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范文一：圆的渐开线

圆的渐开线

一、教育目标 (一)知识教学点

了解圆的渐开线的概念，掌握圆的渐开线的参数方程． (二)能力训练点

初步掌握选择合理参数建立曲线参数方程的方法，能画出有关渐近线． (三)学科渗透点

了解数学在工业设计中的应用，培养精益求精的科学技术态度．二、教材分析

1．重点：圆的渐开线及其参数方程，如何选择合理参数建立曲线的参数方

程．

2．难点：渐开线形成过程，渐开线型齿轮的工业设计原理． 3．疑点：选择参数的基本要求的可靠性．三、活动设计

1．活动：讨论、演示、问答、制图．

2．教具：投影仪、圆的渐开线演示仪(可自制)、尺规．四、教学过程

(一)齿轮传动的设计原理

齿轮广泛应用于机械传动中，齿形设计不好，传动不平稳，机体抖动，噪音大，齿轮磨损大．

投影：

若在从动轮的齿M和齿N之间插入主动轮的齿P，使传动平稳、磨损少，那么，

齿P与齿M的接触应具备什么样的特性，请大家思考讨论(图3-6)．

学生1答：

齿P与齿M从B1与B接触开始，两齿外沿无滑动(磨损少)地辗动至A1与A，

此时，下两齿刚好开始咬合(平稳无抖动)．

开线型设计．

(二)演示渐开线形成过程什么叫渐开线，请看演示：

把一无弹性的细绳绕在一个固定的圆盘上，铅笔系在绳的外端，把绳拉直，然后绕圆盘逐渐展开，保持细绳始终与圆相切，笔所画出的曲线，即细绳端点的轨迹，叫做圆的渐开线，圆盘就叫渐开线的基圆．

根据教材第118页图3-4知基圆半径在齿轮内外半径之间，能无滑动地辗动

而传动的原因，正是渐开线形成过程中的渐开原理．

(三)建立圆的渐开线参数方程

曲线已经生成，以下求其方程，先请大家思考，如何建立坐标系？学生2答：

设基圆圆心O，绳端点的初始位置A，以OA为x轴，O为原点，建立直角坐标

系(图3-7)．

设基圆半径为r，设M(x，y)．

再思考，能否直接列出M点坐标x，y间的关系？学生3答：尚不能列出．

既然不能列出x、y间的直接关系，那么就考虑建立渐开线的参数方程．这首

先就需要选定一个参数，而参数的选择必须具备一参对一点的条件，也就是参数能制约整个运动系统．根据这一要求，请大家考虑可以设哪些几何量为参数．

学生4答：可能会出现：

|MB|=t、∠xOB=φ等各种设参方法，不妨设∠xOB=φ≥0为参数．作ME⊥Ox于E，BC⊥OX于C，MD⊥BC于D，则∠

MBD=

圆的渐开线方程即：

注：(1)整个系统仅由基圆半径一个条件确定，r是常数，(φ≥0)是参数，

故此式可作为一个公式，只要已知基圆的半径，就可以写出圆的渐开线在如图所示的坐标系中的参数方程．

(2)能否消参？若消φ，则

其普通方程比参数方程复杂多了，不利于计算．从这里就看到，参数方程对某些曲线有比普通方程更优越的特点．

(3)可以把基圆换成其它图形，就可以得到其它图形的渐开线，所以，圆的渐

开线是渐开线的一个特例．不仅如此，还有很多生产、生活中常用的曲线，本书均未介绍，高中阶段也不作较高要求．因为如需要，都可从数学手册中查到，但要掌握选择参数的基本要求，便能建立曲线的参数方程．

(四)练习

打开教材第119页，看第1题，读题．请大家作图．学生5板演．如图3-8所示．

圆都内切，故它们彼此连结得很光滑．

能否建立正方形渐开线的各段弧统一的参数方程呢？学生6答：

可以．圆心周期性地变，半径成等差数列递增，可设绳子与模轴所成有向角r≥0为

参数．

但是，没有这种必要． (五)小结

(1)圆的渐开线、基圆、圆的渐开线的参数方程． (2)选择参数的基本要求．五、布置作业

已知基圆的直径是225mm，以基圆圆心和圆的渐开线起始点的连线为原点，圆

心为原点建立坐标系：

(1)画出圆的渐开线．

(2)求圆的渐开线的参数方程．

(3)求圆的渐开线与射线y=112.5(x＞0)的交点的集合．解：(1)略

∴ 交点集合为

六、板书设计

渐开线的形成及特性(Forming and Feature of Involute Profile)

一、渐开线的形成(Forming of Involute Profile)

如右图所示，当一直线 BK 沿一圆周作纯滚动时，直线上任意点K的轨迹AK就是该圆的渐开线，这个圆称为渐开线的基圆，半径为，直线BK叫做渐开线的发生线；角叫做渐开线AK段的展角。（PLAY）

二、渐开线的特性(Involute Feature)

发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧

长度

渐开线上任意点的法线恒与基圆相切

发生线与基圆的切点也就是渐开线在点K的曲率中

心，线段BK为曲率半径。渐开线欲接近基圆的部分，其曲率半径欲小。在基圆上其曲率半径为零

渐开线的形状取决于基圆的大小，相同展角处，基圆

半径愈大，曲率半径也愈大，当基圆半径为无穷大，其渐开线变为一条直线,故齿条的渐开线变为直线的渐开线

基圆内无渐开线

? ?

三、渐开线方程式(Involute Equation) 渐开线函数：

渐开线的极坐标参数方程式：

当用直角坐标来表示渐开线时，其方程式为：

范文二：渐开线齿轮点蚀位置的确定及其计算综合曲率半径的误差修正

2004 年 8 月 Aug12004 Jo ur nal of Qingdao U niversit y of Science and Technology

() 文章编号 :167226987 20040420339204

渐开线齿轮点蚀位置的确定及其

计算综合曲率半径的误差修正

1 1 孟兆明, 许基清, 汪惠琴2 ( )1 . 青岛科技大学机电工程学院 ,山东青岛 266042 ; 2 . 青岛四方机车车辆厂 ,山东青岛 266061 摘要 : 依据赫兹强度理论 ,指出一对标准渐开线直齿齿轮啮合时 ,最大接触应力位于齿轮单啮合区靠近小齿轮处单双啮合区的分界线上。小齿轮点蚀发生在分度圆与齿根圆之间 ,大齿轮点蚀发生在分度圆与齿顶圆之间。并列举实例 ,证明目前传统设计方法计算点蚀处齿轮综合曲率半径误差较大 ,绘制出精确计算值与传统计算值的比值曲线 ,并给出结论 :传统设计方法得到的结果不安全 ,有误差 ;误差与齿轮模数无关 ,误差随着小齿轮齿数的增加渐小 ,误差随着齿轮齿数比的增大先渐大后渐小。

关键词 : 点蚀 ; 综合曲率半径 ; 赫兹理论 ; 误差 ; 单啮合区

中图分类号 : T H 132 . 4 文献标识码 : A

The Def inition and Calculation of the Location of Spot Erosion f or Involute Gear Correction of the Errors f or the Composite Curve Radius

1 1 2M ENG Zhao2ming, XU Ji2qing, WA NG Hui2qin

( 1 . Colloge of Elect ro mechanical Engineering ,Qingdao U niversit y of Science and Technology , Qingdao 266042 ,China ;

)2 . CSR Sifang Loco . & Rolling Stock Inc . , Qingdao 266061 ,China

Abstract : Based o n Herz’s st rengt h t heo ry , it is pointed o ut t hat t he maximum st ress lies at t he dividing line of t he o ne2pair teet h engagement and do uble2pair teet h engagement w hen a pair of standard involute sp ur gear is engaged , and it is in t he o ne2pair teet h engagement area , near t he pinio n . The spot ero sio n of pinio n is bet ween t he dividing circle and t he root circle . The spot ero sio n of gear is bet ween t he dividing circle and addendum circle . Examples are given in t his article to p rove t hat t he erro rs are big wit h t he t raditio nal app roach fo r cal2 culating t he co mpo site curve radius at t he spot ero sio n , and t he ratio curves are draw n wit h t he t raditio nal app roach and mo re p recised app roach . The result s show t hat t he result s of t he t raditio nal app roach is not safe and has big erro rs. The erro rs are independent of t he mo dulus of gear . The erro rs decrease wit h t he increase of t he teet h number of t he pinio n and t he er2 ro rs increase wit h t he increase of t he ratio of teet h number firstly , t hen decrease wit h t he in2 crease of t he ratio of teet h number .

