范文一:2015上海新知杯预选赛试题
2015上海新知杯预选赛试题 2015.10 一、填空题(每题5分)
221. 在三角形ABC中,AB,b,1,BC,a,CA,2a,其中是大于1的整数,a,b
b,a,则 。
2. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。
4323. 已知关于的方程有实根,并且所有实根xx,2x,(3,k)x,(2,k)x,2k,0
的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。 B
ABCAC,1BC,24. 如图,直角三角形中,,P为斜边AB上PEPE,BCPF,CA一动点。,,则线段EF长的最小值
为 。
ACF
22c,d5. 设是方程x,68x,1,0的两个根,是方程x,86x,1,0的两个根,则 a,b
的值为 。 ,,,,,,,,a,cb,ca,db,d
6. 在平面直角坐标系中有两点,,函数的图像与线段延长,,,,P,1,1Q2,2y,kx,1PQ
k线相交(交点不包括),则实数的取值范围是 。 Q
,,ABCDAB,BC,CD,ABC,78,BCD,1627. 如图,四边形中,,。设AD,BC
E,AEB,延长线交于,则_________________.
FAA
DD
BCBCEE
ABCD8. 如图,在直角梯形中,DC
,AB,BC,10BCM,ABC,,BCD,90,,点在
,DCM,ADM,ABM上,使得是正三角形,则与的
M面积和是________________。
BA
,,ABCCACD,1,AD,3,二、(本题15分)如图,中,,点在上,使得 D,ACB,90
,BDC,3,BAC,BC并且求的长。
BB
CCAADED
22a,b与a,b三、 (本题15分)若两个实数使得都是有理数,称数对是和谐,,a,ba,b
的。
? 试找出一对无理数,使得是和谐的; ,,a,b
a,b? 证明:若是和谐的,且是不等于1的有理数,则都是有理数; ,,a,ba,b
a? 证明:若是和谐的,且是有理数,则都是有理数。 ,,a,ba,bb
22四. (本题15分)?求证:存在整数x,y,满足 x,4xy,y,2113。
22?是否存在整数x,y,满足请证明你的结论。 x,4xy,y,2015,
DNC 五、(本题15分)如图,正方形ABCD的边长为1,点M、N分别在
BC、CD上,使得?CMN的周长为2。求
(1)?MAN的大小; M (2)?MAN面积的最小值。
AB
新知杯模拟试题(参考答案)
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10题每题10分,共90分)
a,ba,2.5,28.51. 对于任意实数,定义=,已知,则实数的值是aa(a,b),ba,b
_________。
13【答案】4或 ,2
22【解析】,,,a,2.5a,262a,5a,52,0,,aa,2.5,2.5,28.5
13a,4,所以或 ,,,,,2a,13a,4,02
22AB,b,1,BC,a,CA,2a,其中2. 在三角形ABC中,是大于1的整数,a,b
b,a,则 。
【答案】0
222AB,BC,CA.【解析1】若,即矛盾 b,a,则b,1,(a,1),1,a,2a
222b,aAB,BC,CA若,则,即矛盾,b,a,1,b,1,(a,1),1,a,2a
?b,a,0
2a,2【解析2】是大于1的整数,所以,此时,a,b,,BC,CA,a,2a,aa,2,0?
