范文一：考研高数精华知识点总结：两个重要极限

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

考研高数精华知识点总结：两个重要极

限

高等数学是考研数学考试中内容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注!

凯程考研：

凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；

信念：让每个学员都有好最好的归宿；

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

激情：永不言弃，乐观向上；

敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！

在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程. 例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩; 考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng 等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。

王少棠

本科学校：南开大学法学

录取学校：北大法学国际经济法方向第一名

总分：380+

在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说：“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。”

这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

作为跨地区跨校跨专业的三凯程生, 在凯程辅导班里经常遇到的, 五道口金融学院本身公平的的传统, 让他对五道口充满了向往, 所以他来到了凯程辅导班, 在这里严格的训练, 近乎严苛的要求, 使他一个跨专业的学生, 成功考入金融界的黄埔军校, 成为五道口金融学院一名优秀的学生, 实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。

在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。

五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。

另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生)

本科院校：中国青年政治学院

报考院校：中国人民大学金融硕士

总分：跨专业380+

初试成绩非常理想，离不开老师的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。

张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责，真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说：考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信，每个人都能够成功。

范文二：考研高数精华知识点总结：极限的定义

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

考研高数精华知识点总结：极限的定义

高等数学是考研数学考试中内容最多的一部分，分值所占比例也最高。

为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注!

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

凯程考研：

凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；

信念：让每个学员都有好最好的归宿；

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；

激情：永不言弃，乐观向上；

敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！

在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程. 例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩; 考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng 等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

王少棠

本科学校：南开大学法学

录取学校：北大法学国际经济法方向第一名

总分：380+

在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说：“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。”

这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)

作为跨地区跨校跨专业的三凯程生, 在凯程辅导班里经常遇到的, 五道口金融学院本身公平的的传统, 让他对五道口充满了向往, 所以他来到了凯程辅导班, 在这里严格的训练, 近乎严苛的要求, 使他一个跨专业的学生, 成功考入金融界的黄埔军校, 成为五道口金融学院一名优秀的学生, 实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。

在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。

五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。

另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生)

本科院校：中国青年政治学院

报考院校：中国人民大学金融硕士

总分：跨专业380+

初试成绩非常理想，离不开老师的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。

张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责，真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说：考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信，每个人都能够成功。

范文三：高数知识点总结

高数重点知识总结

1、基本初等函数:反函数 (y=arctanx), 对数函数 (y=lnx), 幂函数 (y=x), 指数函数 (x a y =) , 三角函数 (y=sinx),常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小:高阶 +低阶 =低阶 例如:1lim lim

020==+→→x x

x

x x x x 4、两个重要极限:()e x e

x x

x

x

x x

x x =??

?

??+=+=∞

→→→11lim 1lim ) 2(1

sin lim ) 1(1

0 经验公式:当 ∞→→→) (, 0) (, 0x g x f x x , []

)

() (lim )

(0

) (1lim x g x f x g x x x x e

x f →=+→

例如:()33lim 10

031lim -?

?

? ?

?-→==-→e e

x x x x

x x

5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。 6、导数的定义:()00

00

' )

() (lim

)

(' )

() (lim

x f x x x f x f x f x

x f x x f x x x =--=?-?+→→?

7、复合函数求导:

[][]) (' ) (' ) (x g x g f dx

x g df ?= 例如:x

x x x x x x y x x y ++=++

=

+=2412221

1' , 8、隐函数求导:(1)直接求导法; (2)方程两边同时微分,再求出 dy/dx

例如:y

x

dx dy ydy xdx y x y yy x y x -

=?+-

=?=+=+22, ), 2(' 0' 22, ), 1(1

22左右两边同时微分 法 左右两边同时求导 解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若 ??

?==)

() (t h x t g y , 则 ) (' ) (' //t h t g dt dx dt dy dx dy ==, 其二阶导数:()[]

)

(' ) (' /) (' /) /(/22

t h t h t g d dt dx dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:) (' ) () (000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin

11、函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:x

x

y sin =

(x=0是函数可去间断点) , ) sgn(x y =(x=0是函数的跳跃间断点) (2)第二类:振荡间断点 和无穷间断点;例如:??

