森屿暖树Autism
范文一：二项式定理习题
二项式定理
一、选择题
1.·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+等于( ).
A.2n B.2n-1 C.3n D.1
2.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为( ).
A.-210 B.210 C.-120i D.-210i
3.展开式中x3的系数为10,则a的值等于( ).
A.-1 B. C.1 D.2
4.(2012安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是( ).
A.-3 B.-2 C.2 D.3
5.若x+x2+…+xn能被7整除,则x,n的值可能为( ).
A.x=5,n=5
C.x=4,n=4 B.x=5,n=4 D.x=4,n=3
6.(2014内蒙古鄂尔多斯高三下学期模拟考试)在的展开式中x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值为( ).
A.5 B.10 C.15 D.20
7.(2014四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ). A.30
二、填空题
8.(2014广东梅州高三3月总复习质检)(2x-1)5的展开式x3项的系数是 .(用数字作答)
9.(2012浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为B.20 C.15 D.10
f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则
a3= .
10.(2014课标全国Ⅰ高考)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数
为 .(用数字填写答案)
三、解答题
11.利用(a+b)n的二项展开式解题.
(1)求二项式(a+2b)4的展开式;
(2)展开.
12.(2014重庆一中高二下学期期中考试)在(3-x)20(x∈R,x≠0)的展开式中,已知第2r项与第r+1项(r≠1)的二项式系数相等.
(1)求r的值;
(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的相等,求x的值. 13.已知在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
范文二：二项式定理(习题)
二 项 式 定 理
一、 求展开式中特定项
1、在30
的展开式中，x的幂指数是整数的共有（ ） A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 3、若(x2?1x3
)5
展开式中的常数项为 ．
（用数字作答）
4、二项式2
)8x
的展开式中的常数项为 ．
5、(2?1
x
)(1?3x)4的展开式中常数项等于________．
6
6、设a???
?
?sinx?1?2cos2
x?
?0?
2?dx，则??
2
?
??x?2?的展开式中常数项
是 ．
二、 求特定项系数或系数和
7、(x?)8的展开式中x6y2项的系数是（ ）
A．56 B．?56 C．28 D．?28
8、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是 ．
9、在(1?x)6?(2?x)的展开式中含x3的项的系数是 ．
10、已知n??e
6
11
x
dx，那么（x?3x）n展开式中含x2项的系数为 ．
11、已知?1?x?10
?a2
10
0?a1?1?x??a2?1?x??L?a10?1?x?，则a8等于（ ）
A．－5 B．5 C．90 D．180
12、在二项式12
x)n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n?________；展开式中的第4项＝_______．
13、如果(1?2x)7?a0?a21x?a2x???a7x7，那么a0?a1???a7的值等于（ ） （A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2 14、（﹣2）7
展开式中所有项的系数的和为
15（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于
16、在?3)n(n?N*)的展开式中，所有项的系数和为?32，则1
x的系数等
于 ．
17、设k???
(sinx?cosx)dx，若(1?kx)8?a0?a1x?a2x2???a8x8，则
a1?a2?a3?????a8? ．
18、设（5x﹣）n
的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，
则展开式中x的系数为 .
19、设(1?x)8?a0?a1x???a77x?a8x8，则a1???a7?a8? ．
三、 求参数问题
n
20、若的展开式中第四项为常数项，则n?（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
21、二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中x2的系数为15，则n? （ ） A、5 B、 6 C、8 D、10
22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．
23、若?1?x??1?ax?4
的展开式中x2的系数为10，则实数a?（ ）
A
或1 B．?53或1 C．2或?5
3 D．
24、设(1?x)?(1?x)2?(1?x)3?????(1?x)n?a0?a1x?a2x2?????anxn，a0?a1?a2?????an?254时，n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
四、其他相关问题
25、20152015除以8的余数为( )
当
范文三：二项式定理(2)
教学过程
一、课堂导入
计算原理是高中阶段相对独立的一部分内容，主要是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列组合、二项式定理，在高考中往往是以选择题或填空题的形式出现，题目难度在中等或中等以上，特别是排列组合，有时难度较大.排列组合的知识和方法有时用来解决古典概型的计算，与离散随机变量及其分步相结合，进行综合考查；二项式定理有时要用来解决一些近似计算、证明不等式等.
二、复习预习
鉴于该部分内容的相对独立性和方法的性对特殊性，在复习时要注意本部分知识在其他问题中的应用，如排列组合在概率计算上的应用、二项式定理在近似计算和不等式证明等方面的应用，在应用中把知识和方法“学活”，使考生的知识结构不断优化，分析问题、解决问题的能力不断提高，只有这样才能真正复习好这部分知识，使知识和能力同步提高，为高考的成功奠定必要的基础.