222?BC,CA,AB,BC,CAa,2a,b,1,a,2a,即,
222?b,ab,a,0a,1,b,a,即,,即 ,,,,?a,1,b,a,1
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。
【答案】50,94
y【解析】设两边长分别为和,则,,所以周长为x2xy,92xy,46,1,46,2,23
,,,,2,1,46,94或2,2,23,50
4324. 已知关于x的方程有实根,并且所有实根的x,2x,(3,k)x,(2,k)x,2k,0
乘积为-2,则所有实根的平方和为 。
【答案】5
2222?x,x,k,0【解析】原方程可化为,(x,x,2)(x,x,k),0,?x,x,2,0
222?k,,2?x,x,2,0x,,2,x,1,,,即 x,x,4,1,51212
ABCAC,1BC,25. 如图,直角三角形中,,为斜边上一动点。PAB
PE,BCPF,CA,,则线段长的最小值为 。 EF
B
PE
ACF
25【答案】 5
x2,yEPBECF,x,【解析】设,,则,,所以,,EC,yy,2,2xCABC12
2444,,222222,当x,,(22)5845EF,x,y,x,,x,x,x,,x,,,,555,,
4252EF,,y,时,最小。 555
22c,dx,68x,1,0x,86x,1,06. 设是方程的两个根,是方程的两个根,则 a,b
的值为 。 ,,,,,,,,a,cb,ca,db,d
【答案】2772
?a,b,,68ab,1c,d,86cd,1【解析】,,,, ,,,,,,,,?a,cb,ca,db,d
2222 ,,,,,(ab,(a,b)c,c)(ab,(a,b)d,d),1,68c,c1,68d,d
,(86c,68c)(86d,68d),18,154cd,27727. 在平面直角坐标系中有两点,,,,,,函数的图像与线段延长P,1,1Q2,2y,kx,1PQ
k线相交(交点不包括),则实数的取值范围是 。 Q
31,k,【答案】 32
13211202,,?,k,k,,k,,【解析】, 2132,,,,213213,,,,
8. 方程xyz,2009的所有整数解有 组。
【答案】72
2009,287,7,1,1,1,2009,7,7,41,1,49,41【解析】
正整数解6+3+3+6=18组,非正整数解18×3=54组,共72组
,,ABCDAB,BC,CD9. 如图,四边形中,,。设,ABC,78,BCD,162AD,BC
延长线交于,则_________________. E,AEB,
FAA
DD
BCBCEE
,【答案】21
BCFCABCF【解析】作AF?,?AB,易知,四边形为平行四边形,
,,BAF,,FCB,180:,,ABC,102:,,?,FCD,162:,102:,60,CDF是等边三角形,即,AFD为等腰三角形,
,,AFD,78:,60:,138:, ,AEB,,FAE,21
,ABCDAB,BC,10BCM10. 如图,在直角梯形中,,ABC,,BCD,90,,点在
,DCM,ADM,ABM上,使得是正三角形,则与的面积和是________________。
DCHDC
MM
BBAA
300,1503【答案】
BM,HD,x,ABM,AHD【解析】将图补成正方形,易知?,令,则
2222CD,CM,10,x,由勾股定理得,解得,,,,10,x,10,x,x,10
211,,,,S,,10,20,103,103,10,300,1503x,20,103, 22
,,ABCCACD,1,AD,3,D,ACB,90二、(本题15分)如图,中,,点在上,使得 ,BDC,3,BAC,BC并且求的长。
BB
CCAADED
411【答案】。 BC,11
22BC,xAC【解析】设,则作的平分线交于点,,DBAEBD,x,1,AB,x,16,
11,,BE,则?,所以,DBE,,DBA,,BDC,,A,,A,BDE,ADB22
2,由角平分线定理可知,BD,DE,DA,3DE
DEBDDEBD3BD因此,,,,DE,。AEABAE,DEAB,BDAB,BD
2x,914112x,,1,解得 BC,x,2211x,,x,161
11,,三. 【解析】(1)不难验证是和谐的。 (a,b),2,,,2,,22,,
22a,b,s是有理数,是有理数,所以(2)由已知,,,,,,,,t,a,b,a,b,a,ba,b,1
t1tb,s,aa,b,a,(s,),解得是有理数,所以也是有理数。 a,b,12s,1
a2222b,,a,b,0a,b,0(3)若,则是有理数,因此也是有理数。若,,,a,a,b,bb
a12(),()22a,b1y,xabbx,,y,由已知是有理数,也是有理数,因此,故,2a1ba,bbxy,1()(),1bb
xy,122b,是有理数,因此也是有理数。 a,(a,b),b2y,x
范文二:2015上海新知杯预选赛试题
2015上海新知杯预选赛试题 2015.10
一、填空题(每题 5分)
1. 在三角形 ABC 中, ,其中 , , a CA a BC b AB 212
2==-=b a , 是大于 1的整数, 则 =-a b 。
2. 一个平行四边形可以被分成 92个边长为 1的正三角形,它的周长可能是 。
3. 已知关于 x 的方程 02) 2() 3(2234=++++++k x k x k x x 有实根,并且所有实根
的乘积为 -2,则所有实根的平方和为 。
4. 如图, 直角三角形 ABC 中 1=AC , 2=BC , P 为斜边 AB 上
一动点。 BC PE ⊥, CA PF ⊥,则线段 EF 长的最小值 为 。
5. 设 b a , 是方程 01682
=++x x 的两个根, d c , 是方程 01862
=+-x x 的两个根, 则
()()()()d b d a c b c a --++的值为
6. 在平面直角坐标系中有两点 ()1, 1-P , ()2, 2Q , 函数 1-=kx y 的图像与线段 PQ 延长
线相交(交点不包括 Q ) ,则实数 k 的取值范围是 。
7. 如图, 四边形 ABCD 中 CD BC AB ==, 78=∠ABC ,
162=∠BCD 。 设 BC
AD , 延长线交于 E ,则 =∠AEB _________________.
