老湿弟
范文一：基于自相关函数相位的正弦信号频率估计新算法
: ,,, ,J,, ,2014,54 ( 1 ) : 63 , 67, ,HUANG Chao,SUO Ji , 引用格式黄超索继东于亮基于自相关函数相位的正弦信号频率估计新算法电讯技术
dong,YU Liang, A Novel Algorithm for Estimation of Sinusoid Frequency Based on Argument of Sample Autocorrelation Function ,J,, Tele-
,communication Engineering,2014,54( 1) : 63 67,,
* 基于自相关函数相位的正弦信号频率估计新算法
1，2，,,1 3，，黄 超索继东于 亮
( 1, ; 2, ,116026, 大连海事大学大连理工大学 信息科学技术学院辽宁 大连 城市学院 电子与自动化学院
116600; 3, ,116600)辽宁 大连 大连理工大学 软件学院辽宁 大连
: ,,。摘 要针对加性高斯白噪声的正弦信号提出了基于自相关函数相位的频率估计新算法首先推
,,导了一种新的自相关函数相位的频率估计式然后针对频率估计范围与频率估计精度之间的矛盾
,,6 dB ,。问题提出了一种消除相位模糊的方法算法分析与仿真结果表明在信噪比高于 时估计方
( C,LB) ,TSA ,,,差接近克拉美罗下界与 算法相比在估计性能相同条件下具有更低的计算量便于
。工程实现
: ; ; ; ; ; 关键词正弦信号频率估计自相关函数估计范围克拉美罗下界相位模糊消除
: TN911, 72 : A : 1001 ,893X( 2014) 01 ,0063 ,05中图分类号文献标志码文章编号
A Novel Algorithm for Estimation of Sinusoid Frequency Based on
ArgumentofSampleAutocorrelationFunction
1,2 1 3,HUANG Chao,SUO Jidong,YU Liang
( 1, Institute of Information and Technology,Dalian Maritime University,Dalian 116600,China; 2, School of Electronic
Engineering and Automation,City Institute of Dalian University of Technology,Dalian 116600,China;
3, School of Software Technology,Dalian University of Technology,Dalian 116600,China) Abstract: A new carrier frequency estimation algorithm based on the argument of the sample autocorrelation function in additive white Gaussian noise( AWGN) is proposed, Firstly,a formula for frequency estimation
on the argument of the sample autocorrelation function is derived, Secondly,a phase ambiguity re- based
moval method for solving the contradiction problems between estimation range and estimation accuracy , Al- gorithm analysis and simulation results show the estimation variance of the proposed algorithm is close to
,,,the Cramer,ao low bound( C,LB) when the signaltonoise ratio( SN,) is higher than 6 dB and the cal- culation amount is smaller under the same estimation variance compared with the TSA algorithm and also easy for engineering realization,
