圆锥曲线定值问题

范文一：圆锥曲线定值问题

一、定值（点）问题

x2y2

1. 已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0,2)是椭圆的ab

一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1， k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（-

1,-2）． 2

x2y2

2. 已知椭圆C:2+2=1(a>b>

0)的两个焦点分别为F1(

0)，F2，点ab

M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点,设点N(3,2)，记直线AN，BN

的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值.

x2y23. 已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)过点(0,1

). ab

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A1,A2为椭圆C

的左、右顶点，直线l:x=x轴交于点D，点P是椭圆C

上异于A1,A2的动点，直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点.证明：DE?DF恒为定值.

x2y214. 已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B ab2

为短轴的端点，△A1BA

2的面积为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P

与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．

x2y25. 已知椭圆C：2+2=1(a>b>

0)的离心率为，且经过点M(-2,0)． ab2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，连接MA，MB

并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且

1111+=+．求证：直线l过定点． y1y2yPyQ

x2y2

6. 已知椭圆2+2=1的一个焦点为F

(2,0) ab（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A,B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程.

7．如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)， B(x2,y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．

（Ⅰ）求y1y2的值；

（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2.证明：

k1为定值． k2

28.已知椭圆C+y=1的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两4

点，其中点M (m,1) 满足m≠

0，且m≠ 2

（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；

（Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；

（Ⅲ）若?BME面积是?AMF面积的5倍，求m的值.

x2y2

9.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F

2，点B为短轴的一个ab

端点，∠OF2B=60?.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k'.求证: k?k'为定值.

x2y2

+=1与直线l：y=kx+m交于A,

B10.已知椭圆E：84

两点,O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线l椭圆的左焦点，且k=1，求△ABC的面积；

（Ⅱ）若OA⊥OB，且直线l与圆O：x+y=r相切，求圆O的半径r的值.

11.已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1,0)，过F的直线l交抛物线C于A,B两点，

直线AO,BO分别与直线m：x=-2相交于M,N两点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.

222

x2y210)，且椭圆C的离心率为. 12.已知椭圆C：2+2=1（a>b>0）过点(2，ab2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

N两点，（Ⅱ）若动点P在直线x=-1上，过P作直线交椭圆C于M，且MP=PN，

再过P作直线l⊥MN.证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

13.已知抛物线C：y=2px(p>0)的焦点为F（1,0），点O为坐标原点，A，B是曲线C

上异于O的两点.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-

21,求证：直线AB过定点． 2

范文二：圆锥曲线定值问题

圆锥曲线定值问题 1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于x

A、B两点，与共线。 a,,(3,1)OAOB，

(?)求椭圆的离心率;

22(?)设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。 OMOAOBR,，,,,,, (,),，,

CC31的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为( 2..已知椭圆x

C(?)求椭圆的标准方程;

CABAB，AB(?)若直线与椭圆相交于，两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过lykxm:,，

Cl椭圆的右顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标(

22xy3(设椭圆过点，且着焦点为( (0)ab,,M(2,1)F(2,0),C:1，,122ab

C(?)求椭圆的方程;

ABlC(?)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足P(4,1)QAB,

，证明:点总在某定直线上( QAPQBAQPB,,,

22yxyb4.已知点为双曲线(为正常数)上任一点,F为双曲线的Pxy(,),,12100228bbP2PAA右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交y轴于.(1)PFAPP1122

OFFx12PE求线段PP的中点的轨迹的方程; 12

EE(2)设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线xBD、Qxyy(),(0),111

y分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点. MNMN，QBQD，

35.已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(,1，0)(1，0)。 2

(1)求椭圆C的方程;

(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为

定值，并求出这个定值。

范文三：圆锥曲线(定值问题)

学大教育呼分2011年12月29号教师学习资料

从二中第三次月考题说起. 本次课分为三部分内容：首先，是直线参数方程与圆锥曲线问题；其次，说

解析几何中弦的中点问题；最后是定值问题.

二中月考题分享

12. 若y =kx +1与圆x 2+y 2+kx +my -4=0交于M ，N 两点，且M ，N 两点关于x +y =0对称，

kx -y +1≥0

则不等式组 kx -my ≤0所表示的平面区域的面积为（）

y ≥0

21. 已知f (x ) =x ln x ，g (x ) =-x +ax -3.

（1）求函数f (x ) 的最小值；

（2）对一切x ∈(0,+∞),2f (x ) ≥g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围； 211 B. C. 1 D. 2 42

2e x -1

（3）证明：x ∈(0,+∞) 时，e ln x ≥1- x x

直线参数方程的应用

过定点M 0(x 0, y 0) 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为??x =x 0+t cos α（t 为参数），其中t 表示

?y =y 0+t sin α

直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y ) 为终点的有向线段M 0的数量，由此，易得参数t 具

有如下的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为t A , t B ，则

性质一：A 、B 两点之间的距离为|AB |=|t A -t B |，特别地，A 、B 两点到M 0的距离分别为|t A |,|t B |.

性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为

反之亦然。

在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。

t A +t B ，若M 0是线段AB 的中点，则t A +t B =0，2

1．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度，

已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α=

（1）写出直线l 的参数方程；

（2）设l 与圆ρ=2相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积.

2. 过点P (1,0)，倾斜角为

标。

范文四：圆锥曲线--定值问题

圆锥曲线--定值问题(星级

)

x 2y 21?1、已知椭圆E :2+2=1(a >b >

0)的一个交点为F 1,

而且过点H ?.

a b 2?（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为A 1, A 2, P 是椭圆上异于A 1, A 2的任一点, 直线PA 1, PA 2

()

分别交x 轴于点N , M , 若直线OT 与过点M , N 的圆G 相切, 切点为T . 证明：线段OT 的长为定值, 并求出该定值

【答案】解法一:由题意得a -b =3,

3122

+=1, 解得a =4, b =1, 22a 4b

x 2

+y 2=1. ………………………………4分所以椭圆E 的方程为4

解法二:

椭圆的两个交点分别为F 1, F 2

(

)

由椭圆的定义可得2a =|PF 1|+|PF 2|=

+=4, 所以a =2, b 2=1, 22

x 2

+y 2=1. …………………………4分所以椭圆E 的方程为4

（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知A 1(0,1), A 2(0, -1), 设P (x 0, y 0),

直线PA 1:y -1=

y 0-1-x 0

; x , 令y =0, 得x N =

x 0y 0-1

直线PA 2:y +1=

y 0+1x

x , 令y =0, 得x M =0; 设圆G 的圆心为x 0y 0+1

?1?x 0x 0??

