2017虹口高三数学一模

范文一：2017虹口高三数学一模

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

一、填空题(1~6题每小题 4分, 7~12题每小题 4分,本大题满分 54分) 1.已知集合 A={1, 2, 4, 6, 8}, B={x|x=2k, k ∈ A},则 A∩B=.

.已知 ,则复数 z 的虚部为 .

3.设函数 f (x ) =sinx﹣ cosx ,且 f (α) =1,则 sin2α=

.已知二元一次方程组

的增广矩阵是 ,则此方程组的

解是 .

5. 数列 {an }是首项为 1, 公差为 2的等差数列, S n 是它前 n 项和,

则 =.

6. 已知角 A 是 △ ABC 的内角, 则

“ ” 是

“ 的 (填 “ 充分非

必要 ” 、 “ 必要非充分 ” 、 “ 充要条件 ” 、 “ 既非充分又非必要 ” 之一) .

7.若双曲线 x 2

﹣ =1的一个焦点到其渐近线的距离为

2,则该双曲线的焦

距等于 .

8.若正项等比数列 {an }满足:a 3+a5=4,则 a 4的最大值为 .

9.一个底面半径为 2的圆柱被与其底面所成角是 60°的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 .

10.设函数 f (x )

=,则当 x≤ ﹣ 1时,则 f[f(x ) ]表达式的展

开式中含 x 2项的系数是 .

11.点 M (20, 40) ,抛物线 y 2=2px(p >0)的焦点为 F ,若对于抛物线上的任意点 P , |PM|+|PF|的最小值为 41,则 p 的值等于 .

12.当实数 x , y 满足 x 2+y2=1时, |x+2y+a|+|3﹣ x ﹣ 2y|的取值与 x , y 均无关, 则实数 a 的取范围是 .

二、选择题(每小题 5分,满分 20分)

13.在空间, α表示平面, m , n 表示二条直线,则下列命题中错误的是()

A .若 m ∥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不平行

B .若 m ∥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不垂直

C .若 m ⊥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不垂直

D .若 m ⊥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不平行

.已知函数在区间 [0, a](其中 a >0)上单调递增,则实数 a 的取值范围是()

. B

. D

15.如图,在圆 C 中,点 A 、 B

在圆上,则的值()

A .只与圆 C 的半径有关

B .既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关

C .只与弦 AB 的长度有关

D .是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值

16.定义 f (x ) ={x}(其中 {x}表示不小于 x 的最小整数)为 “ 取上整函数 ” ,例如 {2.1}=3, {4}=4.以下关于 “ 取上整函数 ” 性质的描述,正确的是() ① f (2x ) =2f(x ) ;

②若 f (x 1) =f(x 2) ,则 x 1﹣ x 2<>

③任意 x 1, x 2∈ R , f (x 1+x2) ≤f (x 1) +f(x 2) ;

④ .

A .①② B .①③ C .②③ D .②④

三、解答题(本大题满分 76分)

17.在正三棱锥 P ﹣ ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为 4.

(1)求证:PA ⊥ BC ;

(2)求此三棱锥的全面积和体积.

18.如图,我海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至 A 处,此时测得其北偏东 30°方向与它相距 20海里的 B 处有一外国船只,且 D 岛位于海监船正东 18海里处.

(1)求此时该外国船只与 D 岛的距离;

(2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离 D 岛 12海里的 E 处(E 在 B 的正南方向) ,不让其进入 D 岛 12海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值(角度精确到 0.1°, 速度精确到 0.1海里 /小时) .

19.已知二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x+c的值域为 [0, +∞ ) .

(1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;

(2)判断此函数在

[, +∞ )的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;

(3)求出 f (x )在 [1, +∞ )上的最小值 g (a ) ,并求 g (a )的值域.

20.椭圆 C

:过点 M (2, 0) ,且右焦点为 F (1, 0) ,过 F

的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.设点 P (4, 3) ,记 PA 、 PB 的斜率分别为 k 1和 k 2.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如果直线 l 的斜率等于﹣ 1,求出 k 1?k 2的值;

(3)探讨 k 1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出 k 1+k2的取值范围.

21.已知函数 f (x ) =2|x+2|﹣ |x+1|,无穷数列 {an }的首项 a 1=a.

(1)如果 a n =f(n ) (n ∈ N *) ,写出数列 {an }的通项公式;

(2)如果 a n =f(a n

﹣ 1

) (n ∈ N *且 n≥2) ,要使得数列 {an }是等差数列,求首项 a 的取值范围;

(3)如果 a n =f(a n

﹣ 1

) (n ∈ N *且 n≥2) ,求出数列 {an }的前 n 项和 S n .

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析

一、填空题(1~6题每小题 4分, 7~12题每小题 4分,本大题满分 54分) 1.已知集合 A={1, 2, 4, 6, 8}, B={x|x=2k, k ∈ A},则 A∩B={248}【考点】交集及其运算.

【分析】先分别求出集合 A 和 B ,由此能出 A∩B .

【解答】解:∵集合 A={1, 2, 4, 6, 8},

∴ B={x|x=2k, k ∈ A}={2, 4, 8, 12, 19},

∴ A∩B={2, 4, 8}.

故答案为:{2, 4, 8}.

.已知 ,则复数 z 的虚部为

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】

由

,得 ,利用复数复数代数形式的乘法运算

化简,求出 z ,则答案可求.

【解答】

解:由 ,

得 =2﹣ 2i+i﹣ i 2=3﹣ i ,

则 z=3+i.

∴复数 z 的虚部为:1.

故答案为:1.

3.设函数 f (x ) =sinx﹣ cosx ,且 f (α) =1,则 si n2α=0

【考点】二倍角的正弦.

【分析】由已知可得 sinα﹣ cosα=1,两边平方,利用二倍角的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式即可得解.

【解答】解:∵ f (x ) =sinx﹣ cosx ,且 f (α) =1,

∴ sinα﹣ cosα=1,

∴两边平方,可得:sin 2α+cos2α﹣ 2sinαcosα=1, ∴ 1﹣ sin2α=1,可得:sin2α=0.

故答案为:0.

.已知二元一次方程组

的增广矩阵是 ,则此方程组的

解是

【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组.

【分析】先利用增广矩阵,写出相应的二元一次方程组,然后再求解即得.

【解答】

解:由题意,方程组

解之得

故答案为

5.数列 {an }是首项为 1,公差为 2的等差数列, S n 是它前 n

项和,则 =

【考点】数列的极限.

【分析】求出数列的和以及通项公式,然后求解数列的极限即可.

【解答】解 :数列 {an }是首项为 1, 公差为 2的等差数列 ,

S n

==n2. a n =1+(n ﹣ 1) ×2=2n﹣ 1,

则

故答案为:;

6.已知角 A 是 △ ABC 的内角,则

“ ” 是

“ 的条件

(填 “ 充分非必要 ” 、 “ 必要非充分 ” 、 “ 充要条件 ” 、 “ 既非充分又非必要 ” 之一) . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可.

【解答】解:A 为 △ ABC 的内角,则 A ∈(0, 180°) ,

若命题 p :

cosA=成立,则 A=60°,

sinA=;

而命题 q :

sinA=成立,又由 A ∈(0, 180°) ,则 A=60°或 120°;

因此由 p 可以推得 q 成立,由 q 推不出 p , 可见 p 是 q 的充分不必要条件.

故答案为:充分不必要.

7.若双曲线 x 2

﹣ =1的一个焦点到其渐近线的距离为

2,则该双曲线的焦

距等于 6.

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出 b 的值即可得到结论.

【解答】解:双曲线的渐近线为 y=±bx ,不妨设为 y=﹣ bx ,即 bx+y=0, 焦点坐标为 F (c , 0) ,

则焦点到其渐近线的距离

=b=2,

则

==3,

则双曲线的焦距等于 2c=6,

故答案为:6

8.若正项等比数列 {an }满足:a 3+a5=4,则 a 4的最大值为 2.

【考点】等比数列的性质.

【分析】利用数列 {an }是各项均为正数的等比数列,可得 a 3a 5=a42,再利用基本不等式,即可求得 a 4的最大值.

【解答】解:∵数列 {an }是各项均为正数的等比数列,

∴ a 3a 5=a42,

∵等比数列 {an }各项均为正数,

∴ a 3+a5

≥2,

当且仅当 a 3=a5=2时,取等号,

∴ a 3=a5=2时, a 4的最大值为 2.

故答案是:2.

9.一个底面半径为 2的圆柱被与其底面所成角是 60°的平面所截,截面是一个

椭圆,则该椭圆的焦距等于

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】利用已知条件,求出题意的长半轴,短半轴,然后求出半焦距,即可. 【解答】解:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其截口是一个椭圆,

则这个椭圆的短半轴为:R

,长半轴为:=8,

∵ a 2=b2+c2,∴

=2,

∴椭圆的焦距为 ;

故答案为:

10.设函数 f (x )

=,则当 x≤ ﹣ 1时,则 f[f(x ) ]表达式的展开式中含 x 2项的系数是 60.

【考点】分段函数的应用.

【分析】根据分段函数的解析式先求出 f[f(x ) ]表达式,再根据利用二项展开式的通项公式写出第 r+1项,整理成最简形式,令 x 的指数为 2求得 r ,再代入系

数求出结果

【解答】解:由函数 f (x )

当 x≤ ﹣ 1时, f (x ) =﹣ 2x ﹣ 1,

此时 f (x ) min =f(﹣ 1) =2﹣ 1=1,

∴ f[f(x ) ]=(﹣ 2x ﹣ 1) 6=(2x+1) 6,

∴ T r+1=C6r 2r x r ,

当 r=2时,系数为 C 62×22=60,

故答案为:60

11.点 M (20, 40) ,抛物线 y 2=2px(p >0)的焦点为 F ,若对于抛物线上的任意点 P , |PM|+|PF|的最小值为 41,则 p 的值等于 42或 22.

