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范文一：空间几何体教案
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龙文教育个性化辅导教案提纲
教师: 杨坤 学生: 时间: 2014 年 3 月 日 段
一、学习目标与考点分析:
二、教学内容: 教学方法:
一、基础知识 (一)空间几何体的结构
空间几何体的
结 构 特 征 结 构 特 征 图例 知识点总结。
(1)两底面相互平行，(1)是以矩形的一边所在直 其余各面都是四边形; 线为旋转轴，其余三边旋转形棱圆(2)并且每相邻两个四 成的曲面所围成的几何体,圆柱 柱 边形的公共边都互相平 柱. 行.
(1)底面是圆;(2)是以直(1)底面是多边形，各角三角形的一条直角边所在 棱圆侧面均是三角形;(2)各的直线为旋转轴，其余两边旋 锥 锥 侧面有一个公共顶点. 转形成的曲面所围成的几何 体. 圆锥
(1)两底面相互平行; (1)两底面相互平行; (2)是用一个平行于棱棱圆(2)是用一个平行于圆锥底 锥底面的平面去截棱锥，台 台 面的平面去截圆锥，底面和截 底面和截面之间的部分. 圆台 面之间的部分. 棱台
(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)是以半圆的直径所在
直线为旋转轴，半 球
圆面旋转一周形成的几何体. 球O.
知识拓展 1.特殊的棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱; 例题讲解进行侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱; 加深记忆。 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱;
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体;
侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体;
底面是矩形的直平行六面体叫做长方体;
棱长都相等的长方体叫做正方体，其中长方体对角线的平方等于同一
顶点上三条棱的平方和.
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2.特殊的棱锥:如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这
样的棱锥称为正棱锥，正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥
的斜高;
侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体. 3.特殊的棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形， 讲练结合进行
正棱台各侧面等腰梯形的高称为正棱台的斜高. 巩固。 4.球心与球的截面圆心的连线垂直于截面.
5.规定:在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同
一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为
棱.
(二)空间几何体的三视图和直观图
1、中心投影与平行投影
中心投影:把光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离
的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.
平行投影:把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。讨论:点、线、三角形在平行投影后的结果
(三)空间几何体的表面积和体积
(四)典型例题
三、本次课后作业:
四、学生对于本次课的评价:
? 特别满意 ? 满意 ? 一般
五、教师评定:
1、学生上次作业评价: ?特别满意 ?满意 ?一般
2、学生本次上课情况评价:?特别满意 ?满意 ?一般
范文二：空间几何体教案
空间几何体
1、棱柱:
(1)定义:一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
(2)棱柱的分类:
?按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱(侧棱不垂直于底面)和直棱柱(侧棱垂直于底面)，其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。
?按底面边数的多少分类:底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…;
(3)棱柱的性质:
?棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
?与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。
?过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
2、平行六面体:
(1)定义:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体;
,,,,(2)几类特殊的平行六面体:{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}; ,,,,(3)性质:?平行六面体的任何一个面都可以作为底面;
?平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分;
?平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和;
?长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和
如 长方体三棱之和为a+b+c,6，全面积为11，则其对角线为_____(答:5)
,,,,,?长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则
222 cos,，cos,，cos,,1
,,,,,?长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则
222. cos,，cos,，cos,,2
如(1)长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30?、45?，则与第三个面所成的角为____________(答:30?);(2)若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,,,，
222sinsinsin2,,,，，,则的关系为____________。(答: sin,sin,sin,,,
3、棱锥:
(1)定义:一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… [注]:?一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
(2)正棱锥:如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
[注]: a 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)
b 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正?侧棱与底棱不一定相等
,hhc 正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影(底面的内切圆的半径)、侧棱、侧棱在底面的射r
R影(底面的外接圆的半径)、底面的半边长可组成四个直角三角形。 (3)棱锥的性质:
?如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面
面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体
积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。
1如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥4
与原棱锥体积之比为_____(答:1?8)
S底?棱锥的侧面积与底面积的射影公式:S,(侧面与底面成的二面角为) ,侧cos,
lcos,,a,b附: 以知?，，为二面角a,l,b. c,c
aS11底lbcos,,a,b 则?，?，? ???得. ,S,S,a,lS,l,b12侧cos,22
注:S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).
(4)特殊棱锥的顶点在底面的射影位置:
?棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
?棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ?棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
?棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
?三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
?三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
4、棱台:一个棱锥被平行于底面的平面截去小锥以后所剩留部分的几何体，叫做棱台 正棱台: 由正棱锥截得的棱台叫正棱台
5、球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球;半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
空间几何体的表面积和体积
1、表面积:棱柱的全面积,侧面积，2×底面积;棱锥的全面积,侧面积，底面积，棱台的全面积,侧面积，(上底面积+下底面积).
