关公憋红了张飞脸
范文一：α线性无关,而向量组
线性代数综合训练 一、填空题
1．已知3阶矩阵A的行列式detA=3，则det((3A)?1?A*)= 2．已知n维向量构成的向量空间：V={XX=(x1,x2,x3,L,xn),且x1+x2=0,
x1+x2+x3=0,2x1+2x2+x3=0,xi∈R}，则V的维数dimV=
3．已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，而向量组β1=4α1+α2，β2=α2+α3，
β3=α3+α4，β4=α4+2λα1线性相关，则λ4．已知三阶方阵A的特征值是1，1，2，方阵B=A2+A?E，则B的特征值是 ，且detB= .
5．设3元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为2，已知向量η1,η2,η3是它
?1??2?
????
的三个解向量，η1+η2=?1?，η2+η3=?1??2??3?????
6．设方阵A满足2003A2=5A+16E，则(A?E)?1= .
7．设n阶实对称矩阵A的n个特征值为1,2,L,n，则t满足 时，
A2+tA+E为正定矩阵。
8．若矩阵A相似于矩阵diag{1,?1,2}，则A
?13
9．设A=(aij)3×3是实正交矩阵且a11=1，b=(1,0,0)T，则方程组AX=b的解为
10．设n阶方阵A满足A2?3A+4E=0，则(A+4E)?1?402?
??
11．设A为4×3阶矩阵，且R(A)=2，又B=?020?，则R(AB)- R(A?103???
12．若二次型
f(x1,x2,x3)=x1+4x2+2x3+2tx1x2+2x1x3是正定的，
222
则t满足 .
13．已知三阶方阵A的特征值为2，3，4，则2A= .
14．已知五阶实对称方阵A的特征值为0，1，2，3，4，则R(A)= .
?10?k
?15．设A=?则A= 。（k为正整数）. ?21???
16．设α1,α2,α3,β1,β2都是四维列向量，且四阶行列式α1,α2,α3,β1=m，
α1,α2,α3,β2=n,则|α1,α2,α3,2β1?β2|17. 已知四阶行列式D中第三列元素分别为1，3，?2，2，它们对应的余子式
分别为3，?2，1，1，则行列式D= .
?102?
18. 设A为4×3矩阵，A的秩r(A)=2, 而B=?020?，则r(AB)= .
????103???
19. 已知x为n维单位列向量，G=xx，则G.
T2
20 ．设n阶可逆矩阵A满足方程A2?2A=3E，则A?1=
22
21．当t满足 时，二次型f=x12+2x2+5x3+2x1x2?2x1x3+2tx2x3为正定二次
型.
22．已知三阶方阵A的特征值是1，?1，2，方阵B=A2?E，则B的特征值
是 .
23．设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩r(A5×3)=2，η1,η2是该方程组的两个解，且有η1+η2=(1,3,0),η1+2η2=(2,5,1)，则该方程组的通解 .
T
T
1
2
24.行列式
352320340040
= 。 00
?kx+y?2z=0?
25.若齐次线性方程组?x+ky+2z=0有非零解，且k2≠1,则k的值
?kx+y+kz=0?
为 。
26.若4×4阶矩阵A的行列式A=3,A?是A的伴随矩阵则A?
27.A为n×n阶矩阵，且A2?3A+2E=ο，则A?128. ξ1,ξ2,ξ3和η1,η2,η3是R3的两组基，且
η1=3ξ1+2ξ2+ξ3,η2=ξ1+2ξ2+ξ3,η3=2ξ1+ξ2+2ξ3，若由基ξ1,ξ2,ξ3到基η1,η2,η3的基变换公式为(η1,η2,η3)=(ξ1,ξ2,ξ3)A，则29.向量a=(?1,0,3,?5),β=(4,?2,0,1),其内积为 。
30.若3×3阶矩阵A的特征值分别为1,?2,3,则A?1的特征值分别为
?420?
?为正定矩阵，则λ的取值范围是 。 31.矩阵A?λ24??
???0λ1?
000032.L
0n?1n0
n
L01
L20
LLL= 。 L00L00
?11?33. ?。 ?= （n为正整数）00???1?1?
，则(2A)?134.设A=??
?01?
35.非齐次线性方程组Am×nXn×1=bm×136.向量a=(3,1)T在基η1=(1,2)T,η2=(2,1)T下的坐标为37.若n阶矩阵A、B、C有ABC=E,E为n阶单位矩阵则C?1=38.若n阶矩阵A有一特征值为2，则A?2E= 。 39.若A、B为同阶方阵，则(A+B)(A?B)=A2?B2的充分必要充分条件是 。
40.正交矩阵A如果有实特征值，则其特征值λ等于 。 41.二次型f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+tx3+2x1x2+2x1x3是正定的,则t的取 值范围是 。
2
2
2
二、 判断题
1. 若n阶方阵A的秩R(A)
2. 若 n×s矩阵A和 s×n矩阵 B满足 AB=O，则 R(A)+R(B)
5. 若 阶方阵A满足AT=?A，则对任意 n维列向量x，均有xTAx=0.（ ） 6. 若矩阵 A和B等价，则 A的行向量组与B的行向量组等价.（ ）
7. 若向量α1,α3线性无关，向量 α2,α3线性无关，则 α1,α2也线性无关. （ ） 8. A是 m×n矩阵，则 R(AAT)=R(A). （ ）
9. 非齐次线性方程组 Ax=b有唯一解，则 x=A?1b. （ ） 10. 正交阵的特征值一定是实数.（ ）
三、选择题
1．设A为n阶方阵，A*
是A的伴随矩阵，下列说法不正确的是
(A) 若A≠0，则A*≠0； (B) 若A的秩小于n?1，则A*=O； (C) 若A=5，则A*=5n?1； (D)AA*=A。
2．设向量组α1,α2,α3线性无关，则与α1,α2,α3等价的向量组为
(A) α1+α2,α2+α3； (B) α1+α2,α1?α2,3α1,4α2； (C) α．设1+α2,α1?α2,α1+α3,α1?α3； (D) α1+α2,α2?α3.