三、知识讲解
考点1 二项式定理
0nn?1kkknn (a?b)n?cna?c1b???cnanb???cnb （n?N）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做na
kn?kk(a?b)n的项，其中Cr
n（r=0,1,2,……,n）叫做二项式的系数，Tk?1?cnab叫做二项展开式的通项，展开式共n+1项.
考点2 二项式系数的性质
1对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即cm?m
n?cn
2二项式系数ck
n的增减性与最大值 当n?n?1
2时，二项式系数是递增的； 当n?n?1
2时，二项式系数是递减的；
当n是偶数时，中间项n
cn2取得最大值；
当n是奇数时，中间两项n?1n?1
cn2和cn2相等，且同时取得最大值.
四、例题精析
x?例1已知
2x2)n展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x的系数。
【规范解答】解：由二项式系数性质：二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2n?1，得n?9，由通项公式
9?r
T9?r2r
r?1?Cr
9(x)(?2?2
3r
x2)?Cr(?2)r9x 令9?r
2?2r
3?1得r?3，所以x的二项式系数为C3
9?84,而x的系数为-672
【总结与反思】本题考查二项式系数性质以及二项式的通项，较简单.
例2. 在二项式(1
2?2x)n的展开式中
（1）若第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。
【规范解答】 解：（1）由题意得C465
n?Cn?2Cn解得n?7或n?14
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，且T4?35x3,T5?70x4
2
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8且T8?3432x7
（2）由C012
n?Cn?Cn?79得n?12
2r?12rr?设第r+1项系数最大，则有???2C22(r?1)?12C1
12?12
??22r?12Cr2(r?1)?12r?1?47?r?52
12?2C1255
?r?Z,?r?10,故T81010
11?2C12x?16896x10
【总结与反思】本题考查二项式系数的最大项，根据条件不难得出结果.
例3 证明：（1）对任意非负整数n，33n?26n?1可被676整除。
1（2）2?(1?)n?3，其中n?N*； n
【规范解答】（1）证明：当n?0,n?1时33n?26n?1=0，显然676|(33n?26n?1) 当n?2时，33n?26n?1=
27n?26n?1?(1?26)n?26n?1?1?26n?C22n
n?26???Cn?26n?26n?1
?C2262?C3263??Cn23nn?n?n26n=676(Cn?26Cn???26n?2Cn)?0(mod676) 综上所述：676|(33n?26n?1) (n?N)
（2）证明：(1?1
n)n?1?C1
n?1n?C212
n(n)???2（当且仅当n?1时取等号）
当n?1时，(1?1
n)n?2?3显然成立
当n?2时；
(1?1
n)n?C01121n1
n?Cn?n?Cn?n2???Cn?nn?
2?n(n?1)1
2!n2?n(n?1)(n?2)1n(n?1)?2?113!n3???n!nn
?2?1nn?1
2!nn?1nn?1n?2
3!nnn???1nn?1
n!nn?21
nn?2?111
2!?3!??n!
?2?1
1?2?1
2?3???1
n(n?1)
?2?(1?1
2)?(1
2?1111
3)???(n?1?n)?3?n?3 综上所述：2?(1?1
n)n?3，其中n?N*
【总结与反思】本题考查应用二项式定理进行证明不等式，较复杂.
例4已知m,n是正整数，f(x)?(1?x)m?(1?x)n的展开式中x的系数为7，
（1） 试求f(x)中的x2的系数的最小值
（2） 对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n，求出此时x3的系数
（3） 利用上述结果，求f(0.003)的近似值（精确到0.01）
【规范解答】解：根据题意得：C11
m?Cn?7，即m?n?7 （1）
x2的系数为C2?C2m(m?1)n(n?1)m2?n2
mn??m?n
2?2?2
将(1)变形为n?7?m代入上式得：x2的系数为m2?7m?21?(m?735
2)2?4
故当m?3或4时，x2的系数的最小值为9
（1） 当m?3,n?4或m?4,n?3时，x3的系数为为C3?C3
34?5
（2） f(0.003)?2.02
【总结与反思】本题考查应用二项式定理解决近似计算的问题.
