范文一：小波分析在软件无线电中的应用

小波分析在软件无线电中的应用

李睿 ,曾德贤

() 装备指挥技术学院 ,北京 101416

摘要 :软件无线电的发展 ,对调制解调技术提出了越来越高的要求。基于 D FT的多音调制解调方案 ,虽

然在一定程度上克服了传统方法的局限性 ,但各信道间存在较大的频谱重叠 ,容易引起码间串扰。该文

在研究小波理论的基础上 ,根据软件无线电的特点 ,提出了一种基于离散小波变换技术的软件无线电的

调制解调方案。这种方案利用小波变换特殊的优越性 ,使得各子信道之间的频谱分隔特性大大改善 ,并

在码间干扰严重的情况下 ,仍然具有较好的传输性能。

关键词 :软件无线电 ;小波分析 ;调制解调

( ) 中图分类号 : TN925文献标识码 : B文章编号 : 1005 - 7641 2005 05 - 0045 - 03

[ 2 ] 不同频带宽度以及不同传输速率 , 因此 , 如何设计 引言0 能满足软件无线电发展要求的优质调制解调技术 ,成

( )软件无线电 Softwa re R ad io 是将标准化 、模块化 为持续发展软件无线电的关键之一 。 的硬件功能单元 ,通过高速总线或高速网络等连接 ,形

成一个通用的数字式硬件平台 ,再通过软件加载的方 软件无线电中的调制解调方案1 式 ,构造各种类型无线通信系统的开放式体系结构 。 [ 1 ]调制解调技术总的来说可以分为单音调制和多音 其基本思想 是把 AD 、DA 变换器放置在收发信机的 [ 3 ] 天线之后 ,用软件实现无线电系统的所有功能 。软件 调制两大类 。与单载波调制解调技术相比 ,多载波 无线电技术实现的通信系统造价低廉、节省硬件、灵活 调制解调方案具有明显的优越性 : 性强 ,具有易于与不同频带 、带宽和调制方式的通信系 ( )1 对存在失真 、衰落或非白噪声的信道而言 ,多 统实现互联 、互通 ;系统升级和嵌入新技术更方便 ,利 音调制解调可获得更高的传输速率 ; 于开发新的增值业务 ; 能更充分地利用有限的频谱资 ( )2 由于多音调制解调具有多路并行的特点 , 使 源等优点 。因此 ,软件无线电技术成为通信技术领域

接收端不需任何特殊处理 ,即可获得相当于单音调制 中的重要研究内容 ,是继模拟通信到数字通信、固定通

信到移动通信之后 ,在无线领域中的又一次通信革命 。 解调系统在接收端采用均衡后得到的信噪比 ;它主要由宽带 A /D&D /A、可编程 DSP模块、窄带 A /D&D /A、 ( )3 由于在多音调制解调系统中 , 每个窄带子信 用户终端等组成 ,具有开放式模块化结构。软件无线 道中的信道特性是近似线性的且脉冲响应拖尾较少 , 电的主要特点就是完全可编程 ,即 R F 频段和带宽 、信 使得用于多音调制解调中的均衡技术比用于单音调制 道接入方式 、传输速率、接口类型 、业务种类、加密方法

解调中的简单得多 ; 等均可由软件编程完成设置和实现 。软件无线电系统 ( )4在多音调制解调系统中 ,由于相位抖动引起的 结构如图 1所示。 失真均匀分布在每个子信道 ,使其影响程度大大减弱 ;

( ) 5多音调制解调系统中的码元周期较长 ,使脉冲

干扰对它的影响远远弱于对单音调制解调系统的影响。

早期的多音调制解调系统采用正交滤波器将信道

分成若干子信道 ,但使用传统的方法建立比较尖锐的

带通滤波器很困难 ,尤其是在路数增多的情况下。因

()此 ,提出了将二维傅里叶变换 D FT应用在多音调制 解调系统上的方案 ,从而较方便地实现了多路信号的 图 1 软件无线电系统结构复用与分解 ,并可通过增加时域窗 ,来消除码间干扰。

基于 D FT的多音调制器结构如图 2所示。

软件无线电要求所采用的调制解调技术能够适应 基于 D FT的多音调制解调方案有一点不足之处 ,

即各信道间存在较大的频谱重叠 ,导致了子信道间的

收稿日期 : 2004 - 07 - 26功率泄漏 ,从而引起严重的串扰 。对于码间干扰和窄

有利于检测信号的瞬态或奇异点 。

由于以上特性 ,有人把小波变换称为分析信号的

数学显微镜 。

2. 3 二进制小波变换

为了使小波变换具有可变的时间和频率分辨率 , 图 2 基于 D FT的多音调制器结构 适应信号的非平稳性 ,就需要改变 a和 b的大小 ,以使

其具有“变焦距 ”的功能。在实际中采用的是动态采 带干扰严重的信道、信道之间在频谱上分割特性的好

样网格。在后面的方案中 ,我们用到的是二进制的动 坏 ,直接影响了整个多音调制解调系统的性能 。为了

克服上述缺点 ,可以将小波技术运用到多音调制解调 态采样网格 ,即 a= 2 , b= 1 ,每个网格对应的尺度为 0 0 j j 中来 ,因此 ,本文提出了一种基于小波理论的软件无线 2 ,而平移为 2 k。由此得到的小波电调制解调方案。 - j / 2- j )Ψ ( Ψ( ) 2 t - k t= 2 j, k

式中j, k?Z为二进小波。

2 小波分析理论基础 ,放大倍数 j,对应于观测到信号的某部由此可见 [ 4 ]分内容。如果想进一步观测信号更小的细节 ,就需要 2. 1 小波变换的含义

增大倍数 ,即减小 j值 ; 反之 ,若想了解信号更粗略的 (连续小波变换是把某一被称为基本小波 也叫母

( ))小波 , mo the r wave le t的函数 < t做位移="" b后="" ,="" 再在不="" 内容="" ,则可以减小放大倍数="" ,即加大="" j值。在这个意义="">

( ) 同尺度 a 下与待分析信号 x t做内积 。对于任意函 上 ,小波变换比传统的傅里叶变换更具有优越性。 2 ( ) ( )数 f t?LR 的连续小波变换为 3 一种基于小波的多音调制解调方案 t - b - 1 / 2 3 从上面的讨论中我们可以看出 , 由于基小波及其 ( ) Ψ( )Ψ( ) W a, b= < f,=""> = | a | f t d t f a, b R? a 二进扩展小波有相互正交的特性 , 可将它们作为不同 ( )1 速率数据调制的成形脉冲 , 这样就可以在不增加发射

式中a, b?R; a ?0。功率的情况下 , 获得比一般调制方法更高的频带利用

率。同时 , 由于小波技术具有多分辨率的特点 , 可以增 如果把连续小波中的尺度参数 a 和平移参数 b的j j 强信道的抗干扰性 , 从而更好地保证了传输的可靠性 离散公式分别取 a = a, b = kab , 这里 j?Z , 扩展步长0 0 0 和有效性 。 () ( ) Ψa?0 是固定值 , 对应的离散小波函数 t即可 0 j, k 综合上述各方面的因素 , 考虑到软件无线电对调 写作j 制解调可靠性及可变速率的要求 , 这里介绍一种传输 t - k ab 0 0- j/ 2 - j/ 2 - j Ψ (Ψ ( )Ψ( ) ) = aat - k b t= a 0 0 0 j, k 0j 速率可变的多音调制解调方案 , 基本结构如图 3所示 。 a 0

( )2

离散化小波变换系数为 +?3 ( ) ( ) Ψ( )Ψ= f ttd t = < f,=""> 3 Cj, k j, k j, k -? ?

+? +?