8. 如图,在直角梯形 ABCD 中,
90=∠=∠BCD ABC , 10==BC AB , 点 M 在 BC
上,使得 ADM ?是正三角形,则 ABM ?与 DCM ?的
面积和是 ________________。
E
C
A
M
二、 (本题 15分)如图, ABC ?中,
90=∠ACB , 点 D 在 CA 上,使得 , , 31==AD CD
并且 , BAC BDC ∠=∠3求 BC 的长。
B
C
B
三、 (本题 15分)若两个实数 b a , 使得 2
2
b a b a ++与 都是有理数,称数对 ()b a , 是和谐
的。
① 试找出一对无理数,使得 ()b a , 是和谐的;
② 证明:若 ()b a , 是和谐的,且 b a +是不等于 1的有理数,则 b a , 都是有理数; ③ 证明:若 ()b a , 是和谐的,且 b
a
是有理数,则 b a , 都是有理数。
四 . (本题 15分)①求证:存在整数 x , y ,满足 2113422=++y xy x 。 ②是否存在整数 x , y ,满足 2015422=++y xy x , 请证明你的结论。
五、 (本题 15分)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M 、 N 分别在
BC 、 CD 上,使得△ CMN 的周长为 2。求 (1)∠ MAN 的大小;
(2)△ MAN 面积的最小值。
M
N
D
C
B
A
新知杯模拟试题(参考答案)
一、填空题(第 1-5小题每题 8分,第 6-10题每题 10分,共 90分)
1. 对于任意实数 b a , ,定义 b a *=b b a a ++) (,已知 5. 285. 2=*a ,则实数 a 的值是
_________。 【答案】 4或 2
13-
【解析】 ()5. 285. 25. 2=++a a , 265. 22
=+a a , 052522
=-+a a ,
()()04132=-+a a ,所以 4=a 或 2
13-
2. 在三角形 ABC 中, ,其中 , , a CA a BC b AB 21
2
2==-=b a , 是大于 1的整数, 则 =-a b 。
【答案】 0
【解析 1】若 a a a b a b 21) 1(1, 222+=-+≥->则 ,即 . CA BC AB +≥矛盾
若 a b <,则 a="" a="" a="" b="" a="" b="" 21)="" 1(1,="" 1222-="--≤--≤,即" ca="" bc="" ab="">,则>
0=-∴a b
【解析 2】 b a , 是大于 1的整数,所以 2≥a ,此时 ()0222
≥-=-=-a a a a CA BC ,
CA BC AB CA BC +<- ,即="" a="" a="" b="" a="" a="">-><><>
()()2
2211+<-∴a b="" a="" ,即="" a="" b="" a="">-∴a><-1, a="" b="∴,即" 0="-a">-1,>
3. 一个平行四边形可以被分成 92个边长为 1的正三角形,它的周长可能是 。 【答案】 50, 94
【解析】设两边长分别为 x 和 y ,则 922=xy , 23246146?=?==xy ,所以周长为
()944612=+?或 ()502322=+?
