跋涉千里向你道别
范文一：3立体几何体积表面积公式
、考点梳理
1(柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面面积之和，表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和(
2r2(如果圆柱的底面半径是，母线长为，那么圆柱的底面积是， Sr,,l柱底
2Srl,2,Srrlrrl,，,，222(),,,圆柱的侧面积公式是，表面积是 ( 柱侧
r3(圆锥的侧面展开图是一个扇形(如果圆锥的底面半径是，母线长为，那么它的表l
2Srrlrrl,，,，,,,()面积是 (
4(圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面
'22'Srrrlrl,，，，,()的面积，即(
5(棱柱和圆柱的体积公式为VShSh,()为底面面积，为高(
16(棱锥和圆锥的体积公式为( VShSh,()为底面面积，为高3
1'''SS,7(圆台和棱台的体积公式为，其中分别为上下底面面积，VSSSSh,，，()3
为圆台(棱台)的高( h
8(球的体积及球的表面积公式
43(1)如果球的半径为，那么它的体积为( ,,VRR3
2(2)如果球的半径为，那么它的表面积为( SR,4,R
三、知识精点讲解
1(多面体的面积和体积公式
名称 侧面积(S) 全面积(S) 体 积(V) 侧全
棱柱 直截面周长×l ?h=S?h S底直截面棱 S+2S 侧底柱 直棱柱 ch S?h 底
棱锥 各侧面积之和 1棱 S?h 1底S+S 侧底ch′ 锥 正棱锥 32
1棱台 各侧面面积之和 h(S+S上底下底S+S+S侧上底下棱 31台 (c+c′)h′ 正棱台 +) S,S 2底下底下底
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2(旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
2πrl πrl π(r+r)l S 12侧
22+r)l+π(r+r) π(r121222πr(l+r) πr(l+r) 4πR S 全
114222322πrh πh(r+rr+r) πR V πrh(即πrl) 1122333表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r、r分别表示圆台 上、12下底面半径，R表示半径。
范文二：立体几何表面积公式总结
立体几何表面积公式总结
1 每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
2 1倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
3 速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度
4 单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
5 工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6 加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数
7 被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
8 因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
9 被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 正方形
C 周长 S 面积 a 边长
周长＝边长×4
C=4a
面积=边长×边长
S=a×a
2 正方体
V:体积 a:棱长
表面积=棱长×棱长×6
S 表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a
3 长方形
C 周长 S 面积 a 边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4 长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s 面积 a 底 h 高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形
s 面积 a 底 h 高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
s 面积 a 上底 b 下底 h 高
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圆形
S 面积 C 周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s; 底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
（4）体积＝侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s; 底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1) ＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1) ＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树, 那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树, 另一端不要植树, 那么: 株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树, 那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
范文三：立体几何体积,表面积
立体几何表面积与体积
1、如图已知四棱锥P -ABCD 中的底面是边长为6的正方形，侧棱PA 的长为8，且垂直于底面，点M 、N 分别是DC 、AB 的中点．求
（1）异面直线PM 与CN 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四棱锥P -ABCD 的表面积.
2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ，
CA =CB =CD =BD =2．
（1）求三棱锥A -BCD 的体积；
（2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．
D
B
E
C
3、在正四棱锥P -ABCD 中，侧棱PA 的长为25，PA 与CD 所成的角的大小等于
． 5
D
（1）求正四棱锥P -ABCD 的体积；
（2）若正四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在球O 的表面上，求此球O
的半径．
A
C
4、如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为8，且AB =AC =2，∠BAC =90，E 是AA 1
的中点，O 是C 1B 1的中点. 求异面直线C 1E 与BO 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
C1
B1
C1
B1
B
B
C
A
C
5、如图，△ABC 中，∠ACB =90，∠ABC =30 ，BC =
00
，在三角形内挖去一个
半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体。 （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小； （2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．
6、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别为线段DD 1, BD 的 中点．
（1）求三棱锥E -ADF 的体积； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．
A
F
C
A 1
E D 1
1
C 1
7、如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =PA =2．
（1）求三棱锥P -ABC 的体积V ；
（2）求异面直线AB 与PC 所成角的大小． B
C
?
8、如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AC =AA 1=2, ∠ABC =45.
（1）求直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积；
（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与A 1C 所成的角.
C
B A 1
B
9、 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AP =BC =4，
∠ABC =30?,
D 、E 分别是BC 、AP 的中点，
（1）求三棱锥P -ABC 的体积；
（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求tan θ的值.
A
B
D
10、如图：已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD 与平面BCD 所成的角为30?，且
AB =BC =2．
（1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．
C
11、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AA 1=2, AB =1，E 是DD 1上的一点．
⑴求异面直线AC 与B 1D 所成的角；
⑵若B 1D ⊥平面ACE ，求三棱锥A -CDE 的体积；
A
D
12、如图，PA ⊥平面ABCD ，矩形ABCD 的边长AB =1，BC =2，E 为BC 的中点． （1）证明：PE ⊥DE ；
（2）如果PA =2，求异面直线AE 与PD 所成的角的大小． 解：（1）连AE ，由AB =BE =1，得AE =
2，同
D
13、 已知正四棱柱ABCD -A
1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D =. （1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E 为线段A 1D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.