( ) Ψ( ) 其重构公式为 f t= C Ct, 其中 C 是j, kj, k ?? - ? - ? 图 3 速率可变的多音调制解调器 一个与信号无关的常数 。

2. 2 小波变换的特点

在图 3给出的结构中 , 子通道数目 M 可以根据传( )(1 小波变换是一种信号的时间尺度 时间 —频

输信道特性以及频带宽度来确定 , 利用软件无线电的 )() 率 分析方法 ,它具有多分辨率 m u lti2re so lu tion ,也叫

可编程 D S P 硬件平台 , 可以很容易实现不同 M 值的调 () 多尺度 m u lti2sca le的特点 ,可以由远及近地逐步观察

制 , 该系统也因此具有相当强的灵活性 。输入的数据 信号。

流经过串 /并变换后 , 变换为 M 个并行的数据流 ,再经 ( )(ω) φ2 可以看作是用基本频率为 的带通滤波

过编码或分流 ,将每个子信道中的数据流划分为多个 器在不同尺度 a 下对信号做滤波 , 具有品质因数恒定 , m ( ) 速率不同的数据流 aa的速率是 a的 2 倍 , 考 m n 0 nm n()即相对带宽 带宽与中心频率之比 恒定的特点。

虑到实际需要以及运算的复杂程度 ,选取 m 的最大值 ( )( ) 3 适当地选择基本小波 , 使 < t在时域上为有="">

为 1, 由基小波及其一次二进扩展小波作为成形脉冲 , Ψ (ω)限支撑 ,在频域上也比较集中 ,以便可以使小波

1 特性大大改善 ,同时仍保证了它们之间的正交性。基1 ( ) ( )( )x ′t= a h t4 i m n m n ? 于小波技术的调制解调系统在码间干扰严重的情况下m = 0 - m / 2 - m ( ) ( ) < h,="" h=""> = 0,式中 ht= 2 h 2 t - n。由于 仍然具有较好的鲁棒性 ,并可以获得令人满意的传输 0n 1n m n

所以 ?ah和 ?ah是正交的 , 从而保证了在提高 效果。 0 n 0 n1 n 1 n

频带利用率的同时 ,不增加传输功率。 a可以作为额 1 n参考文献 : 外的传输比特流来提高传输速率 ,也可以作为 a的信 0 n

[ 1 ] Jo sep h M ito la. Techn ica l Cha llenge s in the Globa liza tion of 道编码来提高传输的可靠性。

( 在上面介绍的这种多音调制解调方案中 , PR Pe r2 Softwa re R ad io [ J ]. IEEE Comm un ica tion s M agazine, Feb2

) fec t R econ struc tion 正交分解与合成滤波器均采 用 rua ry 1999.

( ) M a lva r提出的 EL T Extended L app ed Tran sfo rm 快速 [ 2 ] 罗序梅. 软件无线电关键技术最新进展 [ J ]. 移动通信 ,

( ) 2004 , 28 2 : 119 - 121. 算法来实现 ,所谓 PR 特性 ,是指重构的信号为原始信

曹志刚 ,钱亚生. 现代通信原理 [M ]. 北京 :清华大学出版 [ 3 ] 号的延迟 ,这样可以保证信号传输的可靠性。

社 , 1992. 4 结束语 [ 4 ] 杨福生. 小波变换的工程分析与应用 [M ]. 北京 : 科学出

本文介绍的一种基于离散小波变换技术的软件无 版社 , 1999. 线电的调制解调方案 ,它是利用正交合成与分解滤波

器 ,将信道分为多个正交的子信道 ,然后应用小波技术 ( ) 李 睿 1979 - ,女 ,河南开封人 ,博士研究生 , 专业为通将每个子信道构成具有多分辨率的信道。由于小波变 信与信息系统 ,主要研究方向为空间通信与信息系统 。换具有特殊的优越性 ,使得各子信道之间的频谱分隔 ( ) 曾德贤 1978 - ,男 ,新疆昌吉人 ,硕士研究生 , 从事图像

信号处理方面的研究 。

A pp l ica t ion of wa ve le t ana ly s is in sof twa re ra d io L I R u i, Z EN G D e2x ian

( )The A cadem y of Equ ipm en t Comm and &Techno logy, B e ijing 101416 , Ch ina A b stra c t:W ith the deve lopm en t of softwa re rad io, the requ irem en t fo r techno logy of modu la tion and demodu la tion is h ighe r and h ighe r. Though the p ro jec t ba sed on D FT ge ts ove r the lim ita tion of trad itiona l m e thod, bu t the frequency sp ec trum s of channe ls still ove rlap bad ly a2

( ) mong d iffe ren t channe ls and th is w ill cau se in te r2sym bo l in te rfe rence IS Iea sily. U nde r re sea rch ing the theo ry of wave le t tran sfo rm , th is p ap e r p u ts fo rwa rd a modu la tion and demodu la tion schem e of softwa re rad io ba sed on d isc re te wave le t tran sfo rm. Th is schem e m ake s u se of the advan tage s of wave le t to imp rove the frequency sp ec trum comp a rt cha rac te r be tween d iffe ren t channe ls, the tran sm ission is ve ry we ll even unde r the bad ly IS I cond ition.

Key word s: softwa re rad io; wave le t tran sfo rm; modu la tion and demodu la tion

() 上接第 44页

参考文献 :3 结束语

本文对 1号信令中的关相内容做了详细介绍 ,这 [ 1 ] 叶敏. 程控数字交换与交换网 [M ]. 北京 : 北京邮电大学 些是在交换机中配置数据的基础 ,只有掌握了这些知 出版社 , 2002. 识 ,才能顺利配置数据来接收主叫号码 。中国 1 号信

令的内容非常丰富 ,接收主叫号码只是其中的一小部 ( ) 罗书田 1976 - ,男 ,江西上犹人 ,从事电力系统通信设备分 ,可以找相关书籍进行参考 。 的维护工作 。

D a ta con f igura t ion for rece iv in g ca ll in g n um ber in NO. 1 s igna ll in g sy stem LUO S hu 2tian

( ) The Comm un ica tion Co. of W an′an H yd ropowe r P lan t, W an′an 343800, Ch ina A b stra c t: The p ap e r take s H a rris exchange fo r an examp le, in troduce s the da taba se a rrangem en t to rece ive ca lling num be r in the end2to 2end connec tion mode of No. 1 signa lling system , inc lud ing the ba sic concep ts of m u lti2frequency, comp e lled signa lling, registe r signa lling, and the de ta iled p rocedu re s of da ta configu ra tion. The p ap e r p rovide s an u sefu l refe rence fo r o the r u se rs of H a rris PABX. Key word s:NO. 1 signa lling; ca lling num be r; m u ltifrequency comp e lled signa lling; registe r

范文二：小波分析软件Wavelab及其应用

58

电子技术设计与运用 Electronics Design & Application

小波分析软件Wavelab及其应用

杨汉生 孔鲲鹏 刘 丽 (巢湖学院物理与电子科学系)

摘 要 :随着小波分析研究及其应用的不断深入,对小波分析软件的研究和开发显得格外重要。本文在论述了国 内外小波分析软件的现状后,介绍了 Wavelab 的主要特点及应用。

关键词 :小波分析;软件;工具箱;仿真

Application of Wavelab Software for Wavelet Analysis

Yang Hansheng Kong Kunpeng Liu Li

(Department of Physics and Electronic Science, ChaoHu College)

Abstract : With the increasingly deepening of the study and application of wavelet analysis it is becoming more important to research and develop the software for wavelet analysis. After describing the current status of domestic and foreign wavelet analysis software this paper introduces the main features and applications of wavelab.

