逐梦人_
范文一：欧拉方程的修正
2.3.3欧拉方程的修正
在欧拉方程推导过程中所做的假设, 前两点暖通制冷空调领域使用的泵与风机是满足的, 因此需要修正的是第 (3)点假设 :即叶片无限多和叶片无限薄,此时,流道中任何点的相对流 速 ω均沿着叶片的切线方向。然而 , 实际上叶片数目只有几片或几十片,叶片之间的流速有 一定的宽度,叶片对流束的约束就相对减小了,使理论扬程有所降低。
在有限数目叶片的流道中,除有前述的流量为 T Q 的均匀相对流动之外,还有一个因流 体惯性而产生的与叶轮转动方向相反的轴向相对涡流运动,如图 2-5所示。
图 2-5相对涡流对流速分布的影响
此涡流运动与沿叶片的均匀流动迭加之后, 在顺叶轮转动方向的流道前部, 相对涡流助 长了原有的相对流速 ; 而在后部,则抑制原有的相对流速。结果,相对流速在同一半径的圆 周上分布不均匀,如图 2-6(a)所示,它一方面使叶片两面形成压力差,作为作用于轮轴上的 阻力矩,需原动机克服此力矩而耗能 ; 另一方面,在叶轮出口处,相对速度将朝旋转的反方 向偏离于切线,图 2-6(b)中由 ω2T ∞ 变为 ω2T ,原来的切向分速度 v u2T ∞ 减小为 v u2T 。根据同 样分析,叶片进口处相对速度将朝叶轮转动方向偏移,从而使进口切向分速由原有的 v u1T ∞ 增加到 v u1T 。
图 2-6相对涡流对进出口速度的影响
(a)进口速度的偏移(b) 出口速度的偏移
由于上述影响,按式 (2-4)计算的叶片无限多的扬程 H T ∞ 要降低到叶片有限多的 H T 值。 无限多叶片的欧拉方程表达的 H T ∞ 与有限多叶片实际叶轮的欧拉方程式得出的 H T 之间的 关系至今还只能以经验公式来表明,而这些经验公式的使用范围也极其有限。这里用小于 1的涡流修正系数 k 英美等国则称滑差因子 ) 来联系,即:
(2-6)
对离心机来说,水泵值可取 0.8, 风机可取 0.8~0.85, k 是离心式叶轮设计的重要系数。
或 (2-7)
为了简明起见,将流体运动诸量中用来表示理想条件下角“ T ”取消,可得:
(2-8)
此式表达了实际叶轮工作时, 流体从外加能量所获得的理论扬程值。 这个公式也叫做理 论扬程方程式。应当指出,这里 H T
范文二：欧拉方程的求解
欧拉方程的求解
1.引言
在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.
几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”??欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用?表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、?表示求和、i表示虚数单位??
以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.
在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如y?xK的解，进而求得欧拉方程的解.
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.
2.几类欧拉方程的求解
定义1 形状为
（1） xny(n)?a1xn?1y(n?1)???an?1xy??any?0
的方程称为欧拉方程. （其中a1，a2，?，an?1，an为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如y?xK的解）
二阶齐次欧拉方程： x2y???a1xy??a2y?0. （2） (其中a1,a2为已知常数）
我们注意到，方程（2）的左边y??、y?和y的系数都是幂函数（分别是x2、
，且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂a1x和a2x0）
函数y?xK来尝试，看能否选取适当的常数K，使得y?xK满足方程（2）. 对y?xK求一、二阶导数，并带入方程（2），得
(K2?K)xK?a1KxK?a2xK?0
或
[K2?(a1?1)K?a2]xK?0,
消去xK，有 K2?(a1?1)K?a2?0. （3）
定义2 以K为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.
由此可见，只要常数K满足特征方程（3），则幂函数y?xK就是方程（2）的解.
于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：
定理1 方程（2）的通解为
(i) y?c1xK1?c2xK1lnx, （K1?K2是方程（3）的相等的实根） (ii)y?c1xK1?c2xK2, (K1?K2是方程（3）的不等的实根) (iii)y?c1x?cos(?lnx)?c2x?sin(?lnx).（K1,2????i是方程（3）的一对共轭复根）
（其中c1、c2为任意常数）
证明 （i）若特征方程（3）有两个相等的实根: K1?K2，则 y1?xK是方程（2）的解, 1
且设y2?u(x)，y1?xK1u(x)（u(x)为待定函数）也是方程（2）的解（由于y2，将其带入方程（2），得 ?u(x)，即y1，y2线性无关）y1
xK1[(K12?K1)u?2K1xu??x2u??]?a1xK1(K1u?xu?)?a2xK1u?0, 约去xK1，并以u??、u?、u为准合并同类项，得
x2u???(2K1?a1)xu??[K12?(a1?1)K1?a2]u?0.
由于K1是特征方程（3）的二重根，
因此
K12?(a1?1)K1?a2?0
或
2K1?(a1?1)?0,
于是，得
x2u???ux??0
或
xu???u??0,
即 (xu?)??0, 故 u(x)?c1lnx?c2. 不妨取u(x)?lnx，可得方程（2）的另一个特解
y2?xK1lnx,
所以，方程（2）的通解为
y?c1xK1?c2xK1lnx.
