__落花流水
范文一：相似三角形的应用题
相似三角形的应用题
1(如图所示的交通标志中，内外两个三角形是否相似,为什么,
2(如图，铁道口的栏杆臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高_______米(
3(上午10时，校园内旗杆影长为a米，同时高为b米的直的影长为c米，那么旗杆的高为___________米(
A,B4(如图，要测量河两岸相对的两点间的距离，先从B处出发与AB成90?角方向，向前走50米到C处，立一根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90?，
A,B沿DE方向再走17米，到达E处，使目标A标杆C与E在同一直线上，那么可测得的距离是___________(
5(如图，阳光通过窗口照亮到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区DE，已知亮区DE
EC,8.7AB,1.8到窗口下的墙角距离m，窗口高m，那么窗口底边离地面的高BC,____(
6(同一时刻，一竿高2米，影长为1.5米，某古塔影长36米，求古塔的高(
CD,307(为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得m，在DC的延长线上
A,AC,5AB//DEAB,6.5找到一点m，过A作交EC的延长线于B，测出m，那么你能算出池塘的宽DE吗,
8(如图，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O照射到屏幕上形成倒立的实像(像的
OA,60OB,20BD,2长度cm，cm，cm，求火焰AC的长(
(如图，学校墙外有一烟囱需拆倒，为使周围建筑不受损失，需知道烟囱的高度(甲9
在操场上C处直立3米高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与烟囱顶端
CE,3EF,1.5B重合，量得米，乙的眼睛到地面的距离米;丙在M处也直立3米高的竹竿MN，乙从E退后6米到H处，恰好看到两根竹竿和烟囱重合，且竹竿顶端N与烟囱顶
MH,4端B也重合(量得米，求烟囱AB的高度(
10(小明用这样的方法来测量建筑物的高度:如图，在地面上放一面镜子，他刚好能从镜中看到建筑物的顶端，他的眼睛距地面1.25米(如果小明与镜子的距离是1.50米，与建筑物的距离是181.50米，那么建筑物高多少米,
,ABCBC,120AD,8011(如图，是一块锐角三角形余料，边mm，高mm，要把
它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方
形零件的边长是多少,
范文二：解三角形的应用题
解三角形的应用题
1．隔河看两目标A 与B 3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A，B ，C ，D 在同一平面内) ，求两目标A ，B 之间的距离．
2．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
3. 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？
4. 如图所示，南山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC . 小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120?；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150?，从D 处再攀登800米方到达C 处. 问索道AC 长多少
≈14.4精确到米）？
5. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m ，速度为180km/h.飞机先看到山顶的俯角为15?，经过420s 后又看到山顶的俯角为45?，求山顶的海拔高度（取＝1.7）．
6. 如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 是多少？
答案：
1、解析 如图所示，在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°，
∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米) ，
在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理得，BC ＝3sin 75°6＋2千米) ． sin 60°2
在△ABC 中，由余弦定理，可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠BCA ，
即AB2＝(＋ ?6＋2－6＋2＝5. 2?2?
∴AB ＝5 (千米) ．
所以两目标A 、B 5千米．
2、解析 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12(海里) ，AC ＝10×2＝20(海里) ，∠BCA ＝α， 在△ABC 中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC ＝28(海里) ．
BC 所以渔船甲的速度为14海里/时． 2
(2)在△ABC 中，因为AB ＝12(海里) ，∠BAC ＝120°，BC ＝28(海里) ，∠BCA ＝α，由正弦AB BC ＝sin αsin 120°
3233ABsin 120°即sin α＝BC 28
14
3. 解:如图所示，
易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， 312＋202－21223cos B＝＝ 2×31×
2031
123所以sin B＝31
BC·sin B在△ABC 中，AC 24， sin A
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，
得AB2－24AB －385＝0，
解得AB ＝35，AB ＝－11(舍) ，
所以AD ＝AB －BD ＝15.
故此人在D 处距A 还有15千米．
＝400，∠ABD ＝120? 4. 在ABC 中，BD
＝30?，所以∠DAB =30? 因为∠ADB
B D AD sin120?=AD =?400=sin 30? 因为sin ∠DAB sin ∠
A B D 所以800，∠ADC ＝150? 在ADC 中，DC ＝
所以AC =AD +DC -2AD ?DC ?cos150?
222
=2+(800)2-2?800?(=2080000
得AC ≈1440（米）
5. 解ABC 求出BC ，解Rt BDC 求出CD ，山峰的高为10000-CD .
