那晚越女说我?
范文一：三轴椭球表面积的计算
第２０卷第４期海军工程大学学报Ｖ０１．２０Ｎｏ．４２００８年８月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＶＡＬＵＮｌＶＥＲＳＩＴＹＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＡｕｇ．２００８
三轴椭球表面积的计算
纪兵，边少锋
（海军工程大学电气与信息工程学院，武汉４３００３３）
摘要：推导得到了三轴椭球表面积的实用计算公式，该公式相较于前人推导的公式不仅形式简单，曼重要
的是避免了前人推导公式中存在的难以计算的椭圆积分，同时文中的推导过程可以通过改变幂级数展开的
阶数来满足不同精度的使用要求。最后，通过相同的地球椭球参数试算比较了文中方法与其他方法得到的计
算结果，从而验证了该方法的正确性。
关键词：三轴椭球；表面积；幂级数；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
中图分类号：Ｐ２２６文献标志码：Ａ文章编号：１００９—３４８６（２００８）０４－－００２１—０４
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｓｕｒｆａｃｅａｒｅａｏｆｔｒｉａｘｉａｌｅｌｌｉｐｓｏｉｄ
ＪＩＢｉｎｇ，ＢＩＡＮＳｈａｏ－ｆｅｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｖａｌＵｎｉｖ．
ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ４３００３３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｓｗａｓｄｅｄｕｃｅｄｆｏｒｔｈｅｓｕｒｆａｃｅａｒｅａｏｆｔｈｅｔｒｉａｘｉａｌｅｌｌｉｐｓｏｉｄ．Ｃｏｒｎ—ｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｆｏｒｍｅｒｆｏｒｍｕｌａｓ，ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓｎｏｔｏｎｌｙｈａｖｅｓｉｍｐｌｅｆｏｒｍ，ｂｕｔａｌｓｏａｖｏｉｄｔｈｅｃａｌｃｕｌａ—ｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｌｗｈｉｃｈｉｓｖｅ妇ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｓｏｌｖｅ．Ｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｆｔｈｅｄｅｄｕｃｉｎｇｃｏｕｒｓｅｉｓｔｈａｔｔｈｅｅｘｐａｎｄｉｎｇｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓｃａｎｂｅｃｈａｎｇｅｄｔｏｍｅｅｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｒｅｃｉｓｉｏｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｒｏｕｇｈｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｏｒｍｕｌａｓｗｉｔｈｓａｍｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅｅａｒｔｈｅｌｌｉｐｓｏｉｄ，ｔｈｅｒｅ—ｓｕｉｔｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈｓｈｏｗｓｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉＳｃｏｒｒｅｃｔ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｒｉａｘｉａｌｅｌｌｉｐｓｏｉｄ；ｓｕｒｆａｃｅａｒｅａ；ｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓ；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
地球是一个表面为高山、平原、大海所覆盖的，起伏变化不规则的球体，在大地测量、航海导航、板块构造和地球固体潮等领域中，为了研究、计算的方便，有时把地球近似成一个旋转椭球体，这在一定程度上简化了计算，然而地球并不是完全均衡的，根据全球大地水准面差距图可以判断出，地球更接近于三轴椭球［１］。由于三轴椭球体的特殊性，其表面积的计算非常复杂，以至于一些数学手册上仅有其体积公式而无具体的面积计算公式［２￣４］。许多学者对这一问题进行了研究，Ｌｅｇｅｎｄｒｅ推导出了著名的公式［５］，但是该公式中含有复杂的椭圆积分项，使用起来很麻烦；徐宏枢基于三轴椭球面的面积元推导得到了计算公式［６］，但是该公式也含有难以计算的椭圆积分，为便于使用他给出了一个近似表达式，但是从文中的数据验证来看该近似公式的误差太大，以致于无法满足一般应用的精度需求；杨学祥用泰勒级数展开推导得到了近似公式［７］，但是该公式的形式过于复杂，在实际应用时也很不方便。为此，文中在前人研究的基础上，借助于现代先进的计算机代数系统［８别推导出了形式简单的计算公式。文中的方法也是采用面积元的方式进行计算，只是在对椭圆积分时借助于计算机代数系统Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ将其幂级数展
收稿日期：２００８—０３—０４ｌ修回日期：２００８—０４—２５。
基金项目：国家自然科学基金资助项目（４０７７４００２、４０６４４０２０）；国家杰出青年科学基金资助项目（４０１２５０１３）。
作者简介：纪兵（１９７８一），男．讲师，博士生，主要研究方向为大地测量、卫星导航和水下重力场匹配导航，Ｅ．ｍａｉｌ：ｊｉｂｉｎ９１９７８＠１２６．。
．２２．海军工程大学学报箍垫鲞开后再计算，最终得到了精度较高、形式简单的实用公式，而且该方法可以根据应用的需求改变幂级数展开的阶次来得到不同精度的计算公式。
１曲面面积积分公式
７Ｘ￥十矿２十７２２＝１。
为了计算的方便，计算过程采用如下的球坐标参数方程：（１）
仨ｘ－－竺ａｃｏｓ∥９ｃｏｓ；５
Ｓ＝｜Ｉ砸臣了ｄｇｄＡ。
Ｅ＝（竽）２＋（譬）２＋（譬）２，ｄ９ｄ∞ｄ∞㈣则三轴椭球面是由９和Ａ所构成的区域。由文献［６］可知三轴椭球面的面积Ｓ是关于其３个半轴对称的，故可以先计算第一卦限的表面积，然后累加即可得到椭球体的面积。在此采用文献［２］中给出的曲（３）（４）
Ｆ＝筹?ａ２ｄＡ＋ａ∥ｙ‘
ａ舻ｄＡｄ９ｄＡａ．：Ｌ’ｄ９ａｄｙＡ＋ｄａ驴ｚ?ａ引ｚ（５）、。’
Ｇ一（筹）２＋（蒙）２＋（詈）２。
２三轴椭球面面积公式的推导（６）
由式（３）的积分公式似乎可以方便地计算出三轴椭球体的表面积，但是对于式（２）的参数方程，通过式（４）～（６）分别计算后得到：
Ｅ＝Ｃ２ＣＯＳ２９＋（口２ＣＯＳ２Ａ＋ｂ２ｓｉｎ２ｇ）ｓｉｎ２妒；（７）
Ｆ＝（口一６）（口＋ｂ）ｃｏｓＡｃｏｓ９ｓｉｎ｜；Ｉ．ｓｉｎ９；
Ｇ＝ＣＯＳ２９（ｂ２ＣＯＳ２Ａ＋口２ｓｉｎ２工）。（８）（９）
则有：
川雨可＝口６ｃ。５妒√５ｉｎ２妒＋争ｃｏｓ２俨０ｓ２Ａ＋争ｃｏｓ２妒Ｓｉｎ２
将式（１０）代入式（３）得到的是一个难以计算的带根号的积分形式：Ｌ（１０）