3A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=o仅有零解的充分条件是 (A) A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；
(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。 4．设矩阵n
A=(aij)
，则二次型f=∑(ai1x1+ai2x2+L+ainxn)2的矩阵为 n×n
i=1(A) A；(B) A2
；(C) A'A； (D) AA'。 5．下列结论中不正确的是
(A) A为正定矩阵，则A?1
也为正定矩阵；
(B) 若A，B都是正定矩阵，则A+B也是正定矩阵；
(C) 若A,B,C,D都是正定矩阵，则??AC?
B?也是正定矩阵；
?D?(D) 若A，B都是正定矩阵，则A?B也是正定矩阵。
6．设A,B都是n阶非零方阵，且AB=O，则A和B的秩 (A) 必有一个等于零； (B) 都小于n；
(C) 一个小于n；一个等于n； (D) 都等于n。
7．二次型f=n∑x2??∑x?是
ii??i=1?i=1?
(A) 正定； (B) 半正定； (C) 负定； (D) 半负定。
8．设A,B都是n阶方阵，且AB=O，则下列情况绝对不可能出现的是（ ） (A) A=0,B=0； (B) A=0,B≠0；
(C) A和B的秩都等于n； (D) A的伴随矩阵A*非零 9．设向量组α,β,γ线性无关， α,β,δ线性相关，则（ ） (A) α必可由β,γ,δ线性表示；(B) β必不可由α,γ,δ线性表示； (C) δ必可由α,β,γ线性表示；(D) δ必不可由α,β,γ线性表示.
nn
2
10．设n元齐次线性方程组的一个基础解系为η1,η2,η3,η4，则下列各向量组中
仍为该齐次线性方程组的基础解系的是（ ）
(A) η1?η2,η2?η3,η3?η4,η4?η1； (B) η1+η2,η2+η3,η3+η4,η4+η1； (C)η1,η1+η2,η1+η2+η3,η1+η2+η3+η4； (D) η1+η2,η2+η3,η3?η4,η4?η1. 11．若矩阵A,B相似，则下列结论不正确的是（ ） (A) A=B； (B)A,B有相同的特征多项式； (C)tr(A)=tr(B)； (D) A,B有相同的伴随矩阵.
12．设A为n×n实矩阵，则方程Ax=0只有零解是A'A为正定矩阵的（ ）
(A)充分条件； (B) 必要条件；
(C)充要条件； (D) 既非充分也非必要条件.
13．矩阵??
?a1b1 a1b2?
??的秩为（ ab ab22??21
）
(D)．3
(A)．0 (B)．1 (C)．2
0??20
??
14．设矩阵A＝?0?1?1?，则A－1＝（ ）
?012???
?1
??2
(A)．?0
?0???0??
?2?1? 11??
?0?1??2
(B)．?0
?0???0??21? ?1?1??
?0
?
1?2
(C)．??1?1
??00??0???2?10?
??
10? 0? (D)．?1
1??0?02???2?
15.设A是n阶方阵，且A2=E，则必有A=（ ）
(A).E (B).-E (C).A-1 (D).A*
123Ln?1
1．计算n阶行列式 1?10L0 02?2L0
LLLL
000Ln?1
四、计算题
n
00L1?2.求向量组a1=(2,1,1,1),a2=(?1,1,7,10),a3=(3,1,?1,?2),a4=(8,5,9,11)的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。
?033???
3．设A=?110?，满足AB=A+2B，求矩阵B.
??123???
4．已知向量β=(7,?8,?9)T，α1=(1,3,2)T,α2=(2,?1,1)T, α3=(0,4,7)T（1）证明α1,α2,α3是R3中的一组基； （2）求β在基α1,α2,α3下的坐标.
=3?x1+2x2
?4x+7x+x=10?123
5．设方程组?，讨论p,q取何值时，方程组无解、有唯一解
x?x=p23?
??2x1+3x2+qx3=4
和无穷多解。并在有解时，求其解
?x1+x2+2x3+3x4=1?x+3x+6x+x=3?234
6．当a取何值时,线性方程组?1有解？在方程组有解时，
?x1+5x2+10x3?x4=5??3x1+5x2+10x3+7x4=a求出方程组的通解
22
+3x3+4x2x3 7．求一正交变换x=Py, 化二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x2
为标准形，并写出其标准形。
?101?
