小陌123
范文一：初中数学比例线段
一、授课目的:
1,理解和应用比例的性质、
2，掌握平行线分线段成比例定理，并能熟练应用
二、授课内容:
知识考点:
本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。
精典例题:
x,y，zxyz【例1】已知，那么, 。 ,,,0x，y，z345
分析:此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解;二是利用方程的观
43点求解，将已知条件转化为，，代入所求式子即可得解;三是设“”值法求解，这种方法对x,zy,zk55
于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。
1答案: 3
ace2a,2c，e,2,,,变式1:已知，若，则, 。 b,2d，f,3,0bdf3b,2d，f,3
2x,y，3z变式2:已知，求的值。 x:y:z,2:1:3x，2y
a，b,ca,b，cb，c,ak,,,变式3:已知，则的值为 。 kcba
2答案:(1);(2)3;(3)1或,2; 3
【例2】如图，在?ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AE,AF，EF的延长线交BC的延长线于点D。求证:CD?BD,CF?BE。
分析:在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF?BE，为了变换比CF?BE，可以过点C作BE的平行线交ED于G，并设法证明CG,CF即可获证。
A
AAE
F
EE
FFBGGDC
BDBDCCG
例2图1 例2图2 例2图3
本例为了实现将比CF?BE转换成比CD?BD的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。
AEA
GAEFFEF
CBBDDCBCD
例2图4 变式1图 变式2图
AE1AF变式1:已知如图，D是?ABC的边BC的中点，且，求的值。 ,BE3FC
变式2:如图，BD?DC,5?3，E为AD的中点，求BE?EF的值。
1答案:(1);(2)13?3; 3
【例3】如图，在?ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。
(1)求证:DE?BC;
(2)如图，在?ABC中，DE?BC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问:M是否为BC的中点,
解析:(1)延长AM至Q，使MQ,MP
?BM,MC，?四边形BPCQ是平行四边形 A
?CD?BQ，BE?QC
DEADAPAE,, ? PDBPQEC
MCB ?DE?BC
(2)过B作BQ?CD交AM的延长线于Q
QADAPAE例3图 ,, ?DE?BC，? DBPQEC
APAE, ?，?BE?QC PQEC
?四边形BPCQ是平行四边形
?M是BC的中点
探索与创新:
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题:
三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如
BDAB图，?ABC中，AD是角平分线。求证:,。 DCAC
BDAB分析:要证,，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在DCAC
BDABB、D、C在同一条直线上，?ABD与?ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式,DCAC
中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE?AD交BA的延长线于E，从而得到BD、
BDABCD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AE,AC。 ,DCAC
证明:过C作CE?AD交BA的延长线于E
，1,，2,,E,,,，2,，3 CE?AD?E,?3 ,,,A,,，1,，E,,12
AE,AC ,3
BDABDCB CE?AD, ,DCAE问题图
BDAB ? ,DCAC
(1)上述证明过程中，用了哪些定理(写出两个定理即可);
(2)在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种,选出一个填入后面的括号内( )
?数形结合思想 ?转化思想 ?分类讨论思想
答案:?转化思想
(3)用三角形内角平分线性质定理解答问题:已知AD是?ABC中?BAC的角平分线，AB,5 cm，AC,4 cm，BC,7 cm，求BD的长。
35答案:cm 9
评注:本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练:
一、填空题:
2m,n1my1、若，则, ;若，且，则 , ，, ，,x:y:z,2:4:73x,y，2z,32xn3n
z, 。
x，yy，zx，z,,,k2、若，则, 。 kzxy
3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是 。
4、如图，在ABCD中，E为BC上一点，BE?EC,2?3，AE交BD于点F，则BF?FD, 。 ?