ｓ＝８．ｆ：胆』：／２口６ｃ。ｓ９√ｓｉｎ２９＋事２ｃ。ｓ２Ｐｃ。ｓ２Ａ＋吾ｃ。ｓ２妒ｓｉｎ２Ａｄ汕。（１１）
文献Ｅ６－］在推导这一问题时止步于这一步骤，只得到了一个形式较式（１１）更复杂的难以解算的积分公式，为便于使用也给出了一个精度较差的近似公式。为了解决这一问题，文中将采用幂级数展开的方式将其展开后再积分计算，幂级数展开采用如下的形式：ｚ－一１＋ｍ（ｚ一１）＋丝Ｑ聂二堕（ｚ～１）ｚ＋…＋丝鱼竺二！Ｌ言产业（ｚ一１）。＋…。（１２）利用幂级数展开存在的不足之处是ｎ取值越大得到的公式越精确，但是公式也越复杂，使用起来不方便，反之则公式简单但精度较低。为了兼顾精度与复杂度问题，对行取不同值时的面积Ｓ进行了计算，
第４期纪兵等：三轴椭球表面积的计算?２３?并对结果进行了比较。综合权衡后作者认为ｎ＝５时比较理想，则式（１１）中的积分项按式（１２）可展开如下（并将其赋值给￡）：
￡＝ａｂｃ。８９（１＋虿１（ｓｉｎ２９＋７Ｃ２
ｃ。ｓ２ｃ。ｓ２妒ｃ。ｓ２Ａ＋摹ｃ。ｓ２９ｓｉｎ２Ａ一１）一百１（ｓｉｎ２妒＋≯Ｃ２９ｃ。ｓ２．＝Ｉ＋矿Ｃ２ｃ。ｓ２９ｓｉｎ２Ａ一１）２＋
去（Ｓｉｎ２妒＋≥ｃｏｓ２妒ｃｏｓ２Ａ＋争ｃｏｓ２９ｓｉｎ２．：Ｉ一１）３一
面５（ｓｉｎ２甲＋手ｃ。ｓ２铲。ｓ２Ａ＋矿Ｃｇｃ。ｓ２９ｓｉｎ２．：Ｉ一１）４＋
志“ｉｎ２妒＋扩ｃ＿Ｃｃｏｓ２９ｃｏｓ２Ａ＋争ｃｏｓ
三轴椭球面积的计算公式２９ｓｉｎ２．：Ｉ一１）５）。（１３）将上式代入式（１１），在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ计算机代数系统中通过输入如下的积分命令，就可很容易得到
ｒｔ｝２ｒｔｆ２
Ｓ＝８ＪＪ０￡ｄ础Ｊ０Ｊ（１４）
软件运行结果：
ｓ２万未丽（（４８３８４０ａ１０ｂ１０＋２９５５５２ａ８ｂ８（ａｚ＋６２）ｃ２—３８６５６ａ６ｂ６（３ａ４＋２ａｚｂＺ＋３ｂ４）ｃ４＋
ｌＯ７０４ａ４６４（５ａ６＋３ａ‘６２＋３ａ２６４＋５６６）ｃ６－－４６０ａ２６２（３５ａ８＋２０ａ６６２＋１８ａ４６４＋２０ａ２ｂ６＋３５ｂ８）ｃ８＋
３５（ａ２＋ｂｚ）（６３ａ８－－２８ａ６６ｚ＋５８ａ４６４－－２８ａ２ｂ６＋６３ｂ８）ｆｌｏ）７ｃ）。（１５）
由式（１５）可以看出表达式中只含有三轴椭球的３个半轴ａ、ｂ和ｃ以及常数７ｃ，在应用时只需将这些数值代入即可方便地计算出结果，而且文中推导的公式不受所选择参考椭球的限制，只要给出三轴椭球的３个参数就可以计算。
需要说明的是以上步骤的推导过程是在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ中实现的，如式（４）～（６）对ｚ，Ｙ和ｚ的偏微分，以及式（７）～（９）化简得到式（１０）和最终式（１４）的积分等。在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ中完成数学推导的好处是很多演算都是通过简单、直观的命令形式输入，按下Ｓｈｉｆｔ和Ｅｎｔｅｒ组合键后就可得到准确的结果，这对于科研工作者和工程人员来说是推导复杂数学问题的好帮手，值得推广应用。
３数据验证
为了验证文中推导的公式，同时也是为了便于比较，采用与文献［７３中相同的地球椭球参数：口＝６３７８．１６０ｋｍ，ｂ＝６３７８．０５６ｋｍ，ｃ＝６３５６．７５５ｋｍ。首先，进行了横向比较，将不同方法计算得到的结果进行求差比较；其次，为了验证本方法中幂级数展开阶数不同时得到的公式精度不同，还同时进行了纵向比较。为了便于比较，将计算结果及相互间的差值列于表１中。
裹１各种方法的计算结果及与本文方法计算结果的比较
Ｔａｂ．１Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｂｙｏｔｈｅｒｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｈｉｓｐａｐｅｒ
从表１中可以看出，本文的方法与Ｌｅｇｅｎｄｒｅ方法计算得到的结果差值最小，与杨学祥的方法差值相对较小，而与徐宏枢的方法差值最大。其原因在于Ｌｅｇｅｎｄｒｅ方法是一精确计算公式，该方法得到的
?２４?海军工程大学学报第２０卷结果是最精确的，只是该公式中含有椭圆积分在实际应用时非常不方便；杨学祥方法采用泰勒级数展开后以截断到一定Ｋ（文中取Ｋ＝２）值的累加求和形式，且给出了余项大小的估算公式，但是该公式使用时很不方便，因而限制了它的使用，而本文的公式是含３个半轴的多项式，只要将半轴数值代入即可计算出结果，非常适合实际应用。
采用幂级数展开计算时，展开阶数越高则计算结果越精确，但此时公式的表达形式却很复杂，而随着展开阶数的增加，高阶项对计算结果的影响越来越小，如算例中ｎ＝５与砣一６计算结果的差达到１０ｑ量级，故在实际应用中当展开到一定阶数，计算结果满足精度需求时就可以截断，这也是文中取至”＝５的依据。
４结束语
借助于幂级数展开公式完善了计算三轴椭球表面积的推导过程，在综合考虑公式精度与复杂度的基础上给出了取ｎ＝５时的实用公式，这在很大程度上改进了前人对这一问题的处理，为大地测量、固体潮和板块构造研究中计算三轴椭球面积提供了较好的实用计算公式。同时，利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ来解决复杂数学问题推导的方式可为相关人员的研究提供参考，作者已利用这一数学工具解决了传统大地测量、人造地球卫星测量中的许多人工处理难以解决的数学问题‘１０￣１２｜，取得了较好的效果。
参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：
［１］
［２］
［３］
［４］
［５］
［６］熊介．椭球大地测量学［Ｍ］．北京：解放军出版社，１９９８．《数学手册》编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９．《数学手册》编写组．数学手册［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９７９．叶其孝．沈永欢．实用数学手册［Ｍ］．第２版．北京：科学出版社，２００６．菲赫金哥尔茨ｒＭ．微积分学教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９５７．徐宏枢．三轴椭球面的面积计算［Ｊ］．渝州大学学报（自然科学版），１９９８，１５（１）：５７－－６０．
ＸＵＨｏｎｇ—ｓｈｕ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｒｅａｏｆｔｈｅ３－ａｘｅｓｅｌｌｉｐｓｏｉｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉｅｎ．
Ｅｄｉｔ．），１９９８，１５（１）：５７—６０．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）
［７］杨学祥．地球表面积的计算［Ｊ］．长春地质学院学报，１９８７，１７（３）：３４６－－３５２．
ＹＡＮＧＸｕｅ－ｘｉａｎｇ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｓｕｒｆａｃｅ
１９８７。１７（３）：３４６—３５２．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）ａｒｅａｏｆｔｈｅｅａｒｔｈ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈａｎｇｃｈｕｎＣｏｌｌｅｇｅｏｆＧｅｏｌｏｇｙ，
