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范文一：整数与有理数
一、整数
1、整数定义：整数就是像-3，-2，-1，0，1，2，3，10等这样的数。
2、整数集：整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、?、-n 、?（n 为非零自然数）为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。
3、整数分类：我们以0为界限，将整数分为三大类：
（1）正整数：即大于0的整数如，1，2，3??直到n 。
（2）零：既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。零不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。
（3）负整数：即小于0的整数如，-1，-2，-3??直到-n 。（n 为正整数）。
4、整数分类：整数也可分为奇数和偶数两类：整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。不能被2整除的数则叫做奇数。即当n 是整数时，偶数可表示为2n （n 为整数）；奇数则可表示为2n+1（或2n-1）。 偶数包括正偶数（亦称双数）、负偶数和0。所有整数不是奇数，就是偶数。
在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1，3，5，7，9的数为奇数；个位为0，2，4，6，8的数为偶数。
5、1与0的特性：
（1）1是任何数的约数，即对于任何整数a ，总有1|a。
（2）0是任何非零数的倍数，a≠0，a 为整数，则a|0。
6、整除特征
（1）若一个数的末位是单偶数，则这个数能被2整除。
（2）若一个数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（3）若一个数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（4）若一个数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（5）若一个数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（6）若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595 ， 59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）若一个数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（8）若一个数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（9）若一个数的末位是0，则这个数能被10整除。
（10）若一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理，过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。
（11）若一个数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（12）若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，则重复「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（13）若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，同样重复之前的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，同样重复之前的计算思路，直到能清楚判断为止。
（15）若一个数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（16）若一个数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（17）若一个数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29) 整除，则这个数能被23整除
7、奇偶特性
（1）奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，
奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m 或（8m+4)的形式；
（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；一个整数的平方根若是整数，则两者具有相同的奇偶性。
8、完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0，1，4，7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数a ，b 之积是一个正整数的k 次方幂（k≥2），若（a ，b ）=1，则a ，b 都是整数的k 次方幂。一般地，设正整数a ，b ，c??之积是一个正整数的k 次方幂（k≥2），若a ，b ，c??两两互素，则a ，b ，c??都是正整数的k 次方幂。
二、自然数
1、自然数定义：自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。自然数就是我们常说的正整数和0。整数包括自然数，所以自然数一定是整数。自然数一定是非负数。但相减和自然数 相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，??所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0) ，一个接一个，组成一个无穷的集体。
2、自然数列：数列1，2，3，4，??n 称为自然数列。自然数列不包括0。自然数列的通项公式an=n。自然数列的前n 项和Sn=n(n+1)/2。 自然数列本质上是一个等差数列，首项a 1=1，公差d=1。
3、按自然数奇偶性可分为：
（1）奇数：不能被2整除的数叫奇数。
（2）偶数：能被2整除的数叫偶数。0为偶数。
也就是说，一个自然数要麽是奇数，要麽就是偶数。奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。
4、按自然数因数个数可分为：
可分为质数、合数、1和0。
（1）质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。除2以外，所有的质数都是奇数。
（2）合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
（3）1：只有1个因数，就是它自身。它既不是质数也不是合数。
（4）0：0和1一样既不是质数也不是合数，因为0不能计算因数。
范文二：全体正有理数与全体正整数的
全体正有理数与全体正整数的一一对应
我们知道，全体正有理数与全体正整数，可以建立一一对应。在集合论中，往往用下列方法来建立它们之间的一一对应:
把全体形为 p/q 的分数，写成一个二维的无穷数阵，划去其中分子分母不是互素的分数，然后从左上角开始，用一条反复折转的曲线，把剩下的分子分母互素的有理数串联起来。曲线中第一个正有理数，对应于第一个正整数，曲线中第二个正有理数，对应于第二个正整数，??