（其中c1，c2为任意常数）
（ii）若特征方程（3）有两个不等的实根: K1?K2，则 y1?xK，y2?xK是方程（2）的解. 12
y2xK2又?K1?x(K2?K1)不是常数，即y1，y2是线性无关的. y1x
所以，方程（2）的通解为
y?c1xK?c2xK. 12
（其中c1，c2为任意常数）
（iii）若特征方程（3）有一对共轭复根：K1,2????i（??0），则 y1?x(???i)，y2?x(???i)是方程（2）的两个解， 利用欧拉公式，有
y1?x(???i)?x?ei?lnx?x?(cos(?lnx)?isin(?lnx))， y2?x(???i)?x?e?i?lnx?x?(cos(?lnx)?isin(?lnx)),
显然，
x?cos(?lnx)?y1?y2 2
和
y1?y2 2i
是方程（2）的两个线性无关的实函数解. x?sin(?lnx)?所以，方程（2）的通解为
y?c1x?cos(?lnx)?c2x?sin(?lnx).
（其中c1，c2为任意常数）
例1求方程x2y???xy??y?0的通解.
解 该欧拉方程的特征方程为
K(K?1)?K?1?0，
即 (K?1)2?0, 其根为： K1?K2?1, 所以原方程的通解为
y?(c1?c2lnx)x.
（其中c1，c2为任意常数）
例2 求方程x2y???xy??8y?0的通解.
解 该欧拉方程的特征方程为
K2?(?1?1)K?8?0，
即 K2?2K?8?0, 其根为： K1??2，K2?4， 所以原方程的通解为
y?c1?c2x4. 2x
（其中c1，c2为任意常数）
例3 求方程的通解x2y???3xy??5y?0. 解 该欧拉方程的特征方程为
K(K?1)?3K?5?0，
即 K2?2K?5?0,
例1求方程x2y???xy??y?0的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
K(K?1)?K?1?0，
即 (K?1)2?0, 其根为： K1?K2?1, 所以原方程的通解为
y?(c1?c2lnx)x.
（其中c1，c2为任意常数）
例2 求方程x2y???xy??8y?0的通解.
解 该欧拉方程的特征方程为
K2?(?1?1)K?8?0，
即 K2?2K?8?0, 其根为： K1??2，K2?4， 所以原方程的通解为
y?
c1
?c2x4. 2x
（其中c1，c2为任意常数）
例3 求方程的通解x2y???3xy??5y?0. 解 该欧拉方程的特征方程为
K(K?1)?3K?5?0，
即 K2?2K?5?0,
其根为： K1,2??1?2i, 所以原方程的通解为
1
y?[c1cos(2lnx)?c2sin(2lnx)].
x
（其中c1，c2为任意常数）
2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）
二阶非齐次欧拉方程：（4） x2y???a1xy??a2y?f(x). （其中a1，a2为已知实常数，f(x)为已知实函数）
为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设
（5） a1?1?K1?K2，a2?K1K2,
则方程（4）变为
x2y???(1?K1?K2)xy??K1K2a2y?f(x)，
即
x(xy??K2y)??K1(xy??K2y)?f(x), （6）
根据韦达定理，由（5）式可知，K1，K2是一元二次代数方程
K2?(a1?1)K?a2?0 （3） 的两个根.
具体求解方法：
定理2 若K1，K2为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 y?xK2?xK1?K2?1[?x?K1?1f(x)dx]dx. （7）
证明 因为K1，K2为方程（2）的两个特征根，
于是方程（4）等价于方程（6），
令 xy??K2y?p, 代入方程（6）并整理，得
K1f(x)
p? xxK2py?, xx
p??
和
y??
解之，得方程（4）的通解为
y?xK2?xK1?K2?1[?x?K1?1f(x)dx]dx.
由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.
定理3 若K1，K2 为方程（2）的两个特征根，则
（i）当K1?K2是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为
y?xK[lnx?x?K?1f(x)dx??lnx?x?K?1f(x)dx],
1
1
1
（ii）当K1?K2是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为
y?
1
[xK1?x?K1?1f(x)dx?xK2?x?K2?1f(x)dx],
K1?K2
（iii）当K1,2???i?是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为
y?
1
x?[sin(?lnx)?x???1cos(?lnx)f(x)dx?cos(?lnx)?x???1sin(?lnx)f(x)dx]
?
证明 （ii）当K1?K2是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得
y?xK?xK?K?1[?x?K?1f(x)dx]dx
2
1
2
1
?
（8） 1?K1?1K2K1?K2K1?K2?K1?1
?x{xxf(x)dx??xd[?xf(x)dx]}K1?K2
1
xK2?[?x?K1?1f(x)dx]dxK1?K2
K1?K2
?
?
1?K?1?K?1
[xK1x1f(x)dx?xK2x2f(x)dx]
K1?K2
??
（iii）当K1,2???i?是方程（2）的共轭复特征根时，K1?K2?2?i， 再由欧拉公式有
xK?x??i??x?ei?lnx?x?[cos(?lnx)?isin(?lnx)],
1
xK?x??i??x?e?i?lnx?x?[cos(?lnx)?isin(?lnx)],
2
将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为
y?
1
?
x?[sin(?lnx)?x???1cos(?lnx)f(x)dx?cos(?lnx)?x???1sin(?lnx)f(x)dx]
（i）的证明和（ii）类似.
