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范文一：求线段的长度

求线段的长度（结合线段的中点）

线段中点的定义：如图，点M是线段AB上一点，且把线段AB分成两条相等的线段，则称点M是线段AB 的中点。反之若AM=BM=AB的一半，则称M 是AB 的中点。

注意：若没有点M是线段AB上一点，若BM=AB的一半，或AM= AB的一半，或AM=BM，则点M 不一定是AB的中点。

例1如图，C为线段AB上任一点，E、F分别为AC、BC的中点，EF=12cm，求AB的长。 AECFB

例2：在直线l上取A,B,C三点，使得AB=4cm，BC=3cm.如果点O是线段A C的中点，那么线段OB的长度是多少？

例3：自己画图并完成计算：A，B，M，P四点在同一直线上，M为AB的中点，N为AP的中点，若MN?15cm，AB?40cm，求AP的长．

练习题：

1.点M是线段CD的中点，N是CM上一点，若CN?2cm，DM?5cm，求MN和CD的长．

2.如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，求线段AC的长。

DCB 1

3.线段AB和AC在一条直线上，若E为AB的为中点，F为AC的中点。

（1）如果AB=6cm，AC=10cm，求EF的长；

（2）如果BC=16cm，求EF的长

AEBFC

4.直线上顺次截取AB=BC，CD=3AB，若AB的中点M与CD的中点N之间的距离是5cm，求AB、CD的长。

AMBCND

5.如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，E是线段AD的中点，CD=24cm，求

（1）CE的长；（2）求AB：BE的值。

ABECD

6.已知线段AB，延长AB到C使BC=2AB,.反向延长AB到D使AD=AB,点E是线段AC的中点，（1）根据题意画出图形。（2）若AB=1.5cm,求AE的长。

（3）问BE与DE的关系？

范文二：初一求线段和角

关于求线段和角 1.

如图, M 是线段 AB 的中点, N 是线段 BC 的中点 .

(1)若 AB=4cm, BC=3cm,则 MN=_______cm;

(2)若 AB=4cm, NC=2cm,则 AC=_______cm;

(3)若

AB=4cm, BN=1cm,则

AN=_______cm.

直线 l 上有顺次三个点 A 、 B 、 C ,且 AC=16cm,点 M 是 AB 中点,点 N 是 BC 的中点,求 MN 的长 .

2如图,已知线段

,点 M 为 AB 的中点, P 在 MB 上, N 为 PB 的中点,且 ,求 MP 的长 .

3. 如图, 线段 AB 上有两点 M , N , 点 M 将 AB 分成 2:3两部分, 点 N 将线段 AB 分成 3:1两部分, 且 MN=8cm, 则线段 AM , NB 的长各为多少?

4. 如图,点 C 在线段 AB 上, AC =16cm , CB =12cm ,点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点。

(1)求线段 MN 的长;

(2)若 C 为线段 AB 上任一点,满足 AC +CB =a cm ,其它条件不变,你能猜想 MN 的长度吗 ? 并说明理由。

(3)若 C 在线段 AB 的延长线上,且满足 AC ? BC =b cm , M 、 N 分别为 AC 、 BC 的中点,你能猜想 MN 的长度吗 ? 请画出图形,写出你的结论,不要说明理由。

5. 已知,如图, B , C 两点把线段 AD 分成 2:5:3三部分, M 为 AD 的中点, BM =6cm ,求 CM 和 AD 的长。

A C B M N

范文三：利用轴对称模型求线段和的最小值

轴对称模型求线段和的最小值

近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。

学习目标:知识目标:掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。

能力目标:通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。

情感目标:通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。

引例:例:如图(1)，草原上两居民点A，B在笔直河流l的同旁，一汽车从A处出发到B处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短,并在途中画出这一点。

分析:将这一问题转化为数学问题，即已知直线l及l同侧的点A和点B，在l上确定一点C,使AC+BC最小。

首先我们思考若点A和B点分别在直线l的两侧，则点C的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C应是与AB直线l的交点，如图(2)，这就是说，设线段AB交l于点C，点///C是直线上异于点C的任意一点，总有AC+BC,AC+BC。因此，解决上述问题的关键是将点A

//(或点B)移至l的另一侧(设点A移动后的点为A)，且使A、A到直线l上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

//解:如图(3)，作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点C，则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短。

B B B A A C l C l / C

/ A (2) (1) (3) A

总结:作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点C，那么点C就是所求作的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。

例1. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，?BAD=60?，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

图4

分析:首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，

图5 图6

由?BAD=60?，AB=AD，AE=BE知，

3DE,，2,3 2

3故PE+PB的最小值为。

跟踪练习1: 如图7，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径

ON上的动点，若?O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_______________。

图7

跟踪练习2. 如图8，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值.

图8

2例2. 如图9，抛物线与x轴交于、两点。 A(,1,0)B(3,0)y,x，bx，c

(1)求该抛物线的解析式。

,QAC(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小,如果存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

图9

重点分析第(2)问，要使?QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN，则可分解出图形，构建模型，要在直

线MN上找点Q，使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。

2跟踪练习3:点A的坐标为(0，2)点，点B是半径为的?B的圆心，点B的坐标为(4，2)，请你探索在x轴上是否存在一个点C以及在?B上是否存在一个点D，使得AC+CD最小，若存在，请你在图中作出点C和点D，并求出点C、D的坐标和AC+CD的最小值;若不存在请说明理由。

322跟踪练习4:如图10，抛物线交x轴于A、B两yxx,,,，3333

点，交y轴于点,，顶点为D(

(1)求A、B、C的坐标(

, (2)把?绕的中点旋转180，得到四边形: ABCABMAEBC

?求E点坐标(?试判断四边形AEBC的形状，并说明理由(

(3)试探索:在直线BC上是否存在一点P，使得?PAD的周长最小，若存在，请求出P

点的坐标;若不存在，请说明理由(

学生总结:

分层作业:

A组:1、如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，?B=60?，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_____________。

图11

422、如图12，在锐角?ABC中， AB=，?BAC=45?,?BAC的平分线交BC于点D，M，N分

别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________.

ANB

图12

B组:1、如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式;

(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;

(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A;

?证明:当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切;

?写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。

2、已知?ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，

AB与y轴的正半轴相交于点E，点B(-1，0)，P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)

(1)求点A、E的坐标;

632,x，bx，c (2)若y=过点A、E，求抛物线的解析式。 7

(3)连结PB、PD，设L为?PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，

并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

范文四：课题利用“折化直”求线段和差的最值

金汇高中优秀课例集——数学学科

课题:利用“折化直”求线段和差的最值

执教人:方利辉

教材分析:

和老教材相比，二期课改新教材在选择例题、练习等方面是动了很多心思的，这就需要我们能认真揣摩把握编者的意图。在以往，例题、练习等主要强调的是巩固新知作用;现在除继续保有这一要求外，还更加突出了它承载数学知识方法的功能。因此，为了进一步挖掘新教材例、练习中的学习素材，有效整合这些看起来比较松散的内容材料，需要我们能在清晰的目标思路引导下，进行教学内容的优化组合设计，把松散的内容通过有机的铺陈、梳理后串成一条有序的知识链。

学情分析:

学生已有利用函数解析式特征，或通过把握函数性质在代数领域中求最值的经验基础;通过解析几何的学习，学生不仅掌握了直线、圆锥曲线的相关知识，而且对运用解析法、渗透数形结合思想求出曲线的方程或通过方程去研究曲线的性质等也有了一定的积累。教法学法:

作为函数三要素值域中的最值问题是函数应用教学中的一个重要话题，一般解决思路是把要求最值的变量看成函数，列出函数解析式，利用相关函数的性质进行问题解决。为了破除思维认识的定势、拓展学生的学习视野、形成较完整的认知结构，新教材的例、练习中安排有一定的只能通过画图方式求最值问题，其主要构想是渗透数形结合思想，利用对称的知识转移线段的位置，在折线变为直线的时候再通过代数计算，达到求一些线段和差最值的目的，我们简称这种思路方法为“折化直”。教学过程中打算通过由浅入深的设计、并借助几何画板强大的动态演示功能，运用实验的手段让学生探究发现是如何通过对称转移线段的位置,理解为什么在折变直时就产生了最小值,在探索发现过程中培养学生的观察能力、想象能力和思辩能力，合理有效地依托多媒体信息技术平台再一次让学生体验数形结合思想在形成思路，建立联系等方面的指导作用。

教学目标

(1)知识与技能:理解通过对称转移直线位置，根据折化直获得线段和差的最值;

(2)过程与方法:以直线、圆锥曲线为载体，启发学生探究规律，由浅入深地完成一系

列折化直求最值问题，渗透对学生数形结合思想的培养

(3)情感态度与价值观:破除传统认识、思维定势的束缚，体验信息技术对突破想象障

碍的帮助支持。

教学重点与难点

教学重点:掌握折化直求最值的方法;

教学难点:如何利用对称转化线段位置，达到折化直的目的。

教学用具 :几何画板

教学过程

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教学内容教师活动学生活动设计意图

引导学生分析思维计学生运用函数方法问题1:求函数不悱不发，代数中常见的求

算碰壁的原因求最值最值方法均无法联系应用。2 yxx,,，413 运用数形结合，通过构造， 2可以把函数看作是动点P，，，xx625

(x 、0)分别到两定点A的最小值及达到最

(2 、-3)、B(-3 、4)的小时候的x值。

距离的和。于是问题1转化

为:在x轴上求一点P，使

最小。 PAPB，

为什么, 发现点P位于线段数形结合，使学生加深理[实验观察1]:

操作转化的两个关键AB与x轴的交点时解，初步形成折化直求最值打开几何画板文件

是什么, 满足题设要求。 (2):当A、B两点

分别在x轴的两侧

时，拖动点P，观察

点P位于x轴上的什

么位置,

达到最PAPB，

小。

问题转化为“观察把其中的一个点关于x轴对问题2:已知点步骤1:拖动点P

实验1”类似的2称，不妨设A关于x轴的对A(2 、3)、B(-3 、进行观察;

