范文一:【doc】关于对称函数的性质之补充研究
关于对称函数的性质之补充研究
象.吁纷西数印尔弘一才}静
抗州太学(白拣科学版),第22卷.第4期,1995年10月
JourIIalofHangzhouUniversity(Natura|Science)
,,
122,No.4.October.1995
,/关于对称函数的性质之补充研究'
,/
.,一,
;一多/竺苎苎.'(电子工程系)
下(I,\
在与一或一非代数系统中存在一种构成完备集的对称函数:基本对称函数.其定义如
下:.
S.一j_2…i.,
Sl一而_2…r_+lXzZ—a…__+…+
S一12…j.
即为所有i个变量取原变量,余下—i个变量取反变量组成的布尔积(相与)之或.它 表示当n个输入变量中任意i个变量为1,其余变量为0时,函数值为1;否则函数值为0.
任意对称函数可表示为
s一A..s..(2),
式中A?(0,1),"?表示与运算,"?"表示或运算.关于对称函数的性质可参阅文献 [2]C33,本文将对对称函数的性质作补充研究.
定理1任意二个基本对称函数之布尔积必为零,即有
S?S=o(?).(3).
证明根据基本对称函数之定义可得 S一l_-4-mt2 -
4-…-4-',
S.一.
-
4-m.
-
4-…-4-.
式中mf-为i个变量取原变量,其余取反变量组成的某最小项;m为个变量取原变量,
其
余取反变量组成的最小项;"+表示或运算.显而易见,当i?时S包含的最小项不可
能
与s,中包含的最小项相重复.根据最小项的性质可得:
m
l
'一
0-
而?S一(优.1-4-优.:-4-…-4-优t,)'(优,l"4-优-4-…-4-优)
一m'
.
优
.
十…十优'.'优十优'优l +…+mz'-4-mr ,
'mJ
1
-
4-…-4-mr
,
'
,'
一
0.
证毕.
定理2
s_.._J(1.")?Ds占1(1..'')一s….(I…X一),(4) 式中s…1.-1o,o')表示该函数在n个变量中有n--,n个变量为1时函数值为l;(
…
)一[(口..')U(,..?,)]一[(口_.1)n(6",)],"U"为并运算,"n" 为交运算.
-
浙江省自然科学基金资胁项目
本文1994年9月5日收到
第4期陈偕雄t关于对称面数的性质之丰}充研究437 证明设(d_.,d)=(",apn(b--,6,),(口.…,口);(_.'q,),(d1. …,
d),(bl'..?,n)=(6,.1?,)一(d.,…,d).由定理1可得
.1....(1,…,)一只l(,…,)+…+.(1.'-',) 一
s-J(卫1,…,')0…0S..(善.,…,),
攀似地有s….br,x..''):S.1(,..',')0…0s,(,..','), s1
.
(j,…,一.)S
I
(?,…,)0…?p&.(xl,…,.).
于是
s...,(..')0s..(1,..',)=s'(.-'.)0…0s'(''_',.) 0s(.-,')0…0s('.')0s'('.'.)0…
0s(一,)0s(",')0…0岛,(1?,.)
一
s('..?,')0…0s'(,…,.)0s'(xl'.'?,.)0…0s'('.'). 故有(c.,…,C.)=(n,…,n)U(,…,).
