隔壁老栗
范文一：数理统计判断题
《概率论与数理统计》试题库(二)
数理统计部分
二、判断题
1(设为中参数的极大似然估计，并且函数具有单f(x;,),,,(,),,
::值反函数的极大似然估计。 ( ) ,,,(,),则u,u(,)是,(,)
2(对一假设，作双侧检验与单侧检验所用检验法相同，而接受域或拒绝域是不同的。 ( )
1,,~F(n,m),则,~F(m,n)3(若。 ( ) ,
4(对于同一置信度的置信区间可以有很多，也就是置信区间不是唯一的。 ( )
5(一个检验的好坏可由犯第一、第二类错误的概率来恒量，因此有必要且完全有可能同时减小犯二类错误的概率。 ( )
1、之所以把假设检验的特点概括成“具有概率性质的反证法”，就是因为它和数学中的反证法一模一样:( )
,,,，N(0,1)U,,,P|U|,,,2,(,),12、若，则;( ) ,/n
3、总体,的未知参数的无偏估计量就是它的有效估计量;( ) ,
4、对一假设作双侧检验与单侧检验，所用检验法相同，而接受域或拒绝域是不同的;( )
25、若是从中抽得的一子样，则,，N(,,,),(,,,,,)123
23,i,,,,，，,，2u,均为统计量:( ) ,12322,,i1
21、设是从中抽得的一子样，则,，N(,,,),(,,,,,)123
23,i,,,,,，，,，2,均为统计量。( ) ,12312,,i1
2、总体未知参数的95%的置信区间的意义是指区间有95%的概率包,
含参数的真值。( ) ,
,3、的总体均值u的无偏、有儿，一致估计量。( )
4、一般，一个检验的好坏可由犯第一、第二类错误的概率来恒量，因此有必要且完全有可能同时减小犯二类错误的概率。( )
H:a,a,？,a,0a、当假设(其中为因子A的第i个水平的效5012ri
应)为真时，
S/(r,1)AF,~F(r,1,n,r)。( ) S/(n,r)e
范文二：数理统计答案
习题六
1. 【解】μ=60,σ2=152, n
=100
Z =
X -60
~N (0,1) ~N (0,1)即 Z =
15/10P (|X -60|>3) =P (|Z |>30/15)=1-P (|Z |<>
=2[1-Φ(2)]=2(1-0.9772) =0.0456.
2.
【解】Z =
~N (0,1)
Z
P (2.2
则
=2Φ-1=0.95,
，故
即n >24.01，所以n 至少应取25 3. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002
t =
X -1000
=~t (8)
100/3P (X >1062) =P (t >
1062-1000
) =P (t >1.86) =0.05
100/3
-μ|>4)=0.02得
4.
【解】Z =
~N (0,1)，由P (|X
??=0.02ΦP |Z |>4(σ/n )=0.02,
故2?1-Φ,
即=0.99. ?
????????
查表得
所以 =2. 33,
σ==5. 43.
2
9S 29a ??
~χ2(9),P (S 2>a ) =P χ2>?=0.1. 5. 【解】χ=1616??
查表得
5
9a 14. 68?416
=14. 68所以4, a ==26. 10 5. 169
2
i
2
2
n
6. 【解】χi
2
=∑X ~χ(5),χ2=∑X i 2~X 2(n -5)
i =1
i =1
X 12/5
且χ1与χ2相互独立. 所以Y =~F (5,n -5) 2
X 2/n -5
2
2
习题七
1. 【解】E (X ) =np , E (X ) =A 1
=X , 因此np =X
?=p
X
n
所以p 的矩估计量
2【解】E (X ) =
θ2?0
2
θ
2?x 2x 3?θθ
x (θ-x )d x =2 θ-?0=,
θ?23?3
, 所以θ的矩估计量为
n
θ
令E (X )=A 1=X , 因此=X
3
n
θ=3X .
=θe e
n -θ
-θ
^
3. 【解】（1） 似然函数L
=∏f (x i , θ) =θ
i =1
n
∏e
i =1
-θx i
∑x i
i =1
n
g =ln L =n ln θ-θ∑x i
i =1
n
d g d ln L n n
?=由==-∑x i =0知 θ
d θd θθi =1
n
∑x
i =1
n
?所以θ的极大似然估计量为θ
i
=
1
X
.
(2) 似然函数L
=θ ∏x i ,0
n
n
θ-1
n
i =1i =1
n
d ln L n 由=+ln ∏x i =0知
d θθi =1
?=-θ
n ln ∏x i
i =1n
=-
n
∑ln x
i =1
n
i
所以θ的极大似然估计量为
?=-θ
n
∑ln x
i =1
n
i
4. 【解】
=-0.094 s =0. 1018 9 3 n =9
==-0.094. EX
x i 2
由E (X ) =D (X ) +[E (X )], E (X ) =A 2=∑
i =1n
2
2
2
n
?知σ
2
?)]2=A , 即有
+[E (X 2
?=σ
于是
?=σ
=0.10189=0.0966 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5. 【解】(1)
E (X ) =
θ
2
, 令E (X ) =X ，则
?) =2E (X ) =2E (X ) =θ, 且E (θ
是一个无偏估计.
?=2X θ
?=2所以θ的矩估计值为θ
8
?=2=2?0.6=1.2且θ
8
?1?
(2) 似然函数L =∏f (x i , θ) = ?
?θ?i =1
显然L =L (θ) ↓(θ>0)，那么θ
, i =1,2,…,8.
=max{x i }时，L =L (θ
1≤i ≤8
) 最大,
?=0.9. 所以θ的极大似然估计值θ
?)=E (max{x }) ≠θ, 所以θ?=max{x }不是θ的无偏计. 因为E(θi i
1≤i ≤8
1≤i ≤8
6【解】令
则
Y i =X i +1-X i , i =1,2,…, n -1,
E (Y i ) =E (X i +1) -E (X i ) =μ-μ=0, D (Y i ) =2σ2, ?=E [k (∑Y i 2)]=k (n -1) EY 12=2σ2(n -1) k , E σ
2
i =1n -1
于是
?那么当E (σ
2
) =σ2, 即2σ2(n -1) k =σ2时,
k =
1
.