情形，当点P位于称点为A14)，在x轴上求一点步骤2:点击对称B与x轴的线段A1按钮; P，使最PAPB，交点时满足题设要

步骤3:点击显示求。小，最小值是多少, 转化线段按钮。

通过观察发现?PAQ的周问题3、已知点步骤1:点击按钮学生发现:把

长是否可以转化为两定点A(2 、1)，若点P、运动点; 点A分别关于x轴、

间的折线距离,观察点P、Q分别在x轴、直线步骤2:点击按钮直线y=x对称得到Q分别在x轴、直线y=x上y=x上，求?PAQ的对称; 点A、A，则?PAQ12的什么位置时折线距离可周长的最小值及此步骤3:点击按钮的周长可转化为折转化为两定点间的直线距时点P、Q的坐标。显示线段1; 线AA的长度，然离(即“折化直”求最值), 12

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步骤4:点击按钮后利用“折化直”

显示线段1; 可以求得三角形周

1、长的最小值。

梳理解法思路: 对称;转化线段位巩固新知，加深印象，为后主要是通过相关

置;折变直续的拓展应用奠定基础点的对称，利用中垂线

的性质，把折线段的和

(或差)转化为在一条

直线上的线段和(或

差)，进而达到解决问

题的目的，我们把这一

过程间称为“折化直”。

通过一个以抛物线为载体二、变式思考学步骤1:拖动点M学生发现:由

的运用实践，在进一步体验习进行观察; 于,MF,=,MR

折化直方法的同时拓展理问题4:点A步骤2:点击按钮,，问题转化为求解的空间。

(4 、2)是抛物线显示线段准线; 折线RMF长的最2y=8x内一点，求抛步骤3:点击按钮小值，通过拖动点M物线上点M到A点的显示对象; 进行观察可发现:距离与它到焦点的步骤4:再次拖动点M在适当位置时距离和的最小值及点M进行观察可利用“折化直”达到最小时点M的求最小值。

坐标。

学生发现:点M位让学生自己操作几何画板三、自主动手实打开几何画板文

于线段AB的延长践件(6):当A、B两点

线与y轴的交点时问题5:已知点分别在y轴的同一侧满足题设要求。 A(-4 、5)、B(2 、时，观察点M位于y轴

1)，在y轴上求一点上的什么位置,

M，使达到最MAMB,MAMB,

最大。大。

1、M是抛物线突出学生的主体地位，在自四、巩固拓展练2、已知P是椭圆2=2x上的一点，P主体验中，巩固对折化直方y习: 22xy点的坐标为(3、法的掌握。，,1上的一 167

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10点，F、F是椭圆的左12)，记d为点M3右焦点，定点M(2 、

到抛物线准线的距

1)，求的PMPF，2离，求d+达到MP

最大值。最小时点M的坐标

课后反思:

回顾我们求最值的经历，我们几乎都是把所遇问题放在代数背景下，建立相关要数间的关系式，然后尝试用函数的观点解决问题。今天所碰到的几个问题不仅几何特征，而且目前的代数方法根本不能解决，因此应摆脱函数方法的束缚，通过画出相关的直观图形，渗透数形结合的思想，在折变直的过程中求最值。

在日常的探究学习中，所遇问题若有几个思路，建议一定要花时间都搞搞清楚，并能比较得出各思路的优劣，在全面认识的基础上，掌握最有效的解决办法。否则在考试中，一旦遇到类似的问题，就可能在几个思路面前踌躇不前，举棋不定，在犹豫不决中消耗掉宝贵的时间。

如何顺利实现“折化直”求最值,在渗透“异不变、同化异”思考的同时，我们还主要采取了两个操作方法:一个是把相关点关于直线对称;另一个就是运用圆锥曲线的定义进行转化。

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课题:数列的极限

执教人:蒋云鹏教材分析:

数列极限的概念是联系初等数学和高等数学的标志性桥梁，“无穷”“极限”等概念的初步建立是传统难点，在高中阶段，没有函数连续性、极小邻域、区间套等概念工具的支持，要准确而本质地揭示极限的概念，是非常困难的，因此这里采用描述性定义的方式介绍数列极限，但力求尽可能触及本质，不要求抽象为符号化程度。学情分析:

学生历来对形象的东西感兴趣，对于我校学生理解力普遍水平的现状来说，本课教学是一个极大的挑战，这也是选择该课题磨课的主要目的所在。理解力弱，较多依赖感官是基本学情反映，为此要在“积极顺应”的同时，注重感官刺激所产生体验的本质成分，自然地进行理性引导。

教学目标:

1. 理解直观描述的数列极限的意义

2. 能够根据数列的通项公式考察判断数列的极限

3. 感受变化过程无限与变化结果有限的辨证关系,初步形成极限思想

教学方法:

1. 根据学生的经验背景和实际认知能力,从感受性强的实例观察分析,使学生感受到数列的

变化过程无限,永远达不到一个恒定的值,而变化趋势有确切的限制,因此,尽可能选择适

合学生的感性材料,即浅化教材.

2. 根据学生的认知习惯特征,利用多种信息通道媒介,调动学生的各种感官,尤其是视觉,从

而全面进入观察思考问题的情境

3. 尽可能及时捕获学生认识上的错误、偏差，当堂予以合理解释，防止为了解题需要，而

直接要求学生记住两个结论，然后模仿性训练的做法。只有强化学生主体感受，体验什

么叫“无限地趋近”，才能深入地认识理解数列极限的含义，进而形成解决极限问题的

技能

教学重点:“无限”过程的表现演示和“收敛”的准确理解

教学难点:“接近、无限趋近”的区别及符号化表示

教学用具:电脑、《几何画板》课件、数码投影仪。

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教学过程:

教学内容教师活动学生活动设计意图

演示并不断提出看、听、一、实例:

问题想、并回1.“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 1.你看到了什么答问题 nn2.当无限增大时，圆的内接正边形周长无2.描述现象

让学生初步限趋近于圆周长 3.概括一下这种

从感官上感1现象?? 3.对于函数中，当时，的y,yx,，,知事物按规 x

律变化会出值无限趋近于0 注意:用课件演示现某种趋势，实例的现象，让视但却不可能

觉配合学生思维达到确切的

“终点” 并与教师提问同

步，力求视觉听觉

取得最好的配合

二、提出课题:数列的极限 1.引导学生从每个问题的呈现

(观察体验初步形成概念) 特例中概括后，引导学生从三

1111一般规律，并1: 数列:1， ,,,？,,？23n个层次看问题: 2222用数学符号

n?“项”随的增大而减少 ?但都大于0 n的1. “项”随语言表达 1n?当无限增大时，相应的项可以“无限增大而增大还是2.针对学生n从简单2

知识基础薄减小趋近于”常数0 判断，到

弱的现实，123n2.总大于或小于2: 数列:,,,？,,？观察规234n，1适时地与函某个常数律，逐渐n?“项”随的增大而增大数知识相联

3.是否可以无限?但都小于1 形成对系，巩固原

n趋近于该常数有知识 n?当无限增大时，相应的项可以“无“无限n，13.针对学生理趋近”的限趋近于”常数1

性思维欠缺 n感知体11(,1)的现实，用函,1,,,,？,,？3: 数列: 23n验数观点考察

板书: n ?“项”的正负交错地排列，并且随的增大数列，揭示现其绝对值减小 n当项数无限增象规律的本

n质，大时，无穷数列(,1)n?当无限增大时，相应的项可以“无n感悟现象,,aa的项无限nn

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限趋近于”常数0 的多样性地趋近于某个数

引导观察并小结，最后抽象出定义: 与内在规(即无Aa,An 一般地，当项数n无限增大时，无穷数律的统一

限地接近于0)，性 ,,aa列的项无限地趋近于某个数(即Ann 那么就说是数A

无限地接近于0)，那么就说是数Aa,A边讲解边补n,,a列的极限，n充的目的在,,,,aa列的极限，或者说数列收敛于，Ann,,a或者说数列n于先形成最记作。 (由于要“无限趋近于”，lima,An,,n收敛于初的简单认A

所以只有无穷数列才有极限) 识，逐渐精确

1数列1的极限为0，;数列2的lim,0n划线部分边讲解化来凸显概n,,2

n边补充念的核心，化极限为1，; lim,1n,,n，1

解难点 n，，,1lim,0数列3的极限为0，; n,,n

三、深化概念理解得出两个概括性结论

1f(x),由函数，当时，x,，,x

f(x)的值无限趋近于0，得到

再次用函数模1lim,0 n,,型来刻画“越来越n

x接近-1”与“无限1,,由函数，当时，f(x),x,，,,,加深2,,趋近于0”的区

理解后

f(x)的值无限趋近于0，得到别，深化理解

回答问

n1,,题 lim,0,,n,,1.课件演示 2,,

2.讲解 nn12,,,,问题:数列，，a,b,,,,,,nn3.提问 33,,,,

n的极限存在吗,是多少,你能，，c,0.99n

概括出一般规律吗,

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口答1、2后，板思考练四、练习 (巩固概念，发展思维，提高能

演3 习力) 21. 教材P38，1(口答) ,,00 仿照书n，1写 2na,(,1),;a,n2. 数列有没有极2nn2 ,lim0n,,n，1

限,

3. 下列数列是否有极限,如有，求之

n23,,(1);(2) a,a,,,,nnn，14,,

适当提示五、作业: 练习册 P17 习题7.7 A组

1~7 (必做)

练习册 P20 习题7.7 B组 1、2 (自选)

补充(自选):写出下列数列的极限:

1: 0.9,0.99,0.999,??