? ??=x x f 1sin ) ((x=0是函数的振荡间断点) , x

y 1

=(x=0是函 数的无穷间断点) 12、渐近线:

水平渐近线:c x f y x ==∞

→) (lim

铅直渐近线:. ) (lim 是铅直渐近线 ,则 若,

a x x f a

x =∞=→ 斜渐近线:[]ax x f b x

x f a b ax y x x -==+=∞→∞

→) (lim , )

(lim

, 即求 设斜渐近线为

例如:求函数 1

1

223-+++=x x x x y 的渐近线

13、驻点:令函数 y=f(x),若 f'(x0)=0,称 x0是驻点。

14、极值点:令函数 y=f(x),给定 x0的一个小邻域 u(x0,δ), 对于任意 x ∈ u(x0,δ) ,都 有 f(x)≥ f(x0),称 x0是 f(x)的极小值点;否则, 称 x0是 f(x)的极大值点。极小值点与极 大值点统称极值点。

15、拐点:连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点,称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理:令函数 y=f(x),若 f

17、极值点的必要条件:令函数 y=f(x),在点 x0处可导,且 x0是极值点,则 f'(x0)=0。 18、改变单调性的点:0) (' 0=x f , ) (' 0x f 不存在,间断点(换句话说,极值点可能是 驻点,也可能是不可导点)

19、改变凹凸性的点:0) (

20、可导函数 f(x)的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理:

(1)罗尔定理:) (x f 在 [a,b]上连续, (a,b)内可导, 则至少存在一点 ξ, 使得 0) (' =ξf (2)拉格朗日中值定理:) (x f 在 [a,b]上连续, (a,b)内可导,则至少存在一点 ξ,使得

) (' ) () () (ξf a b a f b f -=-

(3)积 分 中 值 定 理 :) (x f 在 区 间 [a,b]上 可 积 , 至 少 存 在 一 点 ξ, 使 得

) () () (ξf a b dx x f b

a

-=?

22、常用的等价无穷小代换:

3

3323

1

~tan , 61~sin , 21~sin tan 21~

cos 1) 1ln(~) 1(2~1~tan ~arctan ~arcsin ~sin ~x x x x x x x x x x x x x e x x x x x x ----+-+-

23、对数求导法:例如, x x y =, ()1ln ' 1ln ' 1

ln ln +=?+=?

=x x y x y y

x x y x 解: 24、洛 必 达 法 则 :适 用 于 “

00” 型 , “ ∞

∞” 型 , “ ∞?0” 型 等 。 当 ∞→∞→→/0) (, /0) (, 0x g x f x x , ) (' ), (' x g x f 皆 存 在 , 且 0) (' ≠x g , 则

)

(' )

(' lim

) () (lim

00

x g x f x g x f x x x x →→=

例

如

,

2

12s i n

lim 02cos lim 01sin lim 0020=+---→→→x e x x e x x e x x x x x x 25、无穷大:高阶 +低阶 =高阶 例如, ()()()422lim 2321lim 53

25

3

2==

+++∞→+∞

→x

x x x x x x x 26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法(凑微分法)

(3)第二类换元法:哪里复杂换哪里,常用的换元:1) 三角换元:22x a -,可令

t a x sin =; 22a x +,可令 t a x tan =; 22a x -,可令 t a x sec = 2) 当有理分式函

数中分母的阶较高时,常采用倒代换 t

x 1=

27、分部积分法:??-=vdu uv udv ,选取 u 的规则“反对幂指三” ,剩下的作 v 。分部 积分出现循环形式的情况,例如:dx x xdx e x ??3sec , cos

