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范文一：错位相减法求和
考点85：错位相减法求和
1．(13山东T20) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2, a 2n =2a n +1. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式
(Ⅱ)设数列{b n }满足b b 1b 21++... +n =1-n , n ∈N * ，求{b n }的前n 项和T n . a 1a 2a n 2
【测量目标】等差数列通项公式及前n 项和公式，错位相减法求和.
【考查方式】已知{a n }为等差数列，给定S n 与{a 2n }进行逆推{a n }，再由题给出的{a n }
与的关系式错位相减求出结果.
【试题分析】（1）由于已知{a n }是等差数列，因此可以考虑用基本量a 1, d 表示已知等式，进而求出{a n }的通项公式. （2）先求出
相减法求{b n }的前n 项和.
解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1, b n ，进而求出{b n }的通项公式，再用错位a n
4a 1+6d =8a 1+4d , ? ?a +(2n -1) d =2a +2(n -1) d +1?11
解得??a 1=1(步骤1)
?d =2
因此，a n =2n -1, n ∈N *(步骤2)
(2)由已知b b 1b 21++???+n =1-n , n ∈N *， a 1a 2a n 2
当n =1, b 11=； a 12
当n …2, b n 1?1?1=1-n - 1-n -1?=n ， a n 2?2?2
∴b n 1=n , n ∈N *. (步骤3) a n 2
由（1）a n =2n -1, n ∈N *,
∴b n =2n -1*, n ∈N (步骤4) n 2
1352n -1∴T n =+2+3+???+n , 2222
1132n -32n -1T n =2+3+???++n (步骤5) 2222n 2
两式相减，得
112222n -1T n =+(2+3+???+n ) -n +1222222 312n -1=-n -1-n +1, 222
∴T n =3-2n +3(步骤6) 2n
*2. （13湖南T19）设S n 为数列{a n }的前项和，已知a 1≠0，2a n -a 1=S 1?S n ，n ∈N ．
⑴求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； ⑵求数列{na n }的前n 项和．
【测量目标】已知递推关系求通项，错位相减法求和.
【考查方式】利用递推公式a n =S n -S n -1(n …2) 消去S n 得到关于a n 的通项公式，并用错位相减法求{na n }的前n 项和．
【试题解析】⑴ S 1=a 1∴令n =1，得2a 1-a 1=a 12?a 1≠0, a 1=1. (步骤1) 令n =2，得2a 2-1=S 2=1+a 2?a 2=2．（步骤2） 当n …2时，由2a n -1=S n ，2a n -1-1=S n -1两式相减，得2a n -2a n -1=a n ，即a n =2a n -1．（步骤3）
于是{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．（步骤4） 因此，a n =2n -1, n ∈N *，
∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -1．（步骤5）
n -1⑵由⑴知，na n =n ?2n -1．记数列n ?2的前n 项和为T n ， {}
于是T n =1+2?2+3?2+ +n ?22n -1 ① ?2T n =1?2+2?22+3?23+ +n ?2n ② （步骤6） ①－②，得-T n =1+2+2+... +22n -1-n ?2n =2n -1-n ?2n ?T n =(n -1) ?2n +1, n ∈N *．（步骤7）
范文二：错位相减法求和
舒州中学高效课堂教学提纲
课题: 错位相减法求和设计者：查密
组员：尹正旺钱立虎 班级：高三（12.31）
学习目标：
1、熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式。
2、掌握错位相减法求和
教学重难点：灵活运用错位相减法求和
预学：（15‘）一、知识链接：
1、了解什么叫倒序相加法和错位相减法；
2、会灵活运用倒序相加和错位相减法来求数列的前n 项和。
二、典例分析
2x 已知｛a ｝a , a n 241、是递增的等差数列，是方程-5x +6=0的根。
｛a n ｝(1)求的通项公式；
(2)求数列??