11,,n，1(,1),2: 3: 4: a,,,nnn2,,

3456 ,,,,？？2345

1115: a,1，，，？，nn242

教后反思:

通过课件的模拟实验，屏幕上生动地显示出一尺之棰按日取其半的规律随时间变化的情况。之后又演示了正多边形边数不断增加，其图形趋近于圆的动态变化趋势，这比课堂上原

n1,,来只是口头讲授更能激发学生的思考。随后在屏幕上给出了数列前几项的数值、a,,,n2,,在数轴上以及在直角坐标系中表示数列前几项的点动态地趋向极限的图示。学生从以上创设的情景中完全能够理解此无穷数列变化的趋势是无限制地接近一个常数。这时在屏幕上以表格、数轴、直角坐标系为背景，给出了关于数列极限概念的说明:“粗略地说:如果一个无穷数列随n的增大无限制地接近某一个常数A，就说这个数列的极限是常数A”。演示a,,n

课件不单给出数列的前几项的数值，用数轴和直角坐标系给出表示数列前几项的点，而且为8

金汇高中优秀课例集——数学学科学生提供了提炼抽象的基础。因为键入任意大的n的数值，计算机则马上显示数列相a,,n应项的数值。过去教师的讲解现在变成学生的实验活动或观察，实践表明每个学生通过实验都能猜出该数列的极限，这为数列极限的形式化定义打下了坚实的基础。以上的教学设计基于这样一个指导思想:让学生通过参与实验与运算而不是听教师讲授自己领悟数列极限的概念，从感知到理解，再过渡到形式化的定义。尽管教材并没有采用语言对极限作出形,,N

式化定义，但从该设计的逐次精确化的过程，学生获得了精确地描述定义的方法，为再抽象为符号语言扫清了主要障碍。

a在“如果一个无穷数列，随n的无限增大，的值无限制地接近某一个常数A，a,,nn

就说这个数列的极限是常数A”这句话的下面动画式地依次显示:1) 接近某一个常数a,,n

aA;2) 无限制地接近某一个常数A;3) 当n无限增大时，无限制地接近某一个常数a,,nn

A。接着又在这三句话的后面依次显示:1) 是一个很小的正数;2) 能够要aA,aA,nn多小有多小，即;3)当时。为了说明什么是“无限趋近”，aA,,0aA,,0n,，,nn

11用“的值离0越来越近，离-1也是越来越近，那么究竟是无限趋近于0fn(),fn(),nn

还是-1呢,”这样一个问题结合右图演示，

帮助学生进行了明确的辨析，即fn()与-1

之间有一个单位的距离是永远无法逾越的，

因此只能有限地接近-1。在这些实验探究条

件的帮助下，原本十分难理解的极限概念变

得容易理解了。

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课题:二次函数最值问题研究

执教人:卢文卿

教材分析:

本堂课位于高一数学第一学期第三章3.4.3的第二节课，主要要求学生能够求字母区间上的二次函数最值。教材上，本节课在函数奇偶性、单调性之后，是除零点概念外，函数性质最后的内容。本节课的在知识点方面要求学生能够综合使用单调性与奇偶性，并熟练掌握具体数字区间下二次函数的最值的方法。在此基础上，解决字母区间下二次函数最值问题。本节课的在教材上没有相对应的例题，但在课后练习上，有2道练习题。所以，本节课的内容也是学生需要牢度掌握的。同时在数学思想方法上，本堂课注重数形结合和分类讨论，这也是高中数学的2个重点，起着为以后数学学习铺垫的作用。学情分析:

本校的学生基础较为薄弱，具体在基本的计算、图形想象能力上存在不足。鉴于此，教师无法用简单的语言来描述概念，而必须借助具体的图形，让学生能有直观的感受。同时由于计算能力不足，所以教师需要对例题中运算给出完整过程，忌讳跳步。教学目标:

1. 逐步理解掌握给定区间二次函数最值的求法。

2. 进一步提高数形结合的意识，渗透对学生分类讨论思想的培养。 3. 建立动态思维，体会变化的过程。

教学方法:

采用教师讲授为主，学生自主练习的方法。

教学重点和难点:

含字母参数的二次函数最值问题

教学用具:

电脑、《几何画板》课件、数码投影仪。

金汇高中优秀课例集——数学学科教学过程:

教学教师活动学生活动设计意图内容

学生呼应回从已经学过的知一、2fxxx()21,,,写出函数在下列区间中的最答识入手，让学生复复习大、最小值。(见课件中的表格) 习回忆下给定区引入总结:二次函数本身不具备单调性，因为在顶点间下二次函数的

处，函数图像会“拐弯”。但是，如果限定区间，最值取得的方法，

使对称轴不在区间中，那么函数就具有单调性。并且再次明确对

所以，对称轴是否在区间中对函数最值有很大影称轴的位置对函

响，必须要考虑。数单调性的影响。二、本题通过几何画2先自主思考，fxxx()21,,,例1:研究讨论函数在区间对称板的演示，将三种

后与教师一轴固情况直观展示给中的最值。 [1,](1),,,bb定下学生，加深学生对起通过课件

的区解:【情况一】给定区间不包含对称轴数学图形的感受。

演示完成此间运希望通过此题，学当时bfxf,,,,,(1,1),()(1)2,max 动生初步建立对于题。 2fxfbbb()()21.,,,,min类似问题解法的

【情况二】给定区间包含对称轴认识。

当时bfxf,，,,,,[1,),()(1)2 min

对于最大值再次分类讨论:

当时bfxf,,,,[1,3],()(1)2; max

2当时bfxfbbb,，,,,,,[3,),()()21. max

总结:由于b的值不定，所以要根据b的情况作

出分类讨论。

根据多媒体课件，演示变化过程。

三、承接例题1，加深2学生先练习，fxxx()21,,,练习1:求函数在区间课堂学生对此类知识

后给出课件练习点的掌握。 [,4](4)aa,中的最值。演示，在大部

解:【情况一】给定区间不包含对称轴

分学生完成当时afxf,,,(1,4),()(4)7,max 后，给出此题2fxfaaa()()21.,,,,min

讲解。【情况二】给定区间包含对称轴

当时afxf,,,,,,(,1],()(1)2. min

对于最大值再次分类讨论:

金汇高中优秀课例集——数学学科

当时afxf,,,,(2,1],()(4)7; max

2当时afxfaaa,,,,,,,,(,2],()()21.max

2fxxx()21,,,练习2:求函数在区间先给出课件

涵盖例1和练习1，中的最值。 [,1]aa，展示，在由学由学生自主解答，

进一步深刻体会解:【情况一】给定区间不包含对称轴生思考，分组

含字母参数的区2当时afxfaa,，,,，,,(1,),()(1)2,max讨论完成。间下二次函数最2fxfaaa()()21;,,,,min值取得的方法。

2当时afxfaaa,,,,,,,(,0),()()21,max

2fxfaa()(1)2.,，,,min

【情况二】给定区间包含对称轴

当时afxf,,,,[0,1],()(1)2; min

对于最大值再次分类讨论:

12 当时afxfaaa,,,,,[0,],()()21;max2

12 当时afxfaa,,，,,(,1],()(1)2.max2

四、让学生了解题目2fxxa()()1,,，研究函数在区间中的[1,2]的另一种变形，为课后

思考最值。下节课埋下伏笔。题教师给出提示:区间固定，对称轴移动

五、1、明确本堂课所学习的知识是在求字母区间下学生呼应再次强调解题的总结二次函数的最值。重点在于数形结

2、明确本堂课为了解题所借助的工具是二次函合与分类讨论。

数的图形。运用的是数形结合与分类讨论的思想

方法。

教后反思:

本堂课对例题1主讲，通过几何画板课件的演示，学生接受效果较好，能够在对此类题有一个具体认识，也能够初步掌握此类题的做法。但是对于字母向左运动的练习1，还是存在一定问题，因为学生的基础薄弱，所以向右移动能够理解，并不代表他们能够解决向左运动的问题，这里学生缺乏基本想象，对知识难以迁移。而练习2是给定区间都是字母，不变的是区间长度。此题较难，只有部分学生能够掌握，需要给学生更多的时间。建议本堂课能够再多给学生一些的时间，激发学生的思考，达到不愤不启，不绯不发，这样才能真正让我们的学生理解。

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课题:函数的基本性质(一)——奇偶性

执教人:陈华

教材分析:

函数的基本知识作为高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。奇偶性是函数的基本性质的重要内容之一，是研究函数性质和图像特征的基础，对分析研究幂函数、三角函数有重要作用。在教学中要注意从直观到解析、从具体到抽象研究函数的奇偶性，掌握函数奇偶性的代数表达和图像特征。

教学设想:

1、充分了解学生的知识基础:在初中阶段，学生已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，并初步了解了这些函数的图像。在前面的教学阶段中，学生已加深理解了函数的概念，并初步体验了分析变量建立函数关系的数学建模方法。因此，在教学中要注意与前面阶段内容的衔接、过渡和提升。

2、充分体会新教材对学生能力的培养要求:不仅重视数学概念的准确理解，也应重视探索思维的启发。因此要重视学生的学习方式，要充分发挥学生的观察能力和思考能力，使学生从传统的接受知识转变为主动的探索知识。教学程序上主要在直观认识的基础上启发观察与思考，再到抽象为数的表达。

3、重视数形结合的思想，合理使用信息技术手段，启发学生借助函数图像揭示函数奇偶性及其图像特征。

教学目标:

1、在知识与技能方面，重点理解偶函数与奇函数的概念和图像特征

2、通过具体函数图像的数形结合，启发学生探讨规律，完成从具体到抽象、从直观到解析的学习过程

3、在人文德育方面:(1)通过赵州桥这一生活实例的引入，一方面拉近数学与生活的距离，一方面激发民族自豪感。(2)通过数形结合的方法运用，感悟数学规律，感悟物质世界的对应统一。

教学重点:理解函数的奇偶性与其图像特征

教学难点:奇偶性概念对定义域的对称要求

教具准备:几何画板

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教学过程:

教学内容教师活动学生活动设计意图

(一)、引入以赵州桥照片建立函数模观察函数从生活引入，使学

生产生学习的兴22xx趣，拉近数学与实fx(),,fx(),,型:引出对函，发现1818际的距离。

数基本性质的探究。图形的轴对称对称

特点。

(二)探究串联探索过程，启发学生1、计算填表动手计算、观察思

考中，培养探索知2x2、比较f(-3)与f(3)，识的能力。 fx(),,发现:对函数，18f(-1)与f(1)，f(-0.5)

定义域中的任意a，都有与f(0.5)的大小

f(-a)=f(a)

3、猜想对任意定义

域内的实数a，f(-a)

和f(a)的关系

(三)概念知识 1、给出偶函数定义 1、学生尝试性表述

偶函数的基本特征

2、判断下面函数是否是偶 1、通过具体函数

函数: 图像的数形结合，

启发学生寻找规2fxx()3,,(1) 2、进行习题判断，律，完成从具体到

发现问题抽象、从直观到解2fxxx()23,,,(2) 析的学习过程，加

深对概念的理解。 2fxxx(),[1,2],,,,(3)

