鱼面小肥鱼
范文一：常用导数公式与积分公式重编正态总体的样本均值与样本方差的分布
常用导数公式与积分公式重编
导数公式 函数 积分公式
n，1xnn,1nn, ()xnx, ,，,, 1xxdxCn，，,，1n
xaxxxx, ()lnaaa, aadxC,，,lna1, x,(log)logxaaxaln
xxxxx edxeC,，, ()ee, e,11, (ln)x,dxxC,，lnlnx ,xx
, sincosxdxxC,,，(sin)cosxx,sinx ,
, cossinxdxxC,，(cos)sinxx,, cosx,2 tanlncosxdxxC,,，,tanx (tan)secxx,,2 cotlnsinxdxxC,，cotx , (cot)cscxx,,,
seclnsectanxdxxxC,，，,
12, secx(sec)sectanxxx,dxxdxxC,,，sectan 2,,cosx
sectansecxxdxxC,， ,
x csclncsccotlntanxdxxxCC,,，,，,2
12, cscx(csc)csccotxxx,,dxxdxxC,,,，csccot 2,,sinx
csccotcscxxdxxC,,， ,11, (arcsin)x,dxxC,，arcsinarcsinx ,221,x1,x1, (arccos)x,,arccosx 21,x
11,(arctan)x,dxxC,，arctan arctanx 22,1，x1，x1,(arccot)x,, arccotx 21，x
111x dxC,，arctan2222,xa，xaaa，111xa, dxC,，ln2222,xa,xaaxa,，2
1122 dxxxaC,，,，ln,2222xa,xa,
1x1 dxC,，arcsin,2222aax,ax,
2ax22222222 xadxxxaxaC,,,，,，,，ln xa,,22
2axx222222 axdxaxC,,，,，arcsin ax,,22a
正态总体的样本均值与样本方差的分布
1、单个正态总体
nn11222X设是来自总体的简单随机样本，与分XNXXX ？(,),,,,,,XX,SXX,,(),,nii12nn,1,,1i1i
2别为相应的样本均值与样本方差，则:(1)与S相互独立 X
,XnX,,(),,,~(1)tn,,SSn/,2X,,,,用替代S,XNN~(,)~(0,1),,,,,,(2) ,,(未知),nn/,,22,,XnX,,(),,,,,~(1,1)Fn,,2,SSn/,,,
22nnn,,XXX,,,1,,用替代,X222ii ()()(1)Xnn,,,,,,,,(3),,, ,,,,,i,,(未知)2,,,,,,,,,iii111,,
2、两个正态总体
22XXX,,,？YYY,,,？设与分别是来自正态总体与的简单随机样本，且这两个样N(,),,N(,),,121n122n2211
22XXX,,,？YYY,,,？本相互独立(与相互独立)，定义:与分别为相应的样本均值与样本SS,XY,，，，，121n122nXY222,,222nSnSnnS,，,，,112，，，，，，,,,,,XYXY12122212,方差，是联合样本方差，则: SWnn~(2),,,,,,,，,,,XY122nn2，,,12,,
22XY,,,,,，，222,,，，,,12,,,,,1212XYNTtnn,,，,,,,,,，,~,~(2),,(1)样本均值差的抽样分布: ,,1212nn1112,,S，XYnn12
22S/,X1,,,(2)样本方差比的抽样分布: FFnn~(1,1)1222S/,Y2
范文二：常用导数公式与积分公式重编·正态总体的样本均值与样本方差的分布
常用导数公式与积分公式重编
导数公式 函数 积分公式
n，1xnn,1nn, ()xnx,,，,, 1 xdxCnx ，，,，1n
xaxxxx, ()lnaaa, adxC,，a ,lna1 ,logx x,(log)aaxaln
xxxxxedxeC,， , ()ee,e ,11, (ln)x,dxxC,，ln lnx,xx
,sincosxdxxC,,，(sin)cosxx, sinx ,
, cossinxdxxC,，(cos)sinxx,,cosx ,2tanlncosxdxxC,,， tanx, (tan)secxx,,2cotlnsinxdxxC,， ,cotx (cot)cscxx,,,
seclnsectanxdxxxC,，， ,
12, secx(sec)sectanxxx, dxxdxxC,,，sectan,,2cosx
sectansecxxdxxC,， ,
x csclncsccotlntanxdxxxCC,,，,，,2
12, (csc)csccotxxx,,cscx dxxdxxC,,,，csccot,,2sinx
csccotcscxxdxxC,,， ,11, (arcsin)x,dxxC,，arcsinarcsinx ,221,x1,x1, (arccos)x,, arccosx 21,x
11, arctanx(arctan)x,dxxC,，arctan22,1，x1，x1, arccotx (arccot)x,,21，x