［８］
［９］
［１０］边少锋，许江宁．计算机代数系统与大地测量数学分析［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２００４．洪维恩．数学运算大师Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ４［Ｍ］．北京ｔ人民邮电出版杜，２００２．边少锋，纪兵．等距离纬度等量纬度和等面积纬度反解公式［Ｊ］．测绘学报，２００７，３６（２）：２１８—２２３．
ＢＩＡＮＳｈａｏ－ｆｅｎｇ，儿Ｂｉｎｇ．Ｔｈｅｅｘｐａｎｓｉｏｎｓｏｆｒｅｃｔｉｆｙｉｎｇｌａｔｉｔｕｄｅ，ｃｏｎｆｏｒｍａｌｌａｔｉｔｕｄｅａｎｄａｕｔｈａｌｉｃｌａｔｉｔｕｄｅ［Ｊ］．Ａｃｔａ
ｅｔＧｅｏｄａｅｔｉｃａＣａｒｔｏｇｒａｐｈｉｃａＳｉｎｉｃａ，２００７，３６（２）：２１８—２２３．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）
［１１］纪兵，边少锋．大地主题问题的非迭代新懈［Ｊ］．测绘学报，２００７，３６（３）：２６９－－２７３．
儿Ｂｉｎｇ，ＢＩＡＮＳｈａｏ－ｆｅｎｇ．Ｔｈｅｎｅｗｎｏｎ－ｉｔｅｒａｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｇｒａｐｈｉｃａｔＯｔｈｅｇｅｏｄｅｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＡｃｔａＧｅｏｄａｅｔｉｅａｅｔＣａｒｔｏ－Ｓｉｎｉｃａ．２００７，３６（３）：２６９—２７３．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）
［１２］林友红。纪兵，吴苗．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在精密卫星轨道确定中的应用［Ｊ］．咸宁学院学报。２００７，２７（３）：９—１１．
ＬＩＮＹｏｕ－ｈｏｎｇ，ＪＩＢｉｎｇ，ＷＵＭｉａｏ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｉｎｕｓｉｎｇｏｆｐｒｅｃｉｓｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｔｓａｔｅｌｌｉｔｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏ｛
ＸｉａｎｎｉｎｇＣｏｌｌｅｇｅ．２００７，２７（３）：９—１１．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）
三轴椭球表面积的计算
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：纪兵， 边少锋， JI Bing， BIAN Shao-feng海军工程大学,电气与信息工程学院,武汉,430033海军工程大学学报JOURNAL OF NAVAL UNIVERSITY OF ENGINEERING2008，20(4)1次
参考文献(12条)
1.熊介 椭球大地测量学 1998
2.《数学手册》编写组 数学手册 1979
3.《数学手册》编写组 数学手册 1979
4.叶其孝.沈永欢 实用数学手册 2006
5.菲赫金哥尔茨r M 微积分学教程 1957
6.徐宏枢 三轴椭球面的面积计算 1998(01)
7.杨学祥 地球表面积的计算 1987(03)
8.边少锋.许江宁 计算机代数系统与大地测量数学分析 2004
9.洪维恩 数学运算大师 Mathematica 4 2002
10.边少锋.纪兵 等距离纬度等量纬度和等面积纬度反解公式[期刊论文]-测绘学报 2007(02)
11.纪兵.边少锋 大地主题问题的非迭代新解[期刊论文]-测绘学报 2007(03)
12.林友红.纪兵.吴苗 Mathematica 在精密卫星轨道确定中的应用[期刊论文]-咸宁学院学报 2007(03)
相似文献(1条)
1.会议论文 纪兵.边少锋 三轴椭球表面积计算的实用公式 2009
推导得到了三轴椭球表面积的实用计算公式,该公式相较于前人推导的公式不仅形式简单,更重要的是避免了前人推导公式中存在的难以计算的椭圆积分,同时本文的推导过程可以通过改变幂级数展开的阶数来满足不同精度的使用要求。最后通过相同的地球椭球参数试算比较了本文方法与其他方法得到的计算结果,从而验证了本文方法的正确性。
引证文献(1条)
1.地面上两点间方位角和距离计算的实用公式[期刊论文]-海军工程大学学报 2009(5)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_hjgcdxxb200804006.aspx
授权使用：武汉大学(whdx)，授权号：fb789859-c8ba-470c-b427-9e4300a59ffc
下载时间：2010年12月5日
范文二：三轴椭球表面积的计算
三轴椭球表面积的计算
第2O卷第4期
2008年8月
海军工程大学学报
JOURNALOFNAVALUNIVERSITYOFENGINEERING
Vo1.20NO.4
Aug.2008
三轴椭球表面积的计算
纪兵,边少锋
(海军工程大学电气与信息工程学院,武汉430033)
摘要:推导得到了三轴椭球表面积的实用计算公式,该公式相较于前人推导的公
式不仅形式简单,更重要
的是避免了前人推导公式中存在的难以计算的椭圆积分,同时文中的推导过程
可以通过改变幂级数展开的
阶数来满足不同精度的使用要求.最后,通过相同的地球椭球参数试算比较了文
中方法与其他方法得3,1的计
算结果,从而验证了该方法的正确性.
关键词:三轴椭球;表面积;幂级数;Mathematica
中图分类号:P226文献标志码:A文章编号:1009—3486(2008)04--0021—04
Calculationofsurfaceareaoftriaxialellipsoid
JIBing,BIANShao—feng
(CollegeofElectricalandInformationEngineering,NavalUniv.
ofEngineering,Wuhan430033,China)
Abstract:Thecalculatingformulaswasdeducedforthesurfaceareaofthetriaxialellipsoid.
Corn—
paredwiththeformerformulas,theformulasnotonlyhavesimpleform,butalsoavoidthecal
cula—
tionoftheellipticintegralwhichisveinydifficulttosolve.Theadvantageofthededucingco
urseis
thattheexpandingorderofthepowerseriescanbechangedtomeetdifferentprecisionrequir
ements.
Finally,throughcalculatingthedifferentformulaswithsameparametersoftheearthellipso
id,there—
sultwasobtained,whichshowsthismethodiscorrect.