范文四：高数部分知识点总结

1 高数部分

1.1 高数第一章《函数、极限、连续》

求极限题最常用的解题方向：1. 利用等价无穷小；2. 利用洛必达法

0∞∞0∞则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于0、∞、1型0∞

的题目则是先转化为型或

限，包括lim x →000∞型，再使用洛比达法则；3. 利用重要极∞1x ) x =e ；4. 夹逼定理。 =1、lim (1+x ) x =e 、lim (1+1x sin x x →∞x →0

1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》

第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分?f (x ) dx =F (x ) +C 中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?f (x ) dx 的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，

把它折弯后就是?f (x ) dx =F (x ) +C 中的那个C, 漏掉了C 也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分

方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a f (x ) dx 型定积分，若f(x)是奇函数则有a

?

?a -a 2f (x ) dx =0；若f(x)为偶函数则有?f (x ) dx =2?f (x ) dx ；对于0-a f (x ) dx 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用t =a a π

20-x 的代换是常

用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质?-a 奇函数=0 、?-a 偶函数=2?0偶函数。在处理完积分上下

限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。

a a a

1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》

由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用

以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A ?E 、(A B) ?C 、(C D E) ?F, 由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A 、B 、D ，求证F 成立。

为了证明F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件

入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1. 已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F 成立必备逻辑公式中的A ?E 就可能有A ?H 、A ?(I K) 、(A B) ?M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(A B) ?M ，因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A B) ?C ，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。

通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、

不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。

针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必

须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。

当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，

感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(C D E) ?F 再倒推想到 (A B) ?C 、 A?E 就可以证明了。

如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明

题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：

从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄

弱，如表格中B 、C 的条件是一样的，同时A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个ε使得f

到题目欲证结论中出现类似“存在一个ε使得f (ε) (ε) =k ”、看=k ”的形式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子f ('ε) =0；而见

f ('ε) 到式子'=g (ε) f (b ) -f (a ) g (b ) -g (a ) 也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在处

理本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证

明问题上体现的最为明显。

综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是

“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。

这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到

英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。

1.4 高数第六章《常微分方程》

本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方

程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。

对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放

在第一位的；分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“辨明类型——〉套用对应方法求解”的套路 ，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。

先讨论一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的

通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循——这些方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy这样的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程f 1(x ) g 1(y ) dx +f 2(x ) g 2(y ) dy =0，就是变形为f 1(x ) g (y ) dx =-2dy ，再积分求解；对于齐次方程f 2(x ) g 1(y ) y y '=f (x ) 则做变量

替换u =y

x du ，则y '化为u +x ，原方程就可化为关于u 和x 的可分dx

离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程y '+p (x ) y =q (x )

dy 'y +p (x ) y =0第一步先求的通解，然后将变形得到的y =-p (x ) dx

积分，第二步将通解中的C 变为C(x)代入原方程y '+p (x ) y =q (x ) 解出C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程y '+p (x ) y =q (x ) y n ，先做变量代换z =y 1-n 代入可得到关于z 、x 的一阶线性方程，求解以后将z 还原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比较特殊，因为其有条件?y =?x ，而且解题时直接套用通解公式

?x

x 0M (x , y 0) dx +?y y 0N (x , y ) dy =C .

所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最

后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于y (n ) =f (x ) 型方程，就是先把y

原方程就化为 dz (n -1) 当作未知函数Z ，则y (n ) =Z ' =f (x ) dx 的一阶方程形式，积分即得；再对y (n -2) 、y (n -3) 依次做上述处理即可求解；

y ''=f (x , y ') 叫不显含 y 的二阶方程，解法是通过变量替换

y '=p 、y ''=p ' (p为x 的函数) 将原方程化为一阶方程；y ''=f (y , y ') 叫不显含x 的二阶方程，变量替换也是令y '=p （但