2、直棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积(各个侧面面积之和):
S(1)直棱柱:直棱柱的侧面积,底面周长×侧棱长.
1
S2(2)正棱锥:正棱锥的侧面积,×底面周长×斜高。
1
S2(3)正棱台:正棱台的侧面积,×(上底面周长+下底面周长)×斜高. 3、柱、锥、台、球的体积:
(1)柱体:体积,底面积×高，特别地，直棱柱的体积,底面积×侧棱长。
1
3×底面积×高。 (2)锥体:体积,
432,R,S,4,R34、球的体积和表面积公式:V,。
5、几何体表面内两点间的最短距离问题:
柱、锥、台的表面都可以平面展开，这些几何体表面内两点间最短距离，就是其平面内展开图内两点间的线段长(
PE如已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，则ABCD,ABCDAABB111111
17PE，EC的最小值是_____(答:); 2
范文三：空间几何体教案
空间几何体
一、空间几何体:
(一)柱、锥、台、球的结构特征:
1( 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是( ) A( 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台
B( 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台
C( 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台
( 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台 D
2(将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是( ) A(圆锥 B(圆柱 C(圆台 D(上均不正确 3(A、B为球面上相异两点, 则通过A、B可作球的大圆有( )
A(一个 B(无穷多个 C(零个 D(一个或无穷多个 4(一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是( )
A( B(
C( D( 05. 如右图, 四面体P-ABC中, PA=PB=PC=2, APB=BPC=APC=30. 一只蚂蚁 ，，，
从A点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________( 6(底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是
A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥 7(已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )
A、7 B、8 C、9 D、10
(二)斜二测法画直观图:
1(在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( ) A(平行且相等 B( 平行但不相等 C(. 相等但不平行 D( 既不平行也不相等
2(下列说法中正确的是( )
A( 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B( 梯形的直观图可能是平行四边形
C( 矩形的直观图可能是梯形
D( 正方形的直观图可能是平行四边形
3(如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是( )
A( 直角梯形 B(等腰梯形 C( 不可能是梯形 D(平行四边形 4(如右图所示的直观图，其平面图形的面积为( )
322A( 3 B( C( 6 D(. 3 2
5(若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积是原三角形面积的( )
122A(倍 B(2倍 C(倍 D(倍 22
6(如右图，用斜二测画法作ABC水平放置的直观图形得ABC，其中AB=BC，AD是,,111111111BC边上的中线，由图形可知在ABC中，下列四个结论中正确的是( ) ,11
A(AB=BC=AC B( ADBC C( AC>AD>AB>BC D( AC>AD>AB=BC ,
7(斜二测画法所得的直观图的多边形面积为, 那么原图多边形面积是_____________( a///20(已知斜二测画法得得的直观图ABC是正三角形,画出原三角形的图形( ,
(三)表面积与体积:
1(长方体ABCD-ABCD的AB=3，AD=2，CC=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C，绳子的最111111短长度是( )
A(+1 B( C( D( 13261814
2(球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的( )
A(2倍 B( 4倍 C( 8倍 D(16倍 3(两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为,,
( )
A(4 B( 3 C( 2 D( 1
,4.棱锥V-ABC的中截面是ABC，则三棱锥V-ABC与三棱锥A-ABC的体积之比是( ) 1111111
A(1:2 B( 1:4 C(1:6 D(1:8 5. 两个球的表面积之比是1:16，这两个球的体积之比为( )
A(1:32 B(1:24 C(1:64 D( 1:256 6(两个球的体积之比为8:27，那么，这两个球的表面积之比为( )
A(2:3 B(4:9 C( D( 2:38:277(一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________(
8(已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是( )
1251133 33A(a B(a C(a D(a 236129(若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于( )
222 2A(8R B( 9R C(10R D(12R
210(正方体的全面积是a,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( )
22,a,a A( B( C( D( 32
11、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
2 2 2 2 (A)3a(B)6a(C)12a(D) 24a,,,,
12(棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为
( )
22,3 333,a,aA( 4 B( C( D( a,a43413、有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的
形状)，则气球表面积的最大值为__________.
14(半径为R的球的外切圆柱的表面积是______________(
SABC,,,SAABC,平面15、已知是球表面上的点，，，，OABBC,SAAB,,1
，则球表面积等于 OBC,2
(A)4 (B)3 (C)2 (D) ,,,,
16.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为( )
1512 A( B( C( D( 824244817(E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿EB、EC折成三棱锥A-BCE(A，D
则此三棱锥的体积为____________( 重合)，
18(三棱锥P—ABC中，3条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，?ABC的面积为S，则P到平面ABC的距离为
abcabcabcabcA( B( C( D( S2S3S6S
,19、已知球O的表面积为，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为，则4,3从球中切截出的四面体OABC的体积是( )
2311 A. B. C. D. 121268
20、正四面体的内切球和外接球的半径分别为r和R，则r?R( )
A(1?2 B(1?3 C(1?4 D(1?9 21、正四面体ABCD的棱长为1，G是底面?ABC的中心，M在线段DG上且使?AMB=90?，则GM的长等于
1236A. B. C. D. 2362
22(圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?