111x dxC,，arctan2222,xa，xaaa，
11xa,1 dxC,，ln 22,22xaaxa,，2xa,
1122 dxxxaC,，,，ln,2222xa,xa,
11x dxC,，arcsin,2222aax,ax,
2ax22222222xadxxxaxaC,,,，,，,，ln xa,,22
2axx222222axdxaxC,,，,，arcsin ax,,22a
正态总体的样本均值与样本方差的分布
1、单个正态总体
nn11222XX,SXX,,X设是来自总体的简单随机样本，与()分XNXXX(,),,,,,,,,ini12nn,1,,1i1i
2XS别为相应的样本均值与样本方差，则:(1)与相互独立
,XnX,,,,(),,,~(1)tnSSn/,2X,,,,用替代S,,,,,,,XNN~(,)~(0,1)(2) ,,(未知),nn/,,22,,XnX,,(),,,,,~(1,1)Fn,,2,SSn/,,,
22nnn,,XXX,,,1,,用替代,X222ii(3) ()()(1)Xnn,,,,,,,,,,,,,,,,i,,(未知)2,,,,,,,,,iii111,,
2、两个正态总体
22设与分别是来自正态总体与的简单随机样本，且这两个样XXX,,,N(,),,YYY,,,N(,),,121n122n1122
22XXX,,,YYY,,,本相互独立(与相互独立)，定义:与分别为相应的样本均值与样本SS,XY,，，，，121n122nXY222,,222nSnSnnS,，,，,112，，，，，，,,,,,XYXY12122212,方差，是联合样本方差，则: SWnn,,,,,,,，,~(2),,XY122nn，,2,12,,
22XY,,,,,，，222,,，，,,12,,,,,1212(1)样本均值差的抽样分布: XYNTtnn,,，,,,,,,，,~,~(2),,,,1212nn1112,,S，XYnn12
22S/,X1(2)样本方差比的抽样分布: ,,,FFnn~(1,1)1222S/,Y2
范文三：样本方差与总体方差6则
以下是网友分享的关于样本方差与总体方差的资料6篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
用样本方差估计总体方差(1)
课题 用样本方差估计总体方差
教学目标:理解方差和标准差的意义，会求样本方差和标准差。
教学重点:理解用样本估计总体方差的思想方法。
教学难点:理解用样本估计总体方差的思想方法。
教学过程:
一、 设置情景:
看一个问题:甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下:
二、进行新课:
1、方差和标准差计算公式:
1
样本方差:s2=
样本标准差:s= 1
n～1n〔(x1—x),+(x2—x)2+…+(xn—x)2〕 [(x1～x),(x2～x), ,(xn～x)] 2～2～2
方差和标准差的意义:描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。一般的计算器都有这个键。
例1、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是:先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此
x甲?
x乙?
s甲?
s乙?
说明:总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。
三、练习:
根据以上数据，说明哪个波动小,
四、小结
五、布置作业:
六、板书设计(略)
2
正态总体样本均值与方差的分布和性质(2)
4. 正态总体样本均值与方差的分布和性质 (1) 一个正态
总体
X ~ N (μ,σ 2 ) E( X ) = μ, 设 D( X ) = σ 2
ch6-44
X 1 , X 2 , L , X n 是总体 X 的一个简单随机样本
则
X ~ N (μ ,
σ2
n
n
)
X μ
σ
~ N (0,1)
n
(n 1) S
2
2
且
σ ( n 1) S 2
3
Xi X = ? ~ χ 2 (n 1) σ i =1
2
σ
2
与 X 相互独立
4
ch6-45
X μ
σ
n = X μ ~ T ( n 1) S S σ n
nB2 Xi X = ? σ i =1
n
σ2
~ χ 2 (n 1)
2
Xi μ 2 ? σ ~ χ (n ) i =1
n 2
5
(2) 两个正态总体的情形 设 X 1 , X 2 , L , X n 是来自正态总体 X ~ N ( μ1 , σ 12 ) 的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , L , Ym 是来自正态总体 Y ~ N ( μ 2 , σ 22 )
ch6-46
的一个简单随机样本 它们相互独立. 1 m 1 n Y = ?Yj 令 X = ? Xi n i=1 m j =1 1 n 1 m 2 2 2 S1 = ( X i X ) S 22 = ? ?