, Key words: sinusoid signal; frequency estimation; autocorrelation function; estimation range; Cramer ,ao low bound; phase ambiguity removal
,FFT 如基于 的频 从频域和时域两个角度进行分析1 引 言 ,1,2,。率估计算法本文从时域的角度对频率估计算 ,对淹没于噪声中的正弦信号进行频率估计无
。 论在理论中还是在实际应用中都具有非常重要的研 法 进 行 研 究传统基于时域的自相关方法
: V, Pisarenko 有,,利用少量的自相关函数进行频率估 究价值国内外众多学者对此做了大量的研究主要
: 2013 ,11 ,06; : 2013 ,12 ,19 ,eceived date: 2013 ,11 ,06; ,evised date: 2013 ,12 ,19, 收稿日期修回日期 : 39273591@ qq, com Corresponding author: 39273591@ qq, com,, 通讯作者
,3,,:如下式所示 率估计,,K, Lui ; 计此类方法计算简单但其性能不高等 2 2 r r,3,,人在在文献的基础上加以改进并定义新的自 +,4,+2 2 r 8槡15) ) ( Pisarenko ,,相关函数但由于选取的自相关函数系数较低 ^ = arccos( ω0 4r 1 ; K, Lui ,4,估计性能受到限制等人在文献的基础 Pisarenko ,算法虽然计算量小但是频率估计方 ,5,,,上加以修正采用较高序号的自相关系数使得 C,B 。差和 相差较大为了进一步减小频率估计偏
,,估计性能得到一定的提升但是在信噪比偏低时估 , L ,KuiPHD,差等人在 算法的基础上加以改进提
,4,; 计性能不够理想为了充分挖掘自相关函数包含的 K, Lui 。Pisarenko 出了 算法其算法仅对 算法的
,,im,H, C, So,Yan Cao 频率信息等人尽可能地利 r、r,r、r,进行重新定义改进了 的估计性能如下 1 2 1 2 ,6,8,,用多个自相关函数进行频率估计使得估计性 :式所示 , N 1 ,; 能得到很大提升但同时算法的计算量也增大为了 ^= , + , rp( n 1) ,p( n) p( n 2) , ( 6) 1 ?,K, Lui 进一步提升频率估计性能提出了两步自相 = n 4 , N 1 ,9,,Yan Cao 关算法等人提出了基于扩展自相关的 ^= , + , rp( n 2) ,p( n) p( n 4) , ( 7) 2 ?,10,,频率估计算法在低信噪比估计性能得到进一步 = n 4
,( 5) 于是式可改写为 ,,改善在中高信噪比时频率估计方差接近克拉美罗 ,11,2 2^^^ ( C,LB) 。,,r r下界然而在现有很多算法中估计性 +2 2 =槡) ( arccos( 8) KPHD ^ 0 ω能的提升都是利用更多的自相关系数或者多步自相 +r 81
^4r 1,,关函数这样必然会带来算法计算量的增大即存在 ,TSA 算 为了进一步提高载波 频 率 估 计 性 能
。 ,9,频率估计精度与算法复杂度的矛盾问题为了解决:法利用更多的自相关函数进行频率估计
,上述问题本文同样从自相关函数的角 2 2 +ΛΛ 2 2 ) ( 9) ,,槡度充分利用自相关函数包含的频率信息推导了一 = TSA arccos( ^ 0 +8Λ ω1 ,种新的自相关函数相位的频率估计式并且针对频率 4Λ 1:其中 ,M 估计范围与频率估计精度之间的矛盾问题提出了一 M = = Λ,ΛΛ,Λ。,种消除相位模糊的方法计算机仿真表明在信噪比 1 ?1,m 2 ?2,m = m 5 = m 5 ,,LB) ,A( CTS较高时估计方差接近克拉美罗下界与 , m 1 = + Λλ( λλ) ,, , 1,m ?k 1,mk,m k 2,m ,,算法相比在估计性能相同条件下本文算法的计算 = k 4 , m 1 ,。量大大降低具有很好的应用价值 = + Λλ( λλ) ,, , 2,m ?k 2,mk,m k 4,m = k 4 , + N m k 2 正弦信号频率估计算法原理 , + , p( n k) ,p( n) p( n 2k) ,。 = λk,m ? = + + n m 1 k 设混 有 高 斯 加性白噪声的单频正弦信号表 ,TSA 算法经过自相关函数的 从上式可以看出