23(A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积(
OA C1B
O
024(圆锥轴截面为顶角等于120的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S和体积V(
25(已知正三棱锥S-ABC的高SO=h,斜高SM=n,求经过SO的中点且平行于底面的截面?ABC的面积( 111
26(正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高( 27、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
28、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
21(A)2 (B)1 (C) (D) 33
范文四：几何体教案
关于《石膏像素描》的教案
授课人:李鑫
课程名称 :石膏像素描
课程类型:美术实践课
教学目的:通过石膏像写生, 了解人物造型的特点与规律;运用科学 的观察方法,认识形体、整体与局部的对立统一关系,掌握表现形体 面和整体立体特征的严谨技法; 体会形象的美感和性格特征, 用绘画 表现精神。
教学重点:如何完成石膏像的立体塑造,把握住整体关系。
教学难点:真正理解对物象结构的空间构造。
教学方法:讲授与实践指导相结合,直观与讨论相结合。
教学过程:
一、石膏像素描训练的意义
素描是一种关于绘画最基本思维方式和观察方式的训练, 是对未 来艺术家和设计家基本素质的训练, 这就是素描训练的目的。 素描从 其目的上可分为基础性素描和创造性素描。
石膏像写生训练的意义在于学习和掌握空间中形体结构的塑造、 以及对整体观察、 整体推进学习方法的掌握。 还有对画面节奏、 韵律、 形式感的把握。
二、石膏像素描阶段要树立以下几个重要概念
1、基本形
无论石膏像多么复杂,都要首先把它看成是由头、颈、胸等几个 不同形状的基本几何形的组合,头发、五官、面部等是依附在这几个 大基本形上的小基本形。
2、形体结构
石膏像是由多个不同形体相互穿插组合而成。 这些不同形状的体 快的相互结合与构造方式称之为形体结构。
形的转折:三种形式 ------ 或方、 或圆、 或方圆间的相互转换。 3、形体尖端
对形体尖端高峰的塑造是表现立体感的根本, 一个凸起点, 由它 起上下、 左右四个面都有转折。 尖端的塑造就靠这些转折和虚实的处 理。
三、石膏像画法的两种表现手段
1、光影素描(全因素素描、调子素描)
全因素,培养整体的观察、理解及塑造方法,较全面地反映、表 现对象的结构、体积、空间、调子、质感、光感等因素。背景也在表 现之列。一般为长期作业。缺点:暗部易被忽视,依赖固定光源,易 形成被动摹仿。
2、结构素描(体面结构分析式素描)
运用几何形体的归纳态度, 以线和简略的明暗将复杂的头部形体 作出简化的提炼概括, 以将其基本体面结构强烈地突现出来, 从而强 化和加深对头部形体结构的理解。 此画法重结构、重主观、重理解, 适合短期作业。缺点:不能表现充足的空间及丰富的色调。
四、石膏像写生的基本要求
1. 形准(轮廓正确)
这是基本的起码的要求。 形准就是说画面造型与对象肖似, 要点 鲜明,透视和比例要正确,并且应该是明确的。
在基本练习中坚持 “形准”的要求,表面上看是实现了写实一派 的效果, 但实际上在练习的过程中得到的却是眼与手的准确性, 是感 觉的准确,是眼、手感觉的一致与协调,是一丝不苟的造型习惯,是 从物象观察到形成感受,从感受到组织画面的全过程训练。
轮廓正确的标准必须包含着作者的感受,对于“形准”的要求必 须严格。画不像、无感受的变形要禁止,强调特征、构图需要、做统 一处理的变形要提倡。
2. 完成立体塑造
实现画面的充分的立体感; 塑造出物象的完整的结构和它的整体 的空间构造。
(1)光影与明暗
眼睛所观察到的明暗变化, 在物体上大约有几个原因。 a. 固有色 的明度; b. 物体的质地; c. 物体的形体起伏。从造型角度出发,我们 特别重视形体起伏造成的光影明暗。
(2)明暗与结构
结构是立体塑造上的一个“目标”,是明暗手法和线描手法都要 达到的一个目标。
在基本训练中, 坚持以充分的明暗手法来塑造立体, 不仅训练了 明暗手法本身, 更重要的是逐步养成全面立体观察、 立体感受的习惯, 习惯于形体结构与明暗视觉之间的转换关系, 习惯于对造型的细致丰 富的感受方式。 这些习惯一经养成就会潜移默化地渗透到未来任何风 格手法的造型之中,形成一种可贵的素质。
(3)物象结构与空间构造