2 y +1-y -1?, h ??,

0????0

?1?x 0x 0?x 0?x 0?1?x 0222

r =? --+h =+?? ?+h ,

4?y 0+1y 0-1??2?y 0+1y 0-1?y 0+1?x ?1?x

OG 2= 0-0?+h 2

4?y 0+1y 0-1?

x 0?x 0?x 021?x 01?x 022222

OT =OG -r = +- ?+h - ?-h =2

4?y 0+1y 0-1?4?y 0+1y 0-1?1-y 0

41-y ()x 0202222

=4, +y 0=1, 所以x 0=4(1-y 0), 所以OT =而

1-y 024

所以|OT |=2, 即线段OT 的长度为定值

x 2y 2

2、已知直线x -y +1=0经过椭圆S ：2+2=1(a >b >0) 的一个焦点和一个顶点．

a b

（1）求椭圆S 的方程；

（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．

①若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； ②对任意k >0，求证：PA ⊥PB ．

【答案】解：（1）在直线x -y +1=0中令x =0得y =1；令y =0得x =-1

∴c =b =1， ∴a 2=2

x 2

+y 2=1 则椭圆方程为2

（2

）①M (, N (0,-1) ,M 、N 的中点坐标为

(1-)

，所以k =

x 2+y 2=1，

（3）法一：将直线PA 方程y =kx 代入解得x =，

=m ，

2则

于是C (m ,0) ，故直线AB 方程为y =P (m , mk ) ，A (-m , -mk ) ，

0+mk k

(x -m ) =(x -m )

m +m 2

2k 2m

代入椭圆方程得(k +2) x -2k mx +k m -8=0，由x B +x A =2，因此

k +2

m (3k 2+2) mk 3B (, 2) 2

k +2k +2

m (3k 2+2) mk 32mk 2-2mk

-m , 2-mk ) =(2, ) ∴AP =(2m ,2mk ) ，PB =(

k 2+2k +2k +2k 2+22mk 2-2mk

∴AP PB =2?2m +2?2mk =0 ∴PA ⊥PB

k +2k +2

法二：由题意设P (x 0, y 0), A (-x 0, -y 0), B (x 1, y 1), 则C (x 0,0) ， A 、C 、B 三点共线，∴

y y +y y 1

=0=10, 又因为点P 、B 在椭圆上，

x 1-x 02x 0x 1+x 0

x 02y 02x 12y 12x +x ∴+=1, +=1，两式相减得：k PB =-01

21212(y 0+y 1) ∴k PA k PB =

y 0x +x (y +y )(x +x )

[-01]=-1001=-1 x 02(y 0+y 1) (x 1+x 0)(y 0+y 1)

∴PA ⊥PB

3、过双曲线2x -y =1上一点A (1,1)作两条动弦AB , AC , 且直线AB , AC 的斜率的乘积为3. (1)问直线BC 是否可与坐标轴垂直? 若可与坐标轴垂直, 求直线BC 的方程, 若不与坐标轴垂直, 试说明理由.

(2)证明直线BC 过定点.

【答案】19. 解:令B (x 1, y 1), C (x 2, y 2). (1)当BC 与x 轴垂直时, 有x 1=x 2, y 1= -y 2,

y 1-1-y 1-11-y 12(1-x 1) 2(1+x 1)

故:3= ?===22x 1-1x 1-11-x (x 1-1) (1-x 1) 1

?x 1=, 与|x 1|≥

矛盾. 因此AB 不与x 轴垂直. ……………………. 3分 2

当BC 与y 轴垂直时, 有x 1= -x 2, y 1= y 2,

y 1-1y 1-1(1-y 1) 2(1-y 1) 22(1-y 1)

故:3= ?===22x 1-1-x 1-11+y 11-x 11-y 1

?y 1= -. 因此AB 可与y 轴垂直, 此时AB 的方程为y= -. ………… 5分 (2)当BC 不与坐标轴垂直时,

515

k AB ·k AC =

y 1-1y 2-1

?=3, x 1-1x 2-1

故3(x 1-1)(x 2-1)=(y 1-1)(y 2-1). ………① .............. 6分令BC : y=kx+b, 代入双曲线方程有: 22222

2x -(kx+b) =1?(2-k ) x -2kbx -b -1=0.………② x 1, x 2是方程②的两个实根.

222

令f (x )= (2-k ) x -2kbx -b -1, 则(x 1-1)(x 2-1)=

f (1) 2-k 2

2-k 2-2kb -b 2-1

2-k 2

. ③ ……………….. 8分

直线方程又可写成:x=

y -b

, k

代入2x -y =1,有: 2(y -b ) -k y =k ,

2222

整理得:(2-k ) y -4by+2b -k =0. ………④ y 1, y 2是方程④的两个实根.

2222

令g (y )= (2-k ) y -4by+2b -k . (y 1-1)(y 2-1)=

g (1) 2-k 2

2-2k 2-4b +2b 2

2-k 2

. …⑤ ………………10分

③, ⑤两式代入①式, 有:

3(1-k 2-2kb -b 2)

2-k

2-2k 2-4b +2b 2

2-k

故3[1-(k+b) ]=2[(b -1) -k ],

从而:3(1-k -b )(1+k+b)=2(b -1-k )(b -1+k ). ……⑥ 因为点A (1,1)不在直线y=kx+b上, 故k+b≠1. 利用⑥, 可知: 3 (1+k+b)+ 2(b -1-k )=0,

即k+5b+1=0?-=k ?+b . 因此直线AB 过定点M , -?. 直线y=-也过定点M .

