范文一:余切函数的图象和性质
正切、余切函数的图象和性质
张思明
教学过程择录:
一、引题:
师:对比上一节的习题,请同学们看一看自己的作业本,对正弦和余弦函数,在作业中,我们已涉及了多少类型的问题,
生众:P159(11)正弦,余弦函数的定义域:
P158(3)正弦,余弦函数的最值(值域):
P158(6)正弦,余弦函数的奇偶性
P159(8)正弦,余弦函数的单调性
P159(7)正弦,余弦函数的应用一-----比大小
P158(4)正弦,余弦函数的周期(最小正周期)
P159(12)正弦,余弦函数的图象
P160(16、17)正弦,余弦函数性质的应用
教师在黑板上书写:(1)定义域(2)值域(3)奇偶性(4)单调性(5)比大小(6)求最小正周期(7)作图(8)应用
教师:今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质,可以想一想,我们要觖决什么问题, 生众:不就是上面这几点问题吗,
教师:说的不错,我们就是要来解决把“正弦、余弦函数”换成“正切、余切函数”后(1)~(7)后面加一个“是什么,”这样一些问题。请同学们带的这些问题看书5分钟(P153~P157)。
[评述]:这里是通过作业小结的方式引入问题。学生常常是很肓目的做作业,很少观察作业所涉及的问题类型和范围。教师有意识地引导学生作这种观察,既培养了学生看课本的习惯,又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。
二、学生自己回顾性设问,(自问自答)
5分钟以后:学生阅读完毕,教师指导第一组学生(7人)为相邻的同桌的同学(第二组学生)就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题,要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题,并请同桌同学(起立)对着大家回答。做完后,问、答的两组学生角色交换。其它组的同学一边听,一边作判断,对的放过,不对时请同一行的同学予以更正:
生1:正切函数的定义域是什么,邻生答:除了,k?Z外的全体实数。
生2:正切函数的值域是整个y轴吗,邻生改正:应说成是全体实数
生3:
???
生10:学过四种三角函数都是奇数吗,都是增函数吗,邻生答:不对,反例是余弦函数)
生11:正切函数是它定义域上的增函数吗,(好问题~)邻生答:是,其它学生更正:不是。教师追问理由???
生12:正切函数是一个周期为2的函数吗,(含义不清的问题)邻生回答:准确地说正切函数是最小正周期为的周期函数。
生13:余切函数也是一个以2为周期的周期函数,这个说法对吗,邻生:不对,
另外的学生答:对,??? 学生即席讨论???。
生14:怎样由y=tgx的图象得到y=ctgx的图象,(好问题),邻生答:可以先把y=tgx的图象以x轴为轴,翻转180度,再向右平移。另一个邻座同学:也可以先把y=tgx的图象以y轴为轴,翻转180度,再向右平移。教师插说:我怎么不懂了,为什么把y=tgx的图象以x轴为轴,翻转180度和把y=tgx的图象以y轴为轴,翻转180度的效果一样,?学生讨论得到:因为y=tgx是奇函数,f(-x)=-f(x)。教师又插说:非要先翻转后平移吗,?学生讨论略。
[评论]学生自己设计问题,自问他答,其它学生协助判定是否正确,可以在很大程度上调动学生自己学习的主动性。但问题的难易控制有一定难度,先问的人设计问题相对容易些,可以用往复问答的方式来解决(第一个提问的学生将回答最后一个问题)。邻座的学生作答,同一横行同学做答的是非判定,这样做目的是让反馈的更快、更广些。从学生问答情况看,基本达到了目的。
三、自己提出问题,设计问题,当堂练习,自己作评价。