【解析】如图，过C 作CD ⊥AD ，垂足为D ，因为∠A =15? ，∠DBC =45?，所以∠ACB =30?，
AB = 180000?420?1BC AB =21000=3600 (m ) 所以在?ABC 中，sin A sin ∠ACB
sin 15?=sin(45?-30?) =
且-4，
BC =
所以21000?sin15?=-2因为CD ⊥AD ，
所以CD =BC sin ∠CBD =BC ?sin 45?
(6-2) ＝10500?2
2
(1. 7-1) (-1) ＝10500 ＝10500
＝7350
所以山顶的海拔高度=10000-7350=2650 (米) .
3. 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) 海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？
3. 解:由题意知AB ＝5(3＋3) 海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠D AB ＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°) ＝105°.
DB AB 在△DAB 中，由正弦定理，得， sin ∠DAB sin ∠ADB
AB·sin ∠DAB 5＋3∴DB ＝＝sin ∠ADB sin 105°
＋3＝103(海里) ． sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°) ＝60°，[来源:学, 科, 网]
BC ＝3(海里) ，
在△DBC 中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－
12×103×20900，∴CD ＝30(海里) ， 230∴需要的时间t ＝＝1(小时) ． 30
故救援船到达D 点需要1小时．
范文三：题型七与解直角三角形有关的实际应用题
二、解答题重难点突破
题型三 与解直角三角形有关的实际应用题
针对演练
与方程（组）结合
1. 据悉，为了改善某地交通状况，市政府计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米，且河两岸3米高的矩形斜面的坡度为
. 3
(1)求AB的长(结果精确到0.1米)；
(2)为美化环境，需在河两岸的矩形斜面上各铺设150 米长的绿化带，安排甲、乙两个工程队完成.甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2、50 m2.若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，绿化总费用为8万元，则甲、乙两个工程队各工作多少天？(参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈
2.5)
图① 图②
第1题图
2. （2015资阳改编）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作.如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米.
(1)求该生命迹象所在位置C的深度（结果精确到.1米.参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
(2)为了支援灾区，我校积极组织同学捐款，前后举行了三次捐款活动，每一次捐款数额增长比例相同，已知第一次捐款10000元，第三次捐款14400元，求捐款的平均增长率是多少？
第2题图
与不等式结合
1. (2015自贡改编）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在距A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°,小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°.
(1)请你根据这些数据算出河宽；（结果精确到0.01米.参考数据：2≈1.414, 1.732）
(2)为了方便群众过河，政府计划在此处建一座桥，要求在20天内搭建完成桥梁铁架主体工程，问一天至少应搭建铁架多少米？
≈
第1题图
2. (2016原创）酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，主楼梯宽2米，其侧面如图所示.
(1)已知楼梯的坡度i=3∶4，求出需要的地毯的长度；
(2)已知现有三种红色地毯可供选择：每平方米售价25元的，每平方米售价30元的，每平方米售价35元的，要把买地毯的资金控制在850元内，又尽可能买贵一点的地毯，应选择买哪种地毯较合适？
第2题图
与函数结合
1. 为绿化小区，在两幢楼AB和CD之间种树，小南现测量两楼之间的距离.如图，Ａ
Ｂ⊥BD,CD⊥BD,AB=15 m,CD=20 m,AB和ＣＤ之间有一景观池（长度为16米），小南在Ａ
点测得Ｅ点的俯角为42°，在Ｃ点测得Ｅ点的俯角为45°（点Ｂ、Ｅ、Ｄ在同一直线上）.
（1）求两幢楼房之间的距离BD（结果精确到;0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
（2）除去景观池外，在两楼之间的路上两旁每隔2米种一棵树，路两旁都种，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元.
①求y与x之间的函数关系式；②若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用
.
第1题图
2. （2016原创）2015年 4月18日潍坊国际风筝节拉开了帷幕，这天小敏同学正在公园广场上放风筝，如图风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）在（1）的条件下，若在A处背向旗杆PQ测得风筝的仰角为60°，一会风筝断线落到了BA的延长线E处，测得AE=20米，同学发现风筝在空中降落的路线是一条抛物
线，若以点Q为坐标原点，请求出这条抛物线的解析式
.
第2题图
其他类型
1. （2015泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处.若该渔船的速度为每小时30海里.
（1）在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近?(计算结果用根号表示，不取近似值)
（2）当渔船航行到9:30时，接到台风紧急通知，要求渔船在20分钟内折返到观测点A避
险，问渔船至少要按多少海里/小时的速度前往A处？
第1题图
2. (2015贵阳)小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20 m，到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.（以下计算结果精确到0.1 m，参考数据：sin15°≈0.26,cos15°≈0.97）
（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值;
（2）小华的身高ED是1.6 m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度
.