Keywords:triaxialellipsoid~surfaceareapowerseriesMathematica
地球是一个表面为高山,平原,大海所覆盖的,起伏变化不规则的球体,在大地测
量,航海导航,板块
构造和地球固体潮等领域中,为了研究,计算的方便,有时把地球近似成一个旋转
椭球体,这在一定程度
上简化了计算,然而地球并不是完全均衡的,根据全球大地水准面差距图可以判
断出,地球更接近于三
轴椭球].由于三轴椭球体的特殊性,其表面积的计算非常复杂,以至于一些数学手册上仅有其体积公
式而无具体的面积计算公式].许多学者对这一问题进行了研究,Legendre推导出了着名的公式],
但是该公式中含有复杂的椭圆积分项,使用起来很麻烦;徐宏枢基于三轴椭球面的面积元推导得到了计
算公式],但是该公式也含有难以计算的椭圆积分,为便于使用他给出了一个近似表达式,但是从文中
的数据验证来看该近似公式的误差太大,以致于无法满足一般应用的精度需求;杨学祥用泰勒级数展开
推导得到了近似公式ll7J,但是该公式的形式过于复杂,在实际应用时也很不方便.为此,文中在前人研
究的基础上,借助于现代先进的计算机代数系统推导出了形式简单的计算公式.文中的方法也是
采用面积元的方式进行计算,只是在对椭圆积分时借助于计算机代数系统Mathematica将其幂级数展
收稿日期:2008—03—04;修回日期:2008—04-25.
基金项目:国家自然科学基金资助项目(40774002,40644020);国家杰出青年科学基金资助项目(40125013).
作者简介:纪兵(1978一),男,讲师,博士生,主要研究方向为大地测量,卫星导航和水下重力场匹配导航,E
mail:jibing1978@126.corn.
.
22.海军工程大学学报第2o卷
开后再计算,最终得到了精度较高,形式简单的实用公式,而且该方法可以根据应用的需求改变幂级数
展开的阶次来得到不同精度的计算公式.
1曲面面积积分公式
设三轴椭球面方程为
+yg
T
z2
—
1.(1)
为了计算的方便,计算过程采用如下的球坐标参数方程:
fz一.......;
_{Y—bcos9sin;(2)
【z—csin9o
则三轴椭球面是由9和所构成的区域.由文献[6]可知三轴椭球面的面积S是关于其3个半轴对称
的,故可以先计算第一卦限的表面积,然后累加即可得到椭球体的面积.在此采用文献[2]中给出的曲
面面积的积分公式:
式中:
S—IIdgd,l.
E一(筹d)+(筹)+(骞d);d0
F一筹?+3y?ay+do~?;aa.adda’
G一()+’3y)+()
.
2三轴椭球面面积公式的推导
(3)
(4)
(5)
(6)
由式(3)的积分公式似乎可以方便地计算出三轴椭球体的表面积,但是对于式(2)的参数方程,通过
式(4),(6)分别计算后得到:
E—cCOS9+(nCOS+bsin)sin;(7)
F一(n,6)(n+6)COSAcos9sin),sin;(8)
cos9(bCOS+asin).(9) G—
则有:
~/历一F2一abc..?.in+0-c.s9c.s+C-c.s9sin.(10)
将式(1O)代入式(3)得到的是一个难以计算的带根号的积分形式:
r”/2r”/2r—————————————————————————————————————————————————,
S=8j.j.c0.?.in+..s..s+..s9sinidgd,l.(11)
文献[6]在推导这一问题时止步于这一步骤,只得到了一个形式较式(11)更复杂的难以解算的积分
公式,为便于使用也给出了一个精度较差的近似公式.为了解决这一问题,文中将采用幂级数展开的方
式将其展开后再积分计算,幂级数展开采用如下的形式:
zm一1+m(z一1)+(z一1)z+…+二二?(z一1)+….(12)
厶:
利用幂级数展开存在的不足之处是取值越大得到的公式越精确,但是公式也越复杂,使用起来不方
便,反之则公式简单但精度较低.为了兼顾精度与复杂度问题,对取不同值时的面积S进行了计算,
箜塑丝塞箜三垫堕堡垒重塑蔓::
并对结果进行了比较.综合权衡后作者认为n=5时比较理想,则式(11)中的积分项按式(12)可展开如
下(YP将其赋值给):
一c..(1+1(sin+C2c.s9cos+C2
cOs9sin一1)一
吉(sin+C2c.s.s.+C2c.s9sin一1)2+
(sin.+CZ
c.s.s.+c.s9sin一1).,
5(sin.+CZ
c.s.s+c.s9sin一1)+
丽7(sin+C2c.s.s+C2c.s.9sin一1)5).(13)
将上式代入式(11),在Mathematica计算机代数系统中通过输入如下的积分命令,就可很容易得到
三轴椭球面积的计算公式
72r?f2 P?
S一8jjtdgd~(1400)?
软件运行结果:
s一((483840a1~b+295552asE(E+62)C2-38656a6b6(3a~+2b+364)C4+
10704ab(Sa+3ab2+3ab4+5b6)c--460ab(35a.+20ab+18ab4+20ab+35b)c+
35(口+6)(63a--28ab2+58ab--28ab+63bs)c.)7c).(15)
由式(15)可以看出表达式中只含有三轴椭球的3个半轴a,b和c以及常数不,在应用时只需将这些
数值代入即可方便地计算出结果,而且文中推导的公式不受所选择参考椭球的限制,只要给出三轴椭球
的3个参数就可以计算.
需要说明的是以上步骤的推导过程是在Mathematica中实现的,如式(4),(6)对z,Y和z的偏微
分,以及式(7),(9)化简得到式(10)和最终式(14)的积分等.在Mathematica中完成数学推导的好处
是很多演算都是通过简单,直观的命令形式输入,按下Shi{t和Enter组合键后就可得到准确的结果,这
对于科研工作者和工程人员来说是推导复杂数学问题的好帮手,值得推广应用.
3数据验证
为了验证文中推导的公式,同时也是为了便于比较,采用与文献E7J中相同的地球椭球参数:a一
6378.160km,6—6378.056km,c一6356.755km.首先,进行了横向比较,将不同方法计算得到的结
果进行求差比较;其次,为了验证本方法中幂级数展开阶数不同时得到的公式精度不同,还同时进行了
纵向比较.为了便于比较,将计算结果及相互间的差值列于表1中.
表1各种方法的计算结果及与本文方法计算结果的比较
Tab.1Comparisonofealeulationbyothermethodsandthispaper
方法计算结果妻盏妻盏妻妻
Legendre510062670.15432870.0162701016.95×10—54.17×1O一2.98×10一
杨学祥510062670.10000000.0705987810.0543981790.0543290970.054328978
徐宏枢(K一2)510063242.3968209—572.226222097—572.242422699—572.242491781—572.242491900
文中方法(一3)510062670.1705988一一一一
文中方法(一4)510062670.15439820.016200602一一一
文中方法(一5)510062670.15432910.0162696840.000069081一一
文中方法(一6)510062670.15432900.0162698030.0000692011.19×10一
从表1中可以看出,本文的方法与Legendre方法计算得到的结果差值最小,与杨学祥的方法差值
相对较小,而与徐宏枢的方法差值最大.其原因在于Legendre方法是一精确计算公式,该方法得到的
.