3、通过解答(2)(3)题，说明

函数的定义域D关于原点

对称是这个函数为偶函数

的必要非充分条件。 2、由学生自己模

仿推出奇函数的

4、通过几何画板的演示，3、尝试性表述偶函概念，使学生从传

说明偶函数的图像特征:数的图像特征统的接受知识转

y=f(x)是偶函数y=f(x) 变为主动的探索,

的函数图像关于y轴对称知识。

4、通过模仿偶函数

5、启发学生模仿偶函数的过程归纳出奇函数

结论，得到奇函数的相关的相关概念内容

概念

(四)课上练习请学生根据概念，指出下 1、巩固概念的学

面函数是奇函数还是偶函习

数:(口答)

金汇高中优秀课例集——数学学科

2yx,,21、，x,,[3,3]

(偶函数) 2、启发学生发现

函数的四种奇偶2yx,,22、， x,,[3,3) 形式

(非奇非偶函数)

口答问题 3、， yx,,2x,,[3,3]

(非奇非偶函数)

3、检查学生对新yxx,，,,114、(定知识的掌握程度

义域为，为奇函数) [1,1],

5、(既是奇函数又y,0

是偶函数)

(五)小结 1、比较偶函数和奇函数的梳理知识点，突出

定义重点，便于学生记

相同点:定义域关于原点忆掌握

对称

异同点:代数表达

2、函数的奇偶性有四种情

况:奇、偶、既奇既偶、

非奇非偶

3、判断奇偶性步骤:

(1)先观察定义域是否关

于原点对称(2)再观察代

数条件是否满足

(六)课后习题 1、书P66/1、2、6 课后完成作业练习巩固

教后反思:

这次“磨课”活动是以“聚焦课堂教学，夯实教学基本功”为主题，以青年教师为主要实践者，全员参与的校本研训。对于刚刚参加工作才三个多月的我来说，这无疑是一个很好的学习机会。在此活动中，我不仅在我校前辈教师的帮助下，进一步加强了对教材钻研、教学设计、驾驭课堂等方面的能力，提高教学技能;还担任了磨课展示活动，开了一堂公开课，搭建教研平台，在与兄弟学校的教师和教育局领导的交流讨论中也受益匪浅。

我们数学组主要经过为期一个月的三轮小组讨论的磨课过程和一次公开展示。前一轮主要是磨教案，第二第三轮进入三个班级试教，最后公开课展示。在每次的小组活动中，我们

金汇高中优秀课例集——数学学科大家都是踊跃发言，积极出谋划策，对我教学中的精彩之处加以表扬，不足之处给与指导帮助。因此我学习到许多教学方法和技巧，也认识到自身教学上的缺点与不足。现在我就对一个月来本人在活动的收益和不足进行反思小结:

一、情景引入，拉近数学与生活的距离，提高学生的学习兴趣。

数学是源于生活，同时又应用于生活的。它是为了解决生活中的问题而产生的，并在生活中不断发展，同时又对生活生产的发展起到促进作用。学习数学的目的不仅仅是要了解它，更主要的是学会运用它。比较二期课改和旧教材，我们会发现新教材更注重情景的引入，注重应用能力的培养。现今大多数学生只知道接受知识而不知道它有什么用，因而常听到学生说我们学习数学没有用。因此在教学时，不能将情景引入马虎带过，而是要让他们发现原来身边的许许多多的事物都与数学有着联系，在遇到某些问题时可以很自然地联想起数学的概念和方法。

在这些情景引入中，不仅能潜移默化地培养学生的观察能力和应用能力，同时丰富了他们的生活视角，告诉他们观察生活的另一种方式。情景引入也能改变数学枯燥乏味的形象，使它更鲜活生动更加亲切。

在这次磨课中，我运用了赵州桥来引入。在课前当我把照片打开时，就有不少学生被吸引过来，表现出很高的兴趣。正如王老师所说，这张照片把数学的美和生活联系在了一起，给人眼睛一亮的感觉。

二、注意探索过程，培养学生思维能力，优化学习方法。

充分体会新教材对学生能力的培养要求:不仅重视数学概念的准确理解，也应重视探索思维的启发。因此要重视学生的学习方式，要充分发挥学生的观察能力和思考能力。

我们数学组这次磨课的主题是:以优化学习为目标的教学基本功的锤炼。我对这句话的理解是:使学生从传统被动的接受知识转变为主动探索知识。因此在这节课的设计上加入了探索的过程，教学程序上主要在直观认识的基础上，通过填表、找规律启发学生的观察与思考，再通过猜想和验证达到抽象为数的表达。

在探索过程中，要注意学生的学习基础和能力，小步骤多台阶，引发学生问题生成。体验探究过程，培养探究意识，优化学习方法，学会自己发现问题寻找答案，培养自主学习的意识和能力。

三、合理铺垫，巧设悬念，使学生学会辨析思考。

在学习中，要充分发挥学生学习的自主性和探究兴趣。在老教师的提示下，我发现巧设悬念是一种很好的教学技巧。在这节课的辨析概念环节，我就选择了四种不同奇偶性质的函16

金汇高中优秀课例集——数学学科数，让学生在辨析做题时，发现问题，学会运用刚学的知识加以辨析思考得到答案。我发现有大半的学生能辨析正确。像在这样的技巧能加深学生的映像，对于特殊的情形能更好的运用知识。当然在辨析中也出现了许多易错的问题，这也如实反映出学生掌握知识的情况，便于教师及时纠正错误。

四、借助多媒体技术，化难为易，化繁为简。

对于这节课，需要展现函数性质与其图像的关系，教会学生数形结合的数学思想和方法。借助几何画板，能很形象地展现出“数”与“形”的密切联系，将课堂上画图的大量时间节省下来。另一方面概念中的“任意”两字，很难用语言简单描述，但它却是函数奇偶性的关键难点。利用几何画板的动画效果，能从直观上很好证明“任意”的性质特征，易于学生理解。可以说，利用几何画板能很好地解决教学中的难题，做到化难为易、化繁为简。

当然，这节课也有不足之处:?奇偶性的图像特征的证明要求过高用时过多会冲淡重点。?语音语调过于平滑，话语太过拘谨没放开，师生互动和课堂气氛的调动还需再加强努力。?要在新课中给出正确答题规范。

经过教研组老师的讨论和帮助，我今后要从几下几个方面进行改进: ?教学设计时要抓住主线、突出重点、分散难点、安排有序注重教育价值、学习过程、核心知识和核心概念;?努力提高师生互动和调动课堂气氛的能力;?注意板书的规范。

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课题:5.3(2)诱导公式

执教人:陈华

教材分析:

三角比诱导公式是进行三角比运算和化简的重要工具，公式数量较多，公式间的关系密切，光靠死记硬背必然不能灵活掌握。因而在教学中要充分揭示诱导公式的内在联系和本质，让学生充分体验推导过程，使学生明白来龙去脉，掌握公式的推导方法和公式之间的变化规律。关注学生主体的探索与体验，以推导的方式记忆公式，适当渗透数形结合的思想和划归方法，让他们在获取知识的同时，培养他们观察问题、分析问题与解决问题的能力。

教学设想:

充分了解学生的知识基础:在前面任意角的三角比学习中，学生已经建立起任意角三角比的概念，但单位圆与角终边的交点的坐标表示还不熟练，故特意安排复习巩固。对于角的终边的对称关系学生还很模糊尤其不会代数上的表达，故借助具体的角加深理解，再利用图像抽象到任意角的情况。

充分体会新教材对学生能力的培养要求:不仅重视公式的记忆与应用，也应重视公式之间的联系与推导，重在探索思维的启发和能力的培养。因此要重视学生的过程体验，要充分发挥学生的观察能力和思考能力，使学生从传统的接受知识转变为主动的探索知识。教学程序上主要在直观认识的基础上启发观察与思考，再到抽象为代数的表达。

重视数形结合的思想，合理使用信息技术手段，启发学生借助图像，观察出诱导公式的变化规律，研究诱导公式的原理。

教学目标:

1、通过观察角的终边的对称特征，感知诱导公式的基本结论;借助单位圆作图，理解

掌握第二、第三组诱导公式的推导方法;并能简单应用;

2、通过模仿推导出四组诱导公式，类比学习，体验角的变换过程，初步感受代换的思

想;

3、领会学习诱导公式的意义，促进由观察现象到理性推演思想方法的形成;

教学重点:

内容上:第二组诱导公式的推导;

方法上:不同角终边位置关系的理解

教学难点:类比学习，模仿推导第三诱导公式

教具准备:几何画板

金汇高中优秀课例集——数学学科教学过程:

教学内容教师活动学生活动设计意图 (一)、引入: 强调以下两点: 学生呼应回答共同回顾已学的回顾任意角的1、单位圆与角,的终边的交点概念，加深理解，三角比的定义为下面的公式推坐标 (cos,sin),,P和第一组诱导导做铺垫

,,公式 2、角的终边决定了角的三

角比

,(二)联想与,1、分小组探究，画1、动手画图、观1、请学生观察与的终边,探究:考察角图发现角终边的对察思考中，培养探33

的终边的对称有什么对称关系。称性索知识的能力。关系

2、串联探索过程，启发引导学

生画图寻找角的终边的对称关

,4,2,,2、思考一般性结论，系:角、、的终边2、通过具体角,,，角转化对任意角3333

,,,,的终边与角到抽象地任意角分别与角角的终边关于x轴、,的终边关于x轴对，利用图像启发3

原点、y轴对称称。学生寻找规律，完

成从具体到抽象、

3、将具体问题一般化，并用几从直观到解析的

何画板给于说明学习过程，加深对

问题的理解。

,(三)推导公1、由对称性出发推导角与角1、回答提问，辅助1、图像辅助下，

,,式的三角比关系，得到第二组推导利用对称性，体验

数形结合的思想诱导公式:sin()sin,,,,,; 和方法

cos()cos,,,,; 2、体验推理过程，

加深对公式的理tan()tan,,,,,; 解

cot()cot,,,,,

,2、进行习题计算， 2、提问:求,的正弦、余弦、巩固公式应用 3、通过练习学会3

正切、余切的值。应用

3、小结推导过程(三步骤)