Key words: wavelet analysis; software; toolbox; simulation0 引言

小波分析是调和分析发展史上的里程碑,从它诞生 到现在不过十几年历史,但已在诸如信号处理、故障诊断、 系统辩识、神经网络、最优控制等众多领域取得了良好的 应用效果。实践表明,小波分析作为一种新的数学工具, 具有十分广阔的研究和应用前景。小波分析软件也随着小 波分析的发展应运而生,主要有:

(1)Wavelet Toolbox[1]:这是目前最有名的小波分析软 件,该工具箱包括二百多个 M 函数,基本上实现了小波分 析领域已有的算法,也被人们所熟知。但由于函数太多, 难于记忆,对于刚接触该工具箱的人来说更是难于掌握。

(2)Liftpack:用 C 语言开发的用于双正交小波变换的 软 件 , 小 波 变 换 的 算 法 基 于 提 升 格 式 。 可 在 DOS 、 Windows 以及 MAC 上运行。

(3)WaveTool:这是一个用于信号处理的工具箱。它 有两个版本, WaveTool Filter Design面向基本小波和多尺 度滤波器设计; WaveTool Signal Analysis增加了一些功能, 可用来构造任意树型结构多尺度滤波器组,可读入二进制 和 Matlab 格式的数据并对数据进行处理,同时也可以调用 Matlab 函数。该软件既有基于 Windows 的版本,也有基于 UNIX 的版本。

(4)S+Wavelets[2]:这是 S2PLUS 语言和图形数据分析 环境的拓展,可在 Windows 和 Unix 平台上运行,它可以进 行离散小波变换及其逆变换,多分辨分析,小波包变换和 局部余弦变换,统计信号抽取和估计,变换的最优基自适 应选取, Matching Pursuit分解等小波分析的很多内容。

小波分析软件种类繁多,在功能上都各有千秋, Wavelab 就是一种比较好的小波分析软件。

1 Wavelab 软件及其应用 1.1 Wavelab 的主要特点

Wavelab 是由 Stanford 大学 Maureen Clerc等人开发的小 波分析软件,它是用当今国内外广为流行的科学计算可视 化软件 Matlab 语言编写的,可在 Matlab5.x 以上版本运行, 操作系统可以为 Windows 、 UNIX 或 MAC 。该软件包括 1293个文件与 50多个子目录,基本涵盖了正交小波与双正 交小波变换、小波包变换、余弦包变换、插值小波变换、

时频分析、匹配追踪等小波研究的主要内容。 Wavelab 采 用模块化设计,功能强大、界面直观、操作简单,由于直 接链接在 Matlab 环境下,所以无需编译及连接即能执行, 能够满足众多小波研究领域的需求,其主要特点如下:

(1)强大方便的图形功能。 Wavelab 具有灵活图形图像 处理功能,可以方便地利用图形、图像、声音、动画等 多媒体技术直接表述数值计算的结果,可以选择不同的 坐标系,可以设置颜色、线型、视角等,可以在图中加 入比例尺、标题等标记。

(2)良好的开放性。 Wavelab 的所有源代码都是公开的, 并且标注得十分详尽,包括函数功能、变量的含义、算法 的参考文献、编写时间、编写者姓名及通讯方式等。使用 者可以对它的原函数进行修改,也可以加入新的函数。

(3)编程效率高、支持混合编程。 Wavelab 有丰富的库 函数,同时它还可以直接调用 Matlab 的库函数,编程效 率比 Basic 、 Fortran 和 C 高。同时它支持混合编程,可以 方便地调用 Basic 、 Fortran 和 C 语言程序。

(4)界面友好,用户使用方便。由于是在 Matlab 环境 下运行,所以对于熟悉 Matlab 的使用者,可以毫无困难 地使用 Wavelab 。同时 Wavelab 包含很多帮助文件和演示 文件可以帮助使用者迅速掌握其使用方法。

1.2 Wavelab 的应用实例

由于 Matlab 中的小波工具箱中没有求小波变换模极 大值函数,求模极大值需自己编写程序,而利用 Wavelab 可以方便地求出小波变换的模极大值。图 1a) 为一连续信 号,图 1b) 为信号的连续小波变换,图 1c) 为信号的连续小 波变换模极大值曲线,图 1d) 为模极大值曲线斜率图,从图 中可确定模极大值点的李氏指数,从而确定点的性质。

(a) (b)

59

电子技术设计与运用 Electronics Design & Application

(c) (d) 图1 信号的连续小波变换及其模极大值曲线

2 Wavelab 应用中应注意的问题

Wavelab 是非商业软件,用户可直接访问 Stanford 网站 [3]下载全部源代码。同时网站上还有安装说明及用户手册, 不过按照上面的安装步骤,常常会出现很多警告而不能正 常使用,现给出安装全过程:

(1)将下载的压缩文件解压到 C:\matlab\toolbox文件夹, 假设 Matlab 的安装路径为 C 盘根目录。

(2)将 WavePath.m 和 startup.m 复 制 后 , 粘 贴 到 C:\matlab\toolbox\local。

(3)打开 WavePath.m 文件将 113行的 path (p )注释掉,利 用 path 语句将 wavelab 的子目录都添加进去,当然也可以 在 startup.m 里添加。

(4)将 startup.m 中 35行的 InstallMEX 注释掉。

(5)下载 DLL 文件 [4],解压后将文件各自放置在相应的目 录下,如将 CPAnalysis.dll 放置在 CPAnalysis.m 所在的目录。

Wavelab 中的 CWT 函数和 Matlab 中的小波工具箱中的 cwt 函数重名,应将其重命名。由于 Wavelab 中很多函数都 调用了 Matlab 中的小波工具箱中的函数,所以在使用 Wavelab 时是不能屏蔽小波工具箱 Wavelet 的。

3 结束语

小波分析软件正处在飞速发展的过程当中,原有的 软件在不停地拓展和充实,同时新的分析软件也不断涌现, 只有熟练地掌握小波分析软件这一重要工具,对小波的研 究及应用才能更深入。

参考文献:

[1] 刘湘黔,张荣梅,张霖.小波分析软件及电子资源[J ]. 计算机仿真,2001,18(2):1-4.

[2] 张荣梅,刘湘黔,张霖.基于小波分析的控制系统分 析和设计平台 Wavelab[J].系统仿真学报,2000, 12(7): 420-422.

[3] Wavelab 850 [EB/OL].http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/[4] WaveLab.801 MEX Files[EB/OL].http://www-stat.stanford. edu/~donoho/WaveLab800/mex800.html

作者简介:

杨汉生,(1966,1-),男,博士,副教授,现从事电能质 量分析与控制的研究。 基金项目:

安徽省高校省级自然科学研究项目 (KJ2010A243; KJ2009B034

)

(上接76页)

4 结论

本文结合加权余量法的理论基础,利用边界元法计 算了圆光波导中可能存在的各传输模式的截止频率,实 验计算结果与精确结果的对比验证了边界元法在场分布 问题领域的适用性,而且证明了利用边界元法分析微结 构光波导模场的分布可以在降低问题求解的空间维数, 低方程组阶数,较少输入数据量的前提下得到精确的分 析结果。

参考文献:

[1] 王韩毅,任立勇,张亚妮,等.单偏振单模微结构聚合 物光纤的设计[J ].中国激光,2007,34(5):684-687.[2] 李忠元.电磁场边界元素法[M ].北京:工业学院出版 社,1987:1-4.

[3] 朱震海,洪伟,季皓.一种求解电磁场本征值问题的新 方法[J ].应用科学学报,1997,15(4):385-393.

[4] 杨世信,任朗,盛克敏,等.有限元法求解任意折射率 分布光纤模场分布[J ].强激光与粒子束,2000,12(3): 297-300.

[5] Kagami S,Fuakai I.Application of boundary element method to electromagnetic field problems[J].IEEE Trans on MTT,1984,32(4):455-461.

[6] Koshiba M,Suzuki M.Application of the boundary element method to waveguide discontinuities[J].IEEE Trans on MTT,1986,34(2):301-307.

[7] Yijun Liu.An Introduction to the Boundary Element Method(BEM)and Its Applications in Engineering[D]. Dept.of Mechanical,Industrial and Nuclear Engineering, University of Cincinnati(UC),2007:18-26.

[8] 倪光正,钱秀英.电磁场数值计算[M ].北京:高等教 育出版社,1996:337-338.