4. 已知关于 x 的方程 02) 2() 3(22
34=++++++k x k x k x x 有实根, 并且所有实根的 乘积为 -2,则所有实根的平方和为 。 【答案】 5
【 解 析 】 原 方 程 可 化 为 02, 0) )(2(222≠++=++++x x k x x x x 02
=++∴k x x ,
2-=k , 022=-+∴x x , 1, 221=-=x x ,即 5142221=+=+x x
5. 如图,直角三角形 ABC 中 1=AC , 2=BC , P 为斜边 AB 上一动点。
BC PE ⊥, CA PF ⊥,则线段 EF 长的最小值为 。
E
C
A
【答案】
5
5
2 【解析】设 x CF =, y EC =,则
BC BE CA EP =,所以 2
21y
x -=, x y 22-=, 54545485) 22(2
222222+??? ??
-=+-=-+=+=x x x x x y x EF ,当 54=x ,
5
2
=
y 时, 5
254=
=EF 最小。 6. 设 b a , 是方程 01682
=++x x 的两个根, d c , 是方程 01862
=+-x x 的两个根,则
()()()()d b d a c b c a --++的值为
【答案】 2772
【解析】 68-=+b a , 1=ab , 86=+d c , 1=cd , ()()()()d b d a c b c a --++∴
()()
2222681681) ) ()() ((d d c c d d b a ab c c b a ab +++-=++-+++=
277215418) 6886)(6886(=?=+-=cd d d c c
7. 在平面直角坐标系中有两点 ()1, 1-P , ()2, 2Q , 函数 1-=kx y 的图像与线段 PQ 延长
线相交(交点不包括 Q ) ,则实数 k 的取值范围是 。 【答案】
312
3
112121=---=
k , 3212022=---=k 2331
<>
8. 方程 2009=xyz 的所有整数解有 【答案】 72
【解析】 414914177200911172872009??=??=??=??=
正整数解 6+3+3+6=18组,非正整数解 18×3=54组,共 72组
9. 如图,四边形 ABCD 中 CD BC AB ==, 78=∠ABC ,
162=∠BCD 。设 BC
AD , 延长线交于 E ,则 =∠AEB _________________.
E
E
【答案】 21
【解析】作 AF ∥ BC , FC ∥ AB ,易知,四边形 ABCF 为平行四边形,
?=∠-?=∠=∠102180ABC FCB BAF , 60102162=?-?=∠∴FCD , CDF ?是等边三角形,即 AFD ?为等腰三角形, ?=?+?=∠1386078AFD , 21=∠=∠FAE AEB
10. 如图,在直角梯形 ABCD 中,
90=∠=∠BCD ABC , 10==BC AB , 点 M 在 BC
上,使得 ADM ?是正三角形,则 ABM ?与 DCM ?的面积和是 ________________。
A
M
M
【答案】 300-
【解析】将图补成正方形,易知 ABM ?≌ AHD ?,令 x HD BM ==,则
x CM CD -==10,由勾股定理得 ()()2222101010+=-+-x x x ,解得
20-=x , ()()
15030010
3102
1
102010212
-=-+-??=S
二、 (本题 15分)如图, ABC ?中,
90=∠ACB , 点 D 在 CA 上,使得 , , 31==AD CD
并且 , BAC BDC ∠=∠3求 BC 的长。
B
C
B
【答案】 11
4=
BC 。 【解析】 设 x BC =, 则 ,
, 16122+=+=
x AB x BD 作 DBA ∠的平分线交 AC 于点 E , ()A A BDC DBA DBE ∠=∠-∠=∠=
∠2
1
21BE , 则 B D E ?∽ ADB ?, 所 以 DE
DA DE BD 32=?=,
由
角
平
分
线
定
理 可
知
, 。 BD
AB BD DE BD AB BD DE AE DE AB BD AE DE +=?+=+?=3因 此
, 1
161912222
++++=
+x x x x 解得 11
4=
=x BC
三 . 【解析】 (1)不难验证 ??
?