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】过 P 做抛物线的准线的垂线,垂足为 D ,则 |PF|=|PD|,当 M (20, 40)

位于抛物线内,当 M , P , D 共线时, |PM|+|PF|的距离最小,

20+=41,解得:

p=42,当 M (20, 40)位于抛物线外,由勾股定理可知:=41, p=22或 58,当 p=58时, y 2=116x,则点 M (20, 40)在抛物线内,舍去,即可求得 p 的值.

【解答】解:由抛物线的定义可知:抛物线上的点到焦点距离 =到准线的距离, 过 P 做抛物线的准线的垂线,垂足为 D ,则 |PF|=|PD|,

当 M (20, 40)位于抛物线内,

∴ |PM|+|PF|=|PM|+|PD|,

当 M , P , D 共线时, |PM|+|PF|的距离最小,

由最小值为 41,即

20+=41,解得:p=42,

当 M (20, 40)位于抛物线外,

当 P , M , F 共线时, |PM|+|PF|取最小值,

即 =41,解得:p=22或 58,

由当 p=58时, y 2=116x,则点 M (20, 40)在抛物线内,舍去,

故答案为:42或 22.

12.当实数 x , y 满足 x 2+y2=1时, |x+2y+a|+|3﹣ x ﹣ 2y|的取值与 x , y 均无关,

则实数 a 的取范围是

[, +∞ ) .

【考点】圆方程的综合应用.

【分析】根据实数 x , y 满足 x 2+y2=1,设 x=cosθ, y=sinθ,求出 x+2y的取值范围,再讨论 a 的取值范围,求出 |x+2y+a|+|3﹣ x ﹣ 2y|的值与 x , y 均无关时 a 的取范围.

【解答】解:∵实数 x , y 满足 x 2+y2=1,

可设 x=cosθ, y=sinθ,

则

x+2y=cosθ+2sinθ=sin (θ+α) ,其中 α=arctan2;

∴﹣

≤x+2y≤ ,

∴当

a≥ 时,

|x+2y+a|+|3﹣ x ﹣ 2y|=(x+2y+a) +(3﹣ x ﹣ 2y ) =a+3,其值与 x , y 均无关;

∴实数 a 的取范围是

[, +∞ ) .

故答案为:.

二、选择题(每小题 5分,满分 20分)

13.在空间, α表示平面, m , n 表示二条直线,则下列命题中错误的是()

A .若 m ∥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不平行

B .若 m ∥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不垂直

C .若 m ⊥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不垂直

D .若 m ⊥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不平行

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 【分析】对于 A ,若 m ∥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α可能平行、相交或 n ? α,即可得出结论.

【解答】解:对于 A , 若 m ∥ α, m 、 n 不平行, 则 n 与 α可能平行、相交或 n ? α, 故不正确.

故选 A .

.已知函数在区间 [0, a](其中 a >0)上单调递增,则实数 a 的取值范围是()

. B

. D

【考点】正弦函数的单调性.

【分析】由条件利用正弦函数的单调性,可得

2a+

≤ ,求得 a 的范围.

【解答】

解:∵函数在区间 [0, a](其中 a >0)上单调递增,

则

2a+

≤ ,求得

a≤ ,故有 0

a≤ ,

故选:B .

15.如图,在圆 C 中,点 A 、 B

在圆上,则的值()

A .只与圆 C 的半径有关

B .既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关

C .只与弦 AB 的长度有关

D .是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】展开数量积 , 结合向量在向量方向上投影的概念可

得

=.则答案可求. 【解答】解:如图,

过圆心 C 作 CD ⊥ AB ,垂足为 D

,则

|||?cos ∠

CAB=.

∴ 的值只与弦 AB 的长度有关.

故选:C .

②若 f (x 1) =f(x 2) ,则 x 1﹣ x 2<>

③任意 x 1, x 2∈ R , f (x 1+x2) ≤f (x 1) +f(x 2) ;

④ .

A .①② B .①③ C .②③ D .②④

【考点】函数与方程的综合运用.

【分析】充分理解 “ 取上整函数 ” 的定义.如果选项不满足题意,只需要举例说明

即可

【解答】解:对于①,当 x=1.4时, f (2x ) =f(2.8) =3.2, f (1.4) =4.所以 f (2x ) ≠2f (x ) ;①错.

对于②,若 f (x 1) =f(x 2) .当 x 1为整数时, f (x 1) =x1,此时 x 2>x 1﹣ 1,即 x 1﹣ x 2<1.当 x="" 1不是整数时,="" f="" (x="" 1)="[x1]+1." [x1]表示不大于="" x="" 1的最大整数.="" x="" 2表示比="" x="" 1的整数部分大="" 1的整数或者是和="" x="" 1保持相同整数的数,此时﹣="" x="" 1﹣="" x="" 2=""><>

对于③,当 x 1, x 2∈ Z , f (x 1+x2) =f(x 1) +f(x 2) ,当 x 1, x 2? Z , f (x 1+x2)< f="" (x="" 1)="" +f(x="" 2)="">

对于④,举例 f (1.2) +f(1.2+0.5) =4≠f (2.4) =3.故④错误.

故选:C .

三、解答题(本大题满分 76分)

17.在正三棱锥 P ﹣ ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为 4.

(1)求证:PA ⊥ BC ;

(2)求此三棱锥的全面积和体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线与平面垂直的性质.

【分析】 (1)取 BC 的中点 M ,连 AM 、 BM .由 △ ABC 是等边三角形,可得 AM ⊥ BC .再由 PB=PC,得 PM ⊥ BC .利用线面垂直的判定可得 BC ⊥平面 PAM , 进一步得到 PA ⊥ BC ;

(2)记 O 是等边三角形的中心,则 PO ⊥平面 ABC .由已知求出高,可求三棱锥的体积.求出各面的面积可得三棱锥的全面积.

【解答】 (1)证明:取 BC 的中点 M ,连 AM 、 BM .

∵△ ABC 是等边三角形,

∴ AM ⊥ BC .

又∵ PB=PC,

∴ PM ⊥ BC .

∵ AM∩PM=M,

∴ BC ⊥平面 PAM ,

则 PA ⊥ BC ;

(2)解:记 O 是等边三角形的中心,则 PO ⊥平面 ABC . ∵△ ABC 是边长为 6的等边三角形,

∴ .

∴

, ,

∵ ,

∴ ;

(1)求此时该外国船只与 D 岛的距离;

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】 (1)依题意,在 △ ABD 中,∠ DAB=60°,由余弦定理求得 DB ; (2)法一、过点 B 作 BH ⊥ AD 于点 H ,在 Rt △ ABH 中,求解直角三角形可得 HE 、 AE 的值,进一步得到 sin ∠ EAH ,则∠ EAH 可求,求出外国船只到达 E 处

的时间 t

,由求得速度的最小值.

法二、建立以点 A 为坐标原点, AD 为 x 轴,过点 A 往正北作垂直的 y 轴.可

得 A , D , B 的坐标, 设经过 t

小时外国船到达点 , 结合 ED=12,

得 , 列等式求得 t ,

则

,再由求得速度的最小值.

【解答】解:(1)依题意,在 △ ABD 中,∠ DAB=60°,

由余弦定理得 DB 2=AD2+AB2﹣ 2AD?AB?cos60°=182+202﹣ 2×18×15×cos60°=364,

∴ ,

即此时该外国船只与 D

岛的距离为海里;

(2)法一、过点 B 作 BH ⊥ AD 于点 H ,

在 Rt △ ABH 中, AH=10,∴ HD=AD﹣ AH=8,

以 D 为圆心, 12为半径的圆交 BH 于点 E ,连结 AE 、 DE ,

在 Rt △ DEH 中,

HE=

,∴ ,

又

AE=,

∴ sin ∠

EAH=

,则 ≈41.81°.

外国船只到达点 E

的时间 (小时) .

∴海监船的速度 (海里 /小时) .

又 90°﹣ 41.81°=48.2°,

故海监船的航向为北偏东 48.2°,速度的最小值为 6.4海里 /小时.

法二、建立以点 A 为坐标原点, AD 为 x 轴,过点 A 往正北作垂直的 y 轴.

则 A (0, 0) , D (18, 0)

, ,设经过 t

小时外国船到达点

又 ED=12

,得

,此时 (小时) .

则

, ,

∴监测船的航向东偏北 41.81°.

∴海监船的速度 (海里 /小时) .

19.已知二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x+c的值域为 [0, +∞ ) . (1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;

(2)判断此函数在

[, +∞ )的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;

(3)求出 f (x )在 [1, +∞ )上的最小值 g (a ) ,并求 g (a )的值域.

【考点】二次函数的性质.

【分析】 (1)由二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x+c的值域,推出 ac=4,判断 f (﹣ 1) ≠f (1) , f (﹣ 1) ≠ ﹣ f (1) ,得到此函数是非奇非偶函数.

(2)求出函数的单调递增区间.设 x 1、 x 2

是满足的任意两个数,列

出不等式,推出 f (x 2)>f (x 1) ,即可判断函数是单调递增.

(3) f (x ) =ax2﹣ 4x+c

,当 ,即 0

时,当 ,即 a >2时

求出最小值即可.

【解答】解:(1)由二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x+c的值域为 [0, +∞ ) ,得 a >0

且

解得 ac=4. …

∵ f (1) =a+c﹣ 4, f (﹣ 1) =a+c+4, a >0且 c >0,从而 f (﹣ 1) ≠f (1) , f (﹣ 1) ≠ ﹣ f (1) ,

∴此函数是非奇非偶函数. …

(2)函数的单调递增区间是

[, +∞ ) .设 x 1、 x 2

是满足的任意两个

数,从而有

,∴ .又 a >0

,∴ ,

从而 ,

即 ,从而 f (x 2)>f (x 1) ,∴函数在

[, +∞ )上是单调递增. …

(3) f (x ) =ax2﹣ 4x+c,又 a >0

, , x ∈ [1, +∞ )

当 ,即 0

当 ,即 a >2

时,最小值

综上,最小值 …

当 0

当 a >2

时,最小值

综上 y=g(a )的值域为 [0, +∞ ) …

20.椭圆 C

:过点 M (2, 0) ,且右焦点为 F (1, 0) ,过 F

的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.设点 P (4, 3) ,记 PA 、 PB 的斜率分别为 k 1和 k 2.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如果直线 l 的斜率等于﹣ 1,求出 k 1?k 2的值;

(3)探讨 k 1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出 k 1+k2的取值范围.