? 8．已知实对称矩阵 A=?020??
??101??
（1）求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵；（2）求A10。
9．设4维向量组α1=(1+a,1,1,1),α2=(2,2+a,2,2),α3=(3,3,3+a,3),
T
T
T
α4=(4,4,4,4+a)，问a为何值时α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性
相关时,求一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表出.
T
10．设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量
α1=(?1,2,?1),α2=(0,?1,1)是线性方程组Ax=0的两个解.
(1) 求A的特征值与特征向量；
(2) 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ；
TT
3??
（3）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵.
2??11．已知下列非齐次线性方程组有3个线性无关的解，
?x1+x2+x3+x4=?1
?
?4x1+3x2+5x3?x4=?1
?ax+x+3x+bx=1
34?12
6
(1) 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
(2) 求a,b的值和方程组的通解.
12．已知向量组α1,α2,α3线性无关，判别向量组β1=α1+2α2+3α3,
β2=?α1+α2,β3=5α1+2α2+7α3的线性相关性。
五、证明题
?x1?x2=a1?x?x=a232?n
1．证明方程组?有解的充分必要条件是ai=0。 ?L L∑i=1?x?x=a
n?1
?n?1n??xn?x1=an
2．设A是n阶下三角矩阵，如果a11=a22=L=ann，且至少一个ai0j≠0(i0>j0)，
证明A不可相似对角化。
3. 已知n阶方阵A满足矩阵方程2A2+9A+3E=O，证明A+4E可逆，并求其逆矩阵。 4．设向量组A : α1,α2,L,αm线性无关,向量β1可由向量组A线性表示,而向量β2
不能由向量组A线性表示.证明:向量组α1,α2,L,αm,lβ1+β2必线性无关.
?001?
5.A=?x1y?有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。
???100???
6.设A,B 都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值
7.设列向量α是一个n维实向量,已知α是单位向量.令矩阵T=E?2ααT
证明:T是一个对称的正交矩阵.
范文二：向量组线性无关证法论文
向量组线性无关证法论文
【摘要】向量组的线性无关理论是在向量空间一章中讲述的，是重要的部分，在求矩阵的秩、向量组的秩、正交向量组等均有广泛的应用，尤其在线性方程组解的理论中，求基础解系、通解，不可或缺。因此，证明向量组线性无关，在考试中作为重点考查内容之一，恰如其分。学生应加强学习训练，提高逻辑归纳能力，才能融会贯通顺利通过考试。
向量组的线性无关性是线性空间结构理论的基础，在线性代数中有着重要作用，在矩阵、向量组的秩求解、正交向量组、齐次线性方程组的基础解系、二次型、线性空间变换中均有应用。向量组的线性无关性判别证明以其严谨的逻辑推证，巧妙的归纳综合等特点，增强了数学爱好者的科学智能，但也往往使得初学者难以抓住要领。针对学生的这一问题，为打消其顾虑调动学习积极性，笔者根据多年《线性代数》自学考试的教学经验，结合教材考试大纲分析命题思路，梳理归纳了历年考题并给出证明。
全国高等教育自学考试线性代数试题（经管类）共27题，满分是100分，第27题作为6分的压轴题难度较大，学生对此往往有畏难心理。该题大多考查向量组线性无关的证明，在历次考试中出现的几率很高。例如：
一、（2009年1月第27题）
本题证法与前面不同的是，根据已知条件，可以写出对应的三元齐次线性方程组，得到系数行列式，且不等于零，依据克莱姆法则判
断，齐次线性方程组只有零解，故向量组线性无关。
从以上五个题的证明可以看出，命题紧紧联系向量组线性无关的定义，重在考查学生的数学应用、思维发散能力及推理运算技巧。
向量组的线性无关理论是在向量空间一章中讲述的，是重要的部分，在求矩阵的秩、向量组的秩、正交向量组等均有广泛的应用，尤其在线性方程组解的理论中，求基础解系、通解，不可或缺。因此，证明向量组线性无关，在考试中作为重点考查内容之一，恰如其分。学生应加强学习训练，提高逻辑归纳能力，才能融会贯通顺利通过考试。
参考文献：
[1]牛少彰， 刘吉佑. 线性代数学习指导与例题分析[M]. 北京邮电大学出版社， 2003.
[2]刘吉佑， 徐诚浩. 线性代数： 经管类[M]. 武汉大学出版社， 2006.
[3]刘吉佑， 徐诚浩. 线性代数 （经管类） 习题详解[M]. 清华大学出版社， 2007.
[4]任功全，封建湖，薛宏智.线性代数[M]. 北京：科学出版社，2005.
[5]付立江. 线性无关向量组的构造[J]. 黑龙江科技信息， 2010 （031）： 25-25.
[6]王建平， 曹殿立， 孙成金， 等. 线性空间中线性无关向量组扩充为基的研究[J]. 河南教育学院学报： 自然科学版， 2003，
12（4）： 8-9.
