海潮i31243722
范文一：【精品文献】余弦定理,诱导公式,二倍角公式,半角公式 积化和差公式 和差化积
三角公式总结
2nπRn,R,112?L=R= S=L= ,,弧长扇R=R18022360
bca?正弦定理:=== 2R(R为三角形外接圆半径) sinAsinBsinC
222222?余弦定理:a=b+c-2bc b=a+c-2ac cosBcosA
222bca，,222c=a+b-2ab cosA cosC,2bc
1111abc2?S=a=ab=bc=ac==2R,hsinCsinAsinBsinAsinBsinC? a22224R
222asinBsinCbsinAsinCcsinAsinB====pr= p(p,a)(p,b)(p,c)2sinA2sinB2sinC
1(其中, r为三角形内切圆半径) p,(a，b，c)2
?同角关系:
,,xcossinyctg,,,,cos,,csc,?商的关系:?=== ? tg,sin,,sec,xcos,ysin,
r1y? ? sec,,,,tg,,csc,sin,,,cos,,tg,xcosr,
r1xcsc,,,,ctg,,sec,? ? cos,,,sin,,ctg,ysinr,
?倒数关系: sin,,csc,,cos,,sec,,tg,,ctg,,1
222222?平方关系: sin,，cos,,sec,,tg,,csc,,ctg,,1
22? (其中辅助角与点(a,b)asin,，bcos,,a，bsin(,，,),
btg,在同一象限，且) ,a
1
?函数y=k的图象及性质:() Asin(,,x，,)，,,0,A,0
,21振幅A，周期T=, 频率f=, 相位，初相 ,,,x，,,T
,,3?五点作图法:令依次为 求出x与y， ,x，,0,,,,2,22
依点作图 ，，x,y
?诱导公式
三角函数值等于, sin cos tg ctg 的同
三角函数值，前面加上 - -tg,ctg, - + -,cos,sin,名
tg,ctg, 一个把sin,cos,,- +---,,看作锐角时，原
tg,ctg, ,,sin,cos,三角函数值的符号;即:+--++
tg,ctg, sin,cos,2 函数名不变，符号看象限 ,,-+---
tg,ctg, sin,cos,2k ,,+++++
三角函数值等于, sin con tg ctg 的异, ctg,tg, cos,sin, 三角函数值，前面加上,,++++名2
, ctg,tg, cos,sin,一个把, ，,+---看作锐角时，原2
,3 ctg,tg, cos,sin, ,,三角函数值的符号;即:-++-2
,3 ctg,tg, cos,sin,函数名改变，符号看象限 ，,-+--2
2
?和差角公式
? ? sin(,,,),sin,cos,,cos,sin,cos(,,,),cos,cos,,sin,sin,
,,tg,tg,,tg(,),? ? tg,,tg,,tg(,,,)(1,tg,,tg,)1,tg,,tg,
,,,,,,tg，tg，tg,tg,tg,tg,,,tg(，，),? 其中当A+B+C=π时,有: 1,tg,,tg,,tg,,tg,,tg,,tg,
ABACBCi). ii). tgA，tgB，tgC,tgA,tgB,tgCtgtg，tgtg，tgtg,1222222?二倍角公式:(含万能公式)
,2tg,,,sin2,2sincos,? 21，tg,
2,1,tg2222,,,,,cos2,cos,sin,2cos,1,1,2sin,? 21，tg,
2,1cos22tg1cos2tg,,,，,22,tg2,sincos? ? ?,,,,,221,tg,122，tg, ?三倍角公式:
3? sin3,,3sin,,4sin,,4sin,sin(60:,,)sin(60:，,)
3? cos3,,,3cos,，4cos,,4cos,cos(60:,,)cos(60:，,)
3,,3tg,tg?tg,3,,tg,,tg(60,,),tg(60，,) 21,3tg,
,?半角公式:(符号的选择由所在的象限确定) 2
1cos1cos1cos,,,,,,,，,2sinsincos? ? ? ,,,,,222222
3
1cos,，,,,222?cos ? ? 1cos2sin1cos2cos,,，,,,,2222
,,,,2?1sin(cossin)cossin ,,,,,,2222
