范文一：基于Zernicke多项式展开的逆阿贝尔变换

第 19 卷 第 1 期 核电子学与探测技术 119 11V o lN o

. 19991999 年 1 月 N uclear E lectron ics & D etect io n T echno logy Jan

基于 多项式展开的逆阿贝尔变换Zern icke

江少恩 刘忠礼 唐道源 郑志坚

() )中国工程物理研究院核物理与化学研究所, 成都 525 信箱, 610003

激光等离子体实验中的轴对称的 光体发射强度及光学全息干涉的测量, 需要采用逆阿贝尔) 变 (X A bel 换。 本文采用 多项式展开算法数值求解逆变换, 展开系数由最小二乘方原理求出。 由于 Zern icke A bel

多项式的积分为解析函数, 因此这种算法比较简便。Zer2 n icke

关键词: (阿贝尔) 变换 多项式 最小二乘方A belZern icke

0 引言

等离子体有关参数的径向分布, 在等离子体研究中是十分有意义的。只要等离子体具有轴 对称和光性薄的性质, 那么利用逆变换便可以从所测量得到的某种物理量, 沿测量方A bel [ 1, 3 ]向 的积分求出径向分布值。

在激光等离子体实验中, 变换主要有两个方面的应用: 首先通过所测量的轴对称的 A bel [ 4, 5 ]线积分 光 反演出轴对称的体分布 ( ) , 并进一步由韧致辐射公式() X I x Εr

2( , ) = (, ) (?) (1) ΕrΚne f z T eexp h Τk T e

其中 和 分别为电子密度和温度, 为 光的频率, ( , ) 是 光波长为 的轴对称 ne T e ΤX ΕrΚX ΚX 光 体发射强度, 为原子序数。 利用不同滤膜产生两个不同波段的 光得到光强 ( , ) 和 z X ΕrΚ1 ( , ) , 由光强之比 ) = ( , ) ?( , ) = [ - ) ?]可求出 , 并可求得 。其( (ΕrΚ2 R rΕrΚ1 ΕrΚ2 exp h Τ1 Τ2 k T e T ene次, 通 过二次曝光产生的全息干涉测量干涉条纹得到的光学长度 () , 在忽略折射的情况下

() ( ) ()

以 为单位。通过逆变换, 由 () 求得 ( ) , 于是可求出电子密度 。因此, 变Λm A bel

干涉 实验数据, 我们有必要对逆变换进行研究。A bel

1 变换及其逆变换Abel

沿轴对称物体分布的线积分而得到的投影称为变换, 反之, 由投影求解轴对称物A bel

体 分布的过程称之为逆变换。设 ( ) 为轴对称的源分布函数, () 为沿 方向测量得A bel ΕrI x y 到的 ()投影为 见图 1

? () ( ) ()I x = Εrdy 3 ? - ? 2 2 2 2 2 2在这个积分中, + = , = - 。当半径大于 时 ( ) 可忽略不计, 并利用对称的x y ry R x R Εr 0

性质, 可得 R 2 2 12 ?) ( ) ( ) (()I x = 2 [ Εrrr- x ]d r 4 ?? x

(4) 式便是著名的积分方程。 也就是变换, () 可由诊断 设备测量而A bel A bel I x

得, 它是 ( ) 的积分值, ( ) 的求解为逆变换。ΕrΕrA bel 1R () ( ) d I ?dx dx Εr= -

()5 2 12 2 ?Π?r ) (rx - 2 多项式展开Zern icke 图 1 几何关系图

() 实际上, 由于 5式积分中的积分下限存在奇点, 并且投影的微

分 将导致数据的噪声进一步恶化, 因此, 由测量的投影 (直接应用 (5) 式求逆 ?) d I dx I x A bel

() 变换是很困难的。为了求解式 3, 人们避开奇点和投影的微分问题, 采用了一些数值方法。如 [ 2 ] [ 1 ] 采用分段多项式近似求逆 变换, 而通过拟合三阶多项式求逆变换, Barr A bel Bockasten

但是这两种方法的精度都不高。我们采用 多项式展开算法数值求解逆变换, 具 Zern icke A bel 体过程就是先将 ( ) 形式上展开为 多项式 ( ) , 然后求 ( ) 的线积分, 此积分为 ΕrZern icke R l rR l r解析函数

- 1() = 2[ (2+ 1) (2+ 1) , = 0, 1, 2, (6) ]?f l x sin lco sx ll

再依最小二乘方原理将 通过 (进行拟合求出系数 , 最后将各个 ( ) 加起来即可 () ) I x f l x a la lR l r得 ( )。Εr 2 2 由于 = x + y , (3) 式可写成r ? 2 2 ( ) ()() I x = Εx + y dy 7 ? - ?

() 取7式的一维付立叶变换, 得 ? ? 2 2 ( ) (() ) ()F { I x } = Εx + y exp - ikx dx dy 8 ??- ? - ?

将直角坐标系变到极坐标系, 对于轴对称 光体, 则上式成为X

? F { I (x ) } = 2Π rΕ( r) J (k r) d r (9)0 ? 0

其中, () 是第一类零阶贝塞尔 () 函数, (9) 式右边的积分为 ( ) 的汉克耳 () 变 J 0 BesselΕrH ankel换, 上式的推导过程中用到函数的积分表达式。 取 (9) 式的逆变换, 于是 () 成为Bessel I x ? ? Ε r J( ) ()(k r)10 0 rd r ?- ? 0

( ) 由于对 可归一化, 不失一般性, 可取 的取值范围 0??1, 于是可将 ( ) 展开为 Εrr r rΕrZer2

多项式 ( ) , 即为n icke R l r L

( ) = ( ) (11)Εr?alR l r i= 0 l s 2l- 2s 2 其中, ( ) = [ (- 1) (2+ 1- ) ]{! [ ( - ) ! ]} (0??1) (12)?R l r?lsrslsr s= 0

( ) 为正交多项式, 正交关系为R l r

1

R ( r) R ( r) d r = ?[ 2 ( l + 1) ] (13)?l m l, m ? 0

16

() () 将12式代入 10式, 得到 L (() = ) (14)I x ?al I l x i= 0 ? ?

R()( r) J(k r)rd r 15 l 0 ?- ? 0

[ 7 ]上式中第二个积分为 ( ) 的汉克耳变换, 为R l r 1 l R ( r) J (k r) rd r = (- 1) J (k ) k (16)?l 0 1 ? 0 () () 将16式代入 15得到 ? ? ()() 17 kx [J (k )?k ]dk 2l+ 1 co s - ? ?0

利用函数的积分形式, 经过一些运算, 得到Bessel - 1() = () = [ 2?(2+ 1) ] [ (2+ 1) ] 0??1 (18)I l x f l x lsin lco sx x () () 将18式代入 14式得到 L L - 1() = () = 2+ 1) ]?(2+ 1) (19)[ (2I x ?alf l x ?al sin lco sx l l= 0 l= 0

如果系统可探测 个点, 即 () 取 个值N I x N L L - 1) = () = 2+ 1) ](2+ 1) ([ (2?= 1, 2, (20)I x n ?alf l x n ?al sin lco sx n ln N l= 0 l= 0

上列方程表示由 个方程求解 + 1 个未知量的线性方程组。 一般情况下, 方程个数 与未 N L N 知量个数 不等, 所以, 直接解方程是不可能的。 解上述方程组最有效的方法是最小二乘 + 1 L

方法。 按照这种方法, 根据二乘方剩余总量和条件来选择 系数a l N L 2 = 8 L ? ()21 I (X ) - af (x )n ll n ?n= 1 l= 0

即对于所有的 = 0, 1, , ?均等于零, 由此得出常态线性方程组, lL 58 L 5a l L N N

() () = () () (, ) = 0, 1, (22)?al ?f l x n f m x n ?I x n f m x n m lL l= 0 n= 1 n= 1

() 22式所表示的方程组为二乘方原理所得到的常态方程组, 可以用一般的线性方程组的数值 方法求解。

最小二乘方法对噪声相对不灵敏, 所以本方法对噪声不敏感, 有一定的抑制能力。另外, 由 于 多项式的线积分为解析函数, 在计算时不需要对 多项式作数值积分运 Zern icke Zern icke 算, 因此这种算法运用起来比较简便, 计算速度很快。综合上述几点, 用此算法进行逆A bel 变 换确实是一个较好的计算方法。 下面我们结合一些实例进行说明。