[9] 周平.任意截面波导本征值问题的边界元分析[J ].四 川师范大学学报(自然科学版),1997,20(4):93-98.作者简介:

刘岩,燕山大学,工学硕士 手机:150-2238-0451

电子信箱:liuyan_fp@163.com

通信地址:河北省秦皇岛市河北大街西段438号燕山大学 488#信箱(066004)

范文三：小波分析软件Wavelab及其应用

小波分析软件Wavelab及其应用

杨汉生 孔鲲鹏 刘 丽

(巢湖学院物理与电子科学系)

摘 要:随着小波分析研究及其应用的不断深入，对小波分析软件的研究和开发显得格外重要。本文在论述了国 内外小波分析软件的现状后，介绍了Wavelab的主要特点及应用。

关键词:小波分析;软件;工具箱;仿真

Application of Wavelab Software for Wavelet Analysis

Yang Hansheng Kong Kunpeng Liu Li

(Department of Physics and Electronic Science, ChaoHu College)

Abstract: With the increasingly deepening of the study and application of wavelet analysis it is becoming more important to research and develop the software for wavelet analysis. After describing the current status of domestic and foreign wavelet analysis software this paper introduces the main features and applications of wavelab.

Key words: wavelet analysis; software; toolbox; simulation

0 引言 时频分析、匹配追踪等小波研究的主要内容。Wavelab采

小波分析是调和分析发展史上的里程碑，从它诞生 用模块化设计，功能强大、界面直观、操作简单，由于直 到现在不过十几年历史，但已在诸如信号处理、故障诊断、 接链接在Matlab环境下，所以无需编译及连接即能执行， 系统辩识、神经网络、最优控制等众多领域取得了良好的 能够满足众多小波研究领域的需求，其主要特点如下: 应用效果。实践表明，小波分析作为一种新的数学工具， (1)强大方便的图形功能。Wavelab具有灵活图形图具有十分广阔的研究和应用前景。小波分析软件也随着小 像 处理功能，可以方便地利用图形、图像、声音、动波分析的发展应运而生，主要有: 画等 多媒体技术直接表述数值计算的结果，可以选择[1](1)Wavelet Toolbox:这是目前最有名的小波分析软 不同的 坐标系，可以设置颜色、线型、视角等，可以件，该工具箱包括二百多个M函数，基本上实现了小波在图中加 入比例尺、标题等标记。 分 析领域已有的算法，也被人们所熟知。但由于函数太多， (2)良好的开放性。Wavelab的所有源代码都是公开的， 难于记忆，对于刚接触该工具箱的人来说更是难于掌握。 并且标注得十分详尽，包括函数功能、变量的含义、算法

(2)Liftpack:用C语言开发的用于双正交小波变换的 的参考文献、编写时间、编写者姓名及通讯方式等。使用 软件，小波变换的算法基于提升格式。可在 DOS、 者可以对它的原函数进行修改，也可以加入新的函数。 Windows以及MAC上运行。 (3)编程效率高、支持混合编程。Wavelab有丰富的

(3)WaveTool:这是一个用于信号处理的工具箱。它 库 函数，同时它还可以直接调用Matlab的库函数，编有两个版本，WaveTool Filter Design面向基本小波和多尺 程效 率比Basic、Fortran和C高。同时它支持混合编程，度滤波器设计;WaveTool Signal Analysis增加了一些功能， 可以 方便地调用Basic、Fortran和C语言程序。 可用来构造任意树型结构多尺度滤波器组，可读入二进制 (4)界面友好，用户使用方便。由于是在Matlab环和Matlab格式的数据并对数据进行处理，同时也可以调境 下运行，所以对于熟悉Matlab的使用者，可以毫无用 Matlab函数。该软件既有基于Windows的版本，也有困难 地使用Wavelab。同时Wavelab包含很多帮助文件基于 UNIX的版本。 和演示 文件可以帮助使用者迅速掌握其使用方法。 [2]Wavelab的应用实例 (4)S+Wavelets:这是S2PLUS语言和图形数据分

析 环境的拓展，可在Windows和Unix平台上运行，它由于Matlab中的小波工具箱中没有求小波变换模可以进 行离散小波变换及其逆变换，多分辨分析，小波极 大值函数，求模极大值需自己编写程序，而利用包变换和 局部余弦变换，统计信号抽取和估计，变换的Wavelab 可以方便地求出小波变换的模极大值。图1a)为最优基自适 应选取，Matching Pursuit分解等小波分析的一连续信 号，图1b)为信号的连续小波变换，图1c)为信很多内容。 号的连续小 波变换模极大值曲线，图1d)为模极大值曲线

小波分析软件种类繁多，在功能上都各有千秋， 斜率图，从图 中可确定模极大值点的李氏指数，从而确Wavelab就是一种比较好的小波分析软件。 定点的性质。

1 Wavelab软件及其应用

Wavelab的主要特点 Wavelab是由Stanford大学

Maureen Clerc等人开发的小

波分析软件，它是用当今国内外广为流行的科学计算可视

化软件Matlab语言编写的，可在Matlab5.x以上版本运行， 操作系统可以为Windows、UNIX或MAC。该软件包

括 1293个文件与50多个子目录，基本涵盖了正交小波与

双正 交小波变换、小波包变换、余弦包变换、插值小波(a) (b) 变换、

(上接76页) 4 结论 本文结合加权余量法的理论基础，利用边界元法计 算了圆光波导中可能存在的各传输模式的截止频率，实 验计算结果与精确结果的对比验证了边界元法在场分布 问题领域的适用性，而且证明了利用边界元法分析微结 构光波导模场的分布可以在降低问题求解的空间维数， 低方程组阶数，较少输入数据量的前提下得到精确的分 (c) (d) 析结果。 图1 信号的连续小波变换及其模极大值曲线 参考文献:

2 Wavelab应用中应注意的问题 [1] 王韩毅,任立勇,张亚妮,等.单偏振单模微结构聚合 [3]Wavelab是非商业软件，用户可直接访问Stanford网站 物光纤的设计[J].中国激光,2007,34(5):684-687. 下载全部源代码。同时网站上还有安装说明及用户手册， [2] 李忠元.电磁场边界元素法[M].北京:工业学院出版 不过按照上面的安装步骤，常常会出现很多警告而不能正 社,1987:1-4.

常使用，现给出安装全过程: [3] 朱震海,洪伟,季皓.一种求解电磁场本征值问题的新

(1)将下载的压缩文件解压到C:\matlab\toolbox文件夹， 方法[J].应用科学学报,1997,15(4):385-393. 假设Matlab的安装路径为C盘根目录。 [4] 杨世信,任朗,盛克敏,等.有限元法求解任意折射率

(2) 将 WavePath.m和 startup.m复制后，粘贴到 分布光纤模场分布[J].强激光与粒子束,2000,12(3): C:\matlab\toolbox\local。 297-300.

(3)打开WavePath.m文件将113行的path(p)注释掉，[5] Kagami S,Fuakai I.Application of boundary element 用path利 语句将wavelab的子目录都添加进去，当然也可以 method to electromagnetic field problems[J].IEEE Trans

在startup.m里添加。 on MTT,1984,32(4):455-461.

(4)将startup.m中35行的InstallMEX注释掉。 [6] Koshiba M,Suzuki M.Application of the boundary element [4](5)下载DLL文件，解压后将文件各自放置在相应的目 method to waveguide discontinuities[J].IEEE Trans on

MTT,1986,34(2):301-307. 录下，如将CPAnalysis.dll放置在CPAnalysis.m所在的目录。

[7] Yijun Liu.An Introduction to the Boundary Element Wavelab中的CWT函数和Matlab中的小波工具箱Method(BEM)and Its Applications in Engineering[D]. 中的 cwt函数重名，应将其重命名。由于Wavelab中很Dept.of Mechanical,Industrial and Nuclear Engineering, 调用了Matlab中的小波工具箱中的函数，所以在使多函数都 University of Cincinnati(UC)，2007:18-26. 用 [8] 倪光正,钱秀英.电磁场数值计算[M].北京:高等教 Wavelab时是不能屏蔽小波工具箱Wavelet的。 育出版社,1996:337-338. [9] 周平.任意截面波导本征值问题的边界元分析[J].四 3 结束语 川师范大学学报(自然科学版),1997,20(4):93-98. 小波分析软件正处在飞速发展的过程当中，原有的 软件在不停地拓展和充实，同时新的分析软件也不断涌现， 作者简介: 刘岩，燕只有熟练地掌握小波分析软件这一重要工具，对小波的研 山大学，工学硕士 手机:究及应用才能更深入。 150-2238-0451 电子信箱:liuyan_fp@163.com 通信地址:河北省秦皇岛市参考文献: 河北大街西段438号燕山大学 [1] 刘湘黔,张荣梅,张霖.小波分析软件及电子资源[J]. 488#信箱(066004) 计算机仿真，2001,18(2):1-4.