例1求方程x2y???3xy??4y?x2lnx?x2的通解.
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K2?4K?4?0， 特征根为 K1?K2?2, 所以由定理3，原方程的通解为
y?x2[lnx?x?3(x2lnx?x2)dx??lnx?x?3(x2lnx?x2)dx]
1132
11
?c1x2lnx?c2x2?x2[(lnx)3?(lnx)2]
62（其中c1，c2为任意常数）
?x2{lnx[(lnx)2?lnx?c1]?[(lnx)3?(lnx)2?c2]}
1
2
例2求方程x2y???2xy??2y?x3ex的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
K2?3K?2?0，
特征根为 K1?2，K2?1， 所以由定理3，原方程的通解为
y?x2?x?3x3exdx?x?x?2x3exdx
?x2(ex?c1)?x(xex?ex?c2)?c1x2?c2x?xex
（其中c1，c2为任意常数）
例3求方程x2y???xy??2y?
x
的通解.
cos(lnx)
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
k2?2k?2?0，
特征根为 K1,2?1?i, 所以由定理3，原方程的通解为
xx
dx?cos(lnx)x?2sin(lnx)dx]
cos(lnx)cos(lnx)
11sin(lnx)
?x[sin(lnx)?dx?cos(lnx)?dx]
xxcos(lnx)
y?xsin(lnx)?x?2cos(lnx)
?
?x{sin(lnx)(lnx?c1)?cos(lnx)[ln(cos(lnx)?c2)]}
?x[c1sin(lnx)?c2cos(lnx)]?x[sin(lnx)lnx?cos(lnx)ln(cos(lnx))]
（其中c1，c2为任意常数）
在定理3中，若令f(x)?0，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.
推论 方程（2）的通解为
(i)y?c1xK1?c2xK1lnx, （K1?K2是方程（2）的相等的实特征根） (ii)y?c1xK1?c2xK2, （K1?K2是方程（2）的不等的实特征根） (iii)y?c1x?cos(?lnx)?c2x?sin(?lnx).（K1,2???i?是方程（2）的共轭复特征根）
（其中c1，c2为任意常数）
2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）
三阶非齐次欧拉方程：x3y????a1x2y???a2xy??a3y?f(x).
（其中a1，a2，a3为常数） （9）对应的齐次方程为x3y????a1x2y???a2xy??a3y?0. 特征方程为K3?(a1?3)K2?(2?a1?a2)K?a3?0.
定理4 设K1是方程（11）的根，K2是方程
K2?(3K2?a1?1)K?[3K2(K2?1)?2a1K1?a2]?0
的根，则（9）的通解为
y?xK1
?{xK2
?[x?(2K2
?3K1
?a1
?1)?x(K2
?2K1
?a1
?2)f(x)dx]dx}dx . 证明 根据条件y?cxK1（c为任意常数）是方程（10）的解. 设y?c(x)xK1是方程（9）的解（其中c(x)是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得
c???(x)?(3K1?a1)x?1c??(x)?[3K1(K1?1)?2a1K1?a2]x?2c?(x)
?[K3
?(a2?3
1?3)K?(2?a1?a2)K1?a3]xc(x)?x
?(K1
1
1?3)
f(x)
（9） （10） （11）
（12）
13）
（
因为K1是（11）的根，则
K13?(a1?3)K12?(2?a1?a2)K1?a3?0,
于是（13）式化为
c???(x)?(3K1?a1)x?1c??(x)?[3K1(K1?1)?2a1K1?a2]x?2c?(x)?x?(K1?3)f(x)（14）这是以c?(x)为未知函数的二阶欧拉方程. 设K2为（14）对应的齐次方程的特征方程
（15） K2?(3K1?a1?1)K?[3K1(K1?1)?2a1K1?a2]?0,
的根，则
c?(x)?xK2?[x?(2K2?3K1?a1)?x(K2?K1?2)f(x)dx]dx.
从而c(x)??{xK2?[x?(2K2?3K1?a1)?x(K2?2K1?a1?2)f(x)dx]dx}dx. 故方程（1）的通解为
y?xK?{xK?[x?(2K?3K?a?1)?x(K?2K?a?2)f(x)dx]dx}dx.
1
2
2
1
1
2
1
1
定理5 设K1是方程（11）的根，K2是方程（15）的根，则
（i）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的单实根，则（9）的通解为
xK1K2?(K1?K2?2)1?(3K1?K2?a1)(2K1?K2?a1)
y?[xxf(x)dx?xxf(x)dx]dx???(3K1?2K2?a1)?1（ii）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为
x?
y?x
K1
?{?[sin(?lnx)?x
?(??K1?2)
cos(?lnx)f(x)dx?cos(?lnx)?x?(??K1?2)sin(?lnx)f(x)dx]}dx
（其中??
1?3K1?a1 ，??
2
(iii）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的重实根，则（9）的通解为
y?xK?{xK[lnx?x?(K?K?2)f(x)dx??lnx?x?(K?K?2)f(x)dx]}dx,
1
2
1
2
1
2
（iv）当K1是方程（11）的三重实根，方程（15）变为K2?2K?1?0，有
K2??1，则（9）的通解为
y?xK1?{x?1[lnx?x?(K1?1)f(x)dx??lnx?x?(K1?1)f(x)dx]}dx.