C 1
A B 1
C
A B
14、在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别为A 1B 1, CD 的中点． （1）求直线EC 与平面B 1BCC 1所成角的大小； （2）求二面角E -AF -B 的大小．
15、如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =
π
2
，AB =AC =2，
C 1
AA 1=6，点E 、F 分别在棱AA 1、CC 1上，且AE =C 1F =2．
（1）求四棱锥B -AEFC 的体积；
（2）求?BEF 所在半平面与?ABC 所在半平面所成二面角θ的余弦值．
B
16、如图，已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长是2，体积是16，M , N 分别是棱
BB 1、B 1C 1的中点．
（1）求直线MN 与平面ACC 1A 1所成的角（结果用反三角函数表示）；
（2）求过A 1, B , C 1的平面与该正四棱柱所截得的多面体AC 11D 1-ABCD 的体积．
17、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为 （1）求直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小； （2）求四棱锥D -BCD 1A 1的体积.
A
B
A A 1
18、如图，已知ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱CC 1的中点．
BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（1）求异面直线A ； 1D 与
（2）求直线A 1B 1到平面DAB 的距离.
C 1
D
C
1
B
A 1
A
第21题图
19、已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点．
（1）求异面直线AE 与DD 1所成角的大小（结果用反三角表示）；
（2）求四面体AED 1D 的体积.
1
20、已知：四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =2，∠ABC =60?，E ，F 分别是BC ，PC 的中点． （1）求四棱锥P -ABCD 的体积； P （2）求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．
F
A
C B E
21、如图，用半径为2cm ，面积为
D
2cm 2的扇形 铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），
该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm ）
3
范文四：立体几何三视图体积表面积(学生)
立体几何三视图体积表面积
一、选择题
1．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ）
（A
）48+（B
）48+（C
）72+（D
）72+2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
正视图 侧视图
俯视图
（A
）（B ）4
3 （C ）8
3 （D ）4
3．一个几何体的三视图如图，则其体积为（ ）
A ．20
3 B．6 C．16
3 D．5
4．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于 （
）
A ．3 B．23 C．3 D．63
5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）
正视图 侧视图
俯视图
A ．4ππ B． C ．π D ．3π 32
6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ）
A ．80 B．40 C．8040 D． 33
7．某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为
（A ）200+9π
（B ）200+18π
（C ）140+9π
（D ）140+18π
8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）
侧（左）视图正视图
俯视图
A B C
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
D
A ．2π B．22π C．2ππ D． 33
10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）
A ．8π B．16π C．32π D．64π
二、填空题
11．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______．
12．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.
13．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．
14．用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____m ．
15．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________． 3
E 是BC 的16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD A 1BC 11D 1中，
中点，F 是C 1D 的中点，P 是棱CC 1所在直线上的动点．则下列四个命题：
①CD ⊥PE
②EF //平面ABC 1
③V P -A 1DD 1=V D 1-ADE
④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．
三、解答题
17．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆锥的母线长为6，底面半径为2，求该几何体的表面积．
18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）若M 为CB 中点，证明：MA //平面CNB 1；
（Ⅱ）求这个几何体的体积．
19．（12分）如图，?
P 'AB
1的等边三角形，P 'C =P 'D =1现将?P 'CD 沿边CD 折起至PCD 得四棱锥P -ABCD , 且PC ⊥BC
P /
D C
A B A B
（1）证明：BD ⊥平面PAC ；
（2）求四棱锥P -ABCD 的体积．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． P
（1）求证：PB //平面AEC ;
（2）设PA =1, AB AD =2, 求三棱锥B -PCD 的体积。
21．（本小题满分12分）如图：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱垂直底面, ∠ACB ＝90°,AC ＝BC=1AA 1,D 是侧棱AA 1的中点． 2
（Ⅰ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分, 求这两部分体积的比．
22．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABC D ，且PD =CD ，点E 是PC 的中点，连接DE , BD , BE ．
（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
V （Ⅱ）记阳马P -ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求1的值． V 2
范文五：立体几何初步(表面积与体积)
立体几何初步（表面积与体积）
1、柱体、锥体、台体的表面积
注意：⑴几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
⑵特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h 为斜高，l 为母线） ⑴S 直棱柱侧面积⑵S 圆柱侧
/
=ch
1ch ' 2
=2πrh
⑶S 正棱锥侧面积=⑷S 圆锥侧面积⑸S 正棱台侧面积=⑹S 圆台侧面积
=πrl
1
(c 1+c 2) h ' 2
=(r +R ) πl
⑺S 圆柱表=2πr (r +l ) ⑻S 圆锥表=πr (r +l ) ⑼S 圆台表=πr +rl +Rl +R ⑴V 柱=Sh
(
22
)
2、柱体、锥体、台体的体积公式
1
⑵V 锥=Sh
3
⑶V 台=(S ' S ) h
⑷V 圆台=
13
1' 1
(S +S ) h =π(r 2+rR +R 2) h 33
3、球体的表面积和体积公式 ⑴S 球=4πR ⑵V 球=
2
43 πR 3
巩固练习
1、一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（ ）
A 、10 B 、20 C 、40 D 、15
2、一个圆柱的轴截面面积为Q ，则它的侧面面积是 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
3、球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）
A ．
1
B ．1 C ．2 D ．3 2
1
B ．1 2
C ．2 D ．3
4、两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（ ）
A ．
5、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =4，AA 1=5，则其外接球的体积为6、直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的削球，如果不计损耗，可铸成这样的
小球的个数为（ ）
A ．5 B ．15 C ．25 D ．125 7、与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A ．
ππππ
B ． C ． D ． 2643
1
，求截面面积。 6
8、圆锥底面半径是6，轴截面顶角是直角，过两条母线的截面截去底面圆周的9、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A 、 三棱锥 B 、 四棱锥 C 、 五棱锥 D 、 六棱锥
10、球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍
11、长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，
则这个球的面积为 ( )
A.