Key words : spot ero sio n ; co mpo site curve radius ; Herz t heo ry ; erro r ; o ne2pair teet h engage2 ment area

收稿日期 :2004203203 ( ) 作者简介 :孟兆明1957,,男 ,教授.

25 卷青岛科技大学学报第 340

齿轮传动在机械工程中被广泛应用 ,对闭式理论分析1 软齿面渐开线齿轮传动 ,齿轮的主要设计依据是

1 按照赫兹强度理论 ,一对标准直齿齿轮啮合赫兹接触应力强度条件,通常认为点蚀发生在时 ,最大接触应力应该在一对齿轮综合曲率半径小齿轮的分度圆或分度圆偏下的部位。其强度计最小的位置处 ,它是在齿轮单啮合区靠小齿轮的算式为外边缘处 ,如图 2 所示的 C 处。

F ca1 σσ= × ?[] H H 2 2 ρ μμρ1 - 1 - 12 π + EE1 2

()1

ρ上式中:危险点处齿轮的综合曲率半径。 ρ

2 u ?111 ?( )取 : ρ= = ?2 ρ α ρρ d ?sin u 1 1 2

ρ:小齿轮危险点处齿廓的曲率半径 ; 1

d 1 ρα= ?sin1 2

ρ:大齿轮危险点处齿廓的曲率半径 ; 2

d 2ρα= ?sin2 2

d : 齿轮分度圆直径 ; d = m ?Z

αm : 齿轮的模数 Z : 齿轮的齿数 :

α标准齿轮分度圆压力角= 20?

u : 齿数比 u = Z/ Z 2 1

?: 外啮合取 + ; 内啮合取 - 。目前工程中

图 2 一对齿轮接触应力分布图采用这种传统的计算方法设计出

Fig. 2 St ress dist ributio n chart fo r o ne pair of gears 的齿轮传动 ,仍然存在着点蚀现象 ,并且并非只有

小齿轮产生点蚀 ,在大齿轮的分度圆与齿顶圆之

该处对小齿轮而言是位于齿根圆与分度圆之间也有点蚀现象 ,如图 1 所示。这与目前所解释

的油膜下裂纹扩展理论是不相符的。另外 ,随着间; 对大齿轮而言是位于齿顶圆与分度圆之间。

科学技术的发展以及新型计算手段的不断普及 , 当齿数比 u 较大时 , 由于小齿轮工作次数多 , 小

对齿轮的计算精度要求越来越高 ,因此有必要对齿轮易发生点蚀 ; 当齿数比 u 较小时 , 且大齿轮

较软时则大齿轮易发生点蚀。在该位置参照图 ,,

3 , 按赫兹理论 , 综合曲率半径相关几何关系如下 :齿轮接触应力计算进行误差分析与修正。 d 1 PC PC = = dPD 2 - ε) P- PC (2 b

Z1 ( ε) ( )则 PC = 2 - P 3 b Z+ Z 1 2

παP:齿轮基圆周节; P=m ?co s b b

ε:齿轮啮合的重合度

ε( αα) ( αα) = [ Zt g - t g + Zt g - t g / 1 a1 2 a2

( )4 π2

α :齿轮齿顶圆压力角a

αd?co s 1 ( )α5 = arcco s a d a 图 1 大齿轮点蚀写真 d :齿轮齿顶圆直径 a Fig. 1 Pict ure of t he spot ero sio n of t he gear 3 d = m Z + 2 h m a a

第 4 期孟兆明等 :渐开线齿轮点蚀位置的确定及其计算综合曲率半径的误差修正 341

3 3 h :齿轮齿顶高系数 ,标准正常齿轮 : h = 1 27 a a + 1 2 17 × d = 01280 277 544 1×17sin20? 27 2 ()ρα6 则 := ?sin -PC 1 2 17 d 2精确计算 . 2 2 ( )ρα7 = ?sin + PC2 2 3 = d+ 2 h m = 2 ×17 + 4 = 38 mmda1 1 a Z?Z 2 1 1 1 1 2 ??= =3 d = d+ 2 hm = 2 ×27 + 4 = 58 mmρρ) ( ) ρ α ( ′a2 2 a m ?sin Z- W Z+ W 2 ρ 12 1

d2 u u ?11 ( )= ??8 α α = arcco s co s= 321777 675 57? a1 α W dsin u W1 d a1 u + 1 - ZZ 11d 2αα = arcco s co s= 281968 485 78? a2 ε 2 - d a2 ( )πα9 其中 W = ?2Z ?ct g 1 Z+ Z 1 2ε( αα) = [ Ztg - tg + 1 a1 ( ) 对照传统计算方法式 2, 可知传统计算方法 ( αα) πZtg - tg / 2= 11572 233 519 2 a2 中对上式近似取 W = 0 , 这样必然产生误差 , 且结 ε 2 - παW = ?2Z ?ct g = 21853 097 605 果趋于危险 , 这从理论上就为产生点蚀埋下了祸 1 Z+ Z 1 2根。 Z?Z 1 2 2 1= = ? ρα) ( )( ′m ?sin Z - W Z + W ρ1 2

01304 614 262

ρ 1/ ′01304 614 262 ρ 其比值 := =1 ρ01280 277 544 /ρ

11086 830 781

误差因素分析3

( ) ( ) ( ) 将精确计算式 89和传统计算式 2相比 ,

其比值系数 K 为

ρ1/ ′ ρu ()K = = 10 ρW 1/ Wρ u + 1 - ZZ 11

从上式可知 , 比值系数 K 与齿轮模数无关 ,

只与小齿轮齿数 Z和齿轮齿数比 u 相关。按不 1

同的小齿轮齿数 Z和不同的齿数比 u 得到表 1 1

比值系数。

表 1 本法与传统法的综合曲率半径比值系数

Table 1 Ratio of t he co mpo site curve radius o btained 图 3 齿轮最大接触应力处几何关系 f ro m t he mat ho d of t his paper and t hat of t raditio n Fig. 3 Geo met ric relatio nship at t he maximum st ress area

K u z = 15 z = 17 z = 20 z = 30 z = 401 1 2 3 4 5

2 误差比较 1 1 . 097 746 1 . 064 61 1 . 037 968 1 . 010 038 1 . 003 836 设有一对外啮合渐开线标准齿轮 , 已知 Z= 1 2 1 . 107 087 1 . 083 848 1 . 061 56 1 . 029 219 1 . 017 417 3 17 , Z= 27 , m = 2 mm , h = 1 , 按标准中心距安 2 a 3 1 . 086 122 1 . 068 797 1 . 051 573 1 . 025 336 1 . 015 328 装设计 , 分别用传统计算方法与精确计算方法计

4 1 . 069 663 1 . 056 095 1 . 042 404 1 . 021 129 1 . 012 867 1 算接触应力危险处的综合曲率半径。ρ ρ5 1 . 057 884 1 . 046 826 1 . 035 571 1 . 017 879 1 . 010 933 2 . 1 传统方法

6 1 . 049 29 1 . 039 998 1 . 030 487 1 . 015 417 1 . 009 458 1 2 u + 1 ?= = ρα dsin uρ 1

青岛科技大学学报第 25 卷 342

图 4 综合曲率半径比值曲线

Ratio curves of t he co mpo site curve radius Fig. 4

结论比值系数的应用4 5

设计一对外啮合渐开线标准齿轮。已知目前传统设计方法计算点蚀处综合曲率半径

3 有误差 ,结果趋于危险 ;计算误差与齿轮的模数无 Z= 20 , Z= 40 , m = 5 , h = 1 , 按标准中心距 1 2 a

关 ;计算误差随着小齿轮齿数的增加渐小 ;计算误 ρ安装 , 求最大接触应力处的综合曲率半径 1/ 。′ ρ差随着齿轮齿数比的增加先渐大再渐小。 1 2 u + 1 ?= = ρd?sin α uρ 1