a n ?n ??2?的前n 项和。
2、已知首项都是1*b ≠0, n ∈N ｛a ｝b {}()满足n 的两个数列n ，n
a n b n +1-a n +1b n +2b n b n +1=0。
(1)令c n =a n , 求数列{c n }的通项公式； b n
(2)若b n =3n -1, 求数列{a n }的前n 项和S n 。
互学（8‘）
1、了解什么叫倒序相加法和错位相减法；
2、会灵活运用倒序相加和错位相减法来求数列的前n 项和。
展学（7‘）：
1、首先一位同学展示本节所学最基本的知识点，温故而知新。
2、每位同学提出自己的疑问，小组先组内消化，经讨论后提出小组问题。
总学：（15’）教师点评，学生总结
范文三：错位相减法求和
错位相减法求和
d,0d类型一:已知数列是首项为，公差为的等差数列，且;数列是首项为，{a}{b}ab,nn11
q,1.公比为q的等比数列，且 ,
n
求和:. S,(ab),ab，ab，？，ab,nkk1122nn,k1
解法一(错位相减法):
? S,ab，ab，ab，？，ab，abn112233n,1n,1nn
? qS,ab，ab，？，ab，ab，abnI223n,2n,1n,1nnn，1由?—?得:
n,1dbq(1,q]n1(1,q)S,ab，db，db，？，db,ab,ab，,[a，(n,1)d]bq112311111nnnn，1,q
[(1)()]abdbqbq，d,n，qa,d,an111111[]S,，，,q n221,q(1)(1),q,q
na,b,c,a,0,S,(a,n，b)q，c.结论:存在常数且使得 ,n
注意事项:
1(可以?-?，也可以?-?，乘公比q时，要保持项结构的对应关系，如要写成 ab,(,b)q2322
3不要写成更不要将算出一个具体数(如 3,2,24).(aq)b,(ab)q2222
n,12(计算时，要注意其中等比数列的首项是还是是项还是项; (1,q)Snabdb,n112
nS,(a,n，b)q，c3(最后结果最好写成类似的形式; n
nnS,(a,n，b)q，c4(如想检查，可分别按与算出如结果均无S,S,S,S,(ab),nkk123nk,1
误，则运算正确(
nk例1:求和 S,(k,2),nk,1
123n,1nS,2，2,2，3,2，？，(n,1),2，n,2解: ? n
23nn，1 ? 2S,2，2,2，？？？？？？，(n,1),2，n,2n
1
n2(1,2)123n,1nn，1n，1,S,2，2，2，？，2，2,n,2,,n,2由?—?得: n1,2
n，1S,(n,1),2，2故 n
n，11，12，1S,(n,1),2，2检验:按计算得: S,(1,1),2，2,2,S,(2,1),2，2,10,n12
nk3，11S,(3,1),2，2,34;按计算得: S,1，2,2,S,(k,2),n31k,1
23S,S，2，2,10,S,S，3，2,34.完全吻合，可确认结果无误( 2132
n1，，k,1:求和 例2S,(,3k，2)(,),,n,,2，，k,1
111k,1kk,1解: ？,k,N*,(,3k，2),(,),(2k),(,),2(k,1),(,),22211kk,1设 c,(2k),(,),c,2(k,1),(,),k，1k22
1n ？S,(c,c)，(c,c)，？，(c,c),c,c,(2n),(,).n2132n，1nn，112nk例3:求和 S,(k,2),nk,1
n，1n，11,xx1,,,2n2n解:？1，x，x，？，x,(x,0,1) xxx(1？)(),？，，，，,,x1,1,x
1nn，,(n，1)x(1,x)，(1,x)21n,1，2x，3x，，nx,即: ？2(1,x)
1nn，,(n，1)2(1,2)，(1,2)21n,nx,2当时， 1，2,2，3,2，？，n,2,,(n,1)2，12(1,2)
nk2n,1n，1 ？S,(k,2),2(1，2,2，3,2，？，n,2),(n,1)2，2,nk,1
2
范文四：错位相减法求和
1. （12江西T16）
已知数列{a n }的前n 项和S n =-
（1）确定常数k ，求a n ；
（2）求数列?12n +kn (k ∈Ν+) , 且S n 的最大值为8. 2?9-2a n ??的前n 项和T n . n 2??