证明 （i）因为K2是方程（15）的单实根，得（14）的通解为
c?(x)?
1
[xK2?x?(K1?K2?2)f(x)dx?x1?(3K1?K2?a1)?x(2K1?K2?a1)?3f(x)dx]
(3K1?2K2?a1)?1
则（9）的通解为
xK1K2?(K1?K2?2)1?(3K1?K2?a1)(2K1?K2?a1)?3
y?[xxf(x)dx?xxf(x)dx]dx???(3K1?2K2?a1)?1（ii）因为K2是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根
K21,2
?
得（14）的通解为
c?(x)?
x?
?
[sin(?lnx)?x?(??K1?2)cos(?lnx)f(x)dx?cos(?lnx)?x?(??K1?2)sin(?lnx)f(x)dx]
则（9）的通解为
y?x
K1
??[sin(?lnx)?x
x?
?(??K1?2)
cos(?lnx)f(x)dx?cos(?lnx)?x?(??K1?2)sin(?lnx)f(x)dx]}dx
（其中??
1?3K1?a1 ，??
2（iii）因为K2是方程（15）的重实根，得（9）的通解为
y?xK?{xK[lnx?x?(K?K?2)f(x)dx??lnx?x?(K?K?2)f(x)dx]}dx.
1
2
1
2
1
2
（iv）当K1是方程（10）的三重实根（a1?3?3K1），方程（15）变为
K22?2K2?1?0，有K2??1，将a1?3?3K1，K2??1代入（12）式得
y?xK1?{x?1[x?1?x?(K1?1)f(x)dx]dx}dx,
对上式分部积分得（9）的通解为
y?xK?{x?1[lnx??x?(K?1)f(x)dx??lnx?x?(K?1)f(x)dx]}dx.
1
1
1
例1 求三阶欧拉方程x3y????3x2y???6xy??6y?x的通解. 解 原方程对应的齐次方程为
x3y????3x2y???6xy??6y?0,
其特征方程为
K3?6K2?11K?6?0，
解得其特征根为1，2，3，
取 K1?1， 将K1?1，a1??3，a2?6，代入方程（15），得
K22?K2?0,
解得
K2?1或0，
利用定理5（i）的通解公式有
y?x?[x?x?3dx??x?2dx]dx?
11
xlnx?c1x3?c2x2?c3x. 22
（其中c1，c2，c3为任意常数）
例2 求三阶欧拉方程x3y????4x2y???13xy??13y?x的通解. 解 原方程对应的齐次方程为
x3y????4x2y???13xy??13y?0,
其特征方程为
(K?1)(K2?6K?13)?0，
从而解得特征单实根为
K1?1，
将K1?1，a1??4，a2?13代入方程（15），得到
K22?2K2?5?0，
解得 K21,2?1?2i. 令K2?1?2i，则??1，??2， 利用定理5（ii）的通解公式有
y?x?{[sin(2lnx)?x?3cos(2lnx)dx?cos(2lnx)?x?3sin(2lnx)dx]}dx
11
?xlnx?[c2sin(2lnx)?c1cos(2lnx)]?c3x816
x
2
（其中c1，c2，c3为任意常数）
2.4 n阶齐次欧拉方程的求解（求形如y?xK的解）
令y?xK是方程（1）的解，将其求导（需要求出y?、y???y(n?1)、y(n)）代入方程（1），并消去xK，得
K(K?1)?(K?n?1)?a1K(K?1)?(K?n?2)???a(n?1)K?an?0. (16）
定义3 以K为未知数的一元n次方程（16）称为n阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.
由此可见，如果选取k是特征方程（16）的根，那么幂函数y?xk就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：
定理6 方程（1）的通解为
y?c1y1?c2y2???cn?1yn?1?cnyn
（其中c1，c2?cn?1，cn为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：
例1 求方程x4y(4)?8x3y(3)?15x2y???5xy??0的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
K(K?1)(K?2)(K?3)?8K(K?1)(K?2)?15K(K?1)?5K?0,
整理，得
K(K2?2K?2)?0，
其根为
K1?K2?0，K3,4??1?i，
所以原方程的通解为
y?c1?c2lnx?
c3c
cos(lnx)?4sin(lnx). xx
（其中c1，c2，c3，c4为任意常数）
例2 求方程x4y(4)?6x3y(3)?7x2y???xy??y?0的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
K(K?1)(K?2)(K?3)?6K(K?1)(K?2)?7K(K?1)?K?1?0，
整理，得
K4?1?0，
其根为
， K1,2??i，K3,4?i（即一对二重共轭复根）
所以原方程的通解为
y?c1cos(lnx)?c2sin(lnx)?c3lnxcos(lnx)?c4lnxsin(lnx). （其中c1，c2，c3，c4为任意常数）
3.结束语
从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在x?0范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在x?0范围内对其求解，则文中的所有
lnx都将变为ln(?x)，所得的结果和x?0范围内的结果相似.
4.致谢
经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.
首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.
再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.
最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.
在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！
5、参考文献
[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.
[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199. [3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11. [4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144. [5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119. [6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.
[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748. [8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53. [9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.