2(n -1)
有
?1) =7. 【证明】（1）E (μ
?2) =E (μ
1?2121?2
E X 1+X 2?=E (X 1) +E (X 2) =μ+μ=μ,
3?3333?3
13
E (X 1) +E (X 2) =μ, 4411
?3) =E (X 1) +E (X 2) =μ, E (μ
22
?1, μ?2, μ?3均是μ的无偏估计量. 所以μ
(2)
45σ2?2??1?2
?1) = ?D (X 1) + ?D (X 2) =X σ=D (μ,
99?3??3?
22
5σ2?1??3?
?2) = ?D (X 1) + ?D (X 2) =D (μ,
8?4??4?
22
σ?1?
?3) = ?(D (X 1) +D (X 2) )=D (μ,
2?2?
2
2
8. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
x =14.95, u a =u 0.25=1.96, ,
2
μ的置信度为0.95的置信区间为
?
x ±u α/2 =(14.95±0.1?1.96) =(14.754,15.146).
?
9. 【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α
的置信区间为 ??
±u α/2
,
u α/2,
4σ2(u α/2) 2u α/2≤L , 得n ≥L 210. 【解】=76.6, s =18.14, α=1-0.95=0.05, n =20,
t α/2(n -1) =t 0.025(19)=2.093,
χα/2(n -1) =χ
2
2
0.025
(19)=32.852, χ
20.975
(19)=8.907
(1) μ的置信度为0.95的置信区间
????x (n -1) =76.62.093a /2 ? ?=(68.11,85.089)
????
(2)σ的置信度为0.95的置信区间
2
?(n -1) s 2(n -1) s 2??191922?, =?18.14, ?18.14 2? ?=(190.33,702.01) 2
χ(n -1) χ(n -1) 32.8528.907?1-α/2?α/2??
习题八
H 0:μ=μ0=4.55; H 1:μ≠μ0=4.55. n =5, α=0.05, Z α/2=Z 0.025=1.96, σ=0.108
1.
【解】=4.364,
所以拒绝H 0，认为总体平均值有
Z =
(4.364-4.55)
=-3.851,
0.108Z >Z 0.025.
显著性变化. 2. 【解】设
H 0:μ=μ0=3.25; H 1:μ≠μ0=3.25. n =5, α=0.01, t α/2(n -1) =t 0.005(4)=4.6041=3.252, s =0.013, t =
(3.252-3.25)
==0.344,
0.013t
所以接受H 0，认为这批矿砂的含镍量为3.25. 3. 【解】设
H 0:μ=μ0=1.1; H 1:μ≠μ0=1.1.
n =36, α=0.05, t α/2(n -1) =t 0.025(35)=2.0301, n =36, =1.008, s 2=0.1, t =
6=1.7456,
t =1.7456
=
所以接受H 0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4. 【解】
H 0:μ≥21.5; H 1:μ<>
μ0=21.5, n =6, α=0.05, z 0.05=1.65, σ=2.9, =20,
(20-21.5)
z ===-1.267,
2.9z >-z 0.05=-1.65.
所以接受H 0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.
5. 【解】
(1)
μ0=0.5; n =10, α=0.05, t α(n -1) =t 0.05(9)=1.8331,
=0.452, s =0.037, (0.452-0.5) t ===-4.10241,
0.037t <-t 0.05(9)="">
所以拒绝H 0，接受H 1. (2)
22σ0=(0.04)2, n =10, α=0.05, χ12-α=χ0.95(9)=3.325,
=0.452, s =0.037,
χ=
2
(n -1) s 2
σ02
9?0.0372
==7.7006, 2
0.04
2
χ2>χ0.95(9).
所以接受H 0，拒绝H 1.
6. 【解】
H 0:σ=σ0=0.005; H 1:σ=σ0≠0.005. n =9, α=0.05, s =0.008,
2222χα/2(8)=χ0.025(8)=17.535, χ1-α/2(8)=χ0.975(8)=2.088,
χ=
2
(n -1) s 2
σ02
8?0.008222
==20.48, χ>χ(8).0.0252
(0.005)
故应拒绝H 0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005. 7. 【解】
H 0:μ1=μ2; H 1:μ1≠μ2. n 1=n 2=200, α=0.05,
t α/2(n 1+n 2-2) =t 0.025(398)≈z 0.025=1.96,
s w ===0.1981,
t =
==-1.918;
t
所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.
8. 【解】
2
n 1=n 2=5, α=0.05, s 12=0.4322, s 2=0.5006,
F α/2(n 1-1, n 2-1) =F 0.025(4,4) =9.6, F 0.975(4,4) =
11
==0.1042,
F 0.025(4.4)9.6
s 120.4322F =2==0.8634.
s 20.5006
那么F 0.975(4,4)
习题九
【解】
r =4, n =∑n i =26;
i =1
r
T .. 2
=69895900-69700188.46=195711.54, S T =∑∑x -n i =1j =1
4
4
2ij
12T .. 2
=69744549.2-69700188.46=44360.7, S A =∑T i . -n i =1n i
4
S E =S T -S A =151350.8,
F =
S A /(r -1) 44360.7/3==2.15
S E /(n -r ) 151350.8/22,
F 0.05(3,22)=3.05>F .
故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.
表9-1-1方差分析表
2. 【解】r =3, n =
3
n i
∑n
i =1
r
i
=40,
T .. 2
=199462-185776.9=13685.1, S T =∑∑
x -n i =1j =1
2ij
12T .. 2
=186112.25-185776.9=335.35, S A =∑T i . -
n n i =1i
3
S E =S T -S A =13349.65,
F =
S A /(r -1) 167.7
==0.465
S E /(n -r ) 360.8
F 0.05(2,37)=3.23>F .
故各班平均分数无显著差异.
3. 【解】由已知r =4,s =3,t =3.
