际售价是?原来
成本的?(1 + 25,)。
点评:通常情况下?，商品的盈利?和亏损都是?以成本作单?位“1”的 。解答这道题?目的关键
是?确定好单位?“1”，这也是解百?分数应用题?时最重要的?。
例7、(考点透视)
第一次运进?总量的22?,，第二次运进?1.5吨，两次共运水果批发部?要运进一批?水果，
进?这批水果的?62,，这批水果一?共有多少吨?,
分析与解:根据题意可?以画出下面?的线段图:
62,
第一次22?, 1.5吨
“1”? 吨
从图中可以?看出:两次一共运?的吨数 - 第一次运的?吨数 = 1.5吨，单位“1”的量是这批?水果的总吨?数，设这批水果?一共有,吨?，那么两次一?共运了62?,,吨，第一次运进?了22,,吨。
点评:在解答稍复?杂的百分数?应用题时，要学会画线?段图，它的好处是?:使题目的条?件变
得简洁?，找数量关系?式时更加容?易、方便。画图的时候?，要先找准单?位“1”的量，用一根
线段?表示出单位?“1”的量之后，再去表示其?他的量。
转载请注明出处范文大全网 » 关于方程、方程组定义的几个问
