范文一：2017年高考理科数学真题答案全国卷1

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷 5页, 23小题,满分 150分。考试用时 120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将

试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “ 条形码粘贴处 ” 。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,学科网然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合 A ={x |x <1}, b="{x" |31x=""><},则 a="" .="" {|0}a="" b="" x="" x="">< b="" .="" a="" b="R" c="" .="" {|1}a="" b="" x="" x="">

D . A B =?

【答案】 A

【解析】由 31x <可得>

33x <,则 0x=""><,即 {|0}b="" x="" x=""><,所以 {|1}{|0}a="" b="" x="" x="" x="" x="">

{|0}x x =<, {|1}{|0}{|1}a="" b="" x="" x="" x="" x="" x="" x=""><>< ,故选="">

2. 如图, 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形 的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是

A . 1

4 B . π8 C .

12

D .

π4

【答案】 B

【解析】 设正方形边长为 a , 则圆的半径为 2a , 正方形的面积为 2

a , 圆的面积为 2π4

a . 由图形的对称性可知,

太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半 . 由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概

率是

2

21ππ8

a a ?=,选 B. 秒杀解析:由题意可知, 此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例, 由图可知其概率 p 满足

11

42

p <,故选 b.="">

1p :若复数 z 满足 1

z

∈R ,则 z ∈R ;

2p :若复数 z 满足 2z ∈R ,则 z ∈R ;

3p :若复数 12, z z 满足 12z z ∈R ,则 12z z =; 4p :若复数 z ∈R ,则 ∈R .

其中的真命题为 A. 13, p p

B . 14, p p

C . 23, p p

D . 24

, p p

【答案】

B

4.记 n S 为等差数列 {}n a 的前 n 项和.若 4524a a +=, 648S =,则 {}n a 的公差为

A . 1

B . 2

C . 4

D . 8

【答案】 C

【解析】设公差为 d , 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=, 61165

6615482

S a d a d ?=+

=+=, 联立 112724

, 61548

a d a d +=??

+=?解得 4d =,故选 C. 秒杀解析:因为 166346()

3() 482

a a S a a +=

=+=,即 3416a a +=,则 4534() () 24168a a a a +-+=-=,

即 5328a a d -==,解得 4d =,故选 C.

5.函数 () f x 在 (, ) -∞+∞单调递减,且为奇函数.若 (11) f =-,则满足 21() 1x f --≤≤的 x 的取值范围 是 A . [2, 2]-

B . [1,1]-

C . [0,4]

D . [1,3]

【答案】 D

【解析】 因为 () f x 为奇函数且在 (, ) -∞+∞单调递减, 要使 1() 1f x -≤≤成立, 则 x 满足 11x -≤≤, 从而 由 121x -≤-≤得 13x ≤≤,即满足 1(2) 1f x -≤-≤成立的 x 的取值范围为 [1,3],选 D. 6. 621(1)(1) x x

+

+展开式中 2x 的系数为 A . 15

B . 20

C . 30

D . 35

【答案】 C

【解析】因为 6662211(1)(1) 1(1) (1) x x x x x

+

+=?++?+,则 6(1) x +展开式中含 2x 的项为 22261C 15x x ?=, 621(1) x x ?+展开式中含 2x 的项为 442621C 15x x x

?=,故 2

x 的系数为 151530+=,选 C. 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为

2,俯视图为等腰直角三角形 . 该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为

A . 10

B . 12

C . 14

D . 16

【答案】 B

【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图,则该几何体各面内只有两个 相 同的梯形,则这些梯形的面积之和为 1

2(24) 2122

?+??

=,故选

B.

8.下面程序框图是为了求出满足 3n ? 2n >1000的最小偶数 n ,那么在

和

两个空白框中,可以分别填入

A . A >1 000和 n =n +1 B . A >1 000和 n =n +2 C . A ≤1 000和 n =n +1 D . A ≤1 000和 n =n

+2

【答案】 D

【解析】由题意,因为 321000n n ->,且框图中在 “ 否 ” 时输出,所以判定框内不能输入 1000A >,故填

1000A ≤,又要求 n 为偶数且初始值为 0,所以矩形框内填 2n n =+,故选 D.

9.已知曲线 C 1:y =cos x , C 2:y =sin (2x +

2π

3

) ,则下面结论正确的是 A .把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得 到曲线 C 2

B . 把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度, 得 到曲线 C 2

C .把 C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π

6

个单位长度,得 到曲线 C 2

D .把 C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π

12

个单位长度, 得到曲线 C 2

【答案】 D

【 解 析 】 因 为 12, C C 函 数 名 不 同 , 所 以 先 将 2C 利 用 诱 导 公 式 转 化 成 与 1C 相 同 的 函 数 名 , 则

22π2πππ:sin(2) cos(2) cos(2) 3326C y x x x =+

=+-=+,则由 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 12

倍变为 cos 2y x =,再将曲线向左平移 π

12

个单位长度得到 2C ,故选 D.