综上所述, 直线AB 恒过定点M , -?. …………… 14分

?1?5

1?5?

1515

?1?51?5?

x 2y 2

4、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1(-c , 0) 、F 2(c , 0) ，

a b

1a 2

离心率为，椭圆上的动点P 到直线l :x =的最小距离为2，

延长F 2P 至Q 使得F 2Q =2a ，线段FQ 上存在异于F 1的点T 满足PT ?TF 11=0. （1）求椭圆的方程；

（2）求点T 的轨迹C 的方程；

a 2

（3）求证：过直线l :x =上任意一点必可以作两条直线与T 的轨迹C 相切，并且过两

切点的直线经过定点.

?c 1=??a 2

【答案】解：（1）依题意得?2， ……………………………2分

a ?-a =2??c

解得?

?c =1222

，∴b =a -c =3 …………………………3分 ?a =2

x 2y 2

+=1 ……………………………4分椭圆的方程为43

（2）解法1：设点T 的坐标为(x , y ) .

当P 、T 重合时，点T 坐标为(2,0)和点(-2,0) ， …………………5分当P 、T 不重合时，由PT TF 1=0，得PT ⊥TF 1. ………………6分

由F 2Q =2a =4及椭圆的定义，PQ =QF 2-PF 2=2a -PF 2=PF 1， …7分所以PT 为线段FQ 的垂直平分线，T 为线段FQ 的中点 11在?QF 1F 2中，OT =所以有x +y =4.

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x +y =4. …………………9分解法2：设点T 的坐标为(x , y ) .

当P 、T 重合时，点T 坐标为(2,0)和点(-2,0) ， …………………5分当P 、T 不重合时，由PT TF 1=0，得PT ⊥TF 1. …………6分

由F 2Q =2a =4及椭圆的定义，PQ =QF 2-PF 2=2a -PF 2=PF 1，…………7分所以PT 为线段FQ 的垂直平分线，T 为线段FQ 的中点 11

F 2Q =a =2， …………………8分 2

x '-1?x =??2，

设点Q 的坐标为(x ', y ') ，则?

?y =y '??2

因此?

?x '=2x +1

?y '=2y

① …………………8分

由F 2Q =2a =4, 得(x '-1) +y '=16, ② 将①代入②，可得x +y =4.

综上所述，点T 的轨迹C 的方程式x 2+y 2=4. ③ …………9分

a 2

=4与x 2+y 2=4相离，（3）直线l :x =c

过直线上任意一点M (4,t ) 可作圆x 2+y 2=4的两条切线ME 、MF ……10分所以OE ⊥ME 、OF ⊥MF

所以O 、E 、M 、F 四点都在以OM 为直径的圆上， ………11分

（x -2) +(y -) =4+() ④ ……………………12分其方程

EF 为两圆的公共弦，③-④得：EF 的方程为4x +ty -4=0 …………13分显然无论t 为何值，直线EF 经过定点(1,0). ……………14分

5、如图，曲线C 1是以原点O 为中心、F 1, F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以O 为顶点、

t 2

F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若AF 1=

7，2

5AF 2=.

（1）求曲线C 1和C 2的方程；

（2）过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若 G 为CD 中点，H 为BE 中点，问

BE ?GF 2CD ?HF 2

是否为定值？若是求出定值，若不是说明理由

【答案】解：（1）过F 1作垂直于x 轴的直线x =-c 即抛物线的准线，作AH 垂直于该准线。作AM ⊥x 轴于M , 则有抛物线的定义得AF 2=AH ，

222

b =a -c =8(2a =AF 1+AF 2=

+=6，得a =3）, 22

x 2y 2

+=1，抛物线C 2方程为y 2=4x . 因而椭圆C 1方程为98

（2）设B (x 1, y 1), E (x 2, y 2), C (x 3, y 3), D (x 4, y 4), 把直线

x 2y 2

y =k (x -1) 代入+=1得(8+9k 2) y 2+16ky -64k 2=0, 则

16k 64k 2

y 1+y 2=-, y y =-. 同理将y =k (x -1) 代入y =4x 得：1222

8+9k 8+9k

ky 2-4y -4k =0, ∴y 3+y 4=

, y 3?y 4=-4; k

BE ?GF 2y 1-y 2y 3+y 4∴=?=CD ?HF 2y 3-y 4y +y 12

==3为定值.

我来试一试！

x 21、如图，已知椭圆C :2+y 2=1(a >1) 的上顶点为A ,

A 的动直

a 线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP ?AQ =0. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.

?c ?a =?=?

?【答案】解（Ⅰ）依题意有?a ?

?a 2-c 2=1??c =

x 2

故椭圆C 的方程为C :+y 2=1. …………………………………4分

（Ⅱ）(解法1) 由AP ?AQ =0, 知AP ⊥AQ , 从而直线AP 与坐标轴不垂直,

由A (0,1)可设直线AP 的方程为y =kx +1，直线AQ 的方程为

y =-

x +1(k ≠0) . k

将y =kx +1代入椭圆C 的方程+y 2=1并整理得: (1+3k 2) x 2+6kx =0,

6k 6k 6k 2

解得x =0或x =-, 因此P 的坐标为(-, -+1) , 22

1+3k 21+3k 1+3k

6k 1-3k 2

即(-, ) …………………………………6分 22

1+3k 1+3k

16k k -3

将上式中的k 换成-, 得Q (2, 2) . ……………………………7分

k k +3k +3

k 2-31-3k 2

-226k k 2-3(x -2) +2直线l 的方程为y = k +3k +3+22k +31+3k

2k -11

x -， …………………………………12分化简得直线l 的方程为y =4k 2

因此直线l 过定点N (0,-) . …………………………………14分 (解法2) 由题直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为：

y =kx +m (A (0,1)?l , ∴m ≠1) ，

x 2

代入椭圆C 的方程+y 2=1并整理得: (1+3k 2) x 2+6mkx +3(m 2-1) =0,

设直线l 与椭圆C 相交于P (x 1, kx 1+m ) 、Q (x 2, kx 2+m ) 两点，则x 1, x 2是上述关于x 的方程两个不相等的实数解，

从而?=(6mk ) 2-4(1+3k 2) ?3(m 2-1) =12(3k 2+1-m 2) >0

6mk 3(m 2-1)