【考点】直线与椭圆的位置关系.

【分析】 (1)利用已知条件求出 b ,即可求解椭圆方程.

(2)直线 l :y=﹣ x+1,设 AB

坐标,联立利用韦达定理以及斜率公

式求解即可.

(3)当直线 AB 的斜率不存在时,不妨设 A , B ,求出斜率,即可;当直线 AB 的斜率存在时,设其为 k ,求直线 AB :y=k(x ﹣ 1) ,联立直线与椭圆的方程组, 利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可.

【解答】解:(1) ∵ a=2, 又 c=1,

∴ ,

∴椭圆方程为 … (2)直线 l :y=﹣ x+1,设 A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) ,

由消 y 得 7x 2﹣ 8x ﹣ 8=0

,有

, . …

…

(3)当直线 AB 的斜率不存在时,不妨设 A (1

, ) , B (1

,﹣ ) ,

则

, ,故 k 1+k2=2. …

当直线 AB 的斜率存在时,设其为 k ,则直线 AB :y=k(x ﹣ 1) ,设 A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) ,

由消 y 得(4k 2+3) x 2﹣ 8k 2x+(4k 2﹣ 12) =0,

有

, .

…

=…

21.已知函数 f (x ) =2|x+2|﹣ |x+1|,无穷数列 {an }的首项 a 1=a.

(1)如果 a n =f(n ) (n ∈ N *) ,写出数列 {an }的通项公式;

(2)如果 a n =f(a n

﹣ 1

) (n ∈ N *且 n≥2) ,要使得数列 {an }是等差数列,求首项 a 的取值范围;

(3)如果 a n =f(a n

﹣ 1

) (n ∈ N *且 n≥2) ,求出数列 {an }的前 n 项和 S n .

【考点】数列与函数的综合.

【分析】 (1)化简函数 f (x )为分段函数,然后求出 a n =f(n ) =n+3.

(2)如果 {an }是等差数列,求出公差 d ,首项,然后求解 a 的范围.

(3)当 a≥ ﹣ 1时,求出前 n 项和,当﹣ 2≤a≤ ﹣ 1时,当 a≤ ﹣ 2时,分别求出 n 项和即可.

【解答】解:(1)∵函数 f (x ) =2|x+2|﹣

|x+1|=, …

又 n≥1且 n ∈ N *,∴ a n =f(n ) =n+3. …

(2)如果 {an }是等差数列,则 a n ﹣ a n ﹣ 1 =d, a n =an ﹣ 1 +d,

由 f (x )知一定有 a n =an ﹣ 1+3,公差 d=3. 当 a 1≥ ﹣ 1时,符合题意.

当﹣ 2≤a 1≤ ﹣ 1时, a 2=3a1+5,由 a 2﹣ a 1=3得 3a 1+5﹣ a 1=3,得 a 1=﹣ 1, a 2=2.

当 a 1≤ ﹣ 2时, a 2=﹣ a 1﹣ 3,由 a 2﹣ a 1=3得﹣ a 1﹣ 3﹣ a 1=3,得 a 1=﹣ 3,此时 a 2=0.

综上所述,可得 a 的取值范围是 a≥ ﹣ 1或 a=﹣ 3. …

(3)当 a≥ ﹣ 1时, a n =f(a n ﹣ 1) =an ﹣ 1+3,∴数列 {an }是以 a 为首项,公差为 3的

等差数列,

. …

当﹣ 2≤a≤ ﹣ 1时, a 2=3a1+5=3a+5≥ ﹣ 1, ∴ n≥3时, a n =an ﹣ 1+3. ∴ n=1时, S 1=a. n≥2

时,

又 S 1=a

也满足上式,∴

(n ∈ N *) …

当 a≤ ﹣ 2时, a 2=﹣ a 1﹣ 3=﹣ a ﹣ 3≥ ﹣ 1, ∴ n≥3时, a n =an ﹣ 1+3. ∴ n=1时, S 1=a. n≥2

时,

又 S 1=a

也满足上式,∴

(n ∈ N *) .

综上所述:S n

=. … .

2017年 1月 13日

范文二：2017届虹口高三一模数学(最新)

上海市虹口区 2017届高三一模数学试卷

2016.12

一 . 填空题(本大题共 12题, 1-6每题 4分, 7-12每题 5分,共 54分)

1. 已知集合 {1,2,4,6,8}A =, {|2, }B x x k k A ==∈,则 A B = 2. 已知 21z i i

=+-,则复数 z 的虚部为 3. 设函数 () sin cos f x x x =-,且 () 1f a =,则 sin 2a =4. 已知二元一次方程 111222a x b y c a x b y c +=??

+=?的增广矩阵是 111113-?? ???

,则此方程组的解是 5. 数列 {}n a 是首项为 1,公差为 2的等差数列, n S 是它前 n 项和,则 2

lim n n n S a →∞= 6. 已知角 A 是 ABC ?的内角, 则 “ 1cos 2A =” 是

“ sin A =” 的条件 (填 “充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要条件” 、 “既非充分又非必要”之一)

7. 若双曲线 2

21y x b -=

的一个焦点到其渐近线距离为 8. 若正项等比数列 {}n a 满足:354a a +=,则 4a 的最大值为

9. 一个底面半径为 2的圆柱被与其底面所成角是 60°的平

面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于

10. 设函数 61() 211

x x f x x x ?≥=?--≤-?,则当 1x ≤-时,则

[()]f f x 表达式的展开式中含 2x 项的系数是 11. 点 (20,40) M ,抛物线 22y px =(0p >)的焦点为 F ,若对于抛物线上的任意点 P , ||||PM PF +的最小值为 41,则 p 的值等于 12. 当实数 x 、 y 满足 22

1x y +=时, |2||32|x y a x y +++--的取值与 x 、 y 均无关, 则实数 a 的取值范围是

二 . 选择题(本大题共 4题,每题 5分,共 20分)

13. 在空间, α表示平面, m 、 n 表示二条直线,则下列命题中错误的是( )

A. 若 m ∥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不平行

B. 若 m ∥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不垂直

C. 若 m α⊥, m 、 n 不平行,则 n 与 α不垂直

D. 若 m α⊥, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不平行

14. 已知函数 () sin(2) 3f x x π=+

在区间 [0,]a (其中 0a >)上单调递增, 则实数 a 的取值范围是( )

A. 02a π

<≤ b.="" 012a="">

<≤ c.="" 12a="" k="">

π=+, *k N ∈ D. 2212k a k π

ππ<≤+, k="" n="">

15. 如图,在圆 C 中,点 A 、 B 在圆上,则 AB AC ? 的值( )

A. 只与圆 C 的半径有关

B. 既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关

C. 只与弦 AB 的长度有关

D. 是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值

16. 定义 () {}f x x =(其中 {}x 表示不小于 x 的最小整数) 为 “取上整函数” , 例如 {2.1}3=, {4}4=,以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是( )

① (2) 2() f x f x =;② 若 12() () f x f x =,则 121x x -<>

③ 任意 1x 、 2x R ∈, 1212() () () f x x f x f x +≤+;④ 1() () (2) 2

f x f x f x ++=;

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④

三 . 解答题(本大题共 5题,共 14+14+14+16+18=76分)

17. 在正三棱锥 P ABC -中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为 4;

(1)求证:PA BC ⊥;

(2)求此三棱锥的全面积和体积;

18. 如图, 我海蓝船在 D 岛海域例行维权巡航, 某时刻航行至 A 处, 此时测得其北偏东 30° 方向与它相距 20海里的 B 处有一外国船只,且 D 岛位于海蓝船正东 18海里处;

(1)求此时该外国船只与 D 岛的距离;

(2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4海里的速度沿正南方航行,为了将该船拦截在离 D 岛 12海里的 E 处(E 在 B 的正南方向) ,不让其进入 D 岛 12海里内的海域,试确定海蓝船的航向,并求其速度的最小值(角度精确到 0.1°,速度精确到 0.1海里 /小时) ;

19. 已知二次函数 2() 4f x ax x c =-+的值域为 [0,) +∞;

(1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;

(2)判断此函数在 2

[, ) a

+∞的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;

(3)求出 () f x 在 [1,) +∞上的最小值 () g a ,并求 () g a 的值域;

20. 椭圆 22

22:1x y C a b

+=(0a b >>) 过点 (2,0)M , 且右焦点为 (1,0)F , 过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,设点 (4,3)P ,记 PA 、 PB 的斜率分别为 1k 和 2k ;

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如果直线 l 的斜率等于 1-,求出 12k k ?的值;

(3)探讨 12k k +是否为定值?如果是,求出该定

值,如果不是,求出 12k k +的取值范围;

21. 已知函数 () 2|2||1|f x x x =+-+,无穷数列 {}n a 的首项 1a a =;

(1)若 () n a f n =(*

n N ∈) ,写出数列 {}n a 的通项公式;

(2)若 1() n n a f a -=(*n N ∈且 2n ≥) ,要使数列 {}n a 是等差数列,求首项 a 取值范围;

(3)如果 1() n n a f a -=(*n N ∈且 2n ≥) ,求出数列 {}n a 的前 n 项和 n S ;

参考答案

一 . 填空题

1. {2,4,8} 2. 1 3. 0 4. 21

x y =??=? 5. 14 6. 充分非必要 7. 6 8. 2

9. 10. 60

11. 22或 42

12. ) +∞

二 . 选择题

13. A 14. B 15. C 16. C

三 . 解答题

17. (1)略; (2

) S =

V =

18. (1

) ; (2)东偏北 41.8?, 6.4v =海里 /小时;

19. (1)非奇非偶函数; (2)单调递增;

(3)当 02a <, ()="" 0g="" a=";当" 2a="" ≥,="" 4()="" 4g="" a="" a="">

=+-;值域 [0,) +∞; 20. (1) 22

143

x y +=; (2) 12; (3) 2; 21. (1) 3n a n =+; (2) {3}[1, ) a ∈--+∞ ;

(3)当 2a ≤-, 3(1)(2) (1)(3) 2

n n n S a n a --=+---+

; 当 21a -<≤-, 3(1)(2)="" (1)(35)="">

n n n S a n a --=+-++; 当 1a >-, 3(1) 2n n n S na -=+;

范文三：2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

一、填空题(1~6题每小题 4分, 7~12题每小题 4分,本大题满分 54分) 1.已知集合 A={1, 2, 4, 6, 8}, B={x |x=2k, k ∈ A },则 A ∩ B= 2.已知

,则复数 z 的虚部为 .