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[3] Wavelab 850 [EB/OL].http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/

[4] WaveLab.801 MEX Files[EB/OL].http://www-stat.stanford.

edu/~donoho/WaveLab800/mex800.html

作者简介:

杨汉生，(1966,1-)，男，博士，副教授，现从事电能质

量分析与控制的研究。

基金项目:

安徽省高校省级自然科学研究项目 (KJ2010A243;

KJ2009B034)

范文四：小波分析的应用

小波分析的应用

顾晓蕾 机械制造及其自动化 20925018

摘要

目前，小波分析的发展及应用引起人们的广泛关注。小波分析是国际上公认的最新时间——频率分析工具，由于其“自适应性”和“数学显微镜性质”而成为许多学科共同关注的焦点，对于信号处理及信息处理起着至关重要的作用。本文分析了小波分析在信号奇异性检测、信号的消噪处理、编码压缩与量化、图像处理等方面的应用。

关键词 小波分析 应用 信号奇异性检测 消噪处理 编码压缩与量化 图像处理

0 引言

小波分析(Wavelets Analysis)是近年迅速发展起来的新兴学科，具有深刻的理论意义和广泛的应用范围。小波分析是一种信号的时间——尺度(时间——频率)分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时问分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬变反常信号并分析其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。由于小波具有多分辨分析的能力，可以对信号和图像在不同尺度上进行分解，在小波域进行去噪、压缩处理后，作反变换得到去噪和压缩后的信号和图像。小波分析用于非平稳信号和图像的处理优于传统的傅立叶变换，已被许多应用领域的事实所证实。因此，自小波分析诞生到现在短短的时间内，作为信号处理的一种手段，被越来越多的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果，在诸如地球物理勘探、信号信息处理、图像处理、语音分割与合成、故障诊断、雷达信号分析等领域内取得了很佳的应用效果。小波变换同传统的处理方法相比，产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调和分析方法，具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。

随着小波理论的日益成熟，小波理论和分析方法极大的促进应用科学研究，人们对小波分析的实际应用越来越重视，小波分析的应用范围极广，应用领域包括:数学领域的许多学科;信号分析、图像处理;量子力学、理论物理;军事电子对抗与武器的智能化:计算机分类与识别;音乐与语言的人工合成;医学成像与诊断;地震勘探数据处理;大型机械的故障诊断等方面。下面就目前小波分析的部分应用领域作一点探讨。

1 信号奇异性检测

信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信号的重要特征之一。比如，在故障诊断中，故障通常表现为输出信号发生突变，因而对突变点的检测在故障诊断中有着重要的意义。由于傅里叶交换将信号变换成纯频域中的信号，而使它不具有时间分辨的能力，故对信号在时域中的突变点根本无法检测出来。而小波变换具有良好的空间局部化性质，利用小波变换对信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小都有比较准确的判断。Grossmann利用hardy 函数给出了一种测定信号奇异性的方法，他把小波变换分为:小波变换相位函数空φ(s ,x)和小波变换模函数ρ(s ,x)，但由于相位函数不是测定奇异件的充要条件，1992年由Mallat等人基于计算机视觉研究中的多尺度变换提出了一种更加有效的方法，用小波变换的模极大值检测信号的奇异点，在分析典型心电图(ECG)时得到比较理想的效果。小波分析检测信号突变点的一般方法是:对信号进行多尺度分析，在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。

2 信号的消噪处理

去噪是信号处理领域经常遇到的问题，最简单的也比较通用的去噪方法是对信号直接进行低通或带通滤波。虽然这种方法简单，易于实现，但它不能滤去有效频带内的噪声，并且滤波器带宽的选择与高分辨率是相矛盾的。小波分析比经典的滤波方法更具有灵活性。以小波变换为基础的时变信号去噪方法是把含噪声信号放在二维平面上，利用信号和噪声表现出的截然不同的特性进行分时分频处理。多尺度小波下信号与噪声的不同特征的理论为提高MR图像质量提供了新的理论根据。1994年，Xue等人根据这个理论提出了一种MR图像的去噪算法，它的基本思想是:通过比较相邻尺度小波系数的相关与较小尺度上的小波系数的绝对值大小来区分信号和噪声，能在较好地保留边缘的同时滤除噪声。Coifman和Donoho利用非线性阈值小波处理方法可以有效的提取出被强大背景噪声所淹没了的有用信号。通过小波的信号消噪处理不但能获得较高的信噪比而且能够保持良好的时间分辨率。

3 编码压缩与量化

对于图像来说，如果需要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩。所谓图像压缩是指以较少的比特率有损或者无损的表示原来的象素矩阵的技术，也称图像编码。小波分析进行数据压缩是通过只保存模极大值的信息来实现的。虽然模极大值包含

的原信息并不完备，但在一定程度上由极大值重建的信号可以很好的逼近原信号。由于图像数字量庞大，通信带宽和存储容量有限，图像压缩在数字电视、网络多媒体通信、会议电视、可视电话、遥感图像传输、图像数据库、自动指纹识别系统的指纹存储等应用中都起着至关重要的作用。

压缩的方法有分形图像压缩与神经网络图像压缩的研究，还有基于小波分析的信号与图像压缩方法。分形压缩理论在保持质量的前提下，压缩比不高或编码时间过长。神经网络压缩理论也有类似情况。而基于小波分析的信号与图像压缩方法的特点是:压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递过程中可以抗干扰。

通常，基于小波变换的图像压缩的算法可分3步。首先图像经变换得到变换系数;其次将变换系数量化，此过程会造成信息损失;然后经熵编码得到更为紧凑的比特流，此过程属无损压缩。基于小波分析的信号与图像压缩方法很多，比较成功的有:小波包最优基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零数压缩，小波变换向量量化压缩等。

目前，小波理论应用于图像压缩的研究非常活跃。

用小波分析方法进行数据图像压缩时，压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的基本特征不变且在传递过程中可以抗干扰。

指纹作为人的一种重要识别标记，几乎人人不同。美国耶鲁大学以R.Coifman教授等人为代表的小波研究小组用小波分析对美国联邦调查局存贮的三亿指纹进行数据压缩，取得了二十倍有益的成果，因为存储光盘的减少而节省的费用也有三千万美元，由指纹传输时间缩短为原来的二十分之一所创造的价值更是无法估计。

异步传输模式(ATM)是一种采用异步分时复用技术的快速分组交换方式，是现代电信网的发展方向。针对ATM技术的发展要求，根据ATM网络的特点，结合小波变换的优势，提出的小波变换的VBR分层编码算法，较好的克服了DCT方法中的方块效应。

小波变换很早就被用于语音编码研究，最初人们利用小波变换的一些特性来完成语音编码中某些参数的提取，后来出现了小波变换用于高质量声音的研究，近年来，随着技术的发展，人们对传送声音的要求越来越高，将小波包变换用于中低码率声音信号压缩编码中，根据输入信号段的特性来进行变换和编码，使得编码过程可在时域、频域以及从时域向频域过渡的任一时频域中自适应进行，性能比固定空间进行变换编码有很大提高。