…………………………………7分 x 1+x 2=-, x 1x 2=22

1+3k 1+3k

由AP ?AQ =0, 得

x 1x 2+(kx 1+m -1)(kx 2+m -1) =(1+k 2) x 1x 2+k (m -1)(x 1+x 2) +(m -1) 2=0，

3(m 2-1) 6mk 2

(1+k ) ?+k (m -1) ?(-) +(m -1) =0 22

1+3k 1+3k

整理得：2m 2-m -1=0, (2m +1)(m -1) =0, 由m ≠1知m =-

. 2

此时?=9(4k 2+1) >0, 因此直线l 过定点N (0,-) . ………………………14分

2、已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4, 0) . （1）若点F 到直线l

l 的斜率；

（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.

【答案】解：（1）由条件知直线l 的斜率存在，

∴ 设直线l 的方程为：y =k (x -4) ，即 kx -y -4k =0 …………2分 ∴ 焦点F (1,0) 到直线l 的距离

= ……4分

解得

k =±

6分 2

（2）设直线AB 的方程为：y =mx +b (m ≠0) ，

?y 2=4x 由 ? 消去y 得：m 2x 2+(2mb -4) +b 2=0，…………8分

?y =mx +b

设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，AB 中点P (x 0, y 0) ， ∴ x 0=

x 1+x 22-mb 2

=y =mx +b =，， ………10分 002

2m m

∵ PM ⊥AB ，k PM ?k AB

2m ?m =?m =-1， =-1，∴ 2

2-mb 2-mb -4m -42m

2-mb 2m 2

=2=2定值 ……………14分即： 2-mb =2m ，∴ x 0=2

m m

3、如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y ＝

124

x －x －10与x 轴的交点为A ，与y 189

轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q

分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)

（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；

（3）当t ∈（0，）时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说

明理由；

（4）当t 为何值时，△PQF

（1）在y ＝

2124

x －x －10中，令y ＝0，得x －8x －180＝0． 189

解得x ＝－10或x ＝18，∴A (18，0) ． ···················· 1分 124在y ＝x －x －10中，令x ＝0，得y ＝－10189∴B (0，－10) ． ∵BC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标为－10．

124

由－10＝x －x －10得x ＝0或x ＝8．

189

∴C (8，－10) ． 2214198

∵y ＝x －x －10＝(x －4) －

189189

∴抛物线的顶点坐标为(4，－) ． ····················· 4分

9（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可．

∵QC ＝t ，PA ＝18－4t ，∴t ＝18－4t ．

解得t ＝． ······························· 6分

5（3）设点P 运动了t 秒，则OP ＝4t ，QC ＝t ，且04.5均不合题意， 55

故无0≤t ≤4.5的t 满足此方程．综上所述，当t ＝

－2时，△PQF 为等腰三角形． ············· 14分

4、已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F 1(-1 , 0) 、F 2(1 , 0) 的距离之和为常数，曲线C 的离心率e =

1． 2

⑴求圆锥曲线C 的方程；

⑵设经过点F 2的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A 、B ，试证明在x 轴上存在一个定点

P ，使PA ?PB 的值是常数．

c 1x 2y 2

c =1……2分，e ==，⑴依题意，设曲线C 的方程为2+2=1（a >b >0）……1分，

a 2a b

x 2y 2

a =2……3分，b =a -c =，所求方程为+=1……4分．

?x 2y 2

=1?+

⑵当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y =k (x -1) ……5分，由?4，得3

?y =k (x -1) ?8k 2

，(3+4k ) x -8k x +4(k -3) =0……7分，从而x A +x B =2

3+4k

4(k 2-3)

x A ?x B =……8分，设P (t , 0) ，则?=(x A -t )(x B -t ) +y A y B 2

3+4k 3t 2-12+(-5-8t +4t 2) k 2

=(k +1) x A x B -(t +k )(x A +x B ) +(k +t ) =……10分，

3+4k 2

111353t 2-12-5-8t +4t 2

=当，t =时……11分，对?k ∈R ，PA ?PB =-……12

86434

分；当AB ⊥x 轴时，直线AB 的方程为x =1，x A =x B =1，y A (y B ) =±对t =

……13分，2

1199135

-=-，?=(x A -t )(x B -t ) +y A y B =，即存在x 轴上的点

864464

11135P (, 0) ，使PA ?PB 的值为常数-……14分．

648

x 2y 2

5、已知椭圆2+2=1　(a >１) 的左右焦点为F 1, F 2，抛物线C ：y 2=2px 以F 2为焦

a a -1

点且与椭圆相交于点M ，直线F 1M 与抛物线C 相切。（Ⅰ）求抛物线C 的方程和点M 的坐标；

（Ⅱ）过F 2作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB 、DE ，设弦AB 、DE 的中点分别为F 、N ，求证直线FN 恒过定点；

解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c a -(a -1) =1 …………1分所以椭圆焦点为F 1(-1 …………2分，0) 　　F （，0）21又抛物线C 的焦点为(

p p

, 0) ∴=1　, 　　p =2, ∴C ：y 2=4x ……3分 22

设M (x 1, y 1) 则y 1=4x 1，直线F 1M 的方程为y =

y 1

(x +1) ……4分 x 1+1

代入抛物线C 得y 1(x +1) 2=4x (x 1+1) 2, 即4x 1(x +1) 2=4x (x 1+1) 2

∴x 1x 2-(x 1+1) x +x 1=0, 　　 F 1M 与抛物线C 相切，

∴?＝（x 1+1) 2-4x 1=0，∴x 1=1, 　M (1, ±2) …………7分

（Ⅱ）设AB 的方程为x =ty +1 代入y 2=4x ，得y 2-4ty -4=0，…8分设A (x 1, y 1) 　B (x 2, y 2) ，则y 1+y 2=4t ，

y 1+y 2

=2t 2

………9分

x 1+x 2=t (y 1+y 2) +2=4t 2+2，

x 1+x 2

=2t 2+1 ………10分 2

122

+1，-) …………12分 2

t t t 1

由两点式得FN 的方程为x -(t -) y =3 …………13分

所以F (2t 2+1　， 2t ) ，将t 换成- 得N (

, 　0) …………14分当y =0 时x =3，所以直线FN 恒过定点(3　

范文五：圆锥曲线定值问题

223xy椭圆C:，=1(a,b,0)的左、右焦点分别是F，F，离心率为，过F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长121222ab

为1.