全部深深浅浅的调子如何构成一个有序的整体?靠的是归纳与 整理。 归纳与整理的主要原则就是物象的空间结构, 就是把调子理解 为面,把面理解为体的一部分,把体再理解为全部构造的一个组件, 把这些组件再全部安装穿插为完整的空间立体结构。
不得法的明暗造形——无节制地分析明暗层次, 割裂了明暗手法 与立体造型之间的依存关系, 孤立地画明暗, 它与线描中无节制地描 写头发丝和衣纹一样造型上不得要领。
3. 作品的整体感
这是作画过程中贯穿始终的要求。包括:
(1)画面因素自身的整体性:线的组织,黑、白、灰布局。
(2)造形本身的整体感:体现在形的轮廓、它的立体塑造上; 体现在能够把无数细节、无数层次、无数转折都贯通起来,统帅起来 的整体观察上。 整体性实现在各个局部之间天衣无缝、 无懈可击的 “关 系”上。
五、石膏像写生的画法步骤
1.画前准备 观察思考
2.构图、比例、基本形
3、基本结构
4、画出大体明暗关系
5、 深入分析反复调整
6、 回到整体、概括完成
六.结构素描的表现
画法步骤基本与全因素素描相同,只是不对光影做很客观的描 述,不进行丰富的调子处理,运用几何形体的归纳态度,以线和简略 的明暗将复杂的头部形体作出简化的提炼概括, 以将其基本体面结构 强烈地突现出来,从而强化和加深对头部形体结构的理解。
深入的步骤一般是从一个地方推着走, 每个地方都不做虚化的处 理, 允许有部分相同的调子出现, 每个部位调子的深浅由画面的节奏 决定, 而不是由光源和阴影决定的。 此画法重结构、 重主观、 重理解。 七.作业设置与要求
1.石膏五官写生:共四张 每张四课时 8课时。
要求:两张用线结构构成,两张用明暗结构构成。
形体准确,结构清楚,体积感强,效果突出。
2.石膏胸像写生:一张作业 8课时
要求:造型准确、严谨;形体结构、透视正确;
整体与局部关系处理恰当,色调层次丰富;
边缘线处理虚实有变化,有空间感。
课堂总结:石膏像素描是绘画的基础课程, 在授课过程中必须要让学 生充分明白这一点, 在教学过程中, 根据不同学生的绘画实际情况作 出相应的辅导, 特别应当注意的是在对结构素描的授课过程中要强调 其重要性, 这样才能更好的培养学生的绘画基础; 适当的根据教学的 需要改变教学方式,提高学生主观能动学习的兴趣与态度。
范文五：空间几何体教案
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1.1.1构成空间几何体的基本元素
教学目标:理解多面体、棱柱的基本概念 教学重点:理解多面体、棱柱的基本概念. 教学过程:
1、 基本概念:
(1) 几何体
(2) 长方体、
长方体的面、
长方体的棱、
长方体的顶点、
长方体的记法.
2、 平面的初步概念
3、 点动成线、线动成面
4、 柱面
、 锥面 5
6、 几何体的概念
课堂练习:教材第5页 练习A、B
小结:了解构成空间几何体的基本元素，培养空间想象能力 课后作业:略
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)
教学目标:理解多面体、棱柱的基本概念 教学重点:理解多面体、棱柱的基本概念. 教学过程:
7、 多面体:
(1) 多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.
(2) 多面体的面
(3) 多面体的棱
(4) 多面体的顶点
(5) 多面体的对角线
(6) 凸多面体
(7) 多面体可按面数命名
(8) 正多面体
(9) 多面体的截面
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2、棱柱:
出示棱柱体模型，引导学生观察到这些模型都是由面(平面的一部分)围成的;面与面
面”和“线”两个角度去考虑:首先看面:有两个面互相平行，其余各面有交线。因此从“
都是四边形.再看线:每相邻除两个平行面外，其余的每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
(1)定义:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱住.
(2)有关于元素?底面 ?侧面 ?侧棱 ?顶点 ?对角线 ?高 ?对角面 学生回答后，总结:?中可以找出两个面平行，但其余各四边形公共边中有不平行的。“有两个面平行”的条件不足以确定几何体是棱柱。?找出两个平行的面以后，如果其它条件不能成立，不要急于下结论，再选另外一对平行面，按定义再次判断它是否是棱柱。
(3)分类:
1、按侧棱与底面垂直关系分类:斜棱柱、直棱柱(其中底面是正多边形的叫正棱柱)
2、按底面多边形的边数分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱??