dp dy dp '''y ==p 此中的p 为y 的函数），则dy dx dy =p p ，也可化为一

阶形式。

所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换

y

x 1-n =u ”，“求解贝努利方程就用变量替换z =y ”一样，在这里也

要记住“求解不显含y 的二阶方程就用变量替换y '=p 、y ''=p ' ”、“求解不显含x 的二阶方程就用变量替换y '=p 、y ''=p p '”。

大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。

其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：

由以上的讨论可以看到，本章并不应该成为高数部分中比较

难办的章节，因为这一章如果有难点的话也仅在于“如何准确

无误地记忆各种方程类型及对应解法”，也可以说本章难就难

在记忆量大上。

1.5 高数第七章《一元微积分的应用》

本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分?x

a f (t ) dt 单独分离到方程的一端形成“?f (t ) dt ＝a x

∽”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。

对于导数应用，有以下一些小知识点：

1. 利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点： A. 极值的定义是：对于x 0的邻域内异于x 0的任一点都有f (x ) ＞f (x 0) 或f (x ) 或＜ 而不是≥或≤； B. 极值点包括图1、图2两种可能

，

所以只有在

f (x ) 在x 0处可导且在x 0处取极值时才有f '(x ) =0。以上两点都是实际做题中经常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。

2. 讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零值定理（结论部分

为f (ε) =0）、洛尔定理（结论部分为f ('；常用到构造辅助ε) =0）函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。 3. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A. 若函数f (x ) 在 区间I 上的f ''(x ) <0，则f (x="" )="" 在i="">

f (x ) 在I 上的f ''(x ) >0，则f (x ) 在I 上是凹的；B. 若f (x ) 在

点x 0处有f ('x ) =0且f ''(x 0) ≠0，则当f ''(x 0) <0时f (x="" 0)="" 为极大值，当f="" ''(x="" 0)="">0时f (x 0) 为极小值。

其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，f '(x ) 是f (x ) 的变化率，f ''(x ) 是f '(x ) 的变化率。f ('x ) >0可以说明

函数是增函数，典型图像是

； f ''(x ) <>

可以说明函数f (x ) 的变化率在区间I 上是递减的，包括以下两种可能：

a.

变小（大小关系可参考图3）；

此时f '(x ) 为正，且随x 变大而

b.

小（大小关系可参考图3）；

此时f '(x ) 为负，随x 变大而变

同样，f ''(x ) >0也只有两种对应图像：

c.

此时f '(x ) 为正，随着x 变大而变大；

d.

此时f '(x ) 为负，随x 变大而变大。

所以，当f ''(x ) <0时，对应像，是凸的；当f ''(x="" )="">0时，对应图像，是凹的。

或的函数图

或的函数

相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹

性的充要条件多了“f ('x ) =0且f ''(x 0) ≠0”，这从图像上也很容易

理解：满足f ''(x ) <>

或，当

f ('x ) =0且f ''(x 0) ≠0时不就一定是

的情况吗。

对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。在历年考研真题中，有大量的题是利用微元法来获得方程式的，微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一；但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃，对于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想。在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳微元法的三种常见类型：

1. 薄桶型. 本例求的是由平面图型a ≤x ≤

b,0≤y ≤f(x)绕y 轴旋转所形成的旋转体体积。方法是在旋转体上取一薄桶型形体（如上图阴影部分所示），则根据微元法思想可得薄桶体积 dv =2πxf (x ) dx ,其中f (x ) 是薄桶的高，

2πxf (x ) 是薄桶展开变成薄板后的底面积，dx 就是薄板的厚度；

二者相乘即得体积。

对 dv =2πxf (x ) dx 积分可得 V =2πxf (x ) dx 。在这个例子中，体现微元法特色的地方在于：1. 虽然薄桶的高是个变化量，但却用f (x ) 来表示；2. 用dx 表示薄桶的厚度；3. 核心式

?

dv =2πxf (x ) dx 。

2. 薄饼型

.