范文三：浅谈欧拉方程的计算
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
浅谈欧拉方程的计算
作者：廖为鲲
来源：《科技视界》2013年第20期
【摘 要】本文归纳了欧拉方程的特点，并详细介绍了方程求解方法，且通过例题作了具体说明。
【关键词】欧拉方程；解法；高等数学
Discussion on the calculation of Euler equation
LIAO Wei-kun
（Basic Sciences Dept.， Taizhou Polytechnic College， Taizhou Jiangsu 225300， China）
【Abstract 】This paper summarizes the characteristics of Euler equations， and introduces in detail the equation solution method， and through the example illustrated concretely.
【Key words】Euler equation； Solution； Higher Mathematics
范文四：欧拉方程的算子算法
文章编号 :1008-8423(2000) 04-0073-05
欧拉方程的算子算法
何启发 , 刘定胜
(利川党校 , 湖北 利川 445400)
摘 要 :在算子 B=x
dx 作用下 , 欧拉方程 x n n dx n +P 1x n-1n-1
dx n-1+ +P n-1x dx +p n y=f(x) , (其 中 P 1, P 2, , P n 为常数 ) , 可化为 :(A n B +P 1A n-1B + +A 0
B ) y=f(x ). 并简记为 L (B) y=f(x ) , 把 B 为待定系数 k, 则 L(B) =0即为 欧拉
方程的特征方程 , 从而可求出 齐次方程的通解 y H , 再根据 L(B) 的逆算子性质求欧拉方程的特解 y P =1
f(x ) , 便求 得欧拉方程的通解 :y=y H +y p .
关键词 :欧拉方程 ; 算子 ; 算法
中图法分类号 :O175. 1 文献标识码 :A
收稿日期 :20000309
:(, 一般对欧拉方程 :x n
n dx n +px n-1n-1
dx
n-1+ +P n y=f(x) 的解法 , 是把方程首先化为常系数方程 , 然后求解 . 但这里面有一个较大的缺点 , 就是求方程特解 y p 时 , 当阶数 n ! 3时 , 无论是用常数变易法 , 还是用待定系数
法 , 其微分过程及代数方程求解 , 都容易导致错误 . 若用 B 算子法会避免错误 , 并且对 f(x ) 的如下形式 :x k , lnx, coslnx, sinlnx 以及它们的乘积或组合 , 用 B 算子法 , 较为简单 .
1 B 算子的基本概念和性质
1. 1 基本概念 :
定义 1 B
D, Bf(x) =(x D) f(x) =x f ? (x). 其中 :D=
dx
. 定义 2 B 的幂 B n . B n =B B n-1, 即
B n f(x) =B[B n-1f(x) ], (n>1).
规定 :B =1为恒算子 ; B f(x) =f(x). 由定义 2和以上规定可直接得出如下性质 :B n B m =B n+m (n, m #N) .
定义 3 B 的数乘 :设 为任意复数 , 则 B 定义为 :( B) f(x) = [Bf(x) ]= xf ? (x).
定义 4 设 L(t) 为关于 t 的普通常系数多项式 , 以 ? B %取代 ? t %便得到关于 ? B %的多项式 L(B) , 我们称 L (B) 为算子 B 多项式 , 简称 B 多项式 .
定义 5 设 L(B) = n B n
+ n-1B
n-1
+ + 1B+ 0, 则定义 :
L(B) f(x) = n B n f(x)+ n-1B n-1+ + 1Bf(x) + 0f(x)
定义 6 B 多项式的加法 :设 L 1(B) , L 2(B) 为两任意 B 多项式 , 则 :(L1(B) +L 2(B) ) f(x) =L 1(B) f(x) +L 2(B) f(x)
定义 7 B 多项式的乘法 :设 L 1(B) , L 2(B) 为两任意 B 多项式 , 则 :
第 18卷第 4期 湖北 民族学院学报 (自然科学版 )
Vol. 18 No. 4
2000年 11月 Journal of Hubei Institute for Nationalities(Nat. Sci. ) Nov. 2000
(L1(B) L 2(B) ) f(x) =L 1(B) [L 2(B) f(x) ]1. 2 B 多项式的性质
性质 1:设 L 1(B) , L 2(B) 为两任意 B 多项式 , 则 :L 1(B) +L 2(B) =L 2(B) +L 1(B) .
性质 2 (B-a 1) (B-a 2) =(B-a 2) (B-a 1).
由复数域多项式因式分解定理可见 , 任意 B 多项式可分成一次因子 (一次多项式 ) 的乘积 , 利用性质 2, 可得如下推论 :
性质 3 设 L 1(B) , L 2(B) 为两任意 B 多项式 , 则 L 1(B) L 2(B) =L 2(B) L 1(B).
性质 4 B 多项式的线性性 :设 L(B) 为任意 B 多项式 , C 1, C 2为任意常数 , y 1, y 2为两任意 x 的函数 , 则 有 :
L(B) (c 1y+c 2y) =c 1L(B) y 1+c 2L(B)y 2
2 欧拉方程的算子算法
2. 1 齐次方程通解 y H 的求法 :
欧拉方程的一般形式为 :x n
n dx n +P 1x n-1n-1
dx
n-1+ +P n-1x dx +p n y=f(x)记为 :(x n n dx n +P 1x n-1n-1
dx
n-1+ +p n-1x dx +p n ) y=f(x) 或简记为 :(xn D n +P 1x n-1D n-1+ +P n-1x D+p n ) y=f(x)
(1)
其中记号 :D=dx , D r =r dx r , x r D r y=x r r
dx
r , (r=1, 2, ) 方程 (1) 可通过变换 T:x=e t
, 化为常系数线性方程求解 , 而所化成的常系数方程的特征方程为 :
A n +P 1A n 1
+ +P n-1A ? +P n A
=0
(2)
其中记号 :A r
= ( -1) ( -r+1) , (r=0, 1, 2, ). 因此 , 方程 (2) 的 m 重实根 = 0, 对应于 (1) 的 m 个齐次
解 :
x 0, x 0ln|x|, x 0ln 2|x|, x 0 0ln m-1|x|
(3)
而方程 (2) 的 m 重复根 = +i , 对应 (1) 的 2m 个齐次解 .