范文三：向量组A线性无关，与它等价的向量组是否一定线性无关
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向量组A线性无关，与它等价的向量组是否一定线性无关书上说是不一定线性无关，可为什么呢
向量组等价就说有向量组A，向量组B，向量组A的每一个向量都可以由向量组B线形表示，向量组B的每一个向量也都可以由向量组A线形表示，就称向量组A，向量组B等价举个简单的例子:向量组A(a1,a2,a3)与B(a1,a2,a3,-a1)等价，A线性无关，B线性相关。
非常感谢，搞懂了，我是等价没搞清楚
我真笨 我还不是很懂 呵呵
我就说一句你就懂了 一个向量组(相关)和它的极大线性无关组
二楼说的很直接明白
向量组等价，但列向量个数可以不同，个数多的向量组可能相关
有么有搞错，A与B等价，A线性无关，则A满秩，R(B)=R(A)，所以B也满秩，所以B也线性无关，不要被他们说的误导，二楼的同学问问你，(a1,a2,a3-a1)这个向量组哪里线性相关了,不还是线性无关的吗,
设向量组A,(a1,a2,a3)无关，向量组B,(a1,a2,a3，a4)，a4可由a1,a2,a3线性表出 题中，A无关，易知，A可由B线性表出，而B也可由A表出。所以A与B等价。但B却是相关的呵呵，原来楼上的把默默老大的(a1,a2,a3,-a1)看成了(a1,a2,a3-a1)n+1个n维向量必相关
回 8楼(mouse_123) 的帖子对不起，不只是看错了，这厮我的一个盲点，我一直以为等价向量组向量个数要一样呢，现在明白了，谢谢
我记得好像是一个矩阵的题目才对。
原来是这样啊，呵呵
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范文四：向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合
设a1,a2,???,at?Rn，k1,k2,???,kt?R，称k1a1?k2a2?????ktat为a1,a2,???,at的一个线性组合。
?k1?
??k2
【备注1】按分块矩阵的运算规则，k1a1?k2a2?????ktat?(a1,a2,???,at)??。这
?????kt?
样的表示是有好处的。 2.线性表示
设a1,a2,???,at?Rn，b?Rn，如果存在k1,k2,???,kt?R，使得
b?k1a1?k2a2?????ktat
则称b可由a1,a2,???,at线性表示。
?k1???k2
写成矩阵形式，即b?(a1,a2,???,at)??。因此，b可b?k1a1?k2a2?????ktat，
?????kt??k1???k2
由a1,a2,???,at线性表示即线性方程组(a1,a2,???,at)???b有解，而该方程组有解
?????kt?
当且仅当r(a1,a2,???,at)?r(a1,a2,???,at,b)。 3.向量组等价
设a1,a2,???,at,b1,b2,???,bs?Rn，如果a1,a2,???,at中每一个向量都可以由
b1,b2,???,bs线性表示，则称向量组a1,a2,???,at可以由向量组b1,b2,???,bs线性表示。
如果向量组a1,a2,???,at和向量组b1,b2,???,bs可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：
(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
(3) 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。 证明：
自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I为a1,a2,???,ar，向量组II为b1,b2,???,bs，向量组III为c1,c2,???,ct。向量组II可由III线性表示，假设bj??ykjck，j?1,2,???,s。向量组I可由向
k?1t
量组II线性表示，假设ai??xjibj，i?1,2,???,r。因此，
j?1
s
ai??xjibj??xji?ykjck??(?ykjxji)ck，i?1,2,???,r
j?1
j?1
k?1
k?1
j?1
sstts
因此，向量组I可由向量组III线性表示。
向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III可由I线性表示。
因此，向量组I与III等价。结论成立！ 4.线性相关与线性无关
设a1,a2,???,at?Rn，如果存在不全为零的数k1,k2,???,kt?R，使得
k1a1?k2a2?????ktat?0
则称a1,a2,???,at线性相关，否则，称a1,a2,???,at线性无关。
按照线性表示的矩阵记法，a1,a2,???,at线性相关即齐次线性方程组
?k1?
??k2??(a1,a2,???,at)?0 ?????kt?
有非零解，当且仅当r(a1,a2,???,at)?t。a1,a2,???,at线性无关，即
?k1???k
(a1,a2,???,at)?2??0
?????kt?
只有零解，当且仅当r(a1,a2,???,at)?t。
特别的，若t?n，则a1,a2,???,an?Rn线性无关当且仅当r(a1,a2,???,an)?n，当且仅当(a1,a2,???,an)可逆，当且仅当(a1,a2,???,an)?0。
例1. 单独一个向量a?Rn线性相关即a?0，线性无关即a?0。因为，若a线性
1?0相关，则存在数k?0，使得ka?0，于是a?0。而若a?0，由于1?a?a?0，
因此，a线性相关。
例2. 两个向量a,b?Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k1,k2，使得k1a?k2b?0。k1,k2不全为零，不妨假设k1?0，则a??
k2
b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨k1
假设存在?，使得a??b，则a??b?0，于是a,b线性相关。
?1??0??0??x1?????????
例3.?0?,?1?,?0?线性无关，且任意x??x2??R3都可以由其线性表示，且表示
?0??0??1??x????????3?
方法唯一。事实上，
?x1??1??0??0?
????????x??x2??x1?0??x2?1??x3?0? ?x??0??0??1??3???????