根据设定存在如下关系;
(.…,口)n(dl,…,d):(,…,)n(,…,d)=0. 因此上式可改写成
(c.,…)=(口,…,口)U(,…,)U(d.,…,)一(1?,d) 一
(n1,…,aI,)U(61,…?)一(dl,…,)
.=[.,…,n,)U(,…,)]一[.,…,)n(61,…,)].证毕. 定理3
s,....,(1,…?')0s.I.,(j,…,一):s(…?')?(5) 式中
(cl,…,"):(o.1,…,n)一[(口1,…,)U(6I,…,)]U[(4?,…,口,)n(bl?…?6口)]
证明根据符合运算与异或运算之间的关系可以得到 s....一..(,…,')(!)s..一.(,…,.)=
ii:
利用对称函数之补的性质以及定理2,上式可写成. s.1....'J(1,…,')0s.1.,(I,…,一)s.….(l,…,一)? U(.,…,)]一[(矗.,…,)n(,…,)])
U(6,…,)]U[(n,…,口P)n(6,…,6')]) 参考文献
1CheIIX.RadioandElectronicEngineer,1983}53(2)I67—4 2pea'~maanJR.TheDesignolDigit矗1Systems,NewYorkIMeGraw-l'~ll,1972
3陈偕雄.科技通报,1990I6(1)tl一5. TheComplementalResearchonProperties
ofSymmetricFunctions ChenXiexiong
(DepartmentofElectronicEngineering)
))
,,
))
n
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一一
)
C
中|.毕
式证
范文二:函数图象关于点对称性12
函数图象关于点对称性
新疆喀什麦盖提县第一中学:帕提古·阿不都热西提
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决,对称关系还充分体现了数学的之美。对称性,在几何中研究的较多,在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I. 函数自身关于点对称性 命题1:函数
的图像关于点
对称的充要条件是
(或者f (a +x ) +f (a -x ) =2b )
证明:(必要性)设的对称点
故
(充分性)设点
,∴也在
得证。
推论1:奇函数的图像关于原点对称。(证明略) 推论2:如果函数点
对称。(证明略) 推论3:函数证明:∵∴
,
的图像关于点
。 ,
满足
, 则函数
图象关于
是是也在
图像上任一点,∵点图像上,∴,必要性得证。 图像上任一点,则
,即
图像上,而点与点
关于点
,∵,故点对称,充分性关于点
,即
1
由命题1有函数
的图像关于点
满足且
,则对称。
且函数
在区间
例1 已知定义域为的函数上单调递增,如果
的值( )
A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析:先
代替,使
的图像关于点
变形为对称。
在区间
,它的特上单调递增,
征就是推论2,因此函数在区间个单位。
解:∵∴∴以选A
例2 如果函数
满足
,求该函数的对称中心。
且在区间,∵ ∴
上单调递增,
∴函数
的图像关于点
对称,. 所
上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
解:因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心。 例3 已知定义在
上的函数都有
,且
的图象关于点
、
,则
的值为( )。 成中心对称,对任意的实数
A. 2 B. -1 C. 0 D. 1
解:由函数
的图象关于点,∴
2
成中心对称,得
; 令
则
, 于是
,又是
偶函数,且数,则
∴
=
,
,即是以3为周期的函, =1.
例4 函
数
.
解:由推论3可
知
,即
.
的图象关于
点成中心对称,则实
数
图象关于
点成中心对称, 所
以
II. 不同函数关于点对称性 命题1: 函数证明:设
与是函数, 因为点
以函数
命题2:设
数
对一切
与
均为常数,函数
的图像关于点
成中心对称。
的对称点是的图象上,所
成中心对称。
的定义域均为,那么函
成中心对称图形的充要条件是:
图象上的任意一点,则点关于
在函数
的图像关于点
) 与函数
的图象与函数
, 均有
的图象关于
b.
证明:(1
)充分性:设
则点关于
的对称点是
是函数
,
且
图象上的任意一点,
.
3
所以
一点,也即函数
象上;同理可证,函数
的图象上。 (2) 必要性:设点于点∴
.
的对称点
,
即点
图象上任意一关于点
是函数图象上的
的图
的对称点都在函数
图象上任意一关于点
的对称点也都在函数
是函数
在函数
,
即
图象上的任意一点,则点关
图象上, ,也即对一切
,
均有
由(1)(2)证明可知:命题2成立。 推论1 :设象关于点证明:令则∴
∴由命题2,函数数
例1 已知函数图象 ( ) A. 关于直线
均为常数,则函数成中心对称。
的图象与函数的图
, , 对
对
均成立. 与函数
的图象,即函数成中心对称。
与
的
的图象与函
均成立。
的图象关于点
是定义在上的函数,那么
对称. B.关于直线对称.