【测量目标】错位相减法求和.
【难易程度】中等
【试题解析】（1）当n =k ∈Ν+时，S n =-
故k =4，从而a n =S n -S n -1=
又 a 1=S 1=1211n +kn 取最大值，即8=-k 2+k 2=k 2， 2229-n (n …2) ，(步骤1) 279，∴a n =-n . （步骤2） 22
9-2a n n 23n -1n =+b =1+++++n -1， （2） b n =，……T =b +b +n n 12n n -12n -2222222
11n 1n n +2∴T n =2T n -T n =2+1++... +n -2-n -1=4-n -2-n -1=4-n -1. （步骤3） 222222
2.(11四川T20)
设d 为非零实数，a n =112n -1n -1n n *(Cn d +2C 2d + +(n -1)C d +n C d (n ∈N ) n n n n
(1)写出a 1, a 2, a 3并判断{a n }是否为等比数列. 若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设b n =nda n (n ∈N *) ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
【测量目标】等比数列的通项，错位相减法求和，根据数列的前n 项求数列的通项公式.
【难易程度】较难.
a 1=d
【试题解析】（1）a 2=d (d +1)
a 3=d (d +1) 2
1223n -1n n -1a n =C 0
n d +C n d +C n d + +C n d =d (1+d )
a n +1=d (1+d ) n
a n +1=d +1a n
因为d 为常数，所以{a n }是以d 为首项，d +1为公比的等比数列. （步骤1）
（2）
b n =nd 2(1+d ) n -1
S n =d 2(1+d ) 0+2d 2(1+d ) 1+3d 2(1+d ) 2+ +nd 2(1+d ) n -1=d 2[(1+d ) 0+2(1+d ) 1+3(1+d ) 2+ +n (1+d ) n -1](1)(1+d ) S n =d 2[(1+d ) 1+2(1+d ) 2+3(1+d ) 3+ +n (1+d ) n ](2)（步骤2）
1 (1-(1+d )) n
（2）-（1）=dS n =-d [+d 2n (1+d ) n ]=d +(d 2n -d )(1+d ) n 1-(1+d ) 2
∴S n =1+(dn -1)(1+d ) n （步骤3）
3. （10宁夏T17）
设数列{a n }满足a 1=2, a n +1-a n =3 22n -1,
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）令b n =na n ，求数列的前n 项和S n
【测量目标】错位相减法求和.
【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，
a n +1=[(a n +1-a n ) +(a n -a n -1) + +(a 2-a 1)]+a 1
=3(22n -1+22n -3+ +2) +2
=22(n +1-) 1. (步骤1)
而a 1=2, 所以数列{a n }的通项公式为a n =22n -1. (步骤2) （Ⅱ）由b n =na n =n 22n -1知
S n =1 2+2 23+3 25+ +n 22n -1 ①(步骤3) 从而 22 S n =1 23+2 25+3 27+ +n 22n +1 ②(步骤4) ①-②得
2 (1-2 ) S n =+23+25+2 +n -22-1n n +2 . 2
2n +1+2].(步骤5) 即S n =[(3n -1)21
9
4. （10四川T21）
已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有 a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n ) 2
（Ⅰ）求a 3，a 5；
（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *) ，证明：{b n }是等差数列；
－（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n ) q n 1(q ≠0，n ∈N *) ，求数列{c n }的前n 项和S n .
【测量目标】等差数列的性质，错位相减法求和，等差数列的通项.