本例求的是由抛物线y =x 及

2

y =4x 2绕y 轴旋转形成的高 H 的旋转体体积，方法是取如上

图阴影部分所示的一个薄饼型形体，可得微元法核心式

y y

dv =π(y -4) dy 。其中 π(y -4) 是薄饼的底面积，薄饼与

y =x 2 旋转面相交的圆圈成的面积是 πr 2, ∵r =x ，∴

πr 2=πx 2=πy ；同理薄饼与 y =4x 2 旋转面相交的圆圈成的

面积是

πy

， 二者相减即得薄饼底面积。核心式中的 dy 是薄

饼的高。这个例子中的薄饼其实并不是上下一般粗的圆柱，而是上大下小的圆台，但将其视为上下等粗来求解，这一点也体现了微元法的特色。

3. 薄球型

.

2

本例求球体质量，半径为 R ，

密度 μ=r ， 其中 r 指球内任意一点到球心的距离。方法是取球体中的一个薄球形形体，其内径为 r 厚度为 dr ，对于这个薄球的体积有 dv =4πrr dr ，其中4πr 是薄球表面积，dr 是厚度。该核心式可以想象成是将薄球展开、摊平得到一个薄面以后再用底面积乘高得到的。由于dr 很小，故可认为薄球内质量均

2

2

224

匀，为μ=r ，则薄球质量dm =4πr ?r dr =4πr dr ，积分

2

可得结果。本例中“用内表面的表面积4πr 乘以薄球厚度dr 得到核心式”、“将dv 内的薄球密度视为均匀”体现了微元法的特色。

通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点认识。这种方法的灵活运用必须通过自己动手做题体会才能实现，因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法的原因。

关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：

2

1.6 高数第九章《矢量代数与空间解析几何》

本章并不算很难，但其中有大量的公式需要记忆，故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住本章前后知识点的联系来复习是一种有效的策略，因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆的准确性。同时，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之一。以下列出本章中前后联系的知识点：

a) 矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。这个联系很 明显，举例来说，平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直，而由矢量关系性质知此时二矢量的数积为0，若直线方

x -x 0程为l

=

y -y 0m

=

z -z 0

n ，平面方程为Ax +By +Cz +D

=0，则

有Al +Bm +Cn =0。同理可对线面、线线、面面关系进行判定。 b) 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式 为a b =|a ||b |cos θ，故有cos θ=

→→

→

→

→→→→

|a ||b |

，这个式子是所有线线、线

面、面面夹角公式的源公式。举例来说，设直线

l 1:

x -x l 1

=

y -y m 1

=

z -z n 1

，直线l 1:

x -x l 2

=

→

y -y m 2

→

=

z -z n 2

，则二直线

夹角θ

=

l 1l 2+m 1m 2+n 1n 2

222l 1+m 1+n 1?

222

l 2+m 2+n 2

=

→→

|a ||b |

，其中a 、b 分别是两条直线的方

向矢量。对于线面、面面夹角同样适用，只需注意一点就是线面夹角

s =???而是s i θn =???，因为如右图所示公式中不是c o θ

由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而

平面的法矢量却与平面垂直，所以线面夹角θ是两矢量夹角θ'的余

'θ+θ=90角，即，故求夹角公式的左端是sin θ。对于线线夹角

和面面夹角则无此问题。

c) 平面方程各形式间的相互联系。平面方程的一般式、点法式、 三点式、截距式中，点法式和截距式都可以化为一般式。点法式

A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0（点(x 0, y 0, z 0) 为平面上已

知

点

，

{A , B , C }

为法矢量）可变形为

Ax +By +Cz -(Ax 0+By 0+Cz 0) =0，符合一般式

y x Ax +By +Cz +D =0的形式；截距式a +b +c =1（a , b , c 为平面

在三个坐标轴上的截距）可变形为bcx -acy +abz -abc =0，也符合一般式的形式。这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更主要是因为在考试中可能需要将这些式子相互转化以方便答题（这种情况在历年真题中曾经出现过）。

同样，直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形式

?x =x 0+lt

?

y =y 0+m t ?和标准式之间可以相互转化。直线方程的参数形式

?z =z +nt

0?