10.已知 F 为抛物线 C :y 2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1, l 2,直线 l 1与 C 交于 A 、 B 两点,

直线 l 2与 C 交于 D 、 E 两点,则 |AB |+|DE |的最小值为 A . 16

B . 14

C . 12

D . 10

【答案】

A

11.设 x 、 y 、 z 为正数,且 235x y z

==,则

A . 2x <3y><5z b="" .="" 5z=""><2x><3y c="" .="" 3y=""><5z><2x d="" .="" 3y=""><2x><>

【答案】 D

【解析】令 235(1) x y z

k k ===>,则 2log x k =, 3log y k =, 5log z k = ∴

22lg lg3lg913lg 23lg lg8

x k y k =?=>,则 23x y >, 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32

x k z k =?=<,则 25x="" z=""><,故选 d.="" 12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件="" .="" 为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了="" “="">

学题获取软件激活码 ” 的活动 . 这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, … ,其中第一项是 20,接下来的两项是 20, 21,再接下来的三项是 20, 21, 22,依此类推 . 求满足如下条件的最小整数 N :N >100且该数列的前 N 项和为 2的整数幂 . 那么该款软件 的激活码是 A . 440

B . 330

C . 220

D . 110

【答案】 A

【解析】由题意得,数列如下:

11, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, , 2k -

则该数列的前 (1)

122

k k k ++++=

项和为 11(1) 1(12) (122) 222k k k k S k -++??=+++++++=-- ???

, 要使

(1)

1002

k k +>,有 14k ≥,此时 122k k ++<,所以 2k="" +是第="" 1k="" +组等比数列="" 1,2,="" ,2k="" 的部分和,="" 设="">

2122

21t t k -+=+++=- ,

所以 2314t k =-≥,则 5t ≥,此时 52329k =-=, 所以对应满足条件的最小整数 2930

54402

N ?=

+=,故选 A. 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。

13.已知向量 a , b 的夹角为 60°, |a |=2, |b |=1,则 | a +2b

【答案】 【解析】 2

2

2

|2|||44||4421cos60412+=+?+=+???+=

a b a a b b

,所以 |2|+==a b 秒杀解析:利用如下图形,可以判断出 2+a b 的模长是以 2为边长,一夹角为 60°的菱形的对角线的长度,

则为

14.设 x , y 满足约束条件 21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

,

, , 则 32z x y =-的最小值为 .

【答案】 5-

【解析】不等式组表示的可行域如图所示,

易求得 1111(1,1), (, ), (, ) 3333A B C ---,

由 32z x y =-得 322

z

y x =-在 y 轴上的截距越大, z 就越小,

所以,当直线 32z x y =-过点 A 时, z 取得最小值, 所以 z 的最小值为 3(1) 215?--?=-.

15.已知双曲线 C :22

221x y a b

-=(a >0, b >0)的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线

C 的一条渐近线交于 M , N 两点 . 若∠ MAN =60°,则 C 的离心率为 .

【解析】

如图所示,作 AP MN ⊥,因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、 N 两点,则 MN 为双曲线的渐近线

b

y x a

=

上的点,且 (,0) A a , ||||AM AN b ==, 而 AP MN ⊥,所以 30PAN ∠=

,

点 (,0) A a 到直线 b

y x a

=

的距离 ||AP =,

在 Rt PAN △ 中, ||

cos ||

PA PAN NA ∠=,代入计算得 223a b =

,即 a =, 由 222c a b =+得 2c b =,

所以 c e a =

==

16.如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为 5 cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O . D , E , F 为圆 O

上的点, △ DBC , △ ECA , △ F AB 分别是以 BC , CA , AB 为底边的等腰三角形 . 沿虚线剪开后,分别以 BC , CA , AB 为折痕折起 △ DBC , △ ECA , △ F AB ,使得 D , E , F 重合,得到三棱锥 . 当 △ ABC 的边长 变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为

.

【答案】

三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、 23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共 60分。

17. (12分)

△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 △ ABC 的面积为

2 3sin a A .

(1)求 sin B sin C ;

(2)若 6cos B cos C =1, a =3,求 △ ABC 的周长 .

【解析】 (1)由题设得

2

1

sin

23sin

a

ac B

A

=,即

1

sin

23sin a c B

A =.

由正弦定理得 1sin sin sin

23sin A C B

A =.

故

2 sin sin 3 B C =

. 18. (12分)

如图,在四棱锥 P?ABCD 中, AB//CD,且 90BAP CDP ∠=∠=

.