??-+
=221, 212) , (b a 是和谐的。 (2)由已知 ()()
()()122-+-=+-+=b a b a b a b a t 是有理数, s b a =+是有理数,所以
1-+=
-b a t b a ,解得 ) 1
21-+=s t s a 是有理数,所以 a s b -=也是有理数。
(3)若 02=+b a ,则 b a b -=是有理数,因此 ()
2
2b b a a -+=也是有理数。若 02≠+b a ,
由已知 1) 1()
1() (22
2++=
++=b b a b b a b a b a x 是有理数, b a y =也是有理数,因此 112--=xy x y b ,故 x
y xy b --=
2
1是有理数,因此 2
2) (b b a a -+=也是有理数。
范文三:2015新知杯
2015 年上海市初三数学竞赛 (大同中学杯 )
一、 填空题 .(每题 10分 , 共 80分 )
1. 已知 AB 是圆 O 的直径 , AB =1, 延长 AB 到点 C , 使得 BC =1, CD 是圆 O 的 切线 , D 是切点 , 则 ?ABD 的面积为 ______.
A C
2. 有编号分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的 7个大小相同的小球 , 从中任取 3个小球 , 则取 出的 3个小球的编号和为奇数的概率为 ______.
3. 实数 x , y
满足 24
x =
, 24
y =, x y
≠,则
x y
y x
+的值为 。
4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23倍,则这三个素数为
5. 如图 , 圆 O 1与圆 O 2外切于点 P , 从圆 O 1上点 A 作圆 O 2的切线 AB , B 是切点 , 连接 AP 并延长 , 与圆 O 2交于点 C , 已知圆 O 1、圆 O 2的半径分别为 2、 1,
则 AC
AB
______.
6. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, ∠ MON 的 两边 分 别 是射 线 y=x(0x ≥) 与 x 轴 正半 轴, 点 A(6,55)、 B(10,2)是 ∠ MON 内 的 两个 定点, 点 P 、 Q 分 别 是∠ MON 两边 上的 动点, 则四边形 ABQP 周长的最小值是 。
y
x
7. 不定方程 2
2
22x y xy x y +=++的整数解(x,y )共有多少组?
二、 解答题. (第 9、 10题,每题 15分,第 11、 12题,每题 12分,共 70分)
9. 如图,在 ? ABC 中, BC=a, CA=b, ∠ ACB=60?, ? ABD 是正三角形, P 是其中心,求 CP 的长度。
B C
10. 在 1, 2,…, 2015这 2015个正整数中选出 k 个数,使得其中任意两个不同的数的和都 不是 50的倍数,求 k 的最大值.
11. 已知 ? ABC 的三边均为正整数, 周长为 35, G 和 I 分别为 ? ABC 的重心和内心, 且 ∠ GIC=90?, 求 边 AB 的 长 度.
C
12. 设 a 、 b 是正整数, 2
2
a b -不是 4的倍数,求证:()()357a b a b ++不是完全平方数.
范文四:2006年新知杯试题
2006年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2006年4月2日上午 9∶30-11∶30 满分120分
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A )36 (B )37 (C )55 (D )90
2.已知m =1+2,n =1-2,且(7m 2-14m +a )(3n 2-6n -7) =8,则a 的值等于( )
(A )-5 (B )5 (C )-9 (D )9 3.Rt △ABC 的三个顶点A ,B ,C 均在抛物线y =x 2上,并且斜边AB 平行于x 轴.若斜边上的高为h ,则( )
(A )h <1 (b="" )h="1" (c="">1>
QC
的值为( ) QA
(A )23-1
(B )2 (C )+
2
(D )+2
二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知a ,b ,c 为整数,且a +b=2006,c -a =2005.若a
大值为 .
7.如图,面积为a b -c 的正方形DEFG 内接于 面积为1的正三角形ABC ,其中a ,b ,c 为整数, 且b 不能被任何质数的平方整除,则等于 .
a -c
的值 b
G
(第7题图)
8.正五边形广场ABCDE 的周长为2000米.甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发,沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.
1??2?29???
9.已知0
30??30?30???
.([x ]表示不超过x 的最大整数)
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 . 三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分) 11.已知x =
b
,a ,b 为互质的正整数(即a ,b 是正整数,且它们的最大公约a
数为1),且a ≤8,2-1
12.设a ,b ,c 为互不相等的实数,且满足关系式
b 2+c 2=2a 2+16a +14 ① bc =a 2-4a -5 ②
求a 的取值范围.
13.如图,点P 为⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的两条切线,切点分别为A ,B .过点A 作PB 的平行线,交⊙O 于点C .连结PC ,交⊙O 于点E ;连结AE ,并延长AE 交PB 于点K .求证:PE ·AC=CE·KB .