T ... , T ij , T i .. , T . j . 的计算如表9-3-1.
r
T ... 2
S T =∑∑∑x -=11065-10920.25=144.75,
rst i =1j =1k =1
s
t
2ijk
1r 2T ... 2
S A =∑T i .. -=10923-10920.25=2.75,
st i =1rst 1s 2T ... 2
S B =∑T . j . -=10947.42-10920.25=27.17,
rt j =1rst ?1r s 2T ... 2?S A ?B = ∑∑T ij . -?-S A -S B =73.50,
t rst ?i =1j =1?
S E =S T -S A -S B -S A ?B =41.33.
表9-3-2得方差分析表
F 0.05(3,24)=3.01, F 0.05(2,24)=3.40, F 0.05(6,24)=2.51.
接受假设H 01，拒绝假设H 02, H 03.
即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.
4. 【解】由已知r =s =3,经计算=52, 1. =50.66,2. =533. =52.34, .1=52, .2=57, .3=47,
S T =∑∑(x ij -) 2=162;
i =1j =1r
r s
S A =s ∑(i . -) 2=8.73,
i =1r
S B =r ∑(. j -) 2=150,
j =1
S E =S T -S A -S B =3.27.
表9-4-1得方差分析表
由于F 0.05(2,4)=6.94>F A , F 0.05(2,4)
即不同饲料对猪体重增长无显著影响, 猪的品种对猪体重增长有显著影响. 5.
【解】(1) 对试验结果进行极差计算，得表9-5-1.
表9-5-1
由于要求油体膨胀越小越好，所以从表9-5-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次顺序为：主→次B , A , C
最优工艺条件为：A 2B 2C 3.
1r 2T 2
(2) 利用表9-5-1的结果及公式S j =∑T ij -, 得表9-5-2.
r i =1P
表9-5-2
表9-5-2中第4列为空列，因此S e =S 4=0.256, 其中f e =2，所以表如表9-5-3.
表9-5-3
S e
=0.128方差分析f e
由于F 0.05(2,2)=19.00，故因素C 作用较显著，A 次之，B 较次，但由于要求油体膨胀越小越好，所以主次顺序为：BAC ，这与前面极差分析的结果是一致的.
6. 【解】被考察因素有4个：A ，B ，C ，D 每个因素有两个水平，所以选用正交表L 8（27），进行极差计算可得表9-6-1.
主→次
从表9-6-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次为：B , C , A , D 最优方案为：A 1B 2C 2D 2
1n 2T 2
(2) 利用表9-6-1的结果及公式s j =∑T ij -得表9-6-2.
r i =1P
表9-6-2
表9-6-2中第1,3,7列为空列，因此s e =s 1+s 3+s 7=18.330,f e =3,所以
s e
=6.110.而在上表中其f e
他列中
s j f j
s e
. 故将所有次均并入误差，可得 f e
Δs e =s T =18.895, f e Δ=7.
整理得方差分析表为表9-6-3.
表9-6-3
主→次
由于F 0.05(1.7)=5.59，故4因素的影响均不显著，但依顺序为：B , C , A , D 与（1）中极差分析结果一致.
习题十
1. 【解】经计算得，
∑x
i =1
9
i
=234, ∑y i =811.3, ∑x =10144, ∑x i y i =24628.6,
2i
i =1
i =1
i =1
999
1
S xx =10144-(234)2=4060,
91
S xy =24628.6-?234?811.3=3534.8.
9
11
811.3^234
故b ==0.8706, a =-b ?=67.5078,
S xx 99
^
^
S xy
从而回归方程：y =67.5078+0.8706x . 2. 【解】经计算得，
9
9
9
9
9
^
∑x
i =1
i
=603, ∑y i =604.6, ∑x =40569, ∑x i y i =40584.9, ∑y i 2=40651.68
2
i
i =1
i =1
i =1
i =1
1
S xx =40569-(603)2=168,
91
S xy =40584.9-?603?604.6=76.7,
91
S yy =40651.68-(604.6)2=35.9956.
9
99S xy
???=∑x i /9-b ?∑x i /9=36.5891, (1)b ==0.4565, a S xx i =1i =1?=36.5891+0.4565x . 故回归方程：y
(2) Q 回= F =
2
S xy
S xx
=35.0172, Q 剩=Q 总-Q 回=35.9956-35.0172=0.9784,
Q 回
=250.5439>F 0.05(1,7)=5.59.
Q 剩/n -2
故拒绝H 0，即两变量的线性相关关系是显著的
.
?0=36.5891+0.4565?70=68.5474, (3)y
?=给定α=0.05, t 0.025(7)=2.3646, σ
==0.3739, =1.0792, =故
t α/2(n -2) σ=2.3646?0.3739?1.0792=0.9540.
从而其儿子的身高的置信度为95%的预测区间为
(68.5474±0.9540)=(67.5934,69.5014).
3. 【解】(1) 散点图如右，从图看出，y 与x 之间具有线性相关关系.
(2) 经计算可得
12
∑x
i =1
10
i
=191, ∑y i =170, ∑x =3731, ∑x i y i =3310, ∑y i 2=2948,
2i
i =1
i =1
i =1
i =1
10101010
S xx =82.9, S xy =63, S yy =58. ?=故b
S xy S xx
?==0.7600, a
170191
-0.76?=2.4849, 1010
?=2.4849+
0.76x . 从而回归方程：y
题3图
(3) Q 回=
2S xy
S xx
=47.8770, Q 剩=Q 总-Q 回=58-47.877=10.1230,
Q 回
F ==37.8360>F 0.05(1,8)=7.57.
Q 剩/n -2
故拒绝H 0, 即两变量的线性相关关系是显著的. 4. 【解】根据表中数据，得正规方程组
?31b 0+411.7b 1+2356b 2=923.9, ?
?411.7b 0+5766.55b 1+31598.7b 2=13798.85, ?2356b +31598.7b +180274b =72035.6.
012?
解之得，b 0=-54.5041,b 1=4.8424,b 2=0.2631. 故回归方程：y =-54.5041+4.8424x 1+0.2631x 2. 5. 【解】类似于习题4，可得正规方程组
^
?25 b 0+739.5 b 1+1576.6 b 2=98.2,
?
?739.5 b 0+22429.15 b 1+47709.1 b 2=2968.58, ?1576.6 b +47709.1 b +101568 b =6317.95.