(1)证明:平面 P AB ⊥平面 P AD ;

(2)若 P A =PD =AB =DC , 90APD ∠=

,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值 . 【解析】 (1)由已知 90BAP CDP ∠=∠=?,得 AB ⊥ AP , CD ⊥ PD . 由于 AB//CD ,故 AB ⊥ PD ,从而 AB ⊥平面 P AD . 又 AB ?平面 P AB ,所以平面 P AB ⊥平面 P AD . (2)在平面 PAD 内作 PF AD ⊥,垂足为 F ,

由(1)可知, AB ⊥平面 PAD ,故 AB PF ⊥,可得 PF ⊥平面 ABCD .

以 F 为坐标原点, FA 的方向为 x 轴正方向, ||AB

为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 F xyz -

.

由(1

)及已知可得 2A

, (0,0,2P

, 2

B

, (2C -.

所以 (PC =

, CB =

, PA = , (0,1,0) AB = .

设 (, , ) x y z =n 是平面 PCB 的法向量,则

0, 0, PC CB ??=???=?? n n

即 0, 220, x y z ?-+-=?=

可取 (0,1, =-n .

设 (, , ) x y z =m 是平面 PAB 的法向量,则

0, 0, PA AB ??=???=?? m m

即 0, 0. x y =?=?

可取 (1,0,1) =m .

则 cos , ||||?==<>n m n m n m , 所以二面角 A PB C --

的余弦值为 19.(12分)

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件,并测量其 尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2(, ) N μσ.

(1) 假设生产状态正常, 记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 (3, 3) μσμσ-+之外的零件数, 求 (1) P X ≥及 X 的数学期望;

(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 (3, 3) μσμσ-+之外的零件, 学 +科网就认为这条生产线 在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

(ⅰ )试说明上述监控生产过程方法的合理性;

(ⅱ )下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸:

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16119.9716i i x ===∑

, 0.212s ==≈, 其中 i x 为抽取的 第 i 个零件的尺寸, 1, 2, ,16i =???. 用样本平均数 作为 μ的估计值 ?μ

,用样本标准差 s 作为 σ的估计值 ?σ,利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查?剔除 ????(3, 3) μ

σμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计 μ和 σ(精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 2(, ) N μσ,则 (33) 0.997 4P Z μσμσ-<>

160.997 40.959 2≈

0.09≈.

(ii )由 9.97, 0.212s =≈,得 μ的估计值为 ?9.97μ

=, σ的估计值为 ?0.212σ=,由样本数据可以看出 有一个零件的尺寸在 ????(3, 3) μ

σμσ-+之外,因此需对当天的生产过程进行检查 . 剔除 ????(3, 3) μ

σμσ-+之外的数据 9.22, 剩下数据的平均数为 1(169.979.22) 10.0215

?-=, 因此 μ的估计 值为 10.02. 162221160.212169.971591.134i i x

==?+?≈∑,剔除 ????(3, 3) μ

σμσ-+之外的数据 9.22,剩下数据的样本方 差为 221(1591.1349.221510.02) 0.00815

--?≈, 因此 σ

0.09≈.

20. (12分)

已知椭圆 C :22

22=1x y a b +(a >b >0) ,四点 P 1(1,1) , P 2(0,1) , P 3(– 1

, 2) , P 4(1

, 2

)中恰有 三点在椭圆 C 上 .

(1)求 C 的方程;

(2)设直线 l 不经过 P 2点且与 C 相交于 A , B 两点 . 若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 – 1,证明:l 过 定点 .

【解析】 (1)由于 3P , 4P 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 3P , 4P 两点 . 又由 2222

11134a b a b +>+知, C 不经过点 P 1,所以点 P 2在 C 上 .

因此 22211, 131, 4b a

b ?=????+=??解得 224, 1. a b ?=??=?? 故 C 的方程为 2

214

x y +=. (2)设直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率分别为 k 1, k 2,

如果 l 与 x 轴垂直, 设 l :x =t , 由题设知 0t ≠, 且 ||2t <, 可得="" a="" ,="" b="" 的坐标分别为="">

, (t

, .

则 121k k +==-,得 2t =,不符合题设 . 从而可设 l :y kx m =+(1m ≠) . 将 y kx m =+代入 2

214

x y +=得 222(41) 8440k x kmx m +++-=.

由题设可知 22=16(41) 0k m ?-+>.

设 A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ,则 x 1+x 2=2841km k -+, x 1x 2=224441

m k -+. 而 121212

11y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=

+ 121212

2(1)() kx x m x x x x +-+=. 由题设 121k k +=-,故 1212(21) (1)() 0k x x m x x ++-+=. 即 222448(21) (1) 04141

m km k m k k --+?+-?=++. 解得 12

m k +=-. 当且仅当 1m >-时, 0?>,于是 l :12m y x m +=-

+,即 11(2) 2m y x ++=--, 所以 l 过定点(2, 1-) .