第2题图
3. （2015黄石）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）. （1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
第3题图
【答案】
针对演练
与方程（组）结合
1.解：(1)设AD=x米，则AC=(x+82)米. 在Rt△ABC中，tan∠BCA=
AB
＝tan68.2°≈2.5， AC
∴AB=AC·tan∠BCA=2.5(x+82). 在Rt△ABD中，tan∠BDA=
AB
=tan76.1°≈4.0， AD
∴AB=AD·tan∠BDA=4x, ∴2.5(x+82)=4x，
410
， 3
410
∴AB=4x=4×≈546.7.
3
解得x=
答：AB的长约为546.7米. (2)在Rt△EFG中，∵tan∠EFG=
EG3
=，EG=3， FG3
∴FG=3,∴EF=EG2?FG2 =6， ∴绿化的总面积为6×150×2=1800 m2,
设安排甲队工作x天，乙队工作y天，根据题意得：
?100x?50y?1800?x?10
,解得， ??
0.4x?0.25y?8y?16??
答：甲队工作10天,乙队工作16天.
2.解：（1）如解图，作CD⊥AB交AB延长线于点D，设CD=x 米． 在Rt△ADC中，∠DAC=25°，
∴tan25°=∴AD=
CD
≈0.5， AD
CD
=2x． 0.5
在Rt△BDC中，∠DBC=60°， 由tan 60°=
CDCDx
= = =， BDAD-AB2x-4
解得x≈3．
答：该生命迹象所在位置C的深度约为3米． （2）设捐款的平均增长率为x，由题意得：
10000(1+x)2=14400， 第2题解图 解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去) 答：捐款的平均增长率是20%. 与不等式结合
1.解：（1）过点C作CE⊥AD于点E，如解图，设CE=x， 在Rt△AEC中,∠CAE=45°，AE=CE=x，
在Rt△BEC中，∠CBE=30°，BE=3CE=x， ∴x=x+50，解得x=253+25≈68.30. 答：河宽为68.30米.
(2)设一天应搭建铁架y米,则 第1题解图 20y≥253+25,
解得y≥
53?5
. 4
53?5
米. 4
h3 =， 84
答：一天至少应搭建铁架
2.解：（1）设楼梯的高度为h米，由题意得，i=∴h=6，
∴需要的地毯的长度为6+8=14米.
(2)设应购地毯的单价为x元/平方米，则
14×2·x≤850，
解得x≤3014, 5
∵要把买地毯的资金控制在850元内，又尽可能买贵一点的地毯，
∴应选择每平方米售价30元的地毯.
与函数结合
1.解：（1）由题意得：∠AEB=42°，∠DEC=45°.
∵AB⊥BD,DC⊥BD,
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB=42°，
AB =tan42°, BE
1550∴BE=≈15÷0.90＝. tan42?3∵tan∠AEB=
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，
∵∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，
∴ED=CD=20，
∴BD=BE+ED=50+20≈36.7(m). 3
答：两幢楼房之间的距离BD约为36.7 m.
（2）①∵每隔2米种一棵树，景观池长为16米，则路长为36.7-16＝20.7米， ∴需要的树的数量为20.7×2≈21棵， 2
∴y＝90（21-x）+70x＝-20x+1890.
②∵购买B种树苗数量少于A种树苗数量，
∴x<><>
又∵x≥1，
∴x的取值范围为 1≤x≤10，且x为整数.
∵y=-20x+1890，k=-20<>
∴y随x的增大而减少，
∴当x＝10时，y有最小值，且最小值为:-20×10+1890＝1690.
∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗12棵，所需费用为1690元.
2.解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10，∠B=30°，
∴BQ= tan60°×PQ＝10,
又∵在Rt△APQ中，∠PAQ=45°，
∴AQ=tan45°×PQ=10，
∴AB=BQ+AQ=（103+10）（米） .
（2）过点C作CF⊥BD于点F，如解图所示，
∵∠CAD=60°，∠B=30°,∴ ∠BCA=30°，
∴AC=AB=（103+10）,
在Rt△ACF中，∠CAF=60°，AC=10+10，
∴ AF=sin30°×AC=1 (103+10)=5+5， 第2题解图 2
CF=sin60°×AC=（103+10）=53+15 , 2
∴QF=AQ+AF=5+15，QE=AQ+AE=30,
∴点C的坐标为(53+15，53+15)，点E的坐标为(30，0)，
设这条抛物线的解析式为：y=a(x-53-15)2+53+15，
把E(30，0) 代入，得a=-5?9, 30
∴抛物线的解析式为：
y=-5?9 (x-5-15)2+53+15(5+15≤x≤
30). 30
其他类型
1.解：（1）过点A作AP⊥BC,垂足为P，设AP＝x.