这样的一一对应，做起来很麻烦，对应关系也显得很没有规律。在已知一个正有理数的情况下，无法简单地求出与它对应的正整数。在已知一个正整数的情况下，也无法简单地求出与它对应的正有理数。
在第1楼的帖子中，我们给出了一种既不遗漏、也不重复地生成一切正有理数的方法:
1 1
12 21
1323 3231
14352534 435253411547385727583745 5473857275837451165941131181379295138117114956710512712310 659411710311813512792971251381131071149561
？
根据这种生成方法，我们可以建立一种全体正有理数与全体正整数的一一对应关系:
112132314352534？121323143525341
,,,,,,,,,,,,,,,
123456789101112131415？这种对应关系，是很有规律的。
如果已知一个正整数 ，要求与它对应的正有理数，可以这样做: n
先把 写成一个二进制数，从左到右依次读取二进制数的各位数字，然后，从 n
p00 开始，依次进行下列操作: ,1q0
pppiii，1(1)如果二进制数当前位上的数字是“0”，则进行变换 ; ,,qqpq，iiii，1
1
ppqp，iiii，1(2)如果二进制数当前位上的数字是“1”，则进行变换 。 ,,qqqiii，1
二进制数读完后，变换得到的分数，就是与正整数 对应的正有理数。 n
例 求与正整数 对应的正有理数。 1234
将 写成二进制数形式，就是 ，从左到右对它依次操作如下: 123410011010010
1001104，37111，34770，11110 ,,,,,,,,,,,,1111，122，1333333，710100107，10171717171717，44616161,,,,, ,,,,,101010，172727，1744444444，61105
61 所以，与正整数 对应的正有理数，就是 。 1234105
p0如果已知一个正有理数 ，要求与它对应的正整数，可以按下列步骤操作: q0
ppppiii，1i(1)如果当前分数 中 ，则记下数字“0”，进行变换 ; p,q,,iiqqqpq,iiii，1i
ppqp,piiii，1i(2)如果当前分数 中 ，则记下数字“1”，进行变换 。 p,q,,iiqqqqiii，1i
0 直到分数变成 为止。将记下的数字，依次从右到左排列成一个二进制数，这个二1
p0进制数对应的正整数，就是与正有理数 对应的正整数。 q0
61例 求与正有理数 对应的正整数。 105
对它依次操作如下:
01001616161,44171717171761,,,, ,,,,,105105,6144444444,172727,1710
01100117,1077,34774,311111,,,,,, ,,,,,,101010,7333333,122,111,10, 11
将记下的数字，依次从右到左排列成一个二进制数 ，将这个二进制数10011010010
61写成十进制数形式，就是 ，所以，与正有理数 对应的正整数，就是 。 12341234105
2
范文三：有理数加减-整数-C
有理数加减（一）
+54-45= -18-18= +59-45= -26-29= +48+48= -16+56= +45+75= -29+56= +59-45= -48-29= +56-15= -12-46= +34+26= -65+45= +48+78= -59+75= +48-48= -56-59= +15-78= -26-68= +35+57= -24+45= +57+12= -87+45= +45-35= -68-24= +45-57= -18-87= +45+59= -26+68= +58+57= -48+15= +45-34= -45-25= 整数
+15-45= -28-16= +45+35= -15+24= +15+15= -48+46= +28-35= -45-26= +16-45= -59-15= +89+45= -45+78= +48+45= -15+35= +15-24= -64-57= +35-87= -26-54= +45-87= -48-84= +65+15= -46+48= +45+16= -15+45= +35-78= -64-46= +15-35= -65-45= +48+29= -13+56= +46+45= -95+15= +45-48= -15-56=
难度：C
+28-89= -45-45= +26+28= -45+15= +18+48= -56+85= +45-25= -29-58= +89-45= -56-15= +45+68= -78+57= +45+45= -15+15= +64-46= -35-15= +28-28= -46-48= +58+13= -25+48= +28+46= -45+12= +28-48= -29-19= +48-65= -95-35= +59+24= -29+57= +48+75= -56+65= +48-57= -65-42=
有理数加减（二）
+16-15= -45-68= +18-57= -46-48= +26+65= -45+24= +18+35= -46+68= +51-54= -34-27= +52-45= -65-18= +48+45= -65+29= +62+48= -45+68= +16-57= -62-45= +54-78= -95-48= +95+57= -68+68= +75+57= -84+48= +65-19= -62-45= +35-48= -65-19= +54+45= -52+46= +51+16= -28+18= +58-48= -48-46= 整数