遥感是20世纪60年代发展起来的一门综合科学。将小波分析理论应用于遥感图像的处理，验证了小波变换加矢量编码是一种实用、效果良好的编码压缩方法。

4 图像处理

在图像处理中，小波分析的应用是很成功的。1988年Mallat将计算机视党领域内的多分辨分析引入小波分析中提出了快速小波算法——Mallat算法，并将这一理论用于图像分析和完全重构。小波变换可以将一幅图像分解为大小位置和方向都不同的分量。在做逆变换之前可以改变小波变换域中某些系数的大小，从而能够有选择的放大所感兴趣的分量而减小不需要的分量(这就是我们通常所说的图像增强)。小波变换可以有效的进行图像融合，图像融合是多传感器信息融合领域的一个重要分支，它是指将来自同一目标的不同传感器的信息通过一定的算法融合到一幅图上，从而获得比在单幅图上更完整、更精确的信息。图像融合在军事(如军事侦察、识别伪装)和非军事( 如医疗诊断、遥感、计算机技术等)领域得到广泛的应用。小波变换方法还可以进行图像的边缘检测、图像匹配、图像目标识别及图像细化等，其中二进小波变换对图像的拼接和镶嵌具有很好的效果。图像处理是小波变换理论非常有前景的应用领域。

5 其它应用

小波分析在地球物理勘探中对寻找地壳物质物性参数的奇异性具有非常的意义。小波分析是数值分析强有力的工具，能简洁有效的求解偏微分方程、积分方程以及线性非线性问题。它还在医学领域中有着广泛的应用，利用它可以有效的识别淋巴细胞微核，有效的检验药品以及其他各种化合物的毒性。人们利用小波方法对平面叶栅叶型进行优化设计，从而有效地解决了流体力学中传统方法难以解决的难度较大的问题。另外它也广泛地应用于量子场论、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、天体识别、机器视觉、分形以及数字电视等方面。

6 小波分析理论的展望

小波分析已对许多学科产生了多方面的影响，并已激起了众多科学家和科技工作者的极大热情。从诞生到现在不过短短十几年的时间，已经取得了巨大的成就和发展，它正在世界上带来一场局部化革命。

但由于以下几点原因可以说小波分析应用的真正高潮尚未到来。首先，小波理论尚不完善，除一维小波理论比较成熟外其它各类小波如高维小波、向量小波中的正交小波、双正交小波、二进小波等的构造和基本性质理论有待进一步研究。其次，现在国内外虽然已有一些较好小波基的选取方法，但缺乏系统规范的最佳小波基的选取原则，因此小波基的优化选择

仍是小波理论进一步研究的重要内容。再者，目前小波分析软件尚不成熟和完善，还没有大型、系统、权威的小波分析软件。为了使小波应用的深度和广度得到进一步拓展，除了小波理论的研究外还要再挖掘有前景的应用领域。小波分析在图像数据压缩方面人们期待用小波能实现更高压缩比，更高重现度图像的压缩。分析非平稳非线性问题的关键是对非线性小波分析的进一步研究，需要小波分析与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优化等方法相结合，形成小波神经网络、小波模糊神经网络、小波分形等方法。另外，人们也期待着小波与其它理论的进一步的广泛综合应用，来解决更多的生产实际问题。

7 结束语

小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它的存在证明，小波基的构造及其结果分析都依赖傅立叶分析，二者是相辅相成的。以为小波反洗能处理所有问题、能代替傅立叶分析的想法是不妥的。但小波分析又不同于傅立叶分析，它所带来的局部化革命和多尺度分析的思想，已对许多科学产生多方面的影响，无论是古老的自然科学，还是新兴的高技术应用科学都受到小波分析的强烈冲击。小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经和必将广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机器故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方，都可以使用小波分析，小波分析在超越傅立叶分析的同时与傅立叶分析互相补充，螺旋式向前发展。

参考文献

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勘探.2003年,第2期.

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范文五：小波分析的理解

小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。小波由一族小波基函数 构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。采用小波分析最大优点 是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。小波分析具有发现其 他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械 故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常 用的小波函数有 Haar 、 Daubechies(dbN)、 Morlet 、 Meryer 、Symlet 、Coiflet 、Biorthogonal 小波等15种。但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。 另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较 大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。由于小波函数家族成员较多，进行 小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。

根据实际运用的经验，Morlet 小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别 特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波用于材料探伤；Shannon 正交基用于差 分方程求解。

现在对小波分解层数与尺度的关系作如下解释：

是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？

比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N 为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层。 但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？

[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N 为分解层数, 不是尺度,' 以wname' 是DB 小波为例, 如DB4, 4为消失矩, 则一般滤波器长度为8, 阶数为7.

wavedec 针对于离散,CWT 是连续的。

多尺度又是怎么理解的呢？

多尺度的理解: 如将0-pi 定义为空间V0, 经过一级分解之后V0被分成0-pi/2的低频子空间V1和pi/2-pi的高频子空间W1, 然后一直分下去.... 得到 VJ+WJ+....W2+W1. 因为VJ 和WJ 是正交的空间, 且各W 子空间也是相互正交的. 所以分解得到了是相互不包含的多个频域区间, 这就是多分辩率分析, 即多尺度分析.

当然多分辨率分析是有严格数学定义的, 但完全可以从数字滤波器角度理解它. 当然, 你的泛函学的不错, 也可以从函数空间角度理解.

是不是说分解到W3、W2、W1、V3就是三尺度分解？

简单的说尺度就是频率，不过是反比的关系．确定尺度关键还要考虑你要分析信号的采样频率大小，因为根据采样频率大小才能确定你的分析频率是多少．（采样定理）．然后再确定你到底分多少层．

假如我这有一个10hz 和50hz 的正弦混合信号，采样频率是500hz ，是不是就可以推断出10hz 和50hz 各自对应的尺度了呢？我的意思是，是不是有一个频率和尺度的换算公式？ 实际频率＝小波中心频率×采样频率/尺度

在小波分解中，若将信号中的最高频率成分看作是1，则各层小波小波分解便是带通

或低通滤波器，且各层所占的具体频带为（三层分解）a1:0~0.5 d1: 0.5~1; a2:0~0.25 d2: 0.25~0.5; a3: 0~0.125; d3:0.125~0.25

可以这样理解吗？如果我要得到频率为0.125~0.25的信号信息，是不是直接对d3的分解系数直接重构之后就是时域信息了？这样感觉把多层分解纯粹当作滤波器来用了，又怎么是多分辨分析？？怎样把时频信息同时表达出来？？

这个问题非常好，我刚开始的时候也是被这个问题困惑住了，咱们确实是把它当成了滤波器来用了，也就是说我们只看重了小波分析的频域局部化的特性。但是很多人都忽略其时域局部化特性，因为小波是变时频分析的方法，根据测不准原理如果带宽大，则时窗宽度就要小。那么也就意味着如果我们要利用其时域局部化特性就得在时宽小的分解层数下研究，也就是低尺度下。这样我们就可以更容易看出信号在该段时间内的细微变化，但是就产生一个问题，这一段的频率带很宽，频率局部化就体现不出来了。

对d3进行单支重构就可以得到0.125－0.25的信号了，当然频域信息可能保存的比较好， 但如果小波基不是对称的话，其相位信息会失真。

小波变换主要也是用在高频特征提取上。

层数不是尺度，小波包分解中，N 应该是层数，个人理解对应尺度应该是2^N

小波分解的尺度为a ，分解层次为j 。 如果是连续小波分解尺度即为a 。离散小波分解尺度严格意义上来说为a ＝2^j,在很多书上就直接将j 称为尺度，因为一个j 就对应者一个尺度a 。其实两者是统一的。

小波基：一般从线性相位，消失矩，相似性，紧支撑等来选择。

Daubechies 小波基的构造

% 此程序实现构造小波基

% periodic_wavelet.m

function ss=periodic_wavelet;

clear;clc;

% global MOMENT; % 消失矩阶数

% global LEFT_SCALET; % 尺度函数左支撑区间

% global RIGHT_SCALET; % 尺度函数右支撑区间

% global LEFT_BASIS; % 小波基函数左支撑区间

% global RIGHT_BASIS; % 小波基函数右支撑区间

% global MIN_STEP; % 最小离散步长

% global LEVEL; % 计算需要的层数(离散精度）

% global MAX_LEVEL; % 周期小波最大计算层数

[s2,h]=scale_integer;

[test,h]=scalet_stretch(s2,h);

wave_base=wavelet(test,h);

ss=periodic_waveletbasis(wave_base);

function [s2,h]=scale_integer;