2 2 + 1 ?= 01087 714 1325 ×20 ×sin20? 2

参考文献由表 1 查出当 Z= 20 , u = 2 , 比值系数 1

K = 1 . 061 56

1 濮良贵. 机械设计 ( 第七版) M . 北京 : 高等教育出版社 , 1 K ?= = 11061 56 ×01087 714 132 = 2001 . ρ ρ′ ρρ( ) 2 M . 孙桓. 机械原理第五版北京 :高等教育出版社 ,1996 . 1 010931 138 > ρ ρ

范文三：【doc】渐开线斜齿轮综合曲率半径的解析推导

渐开线斜齿轮综合曲率半径的解析推导

,/一

第19卷第4期山东科技大学(自然科学版)Volt9?4 2000年12月

JoumalofShandongUniversityofScienceaodTechnology(NaturalScience)Dec.2000

文章编号:1000—2308(2000)04—0031—03 渐开线斜齿轮综合曲率半径的解析推导

摘要:基干擞分几何理论

理论的进一步研究打下基础

塑-三塑,詹东安

乏津主学机械工程学院.天津300072 导出并解析证明1渐开线斜齿轮啮合点处的综合曲率半径公式

美?词:靳开烧;奸齿圆柱齿轮

中田分类号:TH132413

1渐开线斜齿轮的齿面方程

?率半径.为《理Z-

文献标识码:A

渐开线斜齿圆柱齿轮的齿面是渐开线螺旋面,渐开线斜齿圆柱齿轮就是有多个渐开线螺旋面的齿轮.如图1所示.设基圆半径为,齿槽左侧渐开线的起点为,渐开线上任意一点M 的法线与基圆的切点为n,取eOn="作为参变数,则根据渐开线的性质,Ma=",渐开线

,的方程式为

7~0rblCO~zt+rb1usinMI 『

Yo=rbIslnu—rbl"c?"I

QM'

f,?7r,/一,,.

I,,,I

一Ol

,,r

Q,,,一一

(t)

田l街开线蠕旋面的端截形把渐开线绕与z.0.l平面垂直的z轴作螺旋运动,它形成的螺旋面相当于渐开线斜齿

1Hi2

丁/2罗

为齿轮啮夸

f/)

轮的左侧齿面,所以右旋渐开螺旋面的左侧齿面

的方程式为

,(",口)=1i1ylJl+l七l

zl=工0?一Osnl

lcos("+.)lusin("+口)l

1=_rlIsinvyoCOSv=>(2)

rlsin("+口)一r6lUCOS("+口)l l=Pl口J

式中

——

端截形上参数为"的点M绕.轴转

过的角度;

P——螺旋参数,它的意义是空间一点绕旋转轴转过单位弧度时其沿轴线方向移动的距离, 即P=昙(H——导程),P.>o时称为右旋运动,P<0时称为左旋运动.

用同样的方法可以求得齿槽右侧渐开线的方程式,当用形成的右旋渐开螺旋面右侧齿面的方程式时,只需把式(2)中的",用负值代入即可.

令r="+,则式(2)又可以写成

r"(",r)=l】YlJ}【七l

收稿日期:2000—03—16

柞者简介:刘激斌(1971一).弼.JE卉齐晴,人.无津火学【械【l学院卜掉l研究,要研

究力1:齿轮啮

理1比,机槭优化设计.厦CAD/CAM技水

山东科技大学(自然科学版)第l9卷 !31=r占ls1nf一1?srr(j

1=P_(f一)

渐开螺旋面上任意一点的单位法线矢量为 n(1):r(c1)×r1)/lr(c1)×r"=i

tJ】+5kl

其中

==sm

?j+r;l

一

sin"c.sr

I]-c

式中

——

渐开螺旋面的基圆柱的螺旋升角,

n+一,j是单位法线矢量"在,

三个坐标轴上的分量,规定单位法线矢量 …的方向是由渐开螺旋面齿面的实体指向空『酊

【6)

而确定主方向的方程为

iEUFrFdu+GdrILdu+MdtMdu+Ndtl(7)

解得

dr=0l

du=dr

所以渐开线斜齿轮啮台点处的主曲率分别为 k=0(舍去)(8)

一

(9)

所以

k"=

因为

tl=tanoh,~bI+t詈,-r]C08~I,k1 所以可得

1】1-一

(10)

因为规定渐开螺旋面的单位法线矢量的方向是由实体指向空间.两渐开螺旋面具有共同的法矢,所以可得

2渐开线斜齿圆柱齿轮啮合点处的主曲率1=confab(11)

由文献[2].根据式(3)可求得第一娄,第二类又因:

基本上=k:Kk:(12) r)=(,1snr+r占1"c0sr)t1+(】cosr+所以

(21)

"sinr)jtPlkl …

11一

1+=

(4)'''一 ,=lcos'~l1sinrj】

1.?r一1usinr)il+(一rb】s[nr+

E=(,):p+r;. F=r?,=一(+ri1)

G=(,)=P;+,i】(1+") L=一?r":…?r:0

M=一n?r"='-r=0 N:一lr1?r=n-r:一rJusiaF 法曲率公式为

睾等=

一rblu71J【rI一

(5)

cos&(1+詈)?s8b(1+i)

r2rlnl

rlna【一

1"1

(13)

式中

-=一传动比

此即为一对外啮台的渐开线斜齿轮在啮台点

处的综台曲率半径.

参考文献:

[1]邱宣怀.机械设计(第3版)[M]北京:高等教育出

植社.t989

f2M斯.唐余勇氍分几可讲义:^,]北京:高等教

育出蚯社.t985

f3j董|羊朱齿鸵啮合理1亡基础M]北机械工业出

社.1989

一

第4期刘洪斌等:渐开线斜齿轮综合曲率半径的解析推导33

AnalyticDeductionoftheSyntheticCurvature RadiusofInvoluteHelicalGears

LIUHong-bin,WANGShu-ren.ZHANDong-an (S~hootMe:'hanicalEnggTi?inUniversity,Tian)in300072,China) Abstract:Onthebasisofthedifferentialgeometrytheory,thesyntheticcurvatureradiusexpre

ssionof

meshingpointofhelicalgearsisderivedandprovedanalyticallyItprovidesabasisforthefurth

erresearch

ofthetheoryofgearing

Keywords:involute;helicalcylindricalgear;curvatureradius

【上接第27页)

120目的粉煤灰作吸附剂,同时加八少量明矾作

添加剂,搅拌30min,处理后的印染废水出水色度

为40,脱色率可达到95l{6以上;CODcr为

176.6mglL.CODcr去除率达到962%(GB8978

—

88第二类污染物最高允许排放浓度,印染企

业.二级标准.色度为100,CODer为200mN/L.新

扩为180mg/L),此两项标准已达到国家规定的

排放标准.由于该方法所用的吸附剂乃锅炉燃煤

所产生的固体废弃物.有以废治废的优点,而且吸

附后的残渣可以用锯炉焚烧,消除二次污染.所

以,该方法具有较强的实用性.有着广阔的应用前

景,有进一步研究的必要.

参考文献:

[1]娄旦立,孙梧生,等[M]环境幢测北京:高等教育

出板社1997

[2]张洪球,等铜厂度琏液一董配混毂利处理印染废

水[J]水处理技术.1995,21(4):246—248.

【3]许帚文印染度书的脱色技术(J]书处理技术986.

12(1):1—4.

[4]于鑫.刘心悦,等.煤矿环境保护[J].1998,(4):17—

[5]郭丽.等活化蠖处理印染为水新杯[J]环境工程.

1993,】1(4):7—8

[6]李国发,等化学凝聚一半蠖渣暖附法处理棉纺印

染度水J]环境工程1993,11(2):7—10

StudyontheTreatmentofthePrintingWasteWaterwiththeFlyAsh

YANGJing,LIUXin-yue.XUEYan-hui

(CoUageoftheGlobelnfoS~i~e&EnggSUST.Taian271019,China)

Abstract:Thispaperintroducesthetreatmentoftheprintingwastewaterwiththeflyash.finds

outthe

besttreatingeonditionandadditive.makingthedecolourratereachover95%andtheratioofre

moving

CODcrover96%.andfinallypreliminarilydiscussesthemechanism

Keywords:flyash;printingwastewater;floccuLation;adsorption;decobur.