,,,,1,cossin1,cos?tg,,,, 21，cos,1，cos,sin,
?积化和差公式:
11,,,,sin,cos,,sin(,，,)，sin(,,,)cos,sin,,sin(,，,),sin(,,,)22
11,, ,,，， cos,cos,,cos(,，,)，cos(,,,)sin,sin,,,cos(,，,),cos,,,22
?和差化积公式:
,，,,,,,，,,,,sinsin2sincossinsin2cossin? ? ，,,,,,,,2222
,，,,,,,，,,,,coscos2sinsincoscos2coscos? ? ，,,,,,,,,2222?反三角函数:
名称 函数式 定义域 值域 性质
y,arcsinx,,，，,,增 arcsin(-x),-arcsinx奇 ,1,1反正弦函数 ,, ,,22，，
y,arccosxarccos(,x),,,arccosx ,, 0,,减 ,,,1,1反余弦函数
y,arctgx,,,,arctg(-x) , -arctgx奇 反正切函数 R 增 ,, ,,22,,
y,arcctgxarcctg(,x),,arcctgx, ，， 0,,反余切函数 R 减
4
?最简单的三角方程
方程 方程的解集
sinx,a a,1 ,,x|x,2k,，arcsina,k,Z
k a,1 ,,，，x|x,k,，,1arcsina,k,Z
cosx,a a,1 ,,x|x,2k,，arccosa,k,Z
a,1 ,,x|x,2k,,arccosa,k,Z
tgx,a,, x|x,k,，arctga,k,Z
ctgx,a ,,x|x,k,，arcctga,k,Z
5
6
范文二：余弦定理公式
1(三角形基本公式:
(1)内角和定理:A+B+C=180?，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
A，BA，BCCcos=sin, sin=cos 2222
111(2)面积公式:S=absinC=bcsinA=casinB 222
a，b，cS= pr = (其中p=, r为内切圆半径) p(p,a)(p,b)(p,c)2
(3)射影定理:a = bcosC + ccosB;b = acosC + ccosA;c = acosB + bcosA
abc2(正弦定理: ,,,2R外sinsinsinABC
证明:由三角形面积
111 SabCbcAacB,,,sinsinsin222
abc,,得 sinsinsinABC
abc,,,2R画出三角形的外接圆及直径易得: sinsinsinABC
222bca，,2223(余弦定理:a=b+c-2bccosA, cosA,; 2bc
证明:如图ΔABC中， C
CHbAAHbABHcbA,,,,sin,cos,cosab
222222aCHBHbAcbA,，,，,sin(cos)ABc H22,，,bcbcA2cos
当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题( 4(利用正弦定理，可以解决以下两类问题:(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角;
有三种情况:bsinA
(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 6(熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，
确定解三角形的方法;提高运用所学知识解决实际问题的能力
历年考题
3,ABCAC,2BC,1cosC, 如图，在中，，，( 4
AB(1)求的值;
，，sin2A，C(2)求的值.
解(1): 由余弦定理，
222 ABACBCACBCC,，,2..cos
3 ,，,，，，,412212.4
? AB,2.
3(2)解:由，且得 cosC,0,,,C,4
72 sin1cos.CC,,,4
ABBC由正弦定理: ,,sinsinCA
BCCsin1452解得。所以，。由倍角公式 cosA,sinA,,8AB8
57， sin2sin2cosAAA,,,16
92且，故 cos212sinAA,,,16
37. sin2sin2coscos2sinACACAC，,，,，，8
解题方法:已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.
