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范文一：复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间的求法
一、基础知识回顾
1. 复合函数的定义：如果y 是u 的函数，记为y=f(u),u 又是x 的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不为空，则确定了一个y 关于x 的函数 , 这时y 叫x 的复合函数，其中x 叫做 ，u 叫 ，y 叫 ，y=f(u)u=g(x)叫.
2. 常见基本初等函数的单调区间：
（1）一次函数y=kx+b(k≠0) 定义域： ；
当k 时，函数单调递增区间： ；
当k 时，函数单调递减区间： .
（2）反比例函数y =k (k ≠0) 定义域： x
当k 时，函数单调递减区间： ；
当k 时，函数单调递增区间： ；
（3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 定义域：；
开口向 （a 0） 单调递增区间： ；单调递减区间： . 开口向 （a 0） 单调递增区间： ；单调递减区间： .
（4）指数函数y =a (a >0且a ≠1) 定义域： ；
当 a 时，函数单调递减区间： ；
当a 时，函数单调递增区间： .
（5）对数函数y=loga x(a＞0，a ≠1) 定义域：
当 a 时，函数单调递减区间： ；
当a 时，函数单调递增区间： . x
（6）幂函数y =x 定义域： ；单调递增区间 .
注：求函数的单调区间首先求函数的 .
二、实践演练
例：求下列函数的单调区间.
（1）y =-x +4x -3
（2）y =2-x 2+4x -32 变式 y =（）
变式 y =log 1
212-x 2+4x -3 （3）y =log 2
（4）y =(-x 2+4x -3) (-x 2+4x -3) -x +4x -3 变式 y =2
(-x 2+4x -3) 2-x 2+4x -3 拓展 1. 讨论函数y =log a 的单调区间.
1 2. 已知函数y =log 2(x 2-ax -a )在-∞, 1-上是增函数，求实数a 的取值范围. ()
总结 求复合函数单调区间的步骤：
范文二：复合函数单调区间的求法
复合函数单调区间的求法 一、简单函数单调区间
中学阶段我们说的简单函数即为初等函数
1) 一次函数 形如 yaxba,，,(0)
k2) 反比例函数 形如 yk,,(0)x
23) 二次函数 形如 yaxbxca,，，,(0)
二、复合函数单调性的判断:
设，，，都是单调函数，则在，，y,f(x)u,g(x)x,[a,b]u,[m,n],,[a,b]y,fgx上也是单调函数。
?若是上的增函数，则与定义在上的函数的单，，[,]mn,,[a,b]y,fgxy,f(x)u,g(x)调性相同。
?若是上的减函数，则与定义在上的函数的单，，[,]mn,,[a,b]u,g(x)y,fgxy,f(x)
调性相同。
即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数。简而言之“同为增，异为减”。
三、复合函数单调区间的求解步骤:
?求复合函数的定义域;
?把复合函数分解成若干个常见的基本函数;
?分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性;
?由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间.
1 例1(求函数的单调区间 y,2x
2例2 求函数的单调区间. y,x,4x，3
22例3 已知，试确定的单调区间. f(x),8，2x,xy,f(2,x)
2例4 若函数在上是减函数，试判断的单调区间。 fx()(,),,，,，，y,f2x,x
评注:复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间，在函数学习中应树立“定义域优先”的原则。另外，对初学者来说，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步。
作业
21、已知 fxxx,,，，241，，
(1)求函数的单调区间
(2)求在区间上的最大值与最小值; fx,1,2，，,,
1，，(3)求在区间上的最大值与最小值 ,1,fx，，,,2，，
22、已知函数， fx()fxxx()23,,,，
(1)求fx()的单调区间;
(2)求在其定义域内的最大值，最小值。 fx()
范文三：复合函数解析式的几种求法
复合函数解析式的几种求法
复合函数的解析式是高中数学中一个重要内容，学好它有助于我们深入理解函数的本质，对求复合函数的定义域、值域甚至整个高中数学的学习都有很重要的作用。其主要有以下几个题型：
题型一
已 知 函 数 y =f（ x）的 解 析 式，求 函 数 y =f［ g（ x）］的解析式
解法：将函数 y = f（ x）中的全部 x都用 g（ x）来代换，即可得到复合函数 y = f［ g（ x ）］的解析式 .
例 1 若 f（x ）= 3x+ 1，g （x ）= x2，则 f｛f ［g （x ）］｝= .
解：f ｛f ［ g（ x）］｝= f［3g （ x）+ 1］ = 3［3g （ x）+ 1］+ 1
=9g（ x）+ 4 = 9x2+ 4.
题型二
已 知 函 数 y =f［ g（ x）］的解析式，求函数 y =f（ x）的解析式 .
解法：令 t = g（ x），由此解出 x = h（ t），求出以 t为自变量的函数 y = f（ t）的解析式 .因为y = f（ t）和 y = f（ x）为同一函数，所以将函数 y = f（ t）中的全部 t都换成 x，即可得到函数 y =f（ x）的解析式 .