范文四：jkxcl_渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响

第 23卷第 3期 2007年 6月机械设计与研究

M achine D esign and R esearch V o. l 23N o . 3Jun . , 2007

基金项目 :湖南省教育厅资助科研项目 (06C168) 收稿日期 :2007-01-29

文章编号 :1006 2343(2007) 03 074 05

渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响

贺静 , 张志强 , 唐勇 , 夏尊凤

(长沙大学机电工程系 , 长沙 410003, E m ai:l he jingg @163. co m )

摘要 :基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型 , 构建了齿根任一点局部应力的折截面法计算数

学模型 , 提出了渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径的计算公式 , 并验证了曲率半径计算公式的准确性 , 应用齿根应力计算数学模型分析讨论了不同参数条件下曲率半径对齿根应力的影响。其分析结果将为渐开线齿轮设计、参数优化选择等提供参考数据 , 同时为齿根应力数值分析提供了新的数学模型。

关键词 :渐开线齿轮 ; 曲率半径 ; 齿根应力中图分类号 :TH 132 文献标识码 :A

The E ffect of Tooth R oot Transition Curve for Involute Gears on Root Stress

HE Ji n g , ZHANG Zh i q iang , TANG Yong , X I A Zun feng

(D epa rt m en t ofM echanical&E lectr i ca l Eng i neering , Changsha U n i versity , Chang sha 410003)

Abstract :Based on the m athe m aticalm ode l of of i nvo l ute gear tooth profile at any ro tary ang le , t he stress ca lcu l ation ma t he m a tica lm odel o f any po i nt on the roo t by broken li ne secti on m ethod w ere constructed , t he calculate i ng for m ula were putted f o r w ard f o r the curva t ure radi us o f i nvo l ute gear trans iti on curv e , and the accuracy o f the for mu la for curvature rad i us is vali dated . U si ng t he stress ca l culati on m athe m aticalm ode, l the i n fluence of curva t ure rad i us on roo t stress w it h different para m eter w ere analyzed and discussed. T he result w ill offer refe rence data for desi gn o f i nvo l ute gear and opti m i zati on of para m eter cho ice , and also ne w m athem ati ca lm ode l for nu m er ica l ana l ys i s on root stress .

K ey words :

i nvo l ute gear ; curva t ure rad i us ; root stress

渐开线齿轮齿根过渡曲线的曲率半径是描述齿根过渡曲线的重要参数 , 齿根过渡曲线的形状对齿根弯曲应力、齿轮的承载能力等都有直接影响。因此 , 对渐开线齿轮的齿根过渡曲线的曲率半径进行研究具有重要意义。但是 , 目前对齿根过渡曲线形状的精确描述有待进一步商榷 , 而齿根过渡曲线数学模型的精度将直接影响其曲率半径计算结果的准确度。

任意转角位置的渐开线齿轮齿廓参数方程

[1]

能准确、真

实的描述渐开线齿轮齿根过渡曲线上的任一点 , 因此可基于该数学模型实现对渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径 (简称曲率半径 ) 的研究 , 并揭示齿轮参数变化时曲率半径对齿根应力的影响规律。

1 渐开线齿轮的齿廓数学模型

1. 1 渐开线齿轮的齿廓数学模型

渐开线齿轮的齿廓由齿顶圆弧、渐开线齿廓曲线、齿根过渡圆弧、齿根圆弧四段曲线构成

[1~3]

。而齿顶圆弧、齿根

圆弧可在各软件环境中生成 , 故不需考虑。令参考文献 [1]中的式 (14) 、 (15) 的 =0, 并改写式 (15), 使其与式 (14) 形式相近 , 整理可得 :

渐开线齿廓曲线的数学模型 :x =r co s +(r -S h ) s i n ( + t ) cos t y = r si n (r -S h ) cos ( + t ) cos (1)

式中 , S h 为刀具节线长度的一半 ; 为渐开线摆角 , cj S h /r-tan [1]+tan[arccos(r b /ra ) ]; t 为齿轮分度圆端面压力角。其中 , cj 为渐开线齿廓曲线与齿根过渡曲线交点处的渐开线摆角。

齿根过渡齿廓曲线数学模型 :x =r co s +(r -S hf ) si n ( +! 1) /cos ! 1y = r si n (r -S hf ) cos ( +! 1) /cos ! 1

(2)

式中 , 为渐开线摆角 , cg

S f /r;S hf 为包络点距刀具中垂线的距离 ,

S hf =S f +? f (1-#2f cos 2! 1) -0. 5

cos ! 1

! 1为包络点的端面压力角 ,

! 1=a -H f

r -S f

其中 , cg

为齿根过渡曲线与渐开线齿廓曲线交点处的渐开线摆角 ; #f 为齿根过渡曲线的离心率 ,

#f =

t -co s cos 4 t

式 (1) 、 (2) 中及其他参数的意义及计算详见文献 [1~4]。 . 2

文献 [1]对齿廓模型的精度已进行了数值校验 , 为了进一步校验其准确性 , 在 M DT 环境中将数学模型 (1) 、 (2) 生成的齿廓曲线与按范成法加工形成的包络线进行比较 (见图 1), 并测量两者之间的距离 , 结果为零 , 测量误差小于 10-4mm (M DT 默认精度 ) 。这表明所采用的数学模型有足够的

工程精度。

! 图 1 包络线与方程曲线

2 渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径

2. 1 曲率半径计算表达式

文献 [5]阐述了基于延伸渐开线的等距曲线和欧拉 -沙伐尔定理的渐开线齿轮过渡曲线曲率半径的计算方法 , 按等距线描述的齿根数学模型在螺旋角不为零时存在着误差 , 其曲率半径计算也存在偏差。而任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型能精确的描述齿根过渡曲线 , 因此 , 可运用欧拉 -沙伐尔定理 , 推导出基于此数学模型 [1]

的渐开线齿轮

齿根过渡曲线曲率半径计算表达式。

按范成法用齿条型刀具加工齿轮时 , 相当于齿轮齿条啮合。由图 2可知 , 刀具节线与齿轮节圆为两瞬心线 , 刀具齿顶圆弧与齿轮过渡曲线为一对共轭齿廓 , C 点为刀具齿顶圆弧中心 , E 点为瞬心线接触点 , 直线 TE 为齿廓公法线 , m -m 为刀具节线的中垂线 , n -n 过 E 点且垂直于直线 TE 。根据欧拉 -沙伐尔定理 , D 点为过渡曲线的曲率中心 , 齿根过渡曲线的曲率半径计算表达式为 :

? =

2(Hf cos ! 1+(S hf -S f ) si n ! 1) sin2! 1-r H f si n ! 1

r si n 2

! 1+H f

(3)

式中各个变量的意义详见参考文献 [1]

。

! 图 2 齿根过渡曲线曲率半径分析图

2. 2 曲率半径的分析比较

在 M DT 中编程绘制 m =3mm, z =16, ? *

=0. 38时不同螺旋角的齿轮齿廓曲线及过渡曲线曲率中心轨迹图 , 结果见图

:x 增大。

m =3mm =20? z =16 ? *

f =0. 38

! 图 3 过渡曲线的曲率中心

m =3 ? *

f =0

. 38 =20? z =30! 图 4 曲率半径比较

对 m =3mm, =20? , z =30, ? *

f =0

. 38, ? 值分别为 8? 、 16? 的齿轮进行曲率半径的计算和实测 , 图 4为式 (3) 计算结果、等距线的曲率半径计算结果、仿真曲率半径 (范成法加工形成的包络线 ) 测量值的分析对比图。可以看出 , 按公式 (3) 计算的曲率半径和仿真曲率半径的测量值非常接近。

3 齿根应力计算数学模型

3. 1 齿根应力计算数学模型

在齿根应力及齿轮参数的影响分析 , 国内外的研究者已经做了大量的工作 , 并采用不同的研究方法获得了许多有益的成果 [5~8]。其中应用较广的是折截面法和平截面法。任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型能精确描述齿廓曲线 , 折截面法齿根应力计算公式的精度相对较高 [5], 因此二者结合可构建新的应力计算数学模型 , 所构建的基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型的齿根任一点局部应力的折截面法计算数学模型为

%=F

h t co s S 2

-s i n cos 22S (4)

式中 , F 为作用在齿面上任一点的力 (N) ;

S 为过渡曲线上待求点的齿厚的一半 (mm ),

S =x g s i n (&/z) -y g cos(&/z );

(5)