32在ΔABC中，已知a=,b=,B=45?，求A,C及边c(
,asinB3,sin453解:由正弦定理得:sinA=,因为B=45?<>
所以有两解A=60?或A=120?
,bsinC2,sin756，2,,(1)当A=60?时,C=180?-(A+B)=75?， c=, ,sinB2sin45
,bsinC2,sin156,2,,(2)当A=120?时,C=180?-(A+B)=15 ?，c= ,sinB2sin45
解题方法:已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论(
新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，
,同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B
1:处救援(角度精确到),
[解] 连接BC,由余弦定理得
222新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.comBC=20+10,2×20×10COS120?=700 北_
新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com7 于是,BC=10
A_ 3sinACBsin120:B_ 20_ , ?, ?sin?ACB=, 72010710_ 30?C_ ??ACB<90? acb="">
新疆源头学子小屋http://wwwxjktyg..comwxc//特级教师王新敞wxckt@126.com?乙船应朝北偏东71?方向沿直线前往B处救援
已知?O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有 22成立，求?ABC面积S的最大值( ，，，，2RsinA,sinC,2a,bsinB
解:由已知条件得
222222(即有 ， a,c,2ab,b，，，，，，2RsinA,sinB,2RsinB2a,b
2223,2a，b,c,又 ? ( ，,cosABC,,c,22ab44
1222? S,absinC,ab,,4RsinAsinB244
3,2,,2sinsin()RAA4
222,，2sin(cossin)RAAA22 2R(sin21cos2)AA,，,2
2R,[2sin(2)1]A,,，24
,,,32，12,,,,即当时, ( 2,()AABS,Rmax2428
ABCNACMNABCG1MAB如图,已知?是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过?的中心.设
,,2，,,,MGA(). ,,33
AGMAGN(1) 试将?、?的面积(分别记为S与S)表示为的函数; ,1211(2) 求的最大值与最小值. y,，22SS12
解:
GABC1 (1)因为为边长为的正三角形的中心,
233,,，,，, 所以 AGMAG,.3236
GMGA3得,GM, 由正弦定理 ,,,,,，6sin(),,,sinsin(),,666
1sin1, 则或,,,,,SGMGAsin().,1,2，6(3cot),，12sin(),6
GNGA3 又得,,,,GN,,,,,sinsin()6sin(),,666
1sin1, 则或,,,,,,SGNGAsin()().,,2,2,6(3cot),,12sin(),611144,,，，222 ,，,，，,,，(2)sin()sin()72(3cot).y,,,222,,SSsin66,，，12
,,2,,2 因为,,,所以当,,或时,的最大值; yy,240,,,max3333
, 当,时, 的最小值. yy,216,min2
范文三：余弦定理公式
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形
一、明确复习目标
掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。
二,建构知识网络
1(三角形基本公式:
(1)内角和定理:A+B+C=180?，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
A，BA，BCCcos=sin, sin=cos 2222
111)面积公式:S=(2absinC=bcsinA=casinB 222
a，b，cS= pr = (其中p=, r为内切圆半径) p(p,a)(p,b)(p,c)2(3)射影定理:a = bcosC + ccosB;b = acosC + ccosA;c = acosB + bcosA
abc正弦定理: 2(,,,2R外sinsinsinABC
证明:由三角形面积
111 SabCbcAacB,,,sinsinsin222
abc,,得 sinsinsinABC
abc画出三角形的外接圆及直径易得: ,,,2RsinsinsinABC
222bca，,2223(余弦定理:a=b+c-2bccosA, ; cosA,2bc
证明:如图ΔABC中， C
CHbAAHbABHcbA,,,,sin,cos,cosab
222222aCHBHbAcbA,，,，,sin(cos)ABc H22,，,bcbcA2cos
当A、B是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题(
4(利用正弦定理，可以解决以下两类问题:
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角;有三种情况:
bsinA
5(利用余弦定理，可以解决以下两类问题:
(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
6(熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法;提高运用所学知识解决实际问题的能力 三、双基题目练练手
,1((2006山东)在中，角的对边分别为，已知，ABC,,abc,,Aab,,,,3,1,ABC3则 ( ) c,
A.1 B.2 C. D. 31,3
2(在?ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为( ) 13
32333A. B. C. D. 33222
3((2002年上海)在?ABC中，若2cosBsinA=sinC，则?ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
4. (2006全国?)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一cm
个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 ( )
2222A. B. C. D. 85cm610cm355cm20cm
5.(2006全国?)已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，ABC
则边BC上的中线AD的长为_________.