14.10个学生参加n 个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n 的最小值.
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )
(A )36 (B )37 (C )55 (D )90 答:C .
解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处.
故选C .
2.已知m =1+2,n =1-2,且(7m -14m +a )(3n -6n -7) =8,则a 的值等于( )
(A )-5 (B )5 (C )-9 (D )9 答:C .
2
2
解:由已知可得m -2m =1,n -2n =1.又
22
(7m 2-14m +a )(3n 2-6n -7) =8,所以 (7+a )(3-7) =8 解得a =-9
故选C .
3.Rt △ABC 的三个顶点A ,B ,C 均在抛物线y =x 2上,并且斜边AB 平行于x 轴.若斜边上的高为h ,则( )
(A )h <1 (b="" )h="1" (c="">1>
解:设点A 的坐标为(a ,a 2),点C 的坐标为(c ,c 2)(|c |<|a|),则点b 的坐标为="" (-a="" ,a="" 2),由勾股定理,得ac="" 2="(c" -a="" )="" 2+(c="" 2-a="" 2)="">|a|),则点b>
BC 2=(c +a ) 2+(c 2-a 2) 2, AC 2+BC 2=AB 2
所以 (a 2-c 2) 2=a 2-c 2.
由于a >c ,所以a 2-c 2=1,故斜边AB 上高h= a2-c 2=1 故选B .
4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )
(A )2004 (B )2005 (C )2006 (D )2007 答:B .
解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k 次后,可得(k+1) 个多边形,这些多边形的内角和为(k+1) ×360°.
因为这(k+1) 个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×(62-2) ×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1) -34= k-33(个) ,而这些多边形的内角和不少于(k-33) ×180°.所以(k+1) ×360°≥34×60×180°+(k-33) ×180°,解得k ≥2005.
2
2
当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了 58+33+33×58=2005(刀).
故选B .
5.如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,点P 在劣弧AB 上,连结DP ,交AC 于点Q .若QP=QO,则
QC
的值为( ) QA
(A )2-1
(B )2 (C )+
2
(第5题图)
(D )+2 答:D .
解:如图,设⊙O 的半径为r ,QO=m,则QP=m,QC=r
QA=r-m .
在⊙O 中,根据相交弦定理,得QA ·QC=QP·QD . 即 (r -m )(r +m ) =m·QD ,所以 QD=
r -m
. m
22
(第5题图)
连结DO ,由勾股定理,得QD 2=DO 2+QO 2,
?r 2-m 2
即 m
?
所以,
?22?=r +m m =r , 解得?3?
2
QC r +m 3+1===3+2 QA r -m -1
故选D .
二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知a ,b ,c 为整数,且a +b=2006,c -a =2005.若a
答:5013.
解:由a +b =2006,c -a =2005,得 a +b +c =a +4011. 因为a +b =2006,a
7.如图,面积为a -c 的正方形DEFG 内接于 面积为1的正三角形ABC ,其中a ,b ,c 为整数, 且b 不能被任何质数的平方整除,则等于 .
G
a -c
的值 b
C
20答:-.
3
(第7题图)
解:设正方形DEFG 的边长为x ,正三角形ABC 的边长为m ,则m =
2
4,
3
m -x
x 2由△ADG ∽△ABC ,可得=, 解得x =(2-3) m m 3
m 2
于是 x 2=(2-3) 2m 2=-48, 由题意,a =28,b =3,c =48,所以
a -c 20
=-. b 3
8.正五边形广场ABCDE 的周长为2000米.甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发,沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.
答:104.
解:设甲走完x 条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x 米,乙走了46×
400x
=368x 米.于是368(x -1) +800-400(x -1)>400, 50
所以,12.5≤x <13.5. 故x="13,此时t">13.5.>
9.已知0
400?13
=104. 50
??1??2?29??+a ++ +a +=18,则[10a ]的值等?????30??30?30??
于 .([x ]表示不超过x 的最大整数)
答:6. 解:因为0
12291??2??
29??
等于0或1.由题设知,其中有18个等于1,所以 a +??30??
1??2?11?12??13?29?????