+59-45= -48-27= +56+65= -16+35= +49+24= -15+57= +49-24= -18-57= +48-48= -47-58= +17+48= -45+26= +27+58= -65+59= +35-29= -27-28= +65-27= -68-46= +98-58= -68-68= +57+57= -45+64= +18+65= -26+35= +45-65= -18-45= +26-18= -45-29= +18+48= -35+56= +64+48= -24+29= +57-58= -68-48=
难度：C
+54-17= -27-48= +68+25= -57+68= +45+57= -18+24= +26-57= -48-65= +16-24= -35-57= +24+68= -65+35= +35+65= -24+54= +57-24= -68-15= +57-48= -48-26= +59+45= -68+19= +57+48= -45+65= +18-15= -46-48= +58-65= -48-54= +56+24= -48+48= +59+45= -35+18= +68-45= -57-46=
有理数加减（三）
+16-65= -54-35= +35-24= -46-68= +28+57= -46+48= +29+15= -58+49= +48-68= -56-57= +45-48= -18-15= +65+65= -34+24= +15+57= -48+48= +46-15= -65-46= +35-57= -46-48= +54+65= -18+24= +48+57= -19+68= +48-57= -65-45= +37-15= -25-24= +48+57= -26+68= +58+57= -29+24= +48-57= -59-35= 整数
+48-24= -68-57= +57+35= -48+24= +28+15= -16+24= +45-57= -28-48= +15-78= -25-45= +24+18= -54+45= +65+16= -35+45= +24-12= -15-13= +18-24= -45-12= +46-11= -45-45= +15+48= -35+45= +24+65= -15+35= +48-22= -15-54= +48-88= -75-55= +45+15= -24+24= +15+15= -98+66= +65-45= -35-18= 难度：C
+24-65= -51-24= +65+55= -35+24= +24+57= -15+48= +45-55= -65-12= +57-22= -48-24= +84+54= -65+24= +54+68= -78+54= +54-35= -48-24= +15-15= -48-84= +24+95= -57+62= +15+54= -48+15= +16-62= -48-54= +35-95= -24-84= +57+65= -68+52= +24+54= -68+18= +54-54= -65-65=
有理数加减（四）
+16-95= -35-84= +65-15= -84-24= +65+57= -25+35= +45+68= -95+54= +84-24= -65-15= +57-48= -84-23= +65+65= -54+24= +35+48= -24+15= +65-48= -24-62= +51-45= -62-18= +54+25= -95+48= +84+29= -65+58= +35-48= -62-28= +54-59= -84-48= +65+16= -62+45= +54+24= -95+35= +84-65= -65-45= 整数
+35-24= -62-15= +54+48= -84+45= +65+18= -84+25= +51-24= -24-16= +54-45= -35-24= +24+15= -15+35= +26+24= -54+65= +35-24= -24-57= +65-68= -95-54= +68-24= -54-15= +35+48= -62+65= +54+35= -15+24= +24-15= -65-46= +35-48= -24-54= +65+24= -18+15= +65+48= -45+24= +85-18= -46-57= 难度：C
+35-45= -24-24= +65+65= -84+24= +95+57= -84+68= +65-57= -24-24= +28-57= -58-35= +48+68= -25+57= +48+24= -24+57= +54-15= -18-48= +45-15= -46-46= +84+57= -95+45= +46+18= -35+24= +21-57= -54-24= +24-57= -18-68= +45+57= -28+45= +45+18= -19+46= +65-45= -35-18=
有理数加减（五）
+31-16= -46-87= +51-49= -13-61= +21+13= -46+64= +87+12= -59+54= +64-16= -16-87= +97-16= -64-94= +12+16= -54+64= +49+15= -46+34= +12-61= -15-46= +54-19= -13-64= +64+13= -15+54= +31+16= -16+84= +54-16= -51-84= +16-13= -54-97= +61+46= -46+31= +49+46= 整数