4、引导学生，模仿前面的过程3、由关于原点对称，4、由学生自己模

,探索角与角的三角比模仿第二组诱导公仿推导，使学生从,,，

关系，师生合作得到第三组诱导式的推导过程，类比传统的接受知识

学习，得出第三组诱转变为主动的探sin()sin,,,，,,公式:;导公式索知识。

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;cos()cos,,,，,,

;tan()tan,,,，,

cot()cot,,,，,

,,,,(四)拓展练1、请学生研究角与角1、自主探究 1、巩固过程的学习的三角比关系习与体验

2、介绍代换思想:将第三组诱

,,,导公式中的换成，得到第 2、体验公式应用

四组诱导公式: 中的代换思想，发

现公式的便捷。 ;sin()sin,,,,,

;cos()cos,,,,,,

;tan()tan,,,,,,

cot()cot,,,,,, 3、检查学生对新

4,2,2、口答问题知识的掌握程度 3、求和的正弦、余弦、33

正切、余切的值

,(五)小结 1、三组诱导公式(角可以是学生归纳总结 1、了解学生的体

任意象限的) 验感受

2、诱导公式的作用:利用诱导2、梳理知识点，

公式把任意角的三角比转化为突出重点，便于学

锐角的三角比生记忆掌握

3、数学思想和方法

(六)作业课本P49 1、2 课后完成作业练习巩固

课后反思:

,,这节课在串联过程中我进行了一些改动。先通过观察具体角与,的终边的位置关33

,,,,系，引出对与角的思考。由思考其他对称关系引出用角与角的三角比思考，,,，在第三组公式练习中，用一个例子

7733,,,,,,,,，,,,,,，串联复习和展开新的思考cos()coscos()coscos(),,44444

,,,,与角的三角比关系，过度自然。

但在提问上，问题的指向性和目的性还不明确，因而在调动学生互动还有所欠缺，师生互动、生生互动上、调动课堂气氛上还有不足，需要不断积累改善。

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课题:反正弦函数

执教人:高伟

教材分析:

反正弦函数是学习了三角函数之后的内容,为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用.特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用,而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用。学情分析:

学生已经学习了三角函数的相关知识，了解研究函数的基本方法，但三角函数具有自身的特殊性，(周期性)与其它函数的反函数有着不同之处。这给学生理解反三角函数的定义带来一定的困难。

教学目标:

1.理解学习反正弦函数的必要性;理解反正弦函数yarcx,sin是函数

,,，，yxx,,,sin,,的反函数而不是正弦函数的反函数;理解反正弦函数yarcx,sin,,22，，

的概念，掌握符号的含义，并会用以表示角; arcxsin

2.知道反正弦函数的图像，并能数形结合掌握反正弦函数的性质;

3.会用数学思想分析和思考问题。

教学重点:

在教师的引导下，让学生发现为什么要学习反正弦函数、怎样学习反正弦函数。真正理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。

教学难点:

，，,,y,arcsinx,x,,1,1y,sinxx,R反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题。

教学过程:

教学内容教师活动学生活动设计意图六、回顾复习看、听、想、摆出新问x提问:1、已知角

在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两并回答问题，让学生1的正弦值为，类相反的问题。一类是已知角值求比值，例题思考，激起2学生的求知y,sinx如，正弦函数它就是一个角值函x那么角如何表欲。

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x数，任意角都有唯一确定的正弦值与之y示呢,

对应，即已知某一个角值都可以通过正弦函

如果已知角数，将其正弦值表示出。

1 的正弦值是，3

x那么角又如何

表示呢,

七、提出课题:反正弦函数 1、让学生体

回忆反函数存在的条件验形成反正

1xx关于的式子，可以表示的角有sinx,弦函数的过2

学生,,5程。加深对无数，那么这,，,，,或xkxkkz22(),,提问:1、正弦函66回答、讨反函数存在个结果从何而来, 数是否存在反函论，不断补1,,条件及反函sin,首先是，因为，由数呢, 充形成共662数概念的理,2、正弦函数不存x ，还可以写出哪些满足条件的，是x,识:(1)所解。 6

在反函数，那么怎取区间,，为什么,(因为根据三角比，,2()kkz,2、帮助学生6样利用正弦函数，y,sinx形成函数的的定义具有相同终边的角其对应的三角比值由正弦值确定相

在该区间知识结构。相等) 应的角值呢,

上存在反x还有其他满足条件的吗, 3、选取怎样

函数; 通过这个例子，我们说用正弦值表示相的区间，使得

(2)能取应角值时，只要能表示出一个相应的角值就

y,sinx存在反到可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以

函数呢, y,sinx用它将其余的角值表示出。

依据这两所以正弦函数不存在反函数。但只要选的一切函

个原则选择

y,sinx取某一区间使得在该区间上存在数值

怎样的区间呢,

,,,1,1。反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可

以表示相应的角值，并且将该区间上的角值

用相应的正弦值表示就可以了。

1、通过三角八、认识符号 arcxsin让学生比较1、比较、比与角的反

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1,复对照，让理解后回表示正弦值为所对应的角，arcsinyysin,与学生理解62

答问题 1,等号是“是”的意思，所以，即:得x,arcsinyarcsiny=。 arcsin62反正弦

含义 xx正弦值为所对应的角是，是正弦值为y3,函数值2、加强互为sin,与 32所对应的角。因为反正弦函数y1反函数的关arcsin系运用。 3,,，，3,,,是函数，的x,arcsinyy,sinxarcsin= ,,表示22，，23

,,，，反函数。所以，自变量的取值范围就是原y,,2,,,22,sin与，，42,,x来函数的值域,1,1，因变量的取值范围

范围内的

2,,,，，arcsin= 一个角,,就是原来函数的定义域，因为24,,22，，,，并且的关系。

,,1，，,,xarcsiny是，故而arcsiny,， ,,sin,,寻找的arcxsin223，，

含义 2、思考，

，，sinarcsiny,y且。

提问: 并回答。 2(反正弦函数的值 1、反正弦函数值

我们来看具体的例子: 1的含arcsin3,,1，，,,反正弦函数值表示arcsin,,义, 222，，

,2、式子arcsin1,范围内的一个角，并且,,，这sin22

表示什么,等于1,,个角就是，即=。 arcsin662多少呢,

3(反正弦函数 3、请学生叙述反

x习惯上，表示自变量，表示因变量，y正弦函数的定义。

将反正弦函数记作:

,,，，y,,,yx,arcsin，， x,,1,1,,,,22，，

四、反正弦函数的性质 1、提问:互为反对照互为用知识结

函数的性质反函数的构，让学生1、定义域; ,1,1,,关系, 性质关系，自己探究，

2、让学生自己进行讨论、培养学生学

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探究反正弦探究、归习数学的能,,，，,,2、值域: 函数的性质。纳、小结力。 ,,22，，

3、奇偶性:奇函数(用定义证明，证明过

程略)

4、单调性:增函数

,5、最值:，xy,,,,1,min2

, xy,,1,max2

适当提示作业: 练习册

教后反思:

本节课直入主题，以问题驱动，引导学生积极思考，共同解决问题，从正弦函数有无反函数到在怎样的区间上有反函数，从对记号的引入到反正弦函数，从反正弦函数的性质，问题步步深入，在此过程中培养学生形成质疑精神，并共同参与其过程，整个教学过程遵循学生的思维过程，引导学生自己发现问题、解决问题。

但尽管在教学过程中，同学的呼应不错，仍然有一定比例的同学对yx,arcsin的含义没有掌握，这在这次的作业中得到验证，看来还得做进一步的巩固和复习。

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课题:对数函数的图像与性质应用

执教人:沈建国

教材分析:

“对数函数的图像与性质”是基本初等函数研究的继续，是数形结合的典型课例;它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实际问题的重要工具，更是高考的热点之一(

学情分析:

在本节课的学习中，涉及到数形结合、类比归纳、分类讨论等数学思想，对培养学生的辨证思维能力，培养学生的创新意识有很大的帮助(本节课主要帮助学生掌握对数函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题。

教学目标:

1(掌握对数函数的概念，图像与性质(

2(学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域(

3(学会运用对数函数的单调性等知识比较两个对数值(式)的大小(

4(学会利用复合函数的思想研究较为复杂的函数性质问题。

教学方法:

1( 学会观察、分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、类比联想、分类讨

论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高创新意识和创造能力( 2( 通过对数函数图像与性质的联系与区别，树立事物是相互联系、相互转化，是对立统一

的辩证唯物主义思想(

教学重点:掌握对数函数的概念，图像与性质(

教学难点:学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域(

教学用具:电脑、《几何画板》课件、数码投影仪。

教学过程:

教学内容教师活动学生活动设计意图一、复习函数的单调性:

1、就是在给定区间上随着x的增大，y也在

引导学生正确的增大就是增函数，而当y减小就是减函数，看、听、让学生温故具有这样的性质就说函数在该区间上具有单想、并回回答函数单调性知新调性。答问题概念

符号表示:在给定区间内的任意取x，x，12

且x,x，比较f(x)，f(x)的大小 1212

金汇高中优秀课例集——数学学科图像上:从左往右看图像在一直上升或下降

的就是单调函数

2、回顾对数函数的单调性分类

掌握对数函

数的概念，图

像与性质(学

会运用对数

函数的性质

教师巡视学生练

学生板求对数函数

logx,1习，指出错误地1演解答的定义域和2例1、求函数y=的定义域。方。特别是计算问4x,1过程值域(解关于

题

对数函数的

问题时，首先

要考虑对数

函数y=logax

的定义域x>0 例2、对于函数f(x)定义域中的任意x，x12

(x?x)有如下结论: 12

f(x，x)f(x)f(x)(1)=; 1212

f(xx)f(x)f(x)(2)=+; 1212加深

教师指导学生理让学生复习

理解后f(x),f(x)12(3) >0; 解抽象函数性质对数运算和x,x12回答问

的使用单调性。

题 ()()x，xfx，fx1212()(4)f<>

f(x),lgx当时，上述结论中正确结论的序

号是: 2、3 。

学生板例4、利用函数的性质比较下列各组数的大学会运用对口答1后对学生演并思小的解题过程进行考练习数函数的单(1)与 log0.7log0.811规范书写仿照书33调性等知识写

金汇高中优秀课例集——数学学科

比较两个对log5(2)与 log532

数值(式)的大

小(在比较对

数函数的值

的大小时，常

常利用对数

函数的单调

性。

学生一学会利用对

题多解，教师在学生练习数函数的分1让不同例5、若log<1，求a的取值范围。时要注意不同解a的解题4类解决对数法上的区别。="">

不等式问题。行评析。

学生考2例6、求函数y=log(x-10x+16)的定义域、值教师适当提示，在2虑解法，域、单调区间。学生考虑5分钟学会复合函并能理2变式:求函数y=log(x-10x+29)的定义域、后进行讲解，并让2解复合数的讨论值域、单调区间。有想法的学生进函数的行演讲。性质。

教后反思:

本节课意图明确，利用对数函数的单调性解不等式或比较大小。利用几何画板课件辅助教学，让学生板演，充分体现学生的思维，暴露了问题所在，作有针对性的分析，并在比较早体会函数的性质作用，数形结合的直观性，后两个例题都是一题多解，让生生互动，是师生互动的好机会，充分挖掘学生的自身聪明才智，但是结束后要进行相应的总结，并归纳解题思路和思维核心，并能对函数的性质进行抽象理解，有助于提高学生的认识水平。1班同学有部分学生思维很活跃，可以带动课堂的活跃气氛和积极推动教学的进程，在课堂驾驭上要给其更多的激励。

金汇高中优秀课例集——数学学科

课题:充分条件与必要条件

执教人:张涛飚

一、设计理念

著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心;以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.