5.线性相关与无关的性质
(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明：
设a1,a2,???,at?Rn，其中有一个为零，不妨假设at?0，则
0?a1?0?a2?????0?at?1?1?0?0
因此，a1,a2,???,at线性相关。
(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明：
设a1,a2,???,at,?1,?2,???,?s?Rn，a1,a2,???,at线性相关。存在不全为零的数
k1,k2,???,kt，使得
k1a1?k2a2?????ktat?0
这样，
k1a1?k2a2?????ktat?0??1?0??2?????0??s?0
k1,k2,???,kt不全为零，因此，a1,a2,???,at,?1,?2,???,?s线性相关。 后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。
(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。 证明：
设a1,a2,???,at?Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量
?at??a1??a2?
最后一个分量之后，成为??,??,???,??，b1,b2,???,bt是同维的列向量。令
?b1??b2??bt?
?a??ka?ka?????ktat??a??a?
k1?1??k2?2?????kt?t???1122??0 ?b1??b2??bt??k1b1?k2b2?????ktbt?
则k1a1?k2a2?????ktat?0。由向量组a1,a2,???,at线性相关，可以得到
k1?k2?????kt?0。结论得证！
(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明：
设a1,a2,???,at?Rn为一组向量。
必要性 若a1,a2,???,at线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,???,kt，使得
k1a1?k2a2?????ktat?0
k1,k2,???,kt不全为零，设kj?0，则
aj??
k1a1?????kj?1aj?1?kj?1aj?1?????ktat
kj
充分性 若a1,a2,???,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设aj
可以表示成a1,???,aj?1,aj?1,???,at的线性组合，则存在一组数k1,???,kj?1,kj?1,???,kt，使得
aj?k1a1????kj?1aj?1?kj?1aj?1?????ktat
也就是
k1a1????kj?1aj?1?aj?kj?1aj?1?????ktat?0
但k1,???,kj?1,?1,kj?1,???,kt不全为零，因此，a1,a2,???,at线性无关。
【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。
(5) 若a1,a2,???,at?Rn线性无关，b?Rn，使得a1,a2,???,at,b线性相关，则b可由
a1,a2,???,at线性表示，且表示方法唯一。 证明：
a1,a2,???,at,b线性相关，因此，存在不全为零的数k1,k2,???,kt,kt?1，使得
k1a1?k2a2?????ktat?kt?1b?0
kt?1?0，否则kt?1?0，则k1a1?k2a2?????ktat?0。由a1,a2,???,at线性无关，我们就得到k1?k2?????kt?0，这样，k1,k2,???,kt,kt?1均为零，与其不全为零矛盾！这样，
b??
k1a1?k2a2?????ktat
kt?1
因此，b可由a1,a2,???,at线性表示。
假设b?x1a1?x2a2?????xtat?y1a1?y2a2?????ytat，则
(x1?y1)a1?(x2?y2)a2?????(xt?yt)at?0
由a1,a2,???,at线性无关，有x1?y1?x2?y2?????xt?yt?0，即
x1?y1,x2?y2,???,xt?yt
因此，表示法唯一。
【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组a1,???,at线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组a1,???,at线性表示，即线性方程组(a1,???,at)x?b有解。而a1,???,at线性无关，即r(a1,???,at)?t。因此，若有解，当然解唯一，即表示法唯一。
(6) 若线性无关向量组a1,a2,???,at可由向量组b1,b2,???,bs线性表示，则t?s。 证明：
假设结论不成立，于是t?s。a1,a2,???,at可由b1,b2,???,bs线性表示。假设
?x11?
??x21??a1?x11b1?x21b2?????xs1bs?(b1,b2,???,bs)， ?????xs1??x12???x
a2?x12b1?x22b2?????xs2bs?(b1,b2,???,bs)?22?，
?????xs2?
……………………………………………………….
?x1t???x
at?x1tb1?x2tb2?????xstbs?(b1,b2,???,bs)?2t?，
?????xst?
任取k1,k2,???,kt，则
?k1??x11???kx
k1a1?k2a2?????ktat?(a1,a2,???,at)?2??(b1,b2,???,bs)?21
??????k?t??xs1
x12x22xs2
x1t??k1?
???x2t??k2?
??????xst??kt?
?x11?x21
由于?
???xs1
x12x22xs2
x1t??x2t?
为一个s?t阶矩阵，而t?s，因此，方程组 ??xst?
?x11??x21???xs1
x12x22xs2
x1t??x2t?
x?0 ??xst?
?k1???k2??必有非零解，设为，于是k1a1?k2a2?????ktat?0。因此，存在一组不全为?????kt?