3 数值计算结果及分析

我们选择两种有代表性的分布用变换法进行计算, 一种为高斯型分布

2 ( ) = (- 9) (23)Εrexp r 另一种为双峰型分布 2 4 ( ) = 1+ 4- 5(24)Εrrr

() () () () 计算时, 由 3或 4式对两种分布[ 23和 24式]用数值积分方法或解析积分方法而产 生投影 () , 然后由 (11) 式计算出分布轴对称分布 ( ) , 计算结果分别见图 2 和 3。图中曲线I x Εr

17

表示由 (10) 和(11) 式直接计算的 ( ) , 小圆表示由投影 通过 (11) 式计算的结果 ( )。由 () ΕrI x Ε1 r图可以看出, 计算结果与原分布相当一致。

图 2 高斯分布真值 () 与反演值 ( )3 双峰分布真值 ( ) 与反演值 ( )图 ΕrΕ1 r ΕrΕ1 r

随 的变化随 的变化r r

计算精度由标准差 , 其表达式为来衡量Ρ N N 1?2 1?2 2 2 Ε( r) ]?Nn ()= [ Ε( r) -= 25 Ρ1 n [ ? Ε( r) ]n ??n= 1 n= 1 N? 上式中 ( ) 表示计算的结果, 为取样点的个数。 越小, 计算误差就越小, 当 = 0 时, ( )Ε1 rN Ρ ΡΕ1 r = ( ) , 即可以精确反演得到原分布。但实际上, 会存在一定的测量误差和噪声的影响, 即使不 Εr

存在噪声和测量误差, 也存在计算误差, 只是大小不同而已。 在理想输入即不存在噪声的情况 - 5 - 3 下, 对高斯分布 (23) 式, 标准差 = 219×10, 对双峰分布 (24) 式, 标准差 = 212×10, 可见 ΡΡ误差都很小, 说明反演的精度高。

为了研究噪声的影响, 我们特地在计算的投影中加一定的噪声

) = () + () = () [ 1+ () ] (26)(g x I x n x I x Αn1 x 其中 为含有噪声的投影, () 为噪声, () 为在[- 1, 1 ]区间均布的随机分布。为所取 () g x n x n1 x Α噪声的强度, 在计算中, 我们取 = 011。Α

图 5 高斯分布真值 ( ) 与由 () 反演值Εrg x 图 4 高斯分布的投影 () 和 () 随 的变化 I x g x x

( ) 随 的变化Ε1 rr

对含噪声问题, 我们仅对高斯型分布进行计算。 不含噪声的投影 () 和含噪声的投影 I x g () = () + () 见图 4, 图中的实线为 () , 虚线为 ()。图 2 中的离散小圆就是由不含噪 x I x n x g x I x

声的投影 () 反演得到的。由含噪声的投影 () 计算结果见图 5。图 5 中的曲线为 (23) 式所I x g x

18

表示的分布 ( ) , 小圆为由 反演得到的分布 ( )。由图 5 可以看出, 虽然投影 含噪 () () Εrg x Ε1 rg x - 2 声较大, 但反演的分布 ( ) 与原分布 ( ) 相差不大, 比较接近。此时的标准差 = 117×10, Ε1 rΕrΡ比较小。当然, 含噪声投影的反演结果比理想情况的反演结果要差, 但图 5 看出, 反演结果还是 令人满意的。

4 结语

本文采用 多项式展开法计算逆 变换对轴对称的投影进行反演, 由于 Zern icke A bel Zer2

多项式的线积分为解析函数, 这就省去了用其他正交多项式或函数需要计算积分的麻 n icke

烦, 采用最小二乘方原理可对存在一定误差的实验数据进行处理。 因此, 本方法对于轴对称分 布的重建即逆变换来说是一种实用而有效的数值计算方法。A bel

参 考 文 献

1 . . Bockasten KT ran sfo rm at io n of ob served radiances in to radial distribu t io n of the em issio n of a p la sm aJ

, 1961, 51 (9) : 943Op t Soc Am er

2 . . , Barr WM ethod fo r compu t ing the radial distribu t io n of em it ters in a cylindrical sou rceJ Op t Soc Am er

() 1962, 52 8: 885

3 朱士尧. 等离子体诊断中的逆变换. 核聚变与等离子体物理, 1987, 7 (2) : 102A bel

4 , 22. , 1976, 47 (6) : 2402E idm ann KX ray em issio n fo r laseriradiated p lane so lid target sJ A pp l Phys 5 , . 2. , 1990, 61 (10): N akai Set a lD evelopm en t of X ray em issio n compued tomographyR ev Sci In strum 2783

6 , . . , 1976, 15 (5) : 1126Sw eeney D et a lIn terfe rm etric p rob ing of laser p roduced p la sm a sA pp l Op t 7 . , . " , , 1963, Co rm ack AR ep resen tat io n of funct io n by its in tegralsw ith som e rad io logica lJ A pp l Phys

()35 10: 2908

()收稿日期: 1997- 10- 05

Inve r ted A bel T ran sfo rm B ased on Zern icke Po lynom ia ls Exp an sio n

J iang Shaoen L iu Zhongli T ang D aoyuan Zheng Zh ijian

( , , . . 525, , 610003)In stitu te of N uclear and Chem istryCA EPPOBox Chengdu

2Abstract T he inverted A bel t ran sfo rm is necessarily u sed to compu te the X ray em issio n radial distribu2

. , t io n and op t ical ho lograph ic in terfe rm etric dataU sing the Zern icke po lynom ia l exapn sio n m ethodthe in2

. verted A bel t ran sfo rm is num erically calcu la tedT he expan sio n coefficien ts are so lved by least squ res

. , . m etho dBecau se the line in tegrals of Zern icke po lynom ia ls is analysed funct io n sth is m ethod is very sim p le

2Key words A bel t ran sfo rm Zern icke po lynom ia ls L eastsqu re m ethod 【作者简介】

江少恩, 男, 34 岁, 副研, 博士生; 刘忠礼, 男, 56 岁, 研究员; 唐道源, 男, 60 岁, 研究员; 郑志坚, 56 岁, 研究 员, 博导。

19

范文二：阿贝尔定理的讨论

阿贝尔定理的讨论

第30卷第2期

1998年6月

西安建筑科技戈学

J.Xi'anUniv.ofArch.&Tech.

Vo1.30NO.2

Jun.1998

阿贝尔定理的讨论

{13l

张莜蘅?霍爱莲@

(?西安市教育学院数学系,西安,710002{?西安建筑科技大学基础课部,西安

'710055

第一作者女,42岁.讲师)

方法来求级数的和.,,

美鬟词

.

兰;兰苎;兰兰兰t,苎苎兰中圈分类号0173.1八

onAble'stheorem

ZhangXiaoheng?HuoAilian

(?Dept.ofMath,Xi'f1.nInst.ofEdu.Xi'all,710002; ?Dept.ofBasicCourses,Xi'allUniv.ofAreh.&Tech..Xi'an.710055)

AbstractThispapermakesafurtherstudyofAble'Stheoremanditsapplication.Theresultsobt

ainedfromthreespe?

eialconditionsforitsreversibility—

andtheSUWIofseriesformakinguseofAble'smethodsf1.represented.

KeywordsAble'jtheorem.series,converges,diverges.continouityofSUI?~Junction

阿贝尔方怯是数学分析中较古典的一种方法.特别是在级数的收敛性理论和有关

和的计算中要经

常用到.为此,笔者对这一定理作了进一步讨论,以便更垒面地了解这一方法并能更灵活地用其解决具

体问题.

1阿贝尔定理

1.1定理1(阿贝尔幂级数连续性定理)

如果幂级数?n在收敛区间的右(左)端点处收敛,则它在这点还是左(右)连续的,一 0

证明详见文献[1].从上述定理可知:如果,(z)一?d在z一1处是收敛的,即如果有收敛的数

项级数?以=,则存在极限lim,0):.亦即若?d收敛,则lim(?d)一J|一O一】一H一0—I—H一0

d).换言之,就是极限与求和可以交换次序.

】.2阿贝尔级数求和法

?a=?(1im

用阿贝尔定理求级数的和时,其最重要的一点就是要根据所给求和级数找出一个适当的幂级数满

足定理的条件,并且此幂级数的和是已知或易求出的.

收穑日期:1997.10-25

第2期张薇蕾等:阿贝尔定理的讨论193

例求矗的和.