012?
13
解之得，b 0=0.3822,b 1=0.0678,b 2=0.0244.
?=0.3822+0.0678x 1+0.0244x 2. 故回归方程：y
6.
【解】
(1) 散点图如下图.
题6图
122，根据表中数据可得下表 根据上表中数据可得正规方程组
?15 b 0+300 b 1+6750 b 2=450.5, ?
?300 b 0+6750 b 1+165000 b 2=9155,
?6750 b +165000 b +4263750 b =207990.
012?
解之得:b 0=19.0333,b 1=1.0086,b 2=-0.0204.
故y 关于x 1与x 2的回归方程：=19.0333+1.0086x 1-0.0204x 2, 从而抗压强度y 关于浓度x 的回
?=19.0333+1.0086x -0.0204x 2. 归方程: y
14
范文三：数理统计答案
数理统计B 单元自测题五（参考答案）
一、填空题
1）N (μ, σ2
n , N (0,1),N (μ, σ2
n , N (0,1) 2）μ2+σ2 3）1/8 ?σ2?4）Χ=7， S =2 5) N ?μ, ? n ??2
二、选择题
1)C 2)B 3)A 4)B 5)C
三、解答题
1) 0.9475 2) 0.9842 3) 537 4) t (n ?1) 5) 16
2α4?α21122四、证明题 提示： 求出D (∑X i ) =α2, E (∑X i ) =后，用中心极n n n
限定理证得。
数理统计B 单元自测题六（参考答案）
一、填空题
X ∧S 2 =max{X , X , ???, X } 3）[4.412,5.588] , p =1? 2）θ1）n =12n p X ∧
4）2 5）5.78
二、选择题
1）D 2）B 3）C 4）A 5）B
三、解答题
1）β矩∧∧X =, β极大=1?X ?n ∑l n X
i =1n 矩=X , ， 2） λi 极大=X λ
3）（I ） [2.121,2.129], （II ） [2.1175,2.1325] 4）[?0.401, 2.601] 5）[0.128,1.238]
四、证明题 提示：由题设先求E (X i ) 及D (X i ) 后，再证明p 是p 的无偏估计量。 ∧
范文四：数理统计答案
2006级期末考试题
n,121((1) X,XN~(0,,)1n
8所以 X,X~N(0,，4)19
即
,,,,,,,,X,X2222,,,,1P,,,,,(1.5),0.93,a ,,,,323232,,,,,,999,,,,
28X0X,2ii(2)由于，所以有， ~,(8)~N(0,1),24i,1所以
28,,XaaiP,,0.05,,15.51,a,15.51，4 ,,,444i,1,,
(3)由抽样分布
,,XX~t(n,1),P,an,0.05,,S/nS/n,,
1.86,an,1.86,a,3二、(1)求期望
,,,2k2,EXkk(),(,1)(1,),k,2
,,,k2,2kk,(,1)(1,),k2,
//,，，2k,, ,,,,,,k2,，，1,,
//2,，，2,,,,,1,，，,,1,,
2,,
21X?所以 ,X,g,,1,,2
(2)由似然函数
nnx,22,,,i(),,,,,,,(,1)(1,)LPXxxiiii,1i,1
nxn,2n2i,,,,,(x,1),,(1,)ii,1
n，，,,,lnL(),ln,(x,1)，2nln，(x,2n)ln(1,),ii,,i,1，，
,xnLn,2,ln()2,i,，(,1),0,,,1,,
21X??,所以 ,,g,,2,2X
,X,E(X)21由矩估计有: E,,,,,,,,,222,,
X1所以为的无偏估计。 2,
,,,lnL()2nx2n,i,，,(1),,,,,1
,,,,,，2n2nx2n,i,,,,(1)
,x2n1,，，i,,,,,,,,(1)2n，，
,2nx1，，,,,,,,,,,(1)2，，
X?所以为有效估计量， g,22
1,2,,g'()11,,,,?Dg(),,,,,22,n2c,n,()2,, ,(1,),,
,,n
,0
所以为相合估计量。
??,,,,XY,34,,,三、由题知，，所以为，的估计。 34XY,1212
22,,34~(34,916)XYN,,， ,,12nm2由于已知 ,
,,
,,3434XY,,,,,，，,,12Pu1 ,,,,,,,,19162,,，,,,nm,,
即
,,916916,,,,,,,PXYuXYu3434341,,，,,,,，，,,,,12,,,,11nmnm22,,,,
区间估计已得。
HH:341,:341,,,,,,,,(2)由假设，有 012112
HH:3410,:3410,,,,,,,,,, 012112
2H由于未知，应该是化为分布量。在之下有 t,0
22,,341XY,,341~(0,916)~(0,1)XYNN,,，, nm916，,nm另一方面
22(1)(1)nSmS,,22XY,,~(1),~(1)nm,, 22,,
所以
22(1)(1)nSmS,，,2XY,~(2)nm，, 2,
由独立性，构建t分布
341XY,,
916,，nm~(2)tnm，, 22(1)(1)1nSmS,，,XY
nm，,2,化简有
341XY,, Tnmtnm,，,，,2~(2)
916,,22，，，,，,(1)(1)nSmSXY,,，，nm,,
所以拒绝域为
FTtnm,,，,(2),,1,,
四、解:第一类错误的概率为 ,,PKH|,,00
3,,,,,PXp20.2,,,i i,1,,
,,,1(0)(1)PP66
6115,,,,,1(1)(1)pCpp6
第三类错误的概率为
,,PKH|,,01
3,,,,,PXp20.4,,,i 1i,,,
,，PP(0)(1)66
6115,,，,(1)(1)pCpp6
五、解:(1)化为多元线性回归的矩阵表达
Yx,，，,,, 01
,Y12，，，，，，11,,,,,,Y11,,,，，202,,,,,, ,，,,,,,,,,Y12,,,313，，,,,,,,Y11,44，，，，，，
于是参数的最小二乘估计为
,1?,,(')'XXXY
Y，，11111，，,, ,,Y44442,,,,,,,1111Y3,,,,,,,,510510，，Y4，，即
1,?,,，，，YYYY，，01234,,4 ,1111?,,,,，YYYY,11234,510510,
2??(2)由于，所以与都为正态分布 ,,YxNx,，，，,,,,,,~(,)01iiii0101