零的数k1,k2,???,kt，使得k1a1?k2a2?????ktat?0。因此，向量组a1,a2,???,at线性相关，这与向量组a1,a2,???,at线性无关矛盾！因此，t?s。
(7) 若两线性无关向量组a1,a2,???,at和b1,b2,???,bs可以相互线性表示，则t?s。 证明：
由性质(6)，t?s，s?t，因此，s?t。
【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。
(8) 设a1,a2,???,at?Rn，P为n阶可逆矩阵，则a1,a2,???,at线性无关当且仅当
Pa1,Pa2,???,Pat线性无关。b可由a1,a2,???,at线性表示，当且仅当Pb可由 Pa1,Pa2,???,Pat线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。 证明：
由于P可逆，因此
k1a1?k2a2?????ktat?0?P(k1a1?k2a2?????ktat)?0 ?k1(Pa1)?k2(Pa2)?????kt(Pat)?0k1a1?k2a2?????ktat?b?P(k1a1?k2a2?????ktat)?b
?k1(Pa1)?k2(Pa2)?????kt(Pat)?Pb
如此，结论得证！
6.极大线性无关组
定义1 设a1,a2,???,at?Rn，如果存在部分向量组ai1,ai2,???,air，使得 (1) ai1,ai2,???,air线性无关；
(2) a1,a2,???,at中每一个向量都可以由ai1,ai2,???,air线性表示； 则称ai1,ai2,???,air为a1,a2,???,at的极大线性无关组。
【备注5】 设a1,a2,???,at?Rn，ai1,ai2,???,air为其极大线性无关组。按照定义，
a1,a2,???,at可由ai1,ai2,???,air线性表示。但另一方面，ai1,ai2,???,air也显然可以由 a1,a2,???,at线性表示。因此，a1,a2,???,at与ai1,ai2,???,air等价。也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。
向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。
【备注6】按照定义，向量组a1,a2,???,at线性无关，充分必要条件即其秩为t。 定义2设a1,a2,???,at?Rn，如果其中有r个线性无关的向量ai1,ai2,???,air，但没有更多的线性无关向量，则称ai1,ai2,???,air为a1,a2,???,at的极大线性无关组，而r为
a1,a2,???,at的秩。
【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有r个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。
【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果ai1,ai2,???,air线性无关，且
a1,a2,???,at中每一个向量都可以由ai1,ai2,???,air线性表示，那么，a1,a2,???,at就没有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为b1,b2,???,bs，s?r。b1,b2,???,bs当然
可以由ai1,ai2,???,air线性表示，且还线性无关，按照性质(6)，s?r，这与假设矛盾！另一方面，假设ai1,ai2,???,air为a1,a2,???,at中r个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取a1,a2,???,at中一个向量，记为b，则ai1,ai2,???,air,b线性相关。按照性质(5)，b可有ai1,ai2,???,air线性表示(且表示方法唯一)。
【备注9】设向量组a1,a2,???,at的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a1,a2,???,at的一个极大线性无关组。这从定义即可得到。 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系
称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩。
定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。 证明：
设A?(aij)?Rm?n，r(A)?r。将其按列分块为A?(a1,a2,???,an)。存在m阶可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为
?1
????
PA?(Pa1,Pa2,???,Pan)??
?0???0?
01
00100
b1,r+1b2,r?1br,r?100
b1,n??b2,n???br,n? 0???0??
00
?1??0??0?
??????01?????0?????????????
,,???,00?????1?线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此， ?0??0??0??????????????0??0??0???????
?1??0??0???????01?????0?????????????
,,???,00?????1?为PA的极大线性无关组，其个数为r，因此，a1,a2,???,ar线性无?0??0??0??????????????0??0??0???????
关，且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩等于A的秩。
?b1T?
??
将A按行分块，A???，则AT?(b1,b2,???,bm)，因此，按照前面的结论，A
T??bm??
的行秩为AT的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！ 【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。 7.扩充定理
定理2 设a1,a2,???,at?Rn，秩为r，ai1,ai2,???,aik为其中的k个线性无关的向量，
k?r，则能在其中加入a1,a2,???,at中的(r?k)个向量，使新向量组为a1,a2,???,at的
极大线性无关组。 证明：
如果k?r，则ai1,ai2,???,aik已经是a1,a2,???,at的一个极大线性无关组，无须再添加向量。
如果k?r，则ai1,ai2,???,aik不是a1,a2,???,at的一个极大线性无关组，于是，
a1,a2,???,at必有元素不能由其线性表示，设为aik?1，由性质(5)，向量组
ai1,ai2,???,aik,aik?1线性无关。
如果k?1?r，则ai1,ai2,???,aik,aik?1已经是a1,a2,???,at的一个极大线性无关组，无须再添加向量。
如果k?1?r，则ai1,a2i,???于,a,ikai1k?不是a1,a2,???,at的一个极大线性无关组，是，a1,a2,???,at必有元素不能由其线性表示，设为aik?2，由性质(5)，向量组
ai1,ai2,???,aik,aik?1,aik?2线性无关。
同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。
【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。
8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示
求向量组a1,a2,???at?Rn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。
(1) 将a1,a2,???at合在一起写成一个矩阵A?(a1,a2,???at)；
(2) 将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为
?b11b12??0b22
??A??00
?00???00?b1rb2rbrr00b1,r?1b2,r?1br,r?100b1,n??b2,n???br,n??B，bii?0,i?1,2,???,r，r?r(A) 0???0??
(3) 在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为j1,j2,???,jr列，则j1,j2,???,jr为B列向量组的极大线性线性无关组，也是A列向量组的极大线性线性无关组，也就是a1,a2,???at的极大线性无关组。
为了在上半部分寻找r个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r阶的非奇异子矩阵。r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。
显而易见，上面矩阵第1到第r列即向量组的一个极大线性无关组。其余情形同理。
(4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。
我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为
?1??0
??A??0
?0???0?010000b1,r?10b2,r?11br,r?10000b1,n??b2,n???br,n??B 0???0??