3.设函数 f (x ) =sinx﹣ cosx ,且 f (α) =1,则 sin2α= 4.已知二元一次方程组的增广矩阵是 ,则此方程组的

解是 .

5. 数列 {a n }是首项为 1, 公差为 2的等差数列, S n 是它前 n 项和, 则 = .

6.已知角 A 是△ ABC 的内角,则 “

” 是 “

的 “ 充分非

必要 ” 、 “ 必要非充分 ” 、 “ 充要条件 ” 、 “ 既非充分又非必要 ” 之一) . 7.若双曲线 x 2﹣ =1的一个焦点到其渐近线的距离为 2

,则该双曲线的焦

距等于 .

8.若正项等比数列 {a n }满足:a 3+a 5=4,则 a 4的最大值为 .

9.一个底面半径为 2的圆柱被与其底面所成角是 60°的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 .

10.设函数 f (x ) =

,则当 x ≤﹣ 1时,则 f [f (x ) ]表达式的

展开式中含 x 2项的系数是 .

11.点 M (20, 40) ,抛物线 y 2=2px(p >0)的焦点为 F ,若对于抛物线上的任意点 P , |PM |+|PF |的最小值为 41,则 p 的值等于 .

12.当实数 x , y 满足 x 2+y 2=1时, |x +2y +a |+|3﹣ x ﹣ 2y |的取值与 x , y 均无关, 则实数 a 的取范围是 .

二、选择题(每小题 5分,满分 20分)

13.在空间, α表示平面, m , n 表示二条直线,则下列命题中错误的是( )

A .若 m ∥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不平行 B .若 m ∥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不垂直 C .若 m ⊥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不垂直 D .若 m ⊥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不平行 14.已知函数

在区间 [0, a ](其中 a >0)上单调递增,则实

数 a 的取值范围是( ) A . B .

C .

D .

15.如图,在圆 C 中,点 A 、 B 在圆上,则的值( )

A .只与圆 C 的半径有关

B .既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 C .只与弦 AB 的长度有关

D .是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值

16.定义 f (x ) ={x }(其中 {x }表示不小于 x 的最小整数)为 “ 取上整函数 ” ,例如 {2.1}=3, {4}=4.以下关于 “ 取上整函数 ” 性质的描述,正确的是( ) ① f (2x ) =2f(x ) ; ②若 f (x 1) =f(x 2) ,则 x 1﹣ x 2<>

③任意 x 1, x 2∈ R , f (x 1+x 2)≤ f (x 1) +f (x 2) ; ④ .

A .①②

B .①③

C .②③

D .②④

三、解答题(本大题满分 76分)

17.在正三棱锥 P ﹣ ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为 4. (1)求证:PA ⊥ BC ;

(2)求此三棱锥的全面积和体积.

(1)求此时该外国船只与 D 岛的距离;

19.已知二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x +c 的值域为 [0, +∞) . (1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;

(2)判断此函数在 [, +∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论; (3)求出 f (x )在 [1, +∞)上的最小值 g (a ) ,并求 g (a )的值域. 20.椭圆 C :

过点 M (2, 0) ,且右焦点为 F (1, 0) ,过

的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.设点 P (4, 3) ,记 PA 、 PB 的斜率分别为 k 1和 k 2.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如果直线 l 的斜率等于﹣ 1,求出 k 1?k 2的值;

(3)探讨 k 1+k 2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出 k 1+k 2的取值范围.

21.已知函数 f (x ) =2|x +2|﹣ |x +1|,无穷数列 {a n }的首项 a 1=a.

(1)如果 a n =f(n ) (n ∈ N *) ,写出数列 {a n }的通项公式;

(2)如果 a n =f(a n ﹣ 1) (n ∈ N *且 n ≥ 2) ,要使得数列 {a n }是等差数列,求首项 a 的取值范围;

(3)如果 a n =f(a n ﹣ 1) (n ∈ N *且 n ≥ 2) ,求出数列 {a n }的前 n 项和 S n .

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(1~6题每小题 4分, 7~12题每小题 4分,本大题满分 54分)

1.已知集合 A={1, 2, 4, 6, 8}, B={x |x=2k, k ∈ A },则 A ∩ B=.

【考点】交集及其运算.

【分析】先分别求出集合 A 和 B ,由此能出 A ∩ B . 【解答】解:∵集合 A={1, 2, 4, 6, 8}, ∴ B={x |x=2k, k ∈ A }={2, 4, 8, 12, 19}, ∴ A ∩ B={2, 4, 8}. 故答案为:{2, 4, 8}. 2.已知

,则复数 z 的虚部为 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由

,得

,利用复数复数代数形式的乘法运算

化简,求出 z ,则答案可求. 【解答】解:由 ,

得 =2﹣ 2i +i ﹣ i 2=3﹣ i ,

则 z=3+i .

∴复数 z 的虚部为:1. 故答案为:1.

3.设函数 f (x ) =sinx﹣ cosx ,且 f (α) =1,则 sin2α= 【考点】二倍角的正弦.

【分析】由已知可得 sinα﹣ cosα=1,两边平方,利用二倍角的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式即可得解.

【解答】解:∵ f (x ) =sinx﹣ cosx ,且 f (α) =1,

∴ sinα﹣ cosα=1,

∴两边平方,可得:sin 2α+cos 2α﹣ 2sinαcosα=1, ∴ 1﹣ sin2α=1,可得:sin2α=0. 故答案为:0.

4.已知二元一次方程组的增广矩阵是

,则此方程组的

解是

【考点】

系数矩阵的逆矩阵解方程组.

【分析】

先利用增广矩阵,写出相应的二元一次方程组,然后再求解即得.

【解答】

解:由题意,方程组

解之得

故答案为

5.数列 {a n }是首项为 1,公差为 2的等差数列, S n 是它前 n 项和,则 =

【考点】数列的极限.

【分析】求出数列的和以及通项公式,然后求解数列的极限即可. 【解答】解:数列 {a n }是首项为 1,公差为 2的等差数列, S n ==n2. a n =1+(n ﹣ 1)×2=2n﹣ 1, 则

故答案为:;

6.已知角 A 是△ ABC 的内角,则 “

” 是 “

的条件

(填 “ 充分非必要 ” 、 “ 必要非充分 ” 、 “ 充要条件 ” 、 “ 既非充分又非必要 ” 之一) . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可. 【解答】解:A 为△ ABC 的内角,则 A ∈(0, 180°) , 若命题 p :cosA=成立,则 A=60°, sinA=;

而命题 q :sinA=

成立,又由 A ∈(0, 180°) ,则 A=60°或 120°;

因此由 p 可以推得 q 成立,由 q 推不出 p , 可见 p 是 q 的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要.

7.若双曲线 x 2﹣ =1的一个焦点到其渐近线的距离为 2

,则该双曲线的焦

距等于 6 .

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出 b 的值即可得到结论. 【解答】解:双曲线的渐近线为 y=±bx ,不妨设为 y=﹣ bx ,即 bx +y=0, 焦点坐标为 F (c , 0) , 则焦点到其渐近线的距离 d==

=b=2

则 c=

=3,

则双曲线的焦距等于 2c=6, 故答案为:6

8.若正项等比数列 {a n }满足:a 3+a 5=4,则 a 4的最大值为 2 . 【考点】等比数列的性质.

【分析】利用数列 {a n }是各项均为正数的等比数列,可得 a 3a 5=a42,再利用基本不等式,即可求得 a 4的最大值.

【解答】解:∵数列 {a n }是各项均为正数的等比数列,

∴ a 3a 5=a42,

∵等比数列 {a n }各项均为正数, ∴ a 3+a 5≥ 2

当且仅当 a 3=a5=2时,取等号, ∴ a 3=a5=2时, a 4的最大值为 2. 故答案是:2.

9.一个底面半径为 2的圆柱被与其底面所成角是 60°的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于

【考点】

椭圆的简单性质.

【分析】利用已知条件,求出题意的长半轴,短半轴,然后求出半焦距,即可.

【解答】解:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其截口是一个椭圆,

则这个椭圆的短半轴为:R ,长半轴为: =8,

∵ a 2=b2+c 2,∴ c==2,

∴椭圆的焦距为 ;

故答案为:4.

10.设函数 f (x ) =

,则当 x ≤﹣ 1时,则 f [f (x ) ]表达式的

展开式中含 x 2项的系数是 60 . 【考点】分段函数的应用.

【分析】根据分段函数的解析式先求出 f [f (x ) ]表达式,再根据利用二项展开式的通项公式写出第 r +1项,整理成最简形式,令 x 的指数为 2求得 r ,再代入

系数求出结果

【解答】解:由函数 f (x ) =,

当 x ≤﹣ 1时, f (x ) =﹣ 2x ﹣ 1, 此时 f (x ) min =f(﹣ 1) =2﹣ 1=1, ∴ f [f (x ) ]=(﹣ 2x ﹣ 1) 6=(2x +1) 6, ∴ T r +1=C6r 2r x r ,

当 r=2时,系数为 C 62×22=60, 故答案为:60

11.点 M (20, 40) ,抛物线 y 2=2px(p >0)的焦点为 F ,若对于抛物线上的任意点 P , |PM |+|PF |的最小值为 41,则 p 的值等于 42或 22 . 【考点】抛物线的简单性质.

【分析】过 P 做抛物线的准线的垂线,垂足为 D ,则 |PF |=|PD |,当 M (20, 40) 位于抛物线内,当 M , P , D 共线时, |PM |+|PF |的距离最小, 20+=41,解得:p=42,当 M (20, 40)位于抛物线外,由勾股定理可知:

=41,

p=22或 58,当 p=58时, y 2=116x,则点 M (20, 40)在抛物线内,舍去,即可求得 p 的值.