(Y j Y ) n 1 i=1 m 1 j =1
6
则
ch6-47
(n 1)S
σ
S12 S
2 2
2 1
2 1
~ χ (n 1)
2
(m 1)S
σ
2 2
2 2
~ χ (m 1)
2
σ 12 σ 22
~ F ( n 1, m 1)
若 σ1 = σ 2
2 1 2 2
则
S ~ F (n 1, m 1) S
7
8
ch6-48
设 X 1 , X 2 , L , X n 是来自正态总体
X ~ N ( μ1 , σ 2 )
的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , L , Ym 是来自正态总体
Y ~ N (μ2 ,σ 2 )
的一个简单随机样本 它们相互独立.
9
ch6-49
则
1 n σ2 X = ? X i ~ N ( μ1 , ) n i =1 n 1 m σ2 Y = ?Y j ~ N
(μ2 , ) m j =1 m
X Y ~ N ( μ1 μ 2 ,
σ2 σ2
n + m
)
( X Y ) ( μ1 μ 2 )
σ2
n
+
σ2
m
~ N (0,1)
10
ch6-50
(n 1) S
σ σ
2 1
2
~ χ (n 1)
2
(m 1) S 22
2
~ χ (m 1)
2
(n 1) S
σ
2 1
2
+
(m 1) S
σ
σ
2 2
2
~ χ ( n + m 2)
11
2
X Y 与
(n 1) S
2
2 1
+
(m 1) S
σ
2 2
2
相互独立
12
( X Y ) ( μ1 μ 2 )
ch6-51
σ2
n ( n 1) S12
+ +
σ2
σ
m ( m 1) S 22
2
n+m2
σ2
( X Y ) ( μ1 μ 2 ) = ~ T (n + m 2) 2 2 1 1 (n 1) S1 + (m 1) S 2
+ n m n+m2
13
ch6-52
N ( 52 , 6 . 3 2 )中,随机地抽取一个容量为36的 例4. 在总体
样本,求样本均值
X 落在50.8到53.8之间的概率
解
故
P (50.8
6.32 X ~ N (52, ) 36
53.8 52 50.8 52 Φ =Φ 6.3 6.3 6 6
= Φ (1.7143) Φ (1.1429) = 0.9564 + 0.8729 = 0.8293.
14
ch6-53
例5. 设总体 X ~ N ( 72 ,100 ) ,为使样本均值大于70的
概率不小于90%, 则样本容量至少应为多少?
解 设样本容量为 n , 则
100 X ~ N (72, ) n P ( X > 70) = 1 P ( X ? 70)
70 72 = Φ (0.2 n ) = 1Φ 10 n
故
15
令 得 即 取
Φ (0.2 n ) ? 0.9
0.2 n ? 1.29
n ? 41.6025 n = 42
ch6-54
16
例6. 从正态总体 X ~ N ( μ , σ 2 ) 中，抽取了n = 20
的样本 X 1 , X 2 , L , X 20
ch6-55
1 20 2 2 2 (1) 求 P 0.37σ ? ? ( X i X ) ? 1.76σ 20 i =1 1 20 2
2 2 (2) 求 P 0.37σ ? ? ( X i μ ) ? 1.76σ 20 i =1
17
解 (1) 即 故
( n 1) S
2
ch6-56
σ
19 S 2
2
~ χ ( n 1)
2
σ
2
=
1
σ
2
? (X
20 i =1
i
X
)
2
~χ 2 (19)
18
1 20 2 2 P 0.37σ ? ? ( X i X ) ? 1.76σ 2 20 i=1
2 ? ( X i X ) ? 35.2
= P 7.4 2? σ i=1 1 20 ( )2 ? 1 20 ( )2 ? = P 2 ? X i X 7.4 P 2
? X i X 35.2 σ i=1 σ i=1
1
20
查表
= 0.99 0.01 = 0.98
19
(2) ? X i μ ~χ 2 (20)
20 2 i =1
ch6-57
σ
1 20 2 2 2 故 P 0.37σ ? ? ( X i μ ) ? 1.76σ 20 i =1 2 20 X i μ
? 35.2 = P 7.4 ? ? σ i =1
20 X i μ 2 20 X i μ 2 = P ? i =1 σ ? 7.4 P ? σ ? 35.2 i =1
= 0.995 0.025 = 0.97
20
ch6-58
例7. 设随机变量X 与Y 相互独立，X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) , X1, X2 ,…, X9 与Y1, Y2 ,…, Y16 分 别是取自X
与Y 的简单随机样本，求
X1 + X 2 + L + X 9 2 Y12 + Y22 + L + Y16
所服从的分布 解 X 1 + X 2 + L + X 9 ~ N (0,9 × 16)
1 ( X 1 + X 2 + L + X 9 ) ~ N (0,1) 3× 4
21
ch6-59
1 Yi ~ N (0,1) , i = 1,2,L,16 3
1 Y ~ χ 2 (16) ? 3 i i =1
16 2
1 X1 + X 2 + L + X 9 3 × 4 ( X1 + X 2 + L + X 9 ) = ~ T (16)
2 2 2 2 16 Y1 + Y2 + L + Y16 1Y ? 3 i i =1 16
22
例9. 设X 1 , X 2 , L , X n 是来自正态总体 N( μ,σ2)的 简单随机样本,
1 n S = ( X i X )2 , ? n 1 i =1 1 n S32 = ( X i μ )2 , ? n 1 i =1
2 1
ch6-60
X 是样本均值,
1 n S = ? ( X i X )2 , n i =1 1 n S 42 = ? ( X i μ ) 2 , n i =1
2 2
则服从自由度为 n - 1 的T 分布的随机变量为:
X μ ( A) n 1 S1 X μ ( C) n S3 X μ ( B) n 1 S2 X μ ( D) n S4
23
X μ
ch6-61
σ
~ N (0,1)
1
σ
( X i X ) 2 ~ χ 2 (n 1) 2 ?