二、选择题:
1、已知如图，AB?CD，AD与BC相交于点O，则下列比例式中正确的是( )
ABOAOAOBABOBBCOB,,, A、 B、 C、 D、, CDADODBCCDOCADOD
A
ABADEDO
GFF
ECDBCCB
选择第1题图 填空第4题图 选择第2题图 2、如图，在?ABC中，AD,DF,FB，AE,EG,GC，FG,4，则( )
A、DE,1，BC,7 B、DE,2，BC,6
C、DE,3，BC,5 D、DE,2，BC,8 3、如图，BD、CE是?ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ?BC,( )
A、1?3 B、1?4 C、1?5 D、1?6
24、如图，?，，BC,4CD，若，则,( ) llAF,FBAE,kECk215
55A、 B、2 C、 D、4 32
AAGAl1
FDEDEKEQPl2DBCBCHCBF选择第4题图 选择第3题图 解答第1题图 三、解答题:
DK1、已知如图，AD,DE,EC，且AB?DF?EH，AH交DF于K，求的值。 KF
2、如图，?ABCD中，EF交AB的延长线于E，交BC于M，交AC于P，交AD于N，交CD的延长
线于F。求证:。 PE,PM,PF,PN
AFm3、如图，在?ABC中，AC,BC，F为底边AB上一点，(、,0)，取CF的中点D，连结,mnBFn
AD，并延长交BC于E。
BE(1)求的值; EC
(2)如果BE,2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系,并证明你的结论;
m(3)E点能否为BC的中点,如果能，求出相应的的值;如果不能，说明理由。 n
4、如图，已知梯形ABCD中，AD?BC，AB,DC,3，P为BC上一点，PE?AB交AC于E，PF?CD
交BD于F，设PE、PF的长分别为、，。那么当点P在BC边上移动时，的值是否变化,若变axbx,a，b
化，求出的范围;若不变，求出的值，并说明理由。 xx
EC
MCB
ADEDPEFDAN
AFBFPCB解答第2题图 解答第3题图 解答第4题图
跟踪训练参考答案 一、填空题:
231、，4，8，14;2、2或,1;3、或或12等;4、2?5; 3232二、选择题:CBBB
三、解答题:
11、; 3
PEPN2、证明即可; ,PFPM
BEm，n3、(1);(2)直线EF垂直平分AB;(3)E不能是BC的中点; ,ECn
4、的值不变化，为定值，。 xx,3
范文二：初中数学比例线段及比例性质
课 题 比例线段及比例性质
1(理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项
教学目标 2(掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例
3(培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题,
重点、难点 重点是比例线段的概念及基本性质的应用;难点是应用比例的基本性质进行比例变形,
1(理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项 考点及考试要求 2(掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例
教学内容
【知识点讲解】
一、比例线段
1.线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。
2.成比例线段:在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段(
3.比例的项:已知四条线段,，,，;，,，如果 ，那么,，,，;，,，叫做组成比例的项，线段,，d叫做比例外项，线段,，;叫做比例内项，线段,还叫做,，,，;的第四比例项(
4.比例中项:如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或 ，那么线段,叫做线段,和;的比例中项(
二、比例的性质:
(1)比例的基本性质:
(2)反比性质:
(3)更比性质: 或
(4)合比性质:
(5)等比性质: 且
【例题讲解】
例,、判断下列四条线段是否成比例,
? a=2，b=,c=，d=; 51523
? a=，b=3, c=2，d=; 32
? a=4，b=6, c=5，d=10;
? a=12，b=8, c=15，d=10,
例2、已知:ad=bc,
(1) 将其改写成比例式;
(2) 写出所有以a，d为内项的比例式;
(3) 写出使b作为第四项比例项的比例式;
ab(4)若,;写出以c作第四比例项的比例式; cd
例3 、计算.
(1)已知:x?y=5?4，y?z=3?7.求x?y?z. (2)已知:a，b，c为三角形三边长，(a-c) ?(c+b) ?(c-d)=2?7?(-1)，周长为24.求三边长.
例4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么，古塔的高是多么米?
ABBE例5、，AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E为BC中点.求EF，BF的长. ,ADEF
2x-3y1y例6.(1)已知:x:(x+1)=(1—x):3，求x。 (2)若 = ，求 。 x+y2x
a，b6aa,by22(3) 若 , ，求 ， (4)若x-3xy+2y=0,求 b5bbx
例7(将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。
(1) (2) (3)
234ace，,ace2ac,例8:若，求， ,,,bd,234bdf，,bdf5
练习:已知:, 求的值.