21. (12分)

已知函数 2() e (2)e x x f x a a x =+--.

(1)讨论 () f x 的单调性;

(2)若 () f x 有两个零点,求 a 的取值范围 .

【解析】

(1) () f x 的定义域为 (, ) -∞+∞, 2() 2e (2)e 1(e 1)(2e1) x x x x f x a a a '=+--=-+,

(ⅰ)若 0a ≤,则 () 0f x '<,所以 ()="" f="" x="" 在="" (,="" )="" -∞+∞单调递减="">

(ⅱ)若 0a >,则由 () 0f x '=得 ln x a =-.

当 (, ln ) x a ∈-∞-时, () 0f x '<;当 (ln="" ,="" )="" x="" a="" ∈-+∞时,="" ()="" 0f="" x="" '="">,所以 () f x 在 (, ln ) a -∞-单调递减, 在 (ln , ) a -+∞单调递增

.

综上, a 的取值范围为 (0,1).

(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22. [选修 4?4:坐标系与参数方程 ](10分)

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos , sin ,

x y θθ=??=?(θ为参数),直线 l 的参数方程为 4, 1,

x a t t y t =+??=-?(为参数) . (1)若 a =?1,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C 上的点到 l

a .

【解析】 (1)曲线 C 的普通方程为 22

19x y +=.

当 1a =-时,直线 l 的普通方程为 430x y +-=.

由 22430, 19x y x y +-=???+=??解得 3, 0x y =??=?或 21, 2524. 25x y ?=-????=??

从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0), 2124(, ) 2525

-

.

23. [选修 4?5:不等式选讲 ](10分)

已知函数 2– 4() x ax f x =++, 11() x x g x =++-||||.

(1)当 a =1时,求不等式 () () f x g x ≥的解集;

(2)若不等式 () () f x g x ≥的解集包含 [– 1, 1],求 a 的取值范围 .

【解析】 (1)当 1a =时,不等式 () () f x g x ≥等价于 2|1||1|40x x x x -+++--≤. ①

当 1x <-时,①式化为 2340x="" x="">

当 11x -≤≤时,①式化为 220x x --≤,从而 11x -≤≤;

当 1x >时,①式化为 240x x +-≤

,从而 1x <≤. 所以="" ()="" ()="" f="" x="" g="" x="">

的解集为 {|1x x -≤≤

. (2)当 [1,1]x ∈-时, () 2g x =. 所以 () () f x g x ≥的解集包含 [1,1]-,等价于当 [1,1]x ∈-时 () 2f x ≥.

又 () f x 在 [1,1]-的最小值必为 (1) f -与 (1)f 之一,所以 (1) 2f -≥且 (1)2f ≥,得 11a -≤≤. 所以 a 的取值范围为 [1,1]-.

范文二：2017年全国卷1理科数学

1绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷 5页, 23小题,满分 150分。考试用时 120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不 能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合 A ={x |x <1}, b="{x" |31x=""><},则 a="" .="" {|0}a="" b="" x="" x="">< b="" .="" a="" b="R" c="" .="" {|1}a="" b="" x="" x="">

D . A B =?

2. 如图, 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑 色部分的概率是

A . 1

4

B . π8

C . 12

D . π4

3.设有下面四个命题

1p :若复数 z 满足 1

z

∈R ,则 z ∈R ;

2p :若复数 z 满足 2z ∈R ,则 z ∈R ;

3p :若复数 12, z z 满足 12z z ∈R ,则 12z z =; 4p :若复数 z ∈R ,则 ∈R .

其中的真命题为 A . 13, p p

B . 14, p p

C . 23, p p

D . 24, p p

4.记 n S 为等差数列 {}n a 的前 n 项和.若 4524a a +=, 648S =,则 {}n a 的公差为

A . 1

B . 2

C . 4

D . 8

5.函数 () f x 在 (, ) -∞+∞单调递减,且为奇函数.若 (11) f =-,则满足 21() 1x f --≤≤的 x 的取值范围是 A . [2, 2]-

B . [1,1]-

C . [0,4]

D . [1,3]

6. 621(1)(1) x x

+

+展开式中 2x 的系数为 A . 15

B . 20

C . 30

D . 35

7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形 . 该多面体的各个面中有若干个是梯形,这 些梯形的面积之和为

A . 10

B . 12

C . 14

D . 16

8. 右面程序框图是为了求出满足 3n ? 2n >1000的最小偶数 n , 那么在 和

两个空白框中,

可以分别填入

A . A >1 000和 n =n +1 B . A >1 000和 n =n +2 C . A ≤1 000和 n =n +1 D . A ≤1 000和 n =n +2