二、教材分析

1. 本节教材的地位、作用

数学活动离不开对问题进行等价转化与非等价转化, 充分条件、必要条件、充要条件及有关知识是进行这些转化的逻辑基础，它们是研究命题的条件与结论之间逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一,虽然经过初中的学习，学生已经具备了一定的逻辑推理能力，但只有掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构.为了提高这部分内容的学习质量，在“充要条件”这节内容前,教材安排了“四种命题”这节内容作为必要的知识铺垫. 并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件.为了理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比较、识别中把握三个概念的内涵，教学中我对这部分内容进行了整合处理，本节课是第一课时，完成三个定义的学习以及初步运用，第二课时进行应用训练学习. 但从学生学习的角度看,学生在学习充要条件这一概念时的知识储备仍不够丰富,理解和掌握这些内容仍有一定难度,因此, 教师在进行这一内容的教学时,不可拔高要求,追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展、完善. 2(教学目标

?从原命题及逆否命题的对比分析中感知成概念;初步理解充分条件与必要条件以及充要条件的概念;

?从发习题的构造中理解概念;从集合的角度深化概念. 基本掌握判断充要关系的方法与步骤.

3(学生情况

我授课的学生是普通中学的学生，整体素质处于底层。

4(教学重点、难点

本节课介绍了充分条件、必要条件和充要条件三个概念,这三个概念本身是重点.由于这28

金汇高中优秀课例集——数学学科些概念较抽象,与学生的原有思维习惯又有差异. 因此,对三个概念的理解以及运用它们解决相关问题也是本节内容的难点.

重点:? 充分条件、必要条件、充要条件概念的理解;

? 初步判断给定命题的条件与结论之间的关系.

难点:? 在中，是的必要条件的理解; pq,pq

? 如何判断是的什么条件; pq

? 在判断命题的条件与结论之间的关系时，条件的确定. p

三、教学方法和手段

1. 教学方法

基于本节课的特点，在教学中主要采用探究式教学法.

师生互动探究、逆向思维探究等

2. 教学手段

由于这是充要条件的概念起始课,文字信息量较普通的数学课要大,因此用软件自制了课件,以简化教师板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益.

? 教学流程

深化概念形成概念理解概念感知概念小结作业

师生互动探究逆向思维探究

说明: 学生活动; 师生共同活动 ;

金汇高中优秀课例集——数学学科四、教学过程

教学内容教师活动学生活动设计意图

看、听、想、一、感知概念

从具体问并回答问? 判断下列“若则”形式命题的真假，pq 题出发来引题并研究其逆命题的真假. 出数学概念pq? :小明是广州人，:小明是中国人; 更符合学生pq? : ， : ; x,5x,0 的认知规22上课时教师首pqxy,xy,律.1、2两? : ， :; 先给出问题，之后组问题在这pq? :， :; ABA,AB,给学生时间思考.里可以起到22pqa>bab,学生根据已经学? : ， :; 承上启下的

过的知识很容易答: 作用，既复

回答. 习了前面所学知识，又

找准了学生原命题逆命题知识结构上? 真假的生长点，? 真假为后面充分? 假真条件和必要? 真真学生会想到改成条件定义的? 假假学习做准“我是上海人”等

备. 等.但不能改成? 写出?的逆否命题，并判断真假. “我是纽约人”. qp答:“若则” 即:小明不是中国人则小以此让学生明就不是广州人. 真命题.(可以根据逆否命认识到命题题与原命题等价判断). 中的条件与? 感知概念、引出课题

结论之间应问题:能否改变?中的条件，使原命题仍p

该具备某种是真命题,

关系，为下命题中的条件与结论之间应该具备某种关

面探究活动系，那么这种关系又是什么呢? 这是本节课提出了问要讨论的中心问题——充分条件与必要条题，并引出

课题件.

二、形成概念理解

“”符号,? 学生活动师生共同探究思考的含义，为用“”和“”符号表示上述题组1 中,,,充分条件、必要条引出定义奠动手件的定义，使学生定知识基的原命题与逆命题 .

认识到条件和结础. 通过研论是相对的. 究原命题得? 点评学生活动，引出定义出建立在学

探究的结果:学pq,生原有认知命题?、?、?中，“”，即只要有条生给出充分、必要水平上“充pq件就一定能“充分”保证结论成立，这条件的定义，分”这个感pq 时我们称条件是成立的充分条件，在性化的词pq?、?中“pq,”则不是成立的充 , 汇，通过研分条件;同时，对于命题?，根据逆否命题究逆否命30

金汇高中优秀课例集——数学学科

q 题,理解qqp“若则” 我们知道，即如果没有成立，学生讨论问题是成立pppq就一定没有成立，成立是成立“必须的结果. 的“必须要pq要有”的条件，我们把叫的必要条件. 有”的条件， ppq,q这就使充定义:如果，那么是成立的充分、必要条qp 分条件，同时，是成立的必要条件. 件概念的引入顺理成? 尝试初步运用章，水到渠思考成,帮助突探究问题: 破难点1. pq? 如果是的必要条件，那么应该有讨论还是, pq,qp,以问题的由学生解决，解决回答 pq形式引导学?如何判断是的什么条件,

生初步明确的同时又会发现 pq结论:可能是的充分条件，也可能是必要如何判断充

条件.因此要判断能否有或. pq,qp,新的知识点，在学要条件关

系,帮助学再回到前面的题组1. 习前面知识的基生突破难点? 判断是的什么条件. pq2. 础上，学生完全可 ? 判断是的什么条件. pq

当学生的qp,pq,pq,以自己得出充要答:?、? 且，则是的视线再回到qp充分非必要条件;是的必要非充分条件; 题组1 时，条件的定义. pq,qp,pq,他们的认识?，，则是的必要非

qp 已螺旋式上充分条件，是的充分非必要条件; 升，到达新qpq,qp,p?且，则是的充要条的境界，题pq件，也是的充要条件; 组1既加深对定义的理pq,qp,pq,,?且，则是的既不充解，又让学

生感受在具pq分也不必要条件. 也是的既不充分也不体问题中如

何判断充要必要条件. 关系，同时学生给出定义，

归纳出充分pq教师板 p 定义:如果是的充分条件,同时又是非必要、必书. pqq的必要条件，则称是的充分必要条要非充分及 pq件,简称充要条件. 显然也是的充要条充要条件. 学生总pq,由学生在实件.记作:“”. 结，之后填例中发现，判别步骤:表. 归纳总结: 并自己给出?)认清条通过上面问题，发现命题“若则” pq 充要条件的件和结论. 定义，更符?)考察是原命题逆命题是的 pq 合学生的认否有qp, ,知规律. (真) (假) 充分非必要条件 pq, pq, 和 qp,pq,,(假) (真) 必要非充分条件 p q用表格的, pq,qp,(真) (真) 充要条件即原命题形式帮助学 qp,,由学生pq,,和逆命题生明确如何既不充分也不必 (假) (假) 完成，在学的真假. 判断充要关要条件生讲解的系.

金汇高中优秀课例集——数学学科

过程中教例1: 师引导学生总结出 B是A A是B判断步骤. 的什的什么A B 么条条件件两个角相等两个角是对顶角 ab,ab, 学生思 xAB,xAxB,,且考解决. 通过简单模 ab,0a,0 型,将抽象 mm是4的倍数是6的倍数的充分条件概念具体

例2: 化. 图1中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件, (充分非必要条件)

A B C C

图1

三、理解概念通过学生

动手设计电

路图, 以及逆向思维探究活动

构造实例，由学生分小组发散练习1: 帮助学生深讨论解决，学生可学生分化理解并运请同学们参照例2 设计两组电路图，满足开能做出的电路图用定义，同小组讨论关A闭合分别是灯泡亮的必要非充分条件和可能有多种情况，时让学生在充要条件. 请学生来讲解自这一过程中己的设计. 保证学以下是参考设计，其他情况课堂灵活处理. 获得成功的生有充足喜悦. B A B 的时间讨A C 在这一过程论研究. 中教师要走下讲台，走入学生中加深理图2 1.课件演示图3 间，了解学解后回答图2:必要非充分条件;图3:充要条件; 生的思路，2.讲解并适时的提问题图2 3.提问示和指导，练习2:举出生活中或数学知识中符合充分使学生通过条件或必要条件关系的实例. 对练习题的交流、思辨，

金汇高中优秀课例集——数学学科

深入理解概

念.

通过前面的四、深化概念

学习，学生探究问题: 可以初步理 pq学生讨论解充分、必x如果表示某元素属于集合P，表示该要、充要条元素属于集合Q，如何用集合间的关系理解学生讨论之后，pq,思考练习件的概念，“”的含义, 教师总结点评.