i =1
n
n
X μ
σ
n 1
σ
2
?(X
i =1
n
=
i
n(n 1) ( X μ )
X)
24
2
?(Xi X )
i =1
n
2
~ T (n 1)
n 1
故应选(B)
25
ch6-62
作业 P 202 习题六
6 9 10 补充题
26
1. 总体X ~ N(μ,σ 2)(σ >0),从该总体中抽取 简单随机样本
ch6-63
X 1 , X 2 , L , X 2 n ( n ? 2)
其样本均值为
1 2n X = ? Xi 2n i =1
求统计量
Y = ? ( X i + X n +i 2 X )
i =1
n
2
的数学期望E(Y ).
27
2. 设总体 X ~ N (0,1) , X 1 , X 2 , L , X 6 为总体 X
ch6-64
Y 的样本, = ( X 1 + X 2 + X 3 ) 2 + ( X 4 + X 5 + X 6 ) 2 χ 2
分布. 试确定常数c 使cY 服从
28
总体方差(3)
总体方差(标准差)的估计
1. 样本方差及其无偏性
记总体X的方差σ2，即σ2=V(X)。还是从一组样本值x1，x2，……xn出发，去估计总体的方差。我们知道，总体方差刻划了总体这个随机变量取值的分散程度。因此，我们用:
1n
(xi-) ?n-1i=1
2
去估计σ2。
1n2
(x-称为样本方差，记作σ(σ称为样本标准差)。 ?i
n-1i=1
2
可以证明 E(s2)=σ2
上式表明，s2是σ2的无偏估计量。 2. 总体标准差的σ无偏估计不是s
在实际应用中，我们更关心总体标准差的估计。遗憾的是，一般来讲E(s)?σ。当总体是正态总体时，可以证明:
29
nΓ()2σ=c2*σ E(s)=
n-1Γ(n-1)
2
(Γ(t)=
(记c2=
*
nΓ()2) n-1Γ(n-1)
2
(4.25)
?
?
xt-1e-xdx)
我们取作s/c2*为σ的估计。由4.25式知，它是σ的无偏估计(c2*
的值，见表4.4;当n较大时c2*?1)。 3. 极差R 1)
极差的定义
设一组样本值是x1，x2，……xn，称这组数据的最大值跟最小值之差为极差，记作R，即:
极差R=max{x1，x2，……xn}-man{x1，x2，……xn}
我们看出x1，x2，……xn越分散，R就越大。因此极差R
30
也是体现样本分散度的一个量。 2)
R跟σ的关系
既然极差R也是体现样本分散程度的一个数量，可以设想R跟σ(刻划总体分散程度的一个值)应有某种关系。计算表明，当总体是正态分布时，有:
(E)(R)=d2σ，V(R)=(d3σ)2
d2、d3的值见表4.5。
表4.5
因此，我们用R/d2作为σ的估计量。
正态总体下样本均值与样本方差独立性的四种证明方法_张明峰(4)
2015年7月第25卷第4期榆林学院学报JOU,NALOFYULINUNIVE,SITYJuly(2015Vol(25No(4正态总体下样本均值与样本方差独立性的四种证明方法
12张明峰，周小双
(1(德州学院科技处，山东德州253023;2(德州学院数学科学学院，山东德州253023)
要:正态总体下样本均值与样本方差的独立性是数理统计学教学中的重要结论。从构造特殊正交
矩阵，利用随机向量的线性变换与随机向量的二次型相互
31
独立的条件，特征函数和矩母函数这四个方摘
证明了正态总体下样本均值与样本方差的独立性。面，
关键词:样本均值;样本方差;独立性;正态总体
中图分类号:O212文献标志码:A文章编号:1008,3871(2015)04,0038,
03
收稿日期:2014,12,12
基金项目:国家自然科学基金数学天元基金(11426057);山东省自然科学基金(Z,2012AL05)
作者简介:张明峰(1977—)，男，山东德州人，讲师，硕士，研究方向为非参数统计分析。E,mail:zmf0927@126(com
3结语
在本文中，我们给出了正态总体下样本均值与样本方差独立性的四种证明方法，其中方法一通过构造一
这也是一般概率论与数理统计教程中的常用方法(个特殊的正交矩阵来证明样本均值与样本方差的独立性，
方法二主要利用了随机向量的相关性质，基于正态总体下随机向量的线性变换和二次型相互独立的条件，将样本均值与样本方差分别表示成一随机向量的线性变换和二次型，进而证明了结论(特征函数在统计量的
(下转第56页)
32
,7,M,(北京:机械工业出版社，2012(李柏年，吴礼斌(MATLAB数据分析方法,
,8,EB/OL,((2014,05,20),2014,10,10,(ht-数学中国(第七届数学中国数学建模网络挑战赛A题,
tp://www(tzmcm(cn/(
,9,M,(北京:人民邮电出版社，2010(刘保柱，苏彦华，张宏林(MATLAB7(0从入门到精通,
,10,《运筹学》M,(北京:清华大学出版社，2005(教材编写组(运筹学,
,11,M,(合肥:中国科学技术大学出版社，2008(杨桂元，黄己立(数学建模,
(责任编辑:邵治亮)
The,esearchon,iskAssessmentModelOptimizationofLand,eserveProgram
YINJian1，ZHUJia,ming2
(1(BusinessInstitute，AnhuiUniversityofFinanceandEconomics，Bengbu233041，China;
2(InstituteofStatisticsandAppliedMathematics，AnhuiUniversityofFinanceandEconomics，Bengbu233000，China)Abstract:AimingattheproblemthattheriskforChineselandreservesislar
33
ger，