x c os( ln|x|) , x ln|x |cos( ln|x|) , x ln m-1|x|cos( ln|x|)
x sin( ln|x|) , x ln|x|sin( ln|x |) , x ln m-1|x|sin( ln|x|)
(4)
(2) 式所有的根 i 对应于 (1) 所有的齐次解的线性组合 , 便构成方程 (1) 之齐次通解 y H [1]
命题 1 方程 (1) 等价于 :
(An B +P 1A n-1B + +P n-1A ? B +P n A
B ) y=f(x)
(5)
其中记号 A r B =B(B-1) (B-r+1) , (r=0, 1, 2, ). 为了证明上述命题 , 先证下面引理 :
引理 1 (x D) (x k
D k
) =kx k
D k
+x k+1
D
k+1
证 对任意函数 f(x)
&(x D) (x k
D k
) f(x) =(x D) [x k
D k
f(x) ]
令 D k f(x)=F(x)
D[x k F(x) ]
=x [kx k-1
F(x) +x k DF(x) ]
=kx k F(x) +x k+1DF(x) =kx k D k f(x) +x k+1D k+1f(x) =(kx k D k +x k+1D k+1) f(x)
? (x D) (x k D k ) =k k
D k +x k+1 D k+1
引理 2 x n D n =A n
B , (n #N).
证 1 x D=B=A ? B , 即 n=1时命题成立
2 假定 n=k 时 , 命题为真 , 即 :x k D k =A k B . 由引理 1, 可见 :(x D) (xk D k ) =kx k D k +x k+1 D k+1, 即 :(B-k) (xk
D k
) =x k+1
D k+1
, ? x k+1
D
k+1
=(B-k)A k B =A k+1
B
即当 n=k+1时 , 命题也成立 .
2 , , 74 湖北民族学院学报 (自然科学版 ) 第 18卷
命题 1的证明直接由引理 2便得证 . 1) 我们简证 :
A n B +P 1A n-1B + +P n-1A ?
B +P n =L(B).
(6)
易见 L(B) 可化为关于 B 的常系数多项式 , 且其次数为 n:! (L (B) ) =n. 另在复数域上 , L(B) 可分解成 n 个一次 因子之积 :
L(B) =(B-a 1) (B-a n ).
(7) 因此 , 我们以后不妨就认为 L(B) 就是 (7) 式之形式 , 从而方程 (1) 等价于 : L(B)y=f(x). (8)
2) . 比较 (2) 和 (5) 式 , 可知 :如果把 ? B %取代 ? %的地位 , 则 ? L(B) =0%就是方程 (1) 对应的常系数线性齐次
方程的特征方程 .
2. 2 特解 y p 的求法
2. 2. 1 逆算子的基本概念
定义 8 以
L(B) f(x) 记方程 (8) 的任一解 , L(B)
称为 L(B) 的逆算子 . 引理 3 根据定义 8和性质 1, 3, 4, 可得 :(1) L(B) L(B) f(x) =f(x); (2) L 1(B) L 2(B) f(x) =L 1(B) [L 2(B) f(x) ]=L 2(B) [L 1(B) f(x) ];
(3) L 1(B) (f 1(x)+f 2(x) ) =L(B) f 1(x) +L(B) 2
(x) ,
其中 L(B) , L 1(B) , L 2(B) , 均为 B 多项式 .
易知线性方程 :x
dx
-ay=f(x) 的通解为 :y=x a [(f(t) t -a-1
dt+c], 其中 C 为任意常数 .
L(B) f(x) 的值都不是唯一的 , 只要找出其中一个 , 加上齐次方程的通解 y H , 即得 L (B) y=f(x ) 的通解 , 因 此 , 特别取 :
B f(x) =(f(t) t -1dt; B 2f(x) =([(f(t) t -1dt]x-1dx, ; B-a f(x) =x a (f(x) t -a-1
dt. (9)
这些都不含任意常数 .
性质 5 B
s (lnx) n
=n+s (n+1) (n+2) (n+s) (s>0, s #J, n ! 0, x>0).
2. 2. 2 逆算子的运算法则 :
(以下 L(B) =(B-a 1) (B-a n ) 为 B 多项式 ).
法则 1
L(B)
[xk ? (x) ]=x k
L(B+k) ? (x).
(10) 法则 2 L(B) x k s k
s! L 1
(k) , (s ! 0) .