【难易程度】较难
【试题解析】
（Ⅰ）由题意，令m =2, n =1可得a 3=2a 2-a 1+2=6. （步骤1） 再令m =3, n =1可得a 5=2a 3-a 1+8=20. （步骤2）
当n ∈N *时, 由已知(以n +2代替m ) 可得
（Ⅱ）a 2n +1+a 2n -1=2a 2n +1=8（步骤3）
于是[a 2(n =1) +1-a 2(n +1) -1]-(a 2n +1-a 2n -1) =8即
b n +1-b n =8. 所以，数列{b n }是公差为8的等差数列. （步骤4） （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知{b n }是首项b 1=a 3-a 1=6, 公差为8的等差数列. 则b n =8n -2. 即a 2n +1-a 2n -1=8n -2, （步骤5）
令由已知（令m =1）可得，
那么, a n +1-a n =a 2n +1-a 2n -1
2a 2n -1+a 12-(n -1), （步骤6） 28n -2-2n +1=-2n +1=2n 2a n =
于是，c n =2nq n -1（步骤7）
当q =1时，S n =2+4+6+ +2n =n (n +1). （步骤8） 当q ≠1时，S n =2 q 0+4 q 1+6 q 2+ +2n q n -1. （步骤9） 两边同乘q 可得qS n =2 q +4 q +6 q + +2(n -1) q 123n -1+2n q n （步骤10） 上述两式相减即得
(1-q ) S n =2(1+q 1+q 2+q 3+ +q n -1) -2n q n
1-(n +1)q n +nq n +11-q n
n =2 -2nq =21-q 1-q
nq n +1-(n +1)q n +nq n +1
所以S n =2（步骤11） 2(q -1)
?n (n +1)(q =1)?n +1n n +1综上所述，S n =?nq -(n +1)q +nq （步骤12） 2q ≠1()2?q -1()?
5.(09全国I T20)
在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=(1+) a n +
（I ）设b n =1n n +1 n 2a n ，求数列{b n }的通项公式； n
（II ）求数列{a n }的前n 项和S n .
【测量目标】已知递推公式求通项，错位相减法求和.
【难易程度】较难
【试题解析】（I ）由已知有a n +1a n 1=+， n +1n 2n
1 即 b n +1=b n +n ， 2
1从而 b 2=b 1+ 2
1b 3=b 2+2 2
…
1(n …2) （步骤1） 2n -1
111于是 b n =b 1++2+…+n -1 222
1 =2-n -1(n …2) （步骤2） 2b n =b n -1+
又 b 1=1
所以数列{b n }的通项公式: b n =2-
（II ）由（I ）知a n =2n -
n 1*n ∈N () （步骤3） n -12n , n -12n n k k ∴S n =∑(2k -k -1) =∑(2k ) -∑k -1（步骤4） 2k =1k =1k =12
n
而∑(2k ) =n (n +1) , 又∑k =1k 是一个典型的错位相减法模型， k -1k =12n
易得 ∑2k =1n k k -1=4-n +2n +2+-4（步骤5） =n (n +1) S ∴n n -1n -122
范文五：数列求和--错位相减法
《数列求和---错位相减法》导学案
考纲解读：
用错位相减法进行简单的数列求和多出现在大题中，会用错位相减法进行简单的数列求和; 导学目标：
1.掌握错位相减法求数列的和。(重难点)
2.提高分析问题解决问题的能力，进一步培养学生逻辑推理能力。 3.体现自主学习，体会数学学习中的成功。 知识衔接:
想一想，写出等比数列前n 项和公式的推导过程.
课堂探究:
求数列1?2, 2?22
, 3?23
,..., n ?2n
,... 的前n 项和S n .
解：s n …①， ①式两边同乘得 s n …②， ①-②，得 = = = ∴
s n =
思考：
1.数列的通项具有什么特点时用错位相减法求和？
2.错位相减法的具体操作步骤是什么？
追踪练习：求数列1?3, 3?32, 5?33,..., (2n -1) ?3n ,... 的前n 项和S n .
我的收获:
作业：
1. 求数列{n ?3n
}的前n 项和S n .
2. 已知数列
{a n }的通项公式为a
n
=(2n -1) ?(1
) n 求该数列的前n 项和S n 2
.
3．求S =1+2x +3x 2+4x 3+ +(n +1) x n
的值.