buttheevaluationstandardsys-temoflandreserveplanisnotperfect，
accordingtothedatafromareportofaprovinciallandreservecenter，
themathematicalmodelofcomprehensiveevaluationandregressionanalysisisestablished(Itisconcludedthatincreas-ingtheirexpectedyieldby0(2698unitsand1(0828unitlimit，
thebankapprovallimitwillreduceby0(0371u-nits(Atthesam
etime，
itisbettertoassesstheriskofthelandreserveprojectwhenestablis
hingindexsystemofthelimittoapplyforloans，
thebankapprovallimit，
expectedyieldandtheprojecttotalinvestmentestimation(Key
words:riskassessment;comprehensiveevaluationmethod;
coefficientofvariation;regressionanalysis;MAT-LAB
檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸
檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸(上接第40
页)
独立性证明中发挥着重要作用，方法三主要借助于特征函
数这一重要工具(类似于方法三，方法四利用了矩母函数证
明了样本均值与样本方差的独立性，几种方法的相互补充和
34
利用，可以极大的丰富数理统计学教学内容，从而提高教学质量。
参考文献:
,1,M,(北京:高等教育出版社，2008(魏宗舒(概率论与数理统计(第二版),
,2,M,(北京:高等教育出版社，1999(王松桂，陈敏，陈立萍(线性统计模型:线性回归与方差分析,
,3,J,(扬州师院学报(自然科学版)，1990，10(1):21,22(陈存根(数理统计中一个定理的证明,
,4,M,(北京:高等教育出版社，2004(峁诗松，程依明，濮晓龙(概率论与数理统计教程,
,5,M,(北京:中国统计出版社，2013(吴喜之(统计学:从数据到结论,
(责任编辑:邵治亮)
FourProofsofIndependenceofSampleMeanandSampleVari
ance
undertheNormalPopulation
ZHANGMing,feng1，ZHOUXiao,shuang2
(1(DepartmentofScienceandTechnology，DezhouUniversity，Dezhou253023，China;
2(SchoolofMathematicalSciences，DezhouUniversity，Dezhou253023，China)
35
Abstract:Theindependenceofsamplemeanandsamplevarianceunderthe
normalpopulationisaveryimportanttheoremintheteachingof
mathematicalstatistics(Inthispaper，wegivetheproofsoftheconclusionfromfouras-pects，includingtheconstructionofaspecialmatrix，conditionoftheindependenceofthequadraticformandthelinear
transformofanormalrandomvector，characteristicfunctionandmomentgeneratingfunction(
Keywords:samplemean;samplevariance;independence;normalpopulation
算法--样本方差、样本标准差、方差、标准方差与加权平均(5)
样本方差与样本标准差
1、定义:样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
注:样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
标准差与标准方差
1、定义:方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
36
在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期
望(即均值)之间的偏离程度。标准差在概率统计中最常使
用作为统计分布程度上的测量。标准差定义为方差的算术平
方根，反映组内个体间的离散程度。
加权平均
1、定义:加权平均数(weighted average)是不同比重数
据的平均数，就是把原始数据按照合理的比例来计算。
算法代码如下:
public static double StandardDeviation(this IList source) { if (source == null) { throw new