% 本函数实现求解小波尺度函数离散整数点的值

% sacle_integer.m

MOMENT=10; % 消失矩阶数

LEFT_SCALET=0; % 尺度函数左支撑区间

RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1; % 尺度函数右支撑区间

LEFT_BASIS=1-MOMENT; % 小波基函数左支撑区间

RIGHT_BASIS=MOMENT; % 小波基函数右支撑区间

MIN_STEP=1/512; % 最小离散步长

LEVEL=-log2(MIN_STEP); % 计算需要的层数(离散精度）

MAX_LEVEL=8; % 周期小波最大计算层数

h=wfilters('db10','r'); % 滤波器系数

h=h*sqrt(2); % FI(T)=SQRT(2)*SUM(H(N)*FI(2T-N)) N=0:2*MOMENT-1;

for i=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1

for j=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1

k=2*i-j+1;

if (k>=1&k<>

a(i,j)=h(k); % 矩阵系数矩阵

else

a(i,j)=0;

end

end

end

[s,w]=eig(a); % 求特征向量，解的基

s1=s(:,1);

s2=[0;s1/sum(s1);0]; % 根据条件SUM(FI(T))=1,求解;

% 本函数实现尺度函数经伸缩后的离散值

% scalet_stretch.m

function [s2,h]=scalet_stretch(s2,h);

MOMENT=10; % 消失矩阶数

LEFT_SCALET=0; % 尺度函数左支撑区间

RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1; % 尺度函数右支撑区间

LEFT_BASIS=1-MOMENT; % 小波基函数左支撑区间

RIGHT_BASIS=MOMENT; % 小波基函数右支撑区间

MIN_STEP=1/512; % 最小离散步长

LEVEL=-log2(MIN_STEP); % 计算需要的层数(离散精度）

MAX_LEVEL=8; % 周期小波最大计算层数

for j=1:LEVEL % 需要计算到尺度函数的层数

t=0;

for i=1:2:2*length(s2)-3 % 需要计算的离散点取值（0，1，2，3 -> 1/2, 3/2, 5/2) t=t+1;

fi(t)=0;

for n=LEFT_SCALET:RIGHT_SCALET; % 低通滤波器冲击响应紧支撑判断

if ((i/2^(j-1)-n)>=LEFT_SCALET&(i/2^(j-1)-n)<=right_scalet) %="">

fi(t)=fi(t)+h(n+1)*s2(i-n*2^(j-1)+1); % 反复应用双尺度方程求解

end

end

end

clear s

n1=length(s2);

n2=length(fi);

for i=1:length(s2)+length(fi) % 变换后的矩阵长度

if (mod(i,2)==1)

s(i)=s2((i+1)/2); % 矩阵奇数下标为小波上一层(0,1,2,3)离散值

else

s(i)=fi(i/2); % 矩阵偶数下标为小波下一层(1/2,3/2,5/2)(经过伸缩变换后) 的离散值 end

end

s2=s;

end

% 采用双尺度方程求解小波基函数 PSI(T)

% wavelet.m

function wave_base=wavelet(test,h);

MOMENT=10; % 消失矩阶数

LEFT_SCALET=0; % 尺度函数左支撑区间

RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1; % 尺度函数右支撑区间

LEFT_BASIS=1-MOMENT; % 小波基函数左支撑区间

RIGHT_BASIS=MOMENT; % 小波基函数右支撑区间

MIN_STEP=1/512; % 最小离散步长

LEVEL=-log2(MIN_STEP); % 计算需要的层数(离散精度）

MAX_LEVEL=8; % 周期小波最大计算层数

i=0;

for t=LEFT_BASIS:MIN_STEP:RIGHT_BASIS; % 小波基支撑长度

s=0;

for n=1-RIGHT_SCALET:1-LEFT_SCALET % g(n)取值范围

if((2*t-n)>=LEFT_SCALET&(2*t-n)<=right_scalet) %="">

s=s+h(1-n+1)*(-1)^(n)*test((2*t-n)/MIN_STEP+1); % 计算任意精度的小波基函数值 end

end

i=i+1;

wave_base(i)=s;

end

一维数字滤波器filter():

Y=filter(B, A, X) 由传递函数模型向量B 、A 描述的滤波器对向量X 中的元素进行滤波，并将结果数据存放在向量Y 中。

[Y, Zf]=filter(B, A, X, Zi) 给出了滤波器延时的初始和终止条件Zf 和Zi 。

例子：

人体心电信号在测量过程中往往受到工业高频干扰，所以必须经过低通滤波处理后，才能判断心脏功能的有用信息。下面给出一实际心电图信号采样序列样本x(n)，其中存在高频干扰。在试验中以x(n)作为输入序列，滤除其中的干扰成分。

{ x(n) } = {-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4, -2,-4,8,12,12,10,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0}

Matlab 程序设计如下：

X=[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0];

figure;

plot(X);

xlabel('时间');

ylabel('幅值');

wp=40; ws=50; rp=0.5; rs=40; Fs=200;

[N, Wn] = buttord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs);

[b, a]=butter(N, Wn);

figure;

[H, W]=freqz(b, a);

plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid;

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅值');

Y=filter(b,a,X);

figure

plot(Y)

xlabel('时间');

ylabel('幅值');

figure

psd(X, [ ],200);

figure

psd(Y, [ ],200);

end;

分析这段程序可知包括以下几部分：

（1）首先绘制原始数据的图形；

（2）设计一个Butterworth 低通滤波器并绘制出它的幅频响应曲线；

（3）用设计的滤波器对原数据进行滤波；

（4）绘制滤波以后的数据图形；

（5）绘制原数据功率谱图形；

（6）绘制滤波以后数据功率谱图形。

滤波器的主要目的是按照设计者的目的，突出或抑制一些频段。在本程序中，设计了一个低通滤波器，主要是抑制高频段突出低频段；在心电图信号分析中，要滤除工业高频干扰，突出低频部分.

有时某些信号容易受到噪声污染，导致无法直接辨别信号的发展趋势。 由于信号的发展趋势往往代表信号的低频部分，因此通过信号的多尺度分解，在分解的低频系数中可以观察到信号的发展趋势。

由于噪声的污染，从原始信号x 中无法观察信号的发展趋势。通过进行五尺度的小波分解，在小波分解的低频系数重构中可以明显地看到原始信号的发展趋势。这是因为信号的发展趋势往往是信号的低频成分，在小波变换中对应着最大尺度小波变换的低频系数。此外还可以在低频中理解它，在进行低频成分的尺度分解时，随着分解层数的增加，它所含的高频成分会随之减少，因此随着尺度的增加，更多高频的信号被滤掉，可以看到信号的发展趋势。

1. 监测信号的自相似性

直观上讲，小波分解系数表示了信号与小波之间的“相似指数”，如果相似程度越高，则相似指数越大。因此如果一个信号的不同的尺度之间相似，则小波系数在不同的尺度上也应该相似。因此可以通过小波分解检测信号的自相似性，即检测信号的分形特征。实践表明，通过小波分解可以很好地研究信号或图像的分形特征。

下面通过一个简单的例子来说明小波分析在检测信号自相似性中的应用，待检测的信号是经过反复迭代生成的信号，因此具有自相似性。

程序代码如下：

load vonkoch;

x=vonkoch;

subplot(211);

plot(x);

title('原始信号');

subplot(212);

%进行一维连续小波变换

f=cwt(x,[2:2:128],'coif3','plot');

从图中可以看出分解后的小波系数在许多尺度上看上去都非常相似。

2. 信号的奇异性检测

信号的突变点和奇异点等不规则部分通常包含重要信息。

一般信号的奇异性分为两种情况：（1）信号在某一时刻其幅值发生突变，引起信号的非连续，这种类型的突变称为第一类型的间断点； （2）信号在外观上很光滑，幅值没有发生突变，但是信号的一阶微分有突变发生且一阶微分不连续，这种类型的突变称为第二类型的间断点。