解:设一薹一'

则,c一c一'南一1一薹l一蓦

导薹+薹一'一

1)

"J_1

导[1n(1+)一+菩]+Fln(1+)一]一(1+导)In(1+)一2.<<1 由定理知:薹一一lim[(1+(?_3lnz—z

2逆命题的讨论

问题的提出:如果已知存在极限lim,)一,其中,)一?a,那么能否推断出?a.一7 例2已知一l一+一…+(一1)+…ll<1

故有}一吉,但是我们知道级数(一1)却是发散的?即这时a—F?圣a一? 此例说明问题的答案是否定的.也就是说阿贝尔定理的逆命题是假命题. 但是,当我们对幂级数的系数a给出一定的限制条件时,则其某种形式的逆定理还是成立的.

(1)已知lim,()一,且口?0,则Iim,)一:n.一l一一1一

证明'lim,()一s.当?(1一d,1)时|M>0l,()l?M.

1一

又'.'lims)一,),.'.当?(1一d,1)时O<()<,()<M 即()在=1的左邻域内一致有界.

又'.'一lim),.'.?n有界.

而?0,.?收敛.由定理1可知:?

?a一lim,()Jl

(2)已知lim,)一,且limna=0,则lim,)

Pl一…P?I一

证明'?一?n=?a一?n一?n一一?(1一一)aH;0H=0=+I l—一(1+++…+一)(1一)?"(1一)ll<1

wRw

.

1?(1一一)l?l?(1一)l??l"al(1一z)一

OH一0

又'lim"d一0,.VE>0,jNl,当n>NI时l口l<E NN?IN

设N>N.,则I?(1一)l??1(1一)??l"nl(1一)+?}"nl(1一)?一 O一N+I

N1

?l"?1(1一z)+E?(1一)H一0

?蚤.<玎o<<l

?

口??

??

而

194西安建筑科技大学第30糟

当.r一1一时,?I4I(1一.f)一0,EN(1一.r)一o, 取?=兰],EN(1一.r)=e](1一)<e (?+1)(1一.r)>兰(1一z)1一.r)<E ...只须使1一z足够小使得N=[]>Nt 故I?n一?I<?a—I(1一.f)+e+ 当一1时,N一..?n一1i?a一.

即?=l?n?

(3)已知1,)一,且一

lim1(nt+2口z+…+no,则

一

lim

一

,'_?

证明设=0,;?+2?.+…+Hn,则n"一专(-一)' .

薹n,一n.+n,—+薹詈一茎一

n.+鲁一茎;-4~x1~aoJr茎鲁一=

时蚤一[一一

时c薹+,+

i:客一T.n?;o且警一…一;=_i

又.鲁:....ve>.,?,当>?时l鲁l<e 耋等,喜

一0,lim

一

(1一z)v.xo

41一.

由(1)式,得li,"=--1~0" zl一-一l…...

由(2)式及已知条件得,

?以=—d,即

3阿贝尔定理的推广

?.=

(1)

(2)

3.1定理2

设正值连续函数列口,(.r)在(.,1)内关于n单调减少,且(.r)=l一.,l,2,…),则在

收敛时,有liraa)=?吼.:I一o 证明详见文献[2],

乩一^

?

一

n

一

第2期张筱着等:阿贝尔定理的讨论195

3-2应用定理2求和函数

例s栅

一lira一扣.一IH—I'…,0 证明设?^;"?

且..一.,)一辈o<z<1 则V一)关于"单调减少,且lira—

)一l("=0,1?2,…)

一I

由定理2,妻:li妻()即妻一li妻—tH一0H=I"一1一

一,

一lira蓦

蓦一扣.

4幂级数的导级数连续性定理 4.1定理3

设?"收敛,且,(z)=?口一,ll<1,则 .

)二.

证明详见文献[2].

4-2应用定理3求级数的和 倒4求一+一…的和.

解:设d一二:::+1)("+2)'则

"1

一

收敛

叉薹<?

c一姜,州一zIhc< 2

+

由定理.,得"+2)乩=,()t一1一In2 而蓦=砉丰一耋一蓥一号一z ?一

c"+z一z薹n=一nz—zc导一znz=31n2--2

即揣nz-z.

参考文献

1吉林大学数学系.数学分析:中册.北京:人民教育出版社.1978.155

2徐利治.王兴华.数学分析的方法及僻题选讲.北京;高等教育出版社.1986.18

范文三：阿贝尔奖的设立

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阿贝尔奖 好玩的数学阿贝尔奖是一项由挪威王室向杰出数学家颁发的一种奖项，每年颁发一次。2001年，为了纪念2002年挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。阿贝尔奖被视为数学界最高荣誉之一。

一百年来，人们经常会问，为什么诺贝尔不设数学奖?对此有种种猜测，甚至涉及风流韵事，然而这都不过是无稽之谈。诺贝尔是应用化学家、实业家，他的现实态度不会给他理解的数学一个同物理学、化学、生理学和医学平起平坐的地位。2003年，数学终于也有了一项与诺贝尔奖比肩的大奖——阿贝尔奖（Abel Prize）。

20世纪数学的发展大大超越了19世纪的数学，它已走到科学的前面。但是，号称数学“诺贝尔奖”的菲尔兹奖（Fields Medal），不仅奖金少得可怜（不到诺奖的1%），而且限制获奖者在40岁以下。对它的一个补充是以色列的沃尔夫奖（Wolf Prize），它虽然没有年龄限制，但其他的非学术因素还是存在的。第三个是瑞典颁发的克拉福德奖，这是为弥补非诺贝尔奖的专业而设，包括数学、地球物理等，但每个学科六、七年才轮到一次，影响力有限。

2001年，挪威政府宣布创设阿贝尔奖，以挪威天才数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）来命名，并纪念他诞生200周年。阿贝尔是19世纪一颗闪亮的数学之星，他不幸死于肺结核，年仅26岁。他以证明一般五次方程不能被根式解（这个工作导致现代的群论这个领域）以及椭圆函数论的工作而享有盛名。其后椭圆函数论发展成阿贝尔函数论，从19世纪起一直是一大热门。他的工作还包括：为无穷级数理论奠定严密基础。而在阿贝尔之前，对收敛及发散还没有正确的概念；他还求解第一个积分方程，而系统的积分方程理论一直到19世纪未才开始出现。以至法国数学家埃尔米特（C. Hermite, 1822-1901）在评价阿贝尔时说：“阿贝尔留下的工作够数学家忙上150年。”时至今日，许多重要的数学概念以他的名字命名：阿贝尔群、阿贝尔簇、阿贝尔积分、阿贝尔函数等。

其实早在1902年，就有人提议设立阿贝尔奖，但由于瑞典-挪威联合王国解体，这个提议被放弃了。现在阿贝尔奖最终成为现实。这个奖今后将每年颁发，授予一位数学家，奖励他一生的成就。奖金为600万挪威克朗，现在约合80万美元。由于上述三项最主要的数学奖各有不足之处，因此阿贝尔奖无可争辩地会成为最显赫的数学奖。这是因为一来奖金数额与诺贝尔奖相当，二是能选出最好的数学家获奖而使自己增光。

2003年4月，挪威文理科学院宣告，它将把首届阿贝尔奖授予众望所归的法国大数学家塞尔（J.-P. Serrre）。颂词说：“由于他在赋予数学许多分支以现代的形式中起着关键的作用，这些学科特别包括拓扑学、代数几何学和数论。阿贝尔奖开局不错!当然，一项奖的重要性不在于奖金数额多少，而在于获奖者的水平。在这方面塞尔可以说是当之无愧的。实际上，他也获得其他许多重要奖项：其中包括菲尔兹奖（1954）、法国的儒利亚（Julia 1970）奖、意大利巴尔赞（Balzan 1985）奖、沃尔夫奖（2000）。塞尔还获得一位科学家所能获得的最高荣誉：他被选为法国科学院院士、英国皇家学会国外会员、美国科学院国外院士等。无疑，所有的荣誉和奖励都来自他大量水平极高的工作，这些工作不仅属于颂词中提到的拓扑学、代数几何和数论，而且他在多复变、群论、抽象代数学、同调代数学、李群李代数理论等诸多领域也有重要贡献。

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范文四：阿贝尔公式的应用

故定理 1得证 .

定理 2的证明 先证右不等式 , 因 λ≥1/2,由不等式 (6),(7)可得

(1) (1) x y x y λλ

λλ

+++

2λ

≤

24(3λλ≤=,

即有 4() (1) (1) 3x y x y λλλ

λλ+≤++.

同理 4((1) (1) 3

y x x y λλλ

λλ+≤++.

将以上两个不等式相加 , 即可得不等式 (5)的右不等式 .