师:下面请第3组同学为大家设计一组课堂练习(2分钟)可以讨论。要求是七个方面都要覆盖。(七人上黑板,学生之间有交流,组长分配协调一人一个题,不使重复,2分钟后题目完成)请第四组同学上黑板解:其它同学在下面解。再请第5组同学:评价题目和解法的长短。请第6组同学对应设计课后作业(C组题)。请第7组同学:作全课的小结(谈自己认为感觉最深几点)
[评述]活动覆盖面大,学生在教师控制的“方向”上直接参与练习设计,求解,并且加入练习题设计及解法的评价和全课小结,目的是让学生学会“品题”,“品课”,这本身是对学生掌握学法的一种引导,对培养学生的自学能力十分重要。
第3组学生上黑板设计的题目:
(1)求函数的定义域。
(2)求函数的值域。
(3)比较和的大小。
(4)函数最小正周期是什么,
(5)求出的单调增区间。
(6)作出函数的图象,并说明它是由y=tgx经过怎样的变换得到的。
(7)讨论下面函数的奇偶性和最小周期:,y=tg (mx+n)+b
学生D组7人上黑板解题。:求解过程及改错讨论略。
学生E组评价:首先对D组的解答做出评判(略)
学生15:我觉得(3)设计的好,它要求先用诱导公式转化成同名函数再比大小。
学生16:我先纠正解答中的错误,原解认为最小正周期是,这是一个明显的错误,因为它不是正数。我觉得(4)设计的目的就是要考查最小正周期的表达式中绝对值这一个最容易被忽略的地方。我认为此题设计的很好。
学生17:我觉得(5)设计的不很好,原因是,对数后面根号似乎多余,因为对数对真数的要求和算术根大体一致。又复合函数的内、外层函数y=lgt, 都是增函数,再讨论递增区间,显得“挖潜”不够,不如将y=lgt或换成某种减函数如。这样可以考察到更多的复合函数单调性的知识。
??
[评述]:这里有一个集体协作的场景,组长“派”任务和个人主动抢任务结合,学困生强以优先,各尽其能,各显所长。教师可以在旁边观察、欣赏、记录。作出鼓励或引导性的“旁白”。
第七组的两个代表,上来做了全课的总结:
学生17:今天我们学习了正切、余切、函数的性质,我觉得比较重要的是要把握函数的性质,就要去研究什么东西,这里面主要是定义域,值域单调性、奇偶性、周期性,和由此得到的函数的图象。对于正、余切函数的性质我觉得通过它们的图象去记忆,去理解是最容易的。只要记住函数的基本图象,我们就可以说出相应的性质。简单地说可以从图象直观走向看增减性、是否对称看奇偶性、是否可重复看周期性???。
学生18:我觉得应该补充的是:学习相关、相似知识时应抓住区别。“切”函数相对于与“弦”函数的区别在于:无最值,定义域“断续”,周期“变短”,增减性变“单纯”。
从我们的解决过问题看,用到最多的是转化的思想:即把一个对复合函数性质的讨论转化为对最基本的三角函数的性质的应用。如:求定义域,就是利用基本余切函数y=ctgt的定义域是t?k,k?z,再把看成一个整体。令
从而解决问题。所以抓住最基本的函数的性质是解决问题的根本。
教师:大家谈的都很好,特别是评价组的同学不仅做出题目,还能“品出”出题者的本意,小结做的也很好。我请大家注意这节课的过程实际上给了我们学习新内容的一种宏观的程序:温故(相关知识准备)?新的学习对象与旧知识的联系?类比提问、差异思考发现问题和学习目标?找出规律,解决问题?应用成果,练习巩固(发散)?归纳收缩(小结)。这里的程序还没有完,还有一段是:?进一步的发散思考,探索新的问题和规 律。这部分内容常常是在课外进行的。
记得最后一位同学的小结中提到的“根本”是基本函数的基本性质,这真的是很“根本”,因为我们今天所解决的问题都被化归到这个地方。
[评述]:学生的小结和评价不一定很完整、全面,可以一人一点,互相补充。即使有错误,教师也不要急于纠正。最引导学生自己发现、纠正。也可以让其它学生来补充更正。