【解答】解:由抛物线的定义可知:抛物线上的点到焦点距离 =到准线的距离, 过 P 做抛物线的准线的垂线,垂足为 D ,则 |PF |=|PD |, 当 M (20, 40)位于抛物线内, ∴ |PM |+|PF |=|PM |+|PD |,

当 M , P , D 共线时, |PM |+|PF |的距离最小, 由最小值为 41,即 20+=41,解得:p=42, 当 M (20, 40)位于抛物线外,

当 P , M , F 共线时, |PM |+|PF |取最小值, 即

=41,解得:p=22或 58,

由当 p=58时, y 2=116x,则点 M (20, 40)在抛物线内,舍去,

故答案为:42或 22.

12.当实数 x , y 满足 x 2+y 2=1时, |x +2y +a |+|3﹣ x ﹣ 2y |的取值与 x , y 均无关, 则实数 a 的取范围是

[

∞) .

【考点】圆方程的综合应用.

【分析】根据实数 x , y 满足 x 2+y 2=1, 设 x=cosθ, y=sinθ, 求出 x +2y 的取值范围, 再讨论 a 的取值范围,求出 |x +2y +a |+|3﹣ x ﹣ 2y |的值与 x , y 均无关时 a 的取范围.

【解答】解:∵实数 x , y 满足 x 2+y 2=1, 可设 x=cosθ, y=sinθ, 则 x +2y=cosθ+2sinθ=sin (θ+α) ,其中 α=arctan2;

∴﹣

≤ x +2y ≤ ,

∴当 a ≥ 时,

|x +2y +a |+|3﹣ x ﹣ 2y |=(x +2y +a ) +(3﹣ x ﹣ 2y ) =a+3,其值与 x , y 均无关; ∴实数 a 的取范围是 [, +∞) .

故答案为:.

二、选择题(每小题 5分,满分 20分)

13.在空间, α表示平面, m , n 表示二条直线,则下列命题中错误的是( )

A .若 m ∥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不平行 B .若 m ∥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不垂直 C .若 m ⊥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α不垂直 D .若 m ⊥ α, m 、 n 不垂直,则 n 与 α不平行

【解答】解:对于 A ,若 m ∥ α, m 、 n 不平行,则 n 与 α可能平行、相交或 n ? α,故不正确. 故选 A .

14.已知函数

在区间 [0, a ](其中 a >0)上单调递增,则实

数 a 的取值范围是( ) A . B .

C .

D .

【考点】正弦函数的单调性.

【分析】由条件利用正弦函数的单调性,可得 2a +≤

,求得 a 的范围.

【解答】解:∵函数在区间 [0, a ](其中 a >0)上单调递增,

则 2a +

≤

,求得 a ≤

,故有 0

故选:B .

15.如图,在圆 C 中,点 A 、 B 在圆上,则的值( )

A .只与圆 C 的半径有关

B .既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 C .只与弦 AB 的长度有关

D .是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】展开数量积 , 结合向量在向量方向上投影的概念可得 =

.则答案可求.

【解答】解:如图,

过圆心 C 作 CD ⊥ AB ,垂足为 D ,则 =||||?cos ∠ CAB=.

∴

的值只与弦 AB 的长度有关.

故选:C .

③任意 x 1, x 2∈ R , f (x 1+x 2)≤ f (x 1) +f (x 2) ; ④ . A .①②

B .①③

C .②③

D .②④

【考点】函数与方程的综合运用.

【分析】充分理解 “ 取上整函数 ”

的定义.如果选项不满足题意,只需要举例说明

即可

【解答】解:对于①,当 x=1.4时, f (2x ) =f(2.8) =3.2, f (1.4) =4.所以 f (2x )≠ 2f (x ) ;①错.

对于②,若 f (x 1) =f(x 2) .当 x 1为整数时, f (x 1) =x1,此时 x 2>x 1﹣ 1,即 x 1﹣ x 2<1.当 x="" 1不是整数时,="" f="" (x="" 1)="[x" 1]+1.="" [x="" 1]表示不大于="" x="" 1的最大整数.="" x="" 2表示比="" x="" 1的整数部分大="" 1的整数或者是和="" x="" 1保持相同整数的数,此时﹣="" x="" 1﹣="" x="" 2=""><>

对于③,当 x 1, x 2∈ Z , f (x 1+x 2) =f(x 1) +f (x 2) ,当 x 1, x 2? Z , f (x 1+x 2)

对于④,举例 f (1.2) +f (1.2+0.5) =4≠ f (2.4) =3.故④错误.

故选:C .

三、解答题(本大题满分 76分)

17.在正三棱锥 P ﹣ ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为 4.

(1)求证:PA ⊥ BC ;

(2)求此三棱锥的全面积和体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线与平面垂直的性质.

【分析】 (1)取 BC 的中点 M ,连 AM 、 BM .由△ ABC 是等边三角形,可得 AM ⊥ BC .再由 PB=PC,得 PM ⊥ BC . 利用线面垂直的判定可得 BC ⊥平面 PAM , 进一步得到 PA ⊥ BC ;

(2)记 O 是等边三角形的中心,则 PO ⊥平面 ABC .由已知求出高,可求三棱锥的体积.求出各面的面积可得三棱锥的全面积.

【解答】 (1)证明:取 BC 的中点 M ,连 AM 、 BM .

∵△ ABC 是等边三角形, ∴ AM ⊥ BC . 又∵ PB=PC, ∴ PM ⊥ BC . ∵ AM ∩ PM=M, ∴ BC ⊥平面 PAM , 则 PA ⊥ BC ;

(2)解:记 O 是等边三角形的中心,则 PO ⊥平面 ABC . ∵△ ABC 是边长为 6的等边三角形, ∴ .

∴ ,

∵ ,

∴

;

(1)求此时该外国船只与 D 岛的距离;

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】 (1)依题意,在△ ABD 中,∠ DAB=60°,由余弦定理求得 DB ;

(2) 法一、过点 B 作 BH ⊥ AD 于点 H , 在 Rt △ ABH 中, 求解直角三角形可得 HE 、 AE 的值, 进一步得到 sin ∠ EAH , 则∠ EAH 可求, 求出外国船只到达 E 处的时间 t , 由

求得速度的最小值.

法二、建立以点 A 为坐标原点, AD 为 x 轴,过点 A 往正北作垂直的 y 轴.可得 A , D , B 的坐标,设经过 t 小时外国船到达点 ,结合 ED=12,

得

, 列等式求得

t , 则

,再由

求得速度的最小值.

【解答】解:(1)依题意,在△ ABD 中,∠ DAB=60°,

由余弦定理得 DB 2=AD2+AB 2﹣ 2AD?AB?cos60°=182+202﹣ 2×18×15×cos60°=364,

∴ ,

即此时该外国船只与 D 岛的距离为海里;

(2)法一、过点 B 作 BH ⊥ AD 于点 H ,

在 Rt △ ABH 中, AH=10,∴ HD=AD﹣ AH=8,

以 D 为圆心, 12为半径的圆交 BH 于点 E ,连结 AE 、 DE , 在 Rt △ DEH 中, HE=,∴ ,

又 AE=, ∴ sin ∠ EAH=

,则

≈ 41.81°.

外国船只到达点 E 的时间 (小时) .

∴海监船的速度

(海里 /小时) .

又 90°﹣ 41.81°=48.2°,

故海监船的航向为北偏东 48.2°,速度的最小值为 6.4海里 /小时.

法二、建立以点 A 为坐标原点, AD 为 x 轴,过点 A 往正北作垂直的 y 轴. 则 A (0, 0) , D (18, 0) ,

,设经过 t 小时外国船到达点

又 ED=12,得 ,此时 (小时) .

则

∴监测船的航向东偏北 41.81°. ∴海监船的速度

(海里 /小时) .

19.已知二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x +c 的值域为 [0, +∞) . (1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;

(2)判断此函数在 [, +∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论; (3)求出 f (x )在 [1, +∞)上的最小值 g (a ) ,并求 g (a )的值域. 【考点】二次函数的性质.

【分析】 (1)由二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x +c 的值域,推出 ac=4,判断 f (﹣ 1)≠ f (1) , f (﹣ 1)≠﹣ f (1) ,得到此函数是非奇非偶函数. (2)求出函数的单调递增区间.设 x 1、 x 2是满足

的任意两个数,列

出不等式,推出 f (x 2)>f (x 1) ,即可判断函数是单调递增. (3) f (x ) =ax2﹣ 4x +c ,当

,即 0

,即 a >2

时

求出最小值即可.

【解答】解:(1)由二次函数 f (x ) =ax2﹣ 4x +c 的值域为 [0, +∞) ,得 a >0且

解得 ac=4. …

∵ f (1) =a+c ﹣ 4, f (﹣ 1) =a+c +4, a >0且 c >0,从而 f (﹣ 1)≠ f (1) , f (﹣ 1)≠﹣ f (1) ,

∴此函数是非奇非偶函数. …

(2)函数的单调递增区间是 [, +∞) .设 x 1、 x 2是满足的任意两个数,从而有

,∴

.又 a >0,∴

从而 ,

即

,从而 f (x 2)>f (x 1) ,∴函数在 [, +∞)上是

单调递增. …

(3) f (x ) =ax2﹣ 4x +c ,又 a >0, , x ∈ [1, +∞)

当 ,即 0

,即 a >2时,最小值

综上,最小值

…

当 02时,最小值

综上 y=g(a )的值域为 [0, +∞) …

20.椭圆 C :

过点 M (2, 0) ,且右焦点为 F (1, 0) ,过 F

的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.设点 P (4, 3) ,记 PA 、 PB 的斜率分别为 k 1和 k 2.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如果直线 l 的斜率等于﹣ 1,求出 k 1?k 2的值;

(3)探讨 k 1+k 2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出 k 1+k 2的取值范围.

【考点】直线与椭圆的位置关系.

【分析】 (1)利用已知条件求出 b ,即可求解椭圆方程.