9.已知曲线 C 1:y =cos x , C 2:y =sin (2x +

2π

3

) ,则下面结论正确的是 A . 把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 π

6个 单位长度,得到曲线 C 2

B .把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π12

个单位长度,得到曲线 C 2

C . 把 C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 π

6个 单位长度,得到曲线 C 2

D .把 C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 π12

个单位长度,得到曲线 C 2

10.已知 F 为抛物线 C :y 2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1, l 2,直线 l 1与 C 交于

A 、 B 两点,直线 l 2与 C 交于 D 、 E 两点,则 |AB |+|DE |的最小值为 A . 16

B . 14

C . 12

D . 10

11.设 xyz 为正数,且 235x y z

==,则

A . 2x <3y><5z b="" .="" 5z=""><2x><3y c="" .="" 3y=""><5z><2x d="" .="" 3y=""><2x><>

12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件 . 为激发大家学习数学的兴趣,

他们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动 . 这款软件的激活码为下面数学问题的答

案:已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, … ,其中第一项是 20,接下来的两项是 20, 21,再接下来的三项是 20, 21, 22,依此类推 . 求满足如下条件 的最小整数 N :N >100且该数列的前 N 项和为 2的整数幂 . 那么该款软件的激活码是 A . 440 B . 330 C . 220 D . 110

二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。

13.已知向量 a , b 的夹角为 60°, |a |=2, |b |=1,则 | a +2 b |= .

14.设 x , y 满足约束条件

21

21

x y

x y

x y

+≤

?

?

+≥-

?

?-≤

?

,则 32

z x y

=-的最小值为 .

15.已知双曲线 C :

22

22

1

x y

a b

-=(a >0, b >0)的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径做圆 A ,

圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、 N 两点。 若∠ MAN =60°, 则 C 的离心率为 ________。 16. 如图, 圆形纸片的圆心为 O , 半径为 5 cm, 该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O 。 D 、 E 、 F 为圆 O 上的点,△ DBC ,△ ECA ,△ FAB 分别是以 BC , CA , AB 为底边的等腰三角 形。沿虚线剪开后, 分别以 BC , CA , AB 为折痕折起△ DBC ,△ ECA ,△ FAB ,使得 D 、 E 、 F 重合,得到三棱锥。当△ ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大 值为 _______。

三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、 23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共 60分。

17. (12分)

△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知△ ABC 的面积为

2 3sin a A

(1)求 sin B sin C ;

(2)若 6cos B cos C =1, a =3,求△ ABC 的周长 .

18. (12分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中, AB//CD,且 90BAP CDP ∠=∠=

.

(1)证明:平面 PAB ⊥平面 PAD ;

(2)若 PA =PD =AB =DC , 90APD ∠= ,求二面角 A -PB -C 的余弦值 .

19.(12分)

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16个 零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下 生产的零件的尺寸服从正态分布 2(, ) N μσ.

(1) 假设生产状态正常, 记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 (3, 3) μσμσ-+之外的零件数,求 (1) P X ≥及 X 的数学期望;

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (3, 3) μσμσ-+之外的零件,就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸:

9.95 10.12 9.96

9.96

10.01 9.92

9.98

10.04 10.26

9.91

10.13 10.02 9.22

10.04 10.05

9.95

经计算得 16119.9716i i x ===∑

, 0.212s ==≈, 其中 i x 为抽取的第 i 个零件的尺寸, 1, 2, ,16i =???.

用样本平均数 作为 μ的估计值 ?μ

,用样本标准差 s 作为 σ的估计值 ?σ,利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 ????(3, 3) μ

σμσ-+之外的数据, 用剩下的数据 估计 μ和 σ(精确到 0.01).

附:若随机变量 Z 服从正态分布 2(, ) N μσ,则 (33) 0.997 4P Z μσμσ-<>

160.997 40.959 2=

0.09≈.

已知椭圆 C :

22

22

=1

x y

a b

(a >b >0) ,四点 P 1(1,1) , P 2(0,1) , P 3(– 1

, P 4(1

, C 上 .

(1)求 C 的方程;

(2) 设直线 l 不经过 P 2点且与 C 相交于 A , B 两点 . 若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 – 1, 证明:l 过定点 .

已知函数 )

f x

(a e 2x +(a ﹣ 2) ex ﹣ x .

(1)讨论 ()

f x 的单调性;

(2)若 ()

f x 有两个零点,求 a 的取值范围 .

(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。

22. [选修 4―4:坐标系与参数方程 ](10分)

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos ,

sin ,

x y θθ=??=?(θ为参数),直线 l 的参数方

程为

4,

1, x a t t y t =+??

=-?