7
π B．56π C．14π D．64π 2
12、求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积.
13、若圆锥的侧面面积是其底面面积的2倍，则这个圆锥的母线与底面所成的角为
14、一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ）
A ．2：3：5 B ．2：3：4 C ．3：5：8 D ．4：6：9
15、长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ） A . 1+ B . 2+ C . 32 D . 23
16、在正三棱柱P -ABC 中，侧面为顶角为40，腰长为2的等腰三角形，已知点M 、N 分别在线段PB 、
PC 上运动，求AM+MN+NA的最小值
17、设正三棱锥P -ABC 的侧棱长为l ，∠APB=
周长的最小值
18、中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为（ ） A ．11：8 B ．3：8 C ．8：3 D ．13：8 19、正六棱锥的高为4cm ，最长的对角线为43cm ，则它的侧面积为_________
π
，且E 、F 分别是BP ，CP 上的点，求△AEF 6
20、已知正三棱锥的侧面积为183cm ，高为3cm 。求它的体积 21、一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为 ( )
82π8π32πA . B . C . D ．8π
333
22、圆锥的全面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为________cm3
6
23、若一个底面边长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
2
24、以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的（ ）
2
1111 B. C. D. 3491625、有棱长为6的正四面体S-ABC ，A 1、B 1，SB ，SC 上，且SA SB 1=3，SC 1=4，C 1分别在棱SA ，1=2，则截面A 'B 'C '将此正四面体分成的两部分体积之比为（ ） 1111 A. B. C. D.
9843
A.
26、长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是（ ）
A ．23 B . C . 5 D . 6
27、已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为
T
等于（ ） S 1411 A ． B . C . D .
9394
28、把直径分别为6cm , 8cm , 10cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是（ ） A ．3cm B . 6cm C . 8cm D . 12cm
T ，则
29、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ） A ．
1123 B . C . D .
3234
30、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为31、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为（ ）
A . 120? B . 180? C . 240? D . 300?
32、一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积
33、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120?、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）
A . 3:2 B . 2:1 C . 4:3 D . 5:3
34、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C1Q ，则四棱锥B —APQC
的体积为 ( )
V V
A. B. P
23
A'
C'
Q C V V
C. D. 45
A
35
、个长方体的某3
则这个长方体的体积是
36、设等边三角形△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内的任意一点，且P 到三边AB ，BC ，CA 的距离分别；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则有d 1+d 2+d 3+d 4为定值是 、
为d 1，d 2，d 3，则有d 1+d 2+
d 3
37、如左下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，如果分别过BC 、A 1D 1的2个平行平面将长方体分成体积相等的3部分，那么
1
C 1N
=ND 1
C 1
D a A M
b
D C A B
38、如右上图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .
39、三个球的半径R 1, R 2, R 3，满足R 1+2R 2=3R 3，则它们的表面积S 1, S 2, S 3，满足的关系是40、已知半径是13的球面上有A 、B 、C 三点，AB=6 ,BC=8, AC=10;则球心O 到截面ABC 的距离为（ ）
A ．12 B ．8 C ．6 D ．5 41、如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且?ADE 、?BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为
23 B . 3343 C . D .
32
A .
42、如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水, 若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度
恰好升高r ，则
R
r
43、已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的表面积。
44、如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这
个球的表面积。
45、⑴我国首都靠近径大约为6370km ）
⑵在半径为13cm 的球面上有A , B , C 三点，AB =BC =AC =12cm ，求球心到经过这三点的截面的距离。
46、在北纬45圈上有A , B 两点，设该纬度圈上A , B
两点的劣弧长为
北纬60纬线，求北纬60纬线的长度等于多少km ？（地球半
00
，求A , B R （R 为地球半径）
4
两点间的球面距离。
47、已知：一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． ⑴求圆柱的侧面积；
⑵x 为何值时，圆柱的侧面积最大．
48、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注
水，使水面恰在此时好与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？
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