(1)求椭圆C的方程;

点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，.设?的角平分线交的长轴于点(0)，求的取值范(2)PCPFPFFPFPMCMm,m1212围;

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点(设直线PF，PF的斜率分别为k，121

11k.若k?0，试证明为定值，并求出这个定值( ，2kkkk12

222xyb222y,,，=122((1)解:由于c,a,b，将x,,c代入椭圆方程，得， 22aab

22c32bx22=1，即,2.又e,,，所以,2，,1.所以椭圆的方程为，,y1. 由题意知ababCaa24(2)解法一:设P(x，y)(y?0)(又F(，0)，F(，0)，所以直线PF，PF的方程分别为 ,330001212lPF:yx,(x，)y，y,0，lPF:yx,(x,)y,y,0. 333310002000

2x|3|myy，|3|myy,200000，,y1由题意知,.由于点在椭圆上，所以， P022224yx，，，，3yx，，,，30000

mm，,33|3||3|mm，,所以.因为,m,，,2,x,2，可得. ,,,3302233,,,,33xx，,2200xx，,22,,,,002222,,,,

333所以m,.因此. x,,,m0422

解法二:设，)( P(xy00

11,,,,3,,3,当0?,x,3的斜率不存在，易知x2时，?当时，直线PFP或P. 02,,0,,22,,,,

1|3|m，33,,3,m,,,3m的方程为若P，则直线PF.由题意得，因为,m,，所以. xy,，,4330,331,,427,,

133,,3,,m,若P，同理可得. ,,24,,

?当x?时， 30

|3||3|mkkmkk，,1122,设直线PF，PF的方程分别为y,k(x，)，y,k(x,)(由题意知， 3312122211，，kk12

11，222222xkyy，，，m3434，，，，,xx，，，m32000100，,y1,所以.因为，并且k,，k,，所以 ,120222214x，3x,3，,，m3，,，，,，，,mxx343400001，2k2

2234x，m，33831634xxx，，，，，0000,,，即.因为为,m,，0?x,2且x?， ,333,0022mx,,3343831634xxx,，，,，0000

333x43，x333，m00所以.整理得m,，故0?m,且m?.综合??可得0?m,. ,4224343,,mx0

333,,,,当,2,x,0时，同理可得,m,0.综上所述，m的取值范围是. ,0,,222,,

2,x2，,y1,,(3)设P(x，y)(y?0)，则直线l的方程为y,y,k(x,x)(联立 000004,

,yykxx,,，,，,00

222222ykx整理得(1，4k)x，8(ky,kx)x，4(,2kxy，,1),0. 000000

2x22222220，2xyk，1,,0.又，,y1，所以，8xyk，,0，由题意Δ,0，即y(4),xk16ykx0000000004

,,,,x42yxxxx，,3321111111000000故k,.由(2)知，所以,， ,，,，,,,=8，,，,,,,,4yxykkkkkkkkkyyy0121200,,,,12000

11因此为定值，这个定值为,8. ，kkkk12

20((本小题满分14分)

22xy3222如图，已知椭圆:的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆:，CC(2)(0)xyrr，，,,，,,,1(0)abTT22ab2

设圆与椭圆交于点与点(CNTM

y1 ()求椭圆的方程;C

2 ()求的最小值，并求此时圆的方程;TTMTN,PM3 ()设点是椭圆上异于的任意一点，CMN，P

MPNP,x 且直线分别与轴交于点，为RS，O

RTOxSOROS, 坐标原点，求证:为定值(

c3e,,20(【解析】(1)依题意，得，，…………………………………1分 a,2 a2

22？c,3,b,a,c,1;………………………………………………………………2分

2x2，,y1故椭圆的方程为 ( ………………………………………3分 C4

M(2)方法一:点与点关于轴对称，设，，不妨设( NM(x,y)N(x,,y)y,0x111112x211My,,由于点在椭圆C上，所以( (*) ……………………4分 14

T(2,0),由已知，则TM,(x，2,y)，TN,(x，2,,y)， 1111

22？TM,TN,(x，2,y),(x，2,,y),(x，2),y ………………………………5分1111112x5221,(x，2),(1,),x，4x，3 11144

5812()( ……………………………………6分 ,x，,1455

81由于，故当时，取得最小值为(…………………………7分 x,,,,2,x,2TMTN,1155

383132MT由(*)式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到( y,M(,),r,155525

1322T故圆的方程为:( ……………………8分 (2)xy，，,25

MN(2cos,sin),(2cos,sin),,,,,M方法二:点与点N关于轴对称，故设，……………………………4分 x

T(2,0),不妨设sin0,,，由已知，则

222TM,TN,(2cos,，2,sin,),(2cos,，2,,sin,) …………………5,(2cos,，2),sin,,5cos,，8cos,，3

分

4125(cos)( ……………………………………………………6分 ,,，,55

4183故当,,时，取得最小值为,，此时，…………………7分 ,cosM(,),TMTN,5555

132MT又点在圆上，代入圆的方程得到( r,25

1322T故圆的方程为:( ……………………8分 (2)xy，，,25

y,y01(3) 方法一:设，则直线的方程为:y,y,(x,x)，………9分 MPP(x,y)0000x,x01

xy,xyxy，xy10011001y,0令，得，同理:， ……………………10分 x,x,RSy,yy，y0101

2222xy,xy1001故 (**) ……………………11分 x,x,RS22y,y012222又点M与点P在椭圆上，故，，……………………12分 x,4(1,y)x,4(1,y)0011