4)棱柱的表示法:用各顶点字母，如五棱柱ABCDE—A,B,C,D,E, (
或用对角线的端点字母，如五棱柱A,D
(5)、棱柱的一般性质
?侧棱都相等，侧面都是平行四边形;
?两个底面与平行底面的截面是全等的多边形;
?对角面是平行四边形。
3、四棱柱:
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课堂练习:教材第8页 练习A、B
小结:本节课学习了多面体和棱柱的概念以及棱柱的性质和分类
课后作业:第34页习题1-1A:1、3
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二) 教学目标:理解棱锥、棱台的基本概念
教学重点:理解棱锥、棱台的基本概念
教学过程:
1(“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征(
正棱锥是一种特殊棱锥(正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有:?底面为正多边形;?顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上(
“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究(
2(正棱锥的性质很多，但要特别注意:
(1)平行于底面截面的性质
如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么:
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?棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段(
?所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形(
?截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比(
(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角:
正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形(
四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握(
3(棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手
同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点:
(1)平行于底面的截面的性质:
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下12
两底的比为m?n，则截面面积S满足下列关系:
(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形:
正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)(
正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握(
4(棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据(
(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式:
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(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式:
棱锥的全面积等于:S=S+S 全侧底
棱台的全面积等于:S=S+S+S 全侧上底下底
(3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中:
当C'=C时，S=Ch 棱柱侧
可以联想:棱柱、棱锥都是棱台的特例(
6(关于截面问题
关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如:平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等(
作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路( 课堂练习:教材第11页 练习A、B
小结:本节课学习了棱锥、棱台的基本概念
课后作业:第34页习题1-1A:2、5
1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球(一)
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本站投稿专用信箱:ks5u@163.com，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 教学目标:1、圆柱、圆锥、圆台概念，
、掌握圆柱、圆锥、圆台的性质 2
教学重点:掌握圆柱、圆锥、圆台的性质
教学过程:
一、基本概念
(播放陶艺的主要制作过程.)
(抓取实物照片)～
思考:这个几何体的外部曲面是如何形成的,几何体是如何形成的,
旋转面可看作一条曲线绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹,这条定直线叫做旋转轴,简称轴.这条曲线叫做旋转面的母线.封闭的旋转面所围成的几何体叫做旋转体.旋转体也可以看作是由一封闭的平面图形包括其内部绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹.
请学生思考:圆柱、圆锥、圆台可由什么平面图形如何运动而成,
定义1:(线动成面,面围成体)
圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴～将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体.
旋转轴叫做所围成的几何体的轴,在轴上的这条边的长度叫做这个几何体的高,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面,无论旋转到什么位置～这条边都叫做侧面的母线.
定义2:(面动成体)
以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱,以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥,以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.
圆柱、圆锥、圆台之间有何关系,,教师演示～学生观察总结,
?平行于底面截圆锥可以得到圆台,
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.
?圆台的上底变大可以得到圆柱,
?圆台的上底变小可以得到圆锥.
让学生举出一些圆柱、圆锥、圆台的实例～以及其他旋转体的实例.
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让学生思考:如图～一个半圆面绕其直径所在直线旋转一周所形成的几何体是什么,一个圆面绕一条直线旋转一周形成的几何体是什么,
二、主要性质
定义
有关轴 直线 直线 直线 O'OSOO'O线 母线 SAA'A A'A 有关底面 圆 圆 圆 面 平行于底 圆 圆 圆
的截面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角全等的等腰梯形
形
任意两母
线确定的
截面
侧面及
展开图
S,cl 侧11 S,(c，c')l侧 S,cl ,2,r,l2侧2
,,(r，r'),l ,,r,l
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三、巩固练习
1(下列命题中的真命题是( )
(A)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥;
(B)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台;
(C)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
(D)圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径. (判断下列命题是否正确, 2
?平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形;
?平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形;
?过圆锥顶点的截面是等腰三角形;
?过圆台上底面中心的截面是等腰梯形.
3(长为4，宽为3的矩形绕其一边所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为_________. (若圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的母线与轴的夹角的大小为_________. 4
5.(P例1)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 :4，13
截去的圆锥的母线长是3cm，球圆台的母线长.
r解:设圆台的母线为，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是，4r，根据相似三l
角形的性质得
3r,，解得. l,93，l4r
所以，圆台的母线长为9cm.
小结:
a) 圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形
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中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴～将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转
一周形成的曲面所围成的几何体
b) 以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆
柱,以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周
所形成的轨迹叫做圆锥,以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及
其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.
c) 圆柱、圆锥、圆台的性质
课后作业:略
1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球(二) 教学目标:1、理解球面、球体和组合体的基本概念，
2、掌握球的截面的性质,
3、掌握球面距离的概念.
教学重点:球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离
教学过程:
复习引入
1、圆柱、圆锥、圆台～它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。 2、通过篮球、排球、足球等等球体的形象引出课题.