6.(2006春上海)在?中，已知BC,8,AC,5，三角形面积为12，则 ABCcos2C,
.
222acb，,?答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，?a=b. ac
74.组成边长6,7,7时面积最大; 5. ; 6. 325四、经典例题做一做
【例1】(2006天津)如图，在中，，，,ABCAC,2BC,1
3( cosC,4
(1)求的值; AB
(2)求的值. ，，sin2A，C
解(?): 由余弦定理，
222 ABACBCACBCC,，,2..cos
3 ,，,，，，,412212.4
? AB,2.
3(?)解:由，且得 0,,,C,cosC,4
72 sin1cos.CC,,,4
ABBC由正弦定理: ,,sinsinCA
BCCsin1452。所以，。由倍角公式 解得sinA,,cosA,8AB8
57， sin2sin2cosAAA,,,16
92且，故 cos212sinAA,,,16
37. sin2sin2coscos2sinACACAC，,，,，，8?提炼方法:已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形
内角”的限制.
【例2】在ΔABC中，已知a=,b=,B=45?，求A,C及边c( 32
,asinB3,sin453解:由正弦定理得:sinA=,,,因为B=45?<>
所以有两解A=60?或A=120?
,bsinC2,sin756，2(1)当A=60?时,C=180?-(A+B)=75?， c=, ,,,sinB2sin45
,bsinC2,sin156,2,C=180?-(A+B)=15 ?，c= (2)当A=120?时,,,sinB2sin45
?提炼方法:已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论(
)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B【例3】(2006上海
,新疆源头学子小屋http://www.xjktygcom./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到), 1:
[解] 连接BC,由余弦定理得
222新疆源头学子小屋http://www.xjktygcom./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.BC=20+10,2×20×10COS120?=700 ?_ 新疆源头学子小屋http://www.xjktygcom./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com. 于是,BC=10 7
sinACBsin120:3A_ B_ 20_ ,, ?sin?ACB=, ?20710710_ 30? ??ACB<90? acb="41?" c_="">
新疆源头学子小屋http://www.xjktygcom./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.?乙船应朝北偏东71?方向沿直线前往B处救援
思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法;
【例4】已知?O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有
22，，，，成立，求?ABC面积S的最大值( 2RsinA,sinC,2a,bsinB
解:由已知条件得
222222，，，，，，(即有 ， 2RsinA,sinB,2RsinB2a,ba,c,2ab,b
2223,2a，b,c,cos又 ? ( c,，,C,,AB224ab4
1222? S,absinC,ab,,4RsinAsinB244
3,2,,2sinsin()RAA4
222,，2sin(cossin)RAAA22 2R,，,(sin21cos2)AA2
2R,,,，[2sin(2)1]A24
,,,32，12当时, ( S,R,,,,即2,()AABmax2428
?思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段(一般有两种思路:一是边化角;二是角化边。
2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理(在求值时，要利用三角函数的有关性质(
【研讨.欣赏】
(2006江西)如图,已知?是边长为的正三角形, M、分别是边AB、上1ABCNAC
,,2的点,线段经过?的中心.设. ，,,,MNABCGMGA(),,33
(1) 试将?、?的面积(分别记为与)表示为的函数; SS,AGMAGN12
11(2) 求的最大值与最小值. y,，22SS12
解:
(1)因为为边长为1的正三角形的中心, GABC
233, 所以 ,，,，, AGMAG,.3236
GMGA3 由正弦定理 ,,得,GM,,,,sinsin(),,,,，,6sin()666
1sin1, 则或,,,,,SGMGAsin().,1,2，6(3cot),，12sin(),6