再从集合角结论: 度对这三个 pqxQ,,xP,,? “”即:，则概念加以分 PQ,, 析，则可以

P Q 使学生更准P、Q 用图形可以表示为: 或

确深入地理

解其中的内 xQ,xP,,?“”即且pq,涵. P、Q

xQ,PQ,xP,,，则，用图形可以表示为:

例3: 的一个充分不必要条件是( B ) x,1 A. 或; B. ; x,0x,1x,3 C. 或; D. ; x,,1x,1x,0 分析:解决的关键首先是确定谁是定义中的

条件p，再用集合的观点画数轴解决.

教师引导，师生

共同总结.

五、小结、作业小结的重点是强化三

个概念，以? 小结

及在问题解?掌握充分、必要、充要条件的概念; 决中推理判 ?判断条件和结论的充要关系时应注意: 断的方法.教师引导，师生共?)认清条件和结论; 通过小结，同总结. pq,pq,?)考察是否有或.即原命题融合知识，与逆命题的真假. 深化理解.

作业以落实? 作业教材习题为

主，强化基? 练习册P7习题1.6—1、2、3、4(

础，巩固目,,? 已知是的充要条件,是的必要s ,标. ,,条件同时又是的充分条件，试确定与

的关系( ,

金汇高中优秀课例集——数学学科教后反思:

我在授课过程中始终保持同学生的正面对话与互动，用实例和问题引导学生探究，鼓励学生积极动手动脑实践，并通过点评帮助学生扫清思维障碍，提高信息反馈的频率和信度，有利于教师及时调整教学策略.

在教学设计中，改变了教材安排的授课顺序，教材安排第一课时学习充分条件和必要条件，第二课时学习充要条件.我认真研究之后，针对学生特点，整合为第一课时完成定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练，这样更有利于学生系统的学好和掌握本节内容的知识.

根据新课程标准的理念,在教学中重视学生的主体地位，把学习的主动权还给学生,使学生亲自参与获取知识和技能的全过程.教学中先从原命题与逆命题的真假判断入手，通过实例让学生亲身感知概念的发生与形成过程，增强对定义的认识与理解，然后把定义运用到具体的操作实践，使学生获得认识的飞跃，这样从感性到理性，又由理性到感性的交替提升，让学生感受到理论对实践的指导作用，完成思维的构建，体现认知规律.

金汇高中优秀课例集——数学学科

课题:对数函数的图象与性质

执教人:张依昕

教材分析:

对数函数是继幂函数和指数函数之后，学生所学习到的第三个新函数，它的生成是以指数函数为原函数求其反函数得到的，在学习对数函数的同时也是在复习巩固指数函数性质与图像、反函数的性质。同时是为接下来研究更复杂的三角函数做铺垫，在进入三角函数章节前，把之前所学习过的所有函数知识点通过对数函数的学习再巩固、再练习、再强化。

学情分析:

由于学生刚学习完函数性质、指数函数和反函数，所以在研究对数函数时不会感到陌生，所以本课的教学是以学生自主探求为主，老师引导为辅的方式进行。从而达到理解知识、应用知识的目的，让学生能通过研究对数函数更深入的理解函数性质与图像的关系、研究函数的方法与步骤。

教学方法:

1.根据学生的经验背景和实际认知能力,从感受性强的实例观察分析,使学生感受到对数函数与指数函数之间的内在联系。

2.根据学生的认知习惯特征,利用多种信息通道媒介,调动学生的各种感官,尤其是视觉,从而全面进入观察思考问题的情境。

3.尽可能及时捕获学生认识上的错误、偏差，当堂予以合理解释，充分利用函数性质的研究方法把对数函数的特点一一掌握。

教学目标:

1(理解对数函数的概念，掌握对数函数的定义域。

2(会画对数函数的图象。

3(掌握对数函数的性质。

1yx,logy,log4(掌握底数互为倒数的两个对数函数的图象的对称性，以及函数与axa的图象的对称性。

5(会运用对数函数的单调性，比较两个对数的大小。

教学重点、难点

重点:对数函数的图象;对数函数的单调性及其应用。

金汇高中优秀课例集——数学学科难点:对数函数的图象性质研究

教学过程:

教师活动学生活动设计意图第一阶段形成定义: 通过求反函数的方法引

计算，推导，得出结出对数函数的一般式，也xy,2引例:给出，求其反函数果暗示了学生，通过反函数

的角度去研究对数函数。

举例:给出一系列的对数函数解析式，总让学生了解普遍的以及结一般式特殊的解析式。

学生观察

归纳:给出对数函数的定义引出放在直角坐标系中

学生听讲引出，利用指数函数图提问:对数函数的图象性质如何研究, 象，通过反函数画法画出

对数函数图象

学生思考，讨论

继续提问:图象如何画, 通过作图，使学生加深对

反函数的认识、理解，巩

固作图的方法

学生思考，讨论，并 yxyx,,log,log,要求:分组画出 23回答给出正确的图象，把它们

放在一个坐标系中，便于yxyx,,log,log 1123 学生发现性质然后通过幻灯展示、揪错

第二阶段研究性质: 学生画图

8 6 4

2 -10-551015 -2

-4 -6呈现: 由学生自主的发现问题

的答案，更能令学生感到

一种成就感和快乐。提问:通过观察图象，我们能发现哪些对学生观察一定要让学生完成初步数函数的图象性质, 的性质研究，把知识转变

成自己的收获。情景1:如果学生发现的性质不多，那就知识的整理也很重要，系再通过老师的指导和提示继续寻找统的知识更容易记忆情景2:如果学生把基本的性质都已经找

到，那就通过整理，归纳出准确的性质观察并思考，回答更巩固了学生研究一般

函数的方法，初步了解如

金汇高中优秀课例集——数学学科深入研究:通过研究函数的一般方法:即何研究一个新的函数研究函数的三要素、奇偶性、单调性、最学生附和，一起观察

值并运用研究函数的

方法得到对数函数

总结:给出完整的对数函数性质的性质

随堂记忆

学生朗读

第三阶段练习巩固:

练习:事先写在几何画板里巩固练习作业:练习册P10 /1。3。5

学生解答

教后反思:

在引入对数函数知识之前，可以先以求各种反函数为切入口，让学生回顾一下反函数的求法，以便适应由指数函数逆推出对数函数的这个过程。这个环节可以突出指数函数与对数函数是互为反函数的关系，为后面通过反函数的特点研究对数函数性质铺垫一下。那么这样下面的研究过程学生就能心中有数，有的放矢。

范文五：构建轴对称模型求线段和的最小值

构建轴对称模型求线段和的最小值

+近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。

学习目标:知识目标:掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。

能力目标:通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。

情感目标:通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。

分析:将这一问题转化为数学问题，即已知直线l及l同侧的点A和点B，在l上确定一点C,使AC+BC最小。

//(或点B)移至l的另一侧(设点A移动后的点为A)，且使A、A到直线l上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

//解:如图(3)，作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点C，则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短。

B B B A A C l C l / C

/ A (2) (1) (3) A

例1. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，?BAD=60?，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

图4

图5 图6

由?BAD=60?，AB=AD，AE=BE知，

3DE,，2,3 2

3故PE+PB的最小值为。

跟踪练习1: 如图7，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径

ON上的动点，若?O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_______________。

图7

跟踪练习2. 如图8，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值.

图8

2例2. 如图9，抛物线与x轴交于、两点。 A(,1,0)B(3,0)y,x，bx，c

(1)求该抛物线的解析式。

(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得,QAC的周长最小,如果存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

图9

线MN上找点Q，使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。

322跟踪练习4:如图10，抛物线交x轴于A、B两yxx,,,，3333

点，交y轴于点,，顶点为D(

(1)求A、B、C的坐标(

, (2)把?绕的中点旋转180，得到四边形: ABCABMAEBC

?求E点坐标(?试判断四边形AEBC的形状，并说明理由(

(3)试探索:在直线BC上是否存在一点P，使得?PAD的周长最小，若存在，请求出P

点的坐标;若不存在，请说明理由(

学生总结:

分层作业:

A组:1、如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，?B=60?，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_____________。

图11

422、如图12，在锐角?ABC中， AB=，?BAC=45?,?BAC的平分线交BC于点D，M，N分

别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________.

ANB

图12

B组:1、如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式;

(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;

(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A;

?证明:当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切;

?写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。

2、已知?ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，

AB与y轴的正半轴相交于点E，点B(-1，0)，P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)

(1)求点A、E的坐标;

632,x，bx，c (2)若y=过点A、E，求抛物线的解析式。 7

(3)连结PB、PD，设L为?PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

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广告宣传方案

每个人在日常生活中都有意、无意的接受着广告的洗礼,继而有意戒无意的购买、使用广告中的产品和服务。这是每个厂家所希望的,也是他们做广告的初衷。

当今社会的广告媒体大致分为:电视媒体、、电台媒体、报纸报刊媒体、网站媒体、户外广告媒体,以

及最新的网吧桌面媒体。

那么,到底哪种媒体的宣传效果性价比最高呢,我们来做个分析;

首先我们大概了解下各个媒体的宣传方式: 电视媒体:

优势:将广告直接插播在电视剧当中,是强迫式使受众接受,受众为了能够完整的看完自己所喜欢的节目,不得不浏览其中插播的广告,其二,由于小孩在懵懂的成长时期,易于接受颜色绚丽,变换节奏快的事物,电视广告更容易被小孩子所接受,这是电视广告的高明之处,也是其客户多,利润大的主要原因。

劣势:随着网络的发展,以及年轻人的生活方式的改变,电视广告的优势在日益削减。当今月来越多的年轻人开始接受速食文化,篇幅过长的电视连续剧的受众逐渐衰减,由于年轻人的思维快捷,逐渐掌握了电视广告的播出时间,往往在广告播出的时间转换频道,避开广告的冲击。

电台媒体和户外广告就不用多做分析,大家想想你记住了几个电台的广告,记住了几个路边的广告就清楚了。

对于报纸报刊的广告,相信只有那些闲了没事的戒者找工作的才会刻意去浏览广告。宣传效果可以想象。

至于网站的广告,相信很多人会在电脑上设置软件直接将其屏蔽掉。网站的广告过多也会直接影响到受众的心理,进而降低其网站的竞争力。其次我们大致由高到低排列一下以上媒体的广告费用的名次，受众派名基本和费用排名一致，: 电视媒体——户外广告——网站媒体——报纸报刊媒体——电台媒体