(2)直线 l :y=﹣ x +1,设 AB 坐标,联立利用韦达定理以及斜率公式

求解即可.

(3)当直线 AB 的斜率不存在时,不妨设 A , B ,求出斜率,即可;当直线 AB 的斜率存在时,设其为 k ,求直线 AB :y=k(x ﹣ 1) ,联立直线与椭圆的方程组, 利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可. 【解答】解:(1) ∵ a=2,又 c=1,∴

, ∴椭圆方程为

…

(2)直线 l :y=﹣ x +1,设 A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) , 由

消 y 得 7x 2﹣ 8x ﹣ 8=0,有

. …

…

(3)当直线 AB 的斜率不存在时,不妨设 A (1, ) , B (1,﹣ ) , 则

,故 k 1+k 2=2. …

当直线 AB 的斜率存在时,设其为 k ,则直线 AB :y=k(x ﹣ 1) ,设 A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) ,

由消 y 得(4k 2+3) x 2﹣ 8k 2x +(4k 2﹣ 12) =0,

有 , . …

=…

21.已知函数 f (x ) =2|x +2|﹣ |x +1|,无穷数列 {a n }的首项 a 1=a.

(1)如果 a n =f(n ) (n ∈ N *) ,写出数列 {a n }的通项公式;

(2)如果 a n =f(a n ﹣ 1) (n ∈ N *且 n ≥ 2) ,要使得数列 {a n }是等差数列,求首项 a 的取值范围;

(3)如果 a n =f(a n ﹣ 1) (n ∈ N *且 n ≥ 2) ,求出数列 {a n }的前 n 项和 S n .

【考点】数列与函数的综合.

【分析】 (1)化简函数 f (x )为分段函数,然后求出 a n =f(n ) =n+3.

(2)如果 {a n }是等差数列,求出公差 d ,首项,然后求解 a 的范围.

(3)当 a ≥﹣ 1时,求出前 n 项和,当﹣ 2≤ a ≤﹣ 1时,当 a ≤﹣ 2时,分别求出 n 项和即可.

【解答】解:(1)∵函数 f (x ) =2|x +2|﹣ |x +1|=, … 又 n ≥ 1且 n ∈ N *,∴ a n =f(n ) =n+3. …

(2)如果 {a n }是等差数列,则 a n ﹣ a n ﹣ 1 =d, a n =an ﹣ 1 +d ,

由 f (x )知一定有 a n =an ﹣ 1+3,公差 d=3. 当 a 1≥﹣ 1时,符合题意.

当﹣ 2≤ a 1≤﹣ 1时, a 2=3a1+5,由 a 2﹣ a 1=3得 3a 1+5﹣ a 1=3,得 a 1=﹣ 1, a 2=2.

当 a 1≤﹣ 2时, a 2=﹣ a 1﹣ 3, 由 a 2﹣ a 1=3得﹣ a 1﹣ 3﹣ a 1=3, 得 a 1=﹣ 3, 此时 a 2=0.

综上所述,可得 a 的取值范围是 a ≥﹣ 1或 a=﹣ 3. …

(3)当 a ≥﹣ 1时, a n =f(a n ﹣ 1) =an ﹣ 1+3,∴数列 {a n }是以 a 为首项,公差为 3的等差数列,

. …

当﹣ 2≤ a ≤﹣ 1时, a 2=3a1+5=3a+5≥﹣ 1, ∴ n ≥ 3时, a n =an ﹣ 1+3. ∴ n=1时, S 1=a. n ≥ 2时,

又 S 1=a也满足上式,∴

(n ∈ N *) …

当 a ≤﹣ 2时, a 2=﹣ a 1﹣ 3=﹣ a ﹣ 3≥﹣ 1, ∴ n ≥ 3时, a n =an ﹣ 1+3. ∴ n=1时, S 1=a. n ≥ 2时,

又 S 1=a也满足上式,∴

(n ∈ N *) .

综上所述:S n =. … .

范文四：2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)

又90?,41.81?=48.2?，

故海监船的航向为北偏东48.2?，速度的最小值为6.4海里/小时(

法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴( 则A(0，0)，D(18，0)，

，

又ED=12，得则

，此时，

(小时)(

，

，设经过t小时外国船到达点

?监测船的航向东偏北41.81?( ?海监船的速度

(海里/小时)(

19(已知二次函数(fx)=ax2,4x+c的值域为[0，+?)( (1)判断此函数的奇偶性，并说明理由;

(2)判断此函数在[，+?)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论; (3)求出f(x)在[1，+?)上的最小值g(a)，并求g(a)的值域( 【考点】二次函数的性质(

【分析】(1)由二次函数f(x)=ax2,4x+c的值域，推出ac=4，判断f(,1)?f(1)，f(,1)?,f(1)，得到此函数是非奇非偶函数( (2)求出函数的单调递增区间(设x1、x2是满足

的任意两个数，列

出不等式，推出f(x2),f(x1)，即可判断函数是单调递增( (3)f(x)=ax2,4x+c，当

，即0,a?2时，当

第16页(共20页)

，即a,2时

求出最小值即可(

【解答】解:(1)由二次函数f(x)=ax2,4x+c的值域为[0，+?)，得a,0且

，

解得ac=4(…

?f(1)=a+c,4，f(,1)=a+c+4，a,0且c,0，从而f

(,1)?f(1)，f(,1)?,f(1)，

?此函数是非奇非偶函数(…

(2)函数的单调递增区间是[，+?)(设x1、x2是满足个数，从而有

，

从而即

单调递增(…

(3)f(x)=ax2,4x+c，又a,0，当当

，x?[1，+?)

，

，从而f(x2),f(x1)，?函数在[，+?)上是

，?

的任意两(又a,0，?

，即0,a?2时，最小值g(a)=f(x0)=0 ，即a,2时，最小值

…

综上，最小值

当0,a?2时，最小值g(a)=0 当a,2时，最小值

综上y=g(a)的值域为[0，+?)…

20(椭圆C:

过点M(2，0)，且右焦点为F(1，0)，过F

的直线l与椭圆C相交于A、B两点(设点P(4，3)，记PA、PB的斜率分别为k1和k2(

第17页(共20页)

(1)求椭圆C的方程;

(2)如果直线l的斜率等于,1，求出k1?k2的值;

(3)探讨k1+k2是否为定值,如果是，求出该定值;如果不是，求出k1+k2的取值范围(

【考点】直线与椭圆的位置关系(

【分析】(1)利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程(

(2)直线l:y=,x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式

求解即可(

(3)当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可;当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB:y=k(x,1)，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可( 【解答】解:(1)?a=2，又c=1，?

(2)直线l:y=,x+1，设A(x1，y1)B(x2，y2)，由

消y得7x2,8x,8=0，有

，

(…

，?椭圆方程为

…

(3)当直线AB的斜率不存在时，不妨设A(1，)，B(1，,)，则

，

，故k1+k2=2(…

第18页(共20页)

当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB:y=k(x,1)，设A(x1，y1)B(x2，y2)，由

消y得(4k2+3)x2,8k2x+(4k2,12)=0，

有，

(…

=…

21(已知函数f(x)=2|x+2|,|x+1|，无穷数列{an}的首项a1=a( (1)如果an=f(n)(n?N*)，写出数列{an}的通项公式;

(2)如果an=f(an,1)(n?N*且n?2)，要使得数列{an}是等差数列，求首项a的取值范围;

(3)如果an=f(an,1)(n?N*且n?2)，求出数列{an}的前n项和Sn( 【考点】数列与函数的综合(

【分析】(1)化简函数f(x)为分段函数，然后求出an=f(n)=n+3( (2)如果{an}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围(

(3)当a?,1时，求出前n项和，当,2?a?,1时，当a?,2时，分别求出n项和即可(

【解答】解:(1)?函数f(x)=2|x+2|,|x+1|=又n?1且n?N*，?an=f(n)=n+3(…

(2)如果{an}是等差数列，则an,an,1=d，an=an,1+d，

第19页(共20页)

，…

由f(x)知一定有an=an,1+3，公差d=3( 当a1?,1时，符合题意(

当,2?a1?,1时，a2=3a1+5，由a2,a1=3得3a1+5,a1=3，得a1=,1，a2=2(

a2=,a1,3，当a1?,2时，由a2,a1=3得,a1,3,a1=3，得a1=,3，此时a2=0(

综上所述，可得a的取值范围是a?,1或a=,3(…

(3)当a?,1时，an=f(an,1)=an,1+3，?数列{an}是以a为首项，公差为3的等差数列，

(…

a2=3a1+5=3a+5?,1，an=an,1+3(S1=a(n当,2?a?,1时，?n?3时，?n=1时，?2时，

又S1=a也满足上式，?

(n?N*)…

a2=,a1,3=,a,3?,1，an=an,1+3(S1=a(n当a?,2时，?n?3时，?n=1时，?2时，

又S1=a也满足上式，?