=0,=1, a +=a += =a +a +=a += =a +????????????30??30?30?30??30?30?????1211
<1,1≤a>1,1≤a>
3030
19
故18≤30a <19,于是6≤10 a<,所以[10a ]=6.
3
所以 0
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .
答:282500.
解:设原来电话号码的六位数为abcdef ,则经过两次升位后电话号码的八位数为
2a 8bcdef .根据题意,有81×abcdef =2a 8bcdef .
记x =b ?10+c ?10+d ?10+e ?10+f ,于是 81?a ?10+81x =208?10+a ?10+x , 解得x =1250×(208-71a ) .
因为0≤x <10,所以0≤1250×(208-71a ) <10,故
5
5
5
5
6
432
128208
因为a 为整数,所以a=2.于是x =1250×(208-71×2)=82500. 所以,小明家原来的电话号码为282500.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分) 11.已知x =
b
,a ,b 为互质的正整数(即a ,b 是正整数,且它们的最大公约数为a
1),且a ≤8,2-1
(1)试写出一个满足条件的x ; (2)求所有满足条件的x .
1
满足条件. ……………5分 2b
(2)因为x =,a ,为互质的正整数,且a ≤8,所以
a b
2-1<3-1, 即="" (2-1)="" a="">3-1,><(3-1) a="">(3-1)>
a
解:(1)x =
当a=1时,(2-1) ?1<(3-1) ?1,这样的正整数b="">(3-1)>
1
. 22
当a=3时,(2-1) ?3<(3-1) ?3,故b="">(3-1)>
3
当a=2时,(2-1) ?2<(3-1) ?2,故b="">(3-1)>
当a=4时,(2-1) ?4<(3-1) ?4,与a="" 互质的正整数b="" 不存在.="" 当a="5时,(2-1)">(3-1)><(3-1) ?5,故b="">(3-1)>
3. 5
当a=6时,(2-1) ?6<(3-1) ?6,与a="" 互质的正整数b="" 不存在.="" 当a="7时,(2-1)">(3-1)><(3-1) ?7,故b="3,4,5此时x=当a=8时,(2-1)">(3-1)><(3-1) ?8,故b="">(3-1)>
345,,. 777
5 8
1233455
,,,,,,.………………15分 2357778
12.设a ,b ,c 为互不相等的实数,且满足关系式
b 2+c 2=2a 2+16a +14 ① bc =a 2-4a -5 ②
求a 的取值范围.
解法一:由①-2×②得(b -c ) 2=24(a +1) >0,所以a >-1.
当a >-1时, b +c =2a +16a +14=2(a +1)(a +7) >0.………………10分
22又当a =b 时,由①,②得 c =a +16a +14, ③ 222
ac =a 2-4a -5 ④
将④两边平方,结合③得a 2(a 2+16a +14) =(a 2-4a -5) 2
化简得 24a +8a -40a -25=0, 故 (6a +5)(4a 2-2a -5) =0, 32
解得a =-51±21,或a =. 64
51±21,a ≠.………………………15分 64
2所以,a 的取值范围为a >-1且a ≠-222解法二:因为b +c =2a +16a +14,bc =a -4a -5,所以
(b +c ) 2=2a 2+16a +14+2(a 2-4a -5) =4a 2+8a +4=4(a +1) 2,
所以 b +c =±2(a +1) . 又bc =a -4a -5,所以b ,c 为一元二次方程 2
x 2±2(a +1) x +a 2-4a -5=0 ⑤
的两个不相等实数根,故?=4(a +1) 2-4(a 2-4a -5) >0,所以a >-1.