4
C. 关于点简解:令
对称. D. 关于点对称。
, 则
对
均成立。 ∴
, 由:命题2可知选D 。
5
范文三:函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决,对称关系还充分体现了数学的之美。对称性,在几何中研究的较多,在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I. 函数自身关于点对称性 命题1:函数
(或者
证明:(必要性)设的对称点
故
(充分性)设点
,∴也在
得证。
推论1:奇函数的图像关于原点对称。 证明:设函数函数
是奇函数,则奇函数定义有 f (x ) +f (-x ) =0,由命题1可得
对称。
满足
, 则函数
图象关于
是是也在
的图像关于点
)
图像上任一点,∵点图像上,∴,必要性得证。 图像上任一点,则
,即
图像上,而点与点
关于点
,∵,故点对称,充分性关于点
,即
对称的充要条件是
图像关于源点
推论2:如果函数
点对称。(证明略) 推论3:函数证明:∵∴
,
的图像关于点
。 ,
1
由命题1有函数
的图像关于点
满足且
,则对称。
且函数
在区间
例1 已知定义域为的函数上单调递增,如果
的值( )
A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析:先
代替,使
的图像关于点
变形为对称。
在区间
,它的特上单调递增,
征就是推论2,因此函数在区间个单位。
解:∵∴∴以选A
例2 如果函数
满足
,求该函数的对称中心。(因为
且在区间,∵ ∴
上单调递增,
∴函数
的图像关于点
对称,. 所
上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心) 如果
为奇函数,并且
,求该函数的所有对称中心和对
,从而
为对称轴,
,
关于点
对称,所以点
关于点
的对,
称轴。(由周期性定义知周期为4,又按上例知x=-1为对称轴,所以例3 定义在上的函数则
解:由命题1可得函数
满足
为对称中心其中k ∈Z )
2
称
点也在函
数
;同理可得
.
图象上,所
以
,
,
,
即
;于是
例4 已知定义在
上的函数数都有则
,且
的图象关于点、
,
成中心对称,对任意的实
的值为( )。
A. 2 B. -1 C. 0 D. 1
解:由函数
的图象关于点,∴
偶函数,且数,
则
,
=
=1.
成中心对称,得
; 令
则,即
, 于是
,又是
是以3为周期的函
,∴
例4 函
数
.
解:由推论3可
知
的图象关于
点成中心对称,则实
数
图象关于
点成中心对称, 所以
3
,即例5
函数
.
.
的反函数的图象关于点
成中心对称,则实数
A. 2 B. 3 C. -2 D. -4
由推论3可知反函数的图象关于点
所以点
点
图象关于点成中心对称,
关于直线
, 即
.
成中心对称, 又
的
II. 不同函数关于点对称性 命题1: 函数证明:设
与是函数, 因为点
以函数
命题2:设
数
对一切
与
均为常数,函数
的图像关于点
成中心对称。
的对称点是的图象上,所
成中心对称。
的定义域均为,那么函
成中心对称图形的充要条件是:
图象上的任意一点,则点关于
在函数
的图像关于点
) 与函数
的图象与函数
, 均有
的图象关于
b.
证明:(1
)充分性:设
则点关于所以
一点,也即函数
的对称点是
,
即点
图象上任意一关于点
4
是函数
,
且
是
图象上的任意一点,
.
函数图象上的
的图
的对称点都在函数
象上;同理可证,函数
的图象上。 (2) 必要性:设点于点∴
.
的对称点
,
即
图象上任意一关于点
的对称点也都在函数
是函数
在函数
图象上的任意一点,则点关
图象上, ,也即对一切
,
均有
由(1)(2)证明可知:命题2成立。 推论1 :设象关于点证明:令则∴
∴由命题2,函数数
例1 已知函数图象 ( ) A. 关于直线 C. 关于点简解:令
均成立。 ∴
均为常数,则函数成中心对称。
的图象与函数的图
, , 对
对
均成立. 与函数
的图象,即函数成中心对称。
与
的
的图象与函
均成立。
的图象关于点
是定义在上的函数,那么
对称. B.关于直线对称. D. 关于点
对称. 对称。
, 则
对
, 由:命题2可知选D 。
5
范文四:点关于直线的对称
点关于直线对称公式的应用
永靖中学 姬良挺
摘要:点关于直线对称是常见问题,适时推导掌握一些公式,加快运算速度,降低失误率,本文在一般情况下推导出点关于直线对称公式后,重点介绍直线斜率为1或-1时,公式变的简单明了,而且应用非常方便。
关键词:对称,斜率,坐标
在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称,其中点关于直线的对称最为常见,适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度,降低失误率。
在直角坐标系中,当直线斜率不存在时,(如图1)点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点P1坐标为(x1,y1),则由中点坐标公式可得a=(x0+x1) /2,y0=y1即:x1=2a-x0,y1=y0所以得P1坐标为(2a-x0,y0);当直线斜率为0时,(如图2)点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点P1坐标为(x2,y2)则由中点坐标公式可得b=(y0+y2) /2,x0=x2即:y2=2b-y0,x2=x0所以得P1坐标为 (x0,2b—y0)。
图1 图2 图3 下面介绍一般情况下,求点P(x0,y0)关于直线l:y=kx+b(k≠0)的对称点P1的坐标(如图3),设P1点坐标为(x,y),则由直线PP1与l垂直及线段PP1的中点在l上,可得: {y0?y?k??1(1)x0?x
y0?yx?x?k?0?b(2)22
解这个关于x、y 的二元一次方程组,得:
2ky0?(k2?1)x0?2bkx?(3)21?k
2kx0?(1?k2)y0?2b {y?(4) 21?k
可以验证:该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁,也没有必要记住这个公式,但当直线的斜率为+1或者-1时,该公式变的简单明了,而且应用起来非常方便。
当k=l时,将k值代入(3)(4)得:x=y0-b, y=x0+b.