24.海军工程大学学报第20卷
结果是最精确的,只是该公式中含有椭圆积分在实际应用时非常不方便;杨学祥方法采用泰勒级数展开
后以截断到一定K(文中取K一2)值的累加求和形式,且给出了余项大小的估算公式,但是该公式使用
时很不方便,因而限制了它的使用,而本文的公式是含3个半轴的多项式,只要将半轴数值代入即可计
算出结果,非常适合实际应用.
采用幂级数展开计算时,展开阶数越高则计算结果越精确,但此时公式的表达形式却很复杂,而随
着展开阶数的增加,高阶项对计算结果的影响越来越小,如算例中一5与一6计算结果的差达到
1O-7量级,故在实际应用中当展开到一定阶数,计算结果满足精度需求时就可以截断,这也是文中取至
一5的依据.
4结束语
借助于幂级数展开公式完善了计算三轴椭球表面积的推导过程,在综合考虑公式精度与复杂度的
基础上给出了取一5时的实用公式,这在很大程度上改进了前人对这一问题的处理,为大地测量,固体
潮和板块构造研究中计算三轴椭球面积提供了较好的实用计算公式.同时,利用Mathematica来解决
复杂数学问题推导的方式可为相关人员的研究提供参考,作者已利用这一数学工具解决了传统大地测
量,人造地球卫星测量中的许多人工处理难以解决的数学问题,取得了较好的效果.
参考文献(References):
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
熊介.椭球大地测量学EM].北京:解放军出版社,1998.
《数学手册》编写组.数学手册EM].北京:人民教育出版社,1979.
《数学手册》编写组.数学手册EM].北京:高等教育出版社,1979.
叶其孝,沈永欢.实用数学手册EM].第2版.北京:科学出版社,2006.
菲赫金哥尔茨rM.微积分学教程EM].北京:高等教育出版社,1957.
徐宏枢.三轴椭球面的面积计算EJ].渝州大学学报(自然科学
版),1998,15(1):57—60.
XUHong—shu.Thecalculationoftheareaofthe3-axesellipsoid[J].JournalofYuzhouUni
versity(Nat.Scien.
Edit.),1998,15(1):57—60.(inChinese)
杨学祥.地球表面积的计算[J].长春地质学院学报,1987,17(3):346--352.
YANGXue-xiang.Calculationforthesurfaceareaoftheearth[J].JournalofChangchunCo
llegeofGeology,
1987,17(3):346—352.(inChinese)
边少锋,许江宁.计算机代数系统与大地测量数学分析EM].北京:国防工业出版
社,2004.
洪维恩.数学运算大师Mathematica4EM].北京:人民邮电出版社,2002.
边少锋,纪兵.等距离纬度等量纬度和等面积纬度反解公式[J].测绘学
报,2007,36(2):218--223.
BIANShao—feng,JIBing.Theexpansionsofrectifyinglatitude,conformallatitudeanda
uthaliclatitude_J].Acta
GeodaeticaetCartographicaSinica,2007,36(2):218—223.(inChinese)
纪兵,边少锋.大地主题问题的非迭代新解[J].测绘学报,2007,36(3):269--273.
JIBing,BIANShao—feng.Thenewnon-iterativesolutiontOthegeodeticproblem[J].ActaGeodaeticaetCarto—
graphicaSinica,2007,36(3):269—273.(inChinese)
林友红,纪兵,吴苗.Mathematica在精密卫星轨道确定中的应用[J].咸宁学院学
报,2007,27(3):9—11.
LINYou-hong,JIBing,wuMiao.Mathematicainusingofprecisedeterminationofsatellite
[J].Journalof
XianningCollege,2007,27(3):9一l1.(inChinese)
]]]]]]
789n[[[[[[
范文三：椭球表面积计算公式 三轴椭球表面积的计算
第,,卷第,期海军工程大学学报,,,(,,,,(,,,,,年,月,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,，,,,,，,,,,,(,,,,
三轴椭球表面积的计算
纪兵，边少锋
(海军工程大学电气与信息工程学院，武汉,,,,,,) 摘要:推导得到了三轴椭球表面积的实用计算公式，该公式相较于前人推导的公式不仅形式简单，曼重要 的是避免了前人推导公式中存在的难以计算的椭圆积分，同时文中的推导过程可以通过改变幂级数展开的 阶数来满足不同精度的使用要求。最后，通过相同的地球椭球参数试算比较了文中方法与其他方法得到的计 算结果，从而验证了该方法的正确性。
关键词:三轴椭球;表面积;幂级数;,,,,,,,,,
1
;,
中图分类号:,,,,文献标志码:,文章编号:,,,,—,,,,(,,,,),,,,,,,,—,, ,,,;,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
,，,,,,，,，,,,,,,,,,,, (,,,,,,,,,,,,;,,,;,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,(
,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,，,,,,,)
,,,,,,;,:,,,;,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,—,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,;,,;,,,—,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,;,,,,,妇,,,,,;,,,,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2
,,,,,,,,,,,;,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,？,,,,,,,,,(,,,,,,,，,,,,,,,;,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,—,,,,,,,,,,,,,,,，,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,;,(
,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,;,
地球是一个表面为高山、平原、大海所覆盖的，起伏变化不规则的球体，在大地测量、航海导航、板块构造和地球固体潮等领域中，为了研究、计算的方便，有时把地球近似成一个旋转椭球体，这在一定程度上简化了计算，然而地球并不是完全均衡的，根据全球大地水准面差距图可以判断出，地球更接近于三轴椭球,,,。由于三轴椭球体的特殊性，其表面积的计算非常复杂，以至于一些数学手册上仅有其体积公式而无具体的面积计算公式,,,,,。许多学者对这一问题进行了研究，,,,,,,,,推导出了著名的公式,,,，但是该公式中含有复杂的椭圆积分项，使用起来很麻烦;徐宏枢基于三轴椭球面的面积元推导得到了计算公式
3
,,,，但是该公式也含有难以计算的椭圆积分，为便于使用他给出了一个近似表达式，但是从文中的数据验证来看该近似公式的误差太大，以致于无法满足一般应用的精度需求;杨学祥用泰勒级数展开推导得到了近似公式,,,，但是该公式的形式过于复杂，在实际应用时也很不方便。为此，文中在前人研究的基础上，借助于现代先进的计算机代数系统,,别推导出了形式简单的计算公式。文中的方法也是采用面积元的方式进行计算，只是在对椭圆积分时借助于计算机代数系统,,,,,,,,,;,将其幂级数展 收稿日期:,,,,—,,—,,,修回日期:,,,,—,,—,,。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(,,,,,,,,、,,,,,,,,);国家杰出青年科学基金资助项目(,,,,,,,,)。