新授
1、球的概念:球也可以由一个平面图形旋转得到。半圆以它的直径为旋转轴～旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体～简称球。指出球心、半径、直径。值得注意的是:
1,球面与球体是两个不同的概念～我们要注意它们的区别与联系。
2,球面的概念可以用集合的观点来描述。球面是
由点组成的～球面上的点有什么共同的特点呢,与定点
的距离等于定长的所有点的集合,轨迹,叫球面。如果
点到球心的距离小于球的半径～这样的点在球的内部.
否则在外部.
3,球的表示:用表示球心的字母表示球～比如～
球O.
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球的截面有什么性质呢,连接球心与截面圆
心～连线OO与截面圆O会有什么关系呢, 11
1, 球心与截面圆心的连线垂直于截面。
2, 设球心到截面的距离为d～截面圆的半径为r～
22球的半径为R～则:r= R,d
、练习一: 3
判断正误:,对的打?～错的打×,
,1,半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。, ,
2,到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。, , ,
,3,球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。, , ,4,经过球面上不同的两点只能作一个大圆。, ,
,5,球的半径是5～截面圆的半径为3～则球心到截面圆所在平面的距离为4。, , 4、关于地球的几个概念:地球可以近似的看作一个球体～为了描述地球上某地的地理位置～我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。
、球面距离:假如我们要坐飞机从北京到巴西去～选择怎样的航线航程最短呢,我们把球5
面上过两点的大圆～在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面距离。因此～飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。
6、例1 我国首都北京靠近北纬40度。,1,求北纬40?纬线圈的半径约为多少千米。,2,求北纬40度纬线的长度约为多少千米,地球半径约为6370千米,。 8、 练习二:
1,填空
,1,设球的半径为R～则过球面上任意两点的截面圆中～最
大面积是 。
,2,过球的半径的中点～作一个垂直于这条半径的截面～则
这截面圆的半径是球半径的 。
,3,在半径为R的球面上有A、B两点～半径OA、OB的夹角
是n?,n,180,～求A、B两点的球面距离。
2, 地面上～地球球心角1′所对的大圆弧长约为1海里～一海里约是多少千米, 3, 思考题:地球半径为R～A、B是北纬45?纬线圈上两点～它们的经度差是90?～求A、
B两地的球面距离。
9、 组合体
请举出一些由柱、锥、台组合而成的几何体的实例
课堂练习:教材第16页 练习A、B
小结:
a) 半圆以它的直径为旋转轴～旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球
体.
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b) 以过球心的平面截球面～截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面～截面圆叫小
圆.
22c) 球心和截面圆心的连线垂直于截面～由勾股定理～有:. r,R,d
d) 把地球看作一个球时～经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆～
其余的纬线都是小圆.
球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.
课后作业:略
1.1.4投影与直观图
教学目标:1、了解表示空间图形的投影方法原理
2、掌握斜二测画法
3、了解中心投影方法
教学重点:掌握斜二测画法
教学过程:
一、投影法
物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。 二、投影法分类
1.中心投影法
投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
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图1—1 投影法 图1—2 中心投影法
2.平行投影法
投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。其中，投影线倾斜于投影面叫平行
3(ɑ)〕;投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。 斜投影法〔图1—
(ɑ)平行斜投影 (b)平行正投影 图1—3 平行投影法
应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。工程图样就是用正投影法绘制的。 三、平行投影的基本特性
平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。
1.点的投影仍为点
如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。
2.直线的投影一般仍为直线
如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。
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图1—4 点的投影 图1—5 直线的投影
3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上
如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。
4.直线上两线段之比，等于其投影之比
从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为ɑm和mb，则AM?MB=ɑm? mb。因位于同一平面的两直线(AB及ɑb)被若干平行直线所截，则被截各段成比例。
5.两直线平行，其投影亦平行
如图1—7所示，设AB?CD，则ɑb?cd。因AB与CD平行，AB、CD与投影线所构成的二平面——ABbɑ与CDdc必然互相平行，它们与第三平面H相交，其交线也一定平行。
图1—6 点在直线上的投影 图1—7 平行两直线的投影
6.两平行线段之比，等于其投影之比
如图1—7所示，当线段AB?CD，则ΔABM相似于ΔCDN，又AM=ɑb，CN=cd，所以AB:CD=AM:CN=ɑb:cd。
7.直线、平面图形投影的三种特性
(1)积聚性——当直线或平面图形与投影线平行时，则它们的投影有积聚性。如图1—8所示，直线AB和ΔCDE皆平行于S，所以AB的投影积聚为一点;而ΔCDE积聚成一条直线cde。