教师的评价应是激励性的。另外应引导学生注意学法,特别是对高一的学生。
作业:A 组:P157~158(练习)(直接勾画在书上)
B组:P161、18、20、21、22、23
C组:请第六组同学上黑板布置
(1)求函数y=tgx+cos2x和y=tgx-ctgx最小正周期。
(2)作出y=tgx?ctgx的图象。
(3)讨论y=atg(mx+n)+b (a>0,m?0) 的性质,及各个文字对函数图象的影响。
(4)讨论 讨论函数y=sin9(cos7(tg5(ctg3x)))的单调递减区间。
教师补充:(5)当较小时,如0<><5?在一个有函数功能的计算器中,键入tgx 和sinx,比较显示的结果,看看有什么发现,在力学题的考试中,有时常要计算小角度的正弦或正切值,在不让使用计算器的和不能查表的情况下,你有什么补救办法,="" [评述]:a、b是基本要求,c组作为选做或探索题。让学生设计c组题也是为了调动学生自主学习的积极性,因为学生更乐于解决自己的问题。如c组题的(1)(2)设计的就不错。比如:(1)y="">5?在一个有函数功能的计算器中,键入tgx>
同学下次介绍他的解法。在下次课上这位同学说
他出题时考虑不够,出完题没想解题时候的困难,
定义域不好描述,单调区间写出有困难。我先肯
定了这位同学的出题意图,然后说实际问题有可
能是这样的。我们在第一轮学习时应注意基本。
就这道题来说,将来学习反三角函数知识再解可
能更容易一些,另一个办法是用计算机(mathcad)
软件,可以作出图象如下,从而可以分区间得到
近似解。x=1,1.0001---1.005
f(x)=sin(9cos(7tg(5ctg(3x)))
这样做的目的是既给出激励性`的评价,又通过问题中暴露的困难激发进一步学习的动力。应该承认这样做是有一定风险的,学生出的题目也会常常使教师陷入窘境,但师生在同一个起点去思考,去碰壁,去绕岩避礁,长使教师与学生都能得到更多的收获。许多思考的技巧和解决问题的策略都是在这样的交流中,无形的被激发、转化、吸收。 摘自北京大学附属中学
范文二:余切函数的图象和性质2010717213251
五年制师范学校统编教材《数学》
正切、余切函数的图象和性质
知识:1、理解正切、余切函数图象的画法
2、掌握正切、余切函数的图象和性质,并能根据它们解决有关问题
能力:培养学生画图的能力
思想:渗透数形结合的思想
正切、余切函数的图象和性质及其应用
正切、余切函数的图象和性质及其应用
多媒体
一.问题情境
正弦、余弦函数都是周期函数,那么,正切函数是不是周期函数?如果是,周期又是多少?
二.学生活动
你能用正切线画出正切函数的图象吗?
先画一个周期的图象,然后由周期性,可得整个图象
y
x o ,,,,3,-28428
三.数学概念;
,再把图象向左、向右平移(每次个单位),就得到正切函数的图象,即正切曲线. 正切曲线有哪些主要特征?图中虚线与它们有什么关系? 正切函数的性质
观察图象写出下列正切函数的性质 ,{x|x,R且x,,k,,k,Z}定义域: 2值 域: 实数集R
,周期性:正切函数是周期为 的周期函数
1
五年制师范学校统编教材《数学》 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称
,,,,k,,k,,,,单调性: 每个开区间都是增区间 ,,22,,
思考:正切函数在整个定义域内是增函数吗?
四.数学应用
例1-课后练习:1(1)、(2)、(3)
例5-课后练习:2(1)、(3)
练习:课本第166页1,2,3,4
五.小结
1.正切函数的性质:定义域,值域,周期性,奇偶性.单调性:
,,,2.一般地函数y,tan,x,,的周期是 ,
一.问题情境
正弦、余弦函数都是周期函数,那么, 余切函数是不是周期函数?如果是,周期又是多少?