! 为过渡曲线上待求点处的切线与轮齿对称线之间夹

角 (rad),

! =- g -! 1-&

(6)

第 3期贺静等 :渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响

h t 为 F 力作用线与轮齿对称线的交点到过渡曲线上待求点处的法线与轮齿对称线的交点之间的距离 (mm ),

h t =

r b co s -S &z -y g x g

-tg ;

(7)

为 F 力作用线与轮齿对称线的垂线之间夹角 (rad),

= j + t -&z

; (8)

H 的意义见文献 [5],H =

-cos 3S

+2cos ! S 2+S

+cos 2

S 2

-cos ! cos ! +S

(9)

其中 , j 为式 (1) 中的 ; g 、 ! 1为式 (2) 中的、 ! ; x g 、 y g 为由式 (2) 所求出的过渡曲线上待求点的坐标值 ; 由式 (3) 求得。其它变量的意义详见参考文献 [1~5]。 3. 2 数学模型中主要参数的分析

从齿根应力计算数学模型中可知 :在相同载荷和作用位置下 , 齿根过渡曲线上每点的局部应力值与 S 、 ! 、 h t 、 ? 有关。其中 S 、 ! 、 h t 值的精度可由渐开线齿轮齿廓数学模型的精度得以保证 , ? 值的精度可由式 (3) 保证。

渐开线齿轮的刀廓构成参数 m 、、 h *a 、 c *、 x 、 ? *

f 的不同

取值将直接影响齿轮的齿廓形状 , S 、 ! 、 h t 、 ? 等参数的值也随之变化。表 1是模数分别取 3mm 、 5mm 时 , 根据式 (4) 计算的齿根最大应力值及各参数的值。由表可见 , 随着 m 值的增加 , 虽然 ! 、 S /? 不变 , h t 值增加 , 但 S 值、 ? 值同时增加 , 齿根应力降低。由此可见增加 ? 值可以减小应力集中 , 提高齿根弯曲强度 ; S 值增加 , h t /S2

的值减小 , 齿根应力减小 ; 由此可见 , 齿厚变化较大时 , 曲率半径和齿厚是齿根应力的主要影响因素 ; 齿厚变化较小时 , h t 是齿根应力变化的主要影响因素。

表 1 不同模数 m 时 , 式 (4) 的各计算值

表 1

m /mm ! /? S /mm ? /mm

h t /mm

S /?

%/M Pa

322. 44712. 99951. 908956. 715451. 57129109. 5975

22. 4471

4. 9992

3. 1815811. 19241. 5712965. 7583

注 :z =30, =20? , h *a =1, c *=0. 25, ? *

f =0

. 384 曲率半径对齿根应力的影响

4. 1 曲率半径对齿根应力值的影响

4. 1. 1 不同 ? *f 时曲率半径对齿根应力值的影响

改变刀尖圆弧半径的值齿根过渡曲线形状将发生变化。为分析此时曲率半径对齿厚和齿根应力的影响 , 应用式 (4)

对 m =3

mm, z =30, =20? ,

不同 ? *f 的直齿轮进行齿根应力

计算 , 得到齿根过渡曲线齿厚和应力随曲率半径变化趋势见图 5和图 6。

参考图 5和 6可知 , 增大刀尖圆弧半径系数可以整体降

低齿根应力值 , 这是因为增大 ? *f 会加大 S, 从而有效降低齿根应力。在相同 ? *f 时 , 曲率半径较小处的齿根应力呈现较

大增长。这与小曲率半径时齿厚 S 较大幅度减小有关 , 表明小曲率半径时影响齿根应力值的主要因素是 S 的变化 , 而大

! 图 5 不同 ? *

f 时曲率半径与齿厚关系图

! 图 6 不同 ? *

f 时曲率半径与齿根应力关系图

曲率半径时 , S 变化相对平缓 , 齿根应力值主要受曲率半径值影响。

分析数据表明 , 随着 ? *

f 增大 , 齿根最大应力点的曲率半

径值和 S 增大 , 从而减小齿根最大应力。且该点位置与 S 沿曲率半径由变化幅度较大转为变化平缓的位置处相对应 , 说明齿根形状发生突变是齿根最大应力产生的重要原因。

综上可知 , 增大齿根过渡曲线曲率半径可以减小齿根应力 , 因此可以通过增大刀尖圆弧半径的值达到提高齿根弯曲强度的目的。

4. 1. 2 不同 h *a 、 c *时曲率半径对齿根应力值的影响

m =3mm, z =30, =20? , ? *

f =0. 38

! 图 7 不同 h *a 、

c *曲率半径与齿厚关系图由图 7和图 8可知 , 减小 h *a 、 c *的值 , 相同曲率半径处齿根齿厚减小 , 造成小曲率半径处的齿根应力值增加。但在曲率半径较大处 , 随着 h *a 、 c *的减小 , 齿根应力值减小。这是因为曲率半径增大 , 1/? 减小 , 削弱了齿厚对齿根应力的影响 ; 而减小 h *a 、

c *使得齿高减小 , 从而力臂 h t 减小 , 因此 , 此 76机械设计与研究第 23卷

时主要影响齿根应力的是力臂 h t 。

h *a 减小时明显可见最大齿根应力值减小。这是因为减小 h *a 对力臂影响相对较大。以最大应力发生处为例 :c *=0. 4时 h t =7. 15909, c *=0. 1时 , h t =6. 50735, 减小幅度 0. 09%; h *a =1. 0时 h t =6. 84263, h *a =0. 7时 h t =5. 28233, 减小幅度 22. 8%。但增大 h *a 、 c *能提高齿轮传动的重合度 , 由此可知 , 在满足齿轮传动平稳的前提下可以选择较小的 h *a 、 c *来增大曲率半径 ,

从而提高齿根弯曲强度。

m =3mm, z =30, =20? , ? *

f =0

. 38! 图 8 不同 h *a 、

c *曲率半径与齿根应力关系图 4. 1. 3 不同 x 时曲率半径对齿根应力值的影响

图 9和图 10反映了不同变位系数时齿根齿厚和齿根应力相对于曲率半径的变化趋势。当 x 由负变为正时 , 齿厚增加明显 , 从而齿根弯曲强度明显提高。这表明正变位齿轮强度大于负变位齿轮。同时可见 , 对于正变位齿轮而言 , x 的增大未能明显改善齿根弯曲强度。

4. 1. 4 不同时曲率半径对齿根应力值的影响

结合图 11和图 12可知 , 小曲率半径时 , 压力角的改变对齿厚和应力值无明显影响。曲率半径增大到一定值后 , 齿厚随着压力角增大其值明显增加 , 齿根应力减小。表明压力角的改变主要影响渐开线齿轮的齿根厚度值 , 从而齿根强度发生变化。

4. 2 曲率半径对齿根应力分布的影响

4. 2. 1 不同 ? *

f 时曲率半径对齿根应力分布的影响

图 13和图 14为不同 ? *

f 时曲率半径和齿根应力沿 X 轴分布情况。随着 ? *

f 增大 , 齿根曲率半径沿齿根变化较为平

缓 , 齿根应力分布也趋向平缓 ;

同时 , ? *

增大导致曲率半径的突变点右移且值增大时 , 与之相对应 , 齿根最大应力点同时右移且值减小。这验证了齿根形状的突变是齿根最大应力产生的重要原因。 4. 2. 2 不同 h *a 、 c *、 x 时曲率半径对齿根应力分布的影响

从图 15可知 , 改变 h *a 、 c *、 x 的值会改变过渡曲线位置、弧长和每点处曲率半径的值 , 但曲率半径沿 X 轴增长趋势大致相同。对比图 16可以发现 , 相同 X 坐标位置 , 齿根应力值随着 h *a 、 c *、 x 的改变而发生变化 , 而沿 X 轴应力值的变化情况大致相同。由此说明 , 曲率半径沿齿根分布情况和齿根