y+zz+xx+y例9: = = =k,求k的值 xyz
例10:若三边，三边上的高分别为，求的值。 h、h、hh:h:h,ABCa:b:c,6:4:3123123
例11:已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离(图距)是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B的实际距离是多少呢?比例尺是多少,
例12:操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，
此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生,
【课后反思】
【课后练习】
1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。
2、若 , 求 的值。
3、已 知 ,求 的值。
4、已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。
5、已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm，求 MN的长
范文三：初中数学竞赛——比例线段初步
初二数学联赛班
第4讲 比例线段初步
八年级
知识总结归纳
一. 平行线分线段成比例定理：
如下图，如果l 1∥l 2∥l 3，则
BC EF AB DE AB AC
，，． ===
AC DF AC DF DE DF
A B C
D E F
l 1l 2l 3
二. 平行线分线段成比例定理的推论：
如图，在三角形中，如果DE ∥BC ，则
AD AE DE
==
AB AC BC
A
D B
E
C
C
三. 平行的判定定理：
如上图，如果有
四. 两个常见模型：
AD AE
，那么DE ∥BC ． =
AB AC
BD EG
． =
DC FG
G 点，如图，已知直线EF ∥BC ，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、则F 、
A
F
C
G
E
D
D
C
思维的发掘 能力的飞跃
1
八年级
典型例题
一. 比例式的计算
【例1】 已知
【例2】 已知
A ．
初二数学联赛班
a 3b a +b
（2）的值． =，求（1）；a b b 5
b 5a -b
的值是（ ） =，则
a +b a 13
2394
B ． C ． D ． 3249
ab +b 2a
(a -b ) =7：3，求（1）；【例3】 已知(a +b ) ：（2）2．
b a +b 2
【例4】 已知
3x -y +2z x y z
=______；(4x +5y ) =______．) y ：4=，那么若(x +2y 那么(3x -2y ) ： ==，
2x +3y 425
二. 基础训练
b 、C 、E 、B 、D 、F ．【例5】 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、若AC =4，n 分别与a 、c 交于A 、
CE =6，BD =3，则BF =_______．
FB =2：5，BC ：CD =4：1，则AE ：EC =_______． 【例6】 如图，l 1∥l 2，AF ：
B F
a
b
c
B
G A E
l 1
C D
l 2
2
思维的发掘 能力的飞跃
初二数学联赛班
A
八年级
【例7】 如图，DE ∥BC ，且DB =AE ，若AB =5，AC =10，求AE 的长．
D
B
C
【例8】 证明下列各组问题，并对各组的两个图形进行比较：
（1）如图，已知直线EF ∥BC ，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，求证：
D
F
C
D
C
BD EG
． =
DC FG
E
（2）如图，已知DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：AD 2=AF ?AB ．
【例9】 如图，已知△ABC ，作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，连CD 、BE 交于点F ．
求证：（1）
C
DF AD BD EF
=+=1． ；（2）CF AB AB BF
E C
C
D
A
E
思维的发掘 能力的飞跃
3
八年级
初二数学联赛班
【例10】 如图，已知AD 为△ABC 的BC 边上的中线，P 为线段BD 上一点，过点P 作AD 的平行线交
AB 于Q ，交CA 的延长线于R ．求证：PQ +PR =2AD ．
【例11】 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足
为F ．证明：
P
D
C
A R
111． +=
AB CD EF
C
A
E
B
F
D
CD =9，过对角线交点O 作EF ∥CD 交【例12】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ， AB =12，
AD ，BC 于E ，F ，求EF 的长．
D E
F
A
B
三. 巩固提高
【例13】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，BC =9，AB =6，CD =4，若EF ∥BC ，且梯
形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．
A
D
B
F C
4
思维的发掘 能力的飞跃
初二数学联赛班
11
结OF ．若AD =CD ，AE =BE ．求证：OF ∥BC ．
22
A
D
八年级
【例14】 如图，在△ABC 中，D 、E 为AC 、AB 上的点，BD 、CE 相交于O ，取AB 的中点F ，连
C
【例15】 如图，□ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F ，EO 的
延长线交AB 于G ，求证：
【例16】 在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于．O ．，直线l ∥BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC
的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ?PN =PR ?PS ．
AB AD
-=2． DF DE
E
C
A
D
l
M N P R S
思维的发掘 能力的飞跃
5
八年级
交EF 于G ．求证：EG =GF ．
初二数学联赛班
【例17】 已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD ∥EF ，AC 的延长线