作者简介:纪兵(,,,,一)，男(讲师，博士生，主要研究方向为大地测量、卫星导航和水下重力场匹配导航，,(,,,,:,,,,,,,,,,,,,,(;,,。
(,,(海军工程大学学报箍垫鲞开后再计算，最终得到了精度较高、形式简单的实用公式，而且该方法可以根据应用的需求改变幂级数展开的阶次来得到不同精度的计算公式。 ,曲面面积积分公式
4
,,,十矿,十,,,,,。
为了计算的方便，计算过程采用如下的球坐标参数方程:(,)
仨,,,竺,;,,?,;,,;,
,,,，砸臣了,,,,。
,,(竽),，(譬),，(譬),，,,,?,??则三轴椭球面是由,和,所构成的区域。由文献,,,可知三轴椭球面的面积,是关于其,个半轴对称的，故可以先计算第一卦限的表面积，然后累加即可得到椭球体的面积。在此采用文献,,,中给出的曲(,)(,)
,,筹?,,,,，,?,‘
,舻,,,,,,,(:,’,,,,,,，,,驴,?,引,(,)、。’
,一(筹),，(蒙),，(詈),。
,三轴椭球面面积公式的推导(,)
由式(,)的积分公式似乎可以方便地计算出三轴椭球体的表面积，但是对于式(,)的参数方程，通过式(,),(,)分别计算后得到:
,,,,,,,,,，(口,,,,,,，,,,,,,,),,,,妒;(,)
,,(口一,)(口，,);,,,;,,,,,,,;，(,
5
,,,;
,,,,,,,(,,,,,,,，口,,,,,工)。(,)(,)
则有:
川雨可,口,;。,妒?,,,,妒，争;,,,俨,,,,，争;,,,妒,,,,
将式(,,)代入式(,)得到的是一个难以计算的带根号的积分形式:,(,,)
,,,(,:胆』:,,口,;。,,?,,,,,，事,;。,,,;。,,,，吾;。,,妒,,,,,,汕。(,,)
文献,,,,在推导这一问题时止步于这一步骤，只得到了一个形式较式(,,)更复杂的难以解算的积分公式，为便于使用也给出了一个精度较差的近似公式。为了解决这一问题，文中将采用幂级数展开的方式将其展开后再积分计算，幂级数展开采用如下的形式:,,一,，,(,一,)，丝,聂二堕(,,,),，?，丝鱼竺二～,言产业(,一,)。，?。(,,)利用幂级数展开存在的不足之处是,取值越大得到的公式越精确，但是公式也越复杂，使用起来不方便，反之则公式简单但精度较低。为了兼顾精度与复杂度问题，对行取不同值时的面积,进行了计算，
第,期纪兵等:三轴椭球表面积的计算?,,?并对结果进行
6
了比较。综合权衡后作者认为,,,时比较理想，则式(,,)中的积分项按式(,,)可展开如下(并将其赋值给,): ,,,,;。,,(,，虿,(,,,,,，,,, ;。,,;。,,妒;。,,,，摹;。,,,,,,,,一,)一百,(,,,,妒，?,,,;。,,(,，，矿,,;。,,,,,,,,一,),，
去(,,,,妒，?;,,,妒;,,,,，争;,,,,,,,,(:，一,),一
面,(,,,,甲，手;。,,铲。,,,，矿,,;。,,,,,,,(:，一,),，
志“,,,妒，扩;,,;,,,,;,,,,，争;,, 三轴椭球面积的计算公式,,,,,,(:，一,),)。(,,)将上式代入式(,,)，在,,,,,,,,,;,计算机代数系统中通过输入如下的积分命令，就可很容易得到 ,,,,,,,,
,,,,,,,,础,,,(,,)
软件运行结果:
,,万未丽((,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,(,,，,,);,—,,,,,,,,,(,,,，,,,,,，,,,);,，
,,,,,,,,,(,,,，,,‘,,，,,,,,，,,,);,,,,,,,,,,(,,,,，,,,,,
7
,，,,,,,,，,,,,,,，,,,,);,， ,,(,,，,,)(,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,，,,,,),,,),;)。(,,)由式(,,)可以看出表达式中只含有三轴椭球的,个半轴,、,和;以及常数,;，在应用时只需将这些数值代入即可方便地计算出结果，而且文中推导的公式不受所选择参考椭球的限制，只要给出三轴椭球的,个参数就可以计算。
需要说明的是以上步骤的推导过程是在,,,,,,,,,;,中实现的，如式(,),(,)对,，,和,的偏微分，以及式(,),(,)化简得到式(,,)和最终式(,,)的积分等。在,,,,,,,,,;,中完成数学推导的好处是很多演算都是通过简单、直观的命令形式输入，按下,,,,,和,,,,,组合键后就可得到准确的结果，这对于科研工作者和工程人员来说是推导复杂数学问题的好帮手，值得推广应用。
,数据验证
为了验证文中推导的公式，同时也是为了便于比较，采用与文献,,,中相同的地球椭球参数:口,,,,,(,,,,,，,,,,,,(,,,,,，;,,,,,(,,,,,。首先，进行了横向比较，将不同方法计算得到的结果进行求差比较;其次，为了验证本方法中幂级数展开阶数不
8
同时得到的公式精度不同，还同时进行了纵向比较。为了便于比较，将计算结果及相互间的差值列于表,中。 裹,各种方法的计算结果及与本文方法计算结果的比较 ,,,(,,,,,,,,,,,,,;,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
从表,中可以看出，本文的方法与,,,,,,,,方法计算得到的结果差值最小，与杨学祥的方法差值相对较小，而与徐宏枢的方法差值最大。其原因在于,,,,,,,,方法是一精确计算公式，该方法得到的
?,,?海军工程大学学报第,,卷结果是最精确的，只是该公式中含有椭圆积分在实际应用时非常不方便;杨学祥方法采用泰勒级数展开后以截断到一定,(文中取,,,)值的累加求和形式，且给出了余项大小的估算公式，但是该公式使用时很不方便，因而限制了它的使用，而本文的公式是含,个半轴的多项式，只要将半轴数值代入即可计算出结果，非常适合实际应用。
采用幂级数展开计算时，展开阶数越高则计算结果越精确，但此时公式的表达形式却很复杂，而随着展开阶数的增加，高阶项对计算结果的影响越来越小，如算例中,,,与砣一,计算结果的差达到,,？量级，故在实际应用中当展开到一定阶数，计算结果满足精度需求时就可以截断，这也是文
9
中取至”,,的依据。
,结束语
借助于幂级数展开公式完善了计算三轴椭球表面积的推导过程，在综合考虑公式精度与复杂度的基础上给出了取,,,时的实用公式，这在很大程度上改进了前人对这一问题的处理，为大地测量、固体潮和板块构造研究中计算三轴椭球面积提供了较好的实用计算公式。同时，利用,,,,,,,,,;,来解决复杂数学问题推导的方式可为相关人员的研究提供参考，作者已利用这一数学工具解决了传统大地测量、人造地球卫星测量中的许多人工处理难以解决的数学问题‘,,,,,,，取得了较好的效果。
参考文献(,,,,,,,;,,):
,,,
,,,
,,,
,,,
,,,
,,,熊介(椭球大地测量学,,,(北京:解放军出版社，,,,,(《数学手册》编写组(数学手册,,,(北京:人民教育出版社，,,,,(《数学手册》编写组(数学手册,,,(北京:高等教育出版社，,,,,(叶其孝(沈永欢(实用数学手册,,,(第,版(北京:科学出版社，,
10
,,,(菲赫金哥尔茨,,(微积分学教程,,,(北京:高等教育出版社，,,,,(徐宏枢(三轴椭球面的面积计算,,,(渝州大学学报(自然科学版)，,,,,，,,(,):,,,,,,(
,,,,,,—,,,(,,,;,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,(,;,,,(,,,,()，,,,,，,,(,):,,—,,((,,,,,,,,,) ,,,杨学祥(地球表面积的计算,,,(长春地质学院学报，,,,,，,,(,):,,,,,,,,( ,,,,,,,,,,,,,(,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,