二.学生活动
1 我们用正切线画出正切函数的曲线,我们也可以用同样的方法作出余切函数的图像.作图见
课件
0tan(90,,),,cot,2、思考:那我们可以采用什么方法将余切函数的图像画出来 三.数学概念;
,再把图象向左、向右平移(每次个单位),就得到余切函数的图象,即余切曲线. 余切曲线有哪些主要特征?图中虚线与它们有什么关系?
余切函数的性质
观察图象写出下列余切函数的性质
定义域: {x|x,R且x,k,,k,Z}
值 域: 实数集R
,周期性:余切函数是周期为 的周期函数
奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称
,,k,,(k,1),单调性: 每个开区间都是减区间
思考:余切函数在整个定义域内是减函数吗?
四.数学应用
例1-课后练习:1(4)、(5)、(6)
例5-课后练习:2(2)、(4)
练习:课本第166页1,2,3,4
五.小结1.余切函数的性质:定义域,值域,周期性,奇偶性.单调性:
,,,y,cot,x,,2.一般地函数的周期是 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台,面向,
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2
范文三:[新版]正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质
知识点:
1.正切函数和余切函数的概念; 2.正切函数与余切函数的图像和性质; 3.正切函数与余切函数性质的应用; 教学过程:
1.正切函数和余切函数的概念: (1)正切函数---形如的函数称为正切函数; yx,tan
余切函数--形如的函数称为余切函数; yx,cot
2.函数的图像和性质:
(1)正切函数的图像:
见正切函数图像课件。
(2)正切函数图像:
,3,,,3 ,,,,,2 2
2
(3)与切函数的图像:
,,, ,,2,,
22
归纳填表格:
三角函正切函数 余弦函数 yx,tanyx,cot数
, xkkZ,,,, xkkZ,,,,,定义域 2
yR,yR,值域
最值 无最值 无最值 奇偶性 奇函数 奇函数
T,,T,,周期性
,,xkZ(,kk,)递增区间:, 递减区间:, ,,,,,,xkkkZ,,,(,),,,,单调性 22
没有递减区间, 没有递增区间, 轴对称 没有 没有
,渐近线:xkkZ,,,, 渐近线: ,xkkZ,,,,渐进性 2
,中心对(,0),kkZ,,对称中心是及 (,0)k,,称性 2
例1.求下列函数的周期:
,yx,,,tan(3)(1); 3
2tgx(2); y,21,tgx
(3); yxx,,cottan
x2tan2(4); y,x21tan,2
x,,(5) yxx,,sin1tantan,,2,,
例2.求下列函数的单调区间:
,yx,,,tan(2)2(1); 4
x,y,,,,tan()1(2); 23
,,3(3) yx,,logcot,,1,,32,,
例3.求下列函数的定义域:
,,,(1); yxtan,,,,4,,
yx,logtan(2); 12
3(3); yxxx,,,,cotsincos3
22例4.(1)求函数的定义域; yxxx,,,,,,lg[3(31)tantan]9
,,2(2)解不等式: 3tan(2)(33)tan(2)30xx,,,,,,44
,12例5.已知,当,,时,函数,求实数的值;xa[0,],[0,]ay,2yxax,,tantanmax34
,,yxx,,tan,(0,)xxxx,(0,),,,例6.已知函数,若。 121222fxfxxx()(),,1212,f()求证:。 22
范文四:正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的图像和性质
知识点:
1. 正切函数和余切函数的概念;
2. 正切函数与余切函数的图像和性质; 3. 正切函数与余切函数性质的应用; 教学过程:
1. 正切函数和余切函数的概念:
(1)正切函数---形如y =tan x 的函数称为正切函数; 余切函数--形如y =cot x 的函数称为余切函数; 2. 函数的图像和性质: (1)正切函数的图像: 见正切函数图像课件。 (2)正切函数图像:
-
(3)与切函数的图像:
正切函数和余切函数第1页共3页
例1. 求下列函数的周期: (1)y =-tan(3x +(2)y =
2tgx 1+tg x
2
π
3
)
;
;
(3)y =cot x -tan x ;
2tan
x 2
(4)y =
1-tan
??
x 2
;
(5)y =sin x 1+tan x tan
x ?? 2?