代入(**)式，得:

2222224(1,y)y,4(1,y)y4(y,y)100101 ( x,x,,,4RS2222y,yy,y0101

所以OR,OS,x,x,x,x,4为定值( ……………………14分 RSRS

MN(2cos,sin),(2cos,sin),,,,,P(2cos,,sin,)方法二:设，不妨设，，其中(则直线MPsin0,,sin,,,sin,

,,sin,sin的方程为:，…9分 y,sin,,(x,2cos,)2cos,2cos,,

,,,,2(sincos,cossin)y,0,令，得，…………10分 xRsin,,sin,

,,,,2(sincos，cossin),同理:， …………………………12分 xSsin,，sin,

222222,,,,,,4(sincos,cossin)4(sin,sin)x,x,,,4故( RS2222,,,,sin,sinsin,sin

OR,OS,x,x,x,x,4所以为定值( ……………………14分 RSRS

3练习2(2009辽宁卷文)已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(,1，0)(1，0)。 2

(1) 求椭圆C的方程;

(2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个

定值。

解:(?)由题意，c=1,可设椭圆方程为，将点A的坐标代入方程: ，解得， (舍去) 191222，,1ac,,,1a,422所以椭圆方程为。 aa4(1),422xy22xy3，,1，,1(?)设直线AE方程为:，代入得 ykx,,，(1)43432

3222 (34)4(32)4()120，，,，,,,kxkkxk2

3 设,,因为点在椭圆上，所以 E(x,y)F(x,y)A(1,)EEFF2

32,,k4()1232 ………8分 ykxk,，,,xFEE2，k342

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

32，,k4()1232，ykxk,,，， ,xFEE2，k342

yykxxk,,，，()21FEFEK,,,所以直线EF的斜率 EFxxxx,,2FEFE

1即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分 2

QFP(07福建理科)如图，已知点(1，0)，直线l:x,,1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且

QPQFFPFQ,,,

P(?)求动点的轨迹C的方程;

MAAFAFBF,,,,,(?)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。 ,,，1212

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综

合解题能力.满分14分.

解法一:

Pxy()，Qy(1),，(?)设点，则，由得: QPQFFPFQ,

2(10)(2)(1)(2)xyxyy，,,,,，，，，，化简得. Cyx:4,

xmym,，,1(0)AB的方程为: . (?)设直线

2,,M,,1，设，，又， Axy()，Bxy()，,,1122m,,

2,yx,4，联立方程组，消去得: x,xmy,，1，,

yym，,4，,1222，，故 ymy,,,440,,,，,(4)120m,(yy,,412,

MAAF,,MBBF,,由，得: 12

2222，，整理得:,,,,1，,,,,1，，,,,，,,,yyyy12111222mymymm12

,,2yy，24m21112,,,2,0 ,,,,,2？，,,,，2,,12myym,4myy1212,,

解法二:(?)由得:， QPQFFPFQ,FQPQPF()0，,

22？,,PQPF0，，？,，,()()0PQPFPQPF？,PQPF

2P所以点的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为:. yx,4

MAAF,,MBBF,,(?)由已知，，得. ,,,01212

MAAF,1,,则:.…………?

MBBF,2

过点AB，分别作准线的垂线，垂足分别为，， lAB11

MAAAAF,AFAF11,,,,则有:.…………?由??得:，即 ,,，,012MBBBBFBFBF,12

2、(07湖北理科)在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x=2py(p>0)相交于A、B两点。例题9

(?)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求?ANB面积的最小值; (?)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值,若存在，求出l的方程;若不存在，说

明理由。

2,x,2py2解法1:(?)依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(x,y),B(x,y)，直线AB的方程为y=kx+p,与x=2py联立得1122,y,kx，p.,22消去y得x-2pkx-2p=0. 2由韦达定理得x+x=2pk,xx=-2p. 1212

1于是 S,S，S,,2px,x,ABN,BCN,ACN122

222222p4pk，8p,2pk，2.,, px,x,p(x，x),4xx121212

？当k,0时，(S)min,22p. ,ABN2

,(?)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则O,t与AC为直

xy，p11,, ,点的坐标为(,)OH,PQO22

1112222,y，p,. ？OP,AC,x，(y,p)111222

y，p12221,,,？PH,OP,OHOH,a,,2a,y,p, 122

11p222=, (a,)y，a(p,a),(y，p),(2a,y,p)111244

p2，，2？PQ,(2PH)4()().a,y，ap,a= 2,,2，，

pppy,令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线. a,,0a,,此时PQ,p222

解法2:

(?)前同解法1，再由弦长公式得

2222222 AB,1，kx,x,1，k,(x，x),4xx,1，k,4pk，8p121212

2p222p1，k,k，2.,又由点到直线的距离公式得d,. 21，k

112p2222S,,d,AB,,2p1，k,k，2,,2pk，2,从而， ,ABN2221，k

2？当k,0时，(S)max,22p. ,ABN

(?)假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为

将直线方程y=a代入得 (x,0)(x,x),(y,p)(y,y),0,11

2x,xx,(a,p)(a,y),0,11

p，，2则,,x,4(a,p)(a,y),4(a,)y1，a(p,a).11,,2，，

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x,y),Q(x,y),则有 2244

pp，， PQ,x,x,4(a,)y，a(p,a),2(a,)y，a(p,a).3411,,22，，

ppp令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线。 y,a,,0,得a,,此时PQ,p222

2x2Mm(,0)Nn(0,)6.已知点是椭圆，y,1(a,0)的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足Fyx21，a

(若点满足( PMN,NF,0OM,2ON，PO(1)求点的轨迹的方程; PC

(2)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、(为坐标原FPABOAOBSTOx,,a

点)，试判断是否为定值,若是，求出这个定值;若不是，请说明理由( FSFT,

2x2(,0)a，y,1(a,0)19、【解析】(1)椭圆右焦点F的坐标为，………1分？21，a

( ？,,NFan(,)