应力分布相似。

m =3mm, z =30, =20? , ? *

f =0. 38

! 图 9 不同 x

时曲率半径与齿厚关系图

m =3mm, z =30, =20? , ? *f =0. 38

! 图 10 不同 x

时曲率半径与齿根应力关系图

m =3mm, z =30, ? *

f =0. 38! 图 11 不同

时曲率半径与齿厚关系图

m =3mm, z =30, ? *

f =0

. 38! 图 12 不同时曲率半径与齿根应力关系图

! 图 13 不同 ? *

曲率半径沿齿根分布图

! 图 14 不同 ? *

时齿根应力分布图

m =3mm , z =30, =20? , ? *

f =0

. 38! 图 15 不同 h *a 、

c *、 x

时曲率半径沿齿根分布图 m =3mm , z =30, =20? ? *

f =0. 38

! 图 16 不同 h *a 、

c *、 x 时齿根应力分布图 5 结论

(1) 所采用的渐开线齿轮齿廓数学模型经进一步验证 , 能高精度地描述整个渐开线齿轮齿廓。

(2) 所建立的曲率半径计算公式在齿轮螺旋角 ? 不为零时 , 其精度高于等距线的曲率半径计算公式。

(3) 基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型的齿根任一点局部应力的折截面法数学模型经对相关主要参数的验证 , 能全面描述齿根应力及其分布 , 为数值分析提供了较好的数学模型。

(4) 分析结果表明 :通过加大 ? *

、、 x 和减小 h *a

、 c

可以提高齿根弯曲强度。且在靠近齿根圆部分 , 曲率半径较小 , 此时齿厚是影响齿根应力的主要因素 ; 离齿根圆较远部分 , 曲率半径是影响齿根应力值的主要因素。

(5) 分析结果表明 :齿根齿厚相对于曲率半径的变化趋势反应了齿根应力相对于曲率半径的变化趋势 , 曲率半径较小时 , S 随着 ? 的增大快速减小 , 随后其变化转为平缓 , 转折点的位置为齿根最大应力易发生处。

(6) 分析结果表明 :曲率半径沿齿根的变化趋势可以较好的反应齿根应力分布的趋势。

参考文献 :

[1] 张志强 , 贺静 , 唐勇 , 等 . 任意转角位置的渐开线齿轮齿廓参数

方程的研究 [J].机械传动 , 2005, 29(2):10~13.

[2] 张志强 , 夏尊凤 , 唐勇 , 等 . 任意转角位置的双渐开线齿轮的齿面数学模型 [J].机械工程学报 , 2006, 42(4):58~63.

[3] 张志强 , 吴宪平 , 唐勇 . 任意转角位置的双圆弧齿轮的齿廓

数学模型 [J].机械设计与研究 , 2005, 21(8):47~50. [4] 孙桓 , 陈作模 . 机械原理 [M].北京 :高等教育出版社 , 2001. [5] 吴继泽 , 王统 . 齿根过渡曲线与齿根应力 [M].北京 :国防工业出版社 , 1989.

[6] 唐勇 , 张志强 , 许焰 , 等 . 双渐开线齿轮的精确建模与特征

参数选择 [J].机械传动 , 2006, 30(2):24~27. [7] 唐勇 , 张志强 , 许焰 , 等 . 双圆弧齿轮的模态与振动响应 [J ].湖南科技大学学报 , 2006, 21(3):47~51.

[8] 周长江 , 唐进元 , 吴运新 . 基于精确模型的齿根应力和轮齿变

形载荷历程分析 [J].机械设计与研究 , 2004, 20(3):67~70. 作者简介 :贺静 (1975-), 女 , 湖南株州人 , 讲师 , 工学硕士 , 研究方向为 CAD /CAM 和机械仿真。

范文五：渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响

( ) 文章编号 : 1006 22343 2007032074205

渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响

贺静 , 张志强 , 唐勇 , 夏尊凤

()410003 , E2m a il: he jingg@ 163. com 长沙大学机电工程系 ,长沙

摘要 :基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型 ,构建了齿根任一点局部应力的折截面法计算数学模型 ,提出了渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径的计算公式 ,并验证了曲率半径计算公式的准确性 ,应用齿根应力计算数学模型分析讨论了不同参数条件下曲率半径对齿根应力的影响。其分析结果将为渐开线齿轮设计、参数优化选择等提供参考数据 ,同时为齿根应力数值分析提供了新的数学模型。

关键词 : 渐开线齿轮 ;曲率半径 ;齿根应力

中图分类号 : TH132文献标识码 : A

The Effec t of Too th Roo t Tran s it ion C urve for In vo lu te Gea r s on Roo t S tre ss

ZHAN G Zh i2q iang, X IA Zun2feng H E J ing, TAN G Yong,

()D ep a rtm en t of M echan ica l & E lec trica l Enginee ring, Changsha U n ive rsity, Changsha 410003 A b stra c t: B a sed on the m a them a tica l mode l of of invo lu te gea r too th p rofile a t any ro ta ry angle, the stre ss ca lcu2

la tion m a them a tica l mode l of any po in t on the roo t by b roken2line sec tion m e thod we re con struc ted, the ca lcu la te ing fo r2

m u la we re p u tted fo rwa rd fo r the cu rva tu re rad iu s of invo lu te gea r tran sition cu rve, and the accu racy of the fo rm u la fo r

cu rva tu re rad iu s is va lida ted. U sing the stre ss ca lcu la tion m a them a tica l mode l, the influence of cu rva tu re rad iu s on roo t

stre ss w ith d iffe ren t p a ram e te r we re ana lyzed and d iscu ssed . The re su lt w ill offe r refe rence da ta fo r de sign of invo lu te

gea r and op tim iza tion of p a ram e te r cho ice, and a lso new m a them a tica l mode l fo r num e rica l ana lysis on roo t stre ss.

Key word s: invo lu te gea r; cu rva tu re rad iu s; roo t stre ss

渐开线齿轮齿根过渡曲线的曲率半径是描述齿根过渡渐开线齿廓曲线的数学模型 :

x = rco sθ+ ( θr - S) sin (θ+α) co sα 曲线的重要参数 ,齿根过渡曲线的形状对齿根弯曲应力、齿 h t t( )1 轮的承载能力等都有直接影响。因此 ,对渐开线齿轮的齿根 y = ?rsinθi ( r θ - S ) co s (θ+α) co αs h t t过渡曲线的曲率半径进行研究具有重要意义。但是 ,目前对 θθθ式中 , S 为刀具节线长度的一半 ; 为渐开线摆角 , ?? hcj [ 1 ] 齿根过渡曲线形状的精确描述有待进一步商榷 ,而齿根过渡 ( αα ) S / r - tan+ tan [ a rcco s r / r ];为齿轮分度圆端面压 h ba t 曲线数学模型的精度将直接影响其曲率半径计算结果的准 θ力角。其中 ,为渐开线齿廓曲线与齿根过渡曲线交点处的 cj确度。渐开线摆角。齿根过渡齿廓曲线[ 1 ]任意转角位置的渐开线齿轮齿廓参数方程能准确、真数学模型 :

实的描述渐开线齿轮齿根过渡曲线上的任一点 ,因此可基于 θ( θ(θ γ)γ)x = rco s+ r - S sin + / co s 1 1hf ( )2 (该数学模型实现对渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径简称 θ( θ(θ γ)γ)y = ?rsini r - S co s + / co s hf 1 1曲率半径 )的研究 ,并揭示齿轮参数变化时曲率半径对齿根 θθθ ? ?S / r; S 为包络点距刀具中垂式中 ,为渐开线摆角 , cg f hf应力的影响规律。线的距离 ,

21 - 0. 521 渐开线齿轮的齿廓数学模型 γγ) S = S +ρ ( 1 - ε co sco s 1f hf f f

1. 1 渐开线齿轮的齿廓数学模型 γ为包络点的端面压力角 , 1

渐开线齿轮的齿廓由齿顶圆弧、渐开线齿廓曲线、齿根 H- fγ= a rc tan 1 [ 1,3 ] θr - S 过渡圆弧、齿根圆弧四段曲线构成。而齿顶圆弧、齿根 f 圆弧可在各软件环境中生成 ,故不需考虑。令参考文献 [ 1 ] θ其中 ,为齿根过渡曲线与渐开线齿廓曲线交点处的渐 cg

( ) ( )( ) ( ) δ中的式 14 、15的 = 0, 并改写式 15 , 使其与式 14 形开线摆角 ;ε为齿根过渡曲线的离心率 , f

22 2 式相近 , 整理可得 : αβco sα - co sco s t ε= f 4co sα t

( ) ( )式 1、2中及其他参数的意义及计算详见文献 [ 1,4 ]。 ( )基金项目 : 湖南省教育厅资助科研项目 06C168 收稿日期 : 2007 - 01 - 29 1. 2 模型精度分析