课程小结 1二项式定理；
2二项式系数及其性质； 3二项式的通项
范文四：二项式定理教案
二项式定理(新课)
一、知识与技能:
通过本节的学习, 可以把形如 ()n
a+b的式子展开, 并可以求其中某些 特殊项。
过程与方法:通过代数式乘法, 归纳总结 ()n
a+b的展开式, 并用公式 形式给出。
情感态度与价值观:通过本届学习,可以培养学生的分析、观察、 归纳、总结的能力。
教学重点:用两个计数原理分析 ()2
a+b的展开式, 归纳地得出二项式 定理,并用计数原理证明。掌握二项式展开式的通项公式,并能用它 解决简单的问题。
教学难点:用两个计数原理分析 ()2a+b展开式, 用两个计数原理证明 二项式定理。 二、新课:
在学习圆锥曲线中, 常遇到直线方程与圆锥曲线方程联立问题。 比 如如何把 ()()22x+1x +2x+3?展开?展开式中共 23=6?项, 按 x 的次数降幂 排列:323210a x +ax +ax+a。要得到 3x 的系数,只要从 ()2x+1中取 2x ,
()2
x
+2x+3取 2x ,由乘法原理得到 3a 212=?=;要得到 2x 系数,分两类①
从 ()2x+1取 2x , 从 ()2
x+
2x +3取 2x ,
②从 ()2x+1取常数, , 从 ()2
x +2x+3取 2x ,
故 2a =2?2+1?1=5,同理求 1a 、 0a 。
探究:如何利用两个计数原理得到 ()2
a+b、 ()3
a+b、 ()4
a+b的展开式? 以 ()2
a+b为例, ()2
a+b=()a+b?()a+b=22a +2ab+b。 即 ()2
a +b 时 2个 ()
a+b
相乘,根据乘法法则,每个 ()a+b在相乘时,要么选 a 要么选 b ,故乘 开后每项次数都为 2次,形式为 2-k k a b (k=0、 1、 2) 。
k=0时, 2-k k a b = 2a ,即从两个 ()a+b中都不选 b ,从而 2a 系数 02C 。 k=1时, 2-k k a b = ab,即从两个 ()a+b中有一个选 b ,另外一个 ()a+b中
选 a ,由乘法原理得到系数为 12C 。
k=2时, 2-k k a b =2b ,即从两个 ()a+b中都选 b ,由乘法原理得到系数 为 22C 。
从而 ()2
a+b=02122
222a +ab+b C C C 。
探究:猜想 ()n
a+b展开式 ?
()n a+b=0n 1n-1222n-k k n n
n n a +a b+Ca b C a b ++Cb n k n n n C C -+???+???
证明:
方法 1:由于 ()n
a+b由 n 个 ()a+b相乘,展开式从每个 ()a+b中要么选 a 要么选 b , 从而展开式每项次数都为 n 次, 即为 n-k k a b (k=0、 1、 2???n ) 。 其中 n-k k a b 系数:从 k 个 ()a+b中选 b , 且从其余 n-k 个 ()a+b全选 a , 由乘
法原理知系数为 C k n ,
即 ()n
a+b=0n 1n-1222n-k k n n
n n a +a b+Ca b C a b ++Cb n k n n n C C -+???+???。 方法 2:数学归纳法
⑴ n=1时, ()a+b=0
1C a+11C b 。
⑵ 假设 n=k(k 1≥, k +N ∈)成立,
即 ()k 0k 1k-1k k k k k a+b=Ca +Ca b++Cb ???, 那么 n=k+1时, ()k+1a+b=()a+b()k a+b?
=a(0k 1k-1k k k k k C a +Ca b++Cb ???) +b(0k 1k-1k k
k k k C a +Ca b++Cb ???) =0k+1k C a +(1k C +0k C ) k a b ++???(k k C +k-1k C ) k ab +k+1k+1k+1C b
=0k+11k k+1k+1
k+1k+1k+1C a +Ca b++Cb
??? 所以 n=k+1时也成立。
由⑴⑵知 +n N ?∈, ()n
a+b=0n 1n-1222n-k k n n n n a +a b+Ca b C a b ++Cb n k n n n C C -+???+???。
注意:①二项式展开式中共有 n 2项,合并后有 n+1项。
②展开式通项公式为 k n-k k n C a
b (k=0、 1、 2???n ) ,在展开式是 第 k+1项。
③ k n C 记为二项式系数,与 a 、 b 的值无关。
在二项式定理中⑴如果令 a=1、 b=x, 则 ()n 01
22
n n n n
n
n
1+x =C +C x +C x++C x ???
。
⑵如果令 a=b=1,则 n 102n
n n n n 2=C+C+C++C???。
应用:集合 A 有 n 个元素,那么 A 共有 —— 个子集。
例题 1.
求 6
?
?
的展开式。
解略。
例题 2. ⑴求 ()7
1+2x展开式的第四项系数。
⑵求 9
1x-x ?? ?
??
展开式的系数 3
x 的系数。 解:⑴ ()7
1+2x展开式的第四项为
37-33
3+17T =C12x () =3337C 2x
=2803x ,系数为 280.
⑵ 9
1x-x ?? ???
展开式的通项为 k 9-k k 91C x -x () =k k 9-2k
9(1) C x -,令 9-2k=3,得 k=3,系数为 33
9-C =-84(1) 。
三、练习
1、求
10
2
3
1
2x -
x
??
?
??
展开式
⑴第 k+1项的系数。
⑵常数项是第几项,常数项数是多少?