例 2 若 f（3x + 1）= 6x +4，则 f（ x）= .
解：令 t = 3x + 1，则 x =(t- 1)/3 ，∴ f（ t）= 6 × (t- 1)/3 + 4 =2t+ 2.
∴ f（ x）= 2x + 2.
题型三
已 知 函 数 y =f［ g（ x）］的解析式，求函数 y =f［ h（ x）］的解析式 .
解法：利用题型二，由函数 y = f［ g（ x）］的解析式，可求出函数 y = f（ x）的解析式，再利用题型一，由函数 y = f（ x）的解析式，可求出函数 y = f［ h（ x）］的解析式 . 例 3 若 f（2x - 1）= 4x2 + 1，则 f（ x + 1）=
解：令 t = 2x - 1，则 x =（t+ 1）/2，
∴ f（ t）= 4 ×［（t+ 1）/2］2 + 1=（ t+ 1） 2+ 1，
∴ f（ x）=（ x + 1）2 + 1，
∴ f（x + 1）=［（x + 1）+ 1］2 + 1 = x2 + 4x + 5.
题型四
利用待定系数法求函数的解析式 .
例 4 若 f（ x）为一次函数，f （2x+ 3）+ f（- x）=x+ 2，则 f（ x）= . 解：令 f（x ）= ax+ b，
则 f（2x+ 3）= a（2x+ 3）+ b= 2ax + 3a + b，f （- x）= - ax + b.
由f （2x+3）+ f（- x）= 3x+ 2知，（2ax+3a+ b）+（- ax+b）= 3x + 2， 即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然，a = 3，解得 3a + 2b = 2 , b = -7/2. ∴ f（ x）= 3x -7/2.
题型五
利用解方程组求函数的解析式 .
例 5 若f(x)+2f(-x)=x2-x,求f(x)解析式
解：
f(-x)+2f(x)=x2+x (1)
f( x)+2f(-x)=x2-x (2)
2*(1)式-（2）式整理得：3f(x)=x2+3x 所以f(x)=(x2+3x)/3
范文四：复合函数单调区间的求法
复合函数单?调区间的求?法
汪 卫 国
(孝昌二中，湖北 43290?0)
函数的单调?性是函数的?最重要性质?之一，它有很广泛?的应用，在整个高中?数学中占有?重要的地位?，每年全国各?地的高考试?题几乎都会?涉及到函数?的单调性，而且多数情?况下都是考?察难易程度?不同的复合?函数的单调?性，因此，掌握复合函?数单调区间?的求法就显?得尤为重要?。本文先通过?介绍求解复?合函数单调?区间的一般?步骤，再结合一些?相应的例题?，以帮助同学?们切实掌握?复合函数单?调区间的求?法。
定义 由函数和所?构成的函数?称为复合函?数，其中通常y,f(u)u,g(x)y,f[g(x)]
称?为外层函数?，称为内层函?数。 y,f(u)u,g(x)
求上述复合?函数的单调?区间，我们一般可?以按照下面?这几个步骤?来进行: y,f[g(x)]
(1) 写出构成原?复合函数的?外层函数和?内层函数; u,g(x)y,f(u)
A、B(2) 求外层函数?的单调区间?(包括增区间?和减区间)等; y,f(u)
M(3) 令内层函数?，求出的取值?范围; xu,g(x),A
MM(4) 若集合是内?层函数的一?个单调区间?，则便是原复?合函数的一?u,g(x)
MM个单调区间?;若不是内层?函数的一个?单调区间，则需把划分?成内层y,f[g(x)]u,g(x)
函数?的若干个单?调子区间，这些单调子?区间便分别?是原复合函?数的单调区?u,g(x)y,f[g(x)]间;
(5) 根据复合函?数“同增异减”的复合原则?，分别指出原?复合函数在?集合或这y,f[g(x)]M些?单调子区间?的增减性;
(6) 令内层函数?，同理，重复上述(3)、(4)、(5)步骤。若外层函数?u,g(x),By,f(u)
CD还有更多的?单调区间、，则同步骤(6)类似，不断地重复?上述步骤。
x1y,(),2 例1 求函数的单?调区间 2
x1u,(),2 解 原函数是由?外层函数和?内层函数复?合而成的; y,u2
易知是外层?函数的单调?增区间; [0，，,)y,u
x1u,(),2,0x令，解得的取值?范围为(,,,,1]; 2
x1u,(),2由于是内层?(,,,,1]函数的一个?单调减区间?，于是便是原(,,?,,1]函数2
的一个?单调区间;
(,,,,1]根据复合函?数“同增异减”的复合原则?知，是原函数的?单调减区间?。
2 例2 求函数的单?调区间. y,log(3,2x,x)12
2 解 原函数是由?外层函数和?内层函数复?合而成的; y,loguu,3,2x,x12
易知是外层?函数的单调?减区间; y,logu(0,，,)12
2令，解得的取值?范围为; u,3,2x,x,0x(,3,1)
2结合二次函?数的图象可?知不是内层?函数的一个?单调区间，但可以u,3,2x,x(,3,1)
把区?间划分成内?层函数的两?个单调子区?间和，其中是其单?调增区(,3,1)(,3,,1][,1,1)(,3,,1]间，是其单调减?区间; [,1,1)