第 3期贺静等 :渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响75

增大。文献 [ 1 ]对齿廓模型的精度已进行了数值校验 , 为了进

( ) ( ) 一步校验其准确性 , 在 MD T环境中将数学模型 1 、2 生

(成的齿廓曲线与按范成法加工形成的包络线进行比较见图 - 41 ) , 并测量两者之间的距离 ,结果为零 ,测量误差小于 10

) (mm MD T默认精度。这表明所采用的数学模型有足够的

工程精度。

3ρ α m = 3mm = 20 ? z = 16 = 0. 38 f

?图 3 过渡曲线的曲率中心

?图 1 包络线与方程曲线

2 渐开线齿轮齿根过渡曲线曲率半径

2. 1 曲率半径计算表达式

文献 [ 5 ]阐述了基于延伸渐开线的等距曲线和欧拉 - 沙

伐尔定理的渐开线齿轮过渡曲线曲率半径的计算方法 , 按

等距线描述的齿根数学模型在螺旋角不为零时存在着误差 ,

其曲率半径计算也存在偏差。而任意转角位置的渐开线齿

轮齿廓数学模型能精确的描述齿根过渡曲线 ,因此 , 可运用 3 α ρm = 3 = 0. 38 = 20 ? z = 30 f[ 1 ]欧拉 - 沙伐尔定理 ,推导出基于此数学模型的渐开线齿轮 ?图 4 曲率半径比较齿根过渡曲线曲率半径计算表达式。按范成法用齿条型刀

具加工齿轮时 ,相当于齿轮齿条啮 3 α ρβ对 m = 3mm ,= 20?, z = 30,= 0. 38,值分别为 8 ?、 f 合。由图 2可知 ,刀具节线与齿轮节圆为两瞬心线 ,刀具齿 ( ) 16?的齿轮进行曲率半径的计算和实测 , 图 4为式 3 计算结顶圆弧与齿轮过渡曲线为一对共轭齿廓 , C 点为刀具齿顶圆 (果、等距线的曲率半径计算结果、仿真曲率半径范成法加工弧中心 , E点为瞬心线接触点 , 直线 TE 为齿廓公法线 , m - m ) 形成的包络线测量值的分析对比图。可以看出 , 按公式为刀具节线的中垂线 , n - n 过 E 点且垂直于直线 TE。根据 ( )3 计算的曲率半径和仿真曲率半径的测量值非常接近。欧拉 - 沙伐尔定理 , D 点为过渡曲线的曲率中心 , 齿根过渡

3 齿根应力计算数学模型曲线的曲率半径计算表达式为 :

3. 1 齿根应力计算数学模型 ( γ( ) γ) γ 2 Hco s+ S - S sin rHsin f 1 h f f 1 f 1 ρ( )= - 3 2在齿根应力及齿轮参数的影响分析 , 国内外的研究者已 γsin2rsinγ + H 11 f 经做了大量的工作 , 并采用不同的研究方法获得了许多有益式中各个变量的意义详见参考文献 [ 1 ]。 [ 5,8 ] 的成果。其中应用较广的是折截面法和平截面法。任

意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型能精确描述齿廓曲 5 ] [线 , 折截面法齿根应力计算公式的精度相对较高 , 因此二

者结合可构建新的应力计算数学模型 , 所构建的基于任意转

角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型的齿根任一点局部应力

的折截面法计算数学模型为

2δ hco s δγ t sin co s σ H - )( = F 4 2 2S S

() 式中 , F为作用在齿面上任一点的力 N ;

S 为过渡曲线上待求点的齿厚的一半 (mm ) , 2 齿根过渡曲线曲率半径分析图 ?图

S = xsin (π / z) - yco s (π / z) ; ( )5 g g 2. 2 曲率半径的分析比较 γ为过渡曲线上待求点处的切线与轮齿对称线之间夹 3 在 MD T中编程绘制 m = 3mm , z = 16, ρ= 0. 38 时不同角 ( rad) , f

螺旋角的齿轮齿廓曲线及过渡曲线曲率中心轨迹图 , 结果见 π θγ)γ ( = - - - ;6 g 1 图 3。可知 :随着 x值的增大 , 过渡曲线的曲率半径 ρ值随之 z

机械设计与研究第 23卷76

h为 F力作用线与轮齿对称线的交点到过渡曲线上待求点 t

处的法线与轮齿对称线的交点之间的距离 (mm ) ,

r y π b gγ )( ; - tg7 h= - S co s - a rc tg t δco sz x g

δ( ) 为 F 力作用线与轮齿对称线的垂线之间夹角 rad,

π δθα)( 8 =+- ;j t z

H 的意义见文献 [ 5 ],

γ- co s H = 2 S S γγγ3 + 2 co s + co s co s ρρ + - ln S 2 2 2 γ co s+ S S 3 ρ 2 ρ?图 5 不同时曲率半径与齿厚关系图 f ρρ

( ) 9

θ( )θ( ) ( )θγθγ其中 ,为式 1中的 ;、为式 2 中的、; x、y为由式 2 所j g 1 g g

( ) 求出的过渡曲线上待求点的坐标值 ; 由式 3 求得。其它变[ 1,5 ] 量的意义详见参考文献。

3. 2 数学模型中主要参数的分析

从齿根应力计算数学模型中可知 :在相同载荷和作用位

γρ置下 , 齿根过渡曲线上每点的局部应力值与 S、、h、有关。其t

γ中 S、、h值的精度可由渐开线齿轮齿廓数学模型的精度得以t

ρ( )保证 ,值的精度可由式 3 保证。

3 3 3 αρ渐开线齿轮的刀廓构成参数 m 、、h、c、x、的不同 a f 3 ρ?图 6 不同时曲率半径与齿根应力关系图 f γρ取值将直接影响齿轮的齿廓形状 , S、、h、等参数的值也随 t( ) 之变化。表 1是模数分别取 3mm、5mm 时 , 根据式 4 计算曲率半径时 , S变化相对平缓 , 齿根应力值主要受曲率半径的齿根最大应力值及各参数的值。由表可见 ,随着 m 值的增值影响。 ργρ加 , 虽然、S /不变 , h值增加 , 但 S 值、值同时增加 , 齿根应t3ρ分析数据表明 , 随着增大 , 齿根最大应力点的曲率半 f ρ力降低。由此可见增加值可以减小应力集中 , 提高齿根

径值和 S 增大 , 从而减小齿根最大应力。且该点位置与 S 沿 2 弯曲强度 ; S 值增加 , h/ S 的值减小 , 齿根应力减小 ; 由此可 t 曲率半径由变化幅度较大转为变化平缓的位置处相对应 , 说

见 , 齿厚变化较大时 , 曲率半径和齿厚是齿根应力的主要影明齿根形状发生突变是齿根最大应力产生的重要原因。

响因素 ; 齿厚变化较小时 , h是齿根应力变化的主要影响 t综上可知 , 增大齿根过渡曲线曲率半径可以减小齿根应

因素。力 , 因此可以通过增大刀尖圆弧半径的值达到提高齿根弯曲

表 1 不同模数 m 时 , 式 ( 4)的各计算值强度的目的。表 1 3 3 4. 1. 2 不同 h、c时曲率半径对齿根应力值的影响 a ρρ σ 3 h /mm 3 γ/ ? /mmS //M Pam /mm S /mm t 由图 7 和图 8 可知 , 减小 h 、c 的值 , 相同曲率半径处 a 3 22. 4471 2. 9995 1. 90895 6. 71545 1. 57129 109. 597 齿根齿厚减小 , 造成小曲率半径处的齿根应力值增加。但在 33 5 22. 4471 4. 9992 3. 18158 11. 1924 1. 57129 65. 7583 、c 的减小 , 齿根应力值减小。这曲率半径较大处 , 随着 h a 3 33 α = 0. 25,ρ= 0. 38 注 : z = 30,= 20 ?, h= 1, c ρ是因为曲率半径增大 , 1 /减小 , 削弱了齿厚对齿根应力的影 a f 3 3 ; 而减小 h、c 使得齿高减小 , 从而力臂 h减小 , 因此 , 此响 a t4 曲率半径对齿根应力的影响