在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在A中，第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与B中的一致。
我们的理论依据是性质(8)。
?2?1?11?11?21例4.设矩阵A???4?62?2??36?972??4?，求A的列向量组的一个极大线性无关组，4??9?
并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。
【解答】 记A?(a1,a2,a3,a4,a5)，
?2?1?11?11?21A???4?62?2??36?97
??11r1?r23?10r3?r2?30 ??
r4?r2?r2?(?3)?0??0?0?12??11?21??4?r1?r2?2?1?11??4?62?24???9??36?970?104?4??11?21r2?2r1???2?r3?4r1?0?33?1?6??4?r4?3r1?0?1010?6?12????9?03?34?3?? 2?2?3?3?11r?(?)?1?12?38?0??3?r4?3r3?08?00?8??0?3003?9??4??1?103?001?3??0000?
因此，A的列向量的一个极大线性无关组为a1,a2,a4，a3??a1?a2， a4?4a1?3a2?3a3。
范文五：向量组的线性相关性与线性无关性
第二节 向量组的线性相关性与 线性无关性
定义1 设α1 ，α2 ，…，αm ，β是一组n维 向量，若存在m个实数 k1 ，k2 ，…，km使得 β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm ，则称β可以 由α1 ，α2 ，…，αm线性表示( linear representation )。或称α1 ，α2 ，…，αm线性 表示(linear generate)β。 例如：α1 = (1, 2, 0) T，α2 = (1, 0, 3) T, α3 = (3, 4, 3)T，则α3 = 2α1 + α2 ，即存在实数k1 ＝2，k2＝1使得α3 = k1α1 + k2α2，故α3可以 由α1 ，α2线性表示。（大家想一想，这里的常 数k1 ＝2，k2＝1是怎么求出来的？）
定义2 设α1 ，α2 ，…，αm是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，则称向量组 α1 ，α2 ，…，αm线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α1，α2，…，αm 线性无关。
例1 若一个向量组仅由一个向量α组成， 则 由定义2 易知它线性相关的充要条件是α = 0。 例2 若一个向量组仅由α，β两个向量组成， 则α，β线性相关是指α，β这两个向量的分 量对应成比例，换句话说，即是指α与β平行 或α，β共线。 证明： α，β线性相关 存在不全为0的 两个数k1，k2使得k1α + k2β = 0 ，不妨假设 k1≠ 0，则由k1 α + k2 β = 0 知α = β, 此即 说明α ，β的分量对应成比例。
注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α， β，γ三个向量构成，则α，β，γ线性相关 的充要条件是α ，β ，γ共面。 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无 关的定义，下面我们将用肯定的表述来说明线 性无关这个概念。为此，我们先检查线性相关 的定义。称α1 ，α2 ，…，αm 线性相关是指 存在不全为0的m个常数k1 ，k2 ，…，km 使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0 , 这即是说： 以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上， 若按向量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α1 + k2 α2 + … +km αm = 0 有非零解 （k1 ，k2 ，…，km）。
因此，我们有下述几种等价说法： α1，α2，…，αm线性无关 以k1 ，k2 ，…，km 为未知数的方程k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0没有非零解 k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0只有零解：k1 = k2 = … = k m = 0 由k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0一定可以推 出 k1 = k2 = … = km = 0 若k1，k2，…，km不全为0，则必有k1α1 + k2 α2 + … + km αm ≠ 0。
注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm 线性无关是指当系数k1，k2，…，km全为0 时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际 上，这种看法是错误的。大家想一想，当系数 k1 ，k2 ，…，km全为0时 ，k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1， α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联 系。
从上述关于
线性无关的几种等价说法可以看 出：α1，α2，…，αm线性无关是指，只有当 k1= k2 = … = km = 0时才有k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。或者换句话说，在k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0这个条件 下，一定可 以推出k1= k2 = … = km = 0。实际上，以后我 们证明一个向量组线性无关时，一般均采用此 观点，即先假设k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0，然后在此假设条件下去证明k1= k2 = … = km = 0.
例 设e1 = (1, 0, 0 )T, e2 = (0, 1, 0 ) T, e3 = (0, 0, 1) T, 证明：e1, e2 , e3线性无关。 证明：如果存在数k1 ，k2 ，k3使得 k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 = 0，即 ?1 ? ?0? ? 0? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? k1 ? 0 ? + k2 ? 1 ? + k3 ? 0 ? = ? 0 ? ?0? ?0? ?1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 通过左边的数乘和加法，上述等式即是
? k1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? k2 ? = ? 0 ? ? k ? ?0? ? 3? ? ?