再证左边不等式 , 由幂平均不等式和引 理 3可得

(1) (1)

x y x y λλ

+++

22λλ

=+

222228

λ

λ

λ≥>=

. 即有 2

(1) (1) 8x y x y λλλλλ

+>

++.

同理 2

(1) (1) 4y x x y λλλλλ

+>++.

将以上两个不等式相加 , 即可得不等式 (5)的左不等式 .

故定理 2成立 .

参考文献

[1] 宋庆 , 龚浩生 . 一个不等式的下界估计 . 中学数学月 刊 .2003.2.

[2] 安振平 , 梁丽平 . 一个数学问题的研究性学习 . 中学 数学教学参考 . 2003.6

阿贝尔公式的应用

福建福安一中 黄 光

1 阿贝尔公式与求和

首先 , 从一道简单的例题开始

例 1求和 :21123n S x x nx ?=++++L .(高 一数学 (上 )P142第 6题 )

解 (错项相减法 ) 1x =时 , S n =;

1x ≠时 , 2223n xS x x x nx =++++L , ∴ 1(1) (1) n n x S nx x x ??=?+++L

(1) (1)/(1) n n x S nx x x ?=???,

∴ 2

11(1) n n

nx x S x x ?=+??.

该题中 , 用 123, , n a a a a L 代替 1,2,3n L , 1, b 23, n b b b L 代替 21, , n x x x L , 123i S b b b =+++ i b +L (1,2,3) i n =L , 那么

11

() n

i i

n n n i a b

a S S ?==?++∑L

22111() a S S a S ?+

1112221n n n n n n a S a S a S a S a S ???=?++?L 1

1111() n n n i i i i a S a S S a a ?+=+=+?∑ (*)

这就是著名的阿贝尔 (Abel)公式 .

从上面可以看出这个公式的特点在于把数列 {}n n a b 的前 n 项和转化为 {}n b 的前 i 项和 i S 来 处理 , 其中要求 1i i a a +?与 i S 容易求得 . 联想到 我们所学的等差和等比数列 , 若 {}n a 是等差 数列 ,{}n b 是等比数列 , 那么 1i i a a +?与 i S 都容 易求得 , 此时阿贝尔公式就大有用武之地了 .

例 2已知 :{}n a 是首项是 1a , 公差是 d 的等 差点数列 ,{}n b 是首项是 1b , 公比是 (1) q q ≠的 等比数列 . 求 {}n n a b 的前 n 项和 .

解 ∵ 11(1) , n i i a a n d a a d +=+??=?,

11(1,2,3) 1i

i q S b i n q

?==?L .

? 20?

代入阿贝尔公式得

1

11

1

() n

n i i n n i i i i i S a b a S S a a ?+====+?∑∑

1

11[(1) 1]1n n i n i b a q d q q ?==????∑ 11{[(1) ](1) 1n b

a n d q q =+???? 1[(1) (1) 1n q

d n q q

??+??.

2 阿贝尔公式与不等式

阿贝尔公式不仅在求和方面有重要的应 用 , 而且在不等的证明中也有许多应用 , 由它 出发可以导出很多重要的不等式 .

阿贝尔公式的左端是积和式 1n

i i i a b =∑, 这容

易使人联想到排序不等式 :

1212, n a a a b b ≥≥≥≥≥L L n b ≥, {}ji b 是 {}i b 的一个排列 , 则

1

1

n n

i i

i

ji

i i a b a b

==≥∑∑11

n

i n i i a b ?+=≥∑,

即 正序和≥乱序和≥反序和.　

下面将给出排序不等式的一种证明来揭 示阿贝尔公式与排序不等式的关系 . 　

证明　 1

i

i k k S b ==∑, 1

i

i jk k T b ==∑,

11

i

i n k k R b ?+==∑, (1,2,3) i n =L , 则有

n n n S T R ==, i i i S T R ≥≥, 10i i a a +?≥ (1,2,31) i n =?L .

∴ 1

11

1

() n

n i i n n i i i i i a b a S S a a ?+===+?∑∑

111

1

() n n

n n i i i i ji i i a T T a a a b ?+==≥+?=∑∑

1111

1

() n n

n n i i i i n i i i a R R a a a b ?+?+==≥+?=∑∑,

当且仅当 12n a a a ===L 或 12b b ==L = n b 时等号成立 .

同样的 , 由阿贝尔公式也容易推出切比 雪夫不等式 :

11

1

1

1

n n n n

i i i i i n i i i i i n a b a b n a b ?+====≥≥∑∑∑∑.

请读者自行证明 .

例 3 设 0(1) i a i n >≤≤, 证明 12112221223(1) n

a a na a a a n n +++++++××+L L 1n

i i a =<>

证明 设 122i i A a a ia =+++L ,

1(1)

i B i i =+, 则

11(1) i i i A A i a ++?=?+, 1

1

i

i k k i S B i ===

+∑, ∴左边 111

1

() n n i i n n i i i i i A B A S S A A ?+====+?∑∑

121

(1)(2) 1

n a a na n =?

++++L 1

11

(1) 1n i i i i a i ?+=?++∑.

122(2) [n a a na a <+++?+l l="" 1(1)="">

n i i n a a =+?=∑.

例 4 (IMO20-5)设 123, , , , , k a a a a L L 是两 两不同的正整数 , 求证 :对于任何正整数 n , 下

列不等式成立 :2111

n n

k k k a k k

==≥∑∑.

这是一道很典型的问题 , 在很多书中运 用排序不等式等给出证明 , 下面将用阿贝尔 公式直接证明 .

证明 设 21/k b k =, 12k k S a a a =+++L 12k k T ≥+++=L .

则 1

11() n n n k k k k S b S S b b ?+==+?∑

111

1

1

1() n n

n

n n k k k k k k k b T T b b kb k ?+===≥+?==∑∑∑

. 所以 , 原命题得证 .

从此题可以看出运用阿贝尔公式省去了 对 123, , k a a a a L L 的排序 , 仅从整体出发 , 因而

? 21?

简化了证明过程 , 这种从整体出发的思想是 很值得借鉴的 .

3阿贝尔公式与组合恒等式

例 5 证明 :

1

111(1) (12n

k k

n

k C k n =?+++=?∑L . 证明 引理 :11(1) (1) 1i

k k i i

n n k C C ?=?=??∑,

1

111

1

(1) (1) () i

i

k

k

k k k n n n k k C

C C ???==?=?+∑∑ 1

21

11

11() () n n n n C C C C ????=?+++?L 111(1) () i i i n n C C ???+?+1(1) 1i i

n C ?=??,

∴设 (1) , k k n k C b ?=

1

(1) i

k k i n k S C ==?∑1(1) 1i i

n C ?=??,

有 1

11

(1) (12n

k k n k C k =?+

++∑L 111111(11) 1]

21n i i

n i C n i ??==?++++???+∑L 1111

(1() 22n n =?+++++++L L

1111

1(1) n i i n i C n ?++=?∑10

111() n n

C C n n =?+?=?. 4阿贝尔公式与数学归纳法

将公式移项后有 1n

n n i i i a S a b ==?∑

1

11

() n i i

i i S a

a ?+=?∑, 这时就可以发现 n S 与 (1i S i ≤

n ≤1) ?之间存在着相互依存的关系 , 这就为 数学归纳法第二步的过渡提供了有力的条 件 .

例 6 对于任意 x R ∈, 都有 1

[]

[]n

k kx nx k =≤∑ ([]x 表示不大于 x 的最大整数 ).

证明 记 1[]

n

n k kx A k

==∑, 下面用数学归纳法 证明 []n A nx ≤.

(下接 P17)

一点纠错与补证

安徽教育学报数学系 万家练

《对“十个新的分式不等式”的探讨》 一文 (见《福建中学数学》 2004年第 7期 ) 通 过类比 , 提出下列猜想 :

2222223

4a b c b c c a a b ++≥+++; (1' ) 2223

(1) (1) (1) 4a b c b b c c a a ++≥+++; (2' )

9

4a b c a bc b ca c ab ++≥+++; (8' ) 11127

(1) (1) (1) 4a b b c c a ++≥

+++; (9' ) 11127

4

a bc b ca c ab ++≥+++. (10' ) 其中 , , a b c 为满足 1a b c ++=的正数 . (不等式后面的序号引用原文 )

原文在证明了 (9' ) 和 (10' ) 后 , 指出不等式 (8' ) 可以用“逐步调整法”证明 , 即可以证明

表达式 a b c

a bc b ca c ab

+++++的最小值当且

仅当 1

3

a b c ===时达到 , 这样就可证出不等

式 (8' ).

不等式 (1' ) 和 (2' ), 请读者自己研究 .