（(x 0, y 0, z 0) 是平面上已知点，{l , m , n }为方向矢量）可变形为

?x -x 0=t ?y -y 0

?m =t ，即为标准式?z -z 0=t ?n

x -x 0l

x -x 0l

==

y -y 0m

==

z -z 0n

；标准式

=

y -y 0m

=

z -z 0x -x 0n 若变形为l y -y 0m z -z 0n

=t 则也可以

转化为参数形式。这个转化在历年真题中应用过不止一次。 d) 空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联 系。关于这些方程的基础性知识包括：F (x , y , z ) =0表示的是一个空间曲面；由于空间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的，故空

?F 1(x , y , z ) =0222?x +y =R 间曲面方程为；柱面方程如圆柱面、F (x , y , z ) =0?2

x 2y 2

椭圆柱面2+2=1可视为是二元函数f (x , y ) =0在三维坐标系

a b

中的形式。

?f (x , y ) =0在这些基础上分析，柱面方程的准线方程如?可视为

z =0?

是由空间曲面——柱面与特殊的空间曲面——坐标平面z =0相交

形成的空间曲线，即右图中的曲线2；而空

间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事，如上图中曲线1的投影是由过曲线1的投影柱面与坐标平面相交得到的，所以也就是图

?F 1(x , y , z ) =0

中的柱面准线。在由空间曲线方程?求投影方程时，

F (x , y , z ) =0?2

需要先从方程组中消去z 得到一个母线平行于z 轴的柱面方程；；再

?f (x , y , z ) =0

与z =0联立即可得投影方程?。

z =0?

1.7 高数第十章《多元函数微分学》

复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。本章主要内容可以整理成一个大表格：

1.8 高数第十章《重积分》

大纲对于本章的要求只有两句：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。这一部分在历年真题中直接考到的情况很少，但却经常涉及，尤其是在关于曲线、曲面积分的题中，一般都需要将曲线、曲面积分转化为重积分来计算结果。

关于二重积分的性质，可以结合二重积分的几何意义和定积分的对应性质来理解，因为理解几何意义有利于解应用性问题，而且定积分和二重积分的性质定理几乎是一一对应的，对比起来很直观。

在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧，这一点在后面评题时会有针对性的讨论。

范文五：高数知识点总结(2)

高数知识点总结（下册）

——北雁友情提供

向量代数与空间解析几何

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高等数学知识点总结

北雁双飞

QQ :760722085

E_mail:heblyd@163.com

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二元函数的定义见书59页（点函数的概念同上） 二元函数定义域见书61页（几何定义，极限） 二元函数的连续性

定义：设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某一邻域内有定义，如果当点P (x , y ) 趋于点P 0(x 0, y 0) 时，

多元函数微分学

函数z =f (x , y ) 的极限等于f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处的函数值函数f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处连续

表示形式二：?z

f (x 0, y 0) 即lim f (x , y ) =f (x 0, y 0) ，称

x →x 0

y →y 0

=f (x 0+?x , y 0+?y ) -f (x 0, y 0)

全增量

则称函数z =f (x , y ) lim ?z =0，

?y →0

定义二：设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某一邻域内有定义，若

?x →0

在点P 0(x 0, y 0) 处连续 最大值与最小值定理

若函数f (x , y ) 在有界闭域D 上连续，则f (x , y ) 在D 上一定取得最大值和最小值，即如下结论 （1）在D 上至少存在一点(ξ1, η1) ，恒有（2）在D 上至少存在一点(ξ2, η2) ，恒有

f (x , y ) ≤f (ξ1, η1)(x , y ) ∈D f (x , y ) ≥f (ξ2, η2)(x , y ) ∈D

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驻点：使

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f x (x , y ) =0，f y (x , y ) =0同时成立的点(x 0, y 0) 称为函数f(x,y)的驻点

推论：在偏导数存在的条件下函数的极值点必是驻点(驻点不一定是极值点)