1?,,，，，EEYYYY()，，012344
1 ,，，,，,，，22,,,,,,,,,,010101014
,,0
2214,,?,，，，,, DDYYYY(),，，0123416164
2,?~(,)N所以 ,,0041111?EEYEYEYEY()()()()(),,,,，112345105101111,，,,,,，，22 ，，，，，，，，,,,,,,,,01010101510510,,1
1111?,,，，，DDYDYDYDY()()()()()112342510025100 12,,10
2,?~(,)N所以 ,,1110
2008级期末考试题
11 一、(1)由题知， XNYN~(0,),~(2,)916
112XY,， XYNN,,，,~(2,)~(0,1)91611，916
1所以 ab,,,2
11，916
2,8S2X,~(8),,1独立222(2) ,,,,，815~(23)SS,,XY215S2,Y~(15),,,1
2212XY,，815SS，XY,，2XY(3) ,23~(23)t22231111815SS，XY，，916916
2,8S2X,~(8)22,8/8SS,1独立XX(4) ,,,,,~(8,15)F,22215/15SS15SYY2,Y~(15),,,1
二、(1)求期望
，,，,0EXxfxdxxfxdxxfxdx()()()(),,，,,,,,,,0
xx,0，,11,, ,，xedxxedx,,,,0,,22
,0
，,，,0222DXxfxdxxfxdxxfxdx()()()(),,，,,,,,,,0 2,,2
矩估计方程
*M*22? M,,,2,,212
(2)似然函数
||x||xi,nni,,1,n,,Lfxxee,,()(,,)(2),,, ,,1n2,,,ii11
||x,i,,,,,ln()ln(2)Ln,
||x,,ln()Ln,,i,，,02,,,,
解之
1 ,,x||,in
1?所以其极大似然估计量为 ,,X||,2in
11? EEX,,,,,,()(||),,2inn
1?所以为无偏估计，且 ,,X||,2in
||x,,ln()1Lnn,，，,i ,，,,||X,,i22,,,n,,,,，，
1?由形式可知，为有效估计量，其方差为 ,,X||,2in
2g'()1,,n,,? ,,,,,,,D()0,2ncn(),2,
1?所以是一致相合估计量。 ,,X||,2in
2,u2,1,，，2,,,,lnu0.210三、解:(1) ,,,,1,n，，2
，，22 nu1001,,，,,,,12，，
(2)拒绝域
FXXXX,,,,,,,,,8.859.1590.1590.15,,,,0
,,,X90.15,,
第一类错误
,,,,,,,PFHPX|90.159,,,,00
,, ,,X,90.15,,,,,P9,,,,,,,
,,nn,,
第二类错误
,,,,,,,PFHPX|90.159.1,,,,01
,,
,,XX,,,,9.18.859.19.19.159.1,,,,,,P9.1 ,,,,,,,,,
,,nnnn,,
,,,,
,,,,XX,,,,9.18.859.19.19.159.1,,,,,,,，,,PP9.19.1,,,,,,,,,,,,,,
,,,,nnnn,,,,
四、解:由题意作出假设
HFxFxHFxFx:()(),:()(),, 0010
1XFx()其中为取值的离散均匀分布，且 0,1,,9PXkk,,,,0,1,,9,,010由皮尔逊卡方检验法，，那么检验统计量为 mn,,10,100
22mm()vnpv,2iii ,,,,n,,nnpnp,,ii11ii
拒绝域为
2m,,v2i ,(1)Fnm,,,,,,,,,,1np,i1i,,
2mv2ivnp p v X iii,inp,i1i
0 11 0.1 121 10 12.1
1 8 0.1 64 10 6.4
2 7 0.1 49 10 4.9
3 7 0.1 49 10 4.9
4 10 0.1 100 10 10
5 10 0.1 100 10 10
6 8 0.1 64 10 6.4
7 11 0.1 121 10 12.1
8 14 0.1 196 10 19.6
9 14 0.1 196 10 19.6
2mv2i经计算，另一方面， ,,,,,,1061006n,nnp,i1i
22 6(1)(9)16.92,,,,,,m,,10.95
所以样本落在拒绝域之外，不拒绝原假设，接受样本来自于离散均匀分布。
五、解:(1)由一元线性回归的最小二乘估计
l,xy??,,,,1.893,1,,1l ,xx,,?3.640,,,,0,??,,yx,,01,
所以，经验回归直线方程为
yx,，1.8933.640
(2)由题意作出假设
HH:0,:0,,,, 0111
用相关系数检验法，拒绝域为
Frrn,,,(2),,,
lxy0.880(13)0.514rr,,,,经计算 0.05llxxyy
所以样本落在拒绝域之内，拒绝原假设，认为线性相关性是显著的。 (3)由经验回归直线方程，时， x,7
y,，，,1.8933.640716.893
六、解:略
七、解:(1)因素:药品 水平:A、B、C、D四种药品
H:,,,,,,, (2)原假设: 01234
(3)两个独立性(列与列间，列内点与点间) (4)
方差来源 DF 平方和 均方 F值
因素 3 108.33 36.11 12.49841
随机误差 12 34.67 2.889167
总和 15 由单因素方差分析可知，拒绝域为
FFFrnr,,,,(1,),,01,,
12.49841>(3,12)3.49F,查表有，样本落在拒绝域之内，拒绝原假设，认为4种药品0.95
对解除外科手术疼痛时间长度有显著差异～
范文五：数理统计答案
第六章 样本及抽样分布
1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解： X ~N (52,
6. 336
2
), P {50. 8
1. 26. 36
X -526. 36
1. 86. 36
=Φ(
127
) -Φ(
-87
) =0. 8293
2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.
??
?X -12
>1}=P ?>
4??5?
52
解：（1）P {|X -12
???
???1?5??X -12
>?=2P ?? 2?4?4?
??5?5???