ArgumentNullException(“source”); } if (source.Count == 0) { return double.NaN; } double variance = source.Variance(); return Math.Sqrt(variance); } public static double SampleStandardDeviation(this IList source) { if (source == null) { throw new ArgumentNullException(“source”); } if (source.Count == 0 || source.Count == 1) { return double.NaN; } double variance = source.SampleVariance(); return Math.Sqrt(variance); } public static double Variance(this IList source) { if (source == null) { throw new ArgumentNullException(“source”); } if (source.Count == 0) { return double.NaN; } int count = source.Count(); double deviation = CalculateDeviation(source, count); return
37
deviation / count; } public static double SampleVariance(this IList source) { if (source == null) { throw new
ArgumentNullException(“source”); ; } if (source.Count == 0 || source.Count == 1) { return double.NaN; } int count = source.Count(); double deviation =
CalculateDeviation(source, count); return deviation / (count - 1); } public static double WeightedAverage(this IList source, IList factors) { if (source == null) { throw new ArgumentNullException(“source”); } if (source.Count != factors.Count) { throw new ArgumentException(“source
count is not equal to factors count.”); } if (source.Count == 0) { return double.NaN; } double sum = factors.Sum(); if (sum == 0) { return double.NaN; } double weight = 0; for (int index = 0; index source, int count) { double avg = source.Average(); double deviation = 0; for (int index = 0; index
样本协方差矩阵(6)
由三个总体X、Y、Z构成3维随机变量(X，Y，Z)。该
3维随机变量的协方差矩阵为
Cov(X,X)Cov(X,Y)Cov(X,Z) Cov(Y,X)Cov(Y,Y)Cov
(Y,Z)
38
Cov(Z,X)Cov(Z,Y)Cov(Z,Z)
有
(X1，Y1，Z1)
(X2，Y2，Z2)
(X3，Y3，Z3)
(X4，Y4，Z4)
(X5，Y5，Z5)
其中
X1、X2、X3、X4、X5为总体X的一个样本，Y1、Y2、Y3、Y4、Y5为总体Y的一个样本，Z1、Z2、Z3、Z4、Z5为总体Z的一个样本。 151515
样本平均值X Xi、Y Yi、Z Zi分别是总体期望E(X)、E(Y)、E(Z)的无5i 15i 15i 1
151522偏估计量，样本方差S (Xi～X)、S2 (Yi～Y)2、
5～1i 15～1i 121
15
S (Zi～Z)2分别是总体方差D(X)、D(Y)、D(Z)的无偏估计量。 5～1i 123
问题1:
由两个总体X、Y构成的2维随机变量(X，Y)的协方差Cov(X，Y)的无偏估计量是什么, 答:
39
1n
(Xi～X)(Yi～Y)，其中X、Y为样本均值。证明略(只要证明
样本协方差的数学 n～1i 1
期望等于总体协方差)。
定义:
1n
(Xi～X)(Yi～Y)样本协方差 n～1i 1
另定义:
(X
样本相关系数
ni～X)(Yi～Y)
)
问题2:
由三个总体构成的3维随机变量(X，Y，Z)的协方差矩
阵
Cov(X,X)Cov(X,Y)Cov(X,Z) Cov(Y,X)Cov(Y,Y)Cov
(Y,Z) 的无偏估计量是什么,
Cov(Z,X)Cov(Z,Y)Cov(Z,Z)
定义:
样本协方差矩阵
40
1n (Xi～X)2 n～1i 1 1n
(Yi～Y)(Xi～X) n～1i 1 1n
(Zi～Z)(Xi～X) n～1i 1 1n (Xi～X)(Yi～Y)n～1i 11n(Yi～Y)2
n～1i 11n (Zi～Z)(Yi～Y)n～1i 11n (X～X)(Z～Z) ii n～1i 1 n
1(X～X)(Z～Z) ii n～1i 1 n 12(Z～Z) i n～1i 1
记Xi ,Xi,Yi,Zi,、X (X,Y,Z)，样本协方差矩阵可用如下公
式计算:
1n Xi～Xn～1i 1,,,XTi～X ,
x1 x2
对于一组样本值
x3 x4 x 5y1y2y3y4y5z1 4.0 z2 4.1z3
3.9 z4 4.3 z5 4.12.00.60 2.10.59 2.00.58 ，分别计算上述统计量(样本平均值、
2.10.62 2.20.63
样本方差、样本协方差、样本协方差矩阵)的观察值。
41