(为参数) . (1)若 a =?1,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C 上的点到 l

a. 23. [选修 4— 5:不等式选讲 ](10分)

已知函数 f (x ) =– x 2+ax +4, g (x )=│ x +1│+│ x –1│. (1)当 a =1时,求不等式 f (x ) ≥ g (x )的解集;

(2)若不等式 f (x ) ≥ g (x )的解集包含 [– 1, 1],求 a 的取值范围 .

范文三：2017年全国卷(1)理科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷(Ⅰ)理科数学

适用:河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建

一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分 . 在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 {}1A x x =<,>

31x B x =<,>

A. {|0}A B x x =< b.="" a="" b="" r="C." {|1}a="" b="" x="" x=""> D. A B =? 2. 如图, 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图, 正方形内切圆中的黑色 部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点,则此点 取自黑色部分的概率是

A. 14 B. π8 C. 12 D. π4

3. 设有下面四个命题

1:p 若复数 z 满足 1

R z

∈,则 z R ∈;

2:p 若复数 z 满足 2z R ∈,则 z R ∈; 3:p 若复数 12, z z 满足 12z z R ∈,则 12z z =; 4:p 若复数 z R ∈,则 R ∈. 其中的真命题为

A. 13, p p B.14, p p C.23, p p D.24, p p

4.记 n S 为等差数列 {}n a 的前 n 项和.若 4524a a +=, 648S =,则 {}n a 的公差为 A . 1

B . 2

C . 4

D . 8

5.函数 () f x 在 (, ) -∞+∞单调递减,且为奇函数.若 (11) f =-,则满足

21() 1x f --≤≤的 x 的取值范围是

A . [2, 2]- B . [1,1]- C . [0,4] D . [1,3]

6. 621

(1)(1) x x

+

+展开式中 2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35

7. 某多面体的三视图如图所示, 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角 形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有 若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16

8. 右面程序框图是为了求出满足 3

2n

n

->的

最小偶数 n ,那么在 两个空白框 中,可以分别填入 A. 1000A >和 1n n =+ B. 1000A >和 2n n =+ C. 1000A ≤和 1n n =+ D. 1000A ≤和 2n n =+

9. 已知曲线 1C :cos y x =, 2C :2sin(2) 3

y x π

=+

,则下面结正确的是 A. 把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平

移 π

6

个单位长度,得到曲线 2C ,

B. 把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平 移

π

12

个单位长度,得到曲线 2C C. 把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右 平移 π

6

个单位长度,得到曲线 2C

D. 把 1C 上各点的横坐标缩短到原来的 1

2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右 平移

π

12

个单位长度,得到曲线 2C 10. 已知 F 为抛物线 C :24y x =的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 1l , 2l ,直 线 1l 与 C 交于 , A B 两点,直线 2l 与 C 交于 , D E 两点,则 AB DE +的最小值为 A . 16 B. 14 C. 12 D. 10 11. 设 , , x y z 为正数,且 235x y z ==,则

A . 235x y z < b.="" 523z="" x="" y="">< c.="" 352y="" z="" x="">< d.="" 325y="" x="" z="">< 12.="" 几位大学生响应国家的创业号召,="" 开发了一款应用软件="" .="" 为激发大家学习数学="" 的兴趣,他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动="" .="" 这款软件的激活码为="" 下面数学问题的答案:已知数列="" 1,="" 1,="" 2,="" 1,="" 2,="" 4,="" 1,="" 2,="" 4,="" 8,="" 1,="" 2,="" 4,="" 8,="" 16="" ,?,其中第一项是="" 20,接下来的两项是="" 20,="" 21,再接下来的三项是="" 20,="" 21,="" 22,依此类推="" .="" 求满足如下条件的最小整数="" n="" :n="">100且该数列的前 N 项和为 2的 整数幂 . 那么该款软件的激活码是 A.440

B.330

C.220

D.110

二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分 .

13. 已知向量 , a b 的夹角为 60

, 2a = , 1b = ,则 2a b += .

14. 设 , x y 满足约束条件 21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

,则 32z x y =-的最小值为 .

15. 已知双曲线 C :22

221x y a b

-=(0, 0a b >>)的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为

半径做圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 , M N 两点 . 若 60MAN ∠= ,则

C 的离心率为 _____.

16. 如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为 5cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中 心为 O . , , D E F 为圆 O 上的点, DBC ?, ECA ?, FAB ?分别是以 BC , CA , AB 为底边的等腰三角形 . 沿虚线剪开后, 分别以 BC , CA , AB 为折痕折起 DBC ?,

ECA ?, FAB ?,使得 , , D E F 重合,得到三棱锥 . 当 ABC ?的边长变化时,所得

三棱锥体积(单位:3

cm )的最大值为 _______.

C

E

三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题, 每个试题考生都必须作答 . 第 22、 23题为选考题, 考生根据要求作 答 .