4. 1 曲率半径对齿根应力值的影响

3 ρ4. 1. 1 不同时曲率半径对齿根应力值的影响 f

改变刀尖圆弧半径的值齿根过渡曲线形状将发生变化。

为分析此时曲率半径对齿厚和齿根应力的影响 , 应用式 ( 4 )

3 α ρ对 m = 3mm , z = 30,= 20 ?, 不同的直齿轮进行齿根应力 f

计算 , 得到齿根过渡曲线齿厚和应力随曲率半径变化趋势见

图 5和图 6。

参考图 5和 6 可知 , 增大刀尖圆弧半径系数可以整体降 3 ρ低齿根应力值 , 这是因为增大会加大 S , 从而有效降低齿 f 3 ρ根应力。在相同时 , 曲率半径较小处的齿根应力呈现较 f 3 α ρm = 3mm , z = 30, = 20 ?,= 0. 38 f 大增长。这与小曲率半径时齿厚 S 较大幅度减小有关 , 表明 3 3 ?图 7 不同 h、c 曲率半径与齿厚关系图 a 小曲率半径时影响齿根应力值的主要因素是 S 的变化 , 而大

第 3期贺静等 :渐开线齿轮齿根曲率半径对齿根应力的影响77

时主要影响齿根应力的是力臂 h。 t3 h减小时明显可见最大齿根应力值减小。这是因为减 a 3 3 小 h对力臂影响相对较大。以最大应力发生处为例 : c= a 3 0. 4 时 h= 7. 15909, c = 0. 1 时 , h= 6. 50735, 减小幅度 t t 3 3 0. 09 % ; h= 1. 0 时 h = 6. 84263, h= 0. 7 时 h = 5. 28233, atat3 3 减小幅度 22. 8% 。但增大 h、c能提高齿轮传动的重合度 , a

由此可知 , 在满足齿轮传动平稳的前提下可以选择较小的 3 3 h、c 来增大曲率半径 , 从而提高齿根弯曲强度。 a

3 α ρm = 3mm , z = 30, = 20 ?, = 0. 38 f

?图 9 不同 x时曲率半径与齿厚关系图

3 α ρm = 3mm , z = 30, = 20 ?,= 0. 38 f

3 3 ?图 8 不同 h、c曲率半径与齿根应力关系图 a

4. 1. 3 不同 x时曲率半径对齿根应力值的影响

图 9和图 10反映了不同变位系数时齿根齿厚和齿根应

3 α ρ力相对于曲率半径的变化趋势。当 x 由负变为正时 , 齿厚增 m = 3mm , z = 30, = 20 ?, = 0. 38 f 加明显 , 从而齿根弯曲强度明显提高。这表明正变位齿轮强 ?图 10 不同 x时曲率半径与齿根应力关系图度大于负变位齿轮。同时可见 , 对于正变位齿轮而言 , x的增

大未能明显改善齿根弯曲强度。

4. 1. 4 不同 α时曲率半径对齿根应力值的影响

结合图 11和图 12 可知 , 小曲率半径时 , 压力角的改变

对齿厚和应力值无明显影响。曲率半径增大到一定值后 , 齿

厚随着压力角增大其值明显增加 , 齿根应力减小。表明压力

角的改变主要影响渐开线齿轮的齿根厚度值 , 从而齿根强度

发生变化。

4. 2 曲率半径对齿根应力分布的影响 3 ρ4. 2. 1 不同时曲率半径对齿根应力分布的影响 f 3 3 ρ图 13和图 14为不同时曲率半径和齿根应力沿 X 轴 m = 3mm , z = 30, ρ= 0. 38 f f 3 α?图 11 不同时曲率半径与齿厚关系图 ρ分布情况。随着增大 , 齿根曲率半径沿齿根变化较为平 f

缓 , 齿根应力分布也趋向平缓 ; 3 ρ同时 ,增大导致曲率半径的突变点右移且值增大时 , f

与之相对应 , 齿根最大应力点同时右移且值减小。这验证了

齿根形状的突变是齿根最大应力产生的重要原因。 3 3 4. 2. 2 不同 h、c、x时曲率半径对齿根应力分布的影响 a3 3 从图 15可知 , 改变 h、c、x的值会改变过渡曲线位置、 a

弧长和每点处曲率半径的值 , 但曲率半径沿 X 轴增长趋势大

致相同。对比图 16可以发现 , 相同 X 坐标位置 , 齿根应力值 3 3 随着 h、c、x的改变而发生变化 , 而沿 X 轴应力值的变化 a

情况大致相同。由此说明 , 曲率半径沿齿根分布情况和齿根

应力分布相似。 3 m = 3mm , z = 30, ρ= 0. 38 f α?图 12 不同时曲率半径与齿根应力关系图

机械设计与研究第 23卷78

3 α ρm = 3mm, z = 30, = 20 ?,= 0. 38 3 f ρ?图 13 不同曲率半径沿齿根分布图 f 3 3 ?图 15 不同 h、c、x时曲率半径沿齿根分布图 a

3 ρ?图 14 不同时齿根应力分布图 f 3 α ρm = 3mm, z = 30, = 20 ?= 0. 38 f

3 3 ?图 16 不同 h、c、x时齿根应力分布图 a 5 结论参考文献 : ( ) 1 所采用的渐开线齿轮齿廓数学模型经进一步验

[ 1 ] 张志强 ,贺静 ,唐勇 ,等. 任意转角位置的渐开线齿轮齿廓参数证 , 能高精度地描述整个渐开线齿轮齿廓。 ( ) 方程的研究 [ J ]. 机械传动 , 2005 , 29 2 : 10 ,13. ( ) β2 所建立的曲率半径计算公式在齿轮螺旋角不为张志强 ,夏尊凤 ,唐勇 ,等. 任意转角位置的双渐开线齿轮的齿 [ 2 ] 零时 , 其精度高于等距线的曲率半径计算公式。 ( ) 面数学模型 [ J ]. 机械工程学报 , 2006 , 42 4 : 58 ,63. ( ) 张志强 ,吴宪平 , 唐勇. 任意转角位置的双圆弧齿轮的齿廓 3 基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型的 [ 3 ]

( ) 数学模型 [ J ]. 机械设计与研究 , 2005 , 21 8 : 47 ,50. 齿根任一点局部应力的折截面法数学模型经对相关主要参孙桓 ,陈作模. 机械原理 [M ]. 北京 : 高等教育出版社 , 2001. [ 4 ] 数的验证 , 能全面描述齿根应力及其分布 , 为数值分析提供吴继泽 ,王统. 齿根过渡曲线与齿根应力 [ M ]. 北京 : 国防工业 [ 5 ] 了较好的数学模型。出版社 , 1989. 3 3 3( ) ρα唐勇 ,张志强 ,许焰 ,等. 双渐开线齿轮的精确建模与特征 4 分析结果表明 : 通过加大、、x 和减小 h、c [ 6 ] f a ( ) 参数选择 [ J ]. 机械传动 , 2006 , 30 2 : 24 ,27. 可以提高齿根弯曲强度。且在靠近齿根圆部分 , 曲率半径较唐勇 , 张志强 , 许焰 , 等. 双圆弧齿轮的模态与振动响应 [ 7 ] 小 , 此时齿厚是影响齿根应力的主要因素 ; 离齿根圆较远部 ( ) [ J ]. 湖南科技大学学报 , 2006 , 21 3 : 47 ,51. 分 , 曲率半径是影响齿根应力值的主要因素。周长江 ,唐进元 , 吴运新. 基于精确模型的齿根应力和轮齿变 [ 8 ]

( ) 形载荷历程分析 [ J ]. 机械设计与研究 , 2004 , 20 3 : 67 ,70. ( ) 5 分析结果表明 :齿根齿厚相对于曲率半径的变化趋势反应了齿根应力相对于曲率半径的变化趋势 , 曲率半径 ( ) 作者简介 :贺静 1975 - , 女 , 湖南株州人 , 讲师 , 工学硕士 , 研较小时 , S 随着 ρ的增大快速减小 , 随后其变化转为平缓 , 转究方向为 CAD /CAM 和机械仿真。折点的位置为齿根最大应力易发生处。

( ) 6 分析结果表明 :曲率半径沿齿根的变化趋势可以

较好的反应齿根应力分布的趋势。

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