在Rt△APC中，
∵∠APC＝90°，∠PAC＝30°，
∴tan∠PAC＝CP, AP
∴CP=AP·tan∠PAC=x. 3
在Rt△APB中，∵∠APB＝90°，∠PAB＝45°，∴BP=AP=x.
∵PC+BP=BC=30×1＝15, 2
∴3x+x=15, 3
15(3-), 2
15(3-), 第1题解图 2
15(3-)3-÷30＝ (小时). 24
3-小时，离观测点A的距离最近. 4解得x=∴PB=x=∴航行时间为答：该渔船从B处开始航行
（2）由（1）可得，CP=315(3-)3-1)15(3-)x=×=,PA=x=， 32322
∴AC=PC2?AP2 =3-15,
设渔船至少要按x海里/小时的速度前往A处,由题意得，20 x≥-15,解得x≥60
3-45,
答：渔船至少要按(-45)海里/小时的速度前往A处
.
2.解：(1)在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=15°，BD=20 m， ∴sin∠CBD =CD≈0.26, BD
即CD=BDsin∠CBD≈5.2 m.
(2)如解图，作EF⊥AB,DH⊥AB,垂足分别为F,H，则FH=ED=1.6 m, 在Rt△BCD中，∵∠C=90°，∠CBD=15°，BD=20 m， 又∵cos15°=BC
BD≈0.97,即BC
20≈0.97,
解得BC≈19.4 m,
∴EF=BC≈19.4 m,
在Rt△AEF中，∵∠AEF=45°,∠AFE=90°，
∴AF=EF=BC≈19.4 m,
∴AB=AF+FH+BH≈19.4+1.6+5.2=26.2 m,
即楼房AB的高度约为26.2 m.
3.解：（1）∵BG∥CD,
∴∠GBA＝∠BAC=30°，
又∵∠GBE＝15°，
∴∠ABE=45°，
∵∠EAD=60°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB=AE＝103，
∴AE的长为103米.
（2）在Rt△ADE中，∵AE=10,∠EAD=60°，
∴DE=AE·sin60°＝15，
又∵DF＝1，
第2题解图
∴FE=14，
∴时间t=14=28(秒)， 0.5
∴这面旗到达旗杆顶端需要28秒.
范文四：与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题
第 2课时 与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题
1. 能运用解直角三角形解决航行问题 .
2. 能运用解直角三角形解决斜坡问题 .
3. 理解坡度 i= 坡面的铅直高度
坡面的水平宽度
=tan坡角
.
阅读教材 P76,自学“例 5”和“归纳” ,掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题 . 自学反馈 独立完成后小组内交流
①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 :
a. 将实际问题抽象为数学问题,画出图形,转化为解
b. 根据条件的特点,适当地选用 去解直角三角形;
c. 得到数学问题的答案;
d. 最后得到 .
②已知外婆家在小明家的正东方,学校在外婆家的北偏西 40°,外婆家到学校与小明家到学校 的距离相等,则学校在小明家的 方向
.
活动 1 小组讨论
例 1如图,海中一小岛 A ,该岛四周 10海里内有暗礁,今有货轮由西向东航行,开始在 A 岛 南偏西 55°的 B 处, 往东行驶 20海里后到达该岛的南偏西 25°的 C 处, 之后, 货轮继续向东航行, 你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗?
解 :如图 , 过点 A 作 AD ⊥ BC 交 BC 的延长线于点 D.
在 Rt △ ABD 中 , ∵ tan ∠ BAD= BD AD ,
∴ BD=AD·tan55°.
在 Rt △ ACD 中 , ∵ tan ∠ CAD= CD AD ,
∴ CD=AD·tan25°.
∵ BD=BC+CD,
∴ AD ·tan55°=20+AD·tan25°.
∴ AD=
20
5525
tan tan
?-?
≈ 20.79>10.
∴轮船继续向东行驶 , 不会遇到触礁危险 .
应先求出点 A 距 BC 的最近距离, 若大于 10则无危险, 若小于或等于 10则有危险 . 活动 2 跟踪训练 (独立完成后展示学习成果 )
如图所示, A 、 B 两城市相距 100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB). 经测 量, 森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向上, 已知森林保护区的范 围在以 P 点为圆心, 50 km 为半径的圆形区域内,请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 .