示式为 ,多次组合充分挖掘自相关函数包含的频率信息进 p( t) = a?cos( t+) +t) ( 1)( ωθη 0 ,,SN,0 dB行频率估值理论分析及仿真结果表明? ,a、、、、,( t)其中ωθ 分别为信号的幅度频率相位η 0 ,C,LB,;时频率估计方差接近 且频率估计范围宽 2 、。为均值为零方差为 σ的加性高斯白噪声对其在 3 O(N) ) ,( 成正比不利 但是其算法的计算量较大与
0tT N ,观察时间 ??内进行采样 个样本值于是得 。于实时信号的处理
到离散序列为
p( n) = a?cos( n+) +( n) ,0nN,1 ( 2)ωθη?? 0 3 本文提出的新的频率估计式 对上式定义其自相关函数为 , N k ,,目前基于自相关函数的频率估计算法中很多 1 = + r p( n) p( n k) ( 3) k ?,, 都是通过利用多个自相关系数使得频率估计的性 N k = n 1 ,8,10,,9, ,Yan 、TSA ,能得到提升如 算法算法等但同 N ,,10,,3) ( 当 足够大时由文献可知式可写为
2 ,时会带来计算量的增加不利于实时通信的信号处 aE,r,? kcos( k) ,1kN,1 ( 4)ω?? 0 。,2 理针对频率估计精度与算法复杂度的矛盾问题
,3,进行频 ,Pisarenkor 、r本文从自相关函数相位的角度推导了一种新的频 算法利用低阶自相关 1 2
,。 率估计式较好地解决了上述矛盾问题
由正弦信号的三角函数特性可知
cos( k) +cos( ( k+2?m) ) =ωω 0 0
2cos( ?m) cos( ( k+m) ) ( 10)ωω 0 0
,:于是可得下式
^^^?r+r= 2cos( m) r,k，0 ( 11)ω ++k km 0 km 2
,为了 进一步提高频率估计性 能对 上 式 进
:行展开
q q ^^^^r( r+ r) = 2cos( ?m) r2 ω + + + ?k mk k 2m 0 ?k m= = k p k p 2 m 图 不同 值的估计性能 Fig, 2 Mean square error versus m ( 12)
,p1,pq N , 2m , 1。,,0,/ m) 。( 其中?? ? 于是可得出本文新 以上仿真中假设频率范围为π 从图 1 2 ,,( p,q, 和图 可以得出为了提高频率估计精度:的频率估计式 m) ,( p = 1,q = 50,m =参数的取值很关键不难得出 q ) ( p = 1,q = 50,m = 1 ) ( p = 1,q =的性能会好于及 ^^^+ ,r( rr) ,+ + ?k mk k 2m = k p 60 ^ cos( ?m) =q = ( p,q,m)ω β 0 2 1,m = 60) ; m，1 , 的性能而 时会缩小频率估计范围^( 2r) ?+ ^ = k m k p ,( 0,) ,为了扩大估计范围即 ω? π此时 ξ有 m,p,q m
( 13) 2m+1 ,,种可能的值即存在相位模糊问题为了准确 由上式可得频率估计值为 ,,地找 出 ξ值消 除 相 位 模 糊可 采 取 以 下 措 施 m πξ2o( pqm) m …) :arccs,,,,( =1,2,,, βm 令 ε +( 14) ^ =ωm,p,q m m ( 1) m = 1,,= 0,此时不存在相位模糊问题即 ξ 1 ,。式中ξ为整数 ^m ω ;可求出频率估计值 1,p,q
( p,q,m) ,为了研究参数对频率估值的影响对 ( 2) m = 2,求出 ^ 。,( ?m) ( 0,上式进行了仿真在仿真中当ω在 ^ m,p,q arccos,( p,q,2) ,+ , β πξω2 1,p,q ) ,= 0,a = 1,=2 π范 围 内 时此 时 ξ令 信 号 幅 度 θ min m 0,= 0, 01,SN, = 10 dB,N = 200,p = 1 ( ^ωπ蒙特卡洛 0 ,13 ) ( 时对应的 ξ再根据式 求出频率估计值 ω 2 2,p,q 100 ) 。1 m = 1 q 仿真 次图 给出了 时不同 值时的频 ( ? ) ;为取最小值 min
,1 ,q ,率估计方差从图 可以看出随着 值增大估计 3) ;( 以此类推
,q 50 ,性能不断提升当 为 左右时估计性能逐渐接 ,( 4) m = ε求出
2πξarccos,β( p,q,ε) , 。2 q = 1 m ε 近最佳值图 给出了 时不同 取值的估计 ^+ , ω,1,p,qε ,2 ,m 60 ,方差从图 可以看出当 为 左右时频率估 ε ε min