例2. 求下列函数的单调区间: (1)y =tan(2x +(2)y =tan(-
??x 2+
π
4
) +2; ) -1;
π
3
(3)y =log 1 cot x -
2
3?
例3. 求下列函数的定义域:
正切函数和余切函数第2页共3页
(1)y =tan ?
?
-x ?; ?4?
π
(2
)y =
(3
)y =
例4. (1
)求函数y =1) tan x -tan 2x ]+的定义域; (2
)解不等式:3tan 2(2x +
例5. 已知y =tan x -a tan 2x ,当x ∈[0,],a ∈
[0,]时,函数y max =,求实数a 的值;
3
4
π
4
) -(3-tan(2x +
π
4
) -≤0
π1
例6. 已知函数y =tan x , x ∈(0,) ,若x 1, x 2∈(0,), x 1≠x 2。 求证:
f (x 1) +f (x 2)
2
>f (
2x 1+x 2
2
2
)
ππ
。
正切函数和余切函数第3页共3页
范文五:正切 余切图像的性质 反三角函数
正切、余切函数图象和性质 反三角函数
[知识要点]
1(正切函数、余切函数的图象与性质
2(反三角函数的图象与性质
3(已知三角函数值求角
[目的要求]
(类比正、余弦函数的研究,讨论正切函数与余切函数的图象和性质,关注其不同点. 1
2(从反函数概念入手,引入反三角函数定义,并定性讨论其图象和性质.
3(能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.
(能用反三角函数值表示不同范围内的角. 4
[重点难点]
1(正切函数图象与性质 2(已知三角函数值求角
[内容回顾]
一、正切函数与余切函数图象
由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知,在中学阶段,对一个函数的认识,多是“由图识性”.因此,可以先作出正、余切函数的图象.
作三角函数图象的一般方法,有描点法和平移三角函数线法.
与正、余弦函数的五点法作图相类似,我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线,来作正切函
数在区间上的简图,不妨称之为“三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx的图象,如何选择“三点”及“两线”呢,请大家看余切函数的
图象,不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
y=tanx y=cotx
定义域
值域 R R
单调性 在上单减(k?Z)
在上单增(k?Z)
周期性 T=π T=π
对称性
001 对称中心,奇函数(k?Z) 对称中心,奇函数(k?Z) 1
002 对称轴;无 2 对称轴;无
注: 1、由定义域知,y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点(不连续点).
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题,但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应,要使其有反函数,必须缩小自变量x的范围,使之
成为由x到y的对应.从方便的角度而言,这个x的范围应该(1)离原点较近;(2)包含所有
的锐角;(3)能取到所有的函数值;(4)最好是连续区间.从这个原则出发,我们给出如下定
义:
1(y=sinx, x?的反函数记作y=arcsinx, x?[-1,1],称为反正弦函数.
y=cosx, x?[0, π]的反函数记作y=arccosx, x?[-1,1],称为反余弦函数.
y=tanx,x?的反函数记作y=arctanx, x?R,称为反正切函数.
y=cotx,x?(0, π)的反函数记作y=arccotx, x?R,称为反余切函数.
2(反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系,可作出其图象.
注:(1)y=arcsinx, x?[-1,1]图象的两个端点是
(2)y=arccosx, x?[-1,1]图象的两个端点是(1,0)和(-1,π).
(3)y=arctanx, x?R图象的两条渐近线是和.