范文四：正态总体下样本均值与样本方差独立性的四种证明方法_张明峰
2015年7月第25卷第4期榆林学院学报JOUＲNALOFYULINUNIVEＲSITYJuly．2015Vol．25No．4正态总体下样本均值与样本方差独立性的四种证明方法
12张明峰，周小双
（1．德州学院科技处，山东德州253023；2．德州学院数学科学学院，山东德州253023）
要：正态总体下样本均值与样本方差的独立性是数理统计学教学中的重要结论。从构造特殊正交
矩阵，利用随机向量的线性变换与随机向量的二次型相互独立的条件，特征函数和矩母函数这四个方摘
证明了正态总体下样本均值与样本方差的独立性。面，
关键词：样本均值；样本方差；独立性；正态总体
中图分类号：O212文献标志码：A文章编号：1008－3871（2015）04－0038－
03
收稿日期：2014－12－12
基金项目：国家自然科学基金数学天元基金（11426057）；山东省自然科学基金（ZＲ2012AL05）
作者简介：张明峰（1977—），男，山东德州人，讲师，硕士，研究方向为非参数统计分析。E－mail：zmf0927@126．com
3结语
在本文中，我们给出了正态总体下样本均值与样本方差独立性的四种证明方法，其中方法一通过构造一
这也是一般概率论与数理统计教程中的常用方法．个特殊的正交矩阵来证明样本均值与样本方差的独立性，
方法二主要利用了随机向量的相关性质，基于正态总体下随机向量的线性变换和二次型相互独立的条件，将样本均值与样本方差分别表示成一随机向量的线性变换和二次型，进而证明了结论．特征函数在统计量的
（下转第56页）
［7］M］．北京：机械工业出版社，2012．李柏年，吴礼斌．MATLAB数据分析方法［
［8］EB/OL］．（2014－05－20）［2014－10－10］．ht-数学中国．第七届数学中国数学建模网络挑战赛A题［
tp：//www．tzmcm．cn/．
［9］M］．北京：人民邮电出版社，2010．刘保柱，苏彦华，张宏林．MATLAB7．0从入门到精通［
［10］《运筹学》M］．北京：清华大学出版社，2005．教材编写组．运筹学［
［11］M］．合肥：中国科学技术大学出版社，2008．杨桂元，黄己立．数学建模［
（责任编辑：邵治亮）
TheＲesearchonＲiskAssessmentModelOptimizationofLandＲeserveProgram
YINJian1，ZHUJia－ming2
（1．BusinessInstitute，AnhuiUniversityofFinanceandEconomics，Bengbu233041，China；
2．InstituteofStatisticsandAppliedMathematics，AnhuiUniversityofFinanceandEconomics，Bengbu233000，China）Abstract：AimingattheproblemthattheriskforChineselandreservesislarger，buttheevaluationstandardsys-temoflandreserveplanisnotperfect，accordingtothedatafromareportofaprovinciallandreservecenter，themathematicalmodelofcomprehensiveevaluationandregressionanalysisisestablished．Itisconcludedthatincreas-ingtheirexpectedyieldby0．2698unitsand1．0828unitlimit，thebankapprovallimitwillreduceby0．0371u-nits．Atthesametime，itisbettertoassesstheriskofthelandreserveprojectwhenestablishingindexsystemofthelimittoapplyforloans，thebankapprovallimit，expectedyieldandtheprojecttotalinvestmentestimation．Keywords：riskassessment；comprehensiveevaluationmethod；coefficientofvariation；regressionanalysis；MAT-LAB
檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸（上接第40页）
独立性证明中发挥着重要作用，方法三主要借助于特征函数这一重要工具．类似于方法三，方法四利用了矩母函数证明了样本均值与样本方差的独立性，几种方法的相互补充和利用，可以极大的丰富数理统计学教学内容，从而提高教学质量。
参考文献：
［1］M］．北京：高等教育出版社，2008．魏宗舒．概率论与数理统计（第二版）［
［2］M］．北京：高等教育出版社，1999．王松桂，陈敏，陈立萍．线性统计模型：线性回归与方差分析［
［3］J］．扬州师院学报（自然科学版），1990，10（1）：21－22．陈存根．数理统计中一个定理的证明［
［4］M］．北京：高等教育出版社，2004．峁诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程［
［5］M］．北京：中国统计出版社，2013．吴喜之．统计学：从数据到结论［
（责任编辑：邵治亮）
FourProofsofIndependenceofSampleMeanandSampleVariance
undertheNormalPopulation
ZHANGMing－feng1，ZHOUXiao－shuang2