GNGA3 又得,,,,GN,,,,,,,sinsin()6sin()666
1sin1, 则或,,,,,,SGNGAsin()().,,2,2,6(3cot),,12sin(),6
11144,,，，222 ,，,，，,,，(2)sin()sin()72(3cot).y,,,222,,SSsin66,，，12
,,2,,2,所以当时,的最大值; 因为y,240y,,,,或,,,max3333
, 当时, 的最小值. yy,216,,min2
五,提炼总结以为师
1(掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理;
(利用正弦定理，可以解决以下两类问题: 2
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题:
(1) 已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4(边角互化是解三角形的重要手段(
同步练习 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形
【选择题】
11.(2004浙江)在?ABC中，“A,30?”是“sinA,”的 ( ) 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2004全国?)?ABC中，a、b、c分别为?A、?B、?C的对边，如果a、b、c
3成等差数列，?B=30?，?ABC的面积为，那么b等于 ( ) 2
1，3A. B.1+ 32
2，3C. D.2+ 32
3..下列条件中，?ABC是锐角三角形的是 ( )
1A.sinA+cosA= B.?,0 ABBC5
C.tanA+tanB+tanC,0 D.b=3，c=3，B=30? 3
4.(2006全国?)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比,ABC
数列，且，则 ( ) ca,2cosB,
1322A. B. C. D. 4344
【填空题】
5.(2004春上海)在中，分别是、、所对的边。若，A，Ba、b、c,ABC，C
,,，，， 则__________ c,，A,105，B,45b,22
6.在锐角?ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.
1练习简答:1-4.BBCB; 1.在?ABC中，A,30?0,sinA,1sinA,;sinA,21,30?,A,150?A,30?答案:B ,,2
1132222222. 2b=a+c.平方得a+c=4b,2ac.由S=acsin30?=ac=，得ac=6.?a+c=4b242
2222224b,12,bacb4，,b,3,12.得cosB====，解得b=1+.答案:B 32ac2，642
3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,0，A、B、C都为锐角.答案:C 5.2; 6.若c最大，由cosC,0.得c,.又c,b,a=1，?1,c,. 55
【解答题】
7.(2004春北京)在?ABC中，a、b、c分别是?A、?B、?C的对边长，已知a、
bsinB22b、c成等比数列，且a,c=ac,bc，求?A的大小及的值. c
剖析:因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求?A，需找?A与三边的关系，故
2bsinBb2可用余弦定理.由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值. cc2解法一:?a、b、c成等比数列，?b=ac.
22222又a,c=ac,bc，?b+c,a=bc. 在?ABC中，由余弦定理得
222bca，,1bccosA===，??A=60?. 2bc2bc2
bsinA在?ABC中，由正弦定理得sinB=， a
2?b=ac，?A=60?，
2bsinBbsin60:3?=sin60?=. ,cac2
解法二:在?ABC中，
11由面积公式得bcsinA=acsinB. 22
22?b=ac，?A=60?，?bcsinA=bsinB. bsinB3?=sinA=. c2
评述:解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系
常用正弦定理.
28.(2005春北京)在?ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和?2
ABC的面积.
2cos(A,45?)=， 解法一:?sinA+cosA=22
1?cos(A,45?)=. 2
又0?,A,180?，
?A,45?=60?，A=105?.
1，3?tanA=tan(45?+60?)==,2,. 31,3
?sinA=sin105?=sin(45?+60?)
2，6=sin45?cos60?+cos45?sin60?=. 4
1?S=AC?ABsinA ?ABC2
2，61=?2?3? 24
3=(+). 624
2解法二:?sinA+cosA=， 2
?