(一)必考题:60分 . 17. (本小题满分 12分)

ABC ?的内角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ,已知 ABC ?的面积为 2

3sin a A

.

(Ⅰ) 求 sin sin B C ;

(Ⅱ )若 6cos cos 1B C =, 3a =, 求 ABC ?的周长 18. (本小题满分 12分)

如图,在四棱锥 P ABCD -中, AB //CD , 且 90BAP CDP ∠=∠= .

(Ⅰ) 证明:平面 PAB ⊥平面 PAD ;

(Ⅱ )若 PA PD AB DC ===, 90APD ∠= 求二面角 A PB C --的余弦值 . 19.(本小题满分 12分)

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取

16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生

产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2(, ) N μδ.

(Ⅰ) 假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在

(3, 3) μδμδ-+之外的零件数,求 (1) P X ≥及 X 的数学期望;

(Ⅱ )一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (3, 3) μδμδ-+之外的零件,就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进 行检查.

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;

A

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸:

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得 16119.9716i i x ===∑

, 0.212s ===, 其中 i x 为抽取的第 i 个零件的尺寸, 1,2, ,16i = .

用样本平均数 作为 μ的估计值 ?μ

,用样本标准差 s 作为 δ的估计值 ?σ,利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 ????(3, 3) μ

σμσ-+之外的数据, 用剩下的数据估计 μ和 δ(精确到 0.01).

附:若随机变量 Z 服从正态分布 2(, ) N μδ,则 (3, 3) 0.9974P μδμδ-+=,

30.99740.9592≈

0.09≈.

20. (本小题满分 12分)

已知椭圆 C 22

22=1x y a b +(0a b >>) , 四点 1(1,1) P , 2(0,1)P

, 3

(P -

, 4P , 中恰有三点在椭圆 C 上 .

(Ⅰ) 求 C 的方程;

(Ⅱ ) 设直线 l 不经过点且与 C 相交于 , A B 两点 . 若直线 2P A 与直线 2P B 的斜率的 和为 1-,证明:l 过定点 . 21. (12分)

已知函数 2() (2) x x f x ae a e x =+--.

(Ⅰ) 讨论 () f x 的单调性;

(Ⅱ )若 () f x 有两个零点,求 a 的取值范围 .

(二)选考题:共 10分 . 请考生在第 22、 23题中任选一题作答,如果多做,则 按所做的第一题计分 .

22. [选修 4-4,坐标系与参数方程 ](10分)

在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos sin x y θ

θ

=??=?(θ为参数),直线 l 的

参数方程为

4

1

x a t

y t

=+

?

?

=-

?

(t 为参数) .

(Ⅰ) 若 1

a =-,求 C 与 l 的交点坐标;

(Ⅱ )若 C 上的点到 l

a .

23.[选修 4— 5:不等式选讲 ](10分)

已知函数 2

() 4

f x x ax

=-++, ()

g x x x

=++-.

(Ⅰ) 当 1

a =时,求不等式 () ()

f x g x

≥的解集;

(Ⅱ )若不等式 () ()

f x g x

≥的解集包含 []

1,1

-,求 a 的取值范围 .

范文四：2017年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷

所以 () f x 在 (, ln ) a -∞-单调递减,在 (ln , ) a -+∞单调递增。

(2) (i )若 0a ≤,由(1)知, () f x 至多有一个零点

(ii ) 若 0a >, 由 (1) 知 , 当 ln x a =-时 , () f x 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为

1(ln ) 1ln f a a a

-=-+ ① 当 1a =时,由于 (ln ) 0f a -=,故 () f x 只有一个零点;

② 当 (1,) a ∈+∞时,由于 11ln 0a a -

+>,即 (ln ) 0f a ->,故 () f x 没有零 点;

③ 当 (0,1)a ∈时, 11ln 0a a

-+<,即 (ln="" )="" 0f="" a=""><又 又="" 422(2)="" (2)="" 2220f="" ae="" a="" e="" e="" ----="+-+">-+>,故 () f x 在 (, ln ) a -∞-有一 个零点。

设正整数 0n 满足 03ln(1) n a >-,

则 00000000() (2) 20n n n n f n e ae a n e n n =+-->->-> 由于 3ln(1) ln a a

->-,因此 () f x 在 (ln , ) a -+∞有一个零点

综上, a 的取值范围为 (0,1)

22.解: (1)曲线 C 的普通方程为 2

219

x y +=, 当 1a =-时,直线 l 的普通方程为 430x y +-= 由 22430, 19x y x y +-=???+=??解得 3, 0x y =??=?或 21252425x y ?=-????=??