-64+84= +79-16= -31-34= +13-16= -64-87= +13+16= -16+54= +13+34= -64+15= +13-46= -15-87= +31-16= -46-45= +21+79= -18+54= +46+16= +16-64= -64-98= +15-54= -31-54= +16+84= -64+64= +45+15= -87+64= +49-35= -64-64= +15-15= -34-46= +26+87= -95+48= +48+64= 难度：C
-65+15= +13-64= -65-35= +15-16= -24-54= +16+16= -54+35= +32+46= -16+15= +56-34= -89-65= +64-15= -15-46= +43+54= -65+35= +19+16= -54+45= +61-43= -35-16= +64-64= -87-34= +95+16= -46+64= +15+15= -34+45= +65-19= -15-84= +46-64= -54-54= +15+34= -64+61=
有理数加减（六）
+64-15= -97-84= +64-16= -54-97= +61+46= -45+97= +64+48= -45+65= +31-45= -25-15= +85-43= -15-26= +27+51= -49+48= +67+59= -59+62= +48-51= -61-62= +45-51= -28-26= +45+51= -76+45= +49+26= -64+36= +15-25= -34-58= +49-59= -48-69= +94+58= -84+47= +16+15= 整数
-64+46= +43-25= -65-15= +18-48= -49-59= +64+45= -34+15= +16+36= -59+25= +46-45= -34-28= +16-59= -59-48= +84+65= -16+15= +54+34= +12-12= -34-64= +45-15= -94-24= +56+15= -78+49= +46+78= -15+67= +34-45= -26-78= +59-49= -79-86= +56+75= -78+45= +54+15=
难度：C
-16+28= +28-46= -58-56= +25-78= -64-45= +15+45= -26+28= +95+94= -48+56= +15-45= -28-18= +46-46= -58-35= +25+26= -19+45= +46+18= -25+46= +46-25= -35-18= +68-46= -57-26= +42+15= -45+45= +15+25= -28+15= +59-49= -69-56= +26-45= -35-18= +26+26= -59+45=
范文四：整数和有理数
§5.3 有序环 整数和有理数
考虑同时有代数结构和关系的一种数学结构，有序环。
5.3.1 定义 有序环 六元组 (1) (2) (3) 任给a , b , c ∈R ，如果b (4) 任给a , b , c ∈R ，如果b 5.3.2 例 5.3.3 定理 反证法。如果b ≠ c ，则b 5.3.4 定理 (1) 任给a , b ∈R ，a <> (2) 任给a , b ∈R ，如果a <-a> (3) 任给a , b , c ∈R ，如果b (3) 0<> 证 (1) 如果a 如果a -b <0，则a =="" a="" -b="" +b=""><0+b =="" b=""> (2) 如果a <0，所以-b +(-a="" )=""><0，因此-b><-a> (3) 如果b 1 b 由有序环的定义(4)得(-a ) b <(-a )="" c=""> -(ab ) <-(ac )=""> 由(2)得-(-(ab )) <-(-(ac ))="" ，因此ac=""> (4) 反证法。 如果0<><><0,><><><> 5.3.5 定理 (1) 任给n , m ∈N ，如果n (2) 任给n , m ∈N ，如果n (3) 任给n , m ∈Z ，如果n 证 (1) 先用归纳法证明n (2) 由(1)和定理5.3.4(2)。 (3) 由(1)和(2)。■ 5.3.6 定理 5.3.7 定理 (1) (2) 任给 R m ? S 。 (3) 5.3.8 定理 (1) 0?R +，1∈R +。 2 (2) 如果a , b ∈R +，则a +b ∈R +。 (3) 如果a , b ∈R +，则ab ∈R +。 (4) 如果a ≠0，则a ∈R +或-a ∈R +。 证 (1) 没有0<><> (2) 如果a , b ∈R +，则0 (3) 如果a , b ∈R +，则0 (4) 如果a ≠0，设a ?R +，则a <><-a ，因此a="" ∈r=""> 5.3.9 定义 (1) 0?S ，1∈S 。 (2) 如果a , b ∈S ，则a +b ∈S 。 (3) 如果a , b ∈S ，则ab ∈S 。 (4) 如果a ?S 且a ≠0，则-a ∈S 。 5.3.10 定理 证 定义R 上的二元关系≤如下： a ≤b 当且仅当 存在x ∈S ?{0}，使得b = a +x 。 证明≤是全序关系。 (1) 自返性 任给a , b ∈R ，都有a = a +0，所以a ≤a 。 (2) 反对称性 任给a , b ∈R ，如果a ≤b 且b ≤a ，则 存在x , y ∈S ?{0}，使得b = a +x 且a = b +y ， 所以b = a +x = b +y +x ，由消去律得0 = y +x ，所以 y +x ?S ， 由正集合的条件(2)得 x ?S 或y ?S ， 所以x = 0或y = 0，因此a = b 。 3 (3) 传递性 任给a , b , c ∈R ，如果a ≤b 且b ≤c ，则 存在x , y ∈S ?