(n?N*)(

综上所述:Sn=(…(

第20页(共20页)

百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆! ?sinα,cosα=1，

?两边平方，可得:sin2α+cos2α,2sinαcosα=1， ?1,sin2α=1，可得:sin2α=0( 故答案为:0(

4(已知二元一次方程组解是

(

的增广矩阵是

，则此方程组的

【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组(

【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得( 【解答】解:由题意，方程组解之得故答案为

5(数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则 (

【考点】数列的极限(

【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可( 【解答】解:数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn==n2(an=1+(n,1)×2=2n,1，则

故答案为:;

6(已知角A是?ABC的内角，则“

”是”

的充分不必要条件

第6页(共20页)

(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一)( 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断(

【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可( 【解答】解:A为?ABC的内角，则A?(0，180?)，若命题p:cosA=成立，则A=60?，sinA= 而命题q:sinA=

;

成立，又由A?(0，180?)，则A=60?或120?;

因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件( 故答案为:充分不必要(

7(若双曲线x2,距等于 6 (

【考点】双曲线的简单性质(

【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论( 【解答】解:双曲线的渐近线为y=?bx，不妨设为y=,bx，即bx+y=0，焦点坐标为F(c，0)，则焦点到其渐近线的距离d=则c=

=b=2

，

=1的一个焦点到其渐近线的距离为2

，则该双曲线的焦

=3，

则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为:6

8(若正项等比数列{an}满足:a3+a5=4，则a4的最大值为 2 ( 【考点】等比数列的性质(

【分析】利用数列{an}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值(

【解答】解:?数列{an}是各项均为正数的等比数列，

第7页(共20页)

?a3a5=a42，

?等比数列{an}各项均为正数， ?a3+a5?2

，

当且仅当a3=a5=2时，取等号， ?a3=a5=2时，a4的最大值为2( 故答案是:2(

9(一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60?的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于

(

【考点】椭圆的简单性质(

【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可(

【解答】解:因为底面半径为R的圆柱被与底面成30?的平面所截，其截口是一个椭圆，

则这个椭圆的短半轴为:R，长半轴为:?a2=b2+c2，?c=?椭圆的焦距为故答案为:4

10(设函数f(x)=

展开式中含x2项的系数是 60 ( 【考点】分段函数的应用(

【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f(x)]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入

第8页(共20页)

=8，

=2;

，

(

，则当x?,1时，则f[f(x)]表达式的

系数求出结果

【解答】解:由函数f(x)=当x?,1时，f(x)=,2x,1，此时f(x)min=f(,1)=2,1=1， ?f[f(x)]=(,2x,1)6=(2x+1)6， ?Tr+1=C6r2rxr，

当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为:60

11(点M(20，40)，抛物线y2=2px(p,0)的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 42或22 ( 【考点】抛物线的简单性质(

【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M(20，40)位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得:p=42，当M(20，40)位于抛物线外，由勾股定理可知:

=41，

，

p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M(20，40)在抛物线内，舍去，即可求得p的值(

【解答】解:由抛物线的定义可知:抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M(20，40)位于抛物线内， ?|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，

当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得:p=42，当M(20，40)位于抛物线

外，

当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即

=41，解得:p=22或58，

由当p=58时，y2=116x，则点M(20，40)在抛物线内，舍去，

第9页(共20页)

故答案为:42或22(

12(当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3,x,2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是 [

，+?) (

【考点】圆方程的综合应用(

【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3,x,2y|的值与x，y均无关时a的取范围(

【解答】解:?实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=?,

sin(θ+α)，其中α=arctan2;

?x+2y?，

第10页(共20页)

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范文五：2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

一、填空题(1,6题每小题4分，7,12题每小题4分，本大题满分54分)

1(已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k?A}，则A?B= (

2(已知，则复数z的虚部为 (

3(设函数f(x)=sinx,cosx，且f(α)=1，则sin2α= (

4(已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的

解是 (

5(数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列，S是它前n项和，则= (nn

6(已知角A是?ABC的内角，则“”是“的条件(填“充分非

必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一)(

27(若双曲线x,=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦

距等于 (

8(若正项等比数列{a}满足:a+a=4，则a的最大值为 (n354

9(一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60?的平面所截，截面是一个

椭圆，则该椭圆的焦距等于 (

10(设函数f(x)=，则当x?,1时，则f[f(x)]表达式的

2 展开式中含x项的系数是 (

211(点M(20，40)，抛物线y=2px(p,0)的焦点为F，若对于抛物线上的任

意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 (

第1页(共20页)

2212(当实数x，y满足x+y=1时，|x+2y+a|+|3,x,2y|的取值与x，y均无关，

则实数a的取范围是 (

二、选择题(每小题5分，满分20分)

13(在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是( )

A(若m?α，m、n不平行，则n与α不平行

B(若m?α，m、n不垂直，则n与α不垂直

C(若m?α，m、n不平行，则n与α不垂直

D(若m?α，m、n不垂直，则n与α不平行

14(已知函数在区间[0，a](其中a,0)上单调递增，则实

数a的取值范围是( )

A( B(

C( D(

15(如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值( )

A(只与圆C的半径有关

B(既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关

C(只与弦AB的长度有关

D(是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值

16(定义f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例

如{2.1}=3，{4}=4(以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是( )

?f(2x)=2f(x);

?若f(x)=f(x)，则x,x,1;1212

?任意x，x?R，f(x+x)?f(x)+f(x);121212

A(?? B(?? C(?? D(??

第2页(共20页)

三、解答题(本大题满分76分)

17(在正三棱锥P,ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4(

(1)求证:PA?BC;

(2)求此三棱锥的全面积和体积(

18(如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30?方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正

东18海里处(

(1)求此时该外国船只与D岛的距离;

(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行(为了将该船拦截在离D岛12海里的E处(E在B的正南方向)，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1?，速

度精确到0.1海里/小时)(

2 19(已知二次函数f(x)=ax,4x+c的值域为[0，+?)(

(1)判断此函数的奇偶性，并说明理由;

(2)判断此函数在[，+?)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论;

(3)求出f(x)在[1，+?)上的最小值g(a)，并求g(a)的值域(20(椭圆C:过点M(2，0)，且右焦点为F(1，0)，过F

第3页(共20页)

的直线l与椭圆C相交于A、B两点(设点P(4，3)，记PA、PB的斜率分别为

k和k(12

(1)求椭圆C的方程;

(2)如果直线l的斜率等于,1，求出k?k的值;12

(3)探讨k+k是否为定值,如果是，求出该定值;如果不是，求出k+k的取1212

值范围(

21(已知函数f(x)=2|x+2|,|x+1|，无穷数列{a}的首项a=a(n1

* (1)如果a=f(n)(n?N)，写出数列{a}的通项公式;nn

*(2)如果a=f(a)(n?N且n?2)，要使得数列{a}是等差数列，求首项ann,1n

的取值范围;

* (3)如果a=f(a)(n?N且n?2)，求出数列{a}的前n项和S(nn,1nn

第4页(共20页)

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(1,6题每小题4分，7,12题每小题4分，本大题满分54分)

1(已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k?A}，则A?B= {2，4，8} (

【考点】交集及其运算(

【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A?B(

【解答】解:?集合A={1，2，4，6，8}，

?B={x|x=2k，k?A}={2，4，8，12，19}，

?A?B={2，4，8}(

故答案为:{2，4，8}(

2(已知，则复数z的虚部为 1 (

【考点】复数代数形式的乘除运算(

【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算

化简，求出z，则答案可求(

【解答】解:由，

2 得=2,2i+i,i=3,i，

则z=3+i(

?复数z的虚部为:1(

故答案为:1(

3(设函数f(x)=sinx,cosx，且f(α)=1，则sin2α= 0 (

【考点】二倍角的正弦(

【分析】由已知可得sinα,cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同

角三角函数基本关系式即可得解(

【解答】解:?f(x)=sinx,cosx，且f(α)=1，

第5页(共20页)

?sinα,cosα=1，

22 ?两边平方，可得:sinα+cosα,2sinαcosα=1，

?1,sin2α=1，可得:sin2α=0(

故答案为:0(

4(已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的

解是 (

【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组(

【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得(

【解答】解:由题意，方程组

解之得

故答案为

5(数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列，S是它前n项和，则= nn

(

【考点】数列的极限(

【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可(【解答】解:数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列，S=nn2 =n(a=1+(n,1)×2=2n,1，n

则==

故答案为:;

6(已知角A是?ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件

第6页(共20页)

(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一)(

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断(

【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可(

【解答】解:A为?ABC的内角，则A?(0，180?)，

若命题p:cosA=成立，则A=60?，sinA=;

而命题q:sinA=成立，又由A?(0，180?)，则A=60?或120?;

因此由p可以推得q成立，由q推不出p，

可见p是q的充分不必要条件(

故答案为:充分不必要(

27(若双曲线x,=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦

(距等于 6

【考点】双曲线的简单性质(

【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论(

【解答】解:双曲线的渐近线为y=?bx，不妨设为y=,bx，即bx+y=0，

焦点坐标为F(c，0)，

则焦点到其渐近线的距离d===b=2，

则c====3，

则双曲线的焦距等于2c=6，

故答案为:6

8(若正项等比数列{a}满足:a+a=4，则a的最大值为 2 (n354

【考点】等比数列的性质(

2【分析】利用数列{a}是各项均为正数的等比数列，可得aa=a，再利用基本n354

不等式，即可求得a的最大值(4

【解答】解:?数列{a}是各项均为正数的等比数列，n

第7页(共20页)

2 ?aa=a，354

?等比数列{a}各项均为正数，n

?a+a?2，35

当且仅当a=a=2时，取等号，35

?a=a=2时，a的最大值为2(354

故答案是:2(

9(一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60?的平面所截，截面是一个

椭圆，则该椭圆的焦距等于 (

【考点】椭圆的简单性质(

【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可(【解答】解:因为底面半径为R的圆柱被与底面成30?的平面所截，其截口是一

个椭圆，

则这个椭圆的短半轴为:R，长半轴为: =8，

222 ?a=b+c，?c==2，

?椭圆的焦距为;

故答案为:4(

10(设函数f(x)=，则当x?,1时，则f[f(x)]表达式的

2 展开式中含x项的系数是 60 (

【考点】分段函数的应用(

【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f(x)]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入

第8页(共20页)

系数求出结果

【解答】解:由函数f(x)=，

当x?,1时，f(x)=,2x,1，

此时f(x)=f(,1)=2,1=1，min

66 ?f[f(x)]=(,2x,1)=(2x+1)，

rrr ?T=C2x，r+16

22 当r=2时，系数为C×2=60，6

故答案为:60

211(点M(20，40)，抛物线y=2px(p,0)的焦点为F，若对于抛物线上的任

意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 42或22 (

【考点】抛物线的简单性质(

【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M(20，40)

位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得:

p=42，当M(20，40)位于抛物线外，由勾股定理可知: =41，

2p=22或58，当p=58时，y=116x，则点M(20，40)在抛物线内，舍去，即可

求得p的值(

【解答】解:由抛物线的定义可知:抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，

过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，

当M(20，40)位于抛物线内，

?|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，

当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，

由最小值为41，即20+=41，解得:p=42，

当M(20，40)位于抛物线外，

当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，

即=41，解得:p=22或58，

2 由当p=58时，y=116x，则点M(20，40)在抛物线内，舍去，

第9页(共20页)