从而 C 与 l 的交点坐标为 2124(3,0),(, ) 2525

- (2)直线 l 的普通方程为 440x y a +--=,故 C 上的点 (3cos,sin ) θθ到 l 的距离为

d = 当 4a ≥-时, d

=8a =; 当 4a <-时,>

=16a =- 综上, 8a =或 16a =-

23.解:

(1)当 1a =时,不等式 () () f x g x ≥等价于

2|1||1|40x x x x -+++--≤ ①

当 1x <-时,①式化为>

340x x --≤,无解;

当 11x -≤≤时,①式化为 220x x --≤,从而 11x -≤≤; 当 1x >时,①式化为 240x x +-≤

,从而 1x <≤ 所以="" ()="" ()="" f="" x="" g="" x="">

的解集为 {|1x x -≤≤

(2)当 [1,1]x ∈-时, () 2g x = 所以 () () f x g x ≥的解集包含 [1,1]-,等价于当 [1,1]x ∈-时 () 2f x ≥

又 () f x 在 [1,1]-的最小值必为 (1) f -与 (1)f 之一,所以 (1) 2f -≥且 (1)2f ≥,得 11a -≤≤

所以 a 的取值范围为 [1,1]-

范文五：2017年全国高考理科数学试题及答案--全国卷1

11

化简可得 ()

2

1

12AB k k =-

+,此时满足 12

k ≠-

。 ○

1当 1

2

k =-时, AB 两点重合,不合题意。 ○ 2当 12k ≠-时,直线方程为:()222218144141

12k k y x k k k -??=-++ ?++??+, 即 ()

()

2

2

44112k k x y k +-+=-

+,当 2x =时, 1y =-,因此直线恒过定点 ()2, 1-。

21. (12分)

已知函数 ) f x =(a e 2x

+(a ﹣ 2) ex

﹣ x . (1)讨论 () f x 的单调性;

(2)若 () f x 有两个零点,求 a 的取值范围 . 解:

(1)对函数进行求导可得 ()()()()

2' 22111x x x x f x ae a e ae e =+--=-+。

○

1当 0a ≤时, ()()()

' 110x x

f x ae e =-+≤恒成立,故而函数恒递减 ○ 2当 0a >时, ()()()

1

' 110x x

f x ae e x a

=-+>?>,故而可得函数在 1,ln a ??

-∞

???

上单调递减,在 1ln , a ??+∞ ???

上单调递增。 (2)函数有两个零点,故而可得 0a >,此时函数有极小值 11ln

ln 1f a a a

?

?=-+ ???, 要使得函数有两个零点,亦即极小值小于 0,

故而可得 ()1ln 100a a a -

+<>,令 ()1

g ln 1a a a

=-+, 对函数进行求导即可得到 ()21

g' 0a a a +=>,故而函数恒递增,

又 ()g 10=, ()1

g ln 101a a a a

∴=-+?<>

因此可得函数有两个零点的范围为 ()0,1a ∈。

(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. [选修 4―4:坐标系与参数方程 ](10分)

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos ,

sin , x y θθ=??=?

(θ为参数),直线 l 的参数方程为

12

4,

1, x a t t y t =+??

=-?

(为参数) . (1)若 a =? 1,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C 上的点到 l

a . 解:

将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 2

219

x y +=,直线化为直角方程为 11144y x a =-+-

(1)当 1a =时,代入可得直线为 1344y x =-+,联立曲线方程可得:22134499

y x x y ?

=-+?

??+=?

,

解得 212524

25x y ?=-????=??

或 30x y =??=?,故而交点为 2124, 2525??- ???或 ()3,0

(2)点 3cos ,

sin , x y θθ=??=?到直线 11144y x a =-+-

的距离为 d =≤

即:3cos 4sin 417a θθ++-≤,

化简可得 ()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--, 根据辅助角公式可得 ()135sin 21a a θ?--≤+≤-, 又 ()55sin 5θ?-≤+≤,解得 8a =-或者 16a =。 23. [选修 4— 5:不等式选讲 ](10分)

已知函数 f (x ) =– x 2

+ax +4, g (x )=│ x +1│+│ x –1│. (1)当 a =1时,求不等式 f (x )≥ g (x )的解集;

(2)若不等式 f (x )≥ g (x )的解集包含 [– 1, 1],求 a 的取值范围 . 解:

将函数 ()g x x x =++-化简可得 ()2121121x

x g x x x x >??

=-≤≤??-<>

(1) 当 1a =时,作出函数图像可得 ()()f x g x ≥的范围在 F 和 G 点中间,

联立 224

y x y x x =??=-++?

可得点 1G ?????

,因此可得解集为 ?-???。

13

(2) 即 ()()f x g x ≥在 []1,1-内恒成立,故而可得 22422x ax x ax -++≥?-≤恒成立,

根据图像可得:函数 y ax =必须在 12, l l 之间,故而可得 11a -≤≤。

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