（1．DepartmentofScienceandTechnology，DezhouUniversity，Dezhou253023，China；
2．SchoolofMathematicalSciences，DezhouUniversity，Dezhou253023，China）
Abstract：Theindependenceofsamplemeanandsamplevarianceunderthenormalpopulationisaveryimportanttheoremintheteachingofmathematicalstatistics．Inthispaper，wegivetheproofsoftheconclusionfromfouras-pects，includingtheconstructionofaspecialmatrix，conditionoftheindependenceofthequadraticformandthelineartransformofanormalrandomvector，characteristicfunctionandmomentgeneratingfunction．
Keywords：samplemean；samplevariance；independence；normalpopulation
范文五：样本方差公式中N-1的思考
样本方差公式中N-1的思考
蒲智勇
摘要,样本方差是来判断数据的稳定性的,在生活中应用样本方差来做出选择,
直接关系着事件的成功与否。本文通过文件检索等方法,分析了的意义与来源,得
出样本方差公式中N-1是对标准方差的修正的结果。
关键词,样本 样本方差 统计量 无偏性
Sample variance formula for N - 1
Abstract: the stability of the sample variance is to judge the data, application sample variance in life to make a choice, directly related with the success of the event. In these paper, through methods of document retrieval, analyzes the meaning and origin, draw a sample variance formula for N - 1 is the result of a modification to the standard variance.
Keywords: sample sample variance statistics magnitude unbiasedness
前言,目前许多教材上,对样本方差是如何来的都未做出解释,即使有也一笔带
过,大学上课的老师提都未提。大学是来做学问的地方,怎么不去探讨它,当接触
这样本方差公式时,就在想是不是,样本的平均值与观察值相等的原因引起的。就
随便列举了一组观察值,恰好观察值与样本均值相等,就草率的认为明白了这公式。
但心里还是对这个公式感觉怪怪的,怎么跟以前的方差公式不一样,以前是N,怎
么现在变成了N-1,一直想从其他角度推出这个公式,因为个人因素,未能如愿。
那就只有从侧面去解释这个原因
一、样本方差中的基本概念
n1设X1,X2,...Xn为来自总体X的容量为n的一个简单随机样本,,(Xi),Xn,1i
n212称为样本均值,mean,,统计量称为样本方差,variance,,,,Sn(Xi,X)n,i1
n2122称为样本标准差,standard deviation,,而称,Sn,Sn,Sn(XiX),n-1,i1
n1r2为修正的样本方差,称为修正的样本方标准差,统计量,r=1,A,XirS,S,n,1i
nr12,...,称为样本的r阶原点矩,统计量r=1,2,...,称为样本B,r,(Xi,X)n,i1
2的r阶中心矩,而.估计量的数学期望等于被估计参数,则称此为A1,X,B2,Sn
无偏估计。设?=g(X1,X2,...,Xn)是未知参数A的一个点估计量,若?满足E,?,= A,则称?为A的无偏估计量,否则为有偏估计量。
二、样本方差中的N-1的来源
2.1一种观点
22 (1) 只有才是总体样本方差的无偏估计。S,
2(2) 将分母取为N-1会使得大于实际的大小,其原因好的科学家一般都是“保S
守”的。“保守”的含义是,如果我们不得不出错,那么即使出错也是由于过高估计了总
[1] 体的方差,分母较小可以让我们做到这一点。
2.2第二种观点
2,n1*2，，我们知道ES,,。 n22*2*2，，,1,当样本量趋于无穷时,.我们称为的渐近无偏估计量。 ES,,S,*n22n*s12*2,,,2,若对作如下的修正。定义的也称为SS,S(Xi,X)n-1n-1i1,222***22样本方差,它比更常用。这是因为n>>2时,<>
22的倾向。特别是在样本比较小时要使用估计。 S,n2212*2,在n不大时,常用作为样本方差。在实际中比更SS,S(Xi,X)nn-12,i1常用。N为样本容量。称偏差平方和,n-1称为偏差平方和的自由度,,(XiX),i,1x其含义是在确定后,n个偏差中只有n-1数据可以自由变动,第n个则不能自由n2[2] ,0取值,因为.,(Xi,X),i1
总结
通过对不同的资料整理,解释了样本方差公式中N-1的来源理由。上述两种观点是普遍认同的。但不少人认为用自由度减少来解释有待思考。
参考文献
[1]概率论与数理统计/叶中行等编.—北京,北京大学出版社,2009.1,P181. [2]概率论与数理统计/茆诗松.程依明.濮晓龙编著.—北京,高等教育出版社,2004.7,P296.
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