,,,,。,,(,):,,,—,,,((,,,,,,,,,),,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，
,,,
,,,
,,,,边少锋，许江宁(计算机代数系统与大地测量数学分析,,,(北京:国防工业出版社，,,,,(洪维恩(数学运算大师,,,,,,,,,;,,,,,(北京,人民
11
邮电出版杜，,,,,(边少锋，纪兵(等距离纬度等量纬度和等面积纬度反解公式,,,(测绘学报，,,,,，,,(,):,,,—,,,(
,，,,,,,,,,,,,，儿,,,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,，;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,(,;,, ,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,;,,,,,;,，,,,,，,,(,):,,,—,,,((,,,,,,,,,)
,,,,纪兵，边少锋(大地主题问题的非迭代新懈,,,(测绘学报，,,,,，,,(,):,,,,,,,,( 儿,,,,，,，,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,(,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,(,,,,，,,(,):,,,—,,,((,,,,,,,,,)
,,,,林友红。纪兵，吴苗(,,,,,,,,,;,在精密卫星轨道确定中的应用,,,(咸宁学院学报。,,,,，,,(,):,—,,(
,，,,,,,,,,,，,，,,,,，,,,,,,(,
12
,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,,,,，,,(,):,—,,((,,,,,,,,,)
三轴椭球表面积的计算
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年，卷(期):
被引用次数:纪兵， 边少锋， JI Bing， BIAN Shao-feng
海军工程大学,电气与信息工程学院,武汉,430033海军工程大学学报JOURNAL OF NAVAL UNIVERSITY OF
ENGINEERING2008，20(4)1次
参考文献(12条)
1.熊介 椭球大地测量学 1998
2.《数学手册》编写组 数学手册 1979
3.《数学手册》编写组 数学手册 1979
13
4.叶其孝.沈永欢 实用数学手册 2006
5.菲赫金哥尔茨r M 微积分学教程 1957 6.徐宏枢 三轴椭球面的面积计算 1998(01) 7.杨学祥 地球表面积的计算 1987(03) 8.边少锋.许江宁 计算机代数系统与大地测量数学分析 2004
9.洪维恩 数学运算大师 Mathematica 4 2002 10.边少锋.纪兵 等距离纬度等量纬度和等面积纬度反解公式[期刊论文]-测绘学报 2007(02)
11.纪兵.边少锋 大地主题问题的非迭代新解[期刊论文]-测绘学报 2007(03)
12.林友红.纪兵.吴苗 Mathematica 在精密卫星轨道确定中的应用[期刊论文]-咸宁学院学报 2007(03) 相似文献(1条)
1.会议论文 纪兵.边少锋 三轴椭球表面积计算的实用公式 2009
推导得到了三轴椭球表面积的实用计算公式,该公式相较于前人推导的公式不仅形式简单,更重要的是避免了前人推导公式中存在的难以计算的椭圆积分,同时本文的推导过程可以通过改变幂级数展开的阶数来满足不同精度的使用要求。最后通过相同的地球椭球参数试算比较了本文方法与其他方法得到的计算结果,从而验证了本文方法的正确性。
14
引证文献(1条)
1.地面上两点间方位角和距离计算的实用公式[期刊论文]-海
军工程大学学报 2009(5)
本文链接:
http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_hjgcdxxb200804006
.aspx
授权使用:武汉大学(whdx)，授权号:
fb789859-c8ba-470c-b427-9e4300a59ffc 下载时间:2010年12月5日
15
范文四：圆锥的表面积
圆锥的表面积
福建省晋江市晋江第一中学初一四班 林俊铭、李文晓 指导教师：李祥
三角板 直角边 旋转360° 圆锥 表面积
林俊铭：小时候吃冰淇淋，吃到下面的甜筒的时候发现甜筒是一个圆锥形的，我就想象那样甜筒的表面积是什么呢？（圆锥的表面积应该怎么算？）
一天，小学老师在教圆锥的体积的时候我拿着一个制作的圆锥在那边玩，玩着玩着，突然那剪刀把圆锥的侧面剪开了发现是一个扇形。 因此我推测一个圆锥的表面积就是一个扇形的面积加一个底面的面积吧！
我带着这个稀奇的想法回了家，不断问自己扇形的面积要怎么算呢.我先是制作了一个扇形折成了一个圆锥侧面，我又拆开我最后不得不用另外种想法。我量了一下扇形的角度数为45°，我求出用这个360°的圆形的面积为28.26在乘以45/360*28.26=3.5325
因此我得了一个公式求扇形，扇形角的度数/圆的度数（圆的半径与扇形半径相同）*圆的面积=圆柱的侧面积 又因此我们可得弧线的长度为45/360*9.42=1.1775（由面积为28.26的圆可得周长为9.42）因此可得弧线长度的公式为弧线的角度数除以圆的度数（360°）乘以圆的周长（圆的半径与扇形半径相同）
李文晓：再运用到生活中我发现：
那天回家，我拿出我的圣诞帽（也是圆锥形的）,把它沿着顶点与底面周长的最短距离剪开，发现得到的真的是一个扇形。由此得到圆锥的侧面积会等于一个扇形的面积。且圆锥顶点与底面周长的最短距
离为这个扇形的半径。设圆锥顶点与底面周长的最短距离为这个扇形的半径。设圆锥顶点与底面周长的最短距离为a，则a=r扇；由此我得出公式：Πr*母线。又因为这个扇形是圣诞帽（圆锥）剪开的，所以这也是圆锥的侧面积公式。
范文五：表面积的变化
“表面积的变化”教学设计
[教材简析]
本次实践活动《表面积的变化》主要是研究几个相同的正方体（或长方体）拼起来，得到的立体与原来几个正方体（长方体）表面积之和的关系，发现并理解其中的变化规律，培养空间观念。
教材分为两个大的版块：拼拼算算和拼拼说说。拼拼算算中三个活动，第一个活动是引导学生用两个相同的正方体拼出长方体，体验到两个正方体拼成长方体后表面积减少了原来两个面的面积。第二个活动，是引导学生用3个、4个甚至更多个相同的正方体摆成一行，拼成长方体，探索拼成后的长方体的表面积的变化规律。第三个活动用两个相同的长方体拼成大长方体，体验到不管怎么拼，每次都会减少两个长方形面的面积；而减少的面积越少，拼成的大长方体的表面积就越大。三个活动都是通过学生动手操作、观察、直观思考、合作交流等活动，让学生体验并发现物体拼摆过程中表面积的变化规律，提高空间观念的积累水平，发展数学思考。拼拼说说，主要是引导学生应用前面发现的规律，解决实际问题。
[教学目标]
1、使学生通过把几个相同的正方体或长方体拼成较大的长方体的操作活动，探索并发现拼接前后有关几何体表面积的变化规律，并让学生应用发现的规律解决一些简单实际问题。
2、使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。
3、使学生进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
[教学准备]
多媒体课件，各小组准备8个1立方厘米的正方体，6个完全相同的长方体，以及10盒同样的火柴盒。
[教学过程]
一、创设情境、体验生活。
这是4盒一组包装的面纸，外面有一层透明的塑料纸包着, 里面的面纸盒是这样上下一撂摆放的，其实这4个面纸盒还可以摆成其它样式进行组装。为什么我们所见到的都是用这种样式进行包装呢？
师:这4个面巾纸盒的包装中蕴藏着数学的秘密, 今天我们一起来研究跟它有关的数学问题.