然而 , 笔者在仔细研究不等式 (8' ) 后得出 结论 :(8' ) 不成立!现否定如下 :

若 (8' ) 成立 , 就有

11a b

b c bc a c ac

++??+??+

9

14

c a b ab ≥??+,

或 (1)(1) (1)(1)

a b

b c c a +????

9

(1)(1) 4

c a b +≥??. ? 22?

学题 , 而是能否从现实背景中“看到”数学、 能否应用数学去思考和解决问题 . 课堂教学 从“复习—引入—讲授—巩固—作业”转变 为“情境—问题—探究—反思—提高” , 使学 生初步体验到数学是一个充满着观察、 实验、 归纳、类比和猜测的探索过程 . 数学课堂由单 纯传授知识的殿堂转变为学生主动从事数学 活动 , 构建自己有效的数学理解的场所 , 通过 自主学习的发展体验获取数学知识的感受 , 培养学生勇于创新 , 多方位审视问题的创造 技巧 . 课题学习使数学教师由单纯的知识传 递者转变为学生学习数学的组织者、引导者 和合作者 , 给学生提供成果展示机会 , 培养学 生的交流能力及学习数学的自信心 , 体会数 学知识的内在联系 , 初步形成对数学的整体 性认识 , 获得一些研究问题的方法和经验 .

参考文献

[1] 宁波教科网 . 华东师大初中数学教材介绍及操作 建议 .

[2] 中华人民共和国教育部制定 . 全日制义务教育 《数学课程标准 (实验稿 ) 》 . 北京师范大学出版 社 ,2002.4.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (接 P22)

当 1n =时 , 显然成立 .

假设对于 11k n ≤≤?, 均有 []k A kx ≤, 则

1

11[]((1)) n

n n k k k kx nA k A k k k ?===???+∑∑

1

1

1

[]n

n k k k kx A ?===+∑∑1

1

1

[][]n

n k k kx kx ?==≤+∑∑

1

1

[]([() ][])n k nx n k x kx ?==+?+∑

1

1

[][() ]n k nx n k x kx ?=≤+?+∑[]n nx =,

∴ []n A nx ≤由数学归纳法原理 , 命题得证 .

阿贝尔公式还有许多优美的用法 , 这里只是 冰山一角 , 其余的有待同学们去挖掘 .

两个几何不等式猜想的证明

安徽国防科技职业学院 张新全

文 [1]中 , 胡如松先生提出了若干猜想 , 由 于多数猜想不难证明或否定 , 现仅对其中两 个猜想予以证明 .

设△ DEF 为△ ABC 内接三角形 (如图 ). 并设△ ABC 的三内角为 A 、 B 、 C ; 三边 BC a CA b AB c ===、 、 ; 00EF a FD b ==、 、 DE 0c =. 分别设△ ABC 、△ DEF 、△ AEF 、△ BDF 、△ CDE 的外接圆半径、内切圆半径、 半周长和面积依次为 R 、 0R 、 1R 、 2R 、 3R ; r 、 0r 、 1r 、 2r 、 3r ; P 、 0P 、 1P 、 2P 、 3P 和 ?、 0?、 1?、 2?、 3?. 猜想 :

2+≤, ① (II)

123

a b c

r r r ++≥ 证明 如图 , 记

1AF x =、 2AE x =、 BF =1y 、 BD 2y =、 1CD z =、 2CE z =.

(I) 32

, 11212

(sin ) /2(sin ) /2x x A x x bc A bc ?==?, 同理 321212, y y z z ca ab ??==??.

=121212111() (() 222x x y y z z c b c a a b ≤+++++ 3/2=.

? 17?

范文五：一非阿贝尔规范场运动方程的规范变换必

非阿贝尔规范场运动方程的规范变换必

须满足的约束条件和希格斯机制的消除

梅 晓 春

,福州原创物理研究所 mxc001@163.com,

内容摘要 目前的非阿贝耳规范场理论只要求拉氏量在规范变换下保持不变，却忽略规范场的运动方程在规范变换下也必须保持不变，否则理论是没有意义的。对非阿贝尔规范场的运动方程进行规范变换，就会自动地引入一个在群参数与规范势之间建立的约束条件。可以证明这种约束条件与法捷叶夫—波波夫理论等价，其结果意味着用不完全定域规范不变性代替现有理论的完全定域规范不变性。考虑到这种约束条件后，就可以将规范粒子的质量项直接加入拉氏量和运动方程，并使理论仍然保持规范不变性。由此可以得到相应的恒等式，证明考虑到约束条件后的规范场相互作用理W,T

论仍然可以重整的。由此希格斯机制成为多余，也就是说粒子物理学的标准模型中我们实际上不需

CP要希格斯粒子的假设。同时强破坏问题也能从根本上得到解决。

CP关键词:非阿贝耳规范场，定域规范变换，希格斯机制，重整化，强破坏

1(非阿贝尔规范场运动方程的规范变换必须满足的约束条件

按杨—米尔斯规范理论，为了使粒子系统的拉氏量在定域规范变换下保持不变，场量和它,(x)的协变导数的变换规律应为:

,,, ，，，，,,，， (1) ,x,exp,i,xT,x

,,,,，，，，，，,,，，，，Dx,x,exp,i,xTDx,x (2) ,,

,,，，，，，，，，Dx,,，AxAx,,igAxT (3) ,,,,,

,,A式中为群参数，其函数形式被认为可以是任意的。从(2)式可以得到非阿贝尔规范势在，，,x,无穷小变换下的变换规律:

1,,,,,,,,,，，，，，，，，，，Ax,Ax，f,xAx,,,x (4) ,,,,g

规范场强和它的无穷小规范变换为:

,,,,,,,,，，，，，，，，，，Fx,,Ax,,Ax，gfAxAx (5) ,,,,,,,,

,,,,,,,,，，，，，，，，Fx,Fx，f,xFx (6) ,,,,,,

由此可以证明无质量的非阿贝尔规范场拉氏量:

1

1,,,, ? (7) ，，,,F(x)F(x)A(x),,A(x)0,,,,,,,4

在规范变换下保持不变，但有质量的规范场的拉氏量在规范变换下不能保持不变。

然而目前的非阿贝尔规范场理论只考虑拉氏量在规范变换下保持不变，却没有考虑规范场的运动方程在规范变换下也必须保持不变。在量子场论中我们知道，从规范场拉氏量可以导出规范场的运动方程。在推导过程中我们必须将拉氏量代入拉氏量运动方程，因此拉氏量和拉氏量的运动方程是两个独立的概念。事实上拉氏量运动方程是从最小作用量原理导出的，而规范场的拉氏量是独立定义的。我们必须证明拉氏量和最小作用量原理同时对规范变换保持不变，这等效于同时证明拉氏量和规范场运动方程对规范变换保持不变。然而至今为止我们并没有证明，最小作用量原理或量子场论的拉氏量运动方程对规范变换也保持不变。事实上拉氏量运动方程是:

,,,,,,,,?，，?，， (8) A,,AA,,A,000,,,,,,,,,A,x,(,A),,,,

将(7)式代入(8)式进行计算，就得到规范场的运动方程 [1]:

,,,,,,,F(x)，gfA(x)F(x),0 (9) ,,,,,,

我们目前只是证明(7)式的拉氏量在(4)式的规范变换下保持不变。我们并没有证明(8)式的运动方程在(4)式的规范变换下也保持不变。容易看出在(4)式的变换下，(8)式根本不可能保持

,,,,,不变。原因在于A(x)和,A(x)都不是规范变换不变量，按(8)式将?(A,,A) 对A(x)和0,,,,,,,,,A(x)求偏微分后，得到的结果就不可能是规范不变的。事实上拉氏量(7)式的形式与规范场运,,

动方程(9)式的形式完全不一样，在同样一个规范变换下，是不可能同时使二者保持不变的。以下我们通过实际的计算来证明这一点。在(4)和(6)式的变换下，运动方程(9)式变为:

,,,,,,,,,,,,,,,，，,F，gfAF,,F，f,F ,,,,,,,,,,,

,,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,，，，gfA，f,A,,,F，f,F,0 (10) ,,,,,,,,,g,,

再利用(9)式，得:

,,,,,,,,,,,,,,,,，，fF,,，,,F，gffA,F ,,,,,,,,,

,,1,,,,,,,,,,,,,,,,,，，，gff,A,,,F，f,F,0 (11) ,,,,,,,,g,,

容易证明上式的解为:

,,,,,,,,,gf,A (12) ,,

事实上利用(9)和(12)式，以及考虑群结构常数的反对称性，(11)式左边变为:

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ff,AF,ff,AF，ff,AF ,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，，,,ff，ff，ff,AF (13) ,,,

由雅可比公式:

2

,,,,,,,,,,,,,,,,,, (14) ff，ff，ff,0

可知(13)式为零，因此(12)式就是非阿贝尔规范场的群参数应满足的约束条件。需要强调的是，约束条件(11)和(12)式不是人为引入的假设，而是规范场运动方程在规范变换后保持不变而产生的必然结果。约束条件(12)式与规范势有关，这与阿贝尔规范场的情况不一样。

同样，对于非自由的非阿贝尔规范场(不考虑质量项)，当规范粒子与旋量粒子存在相SU(N)

互作用时，规范势满足的运动方程可以写为:

,,,,,,,,,, (15) ,F，gfAF,,ig,,,,,,,,,,,,,,2

上式等号右边是规范不变的。因此在SU(N)规范变换下，只有群参数的取值满足(12)式的限制时，才能使非自由场的运动方程保持不变。但在目前的理论中，我们实际上只考虑到拉氏量在规范变换下保持不变，忽略了运动方程在规范变换下也必须保持不变。若没有约束条件(12)式，经

,SU(N)规范变换后，非阿贝尔规范场运动方程(15)式中将出现含任意群参数项，这样的运，，,x动方程在物理上没有意义，是不可接受的。

,,,SUN()考虑到(12)式后，按(4)式就有，也就是说对于规范群，规范势本身必须A,A,,,是一个规范不变量。由于常数，尽管规范势在规范变换下不变，由(1)、(2)式定义的其他，，,x,

场和它们的协变导数的规范变换仍是有意义的。 ,x，，

我们将群参数可以取任意形式的规范理论称为完全定域规范理论，将群参数不能取任意形式的规范理论称为不完全定域规范理论。一般而言所谓规范场的定域规范不变性只能是不完全定域的规范不变，不可能是完全定域的规范不变。完全定域规范不变性会破坏规范场运动方程的不变性，使规范变换后的运动方程中出现任意群参数，这样的运动方程是没有物理意义的。以下证明放弃完全定域规范不变性，改用不完全的定域规范不变后，粒子物理学的标准理论中就可以不必引入希格的

斯机制，但理论依然是可重整化的。引入的约束条件与现有粒子物理实验结果不产生任何冲突，规范场理论的表述能得到大大的简化，变得更为对称与合理。

波波夫理论[2]，规以下说明这个结果实际上与法捷叶夫—波波夫理论是一致的。按法捷叶夫—

,,A范场中对,,的积分是在所张成的整个函数空间中进行的。由规范变换(4)式联系的点描述dA,,,A了函数空间中的一条轨道，不由此规范变换联系的处于不同的轨道上。沿着同一条轨道积分时，,

拉氏量是一个常数，积分就是轨道的体积。无穷多个轨道积分的体积是发散的，应当予以消除。法

,捷叶夫和波波夫建议将函数空间的积分限制在由规范条件,,()所确定的超曲FA,0,,1,2,,,,N,,4N3NA面上，使规范场的自由度从减少到，并用以下关系来限制轨道积分: ,

,,g，，,,,,,,,A,dg,FA,1 (16) F,,,

,g,,g，，,,,,,FAFA,0，，式中作为一种限制条件实际上要求。对于U1群，采用朗道规范条件，令,,,,,FA,,A,0，有: ,,,

,,11g2,,,FAAA,, (17) ,0,,,,,,,,,,,,0,,,,,,,,gg,,

,,A,0，，对于SU2非阿贝尔规范群，采用朗道规范条件，有: ,,

3

,,,,11,g,,,,,,,,,,,,,, (18) ,,,,,FAAAfAfA,,,0,,,,，,,,,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,,,gg,,,,可以将上式写为:

1,,,,,, (19) ,b,0f,A,,,,b,,,,,g

若取最简单的形式，令，结果就与(12)式一致。从以上式子可知，法捷叶夫—波波夫理论b,0,

实际上是对群参数建立约束关系。按法捷叶夫—波波夫理论，群参数的形式不能任意。而本文的结果实际上是法捷叶夫—波波夫理论的最简单形式。法捷叶夫—波波夫理论的约束关系(18)式虽然可以保证消除无穷多个轨道的发散积分，却仍不能保证规范场的运动方程在规范变换下的不变性。为了既能消除无穷多个轨道的发散积分，又能使规范场的运动方程在规范变换下不变，对于非阿贝尔规范场，应将约束条件从，，改为，，。于是(16)式就应写为: ,,b,b,,,

，，,,1,,,,,,,,, (20) AdgRfA,,,,,,,,,,,,1,,F,,,,,,,g,,，，

,,,其中是一个任意的常数矢量，以保证(12)总是成立的。按公式,A,detM，就有: RFF,,

，，1,,,,,,44，，，，，，，， Mx,y,RfAy,x,y,,,,x,y (21) F,,,,,,,g，，

与场对应的鬼粒子的作用量就变成: ，，SU2

,,,,4，，，S,dxCR,,,gfAC (22) g,,,,,,,,

在以下的讨论中将看到，由于鬼粒子是虚拟的，场对应的鬼粒子作用量的改变不会对理论产，，SU2

生实质的影响，而与群对应的鬼粒子作用量则不变。考虑到质量项后，规范场拉氏量为: ，，，，U1SU2

111111,,,,,,2211222233,,FF,mAA,,FF,mAA,mAA,mAA ? (23) ,,,,,,,,,,,,,,,,,123424222

,,,,A式中是场的静止质量。由于规范势本身在非阿贝尔规范变换下保持不变，即，上式A,Am,,,,

在，，规范变换下就是不变。也就是说我们可以将质量项直接加入拉氏量和运动方程，不必再引SU2

W,T用希格斯机制。因此在考虑规范粒子与其他粒子的相互作用时，可以得到相应的恒等式，并证明规范场相互作用理论仍然是可以重整的，理论表述也得到大大的简化，以下详细讨论。

2(非阿贝尔规范场理论中希格斯机制的消除和重整化

,，A,SS先考虑含规范场，费米场和鬼场，的系统。令为规范场和费米场作用量，为CCfh,,,

S,S，S，SS规范固定项的作用量，为鬼场作用。加入质量项后有效作用量是，其中[3]: efffhgg

，,,,,4,,,,,， Sdx,,ig,Am,,,f,,,,,,,2,,，

4

211，,,,,,,,,,，， (24) ,,A,,A，gfAA,mAAA,,,,,,,,,42，

，，12,,,,4，,4，，S,dxCR,,,gfAC (25) ，，,,,SdxAg,,,,,,,h,,,,,,2,，，

,,由于按本文在规范变换下不变，可知和是规范不变的。又由于是规范不变的，也S,,A,ASfFh,,可以使鬼场是规范变换不变的。于是按本文的结果，简化的变换可以写为: B,R,S

,,,, (26) ,,,,i,C,,,,,iC,,,,,22

,， (27) ,A,0,C,0,C,0,,,

222,,其中为无穷小量，有，同样有。于是可以将格林函数生成泛函写为: ，，,,,0,,,,,,0

,， ,,,,,,,,,,,Z,d,d,dAdCdCexpiS,,,eff,

,,4，，，，，idx,,，,,，JA，,C，,C，K,,，,,K (28) ,,,,,,,

22SK其中和是反对易的。由于积分与变数变换无关，考虑到不变和，在变换,,,,,,0Keff

,,，下，上式是不变的，就有: ,,,,,，,,,,,,,，,,

,， ,,,,,,,,,,,Z,d,d,dAdCdCexpiS,,,eff,

,,4，，，，，，,,,，idx,,,,，，,，,,,，JA，,C，,C，K,,，,,K (29) ,,,,,,,

将(29)减去(28)就得到:

,，4 ,,,,,,,,,,,,d,d,dAdCdCdx,,,，,,,,,,,,

,,4，，，，,,，expiS，idx,,，,,，JA，,C，,C，K,,，,,K,0 (30) eff,,,,,,,

令，，就有简化的用格林函数生成泛函表示的恒等式: ，，,,,,/i,K，，W,T,,,,/i,K

,,，，,，，，,，,Z,,,,J,,,,,K,K,0 (31) ,,,KK,,，，

由于，，，，，，同样可以得到用正规顶角生成泛函表示的恒等式: ,,,,/,,,,,,,/,,W,T

,,,,,,,,，,,,,,0 (32) ,,,K,K,,

，，但对于群没有相应的鬼方程。以下先讨论单圈近似过程的重整化，这实际上仅是现有理论重SUN

,,KK,,整化程序的简化。加上和项后，对(26)和(27)式变换不变的有效作用量写为:

，,,,,4, ,,,,，Sdx,,ig,Am,,,,,,,,0,,2,,，

22111,,,,,,,2,,,，，，，,,A,,A，gfAA,mAA,,A A,,,,,,,,,,422,

5

,,，,,,,，,,，，，CR,,,gfAC，igKC,,,,ig,CK,, (33) ,,,,,,,,,,22，用上式来构造正规顶角生成泛函，树图近似下，过程为有限值。设在单圈近似下有: ,,,S,S00

fd (34) ,,,,,,,S,S，,S，,S001010

fd其中有限，发散。为了消除发散，用来构造正规顶角生成泛函，在单圈近似S，,S,,,,,S,S001010

下有:

fd (35) ,,,,,,,S，,S,S，,S，,S，,S00001010

f取，就可以消除单圈发散。按现有的重整化程序，可以令: ,,,S,,,S010

d? (36) ,,,,S,aG，S,F,,100,,

并需要证明:

d (37) ,,S,,S,0010

其中是规范不变量。可令: G,

，,,,,4, ,,,,,aGdxa,,ig,A,am,,,,,,1,,,,2,,,,2,,，,

22111,,,,,,,,,,2，，，，,a,A,,A，gfAA,amAA,a,A A345,,,,,,,,,,422,

,,,,，，，,，aCR,,,gfAC (38) ,,,,,,,6

K其中是含有极点的常数。实际上由于不含和K，且按(28)式，，就有: aGS~K,,，,,K0i,

,,,,,,,,SGSGSGSG0,0,0,0,,,，，，SG 0,,,,,,,,,,,,,KKKK

,,GG,,,,,，,,,,G,0 (39) ,,,,,

F,0F由于按本文的方式没有鬼方程的限制，可以是任意的。为简单起见我们可以取。因此就有:

(40) S，,S,S，aG,,,000,

再令，，，Y,1，a，，，单圈近似过程的重Y,1，aY,1，aY,1，aY,1，aY,1，a112233556644

整化作用量就可以写为:

,，,,,4,S,S，,S,dx,,,,,ig,A,,m,, ,,,,,,,100,,2,,，

22111,,,,,,,2,,,，，，，,,A,,A，gfAA,mAA,,A A,,,,,,,,,,422,

,,,,,,，，,, ，CR,C,gfCRAC，igKC,,,,ig,CK,,,,,,,,,,,,22

6

,,,,, ，，，，,Y,1,,,,ig,A,,Y,1m,,,,1,,,,2,2,,

2112,,,,,,,,, ，，，，，，,Y,1,A,,A，gfAA,Y,1mAA34A,,,,,,,,42

21,,,,,，，，，，，，，，，,,Y,1,A，Y,1CR,C,gfCRAC 5,,6,,,,,,,,,2

，,,,,4, ,,,,,dxY,,ig,A,Ym,,,,1,,,,2,,,2,,，

211,,,,,,,,, ，，，，,Y,A,,A,Yg,A,,AfAA33,,,,,,,,,,42

22111,,,,,2,,,，，，，,YgfAA,YmAA,Y,A A345,,,,,,422,

,,,,,,，，,, (41) ，，,，YCR,C,gfCRAC，igKC,,,,ig,CK,,6,,,,,,,,,,22

若将作用量用裸量来表示，就有:

，,,,,4, ,,,,，Sdx,,ig,Am,,,10,,0,0,0,0,,2,,，

22111,,,,,,,,,,2 ，，，，,,A,,A，gfAA,mAA,,AA000000000,,,,,,,,,,422,0

,,，,,,,，，,, (42) CRCgfCRACigKCigCK，,,，,,,,,,,,0,,,00,0,,0,0000,0000,0,22，

~~,,，，A,ZA令，，，，，，,,Z,,,Z,K,ZKC,ZCC,ZC0302020K,,0,3,0,3,g,Zgm,Zm,,Z,，，，，，上式变为: K,ZKm,Zm0gi0,m,,0,0AmAA0K

，,,,,4, ,,,,，SdxZ,,iZZg,AZm,,,12,,g13,,m,,,,2,,，

112,,3/2,,,,,,, ，，，，,Z,A,,A,ZZg,A,,AfAA3g23,,,,,,,,,,42

2211122,,,,,22,,,，，，，,ZZgfAA,ZZmAA,ZZ,A gmAA3333,,,,,,,422,

~~,,,,，，，ZRC,C,ZZZgfCRAC 3,,,,g433,,,,

,,~~，,,，iZZZZgKC,,,,iZZZZg,CK,, (43) g5K32,g6K32,,22，

将(427)和(43)式的对应项进行比较，就得到:

ZZ,1ZZ,YZ,YZ,Y g13332m,221

22ZZ,1ZZ,1ZZ,Y ZZ,Yg23g33,35mA34

7

~~ZZZZ,1 (44) ZZ,1Z,ZZ,Yg5K32g43g6g536

从上式立即可以得出:

11 (45) ,,,,,,ZZZZZ1234gggggZY33

~在以上的讨论中没有明确的定义，若取，我们就能得到，使各Z,Z,ZZZ,Y/ZZg5g6gKK332

项中出现的相互作用重整化常数相等，意味着理论的可重整性。因此按本文，对于单圈近似过程，各重整化常数可取:

1~ ,ZZ,YZ,YZ,Yg333621Y3

YYYY3542,Z (46) ,,Z,ZZm,mA,KYYYYY31361对于更高阶过程同样可以按现有重整化的类似程序来进行，事实上只要理论是规范不变的就总是可以重整的，因此对更高阶过程的重整化问题本文就不再讨论。

3(弱电统一理论中希格斯机制的消除和重整化

最后讨论弱电统一理论的规范变换问题，先讨论旋量场的质量项的规范变换。以下仅以轻子场为例，结果对夸克场也适用。在弱电统一理论中，弱相互作用是用手征场来表示的。由于只有左旋

L中微子，没有右旋中微子，左手场和右手场对规范群的变换规律是不同的，有: ，，，，lSU2，U1R,,,,,,,,,L,,,L,L,exp,i，iL, L (47) ,,l22L,,

11，，l,expi,l (48) ，，，，l,1，,ll,1,,lRRL5R522

但有。无质量的自由轻子场的拉氏量写为: l，l,lLR

,,L,,L,l,,l ? (49) l0,,R,,R

l由于左手场和右手场按不同的规律变换，轻子的质量项:

(50) ，，mll,mll，llllLRRL

l不满足规范变换不变性。因而和规范场一样，按目前的理论轻子场的质量项无法直接加到拉氏量，只能通过希格斯机制来引入。以下证明这问题也可以通过选择适当的群参数来解决，同样不必采用希格斯机制。按(27)式，在无穷小变换下可以得到:

iiii，，，，,,，，，，，，，，11,,,,,,,,,,i,l,,,,,,,,,,i,l (51) L3L12L312,,,,2222，，，，

8

iiii，，，， (52) ,,11，，，，，，，，l,,,，i,,，,,，,ll,,,，i,,，,,，,lL12L3L123,,,,2222，，，，若选取，就有: ,,,i,12

ii，，，，,，，，，l,1,,，,l,exp,,，,l (53) 33,,,,22，，，，

,,于是就有，即轻子质量项在无穷小变换规范变换下保持不变。可见对群参数和ll,ll，，，，SU2，U1,1的取值进行适当的限制，就可以将轻子质量项加到拉氏量中，并保持拉氏量在规范变换下不变。 ,2

再来讨论规范场质量项的变换。按本文方式，在原则上我们可以用直接用(18)式，，，，SU2，U1

1，2,3代表质量本征态的拉氏量，令，，。相应地令，，A~WA~WA~Zm,m~mm~m,,,,,,12W3Z同时直接令代表电磁场。从而不必引入温伯格角，并使规范场理论的描述大大简化。但为B~A,,

了与现有理论相一致，我们也可以引入温伯格角和相应的变换。同样假设规范粒子质量本征态和非质量本征态的关系为:

，12,12 (54) W,2，，A,iAW,2，，A，iA,,,,,,

33 Z,cos,A,sin,B A,sin,A，cos,B (55) ,w,w,,w,w,

2222,,,sin,,g/g，gcos,,g/g，g为电磁场，是温伯格角，有，。令，其中A,m,mww,w12考虑到场无质量，利用以上两式可得: B,

11,,22，,22mAA,mWW，mcos,ZZ，Q (56) ,,,,,w,,1322

12222，，Q,msin,A，msin,cos,AZ (57) w,ww,,332

AZ上式中实际上是光子的质量，乘积的项代表两点相互作用。由于光子没有质量，在msin,,,3w

实际过程中也不存在两点相互作用，故当用质量本征态来表示作用量时，应当设法在作用量中将Q消

R去。具体做法可以如现有采用希格斯机制引入规范那样，选取规范: ,

,,,,,,,,,FA,,A，RR,,,A,1,2,Q/,A (58) A,,,,,,,

于是规范固定项可以写为:

，，214,，，,,,，SdxAQ (59) h,,,,,2,A，，

Q就可以在作用量中将(56)式出现的消去。再令，，(56)式变为: m,mm,mcos,1WZ3W

11,,222，,~，mAAmWWmZZ (60) ,,,W,,Z,,22

,g按以上方式，规范场相互作用理论独立的自由参数有四个，分别、g、和。另一方面，按mm12现有理论，我们有:

11222m,,2,m,gvm,g，g'v (61) ,WZ22

mvm,mcos,式中是希格斯场的真空态，是希格斯粒子的质量，可得。因此规范场相互作,WZw

9

,用独立的自由参数也是四个，比如可以取、、和。在这种意义上，两种理论是等价的。用g,vg

本征态来表示后，质量项的规范变换为:

112222，,，,,,,,，,， mWWmZZmWWmZZW,,Z,,W,,Z,,22

,,,,sinsin3ww,, (62) ，2cos,A,2sin,B，,,,,,,,,ww,,2gg,,

,显然上式不能对规范变换保持不变。为了使和场的质量项也在规范变换下保持不变，即: WZ,,

112222，,，,,,,,，,， (63) mWWmZZmWWmZZW,,Z,,W,,Z,,22可以在(62)式中令:

2g2g3,,,，， (64) ,,,cosA,sinB,,Zww,,,,,,sinsinww

,因此为了使用质量本征态表示的规范场粒子的质量项对变换保持不变，群参数的，，，，，，SU2，U1U1

,形式也不能是可以任意的，必须满足(64)式。注意按(9)式的定义是有限值，对于无穷小变换

,0,,,,,,,,,,,2gZ,,/sin,应令，上式应当改为。由此就可以将W和粒子的质量项直接Z,,w

加入拉氏量，并保持拉氏量的规范不变性。

B另外按现有理论，对规范场可以不必引入鬼粒子场，也就不存在与相对应的规范固定项。，，U1,因此用非质量本征态来构造对变换保持不变的弱电统一理论作用量时，就有: ，，，，SU2，U1

,，,,,1,4,,,,，，SdxL,ig,Aig,BLl,ig,Bl,,,,，,,， ,0,,,,,,R,,,,R,,,22,,,，

1122,,,,,,, ，，，，,,A,,A，gfAA,,B,,B,,,,,,,,,,44

22111,,,2 ，，，，，，,mAA,mll，ll,,A,,BAlLRRL,,,,,,22,2,AB

,,,,2，，， ，CR,C,gfCRAC，C,C，K,v，,vK,,,,,,,,1LL1

,，K,l，,lK，K,l，,lK，K,B，,BK (65) 2LL23RR34,,4按(9)、(51)和(52)式，各场量在，，，，规范群无穷小变换下的变换规律可以写为: SU2，U1

ii,l,i,l ，，，，,,,,,,,，i,l,l,,，,lRRL3L1LL3L22

ii,l,i,l ，，，，,,,,,,,,,i,l,l,,,，,lRRL3L1LL3L22

1,，，,A,0,C,,,B,B,,,, (66) ,C,,C,,C,0,,B,,,,,g

2222,,C,,,,,,l,,B,0,,C,,令，，同样由于，，，有。代入(65)式，再用上,,,0LL,ii

文的方法就可以进行重整化。用质量本征态来表示时，按(54)和(55)式对(65)式做变换，在

10

满足(64)式的前提下就可以得到对规范变换不变的作用量: ，，，，SU2，U1

g,,，,4，，，，，，,,W,Z,A,l,v，iWv,1，,l，Wl,1，,? ,Sdx,0,,,,,5,,50,2,

22,,g，ggg ,,，，，，,iZ,v1，,v，,l4sin,,1,,l,iAl,l,,5,w5,,224,g，g

112,，,,22 ，，,,,mll,mWW,mZZ ,,AW,Z,AlwZ,,,,,,,22,A

21,,,,2,，，,， ,,，,,，,，，，，,,BW,Z,ACRCgfCRAW,Z,ACCC,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,B

, (67) ，，，，，，，，K,v,vKK,l,lKK,l,lKK,B,BK,112LL23RR34,,4,式中?是不含质量项的自由场的拉氏量。各场量的变换规律为: 0

iii ，，，，，，,,,,,,,,,i,l,,,,,,,，i,l,l,,,，,l31313222

i，,,Z,,sin,,B ,W,0 ,W,0 ，，,l,,，,l,w,,,32

1，，,C,,,B,Acos,,B (68) ,,C,,C,,C,0,w,B,,,,g

2222222,,C,,,,,,l,,,,,l,,Z,,A,0令，，同样由于，有，就可,,C,,，，,,,0,,ii

以用上文的方法可以进行重整化。也就是说在用质量本征态来表示时，有效作用量在规，，，，SU2，U1范变换下仍不变，理论仍可以重整化。而按现有的采用希格斯机制的理论，这是不可能的。经过真空对称性自发破缺使规范粒子获得质量后，有效作用量就不再具有规范对称性。

4(强,,破坏问题的彻底解决

CP以上结果也可以用来从根本上解决强破坏问题。简单地说，按现有理论的变换(4)式，在

,，，Ax,0纯规范条件下我们有[1]: ,r,,

ii,,,,,1,，，，，，，，，，，，，，，，，Ax,UxAxUx，TUx,Ux,TUx,Ux (69) ,,,,gg

，，1,,由此产生了所谓的瞬子解和真空问题。真空效应等价于在强相互作用的拉氏量中引入一个满

CP足规范不变性的附加项，该附加项会产生较大的强破坏，使中子产生较大的电偶极矩。然而这

CP样大的强破坏和中子电偶极矩至今在实验上观察不到，理论与实际间存在矛盾。

,,,，，，，Ax,Ax若按上述讨论，由于规范势是规范变换不变的，在任何情况下我们都有。在纯规,,,,,,,,，，Ax,0，，，，，，，，Ax,0Ax,iTUx,Ux/g范条件下当时，我们也仍然有，就不存在的关,,,,r,,

CP,系。因此就不存在所谓的瞬子解和真空问题，强相互作用拉氏量中破坏对称性的附加项就不

11

CP存在。由此强破坏也就自然消除，我们也不再需要引入轴子之类的假设。

5. 讨 论

由于至今在实验上未能发现希格斯粒子，是否存在希格斯粒子仍是个大问题。目前已提出了一些理论模型来替代希格斯机制。如认为可能存在新的一代夸克粒子，将希格斯粒子视为新夸克正反粒子的束缚态，但这些理论都存在不少问题。可以说本文的解决方案是最简单的和更合理的，它不需要引入任何新粒子和额外的假设。由于约束方程(12)式是对非阿贝尔规范场运动方程进行规范变换时的必须满足的条件，我们只有放弃完全定域规范不变性，改用不完全的定域规范不变，才能使理论达到自恰。其结果就是，我们实际上不需要希格斯粒子的假设。在非阿贝尔规范场理论中，希格斯机制是成为多余，因此可以认为希格斯粒子是不存在的。可以看出这种改变与现有粒子物理的实验结果没有任何不一致，它仅在现有粒子物理的标准模型中删去与希格斯粒子有关的部分，并将其他部分全部保留下来。规范场理论的表述由此可以得到大大的简化，显得更为对称与合理。这

CPCP种结果还能使强破坏问题也能从根本上得到解决。换句话说，关于强破坏中子电偶极矩的实验结果实际上说明，(69)式等号右边第二项等于零。因此规范势本身是不变的，这就从另一方面证明，必须将完全定域规范不变改为不完全定域规范不变。

参考文献:

1. 戴元本，相互作用的规范理论，科学出版社，23，554 (1987). 2. Faddeev, V. N. Popov, Phys. Letters，25B，29 (1967).

汪容，量子规范理论，科学普及出版社，90 (1986).

3. 胡瑶光，规范场论，华东师范大学出版社，217 (1984).

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