112?(sinA+cosA)=.?2sinAcosA=,. 22?0?,A,180?，?sinA,0，cosA,0. ?90?,A,180?.
32?(sinA,cosA)=1,2sinAcosA=， 2
6?sinA,cosA=. 2
?
2，6?+?得sinA=. 4
2,6?,?得cosA=. 4
4sinA2，6?tanA==?=,2,. 3cosA42,6
(以下同解法一)
319. (2004全国?)已知锐角?ABC中，sin(A+B)=，sin(A,B)=. 55
)求证:tanA=2tanB; (1
(2)设AB=3，求AB边上的高.
剖析:有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以(1)为铺垫，
解决(2).
31(1)证明:?sin(A+B)=，sin(A,B)=， 55
3,sinAcosB，cosAsinB,,,5? ,1,sinAcosB,cosAsinB,,5,
2,sinAcosB,,tanA,5,,=2. ,1tanB,cosAsinB,,5,
?tanA=2tanB.
π3(2)解:,A+B,π，?sin(A+B)=. 25
3?tan(A+B)=,， 4
tanA，tanB32即=,.将tanA=2tanB代入上式整理得2tanB,4tanB,1=0，解得1,tanAtanB4
2,62，6tanB=(负值舍去).得tanB=，?tanA=2tanB=2+. 622
3CDCDCD设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，6tanAtanB2，6
所以AB边上的高为2+. 6
评述:本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.
sinB，sinC10. 在?ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. cosB，cosC
分析:判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.
采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.
解:应用正弦定理、余弦定理，可得
bc，a=，所以 222222cababc，,，,，2ca2ab
222222cababc，,，,，,，bc, 22cb
222化简得a=b+c.所以?ABC是直角三角形.
评述:恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本
题可以从已知条件推出cosA=0.
2sinA【探索题】已知A、B、C是?ABC的三个内角，y=cotA+. cosA，cos(B,C)(1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论. (2)求y的最小值.
2sinπ,(B，C),,解:(1)?y=cotA+ ,,cosπ,(B，C)，cos(B,C)
2sin(B，C)=cot A+ ,cos(B，C)，cos(B,C)
sinBcosC，cosBsinC=cot A+ sinBsinC
=cotA+cotB+cotC，
?任意交换两个角的位置，y的值不变化.
(2)?cos(B,C)?1，
A21,tan2sinA1AAA2?y?cotA+=+2tan=(cot+3tan)?A1，cosA22222tan2
AA=. 3tan,cot322
π故当A=B=C=时，y=. 3min3
评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问
题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在?ABC中，求证:cotA+cotB+cotC?. 3可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC =cotAcotBcotC来证.
范文四：余弦定理公式大全
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形
建构知识结构
1．三角形基本公式：
（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
A +B A +B C C =sin, sin =cos
2222111
（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB
222
a +b +c
S= pr =p (p -a )(p -b )(p -c ) (其中p=, r 为内切圆半径)
2
cos
（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：
a b c
===2R 外 sin A sin B sin C
证明：由三角形面积
111
ab sin C =bc sin A =ac sin B 222a b c
==得 sin A sin B sin C
a b c
===2R 画出三角形的外接圆及直径易得：
sin A sin B sin C S =
b 2+c 2-a 2
3．余弦定理：a =b +c -2bccosA , cos A =；
2bc
2
2
2
证明：如图ΔABC 中，
CH =b sin A , AH =b cos A , BH =c -b cos A a 2=CH 2+BH 2=b 2sin 2A +(c -b cos A ) 2
=b +c -2bc cos A
2
2
B
当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
练习题
1．(2006山东) 在?ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c
，已知A =A.1
B.2
1
π
3
, a =b =1，则c = （ ）
2．在△ABC 中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC 上的高为（ ）
A.