=2[1-Φ()]=0. 2628
（2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15}
5
=1-∏P {X i ≤15}=1-[Φ(
i =1
15-125
)]=0. 2923. 2
（3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ p="" {min="" (x="" 1，x="" 2，x="" 3，x="" 4，x="">
5
=1-∏P {X i ≥10}=1-[1-Φ(
i =1
10-1255
)]=1-[Φ(1)]=0. 5785. 2
10
4.[四] 设X 1，X 2?，X 10为N （0，0.3）的一个样本，求P {∑X i 2>1. 44}.
i =1
2
10
10
2i
10
2i
解：
∑X
i =1
. 3~χ
22
(10), P {
∑X
i =1
>1. 44}=P {
∑
i =1
X i
22
0. 3
>16}=0. 1(查表5)
7．设X 1，X 2，?，X n 是来自泊松分布π (λ ) 的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S ).
解：由X ~π (λ ) 知E (X )= λ ，D (X ) =λ
∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=
D (X ) n
=
λ2
, E (S ) =D (X ) =λ. n
2
[六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，?，X n 是来自X 的样本。 （1）求(X 1, X 2, , X n ) 的分布律；
n
（2）求∑X i 的分布律； （3）求E (X ), D (X ), E (S 2 ). 解：（1）（X 1，?，X n ）的分布律为
P {X 1=i 1, X
2
i =1
=i 2, , X
n
=in }
n
独立
n n
k
∏P {X
k =1
n
=i k }=
∏P
k =1
i k
(1-P )
1-i k
=P
n
∑i k
k =1
n -
(1-P )
∑i k
i =1
, i k =0或1, k =1, , n .
（2）∑X i ~b (n , p )
i =1
(由第三章习题26[二十七]知) （3）E (X )=E (X )=P ，
D (X ) =
2
D (X ) n
=
P
n
E (S ) =D (X ) =P (1-P )
[八]设总体X ~N （μ，σ2），X 1，?，X 10是来自X 的样本。 （1）写出X 1，?，X 10的联合概率密度（2）写出X 的概率密度。 解：（1）(X 1，?，X 10) 的联合概率密度为
10
10
f (x 1, x 10) =
∏
i =1
f (x i ) =
∏
i =1
-
12πσ
n 2
-
(x i =μ) 2σ
2
2
n
∑(x i -μ)
2
=(2π) （2）由第六章定理一知
σe
n
-
i =1
2σ
2
X ～N (μ,
σ
2
n
), n =10
即X 的概率密度为
f X (z ) =
12π?
σn
-n (z -μ) 2σ
2
2
e
第七章 参数估计
1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。
解：μ，σ的矩估计是 S 2=6. 86?10-6。
2．[二]设X 1，X 1，?，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
?θc θx -(θ+1) , x >c
（1）f (x ) =?
0, 其它?
-1??x , 0≤x ≤1
（2）f (x ) =?
?0, 其它. ?
2
?=X =74. 002μ?, σ
2
=
1
n
i
(X ∑n
i =1
-) =6?10
2-6
其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。
其中θ>0，θ为未知参数。
（5）P (X =x ) =解：（1）E (X ) =
θ=
X X -c
()p
m
x
x
(1-p )
m -x
, x =0, 1, 2, , m , 0
<1, p="">
?
+∞-∞
xf (x ) dx =
?
+∞c
θc x
θ-θ
θc θc θc -θ+1
dx =c =, 令=X ，得
θ-1θ-1θ-1
θ
+∞-∞
10
（2）E (X ) =
?
xf (x ) dx =
?
x
dx =
+1
, 令
+1
=X , 得θ=(
X 1-X
2)
（5）E (X ) = mp 令mp = X ， ?=解得p
X
m
3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
n
解：（1）似然函数
L (θ) =
∏
i =1
f (x i ) =θc
n n θ
(x 1x 2 x n )
-θ+1
n
ln L (θ) =n ln(θ) +n θln c +(1-θ)
∑ln x
i =1
i
,
d ln L (θ) d θ
θ
=+n ln c -n
n
∑ln x
i =1
i
=0
θ?=
n
n
（解唯一故为极大似然估计量）
-n ln c
∑ln x
i =1
i
n
（2）L (θ) =∏f (x i ) =θ
i =1
-
n 2
(x 1x 2 x n )
-1
-n
, ln L (θ) =ln(θ) +(-1) ln x i
2i =1
n
∑
d ln L (θ) d θ
-n 11
=?+
2θ2n
∑ln x
i =1
i
=0,
θ?=(n
n
∑ln x
i =1
n
i
2
(解唯一) 故为极大似然估计) 。
量。
n
n
（5）L (p ) =∏
i =1n
?m ??m
? P {X =x i }= x ? x ?1??n
n
?∑?p i =1??
n
x i
mn -
(1-p )
∑x i
i =1
，
ln L (p ) =
∑ln ()+∑x
m x i
i =1
i =1
n
i
ln p +(mn -
∑x
i =1
i
) ln(1-p ),
n
i
d ln L (p )
dp
∑x
=
i =1
mn --
∑x
i =1
i
p
n
1-p
=0
∑x
解得 p =
i =2
i
mn
=
X ，（解唯一）故为极大似然估计量。 m
4．[四(2)] 设X 1，X 1，?，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计 X ~ π (λ ) ，E (X )= λ，故λ?=X 为矩估计量。
n
n
（2）极大似然估计L (λ) =∏P (x i ; λ) =
i =1
λi =1-n λ
， e
x 1! x 2! x n !
∑x i
n n
i
ln L (λ) =
∑x
i =1
ln λ-
∑ln x ! -n λ
i
i =1
n
d ln L (λ) d λ
∑x
=
i =1
i
λ
-n =0, 解得λ?=X 为极大似然估计量。
x
λi -λ
e , x i =0, 1, ) （其中p (x i ; λ) =P {X =x i }=x i !