， MNmn,,(,)

2n，am,0由，得( ………………3分？MN,NF,0

(x,y)(,0)2(0,)(,)mnxy,，,,设点P的坐标为，由，有， OM,2ON，POm,,x,,,22n，am,0代入，得( …………………5分 y,4ax,yn,.,,2

22yy12xtya,，Ay(,)By(,)AB(2)(法一)设直线的方程为，、， 124a4a

a44a则，( ……………………6分 lyxlyx:,:,OAOByy12

4a,22y,x,4a4a,y由，得，同理得(…………………8分 Ta(,),,Sa(,),,,1yy,21x,,a,

2244a4a16a2，，则( ……9分？,,,FSa(2,)FTa,,,(2,)FSFTa,,，4yyyy1212

x,ty，a,,222由，得，( ………………11分？,,yya4y,4aty,4a,0,122y,4ax,

416a222FS,FT,4a，,4a,4a,0则( …………………13分 2(,4a)

因此，0的值是定值，且定值为( ………………………14分 FSFT,

Aaa(,2)Baa(,2),ABx, (法二)?当时，、，则， ( lyx:2,lyx:2,,OAOB

yx,2,,Saa(,2),,S由得点的坐标为，则( FSaa,,,(2,2),xa,,,

yx,,2,,Taa(,2),T由得点的坐标为，则( FTaa,,(2,2),xa,,,

( ……………………………7分？,,,，,，,，,FSFTaaaa(2)(2)(2)20

22yy12ykxak,,,()(0)A(,y)B(,y)ABAB?当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得x124a4a

416a2( ……………………10分 FSFTa,,，4yy12

ykxa,,(),,222由，得，(……………11分？,,yya4kyayka,,,440,122yax,4,

416a222FS,FT,4a，,4a,4a,0则( ………………13分 2(,4a)

因此，的值是定值，且定值为( ………………………14分 0FSFT,

17.已知圆锥曲线上任意一点到两定点、的距离之和为常数，曲线的离心率( e,CCF(,1 , 0)F(1 , 0)122?求圆锥曲线的方程; C

ABP?设经过点的任意一条直线与圆锥曲线相交于、，试证明在轴上存在一个定点，使的值是常数( CPA,PBFx222c1xy，,1??依题意，设曲线的方程为()……1分，……2分，，……3分，e,,Ca,b,0c,1a,222aba2

22xy22，所求方程为，,1……4分( b,a,c,343

22,xy，,1,y,k(x,1)AB?当直线不与轴垂直时，设其方程为……5分，由 x43,

,y,k(x,1),

228k4(k,3)2222x，x,x,x,……6分，得……7分，从而，……8分，设(3，4k)x,8kx，4(k,3),0ABAB223，4k3，4kP(t , 0)，则PA,PB,(x,t)(x,t)，yy ABAB

222223t,12，(,5,8t，4t)k312584t,,,t，t2222,(k，1)xx,(t，k)(x，x)，(k，t),,……10分，当，ABAB2343，4k

13511ABPA,PB,,时……11分，对,k,R，……12分;当AB,x轴时，直线的方程为x,1，，t,x,x,1AB864

9913531111,,(,)(,)，,,,,(),,……13分，对，，即存在轴上的点，yyP( , 0)t,PAPBxtxtyyxABABAB28644648

135使的值为常数,……14分( PA,PB64

24(已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形( 2(I)求椭圆的方程;

(?)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值,若存在，求出E的坐标及定值;若不存在，请说明理由(

222014DP【广东省镇江一中2012高三10月模拟理】((本题满分分)如图，设,是圆上的动点，点是在轴xy，,2x

M上的投影，为线段PD上一点，且(点、F(1,0),( ||2||PDMD,A(0,2)1

(1)设在轴上存在定点，使为定值，试求的坐标，并指出定值是多少? ||||MFMF，FFx2122

M(2)求||||MAMF，的最大值，并求此时点的坐标 1

A P

D x O F1

(

(,)xy，P的坐标是---------------------------------------1f 【答案】解:(1)设点M的坐标是(,)xypp

yy,2因为点,是,在轴上投影，为PD上一点，由条件得:，且---2f Mxx,xpp

2x22222，,y1?P在圆上，?，整理得，--4f xy，,2xy，,(2)2c,,,2112即M轨迹是以为焦点的椭圆-------------------------------------------------5f FF(1,0),(1,0),12

由椭圆的定义可知, ---------------------------------------------------6f ||||26MFMFa，,,12

||||22||||22||223MAMFMAMFAF，,，,,，,，(2)由(1)知, --------9f 122

当三点共线，且M在延长线上时，取等号(--------------------------------11f AFM,,AF22

2yx2y AFx:1，,，,y1直线，联立，---------------12f 222A P

,46，x,,1,5x O D FF,21其中，解得--------13f 12,,x223,,y, 1,5,

46223，,M的坐标是.---------------------------------------------------14f 即所求的(,)55

【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟(4)】19((本小题满分14分) 如图，曲线是以原点O为中心、为CFF,112

焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若CFCC，AFF221221

75，. AF,AF,1222

(1)求曲线和的方程; CC12

(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲 xF2

线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中 CC、12

BE,GF2点，H为BE中点，问是否为定值,若是 CD,HF2

求出定值，若不是说明理由

【答案】解:(1)过作垂直于轴的直线即抛物线的准线，作AH垂直于该准线。 Fxxc,,1

AFAH,作轴于,则有抛物线的定义得， AMx,M2

75222 (2a,，得a,3), AF，AF,，,6b,a,c,81222

22xy2 因而椭圆方程为，,1，抛物线方程为. y,4xCC1298

(2)设把直线 BxyExyCxyDxy(,),(,),(,),(,),11223344

22xy222ykxkykyk,,，,，，,,(1)189)16640,代入得(则98 21664kk2yyyyykxyx，,,,,,,,,.(1)4同理将代入得:1212228989，，kk