所以 k1= k2 = k3 =0 。 因此，e1, e2 , e3 线性无关。 定理1 向量组α1，α2，…，αm ( m 2 ) 线 性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量 可以由其余m－1个向量线性表示。 证明：先证必要性。 因为 α1，α2，…，αm线性相关，所以存 在不全为0的m个常数k1 , k2 , … ,km使得k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。不妨设 k1≠0, 则
k3 k2 α1 = ? α 2 ? α3 ? k1 α k1
km ? αm k1
此即说明α1可以由α2，α3，…，αm线性 表示 . 再证充分性。 不妨设α1可以由α2，α3，…，αm线性表 示，即存在m－1个常数（我们不妨设为） k2，k3，…，km 使得 α1 ＝k2 α2 + k3α3 + … + km αm 即 (－1)α1+ k2 α2 + k3 α3 + …＋ km αm = 0。
且 －1，k2，k3，…，km这m个数不全为0 （至少－1不为0），故α1, α2，α3，…， αm线性相关。证毕。 定理1 指出了向量组的线性相关性与其中 某一个向量可用其它向量线性表示之间的联 系。但它并没有断言究竟是哪一个向量可由其 它向量线性表示。下面的定理2即回答了这样 一个问题（当然是在更强的条件下）。
定理2 设 （1） 向量组α1, α2，α3，…，αm，β线性相 关； （2） 向量组α1, α2 ，α3 ，…，αm 线性无 关， 则向量β可以由α1, α2，α3，…，αm线 性表示，且表示式唯一。
证 由α1, α2，α3，…，αm，β线性相关知存 在m＋1个不全为0的常数k1，k2，k3，…，km， km+1使得 k1α1 + k2α2 + k3 α3 + … ＋km αm + km+1 β = 0, 要证明β可由α1 ，α2 ，…，αm 线性表示，只 须证明km+1≠0即可。因为若km+1≠0，则
k1 k2 β =? α1 ? α2 ? km +1 km +1 km ? αm km +1
下面用反证法证明 km+1≠0. 假设km+1= 0，则有不全为0的m个数k1， k2，…，km 使得k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0, 这与α1，α2，…，αm线性无关矛盾！
下面再证明表示式唯一。设有两个表
示式： β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm 及 β = l1α1 + l2 α2 + … + lm αm 则两式相减就有 0 = (k1－l1)α1+ (k2－l2)α2 + (k3－l3 )α3 + … + (km－lm )αm， 由α1，α2，…，αm 线性无关, 知 (k1－l1 ) = (k2－l2 ) = … = (km－ lm ) = 0， 即 k1= l1, k2= l2 , … , km= lm 故表示式唯一。
定理3 若向量组α1, α2，α3，…，αm线性相 关，则向量组α1, α2，α3，…，αm， αm+1，…，αn也线性相关。 证: 设α1, α2，α3，…，αm线性相关，则有不 全为0的m个数k1，k2，…，km 使得 k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0, 从 而 k1α1 + k2 α2 + …+ km αm+0·αm+1 +…+0·αn = 0. 因为k1，k2，…，km，0, …，0这n个数不全为0 （因为k1，k2，…，km不全为0），故α1, α2， α3，…，αm，αm+1，…，αn线性相关。
定理3 即是说，如果已知一个向量组线性相关， 则在此基础上增加一些同维数的向量，得到的 新的向量组一定线性相关。 推论1 若某向量组含有零向量，则此向量组一定 线性相关。 定理4 设两个向量组T1：α1, α2，α3，…，αn 和T2：β1 ，β 2 ,…，β n，其中 αj = (a1j, a2j, …，a mj)T, βj = (a1j, a2j, …，a mj, a m+1,j) T, j = 1，2，…，n. 若向量组T1：α1, α2，α3，…，αn线性无关, 则向量组T2：β1 ，β 2 ,…，β n线性无关。
证 反证法。（假设T2线性相关，证明T1线性 相 关 。 ） 若 T2 线 性 相 关 ， 则 有 不全为0的数 k1，k2，…，kn使得 k1β1 + k2β 2 + …+ knβ n = 0, 即
? a11 ? ? a12 ? ? ? ? ? ? a 21 ? + k ? a 22 ? + k1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? m +1,1 ? m +1,2 ? ? ?
? a1n ? ? ? ? a 2n ? = 0 + kn ? ? ? ? ?a ? m +1,n ? ?
写成分量的形式就是
? a11k1 + a12 k 2 + + a1n k n = 0 ? a k +a k + +a k = 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ? ?a m +1,1k1 + a m +1,2 k 2 + + a m +1,n k n = 0 ?
取其前面m个方程，即
? a11k1 + a12 k 2 + ? a k +a k + ? 21 1 22 2 ? ? ?a m,1k1 + a m,2 k 2 + ?
+ a1n k n = 0 + a 2n k n = 0 + a m,n k n = 0
写成向量的形式就是
? a11 ? ? a12 ? ? ? ? ? a 21 ? a 22 ? k1 ? + k2 ? + ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ?a ? ? m,1 ? m,2 ? ? ? ? a1n ? ? ? a 2n ? kn ? =0 ? ? ? ?a ? ? m,n ? ?
这即是说对于上述不全为0的数k1，k2，…，kn 有 k1α1 + k2α2 + …+ knα n = 0， 即α1, α2，α3，…，αn线性相关。
定理4是说，如果已知某向量组（向量个 数为n）线性无关，则此向量组中的每个向量 增加一个分量而得到的多一维的向量组（向量 个数还是n）一定仍然线性无关。增加一维分 量如此，增加任意k维分量显然也是如此。
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