5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n =10，P 的二项分布。P 是该地区一块石子是石灰石的概率。求p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下
解：λ的极大似然估计值为λ?=X =0.499 [四(1)] 设总体X 其中θ(0<><1)为未知参数。已知取得了样本值x 1="1，x" 2="2，x" 3="">
解：（1）求θ的矩估计值
E (X ) =1?θ
2
+2?2θ(1-θ) +3(1-θ)
2
=[θ+3(1-θ)][θ+(1-θ)]=3-2θ
令E (X ) =3-2θ=X 则得到θ的矩估计值为θ?=（2）求θ的最大似然估计值
3-X
=2
3-
1+2+1
53
=
26
3
似然函数L (θ) =∏P {X i =x i }=P {X 1=1}P {X 2=2}P {X 3=1}
i =1
ln L (θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导
d ln L (θ) d θ
=
=θ
2
?2θ(1-θ) ?θ
5
2
=2θ(1-θ)
51-=0 61-θ
得到唯一解为θ?=
5 6
8．[九(1)] 设总体X ~N（μ，σ 2），X 1，X 1，?，X n 是来自X 的一个样本。试确定常
n -1
数c 使c ∑(X i +1-X i ) 2为σ2的无偏估计。
i =1
解：由于
n -1
2
n -1
2
n -1
2
2
E [c ∑(X i +1-X i ) ]=c [∑E (X i +1-X i ) ]=c ∑D (X i +1-X i ) +(E (X i +1-X i )) ]
i =1
i =1
i =1
n -1
n -1
i +1
=c ∑[D (X i +1) +D (X i ) +(EX
i =1
-EX 1) ]=c
2
∑(2σ
i =1
2
+0) =c (2n -1) σ
22
当c =
12(n -1)
n -1
时, c ∑(X i +1-X i ) 为σ的无偏估计
i =1
22
。
[十] 设X 1，X 2， X 3， X 4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量
T 1=
11
(X 1+X 2) +(X 3+X 4) 63
T 2=(X 1+2X 2+3X 3+4X 4) T 3=
(X 1+X
2
+X 3+X 4)
4
（1）指出T 1，T 2， T 3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 解：（1）由于X i 服从均值为θ的指数分布，所以
E (X i )= θ,
D (X i )= θ 2,
i=1,2,3,4
由数学期望的性质2°，3°有
E (T 1) =E (T 2) =E (T 3) =
11
[E (X 1) +E (X 2)]+[E (X 3) +E (X 4)]=θ 631
[E (X 1) +2E (X 2) +3E (X 3) +4E (X 4)]=2θ 5
1
[E (X 1) +E (X 2) +E (X 3) +E (X 4)]=θ 4
即T 1，T 2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°，3°并注意到X 1，X 2， X 3， X 4独立，知
D (T 1) =D (T 2) =
115[D (X 1) +D (X 2)]+[D (X 3) +D (X 4)]=θ36918112
[D (X 1) +D (X 2) +D (X 3) +D (X 4)]=θ 164
2
D (T 1)> D (T 2) 所以T 2较为有效。
14.[十四] 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。
解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（X ±
σn
， z α）
2
计算得X =6. 0, 查表z 0. 025=1. 96, σ=0. 6, 即为(6. 0±（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（X ±t 0.025(8)=2.3060.
S
2
0. 69
?1. 96) =(5. 608, 6. 392)
S n
，计算得X =6. 0，查表t α(n -1) ）
2
=
18
9
∑
i =1
(x i -) =
2
18
?2. 64=0. 33. 故为(6. 0±
0. 333
?2. 3060) =(5. 558, 6. 442)
16.[十六] 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
解：σ的置信度为0.95的置信区间为
(
(n -1) S
22
2
χα(n -1)
,
(n -1) S
2
χ
21-
α
2
(n -1)
) =(
8?11. 535
,
?112. 18
) =(7. 4, 21. 1)
其中α=0.05, n=9 查表知 χ
20. 025
(8) =17. 535, χ
20. 975
(8) =2. 180
19.[十九] 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n 1=n 2=20.得燃烧率的样本均值分别为x 1=18cm /s , x 2=24cm /s . 设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。
解：μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为
(X 1-X
±z α
2
σ1
2
2
n 1
+
σ2
n 2
2
) =(18-24+2. 58
0. 0520
2
?2) =(-6. 04, -5. 96).
其中α=0.01，z 0.005=2.58,
22
n 1=n 2=20, σ12=σ2=0. 05, X 1=18, X 2=24
20.[二十] 设两位化验员A ，B 独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次
2222
测定，其测定值的样本方差依次为S A =0. 5419, S B =0. 6065. 设σA , σB 分别为A ，B 所测
定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比σ为0.95的置信区间。
解：σ
(
2
A
2A
2B
的置信度
2B
的置信度为0.95的置信区间
S A
2
S B F α(n 1-1, n 2-1)
2
2
,
S A
S B F
2
1-α2
2
(n 1-1, n 2-1)
)
=(
0. 54190. 5419?4. 03
, ) = (0.222, 3.601).
0. 6065?4. 030. 6065
11
=。
F 0. 025(9, 9) 4. 03
其中n 1=n 2=10，α=0.05，F 0.025(9,9)=4.03, F 0. 975(9, 9) =
第八章 假设检验
1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
2 2
解：设测定值总体X ～N （μ，σ），μ，σ均未知
步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为t =
X -3. 25
~t (n -1)
S
n
（3）H 0的拒绝域为| t |≥t α(n -1).
2
（4）n=5, α = 0.01，由计算知=3. 252, S =
1n -1
5
∑(X
i =1
i
-X )
2
=0. 01304
查表t 0.005(4)=4.6041, |t |=
3. 252-3. 25
=0. 343
0. 013045
（5）故在α = 0.01下，接受假设H 0
2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比ωl =
1
(5-1) ≈0. 618，这样的矩2
形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）
H 0：μ = 0.618
H 1：μ≠0.618
0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为t =
X -0. 618
~t (n -1)
S
n
（3）H 0的拒绝域为| t |≥t α(n -1).