33233
B. C. D. 33
222
3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sinC ，则△ABC 的形状一定是
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4. (2006全国Ⅰ) 用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )
2
A.
B.
m 2 C.
2 D. 20cm
2
5. （2006全国Ⅱ）已知 ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.
6.(2006春上海) 在△ABC 中，已知BC =8, AC =5，三角形面积为12，则cos 2C = .
a 2+c 2-b 2
◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cos B sin A =sinC 得×a =c ，∴a =b .
ac 4. 组成边长6,7,7时面积最大
; 5.
7 25
四、经典例题
【例1】(2006天津) 如图，在?ABC 中，AC =2，BC =1，cos C =（1）求AB 的值； （2）求sin (2A +C )的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，
AB =AC +BC -2AC . BC .cos C =4+1-2?2?1?∴AB =（Ⅱ）解：由cos C =
2
2
2
3
． 4
3
=2.
4
3
，且0
4
sin C ==
由正弦定理:
AB BC
=,
sin C sin A
解得sin A =
BC sin C =
。所以，cos A =。由倍角公式
AB
sin 2A =sin 2A ?cos A =
且cos 2A =1-2sin A =
2
， 169
，故 16
sin (
2A +C )=sin 2A cos C +cos 2A sin C =
. 8
◆解读思想：已知两边夹角, 用余弦定理, 由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.
【例2】在ΔABC 中，已知a=,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．
a sin B ?sin 45 3
解：由正弦定理得：sinA=, 因为B=45°<>
b 22
所以有两解A=60°或A=120°
b sin C
(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c==
sin B b sin C
(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c==
sin B
2?sin 75 6+2
, =
2sin 45
2?sin 15 6-2
=
2sin 45
◆解读思想：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．
【例3】(2006上海) 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少
度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1?）？
[解] 连接BC, 由余弦定理得
BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700
于是
3sin ACB sin 120?
=, ∴sin ∠ACB=, 20710 ∵∠ACB<90° ∴∠acb="">
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B
点拨纠正:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角
形的方法；
【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有
2R sin 2A -sin 2C =
解：由已知条件得
(
)2a -b sin B 成立，求△ABC 面积S 的最大值．
)
(2R )2
(sin
2
A -sin 2B =2R sin B
)
2a -b ．即有 a 2-c 2=2ab -b 2，
)
3πa 2+b 2-c 22π
=又 cos C = ∴ c = ．A +B =
2ab 244
∴ S =
122ab sin C =ab =?4R 2sin A sin B 244
=2sin A sin(=2sin A 2
3π
-A ) 4
A +A ) 22
R
(sin2A +1-cos 2A ) 2R 2π=A -) +1]24=
当2A -
π
4
=
π
2
, 即A =
3π+12
(=B ) 时, S max =R ．
28
◆思路方法:1. 边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。
2. 三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．
【研讨. 欣赏】
（2006江西）如图, 已知△ABC 是边长为1的正三角形, M 、N 分别是边AB 、AC 上的点, 线段MN 经过△ABC 的中心G . 设∠MGA =α(
π
3
≤α≤
2π
) . 3
(1) 试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为S 1与S 2) 表示为α的函数; (2) 求y =
11
的最大值与最小值. +22
S 1S 2
解:
(1)因为G 为边长为1的正三角形ABC 的中心,
所以AG =
2π?=, ∠MAG =. 3236
由正弦定理
GM sin
6
=
GA sin(π-
α-)
6
, 得GM =
6sin(α+)
6
则S 1=
1s i αn G M ?G A s ?i n α或
(
212s i αn (+) 6
=
GA sin(α-)
6
). )
又
GN sin
6
, 得
GN =
6sin(α-) 6
1sin α则S 2=GN ?GA ?sin(π-α) =(或=
212sin(α-) 6(2)y =
11144+=2S 12S 2sin 2α
ππ??222
sin (α+) +sin (α-) =72(3+cot α). ??66?