(4)y=arccotx, x?R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象,有
y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域 [-1,1] [-1,1] R R 值域 [0, π] (0, π)
单调性 在[-1,1]上单增 在[-1,1]上单减 在R上单增 在R上单减
00对称性 1对称中心 对称中心 1
(0,0)奇函数 (0,0)奇函数 00对称中心对称中心11002对称轴;无 2对称轴;无
非奇非偶 非奇非偶
002对称轴;无 2对称轴;无 周期性 无 无 无 无
另外:
1(三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x?) arccos(cosx)=x (x?[0, π])
arctan(tanx)=x(x?) arccot(cotx)=x(x?(0, π))
2(反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x (x?[-1,1]) cos(arccosx)=x (x?[-1,1])
tan(arctanx)=x (x?R) cot(arccotx)=x (x?R)
3(x与-x的反三角函数值关系
arcsin(-x)=-arcsinx(x?[-1,1])
arccos(-x)=π-arccosx (x?[-1,1])
arctan(-x)=-arctanx (x?R)
arccot(-x)=π-arccotx(x?R)
4(
五、已知三角函数值求角
k 1. 若sinx=a (|a|?1),则x=kπ+(-1)arcsina(k?Z)
2. 若cosx=a (|a|?1),则x=2kπ?arccosa(k?Z)
3. 若tanx=a (a?R), 则x=kπ+arctana (k?Z)
4. 若cotx=a (a?R), 则x=kπ+arccota(k?Z)
具体计算和表示时,应根据x的范围来确定x的个数.
[典型例题分析]
例1(比较大小:
(1) (2)
分析:不在余切函数的同一单调区间内,应利用诱导公式设法将其化到同一单
调区间内,再利用单调性来比较大小.
解:(1)? ,
而,由余切函数在(0,π)上的单减性,有
, ?
(2)?
? .
例2(写出下列函数的单调区间
(1) (2)(3)y=|tanx|
分析:(1)若设,则原函数可看作是由y=tanu, 复合而成的复合函数,由于在R上单增,由复合函数的单调性确定法则,可解决之.类似地,可解决(2).
解:(1)? 上单增,(k?Z)
此时,(k?Z)
解之得 (k?Z)
? 在区间上单增(k?Z)
(2)? 原函数由y=cotu, 复合而成,而在R上单减,
又y=cotu在(k?Z)上单减,
此时,(k?Z)
解之得 (k?Z)
即 (k?Z)
? 在区间(k?Z) 上单增.
(3)分析:由y=tanx图象作翻折可得y=|tanx|的图象,由图象即可得其单调区间.
? y=|tanx|的单增区间是(k?Z),单减区间是(k?Z). 例3(求函数的值域.
22 分析:考虑到最简原则,将secx化为tanx+1,这样去分母,作变形,就可以得到关于tanx的二次型方程,而tanx?R,可考虑用判别式法求值域.有
2 法一:? , ? (y-1)tanx+(1+y)tanx+(y-1)=0
当y?1时,, ? ,
当y=1时,tanx=0?R 综上,所求值域为.
法二:另分析,先对解析式变形“切割化弦”
有........(1)
? , ?
? , ? .
法三:也可由(1)式 得,
, 亦可得 . 解不等式
,它们有相同最小正周期T,且a,b? 例4(设
(0,1),若f(1)=g(1),求f(x),g(x)和T.
分析:先从f(x)与g(x)有共同最小正周期入手,找参数a,b关系.
解:? , ? a=2b,
? f(1)=g(1), ?
即 , ?
? 或,
? 或
又b?(0,1), ? .
? ,T=12.
例5(若, cosx+tsinx=t, 求t取值范围.
分析:先将t表示出来,,观察到此式右端与半角正切的有理公式
很相像,能否转化,
?
又, ? , ? ,即
.
例6(求值:
(1) (2)
(3) (4)arctan2+arctan3
解:(1)设,则, ?
? 原式.
(2)设,
? , ? ,
? 原式
(3)设,
? ,? ,
? , ? 原式值不存在.
(4)设arctan2=a, arctan3=b,则,
.又, ? 0
? , ? 原式=.
例7(求适合下列条件的x集合:.
分析:先对原式变形,讨论.
解:? .
当,即时,角x不存在;
当,即时,原式为sin2x=1,所求集合为;
当,即时,所求集合为
反思:对于含字母的三角函数值,必须就字母的不同取值分类讨论
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