2、课本 31页练习。
四、小结
⑴二项式定理。
⑵某项二项式系数与某项系数的区别与联系。 五、作业
课本 37页第 3题、第 4题⑵⑷ .
六、板书
引入 例题 ()2
a+b展开式 练习 探索 ()n
a+b展开式及证明 小结
范文五：二项式定理经典
二项式定理
考点1：多项式的展开式问题
*
例1 已知S?Cn?3Cn?5Cn?...?(2n?1)Cn，其中n?N，求S的值.
1
2
n
考点2：求展开式中的各项系数之和的问题
例2 已知(1?2x)?a0?a1x?a2x?...?a7x.求： （1）a1?a2?...?a7； （2）a1?a3?a5?a7；
（3）a0?a2?a4?a6； （4）a0?a1?a2?...?a7.
2.求1?2C10?4C10?...?2C10的值.
考点3：求二项式展开式中的特定项 例3 试求：（1）(x?
（3）(x?)的展开式中系数最大的项；
（4
）100
727
121010
3
x8255
的展开式中的系数； （2
）(的展开式中的常数项； )x2
2x2
2
x
10
的展开式中x的系数为有理数的项的个数.
考点4：求解某些整除性问题或余数问题 例4 求证3
1. 91被100整除所得的余数为（ ）A. 1 B. 81 C. -81 D. 9
考点5：计算近似值
例5 求0.998的近似值，使误差小于0.001.
考点6：二项式系数与项的系数 例6
在(2x?
22n?2
?8n?9(n?N*)能被64整除.
92
92
6
8
的展开式中，求： 2
（1）第5项的二项式系数及第5项的系数. （2）x的系数.
1
考点7：有关等式与不等式的证明问题 例7 求证：CnCn?CnCn?...?CnCn?
2.证明下列等式与不等式
（1）Cn?2Cn?3Cn?...?nCn?n?2
（2）设a,b,c是互不相等的正数，且a,b,c成等差数列，n?N*，求证an?cn?2bn.
3.设(1?2x)?a0?a1x?a2x?...?a12x.
（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.
（2）求展开式中系数最大的项. （3）求展开式中系数最小的项.
同步训练
1.若(x?)展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为（ ）. 2.
已知二项式12
2
12
1
2
3
n
n?1
0112n?1n
(2n)!
(n?N*).
(n?1)!(n?1)!
.
1x
n
210
). 3x
（1）求展开式第四项的二项式系数.（2）求展开式第四项的系数.（3）求第四项.
3.如果(1?x)?a0?a1x?a2x?...?a7x，那么a1?a2?...?a7=（ ）.
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 4.（2010
江西）(27
2
7
8展开式中不含x4项的系数的和为（ ）.
4
5.（2010重庆）(x?1)的展开式中x的系数为（ ）. 6.（2011
西安）二项式2
6
展开式中含x2项的系数为（ ）. 7.（2010
全国）(1?x)(14
4
3的展开式中x2的系数是（ ）.
8.（2009
北京）若(1??a?a,b为有理数），则a?b=（ ）. 9.（2010
全国）(1?(1?的展开式中x的系数（ ）.
10.(2011江西)
已知)的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中x的系数为（ ）.
2
3
5
2
x
n2
11.(2010全国)若(x?ax
)9的展开式中x3的系数是-84，则a?（ ）. 12.（2010辽宁）(1?x?x2)(x?1x
)6的展开式中的常数项为（ ）. 13.（2009四川）(2x?
12x
)6
的展开式的常数项是（ ）. 14.（2010湖北）在(1?x2)10
的展开式中，x4的系数为（ ）. 15.（2011北京模拟）在(x2?1x
)6的展开式中，常数项是（ ）.
16.若二项式(x2?2x
)n的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为（ ）. 17. (x?1)5
?5(x?1)4
?10(x?1)3
?10(x?1)2
?5(x?1)=（ ）. 18.
若n
的展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ）. 19.
若(2x3
?a2
a3
22
0?a1x?a2x?3x，则(a0?a2)?(a1?a3)的值为（ ）.
20.设n?2k?1(k?N*)，则7n?C12n?7
n?1
?Cn?7n?2?...?Cn?1n?7被9除所得的余数为（ 21.化简：1?2C1
2
3
n
n
n?4Cn?8Cn?...?(?2)Cn. 22.求证：（1）5151?1能被7整除； （2）32n?3
?24n?37能被64整除.
23.
已知n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的所有有理项.
24.在(1?x?px2)10
的展开式中，试求使x4
项的系数最小时p的值.
25.求1.9975
精确到0.001的近似值.
26.如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n，经过(23n?3
?7n?5)天是星期几？
27.在二项式(x2
?a)5
x
的展开式中x的系数是-10，求实数a的值.
28.在二项式(2x?3y)9
的展开式中，求：
（1）二项式系数之和； （2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和； （4）所有项的系数的绝对值之和.
3
.
）