(11) 法则 3 F(B 2) cos( lnx) =F(- 2) cos( lnx ) , (x>0). (12)
F( ) sin( lnx) =F(- ) sin( lnx) , (x>0) , 其中 =i , F( ) 为一般多项式 , L(B) =F( 2). 法则 4
L(B) sin( lnx)
=(lnx) s
[acos( lna) +bsin( lnx) ],
(13)
其中 a, b 是待定 (可待定 ) 的常数 . 法则 5 设 f(x) 是 m 次关于 lnx 的多项式 , L(0) ) 0, (即 L(B) 中的常数 P n ) 0) , 又 L(t)
按 t 的升幂展开为
级数时 , 前面的 m 次多项式记为 Q(t) , (于是 Q(t) 中的常数项亦不为 0) , 则 :
L(B)
f(x)=Q(B) f(x). (14)
:75第 4期 何启发等 :欧拉方程的算子算法
引理 4 B m (lnx) n =0, 当 m>n, m, n #N .
只需证明 B n+1(lnx) n =0, (n #N ).
事实上 , B n+1(lnx) n =B n [(x D) (lnx ) n ]=B n [x n(lnx) n-1 x ]=n B n (lnx) n-1==n! B 1=n! x (D 1) =0
再证法则 5:假设有 : L(t) =Q(t) +
L(t)
, 其中 R(t) 是幂级数 , 其最低幂大于 m, 以 L(t) 乘上式两边得 :
1=L (t) Q(t) +R (t) ,
则有 :L(B)Q(B) +R(B) =1.
两边对 f(x)作用 , 则 :L(B)Q(B) f(x) +R(B) f(x) =f(x) ,
其中由引理 4可见 , R(B) f(x)=0, 则 L(B) Q(B) f(x) =f(x) , 从而
L(B)
f(x) =Q(B) f(x).
3 应用举例
3. 1 应用于解常系数线性方程
欧拉方程 :(x n D n +P 1x n-1 D n-1++P n ) y=f(x) , 可化为等价方程 :L(B) y=f(x). 其中 L(B) 为 B 多项 式 , 而且 ? L(B) =0%为欧拉方程 (1) 对应的常系数线性齐次方程的特征方程 , 换句话说 , 欧拉方程 (1) 在变换 T:x=e t 下 , 可化为常系数方程 :
L(D 1) y=f(e t ) , (15)
其中 D 1= dt 与前面记号类似 , 记
L(D 1)
f(e t ) 为方程 (15) 之任一解 , 于是我们有 :T 1[
L(D 1)
f(e t ) ]和 L(B) f
(x)都是方程 (1) 的解 . 因为方程 (15) 之特解
L(D 1)
f(e t ) 可以是 (15) 解的任一个 , 而且只需求出任一特解 , 再加 (15) 对应的齐次通解 , 便得 (15) 的通解 . 从而作逆变换 T 1, 便确定出方程 (1) 的通解 . 因此 , 不妨设 :
T 1[ L(D 1) f(e t ) ]=
L(B)
f(x) , 则
L(D 1)
f(e t ) =T [
L(B) f(x) ].
于是我们得到常系数线性微分方程 :
L(D) y=f(t) , D= dt 有如下特解 :y p =T [
L(B)
]f(lnx) ], 其中 T:Tx=e t .
例 1 解方程 :y ? +y ? -2y=8sin2t
解 :特征方程为 : 2+ -2=0, 特征根为 : 1=1, 2=-2. ? 齐次方程通解为 :y H =C 1e t +C 2e -2t , (C 1, C 2为任意常数 ). 方程有特解 :
y p =T [
B +B-2 ]=T [Im(
2i
B +B-2
) ]=T [I m (
2i
(2i) +2i-2 ) ]
=T [-5 cos(2lnx) -
5
sin(2lnx) ]=-
5
cos2t-
5 sin2t
? 原方程的通解为 :
y=C 1e t +C 2e -2t -5cos2t-5sin2t, (C 1, C 2为任意常数 ).
3. 2 运用 B 算法 , 可解答一切欧拉方程
特别当 f(x)为 :(lnx) k , x , sin(lnx) , 或 cos(lnx) 等三类函数的线性组合时 , 用算子算法尤为方便 . 当 f(x)不属上述各类函数时 , 可分解 L(B) , 逐步积分求得 .
例 2 求解 x 3y -x 2y ? +2xy ? -2y=x 3+3x
解 :方程等价于 :L(B) y=x 3+3x, 其中 :L(B) =A 3B -A B 2+2A B ? -2=(B-1) 2(B-2)
可见 , 方程的特征根为 :B=1(二重 ) , B=2
? y H =(C 1+C 2ln|x|) x+C 3x 2. (c 1, c 2, c 3为任意常数 )
又 y p =(x 3+3x) =
3
(2
+2
76
湖北民族学院学报 (自然科学版 ) 第 18卷
=x 3
(3-1) 2
(3-2)
+3x 22! (1-2) =4x 3-2ln|x|) 2故方程的通解为 :y=(C 1+C 2ln|x|) x+C 3x 2+4x 3-2x(ln|x|) 2
(C 1, C 2, C 3任意常数 ).