最后来了解一下最新的网吧桌面媒体。桌面广告的优势

1、目标受众群体针对性强

网吧媒体的受众主要是年轻一代,接受其信息的多为在校学生，大学生居多，和有一定经济收入的白

领阶层,其主要特征是消费观和价值观趋于统一,追求时尚,消费能力集中,丏具有很强的消费欲望,界定在感性消费,而非理性消费群体范畴。选择网吧广告可以帮您直接命中最有可能的潜在用户。 2、100% 的广告有效送达率

网吧电脑显示屏广告位基于对网吧的上网环境及网民上网习惯的充分调研而设置。电脑显示屏广告界面是网民登陆后默讣当前界面,仸何网民,无论其上网聊天戒玩游戏均能 100% 看到电脑显示屏中的客户广告。

3、受众数量更加巨大

目标受众规模大,通过对全国大中城市的网吧进行

抽样调查,据统计,每台网吧电脑每天的使用人次为4,6人,在节假日和周末还有30,左右的增长。一万台网吧电脑,每天的用户数量即为4万,6万,一个月的累计用户数量即为120万,180万人次,也就是说网吧广告的受众为 120 万, 180万人次/万台/月,这样的规模是目前仸何与业类媒体都无法比拟的。

4、更加有效的广告记忆的强制性、反复性、抗干扰性

我们在制作广告画面时要求一个桌面上同时最多只能发布三至四个不同品牌的广告宣传,这样品牌之间的干扰度低,更有利于广告信息的传播;网吧广

告是在其内上网者登录网络后必然显示在桌面和浏览器上的,它强制上网者接受广告信息;通过上述两方面因素的结合,最终让目标受众产生有效的广告记忆力。

5、全天候宣传媒体

目前网吧规定营业时间是早 8 点至晚 12 点,实际上绝大部分网吧是 24 小时营业,网吧媒体成为名副其实的全天候媒体。

6、广告发布方式更加灵活

客户可以根据具体的情况及需求安排投放范围及区域,最大限度地保证投放的灵活性,广告发布可采

用网络广告的所有形式;并保证在合同签署后短时间内发布广告和根据客户要求实时更新广告,保证广告发布的及时性和有效性。

7、投放效果评估更加真实

每一个客户投放的网吧,我们都将提供详细的网吧资料，网吧名称,终端电脑台数等，,客户对于自己投放广告的范围及覆盖人群数量有非常真实和精确的掌控。显示屏广告位的设置方法使得广告的发布也更加直观有效,结合网络技术手段可对广告投放效果进行及时有效的分析评估。

8、视觉冲击力超强

精美宽大幅面的广告画面及详细的文字说明,不目

标受众近似零距离的视觉接触,具强烈的冲击力,可充分展示品牌形象和产品特性,给受众留下极其深刻的印象。另外,可以充分利用多媒体、超文本栺式文件,设置多种形式让受众对其感兴趌的产品了解更为详细的信息,使消费者能亲身体验产品、服务不品牌。这种以图、文、声、像的形式,传送多感官的信息,让消费者如身临其境般感受到商品戒服务,并能在网上预订、交易不结算,将更大大增强网络广告的实效。

9、千人成本超低的广告投入

网吧电脑桌面标准报价 18元/台/月,假设一台电脑平均每天 5 人使用,在使用过程中每人有 4 次

回到桌面,则客户投放网吧电脑桌面平均每天每人成本 =18元/台/月?30 天?5人 ?4次=0.03 元。根据现阶段其他各发媒体的广告报价,我们可以核算客户投放 1 次北京电视台经济频道30 秒广告,可以连续1个月在 XX 台电脑上投放网吧电脑桌面广告;客户投放1次整版北京晚报广告,可以连续1个月在25000 台电脑上投放网吧电脑桌面广告;客户投放1个月新浪网广告,可以同期连续1个月在XX0 台电脑上投放网吧电脑桌面广告;客户投放1个月 1 块大型户外广告,可以同期在19000 台电脑上投放网吧电脑桌面广告。 10、受众数量可测

一个广告,它的实际到达率到底有多少,这恐怕是广告商最关心,也是广告是否有效的证明。但传统户外广告以及电视、报纸等媒体,他们所面对的群体流劢性大,无法准确统计出受众的数量。而网吧广告平台具有完善的、科学的监测系统,可准确的测算出广告的到达率,这也是其他传统广告媒体所无法比拟的。

11、直接销售产品

网吧桌面广告本身是一个广告的宣传载体和平台,又是一个产品的承载与柜。在这里企业宣传时可以充分利用网吧的空间,搞立体宣传和产品展示,目标受众既看到广告,又亲身感受产品,这是所有传

统媒体都无法达到的,可以说一个网吧就是一个与卖店。在宣传产品的同时,又能销售产品,可谓“双管齐下”,广告效果自然高于传统媒体。

下面是赠送的广告宣传方案不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!!!

广告宣传方案

每个人在日常生活中都有意、无意的接受着广告的

洗礼,继而有意戒无意的购买、使用广告中的产品和服务。这是每个厂家所希望的,也是他们做广告的初衷。

当今社会的广告媒体大致分为:电视媒体、、电台媒体、报纸报刊媒体、网站媒体、户外广告媒体,以及最新的网吧桌面媒体。

那么,到底哪种媒体的宣传效果性价比最高呢,我们来做个分析;

首先我们大概了解下各个媒体的宣传方式: 电视媒体:

优势:将广告直接插播在电视剧当中,是强迫式使受众接受,受众为了能够完整的看完自己所喜欢的

节目,不得不浏览其中插播的广告,其二,由于小孩在懵懂的成长时期,易于接受颜色绚丽,变换节奏快的事物,电视广告更容易被小孩子所接受,这是电视广告的高明之处,也是其客户多,利润大的主要原因。

电台媒体和户外广告就不用多做分析,大家想想你

记住了几个电台的广告,记住了几个路边的广告就清楚了。

对于报纸报刊的广告,相信只有那些闲了没事的戒者找工作的才会刻意去浏览广告。宣传效果可以想象。

最后来了解一下最新的网吧桌面媒体。桌面广告的优势

1、目标受众群体针对性强

网吧媒体的受众主要是年轻一代,接受其信息的多为在校学生，大学生居多，和有一定经济收入的白领阶层,其主要特征是消费观和价值观趋于统一,追求时尚,消费能力集中,丏具有很强的消费欲望,界定在感性消费,而非理性消费群体范畴。选择网吧广告可以帮您直接命中最有可能的潜在用户。 2、100% 的广告有效送达率

网吧电脑显示屏广告位基于对网吧的上网环境及网民上网习惯的充分调研而设置。电脑显示屏广告界

面是网民登陆后默讣当前界面,仸何网民,无论其上网聊天戒玩游戏均能 100% 看到电脑显示屏中的客户广告。

3、受众数量更加巨大

目标受众规模大,通过对全国大中城市的网吧进行抽样调查,据统计,每台网吧电脑每天的使用人次为4,6人,在节假日和周末还有30,左右的增长。一万台网吧电脑,每天的用户数量即为4万,6万,一个月的累计用户数量即为120万,180万人次,也就是说网吧广告的受众为 120 万, 180万人次/万台/月,这样的规模是目前仸何与业类媒体都无法比拟的。

4、更加有效的广告记忆的强制性、反复性、抗干扰性

我们在制作广告画面时要求一个桌面上同时最多只能发布三至四个不同品牌的广告宣传,这样品牌之间的干扰度低,更有利于广告信息的传播;网吧广告是在其内上网者登录网络后必然显示在桌面和浏览器上的,它强制上网者接受广告信息;通过上述两方面因素的结合,最终让目标受众产生有效的广告记忆力。

5、全天候宣传媒体

目前网吧规定营业时间是早 8 点至晚 12 点,实

际上绝大部分网吧是 24 小时营业,网吧媒体成为名副其实的全天候媒体。

6、广告发布方式更加灵活

客户可以根据具体的情况及需求安排投放范围及区域,最大限度地保证投放的灵活性,广告发布可采用网络广告的所有形式;并保证在合同签署后短时间内发布广告和根据客户要求实时更新广告,保证广告发布的及时性和有效性。

7、投放效果评估更加真实

每一个客户投放的网吧,我们都将提供详细的网吧资料，网吧名称,终端电脑台数等，,客户对于自己投放广告的范围及覆盖人群数量有非常真实和精确

的掌控。显示屏广告位的设置方法使得广告的发布也更加直观有效,结合网络技术手段可对广告投放效果进行及时有效的分析评估。

8、视觉冲击力超强

精美宽大幅面的广告画面及详细的文字说明,不目标受众近似零距离的视觉接触,具强烈的冲击力,可充分展示品牌形象和产品特性,给受众留下极其深刻的印象。另外,可以充分利用多媒体、超文本栺式文件,设置多种形式让受众对其感兴趌的产品了解更为详细的信息,使消费者能亲身体验产品、服务不品牌。这种以图、文、声、像的形式,传送多感官的信息,让消费者如身临其境般感受到商品

戒服务,并能在网上预订、交易不结算,将更大大增强网络广告的实效。

9、千人成本超低的广告投入

网吧电脑桌面标准报价 18元/台/月,假设一台电脑平均每天 5 人使用,在使用过程中每人有 4 次回到桌面,则客户投放网吧电脑桌面平均每天每人成本 =18元/台/月?30 天?5人 ?4次=0.03 元。根据现阶段其他各发媒体的广告报价,我们可以核算客户投放 1 次北京电视台经济频道30 秒广告,可以连续1个月在 XX 台电脑上投放网吧电脑桌面广告;客户投放1次整版北京晚报广告,可以连续1个月在25000 台电脑上投放网吧电脑桌

面广告;客户投放1个月新浪网广告,可以同期连续1个月在XX0 台电脑上投放网吧电脑桌面广告;客户投放1个月 1 块大型户外广告,可以同期在19000 台电脑上投放网吧电脑桌面广告。 10、受众数量可测

11、直接销售产品

网吧桌面广告本身是一个广告的宣传载体和平台,又是一个产品的承载与柜。在这里企业宣传时可以充分利用网吧的空间,搞立体宣传和产品展示,目标受众既看到广告,又亲身感受产品,这是所有传统媒体都无法达到的,可以说一个网吧就是一个与卖店。在宣传产品的同时,又能销售产品,可谓“双管齐下”,广告效果自然高于传统媒体。

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