当a >-1时, b +c =2a +16a +14=2(a +1)(a +7) >0.………………10分
22 另外,当a =b 时,由⑤式有 a ±2(a +1) a +a -4a -5=0, 222
2即 4a -2a -5=0 或 -6a -5=0,解得,a =51±21或a =-. 64
当a =c 时,同理可得a =-51±21或a =. 64
所以,a 的取值范围为a >-1且a ≠-51±21,a ≠.………………………15分 64
13.如图,点P 为⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的两条切线,切点分别为A ,B .过点A 作PB 的平行线,交⊙O 于点C .连结PC ,交⊙O 于点E ;连结AE ,并延长AE 交PB 于点K .求证:PE ·AC=CE·KB . 证明:因为AC ∥PB ,所以∠KPE=∠ACE .又P A 是⊙O
所以∠KAP=∠ACE ,故∠KPE=∠KAP ,于是
△KPE ∽△KAP , KP KE 2=所以 , 即 KP =KE ?KA . KA KP 由切割线定理得 KB =KE ?KA 所以 KP =KB . …………………………10分
因为AC ∥PB ,△KPE ∽△ACE ,于是 2
PE KP PE KB == 故 , CE AC CE AC
即 PE ·AC=CE·KB . ………………………………15分 C (第13题)
14.10个学生参加n 个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n 的最小值.
解:设10个学生为S 1,S 2,…,S 10,n 个课外小组G 1,G 2,…,G n . 首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为S 1,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾. ………………………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设S 1恰好参加G 1,G 2,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与S 1没有同过组,矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n 个课外小组G 1,G 2,…,G n 的
人数之和不小于3×10=30.
另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n 个课外小组G 1,G 2,…,G n 的人数不超过5n , 故 5n ≥30, 所以n ≥6. ……………………………10分
下面构造一个例子说明n=6是可以的.
G 1={S 1, S 2, S 3, S 4, S 5},G 2={S 1, S 2, S 6, S 7, S 8},G 3={S 1, S 3, S 6, S 9, S 10}, G 4={S 2, S 4, S 7, S 9, S 10},G 5={S 3, S 5, S 7, S 8, S 9},G 6={S 4, S 5, S 6, S 8, S 10}. 容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.
所以,n 的最小值为6. ……………………………15分
范文五:2002年新知杯试题
2002年 (宇振杯 ) 上海市初中数学竞赛试题
一、填空题 (1~5题每小题 6分, 6~10题每小题 8分,共 70分 )
1.在 2002当中嵌入一个数码组成五位数 20□ 02.若这个五位数能被 7整除, 则嵌入的数码“□”是 .
2.若实数 a 满足 a 31-ax 解为 .
3.如图,一张矩形纸片沿 BC 折叠,顶点 A 落在点 A’处,第二次过 A’再折叠, 使折痕 DE∥BC 若 AB=2, AC=3,则梯形 BDEC 的面积为 .
4.已知关于正整数 n 的二次式 y=n2+an(n为实常数 ) .若当且仅当 n=5时, y 有 最小值,则实数 n 的取值范围是 .
5.如图,在平面直角坐标系中有一个正方形 ABCD ,它的 4个顶点为 A(10, O) 、 B(0, 10) 、 C(-10, O) 、 D(O,-10) ,则该正方形内及边界上共有 个整 点 (即纵、横坐标都是整数的点 ) .
6.如图, P 为△ABC 形内一点,点 D 、 E 、 F 分别在 BC 、 CA 、 AB 上.过 A 、 B 、 C 分别作 PD 、 PE 、 PF 的平行线,交对边或对边的延长线于点 X 、 Y 、 Z .若 31, 41==BY PE AX PD ,则 CZ
PF =
7.若△ ABC 的三边两两不等,面积为
3
,且中线 AD 、 BE 的长分别为 1和 2, 则中线 CF 的长为
8.计算: =+-+++-++-++-5000
99009999... 500010050002002250001001122
222222k k k
9.若正数 x 、 y 、 z 满足 xyz(x+y+z)=4,则 (x+y)(y+z)的最小可能值为
lO .若关于 x 的方程 c x x =-+3
12122恰有两个不同的实数解,则实数 a 的取 值范围是 .
二、 (16分 )
已知 p 为质数,使二次方程 x 2-2px+p2-5p -1=0的两根都是整数.求出 p 的所有可能值.
三、 (16分 )
已知△XYZ 是直角边长为 l 的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的 3个顶点分 别在等腰 Rt△ABC(∠C=90°)的三边上.求△ABC 直角边长的最大可能值.
四、 (18分 )
平面上有 7个点,它们之间可以连一些线段,使 7点中的任意 3点必存在 2点有线段相连.问至少要连多少条线段 ? 证明你的结论.
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2>2>