B
E
D
G F
【例18】 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF ∥AB ，分别交AD 、BC 于E 、F ，
又过O 作GH ∥BC ，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP =OQ ，求证：平行四边形ABCD 是菱形．
【例19】 已知：P 为△ABC 的中位线上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，
求证：
AD AE
+=1 DC EB
A E M
P
B
D N
C
6
思维的发掘 能力的飞跃
初二数学联赛班
八年级
思维飞跃
【例20】 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD 90，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC
交BD 延长线于点F ，，连接E 、F ．证明：EF ∥CD ．
9. 如图， 在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形△ABC 、△ADE 、△AFG ，且G 、A 、B 都在
直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长．
E G
A
B
l
C F E
10. 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、CA 、AB 的中点，过A 任作一直线DE 、FD 分别交于G 、
H ，求证：CG ∥BH ．
A
B
P H
C E
10
思维的发掘 能力的飞跃
范文四：初中数学比例线段黄金分割
课 题 比例线段 黄金分割 相似三角形
掌握比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行教学目标 线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割
重点:比例的性质，三角形一边平行线的性质及判定定理， 重点、难点 难点:比例的基本性质
1(理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和，会用它们进行简
考点及考试要求 单的比例变形;
2(理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理
教学内容 知识点回顾及归纳:
一(比例线段的性质:
(1)两个外项的积等于两个内项的积:
ac 如果 ， 那么ad=bc; ,bd
(2) 比例的合比性质:
acabcd，，如果，那么; ,,bdbd
(3)比例的等比性质:
acacac，如果，那么。 ,,k,,,kbdbdbd，
二(比例内项，比例外项，比例中项的定义
三(黄金分割的定义
四(三角形一边平行线的性质定理:
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例.
三角形一边的平行线性质定理的推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
五(三角形一边平行线的判定定理:
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理的推论:
如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直
线平行于三角形的第三边。
平行线分线段成比例定理 :
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
推论:
两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
六(三角形重心的定义:
1
证(解)题规律、辅助线
1(“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2(找相似找不到，找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。
amcmm? ,,,(为中间比)bndnn
amcm'? ,,,,n,n'bndn
''amcmmm''?,,m,mn,n或, ,(,)''bndnnn
3(添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4(对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
5(对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。
例题分析:
例1:如图 4,85( AB?于l. CD?l于 C,E为 AD中点(求证:?EBC是等腰三角形(
例2:如图4,86，CB?AB，DA?AB，M为CD中点(求证:?MAB,?MBA(
2
234ace，,ace2ac,例3:若，求， ,,,bd,234bdf，,bdf5
y+zz+xx+y例4: = = =k,求k的值 xyz
例5:已知点C是线段AB的黄金分割点AC,2，且AC,BC，求线段AB与BC的长
例6:若三边，三边上的高分别为，求的值。 h、h、hh:h:h,ABCa:b:c,6:4:3123123
自我检测
一、填空题
x，y3xx1.(1)若5x-7y = 0,则=______. (2)已知,,那么=______. y7yy
xyADAExy，2(3)若，则 . (3)若且AD=3,AB=8,AC=6,则AE=_____. ,,,,ABAC23xy,
2. 若线段AB=0.1, CD=0.75, 则AB?CD= ;若AB=1m, CD=25cm，则AB?CD
= ;若线段AB=m, CD=n，则AB?CD= .
3(若MN?PQ=4?7，则PQ?MN= , MN= PQ, PQ= MN. 4(如图，C是线段AB的中点，D在BC上，且AB=24cm，
BADCBD=5cm, 则AC?CB= ;AC?AB= ;
BC?BD= ;CD?AB= ;AD?CD= .
5(若ab=cd，则有a?d= ;若m?x=n?y, 则x?y= . 6. 已知1、、2、x成比例线段，则x= ; 3
7. 若x:y:z=2:7:5，且x-2y+3z=6，则x= ，y= ，z= ;
xyzx+yy+3z8.设 = = ，则 =__ _， =__ __. 357y3y-2z
3
9.如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,则x=_____,y=_____,α=______.