例 3 求解 (x 2D 2-x D+10) y=(lnx) 2
xsin(3lnx) 解 :方程可化为等价方程 :L(B) y=(lnx) 2xsin(3lnx) 其中 L(B) =A 2B -A ? B +10=B 2
-2B+10
=(B-1-3i) (B-1+3i)
? 特征根为 1+3i
y H =C 1xcos(3lnx) +C 2xsin(3lnx) (这里不写 ? ln|x|%, 而写成 lnx, 是因为题中已隐含 ? x>0%) 又 B 2-2B+10
(x 1+3i ln 2x) =x 1+3i 2(B+1+3i) 2-2(B+1+3i) +10
=x
1+3i 2
B(B+6i) =x 1+3i B [-6+36+2
216]ln 2x
=x 1+3i [18ln 3x+36ln 2x+108
(lnx) ]
取其虚部即得 :y p =xlnx[-218+108) cos(3lnx) +36
sin(3lnx) ]故原方程的解为 :
y=C 1xcos(3lnx) +C 2xsin(3lnx) +xlnx[(-218+108) cos(3lnx) +36sin(3lnx) ], (C 1, C 2任意常数 ). 参考文献 :
[1] 王高雄 , 周之铭 , 朱里铭 , 等 . 常微分方程 :第 2版 [M]. 北京 :高教出版社 , 1982. [2] 叶彦谦 . 常微分方程讲义 :第 2版 [M]. 北京 :高等教育出版社 , 1982.
OPER ATORS ALGORITHM IN EULER EQUATION
HE Qi-fa, LI U Ding-sheng
(HubeiInstitute for Nationalities, Enshi 445000, China)
ABSTRAC T:This paper studies algorithm of Euler Equation by using a hew operator ? B %, B is Eq. x
dx
. Ac cording to the property of ? B %, the Euler equa tion can change to (An B +P 1A n-1
B + +P n ) y=f (x).
KEY WOR DS:Euler eqution; operators; algorithm
77第 4期 何启发等 :欧拉方程的算子算法
范文五：方程的改进欧拉公式
2013-2014(1)专业课程实践论文
题目:方程的改进欧拉公式
一、算法理论
(0),,，n，1nn,nyyhf(xy),按照 ,h(k，1)(k),，，,yn，1yn[f(xn,yn)f(xn，1,yn，1)],k0,1,2,？,,2
dy,f(x,y),axb,,,,计算的数值解时候，如果每次只迭代一次，相当于将欧dx,
,y(a)y0,,
拉公式与梯形格式结合使用:先用欧拉公式求出，称为预测值，然后用yn，1梯形格式校正求得近似值，即 yn，1
预测: ; yn，1,yn，hf(xn,yn)
hyn，1,yn，[f(xn,yn)，f(xn，1,yn，1)]校正: 2
将上式称为由欧拉公式和梯形格式得到的预测—校正系统，也叫改进的欧拉公
式。它是显式的单步法。
为了便于编制程序上机，上式常改写成
yp,yn，hf(xn,yn)
yq,yn，hf(xn，h,yp)
1yn，1,(yp，yq) 2
改进的欧拉方法算法如下:
y0(1)输入区间等分数N，初始值。 a,b,f(x,y),
y(2)输出xy(x)在的N个点处的近似值。
b,ah,,n,0,x,a,y,y0(3)置。 N
1(yp，yq,y),x，h,x,(4)计算yp,y，hf(x,y),yq,y，hf(x，h,yp)，置2
(x,y)输出。
n,N,1(5)若，置，，转(4);否则，停机.计算框图见二。 n，1,x
二、算法框图
开始
输入
x0,y0,h,N
n=1
x=x+h10
y=y+hf(x,y)p000
y=y+hf(x,y)c01p
y=(y+y)/21pc
输出x,y11
n=n+1 n=N?否x=x,y=y0101
是
结束
三、算法程序
#include #include #include double fun(double x,double y) { return x*y; } void Euler(double (*fun)(double ,double), double h,double x0,double y0 ,double low,double up) { int n =0,i=0,j=0; double x1 = x0,y1=y0; n = (up-low)/h; printf("第n个变量 变量的值xn 函数值yn\n"); printf("%lf %lf \n",x0,y0); for ( i = 1 ; i<=n ;="" i++)=""> { x1 = x0 + i*h; y1 = y1+ h*fun(x1,y1); printf("%d %lf %lf\n",i,x1,y1); } } void main() { double h,x0,y0,low,up; printf("*****输入初始值x0="); scanf("%lf",&x0); printf("********输入初始值y0="); scanf("%lf",&y0); printf("************请输入利用“改进的欧拉公式”使用变量的范围\n"); printf("****************输入区间下界low="); scanf("%lf",&low); printf("********************输入区间上界up="); scanf("%lf",&up); printf("************************输入步长h="); scanf("%lf",&h); Euler(fun,h,x0,y0,low,up); return 0; } 四、算法实现 例1(用改进的欧拉公式，求解常微分方程初值问题的解。 dy,2,y,0.1,x,0.4， dx, ,y(0),1, 解:(1)输入的数值; x0 (2)输入初始值的数值; y0 lw (3)输入利用改进的欧拉公式使用的变量下界的数值; up (4)输入利用改进的欧拉公式使用的变量上界的数值; h (5)输入步长的数值; (6)得到结果。 例2. 用改进的欧拉公式，求解常微分方程的初值问题的解。 dy,2,y,0.2,x,0.5， dx, ,y(0),1, x0解:(1)输入的数值; (2)输入初始值的数值; y0 lw (3)输入利用改进的欧拉公式使用的变量下界的数值; up (4)输入利用改进的欧拉公式使用的变量上界的数值; h (5)输入步长的数值; (6)得到结果。