{0}，使得b = a +x 且c = b +y ， 所以 存在x +y ∈S ?{0}，使得c = b +y = a +x +y ， 因此a ≤c 。 (4) 可比较性 任给a , b ∈R ，由正集合的条件(4)得 a -b ∈S ?{0}或-(a -b ) ∈S ?{0}， 所以 a -b ∈S ?{0}或b -a ∈S ?{0}， 所以 存在a -b ∈S ?{0}，使得a = b+(a -b ) 或 存在b -a ∈S ?{0}，使得b = a+(b -a ) ， 因此a ≤b 或b ≤a 。 再证明≤满足条件(3)和(4) 条件(3) 如果b 存在x ∈S ，使得c = b +x ， 所以 存在x ∈S ，使得a +c = a +b +x ， 因此a +b 条件(4) 如果b 存在x ∈S ，使得c = b +x ， 由0 ax ∈S ， 所以 存在ax ∈S ，使得ac = ab +ax ， 因此ab 如果 第1课 整数的基本性质、有理数 1、整数的十进位数码表示： 一般地，任何一个n位的自然数都可以表示成： 122n,n,a，10，a，10，？，a，10，a，10，a1321nn,，其中，a (i=1，2，…，n)表示i数码，且0?a ?9，a ?0.对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为in aa？aann,121N= 2、正整数指数幂的末两位数字 nn(1) 设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则m的末位数字就是a的末位数字。 4p+qq(2) 设p、q都是正整数，m是任意正整数，则m 的末位数字与m 的末位数字相 同。 3、整除的数字特征： (1)一个整数的个位是偶数，则必被2整除； (2)一个整数的末位是0或5，则必被5整除； (3)末两位数字组成的整数被4(或25)整除，则该数被4(或25)整除； (4)末三位数字组成的整数被8(或125)整除，则该数被8(或125)整除； (5)数字之和被3(或9)整除，则该数被3(或9)整除 (6)奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除，则此数被11整除。 (7)奇位千进位数段之和与偶位千进位之和的差能被7(11、13)整除，则此数被7(11、13)整除。例如：123456789，(123+789)-456=456,只要看456能否被7(11、13)整除。 4、质数与合数的性质；质数2的特殊性；最大公因数与最小公倍数；辗转相除法 5、奇数与偶数，奇偶分析法 1、不超过100的自然数中，将凡是3或者5的倍数的数相加，其和为多少？ 2、173?是一个四位数，老师说，我在这个?里先后填入3个数字，所得的三个四位数依次 能被9.11.6整除。那么老师先后填入的数字之和是多少？ 3、已知一个七位数62xy427是99的倍数，求这个数。 4、讲一个三位数的数字重新排列所得的最大的三位数减去最小的三位数正好等于原来的三 位数，求这个数。 5、证明：素数有无穷多。 1 6、设a,b,c是素数，且a+b+c=68,ab+bc+ac=1121，求abc. 57、设n是自然数，求证10整除。 nn, 8、求5767与4453的最大公因数。 9、有一个四位数，已知它的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数的四个数字的顺序倒过来排列所成的数与原数的和等于10769，求这个四位数。 1abcdefbcdefaabcdef10、已知六位数是六位数的，求六位数 3 ABCCBA11、如果A、B、C表示不同的数码，是否有三位数和两者都能被7整除？如果有，请写出所有这样的三位数；如果没有，请说明理由。 112、一个自然数的首位数字是6，去掉首位数字6后，所得的新数是原数的，那么原数的25各位数字的和是多少？ 2 13、用数字2，4，5，7组成的四位数一共有多少个？将这些数按照从小到大的顺序排列起来， 则第17个数是多少？ 14、正整数N，除以10余9，除以9余8，除以8余7，…除以2余1，那么这样的正整数N的最小值是多少？ 15、两个六位数及满足，试确定算式中各字母ABCDEFDEFABCABCDEF，3,DEFABC，4 所表示的数字。 16、设x与y是两个两位数，但x<> 个数吗？如果有，试求出这两个数。 111111，，，，，,1？？？？？？17、 请找出6个不同的自然数，分别填入6个问号中，使这个等式成 立。 418、证明：存在无穷多个正整数a，使得M,n，a是合数。 19、求证：如果一个整数是完全平方数，则该数的约数的个数是奇数；反过来也成立。 3 x,x,？xA,x，2x，？2009x20、设随意地取+1或-1，求证：绝不会是0. 122009122009 21、黑板上写着3个整数，任意擦去一个，将它改写为其他两数的和减去1，这样继续下去，最后得到19，1999，2009。问：原来的3个数能否是2，2，2？ 22、桌上有7只茶杯，杯口全部朝上，每次将其中4只茶杯同时翻转，问：能否经过若干次 这样的翻转将茶杯全部朝下？ 23、请给出20个连续的合数。如何给出任意n个连续的合数？ 216024、a是整数，求满足是整数的所有整数a的和。 3,a 25、已知7?(x+8y-z)(其中x、y、z均为整数)，求证：7?(4x+25y+10z) 26、若a、b、c、d、e、f是互不相等的整数，且整数x满足等式 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)+36=0.求证：6?(a+b+c+d+e+f) 4、
是是，都有范文五：初三：第1课 整数的基本性质、有理数