定理：设函数z=f(x,y)在点(x 0, y 0) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，假定点(x 0, y 0) 是函数的一个驻点即

f x (x 0y 0) =0，f y (x 0, y 0) =0 记 A =f xx (x 0, y 0) B =f xy (x 0, y 0) C =f yy (x 0, y 0)

则有如下结论：

(1) B -AC <0,><0时，(x 0,="" y="" 0)="">

小值点，

2

f (x 0, y 0) 为极大值；当A>0是(x 0, y 0) 为极

f (x 0, y 0) 为极小值。

(2)B -AC >0,

22

f (x 0, y 0) 不是极值。

f (x 0, y 0) 可能是极值，也可能不是极值。

(3)B -AC =0,

多元函数的最大、最小值问题（113页） 条件极值与拉格朗日乘数法 重积分

二重积分的定义（见书126页）

注意：

∑f (ξη) ?σ??f (x , y ) d σ=lim λ

D

→0

i ,

i

i =1

n

i

二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数f (x , y ) 及积分区域D 有关，而与积

分变量的记号无关

二重积分存在定理：如果函数f (x , y ) 在闭域D 上连续，则函数f (x , y ) 在D 上可积，即二重积分存在

二重积分的几何意义：

如果函数f (x , y )

≥0，则二重积分??f (x , y ) d σ

D

在数值上等于以函数z=f (x , y ) 所确定的曲面为顶，以

积分域D 为底的曲顶柱体的体积。 二重积分的性质

性质一、函数和（或差）的二重积分等于多个函数的二重积分的和（或差），即

??[f (x , y ) ±g (x , y )]d σ=??f (x , y ) d σ±??g (x , y ) d σ

D

D

D

性质二、被积函数的常数因子，可以提到二重积分号的外面，即

??kf (x , y ) d σ=k ??f (x , y ) d σ(k 为常数)

D

D

性质三、如果积分区域D 分为两个区域D1和D2，即D=D1+D2，则

??f (x , y ) d σ=??f (x , y ) d σ+??f (x , y ) d σ

D

D 1

D 2

性质四、如果在D 上，f (x , y ) ≥0，则，

??f (x , y ) d σ≥0

D

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曲线积分（出大题）概念（175页）

对弧长的曲线积分——————第一类曲线积分

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无穷级数

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x )

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微分方程

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方程

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y ' ' +py ' +qy =f (x ) （1）称为二阶线性常系数非齐次微分方程，其中p ，q 为常数，f (x ) ≠0，

*

（只要求出（1）本身一个特解y 和它所对应的（2）的通解y ' ' +py ' +qy =0 （2）

它所对应的齐次方程为Y ，

y =Y +y *，Y 已经会求，现只要求（1）的特解y *） y *的形式与方程右端的自由项f(x)的形式密切相关

若f(x)具有下面两种常用形式之一时，我们可用待定系数法求（1）（2）

y *

f (x ) =P m (x ) e λx ，其中λ为常数，P m (x ) 为x 的m 次多项式

f (x ) =e λx [P l (x ) cos wx +P n (x ) sin wx ]，其中λ, w 为常数，P l (x ) 和P n (x ) 分别为x 的l 次和n

次多项式

f (x ) =P m (x ) e λx 型

结论：如果

f (x ) =P m (x ) e λx ，则微分方程（1）有如下形式的特解，y *=x k Q m (x ) e λx ，其中

?0, 当λ不是特征方程的根

?

Q m (x ) 是与P m (x ) 同次的多项式，其系数待定，而k =?1, 当λ是特征方程的单根

?2, 当λ时特征方程的二重根?

f (x ) =e λx [P l (x ) cos wx +P n (x ) sin wx ]型

如果

f (x ) =e λx [P l (x ) cos wx +P n (x ) sin wx ]，则微分方程(1)有如下形式的特解

l , n }其y *=x k e λx [Q m (x ) cos wx +R m (x ) sin wx ]，其中Q m (x ), R m (x ) ，均为m 次多项式，次数m =max{

系数待定，而k =?

?0, 当λ±iw 不是特征根?1, 当λ±iw 是特征根

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