(2)实形性——当直线或平面图形平行于投影面时，则其投影反映实形。如图1—9中，直线AB与平面ΔCDE均平行于投影面H，则它们的投影ɑb=AB反映线段实长;Δcde=ΔCDE反映平面的实形。
(3)类似性——直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影变短了;而平面图形变成小于原图形的类似形，如图1—10所示。
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图1—8 平行投影的积聚性 图1—9 平行投影的实形性
图1—10 平行投影的类似性
四、常用的投影图概述
1、轴测投影图
图1—11 轴测投影图
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用平行正投影法或斜投影法将空间几何形体及确定其空间位置和形状的直角坐标系，共同投影在单一投影面上所得的图形称为轴测投影图，简称轴测图。如图1—11所示，空间一立方体连同其直角坐标OX、OY、OZ一同向平面P投影，得到轴测投影轴OX、OY、OZ及立111111方体的轴测图
轴测投影的种类很多，常用的是斜二轴测投影和正等轴测投影
2、透视投影图
透视投影图采用中心投影法，它与照相成影的原理相似，投影图接近于视觉映象。所以透视投影图富有逼真感，直观性强。按照特定规则画出的透视投影图，完全可以确定空间几何元素的几何关系。图1—13是某一几何体的透视投影图，但它不能直接反映物体真实的几何形状和大小。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，投影后就不平行了。
透视投影图虽然直观性强，但由于作图复杂且度量性较差，故在工程上只用于土建工程及大型设备的辅助图样。随着计算机绘图技术的发展，用计算机绘制透视图，可避免人工作图的繁杂性。由此，在某些场合如工艺美术及宣传广告图样中广泛地采用透视图，以取其直观性强的优点。
图1—13 几何体的透视图
五、斜二测画法见教材第18页到19页
课堂练习:教材第21页 练习A、B
小结:
平行投影的概念及基本性质～斜二测画法.
课后作业:教材第34页 习题1-1A:5、6.
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1.1.5三视图
教学目标:1、能画出简单几何体的三视图
2、能识别三视图所表示的几何体
教学重点:1、能画出简单几何体的三视图～能识别三视图所表示的几何体 教学过程:
1、多面正投影图
用正投影法绘制的图形称为正投影图。为了使物体的投影能反映其某一方向的真实形状，通常总是使物体的主要平面平行于投影面。但物体上垂直于投影面的平面，经投影后将积聚为直线段，所以仅凭物体的一个投影尚不能表达整个物体的完整形状。为此，可设立多个投影面，并将物体分别向各个投影面进行投影，从而得到一组正投影图，以反映物体的完整形状。例如，在图1—14(ɑ)中，取三个互相垂直的投影面V、H、W，使它们形成一个互为直角的三投影面体系。投影时先使物体的主要平面尽量平行于某个投影面，再将物体分别向三个投影面进行投影，然后固定V面，令H面和W面分别绕它们与V面的交线沿图1—14(ɑ)中箭头所示方向旋转，直至与V面重合如图1—14(b)所示。这样，按照一定投影关系组合在一起的三个投影就能表达整个物体的形状。通常，为使图样清晰，投影面的边界线并不画出，如图1—14(c)所示。这样的投影图叫做视图。其中将V面上的投影称为主视图;H面上的投影称为俯视图;W面上的投影称为左视图。
ɑ)多面投影的形成 (b)多面投影的展开 (c)三视图
2、三视图的位置关系和投影规律
虽然在画三视图时取消了投影轴和投影间的连线，但三视图间的投影规律和相对位置关系仍应保持。三视图的位置关系为:俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方。按照这种位置配置视图时，国家标准规定一律不标注视图的名称。对应上图还可以看出:
主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;
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左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
由此可得出三视图之间的投影规律为:
主、俯视图——长对正;主、左视图——高平齐;俯、左视图——宽相等 3、球的三视图
、圆柱的三视图 4
5、圆锥的三视图
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课堂练习:教材第25页 练习A、B
小结:
主、俯视图——长对正;主、左视图——高平齐;俯、左视图——宽相等
课后作业:教材第34页 习题1-1B:2.
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(一)
教学目标:了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法
教学重点:了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法
教学过程:
(一)
1、 直棱柱的侧面展开图是一个矩形～一般的斜棱柱的侧面展开图并不是一个平行四边
形。
2、 S,ch～其中:c为底面周长～h为高 直棱柱侧面积
3、 例子与练习:
(1)如图，有一个长方体，它的三个面的对角线长分别是a，b，c，求长方体的全面积(
2 (2)一个正四棱柱的对角线的长是9cm，全面积等于144cm，求这个棱柱底面一边的长和侧棱长(
(二)
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1、 正棱锥的侧面展开图是由若干个全等的等腰三角形组成的
12、 S,ch'正棱锥侧面积2
3、 例子与练习:
(1)侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为a，则三棱锥的全面积是多少, (三)
1、正棱台的侧面展开图是由若干个全等的等腰梯形组成的
12、 S,(c，c)h'12正棱台侧面积2
4、 例子与练习:
(1) 一个正四棱台的上、下底面边长分别为a、b，高为h;且侧面面积等于两底面面积之和(则下列关系式中正确的是 [ ](
1,2,正四棱台上下底边长分别为a,b,侧棱长为则此棱台的侧面积为______( (a，b)22(3)正四棱台的斜高为12cm，侧棱长为13cm，侧面积为720cm，求棱台上、下底的
边长
(4)、已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于底面面积的
和，试求截得该棱台的原棱锥的高(
练习A1。2。3、B1。2。3 课堂练习:教材第29页
小结:
S,ch直棱柱侧面积
1 S,ch'正棱锥侧面积2
1 S,(c，c)h'12正棱台侧面积2
课后作业:略.