于是由复合?函数“同增异减”的复合原则?可知，是原函数的?单调减区间?，是(,3,,1][,1,1)原函数的?单调增区间?。
4y, 例3 求函数的单?调区间. 2x,x,2
42y, 解 原函数是由?外层函数和?内层函数复?u,x,x,2合而成的; u
4y,易知和都是?外层函数的?单调减区间?; (,,,0)(0,，,)u
2u,x,x,2,0令，解得的取值?范围为; x(,1,2)
2u,x,x,2结合二次函?数的图象可?知不是内层?函数的一个?单调区间，但可以(,1,2)
111(,1,][,2)(,1,]把区?间划分成内?层函数的两?个单调子区?间和，其中是其单?调减(,1,2)222
1[,2)区间，是其单调增?区间; 2
1(,1,]于是根据复?合函数“同增异减”的复合原则?知，是原函数的?单调增区间?，2
1[,2)是原函数的?单调减区间?。 2
2u,x,x,2,0同理，令，可求得是原?函数的单调?增区间，是原函数(,,,,1)(2,，,)的?单调减区间?。
11(,1,][,2)综上可知，原函数的单?调增区间是(,,?,,1)和，单调减区间?是和(2,，,). 22
范文五：复合函数解析式的几种求法
复合函数解析式的几种求法
题型一 已 知 函 数 y =f（ x ）的 解 析 式，求 函 数 y =f［ g （ x ）］的解析式 解法：将函数 y = f（ x ）中的全部 x 都用 g （ x ）来代换，即可得到复合函数 y = f［ g （ x ）］的解析式
例 1 若 f （x ）= 3x+ 1，g （x ）= x2，则 f ｛f ［g （x ）］｝=
解：f ｛f ［ g （ x ）］｝
= f［3g （ x ）+ 1］
= 3［3g （ x ）+ 1］+ 1
=9g（ x ）+ 4
= 9x2+ 4.
题型二 已 知 函 数 y =f［ g （ x ）］的解析式，求函数 y =f（ x ）的解析式 . 解法：令 t = g（ x ），由此解出 x = h （ t ），求出以 t 为自变量的函数 y = f （ t ）的解析式 . 因为y = f（ t ）和 y = f（ x ）为同一函数，所以将函数 y = f（ t ）中的全部 t 都换成 x ，即可得到函数 y =f（ x ）的解析式
例 2 若 f （3x + 1）= 6x +4，则 f （ x ）=
解：令 t = 3x + 1，则 x =(t- 1)/3 ，
∴ f （ t ）= 6 × (t- 1)/3 + 4
=2t+ 2.
∴ f （ x ）= 2x + 2.
题型三 已 知 函 数 y =f［ g （ x ）］的解析式，求函数 y =f［ h （ x ）］的解析式 解法：利用题型二，由函数 y = f［ g （ x ）］的解析式，可求出函数 y = f（ x ）的解析式，再利用题型一，由函数 y = f（ x ）的解析式，可求出函数 y = f［ h （ x ）］的解析式 . 例 3 若 f （2x - 1）= 4x2 + 1，则 f （ x + 1）=
解：令 t = 2x - 1，则 x =（t+ 1）/2，
∴ f （ t ）= 4 ×［（t+ 1）/2］2 + 1
=（ t+ 1）2+ 1，
∴ f （ x ）=（ x + 1）2 + 1，
∴ f （x + 1）=［（x + 1）+ 1］2 + 1
= x2 + 4x + 5.
题型四 利用待定系数法求函数的解析式
例 4 若 f （ x ）为一次函数，f （2x+ 3）+ f（- x）=x+ 2，则 f （ x ）=
解：令 f （x ）= ax+ b，
则 f （2x+ 3）= a（2x+ 3）+ b= 2ax + 3a + b，f （- x）= - ax + b.
由f （2x+3）+ f（- x）= 3x+ 2知，（2ax+3a+ b）+（- ax+b）= 3x + 2，
即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然，a = 3，解得 3a + 2b = 2 , b = -7/2.
∴ f （ x ）= 3x -7/2.
题型五 利用解方程组求函数的解析式 .
例 5 若f(x)+2f(-x)=x2-x, 求f(x)解析式
解：f(-x)+2f(x)=x2+x (1)
f( x)+2f(-x)=x2-x (2)
2*(1)式-（2）式整理得：
3f(x)=x2+3x
所以f(x)=(x2+3x)/3
例6 （2009安徽卷理）已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x 2+8x -8，则曲线
y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程是( )
A. y =2x -1 B. y =x C. y =3x -2 D. y =-2x +3
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