42kyykyyyy,,,？，,,,,440,,4;3434k

1yy，2234BEGFyy,,()yy，(yy,)21223412？,,,, 221CDHFyyyyyy,,，,()()2341234yy，122

22(16)464kk，42，()22222()yy，()yyyy，,4(89)89，，kkk341212=,,,,3.为定值2224(16)k()()yyyyyy，，,42123434()16，22k(89)，k

【广东省深圳市2012届高三第二次调研理】20((本小题满分14分)

F(0,1)MFMF'F'如图6，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为C( x

C(1)求曲线的方程;

QAPCC(2)设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、( A(x,y)00

PQ? 证明:直线的斜率为定值;

QPQPLBLBBC? 记曲线位于、两点之间的那一段为(若点在上，且点到直线的距离最大，求点的坐标(

F'(x,y)F(0,1)M【答案】解:(1)(法1)设，因为点在圆上， yFMF'且点关于圆心的对称点为，

xy，1F',所以M(,)， …………1分 22

xNEO

图6,1

22|FF'|,x，(y,1)且圆的直径为(…………2分 M

由题意，动圆与轴相切， My

22(1)|1|x，y,y，2所以，两边平方整理得:， x,4y,22

2所以曲线的方程为( ………………………………………………5分 Cx,4y

F(0,1)(法2)因为动圆M过定点且与轴相切，所以动圆M在轴上方， xx

连结FF'，因为点F关于圆心M的对称点为F'，所以FF'为圆M的直径(

M作轴，垂足为，过点F'作轴，垂足为E(如图6,1)( 过点MN,xNF'E,x

|F'F|,2|MF|,2|MN|,|F'E|，|FO|,|F'E|，1在直角梯形中，， EOFF'

F(0,1)即动点F'到定点的距离比到轴的距离大1( …………………………………………3分 x

F'又动点位于轴的上方(包括轴上)， xx

y,,1F(0,1)F'到定点的距离与到定直线的距离相等( 所以动点

F(0,1)y,,1故动点F'的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线(

2所以曲线C的方程为( ………………………………………………5分 x,4y

AP(2)?(法1)由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6,2(

AQAP设直线的斜率为()，则直线的斜率为( ……………………………6分 k,0,kk

2因为是曲线C:上的点， A(x,y)x,4y00y22xx00y,,k(x,x)APy,所以，直线的方程为( 00P44

2F',x,4y,,2由， ,x0ykxx,,(,),0MA,4,

,,，4xxk,xx,,00,,Q,22解之得或， F,,(,，4)xxk00y,,y,,xO44,,

2(,x，4k)0图6,2(4,)P,x，k所以点的坐标为， 04

2(4)x，k0Q(4,),x,k以,k替换，得点的坐标为( ………………………………8分 k04

22(4)(4)，,，xkxk00,16kxx4400PQ所以直线的斜率为定值(………………10分 ,,,,kPQ(4)(4)322,,,,，,xkxkk00

22xx200(,)y,AxC(法2)因为是曲线:上的点，所以，( A(x,y)x,4y000044

22xx212Q(,)PQ(x,)PxC又点、在曲线:上，所以可设，， …………6分 x,4y2144

AQAP而直线，的倾斜角互补，

2222xxxx1020,,4444所以它们的斜率互为相反数，即，整理得x，x,,2x( …………8分 ,,120x,xx,x1020

22xx21,2，,xxxx441200PQ所以直线的斜率为定值( ………………10分 ,,,,,kPQ442,xx21

22(,x，4k)(x，4k)00Q(4,)(4,)?(法1)由?可知，P，， ,x，k,x,k0044

2(,x，4k)xx000PQ，所以直线的方程为y,,,(x，x,4k)， ,,k0PQ422

22整理得( ……………………………………11分 2xx，4y，x,16k,000

2xQ(,)设点Bx在曲线段L上，因为P、两点的横坐标分别为和， ,x，4k,x,4k004

所以B点的横坐标在和之间，即， ,x，4k,x,4k,x,4|k|,x,,x，4|k|x0000

22所以，从而( (x，x),16k,4|k|,x，x,4|k|00

2x22|2xx，4，，x,16k|22200|x，2xx，x,16k|004PQBd,,点到直线的距离 224x，162x，400

222|(x，x),16k|116k20,,,(x，x)，( ………12分 02222x，42x，42x，4000

216kd,当时，( x,,xmax022x，40

2x0(,x,)L注意到，所以点在曲线段上( ,x,4|k|,,x,,x，4|k|00004

2x0(,)B,x所以，点的坐标是( ……………………………………………………………14分 04

x0y(法2)由?可知，，结合图6,3可知， ,,kPQ2

PPQBLB若点在曲线段上，且点到直线的距离最大， F',ll//PQB则曲线C在点处的切线( ………………11分

x,0MAB,y,,x，bx,0设:，由方程组， ly,,x，b2,22,x,4y,Q,F2消去y，得x，2xx,4b,0( 0xO2x20b,,令?,(2x),4，1，(,4b),0，整理，得(……12分 0图6,34

2x0y,代入方程组，解得，( x,,x04

2x0(,x,)B所以，点的坐标是( ……………………………………………………………14分 04

2Cy(法3)因为抛物线:关于轴对称， x,4y

AQAPAP0:0:180:180:由图6,4可知，当直线的倾斜角大于且趋近于时，直线的倾斜角小于且趋近于，即当直线

AQ的斜率大于0且趋近于0时，直线的斜率小于0且趋近于0(

22xx00Q(,)'(,)PA,xAxy从而、两点趋近于点关于轴的对称点( ………………11分 0044

2C由抛物线的方程和?的结论， x,4yy

lF',P2

P3MAB,

Q3Q2,QF1

图6,4

2xxx0,得y,，( |y,,,,k,,xxPQ0422,,xx02x0l//PQ'(,)所以抛物线以点为切点的切线( A,xC04

……………………12分

PQ所以曲线段L上到直线的距离最大的点就是点A'，即点B、点A'重合(

2x0(,x,)所以，点B的坐标是( ……………14分 04

转载请注明出处范文大全网 » 圆锥曲线定值问题