?
因为
π
3
≤α≤
2ππ2π, 所以当α=或α=时, y 的最大值y max =240; 333
当α=
π
2
时, y 的最小值y min =216.
提炼总结
1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3. 利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4．边角互化是解三角形的重要手段．
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形
【选择题】
1
”的 ( ) 2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. （2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，1. （2004浙江）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞△ABC 的面积为
A. C. 1+3
2
3
，那么b 等于 ( ) 2
B.1+
2+ D.2+ 2
3.. 下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( )
A.sin A +cosA =
1 5
B. AB ·BC ＞0 D. b =3，c =3，B =30°
C.tan A +tanB +tanC ＞0
4.(2006全国Ⅰ) ?ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ，则c o s B = ( )
A .
13 B. C.
D.
4443
【填空题】
b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边。5. （2004春上海）在?ABC 中，a 、若∠A =105 ，∠B =45 ，b =22，
则c =__________
6. 在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.
练习简答：1-4.BBCB; 1. 在△ABC 中，A ＞30°?0；sin A ＞
＞30°答案：B
1
21
?30°0，A 、B 、C 都为锐角. 答案：C
5.2; 6. 若c 最大，由cos C ＞0. 得c b －a =1，∴10，cos A ＜0. ∴90°＜A ＜180°.
∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =∴sin A －cos A =①+②得sin A =①－②得cos A =
6. 2
3， 2
②
2+6
. 42-6
. 4
∴tan A =
42+sin A
=·=－2－.
4cos A -6
（以下同解法一）
9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=
31
，sin （A －B ）=. 55
（1）求证：tan A =2tanB ；
（2）设AB =3，求AB 边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）. （1）证明：∵sin （A +B ）=
31，sin （A －B ）=， 55
3?
sin A cos B +cos A sin B =??5∴?
1?sin A cos B -cos A sin B =
?5?2?sin A cos B =?tan A ?5???=2.
1tan B ?cos A sin B =
?5?
∴tan A =2tanB . （2）解：
π3
＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=. 25
3
， 4
∴tan （A +B ）=－即
2±63tan A +tan B
=－. 将tan A =2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =（负值舍去）.
241-tan A tan B
2+6
得tan B =，∴tan A =2tanB =2+.
2
3CD CD CD
设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =+=. 由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+.
tan A tan B 2+6
评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.
sin B +sin C
，判断这个三角形的形状.
cos B +cos C
分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定. 采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
b +c
a =2，所以 22222
c +a -b a +b -c
+
2ca 2ab
10. 在△ABC 中，sin A =
c 2+a 2-b 2a 2+b 2-c 2
+=b +c ,
2c 2b
化简得a 2=b 2+c 2. 所以△ABC 是直角三角形.
评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键. 若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.
2sin A
.
cos A +cos （B -C ）
（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化? 试证明你的结论. （2）求y 的最小值.
]2sin [π-（B +C ）
解：（1）∵y =cotA +
+cos cos π-（B +C ）（B -C ）【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cotA +=cot A +=cot A +
2sin （B +C ）
-cos （B +C ）+cos （B -C ）
sin B cos C +cos B sin C
sin B sin C
=cotA +cotB +cotC ，
∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，
A
2sin A +2tanA =1（cot A +3tanA ）≥3tan A ?cot A =. ∴y ≥cot A +=
A 221+cos A 22222tan
2
1-tan 2
π
时，y min =3. 3
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处. 第（2）问实故当A =B =C =
际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cotB +cotC ≥.
可由三数的均值不等式结合cot A +cotB +cotC =cotA cot B cot C 来证.
范文五：三面角第一余弦定理
2、三
面角第一余弦定理： cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。 3、三面角第二余弦定理： cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。
sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。
3、圆排列
从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。 计算公式： n个不同元素的m-圆排列数为 n!/[(n-m)!*m] 特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数为 （n-1）！。
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
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