故答案为:42或22(

2212(当实数x，y满足x+y=1时，|x+2y+a|+|3,x,2y|的取值与x，y均无关，

则实数a的取范围是 [，+?) (

【考点】圆方程的综合应用(

22【分析】根据实数x，y满足x+y=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，

再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3,x,2y|的值与x，y均无关时a的取范

围(

22 【解答】解:?实数x，y满足x+y=1，

可设x=cosθ，y=sinθ，

则x+2y=cosθ+2sinθ=sin(θ+α)，其中α=arctan2;

?,?x+2y?，

第10页(共20页)

?当a?时，

|x+2y+a|+|3,x,2y|=(x+2y+a)+(3,x,2y)=a+3，其值与x，y均无关;

?实数a的取范围是[，+?)(

故答案为:(

二、选择题(每小题5分，满分20分)

13(在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是( )

A(若m?α，m、n不平行，则n与α不平行

B(若m?α，m、n不垂直，则n与α不垂直

C(若m?α，m、n不平行，则n与α不垂直

D(若m?α，m、n不垂直，则n与α不平行

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系(

【分析】对于A，若m?α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n?α，

即可得出结论(

【解答】解:对于A，若m?α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n

?α，故不正确(

故选A(

14(已知函数在区间[0，a](其中a,0)上单调递增，则实

数a的取值范围是( )

A( B(

C( D(

【考点】正弦函数的单调性(

【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+?，求得a的范围(

【解答】解:?函数在区间[0，a](其中a,0)上单调递增，

则2a+?，求得a?，故有0,a?，

故选:B(

第11页(共20页)

15(如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值( )

A(只与圆C的半径有关

B(既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关

C(只与弦AB的长度有关

D(是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值

【考点】平面向量数量积的运算(

【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得

=(则答案可求(

【解答】解:如图，

过圆心C作CD?AB，垂足为D，则=||||?cos?CAB=(

?的值只与弦AB的长度有关(

故选:C(

16(定义f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例

如{2.1}=3，{4}=4(以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是( )

?f(2x)=2f(x);

?若f(x)=f(x)，则x,x,1;1212

?任意x，x?R，f(x+x)?f(x)+f(x);121212

A(?? B(?? C(?? D(??

【考点】函数与方程的综合运用(

【分析】充分理解“取上整函数”的定义(如果选项不满足题意，只需要举例说明

第12页(共20页)

即可

【解答】解:对于?，当x=1.4时，f(2x)=f(2.8)=3.2，f(1.4)=4(所以f

(2x)?2f(x);?错(

对于?，若f(x)=f(x)(当x为整数时，f(x)=x，此时x,x,1，即x12111211,x,1(当x不是整数时，f(x)=[x]+1([x]表示不大于x的最大整数(x2111112表示比x的整数部分大1的整数或者是和x保持相同整数的数，此时,x,x1112

,1(故?正确(

对于?，当x，x?Z，f(x+x)=f(x)+f(x)，当x，x?Z，f(x+x),f(x)12121212121

+f(x)，故正确;2

对于?，举例f(1.2)+f(1.2+0.5)=4?f(2.4)=3(故?错误(

故选:C(

三、解答题(本大题满分76分)

17(在正三棱锥P,ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4(

(1)求证:PA?BC;

(2)求此三棱锥的全面积和体积(

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线

与平面垂直的性质(

【分析】(1)取BC的中点M，连AM、BM(由?ABC是等边三角形，可得AM?BC(再由PB=PC，得PM?BC(利用线面垂直的判定可得BC?平面PAM，进一

步得到PA?BC;

(2)记O是等边三角形的中心，则PO?平面ABC(由已知求出高，可求三棱锥

的体积(求出各面的面积可得三棱锥的全面积(

【解答】(1)证明:取BC的中点M，连AM、BM(

第13页(共20页)

??ABC是等边三角形，

?AM?BC(

又?PB=PC，

?PM?BC(

?AM?PM=M，

?BC?平面PAM，

则PA?BC;

(2)解:记O是等边三角形的中心，则PO?平面ABC(

??ABC是边长为6的等边三角形，

?，，

?，

(

18(如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30?方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正

东18海里处(

(1)求此时该外国船只与D岛的距离;

度精确到0.1海里/小时)(

第14页(共20页)

【考点】直线与圆的位置关系(

【分析】(1)依题意，在?ABD中，?DAB=60?，由余弦定理求得DB;(2)法一、过点B作BH?AD于点H，在Rt?ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin?EAH，则?EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，

由求得速度的最小值(

法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴(可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，

，再由求得速度的最小值(

【解答】解:(1)依题意，在?ABD中，?DAB=60?，

22222 由余弦定理得DB=AD+AB,2AD?AB?cos60?=18+20,2×18×15×cos60?=364，

?，

即此时该外国船只与D岛的距离为海里;

(2)法一、过点B作BH?AD于点H，

在Rt?ABH中，AH=10，?HD=AD,AH=8，

以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，

在Rt?DEH中，HE=，?，

又AE=，

?sin?EAH=，则?41.81?(

外国船只到达点E的时间(小时)(

?海监船的速度(海里/小时)(

第15页(共20页)

又90?,41.81?=48.2?，

故海监船的航向为北偏东48.2?，速度的最小值为6.4海里/小时(

法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴(

则A(0，0)，D(18，0)，，设经过t小时外国船到达点

，

又ED=12，得，此时(小时)(

则，，

?监测船的航向东偏北41.81?(

?海监船的速度(海里/小时)(

2 19(已知二次函数f(x)=ax,4x+c的值域为[0，+?)(

(1)判断此函数的奇偶性，并说明理由;

(2)判断此函数在[，+?)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论;

(3)求出f(x)在[1，+?)上的最小值g(a)，并求g(a)的值域(

【考点】二次函数的性质(

2【分析】(1)由二次函数f(x)=ax,4x+c的值域，推出ac=4，判断f(,1)?

f(1)，f(,1)?,f(1)，得到此函数是非奇非偶函数(

(2)求出函数的单调递增区间(设x、x是满足的任意两个数，列12

出不等式，推出f(x),f(x)，即可判断函数是单调递增(21

2(3)f(x)=ax,4x+c，当，即0,a?2时，当，即a,2时

第16页(共20页)

求出最小值即可(

2【解答】解:(1)由二次函数f(x)=ax,4x+c的值域为[0，+?)，得a,0且

，

解得ac=4(…

?f(1)=a+c,4，f(,1)=a+c+4，a,0且c,0，从而f(,1)?f(1)，f(,

1)?,f(1)，

?此函数是非奇非偶函数(…

(2)函数的单调递增区间是[，+?)(设x、x是满足的任意两12

个数，从而有，?(又a,0，?

，

从而，

),f(x)，?函数在[，+?)上是即，从而f(x21

单调递增(…

2 (3)f(x)=ax,4x+c，又a,0，，x?[1，+?)

当，即0,a?2时，最小值g(a)=f(x)=00

当，即a,2时，最小值

综上，最小值…

当0,a?2时，最小值g(a)=0

当a,2时，最小值

综上y=g(a)的值域为[0，+?)…

20(椭圆C:过点M(2，0)，且右焦点为F(1，0)，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点(设点P(4，3)，记PA、PB的斜率分别为

k和k(12

第17页(共20页)

(1)求椭圆C的方程;

(2)如果直线l的斜率等于,1，求出k?k的值;12

(3)探讨k+k是否为定值,如果是，求出该定值;如果不是，求出k+k的取1212

值范围(

【考点】直线与椭圆的位置关系(

【分析】(1)利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程(

(2)直线l:y=,x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式

求解即可(

(3)当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可;当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB:y=k(x,1)，联立直线与椭圆的方程组，

利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可(

【解答】解:(1)?a=2，又c=1，?，?椭圆方程为…

(2)直线l:y=,x+1，设A(x，y)B(x，y)，1122

2 由消y得7x,8x,8=0，有，(…

…

(3)当直线AB的斜率不存在时，不妨设A(1，)，B(1，,)，

则，，故k+k=2(…12

第18页(共20页)

当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB:y=k(x,1)，设A(x，y)B11

(x，y)，22

2222 由消y得(4k+3)x,8kx+(4k,12)=0，

有，

(…

=…

21(已知函数f(x)=2|x+2|,|x+1|，无穷数列{a}的首项a=a(n1

* (1)如果a=f(n)(n?N)，写出数列{a}的通项公式;nn

*(2)如果a=f(a)(n?N且n?2)，要使得数列{a}是等差数列，求首项ann,1n

的取值范围;

* (3)如果a=f(a)(n?N且n?2)，求出数列{a}的前n项和S(nn,1nn

【考点】数列与函数的综合(

【分析】(1)化简函数f(x)为分段函数，然后求出a=f(n)=n+3(n

(2)如果{a}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围(n

(3)当a?,1时，求出前n项和，当,2?a?,1时，当a?,2时，分别求

出n项和即可(

【解答】解:(1)?函数f(x)=2|x+2|,|x+1|=，…

* 又n?1且n?N，?a=f(n)=n+3(…n

(2)如果{a}是等差数列，则a,a=d，a=a+d，nnn,1nn,1

第19页(共20页)

由f(x)知一定有a=a+3，公差d=3(nn,1

当a?,1时，符合题意(1

当,2?a?,1时，a=3a+5，由a,a=3得3a+5,a=3，得a=,1，a=2(121211112

当a?,2时，a=,a,3，由a,a=3得,a,3,a=3，得a=,3，此时a=0(121211112

综上所述，可得a的取值范围是a?,1或a=,3(…

(3)当a?,1时，a=f(a)=a+3，?数列{a}是以a为首项，公差为3nn,1n,1n

的等差数列，(…

当,2?a?,1时，a=3a+5=3a+5?,1，?n?3时，a=a+3(?n=1时，S=a(n21nn,11

?2时，

* 又S=a也满足上式，?(n?N)…1

当a?,2时，a=,a,3=,a,3?,1，?n?3时，a=a+3(?n=1时，S=a(n21nn,11

?2时，

* 又S=a也满足上式，?(n?N)(1

综上所述:S=(…(n

第20页(共20页)

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