（4）n=20 α = 0.05，计算知
1=
n
n
∑x
i =1
i
=0. 6605, S =
1n -1
n
∑(x
i =1
i
-)
2
=0. 0925，
t α(n -1) =2. 0930, |t |=
0. 6605-0. 6180. 0925
20
=2. 055
2
（5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.618 3.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显著水平α = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H 0：μ≥1000，H 1：μ<>
解：步骤：（1）H 0:μ≥1000；H 1：μ<1000；（σ =100已知）="" （2）h="">
-1000
≤-z α
σ
n
（3）n =25，α = 0.05，=950， 计算知
-1000
=-2. 5<-z 0.="" 05="1.">
100
25
（4）故在α = 0.05下，拒绝H 0，即认为这批元件不合格。
12.[十一] 一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间=6. 5小时，样本标准差为s =2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α = 0.05。（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n 充分 大时
-μs
n
近似地服从正态分布。）
解：（1）提出假设H 0：μ≤8；H 1：μ>8 （2）当n 充分大时，
-μs
n -μs
n
近似地服从N （0，1）分布
（3）H 0的拒绝域近似为≥z α
（4）n =100，α = 0.05，=6. 5，S =2，由计算知
6. 5-82
|t |=
=7. 5>z 0. 05=1. 645
（5）故在α = 0.05下，拒绝H 0，即认为校长的看法是不对的。
14.[十三] 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆) 。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s =0.007(欧姆) ，设总体为正态分布。问在水平α = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
解：（1）提出H 0：σ ≤0.005；H 1：σ >0.005 （2）H 0的拒绝域为
(n -1) S
2
0. 0058?0. 0070. 005
22
2
≥χ
2α
(n -1)
（3）n =9，α = 0.05，S =0.007，由计算知
(n -1) S
2
0. 005
2
==15. 68>χ
2α
(n -1)
查表χ
20. 05
(8) =15. 507
（4）故在α = 0.05下，拒绝H 0，认为这批导线的标准差显著地偏大。 15.[十四] 在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α = 0.05）
H 0：σ 2 =0.112， H 1：σ 2 ≠0.112。 解：步骤（1）H 0：σ 2 =0.112； H 1：σ 2 ≠0.112 （2）选取检验统计量为χ（3）H 0的拒绝域为χ
2
2
=
(n -1) S 0. 11
2
2
~χ
2
2
(n -1)
2
≥χ
2α2
(n -1) 或χ≤χ
1-
α2
(n -1)
（4）n =20，α = 0.05，由计算知S =0.0925 ，
2
2
22
(n -1) S 0. 11
2
2
=13. 437
查表知χ0. 025(19) =32. 852, χ0. 975(19) =8. 907
（5）故在α = 0.05，接受H 0，认为总体的标准差σ为0.11.
16.[十五] 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ 为总体方差。试在水平α = 0.05下检验假设H 0：σ ≥0.04%；H 1：σ <0.04%。 解：（1）h="" 0：σ="" 2="" ≥(0.04%)2；h="" 1：σ="" 2=""><>
2
（2）H 0的拒绝域为
(n -1) S
2
(0. 04%)
2
≤χ
21-α2
(n -1) (9) =3. 325
（3）n =10，α = 0.05，S =0.037%，查表知χ
(n -1) S (0. 04%)
22
0. 95
由计算知
=
9?0. 037) (0. 04%)
2
2
=7. 701>χ
20. 95
(9).
（4）故在α = 0.05下，接受H 0，认为σ大于0.04%
2
17.[十六] 在第6[五]题中分别记两个总体的方差为σ12和σ2。试检验假设（取α = 2
0.05）H 0：σ12和σ2以说在第6[五]题中我们假设σ12=σ22是合理的。
222
解：（1）H 0：σ12=σ2, H 1:σ1≠σ2
（2）选取检验统计量为
F =
S 1S
2
2
2
~F (n 1-1, n 2-1)
(n 1-1, n 2-1)
（3）H 0的拒绝域为F ≥F α(n 1-1, n 2-1) 或F ≤F
2
1-
α2
（4）n 1=8，n 2=10，α = 0.05，查表知F 0.025(7,9)= 4.20
F 0. 975
S 1110. 00025
(7, 9) ===0. 207, F =2=
F 0. 025(9, 7) 4. 820. 00084S 2
2
=0. 298
F 0.975(7,9)
（5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为σ12=σ22
2
18.[十七] 在第8题[七]中分别记两个总体的方差为σ12和σ2。试检验假设（取α = 22222
, H 1:σ1≠σ2以说明在第8[七]题中我们假设σ1=σ2是合理的。 0.05）H 0：σ12=σ2
222
, H 1:σ1≠σ2 解：（1）H 0：σ12=σ2
（2）选取检验统计量 F =
S 1S
2
2
2
（3）n 1=n 2=12，α = 0.05，查表知
F 0.025(11,11)= 3.34，F 0. 975(11, 11) =由计算知
2S 1
11
==0. 299
F 0. 025(11, 11) 3. 34S 1
2
=0. 932, S
2
2
=1, 0. 299
S 2
2
=0. 932<3.>
（4）故在α = 0.05下，接受H 0，认为σ12=σ22
24.[二十三] 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α = 0.05）。 解：（1）H 0：总体X ~π(λ ) ；H 1：X 不服从泊松布；（λ未知） （2）当H 0成立时，λ的最大似然估计为λ?==1. （3）H 0的拒绝域为χ（4）n =100
?=P {X =0}=e P =0. 3679 0
0! ?=P {X =1}=1e P 1
1!
21
-1-12
=
∑
2f ?i
?i n p
-n >χα(k -γ-1)
2
=0. 3679
-1
?=P {X =2}=1e P 2
2! ?=P {X =3}=1e P 3
3!
43
=0. 18397 =0. 06132
-1
?=P {X =4}=1e P 4
4! ?=P {X =5}=1e P 5
5!
65
-1
=0. 01533 =0. 003066
-1
?=P {X =6}=1e P 6
6! ?=P {X =7}=1-P 7
-1
=0. 000511
6
?
∑P
i =0
i
=0. 000083
?<5 对于j="">3，n P j
将其合并得
?∑n P
j =37
j
=8. 023
合并后，K =4，Y =1 查表知χ
20. 05
(4-1-1) =5. 991
2
由计算知χ
3640195=+++-100=1. 444 36. 7936. 7918. 3978. 023
2222
（5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。