4 0 0 x 1201205 8 0 30 0 α1306
0 130y
10.甲、乙两地的实际距离20千米，则在比例尺为 1?1000000 的地图上两地间的距离应为,,,,厘米。
二( 选择题
ac1.若互不相等的四条线段的长a,b,c,d满足 , ，m为任意实数，则下列各式中，相等关系一定成立的是( ) bd
a，mc，ma，bc，da,bc,dad(A) , (B) , (C) , (D) , bccbb，md，ma，bc，d
A2.如图，DF?AC,DE?BC,下列各式中正确的是( )
ADBFAECEAEBDADAB(A) = (B) = (C) = (D) = BDCFDEBCCECDDEBCDE
三.解答题:
a,4b2a,b1.已知=，求的值. Ba33a，bCF
2.已知有三条长分别为3cm，6cm，9cm的线段，请你再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
3.如图，已知梯形ABCD中，AD?BC,AC,BD交于O，过O作AD的平行线交AB于M，交CD于N，若AD=3cm，BC=5cm,求ON.
D A
MN
O
BC
4.已知:如图20?ABCD中E为AD的中点，AF:AB=1:6，EF与AC交于M。
求:AM:AC。
4
5.已知:E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN?AE，求证:MN=MB
5
范文五：初中数学竞赛：圆中的比例线段
初中数学竞赛:圆中的比例线段
圆中的比例线段问题, 一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题. 下 面先介绍一下圆幂定理,然后举几个例题,供同学们思考.
例 1 (交弦定理 ) 圆内两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.
如图 3-65,⊙ O 中两弦 AB , CD 相交于 P 点.求证:
PA ·PB=PC·PD .
PC=∠ DPB , ∠ C=∠ B .最后的条件,只要连结 AC , BD 即可满足,因此命题得证.
证法 2证法 1是通常的想法,实际上,本题若换个想法:证明 PA ·PB 为一定值,则可 用勾股定理证明.为此作 OE ⊥ AB 于 E ,连 OA ,且过 P 作直径 GH(图 3-66) ,则
AP ·PB=(AE-PE)(AE+PE)
=AE2-PE 2
=(OA2-OE 2)-(OP2-OE 2)
=OA2-OE 2-OP 2+OE2
=OA2-OP 2
=(OA+OP)(OA-OP)
=PH·PG(定值 ) .
同理, CP ·DP=PH·PG(定值 ) .所以
PA ·PB=PC·PD .
推论 弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项.
如图 3-67, AB 是⊙ O 的直径,弦 CD ⊥ AB 于 P .求证:PC 2=PA·PB .
证明留给读者.
例 2(切割线定理 ) 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是点到割线与圆的两个交点 的两条线段的比例中项.
如图 3-68, PC 切⊙ O 于 C ,割线交⊙ O 于 A , B .求证:PC 2=PA·PB .
△ PCA ∽△ PBC , ①
为此,只须连结 AC , BC ,则有
∠ ACP=∠ CBP ,∠ P=∠ P ,
故①成立.
证法 1请读者写出.
证法 2仿例 1之证法 2的方法,利用勾股定理证明本题.
作 OH ⊥ AB 于 H , 连 OA , OP , OC(图 3-69) . 因为 PC 切圆 O 于 C , 所以△ PCO 中, ∠ C=90°, 所以
PC 2=PO2-OC 2=(PH2+OH2)-OA 2
=PH2+OA2-AH 2-OA 2=PH2-AH 2
=(PH+AH)·(PH-AH)=PB·PA .
推论从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
图 3-70中, PAB , PCD 是⊙ O 的两条割线.求证:
PA ·PB=PC·PD .
证明由例 2可直接推出.
说明 例 1、 例 2及其推论统称圆幂定理.为什么叫圆幂定理呢?因为在例 1中 PA ·PB 是定值,它等于定点 P 分过此定点的直径的两线段的积;在例 2中, PA ·PB 也是定值,它 等于由圆外定点 P 所引圆的切线长的平方.例 1、例 2的定值称作定点到圆的幂,因此,例 1、例 2统称圆幂定理.
例 3 如图 3-71,⊙ O 内两弦 AB , CD 的延长线相交于圆外一点 E ,由 E 引 AD 的平行线 与直线 BC 交于 F ,作切线 FG , G 为切点,求证:EF=FG.