二、拼拼算算, 体验规律
活动一：两个正方体拼成长方体后表面积的变化情况。
1、谈话：同学们，这是两个体积1立方厘米的正方体，在同学们桌上就有一些体积1立方厘米的正方体，你能用这两个正方体拼成一个长方体吗？动手拼一拼。
2、提问：有的同学拼成了一个横着的长方体，有的同学拼的是竖着的长方体。不
管是哪一种，观察一下，体积有没有变化？
3、提问：体积没有变化，比较一下拼成的长方体的表面积与原来两个正方体的表面积的和，你有什么发现？
学生可能的发现：
计算法：长方体的表面积比两个正方体表面积的和少2平方厘米。
观察法：拼成长方体后，表面积减少了原来两个面的面积。
课件出示:两个正方体拼接一次, 表面积减少了两个面的面积, 比两个正方体的表面积之和减少了2平方厘米.
[设计意图：这一环节通过让学生动手摆一摆、看一看、指一指，想一想这些活动，让学生体会到表面积发生了变化，体验到两个正方体拼成长方体后表面积减少了原来两个面的面积。通过学生自己动手实际操作，让多种感官协同活动，使具体事物形象在头脑中得到全面的反映，同时结合思维活动，促进空间观念的形成。]
活动二：用若干个相同的正方体拼成大长方体，表面积的变化情况。
1. 谈话：3个、4个甚至更多个相同的正方体像这样摆成一行，（课件出示直观图）拼成一个长方体，表面积比原来减少几个正方形面的面积呢？
刚才我们用2个正方体拼成一个长方体，原来一共有12个面，拼接一次后, 减少了
2、 生小组活动，师巡视。
3、汇报。
谈话：用3个正方体拼，原来一共有几个面？拼接了几次? 拼成后减少了原来几个面的面积？ 4个呢？5个呢？
提问：用6个拼，是个什么情况？请同学们想一想，动手拼一拼看看自己的想法对不对。
提问：用8个拼又是什么情况呢？汇报后也请学生拼一拼。
4、谈话：老师看到好多同学没拼就知道结果了，在刚才拼的过程中，你们发现什么规律了吗？先自己想一想，然后在小组里交流你的想法。
学生可能的发现：
（1）原来正方体有几个面，只要乘6就可以了。
（2）每多一个正方体，表面积就多减少2个正方形面的面积。
（3）正方体的个数减1就是拼的次数，再乘2就是减少了几个正方形面的面积
5、验证：我们一起到表格中来看一看，是不是蕴藏着这样的规律？4个正方体, 乘6一共有24个面?
6、拓展、加深体验：15个是个什么情况？ 下面请同学们拼一拼，在书上第36页完成这张操作汇报单。
[设计意图：通过学生把几个正方体拼成较大的长方体，边操作、边思考，进一步发现表面积发生了变化，初步感到这个变化存在着一定的规律。经历了动手操作这一过程，使学生头脑中有“拼”这一过程，建立了空间观念。学生完成表格时，由于表头是3、4、5及省略号，所以学生摆了3、4、5个拼成长方体的情况后，就急于表现，忽略了表格中的省略号，其实体验是不够的。于是教者又用挑战性的语气提问：如果用6个、8个拼是个什么情况，再操作验证，从而使学生把关注点落到找寻规律上，能把表格中的数据综合起来看。通过这些引领，学生的空间观念也得到了培养。在学生充分交流的基础上，教者再带着学生到表格中再次体验规律，让规律成为每一位学生的发现。]
活动三：用两个相同的长方体拼成大长方体，表面积的变化情况。
1、谈话：这里我们研究了几个正方体拼成一排时表面积的变化，那长方体在拼摆过程中又有什么变化呢？我们继续来研究。
2、提问：这是两个相同的长方体，长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，你能用这两个长方体拼成三个不同的大长方体吗？在小组里拼一拼。
3、学生拼后反馈三种拼法。
4、提问：用两个长方体可以拼成三个不同的大长方体，想想刚才摆的过程，你有什么发现？
可能的发现：
（1）拼成长方体后，体积没有变化，表面积有变化。
（2）都比原来减少了2个面的面积，不同的拼法减少的面积就不同。
5、提问：在这拼成的长方体中哪个大长方体的表面积最大，哪个最小？你是怎么想的？
引导学生发现：3号长方体表面积最大，1号长方体表面积最小，因为减少的面积越少，拼成的大长方体的表面积就越大。
板书:重合的面越大, 表面积减少的越多
6、验证：我们来算一算，三个大长方体的表面积分别比原来到底减少了多少？ 学生计算、反馈。
[设计意图：学生的动手操作是建立空间观念的重要手段，通过学生动手操作，在活动中了解三种拼法，增强体验。通过动手操作、观察、直观思考、合作交流等活动，让学生在体验发现物体拼摆过程中表面积的变化规律中，提高空间观念的积累水平，发展数学思考。]
三、拼拼说说，运用规律
1、过渡：刚才我们通过操作发现，几个相同的正方体或长方体，拼成较大的长方体，表面积都发生了变化，而且都有一定的规律。板书课题:表面积的变化. 看看谁能运用发现的规律很快解决这个问题？
2、出示题目：用6个棱长4厘米的正方体可以拼成不同的长方体，哪个长方体的表面积大？大多少个正方形面的面积？先自己想一想，然后在小组里交流你是怎样想的？
汇报时：说一说是怎样想的？
板书:重合的面越多, 表面积减少的越多
3、谈话：生活中像这样物体的拼接问题还很多，今天我们就来开展一个拼装火柴盒的实践活动。
谈话：同学们桌上有10盒火柴盒，把10盒火柴盒包装成一包有很多不同的摆法, 哪种最节省包装纸？在小组里拼一拼, 算一算。
师小结:为10盒火柴盒设计一个最节省的方案既要考虑重合的面越大, 表面积减少的越多, 也要考虑重合的面越多, 表面积减少的越多.
[设计意图：这一环节“拼拼说说”，是运用规律解决实际问题。只有学生前面的规律体验深刻，学生才能灵活运用。为10盒火柴设计一个最节省的包装方案，是应用前面拼正方体或长方体的经验：重叠的面越大，表面积减少越多；两两相拼的次数多，减少的面积也多。这两条经验要灵活地、综合地应用，才能得到理想的方案。这对空间观念和思维能力是很好的锻炼。]
四、回顾开头, 全课小结：
谈话：现在我们再想一想, 这4盒面巾纸为什么这样摆放来包装呢?
在生活中处处有数学问题, 需要我们同学多观察, 多思考, 用学到的数学知识来解决生活中的问题.
转载请注明出处范文大全网 » 三轴椭球表面积的计算