当k=-l时,将k值代入(3)(4)得:x=-y0+b. y=-x0+b.
可见:在直线的斜率为+1或者-1时,只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x的值的为对称点的横坐标,将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y值即为对称点的纵坐标。
例1: 求点(3,5)关于直线y=x+3的对称点坐标。
解:在直线方程y=x+3,将x代为3,得: y=6即为对称点纵坐标,将y=5
代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。
所以:点(3,5)关于直线y=x+3的对称点坐标为(2,6)。
例2:求点(a.b)关于直线y=-x+1的对称点
解:在直线方程y=-x+1中,x代为a ,得:y=-a+1即为对称点的纵坐标,
将y代为b,得:x=-b+1,即为对称点的横坐标。
即:点(a,b)关于直线y=-x+1的对称点坐标为(-b+1,-a+1)。
在直线斜率为1或者-1时,应用上述公式可以快速准确的计算出已知点关于直线对称点的坐标,在平时学习中应不断总结,并指导学生撰写此类小论文,可达到举一反三,事半功倍之效。
参考文献:
全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)
范文五:函数的性质3对称性
函数的性质 对称性
张磊
函数的对称性是函数的重要性质之一, 主要包括轴对称和中心对称两种. 在解几中, 许多问题中都隐含对称性, 如角的平分线, 线段的中垂线, 光的反射等, 要注意挖掘, 充分利用对称性, 中点坐标公式, 斜率关系加以解决; 在函数中, 对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系, 解题时常常要进行相互转化, 再加以解决.
一 对称性的有关结论
1 y=f(x)关于x =a对称?f(2a?x) =f(x) ?f(2a+x) =f(-x) ?f(a?x) =f(x+x) 内反外同轴对称
引申 y=f(x)关于x a +b2对称?f(a?x) =f(b?x)
2 y=f(x)关于点(a,0)对称?f(2a?x) =-f(x)
?f(2a+x) =-f(-x)?f(a?x) =?f(a+x) 内外都反点对称 引申 y=f(x)关于点(a,b)对称? f(2a?x) =2b?f(x)
二 对称性与奇偶性关系
奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称; 偶函数图像关于y 轴对称. 奇偶性实际是一种特殊的对称性.
三 对称性与周期性关系
双对称?周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系) f(2a+x) =f(?x) 1 ? f(2a+x) = f(2b+x) f(2b+x) =f(?x)
?f(2a-2b+x)= f(x)
所以函数f(x)是周期函数, 周期为 2a ?2b
f 2a +x =?f(?x) 2 ? f(2a+x) = f(2b+x) f 2b +x =?f(?x)
?f(2a-2b+x)= f(x)
所以函数f(x)是周期函数, 周期为 2a ?2b
f 2a +x =f(?x) 3 ? f 2a +x =? f(2b+x) f 2b +x =?f(?x)
?f(2a-2b+x)= -f(x) ?f(4a-4b+x)= f(x) 所以函数f(x)是周期函数, 周期为 4a ?4b
四 点关于线的对称点
点(x 0 ,y 0) 关于直线ax +by +c =0的对称点为 (x 0?
2a a 2+b0+by 0+c) , y0?22b a 2+b2(ax0+by 0+c))
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