分析 由于 FG 切圆 O 于 G ,则有 FG 2=FB·FC ,因此,只要证明 FE 2=FB·FC 成立即可. 证 因为在△ BFE 与△ EFC 中有
∠ BEF=∠ A=∠ C ,
又 ∠BFE=∠ EFC ,
所以 FE 2=FB·FC .
又 FG 2=FB·FC ,所以
FE 2=FG2,
所以 FE=FG.
例 4 在图 3-72中,已知 CA , CB 是⊙ O 的两条切线, A , B 是切点, OC 交直线 AB 于 D , OF 垂直直线 CF 于 F ,交直线 AB 于 E .求证:OD ·OC=OE·OF=OA2.
证 因为 AC , BC 是⊙ O 的两条切线, A , B 为切点,所以 OC ⊥ AB 于 D .又因为 OF ⊥ CF 于 F ,所以
∠ CDE=∠ EFC=90°,
所以 D , C , F , E 四点共圆,所以
OD ·OC=OE·OF .
又在△ COA 中,∠ CAO=90°,所以
OA 2=OD·OC ,
所以 OD·OC=OE·OF=OA2.
例 5 如图 3-73,△ ABC 内接于圆 O ,∠ BAC 的平分线交⊙ O 于 D 点,交⊙ O 的切线 BE 于 F ,连结 BD , CD .求证:
(1)BD平分∠ CBE ;
(2)AB·BF=AF·DC .
分析 (1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出.
(2)由条件及 (1)的结论,可知 BD=CD,因此欲求 AB ·BF=AF·DC ,
证 (1)因为∠ CAD=∠ BAD=∠ FBD ,∠ CAD=∠ CBD ,所以
∠ CBD=∠ FBD ,
所以 BD 平分∠ CBE .
(2)在△ DBF 与△ BAF 中,因为
∠ FBD=∠ FAB ,∠ F=∠ F ,
AB ·BF=BD·AF .
又因为 BD=CD,所以
AB ·BF=CD·AF .
例 6 如图 3-74,四边形 ABCD 内接于圆,延长 AB 和 CD 相交于 E ,延长 AD 和 BC 相交 于 F , EP 和 FQ 分别切圆 O 于 P , Q .求证:EP 2+FQ2=EF2.
分析 本例有两条切线,因此,可由切割线定理着手思考.证过 B , C , E 作圆 O 1,设⊙ O 1交 EF 于 G ,连结 CG .因为
∠ FDC=∠ ABC=∠ CGE ,
所以 F , D , C , G 四点共圆,所以
EG ·EF=EC·ED , ①
FG ·EF=FC·BF . ②
① +②得
EF 2=EC·ED+FC·BF .
又因为 EP , FQ 为⊙ O 的切线,所以
EC ·ED=EB·EA=EP2,
FC ·FB=FD·FA=FQ2,
所以 EF2=EP2+FQ2.
【练习】
1.已知⊙ O 外一点 P , PA 是⊙ O 的切线,切点为 A ,引割线 PBD 交⊙ O 于 B , D ,过 D 引 直线 DE ∥ PA 交⊙ O 于 E ,直线 BC 交⊙ O 于 M 点,求证:AM=PM.
2.如图 3-75. AD 是⊙ O 的切线, D 是切点, ABC 是割线, DE ⊥ AO 于 E .
(1)求证:AD 2=AE·AO ; (2)求证:∠ AEB=∠ C .
3.如图 3-76.在⊙ O 中,弦 AB ⊥ QO 于 D , AQ 交圆 O 于 C ,连结 BC 交 QO 于 P ,求证: OA 2=OP·OQ .
4.如图 3-77.四边形 ABNM 内接于圆 O , BA 和 NM 的延长线相交于 P 点,求证: AM ·BM ·PN=AN·BN ·PM .
5.如图 3-78. AD 是△ ABC 的高, AE 是△ ABC 外接圆直径,求证:AB ·AC=AE·AD .
6.如图 3-79.设 AB 为半圆直径,弦 AC 和 BD 交于 E ,求证:AB 2=AE·AC+BE·BD . (提示:作 EF ⊥ AB 于 F .
)