应用小波分析可以检测出信号中的突变点的位置、类型以及变化的幅度。下面介绍小波分析在信号奇异性检测中的应用。

（1）第一类型间断点的检测

下面举例说明小波分析用于检测第一类型的间断点。

在本例中，信号的不连续是由于低频特征的正弦信号在后半部分突然有高频特征的正弦信号加入，首先利用傅里叶变换分析对信号在频域进行分析，发现无检测突变点，接着利用小波分析进行分析，结果证明它能够准确地检测出了信号幅值突变的位置，即高频信号加入的时间点。

程序代码如下：

load freqbrk;

x=freqbrk;

%对信号进行傅里叶变换

f=fft(x,1024);

f=abs(f);

figure;

subplot(211);

plot(x);

subplot(212);

plot(f);

%使用db6小波进行6层分解

[c,l]=wavedec(x,6,'db6');

figure(2);

subplot(811);

plot(x);

ylabel('x');

%对分解的第六层低频系数进行重构

a=wrcoef('a',c,l,'db6',6);

subplot(812);

plot(a);

ylabel('a6');

for i=1:6

%对分解的第6层到第1层的高频系数分别进行重构

d=wrcoef('d',c,l,'db6',7-i);

subplot(8,1,i+2);

plot(d);

ylabel(['d',num2str(7-i)]);

end

由图中可以看出，由于傅里叶变换不具有时间分辨力，因此无法检测信号的间断点。而在小波分析的图中，在信号的小波分解的第一层高频系数d1和第二层高频系数d2中，可以非常清楚地观察到信号的不连续点，用db1小波比用db6小波要好。

这个例子也表明小波分析在检测信号的奇异点时具有傅里叶变换无法比拟的优越性，利用小波分析可以精确地检测出信号的突变点。

在信号处理中，信号中通常都包含噪声，而噪声的存在增加了辨别信号不连续点的难度。一般来说，如果信号小波分解的第一层能够估计出噪声的大体位置，则信号的间断点就能够在小波分解的更深层次上表现出来。

下面通过例子说明如何应用小波分析识别某一频率区间上的信号：

在本例中，使用小波分析一个由三个不同频率的正弦信号叠加的信号，看是否能将这三个正弦信号区分开来，结果证明小波分析可以很好地识别某一频率区间的信号。 程序代码如下：

load sumsin;

x=sumsin;

figure;

subplot(611);

plot(x);

ylabel('x');

title('原始信号以及各层近似信号');

%使用db3小波进行5层分解

[c,l]=wavedec(x,5,'db3');

for i=1:5

%对分解的第5层到第1层的低频系数分别进行重构

a=wrcoef('a',c,l,'db3',6-i);

subplot(6,1,i+1);

plot(a);

ylabel(['a',num2str(6-i)]);

end

figure;

subplot(611)

plot(x);

ylabel('x')

for i=1:5

%对分解的第5层到第1层的高频系数进行重构

d=wrcoef('d',c,l,'db3',6-i);

subplot(6,1,i+1);

plot(d);

ylabel(['d',num2str(6-i)]);

end

分析：

在本例中，该信号是由周期分别为200、20、2的信号组成的，它们的采样周期均为1，为方便起见，在此分别称为低频、中频和高频的正弦信号。从图中可以看出，低频、中频和高频信号分别对应于分解的近似信号a4、细节信号d4以及细节信号d1。

MATLAB 小波函数总结

2007-05-23 09:04:16| 分类： matlab 编程|字号 订阅

函数 含义 *:小波通用函数

Allnodes 计算树结点

appcoef 提取一维小波变换低频系数

appcoef2 提取二维小波分解低频系数

bestlevt 计算完整最佳小波包树

besttree 计算最佳(优) 树

* biorfilt 双正交样条小波滤波器组

biorwavf 双正交样条小波滤波器

* centfrq 求小波中心频率

cgauwavf Complex Gaussian小波

cmorwavf coiflets 小波滤波器

cwt 一维连续小波变换

dbaux Daubechies 小波滤波器计算

dbwavf Daubechies 小波滤波器 dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬) 熵标准

depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式

detcoef 提取一维小波变换高频系数

detcoef2 提取二维小波分解高频系数

disp 显示文本或矩阵

drawtree 画小波包分解树(GUI)

dtree 构造DTREE 类

dwt 单尺度一维离散小波变换

dwt2 单尺度二维离散小波变换

dwtmode 离散小波变换拓展模式

* dyaddown 二元取样

* dyadup 二元插值

entrupd 更新小波包的熵值

fbspwavf B 样条小波

gauswavf Gaussian 小波

get 获取对象属性值

idwt 单尺度一维离散小波逆变换

idwt2 单尺度二维离散小波逆变换

ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式

* intwave 积分小波数

isnode 判断结点是否存在

istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值

iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换

iswt2 二维逆SWT 变换

leaves Determine terminal nodes

mexihat 墨西哥帽小波

meyer Meyer 小波

meyeraux Meyer 小波辅助函数

morlet Morlet 小波

nodease 计算上溯结点

nodedesc 计算下溯结点(子结点)

nodejoin 重组结点

nodepar 寻找父结点

nodesplt 分割(分解) 结点

noleaves Determine nonterminal nodes

ntnode Number of terminal nodes

ntree Constructor for the class NTREE

* orthfilt 正交小波滤波器组

plot 绘制向量或矩阵的图形

* qmf 镜像二次滤波器

rbiowavf Reverse biorthogonal spline wavelet filters

read 读取二进制数据

readtree 读取小波包分解树

* scal2frq Scale to frequency

set

shanwavf Shannon wavelets

swt 一维SWT(Stationary Wavelet Transform)变换

swt2 二维SWT 变换

symaux Symlet wavelet filter computation.

symwavf Symlets 小波滤波器

thselect 信号消噪的阈值选择

thodes References

treedpth 求树的深度

treeord 求树结构的叉数

upcoef 一维小波分解系数的直接重构

upcoef2 二维小波分解系数的直接重构

upwlev 单尺度一维小波分解的重构

upwlev2 单尺度二维小波分解的重构

wavedec 单尺度一维小波分解

wavedec2 多尺度二维小波分解

wavedemo 小波工具箱函数demo

* wavefun 小波函数和尺度函数

* wavefun2 二维小波函数和尺度函数

wavemenu 小波工具箱函数menu 图形界面调用函数

* wavemngr 小波管理函数

waverec 多尺度一维小波重构

waverec2 多尺度二维小波重构

wbmpen Penalized threshold for wavelet 1-D or 2-D de-noising wcodemat 对矩阵进行量化编码

wdcbm Thresholds for wavelet 1-D using Birge-Massart strategy wdcbm2 Thresholds for wavelet 2-D using Birge-Massart strategy wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩

wdencmp De-noising or compression using wavelets

wentropy 计算小波包的熵

wextend Extend a vector or a matrix

* wfilters 小波滤波器

wkeep 提取向量或矩阵中的一部分

* wmaxlev 计算小波分解的最大尺度

wnoise 产生含噪声的测试函数数据

wnoisest 估计一维小波的系数的标准偏差

wp2wtree 从小波包树中提取小波树

wpcoef 计算小波包系数

wpcutree 剪切小波包分解树

wpdec 一维小波包的分解

wpdec2 二维小波包的分解

wpdencmp 用小波包进行信号的消噪或压缩

wpfun 小波包函数

wpjoin 重组小波包

wprcoef 小波包分解系数的重构

wprec 一维小波包分解的重构

wprec2 二维小波包分解的重构

wpsplt 分割（分解）小波包

wpthcoef 进行小波包分解系数的阈值处理

wptree 显示小波包树结构

wpviewcf Plot the colored wavelet packet coefficients. wrcoef 对一维小波系数进行单支重构

wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构

wrev 向量逆序

write 向缓冲区内存写进数据

wtbo Constructor for the class WTBO

wthcoef 一维信号的小波系数阈值处理

wthcoef2 二维信号的小波系数阈值处理

wthresh 进行软阈值或硬阈值处理

wthrmngr 阈值设置管理

wtreemgr 管理树结构

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