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1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(二) 教学目标:了解球表面积的计算方法
教学重点:了解球表面积的计算方法
教学过程:
(一)
4、 球面不能展成一个平面图形
25、 S,4,R球
6、 例子与练习:
22例1 在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm和8πcm，球心不在截面间，求球面积(
分析 作出轴截面?列方程求球半径?求球面积(
解 轴截面如图所示(
圆O是球的大圆，AB，AB分别是两个平行截面圆的直径，过 O作OC?AB于C，交12221111AB于C，由于AB?AB，所以OC?AB，由圆的性质可得，C和C分别是AB和AB的中2221122222121122点(
?OA和OA都是球的半径R， 12
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2解这个方程得R=9(
222?S=4πR=4π?3=36π(cm)( 球
思考 如果球心在截面之间，球面积是多少呢
例2 口答下面问题，并说明理由(
(1)球的半径扩大n倍，它的面积扩大多少倍,
(2)球的面积扩大n倍，它的半径扩大多少倍,
(3)球大圆的面积扩大n倍，球面积扩大多少倍,
(4)球的面积扩大n倍，球的大圆面积扩大多少倍,
例3、已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径(
求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积(
课堂练习:略
小结:
2S,4,R 球
课后作业:略.
1.1.7柱、锥、台和球的体积(一) 教学目标:了解柱、锥、台的体积的计算方法
教学重点:了解柱、锥、台的体积的计算方法
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(一)祖暅原理:
祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年(祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献(
祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》(他推导球体积公式的方法非常巧妙(
根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下:
作一个几何体V(底面OABC是一个正方形，边长为r(图2-18)(高 1
取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积222a=r-h(
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另取一个边长为r的正方体V(图2-19)，连结O′D′，O′C′，O′A′，锥体O′-A′2
′C′D′记作V，V-V是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′D′剩下的几何体(下面来B323
证明
V=V-V( 123
2设平行于底面与底面距离为h的平面，截V的截面是正方形P′TS′M，面积等于r，22截V的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形322成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r-h(
22比较V与V-V在等高(h)处的截面，它们的面积都是r-h，因此体积相等，即V=V-V( 123123
祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异(”“幂”是截面积，“势”是几何体的高(意思是:两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等(这就是现在说的:夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等(
积为V(是未知数)(和V比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半 41
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祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用(提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)(卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年(
(二)长方体的体积 V,Sh
(三)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为:
V,Sh
(四)利用祖暅原理可以说明:等底面积等高的锥体的体积均相等
(五)三棱住可以分割成三个体积相等的锥
1故锥体的体积为 V,Sh3
1(六)利用两个锥体做差可得台体的体积公式 V,(S'，SS'，S)h3
(七)例子:
(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为[ ]
(2)平行六面体ABCD-ABCD中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、1111
G，则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[ ]
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3(3)如果一个正四面体的体积为9dm，则其表面积S的值为[ ]
棱锥的体积是 [ ]
(5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V，内切切圆柱体积为V，则[ ] 12
A(V?V=?1 B(V?V=2?1 1212
C(V?V=4?1 D(V?V=8?1 1212
课堂练习:教材第33页 练习A1.2、B1.2.3
小结:
本节课应了解:祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式
课后作业:教材第34页 习题1-1A:7、8.
1.1.7柱、锥、台和球的体积(二) 教学目标:了解球的体积的计算方法
教学重点:了解球的体积的计算方法
教学过程:
43VR(一) 由上节祖暅原理所述知球的体积公式 ,,3
(二) 例子
1、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是[ ]
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2、如果球的体积是V，它的外切圆柱的体积是V，外切等边圆锥的体积是V，那球圆柱圆锥么这三个几何体体积之比是____
3、图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称
22为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的 ，球的表面积也是圆柱全面积的. 33
解:设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V及V ，球的表面积与圆柱的球柱
全面积分别为S及S，则有 球柱
S=侧面积+上下底面积 柱
注:这个发现是阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个
课堂练习:教材第33页 练习A3
小结:
本节课应了解:球的体积计算公式
课后作业:教材第34页 习题1-1A:11.