为什么? (参考数据
1.414)
解这类题目时,首先弄清楚方位角的含义;其次是通过作垂线构造直角三角形, 将问题转化为解直角三角形
.
阅读教材 P77练习 2,自学关于坡度的问题,弄懂坡度与坡角的实际意义,理解铅垂高度与水 平宽度的实际意义 .
自学反馈 独立完成后小组内交流
①拦水大坝的横断面为梯形,其中坡度 i 是指 与 的比,这个值与坡角的 值相等 .
②坡度 i 一般写成 1∶ m 的形式,坡度 i 的值越大,表明坡角越 ,即坡越陡 .
③已知一大坝的坡角为 45°,则它的坡度 i 的值等于 .
通过书上的例题掌握“化整为零,积零为整” “化曲为直,以直代曲”的方法来解 决一些实际和数学问题
.
活动 1 小组讨论
例 2 如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽 6 m,坝高 23 m,斜坡 AB 的坡度 i=1∶ 3,斜坡 CD 的坡度 i ′ =1∶ 2.5,求斜坡 AB 的坡角 α,坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长 .(精确到
0.1 m)
解 :如图 , 过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E, 过点 C 作 CF ⊥ AD 于点 F,
在 Rt △ ABE 和 Rt △ CDF 中 , BE
AE
=
1
3
,
CF FD = 1 2.5 ,
∴ AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m). ∴ AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
∵斜坡的坡度 i= 1
3
≈ 0.333 3,
∴ BE
AE
=0.333 3,即 tan α=0.333 3.
∴ α≈ 18°26′ .
∵ BE AB =sinα,
∴ AB=
BE
sin
≈
23
0.3162
≈ 72.7(m).
答 :斜坡 AB 的坡角 α约为 18°26′ , 坝底宽 AD 为 132.5 m,斜坡 AB 的长约为 72.7 m.
这类问题,首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义;其次,要将梯形予以分割, 分割成特殊的四边形和直角三角形 .
活动 2 跟踪训练
如图, 已知在山脚的 C 处测得山顶 A 的仰角为 45°, 沿着坡角为 30°的斜坡前进 400 m到点 D 处,测得点 A 的仰角为 60°,求出 AB 的高度 .
第 2小题, 要过点 D 作 AB 和 BC 的垂线, 构造两个直角三角形和一个矩形, 将 AB 分成两段来求 .
活动 3 课堂小结
1. 本节学习的数学知识 :利用解直角三角形的知识解决实际问题 .
2. 本节学习的数学方法 :数形结合的思想和数学建模的思想
.
教学至此,敬请使用学案当堂训练部分
.
【预习导学 1】
自学反馈
①直角三角形 锐角三角函数等 实际
②北偏东 40°
【合作探究 1】
活动 2 跟踪训练
过点 P 作 PD 垂直 AB 于点 D ,可求得 PD ≈ 63.4 m>50 m ,所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保 护区 .
【预习导学 2】
自学反馈
①坡面的铅垂高度 它的水平宽度 正切
②大
③ 1
【合作探究 2】
活动 2 跟踪训练
范文五：与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题
与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题
1. (2014遵义) 如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i ＝13，山坡坡面上E 点处有一休
息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房 顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽 度的比)
2. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD 的过街 天桥，若天桥斜坡AB 的坡角∠BAD 为35°，斜坡CD 的坡度为i ＝1∶1.2(垂直高度CE 与 水平宽度DE 的比) ，上底BC ＝10 m，天桥高度CE ＝5 m，求天桥下底AD 的长度．(结果 精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)
3. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB ⊥DB ，坡面AC 的倾斜角为45°．为 了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为i
3．若新 坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是否需要拆除？
1.414
1.732）
4. 某校兴趣小组想测量一座大楼AB 的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC ，已知BC 的长为 12米，它的坡度i
=在离C 点40米的D 处，用测角仪测得大楼顶端A 的仰角为37°， 测角仪DE 的高为1.5米，求大楼AB 的高度约为多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
1.73．）
5. 小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P 处观看小亮与爸爸在湖中划船 (如图所示) ．小船从P 处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A 处，接着向正南方向划 行一段时间到B 处．在B 处小亮观测到妈妈所在的P 处在北偏西37°的方向上，这时小 亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)
6. 如图，一艘轮船航行到B 处时，测得小岛A 在船的北偏东60°的方向，轮船从B 处继续 向正东方向航行200海里到达C 处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．已知在小 岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？ (3≈1.732)