。计性能最佳 ^ ,13) 。( 时对应的 ξ再根据式求出频率估计值 ω ε ε,p,q ,q 综上可知值的增大会带来频率估计精度的
,,,提升但同时会导致计算量过大因此在实际应用
,。中应综合考虑估计性能和计算量之间矛盾的问题
4 计算量及性能分析
4, 1 计算机仿真及性能分析
MATLAB ( 本节通过计算机 仿真实验蒙特卡洛
100 ) 。仿真 次来验证本文提出算法的估计性能图
3 SN, = 10 dB ,给出 时不同频率处的性能比较本文
( m = 50,p = 1,q = 70 ) 频率估计算法的性能在 ω? q 0 1 图 不同 值的估计性能
,0, 15,0, 85,,LB,ACTSππ达到 频率估计范围与 Fig, 1 Mean square error versus q
,9,,5,,9,3 ,K, Lui 算法相当都宽于 算法的频率估计法范 O( N) ) 。( 8 ) 、( 算法的计算量与 成正比由式式 ,5, 9) 、( 13) ,K, Lui ( 式可以看出算法 只利用几个自 4 = 0, 3、N = 200 。围图 给出了 ωπ时不同信噪比下 0
,,,SN, ，0 dB ,相关系数进行频率估计本文算法利用多个自相关 各种算法的性能比较可以看出在 时
,9, ,m = 50,p = 1,q = 50,m = ,A ( TS随着信噪比增大本文算法系数且通过递推的方式求出频率值而 算法
p = 1,q = 70 m = 50,p = 1,q = 80) TSA 及 与 算法的 ,是在一步自相关的基础上再作自相关运算其计算 50,
,LB,,C估计性能相当都接近于 且性能都好于 。4 ,( m =量最大从 图 本 文 算 法 的仿真结果来看,5,K,Lui ; SN, ，0 dB ,SN, ,随着 算法在 时的减小50,p = 1,q = 80) TSA 与 算法的频率估计性能非常接
,9,,LB C估 计性能偏离 的程度从大到小依次为 ,A 2 /5,TS近但本文算法的计算量约为 算法的 非 ,5,K, Lui 、( m = 50,p = 1,q = 50 ) 、算法本文算法 本。常有利于信号的实时处理
( m = 50,p = 1,q = 70 ) 、( m = 50,p 文算法 本文算法 1 表 算法计算量比较 ,9,= 1,q = 80) TSA 。和 算法 Table 1 Comparison of arithmetic operations
算法 加减 乘 本文算法 2 2 2 174,++2 N 3 N3N1 = = ( p 1,q 2N/ 5, + N5 4 5= m 3N/ 10)
K, Lui 4N,12 2N,7算法
4 2 2 3 + , ,8 2 2 3 NM M M +, ,NMMM 2TSA 算法 3 3 ,= ( M ( N1) /2) 26 ,+M16N104 +32N224 3
3 图 不同频率处的性能比较
Fig, 3 Mean square error versus ω 05 结 论 充分利用自相关函数包含的频率信息进行频率
,。估计可以使估计性能得到提升本文针对加性高
,斯白噪声的正弦信号提出了基于加窗自相关函数
。相位噪声的频率估计算法文中推导了自相关函数
,相位噪声的频率估计式并针对频率估计范围与频
,率估计精度之间的矛盾问题提出了一种消除相位
。,,模糊的方法仿真结果表明在信噪比较高时估计
( C,LB) ,方差接近克拉美罗下界 且在估计性能相
,TSA ,同条件下与 算法相比本文算法的计算量大 ,。大降低在工程上具有很好的应用价值 4 图 不同信噪比下的性能比较
,,然而在现有的众多算法中低信噪比时的估计 Fig, 4 Mean square error versus SN,
, 性能还是不够理想如何更好地挖掘自相关函数包
,,,,q含的频率信息降低频率估计的信噪比阀值将是我 综上分析可得在信噪比较高时本文算法中
。们进一步研究的内容 ( q ,,q = 50,) 值可以选择较小值越小计算量越小如
C,LB; ,其估计性能也接近 在信噪比较低时本文算 :参考文献 q ,q = 80,法中 值可以选择较大如 其估计性能偏离 C,LB 。最小 ,1, ,,, 王宏伟赵国庆齐非林一种实时精确的正弦波频率
4, 2 ,J,, ,2009,24( 2) : 208,算法复杂度比较 估计算法数据采集与处理
211, ,, , WANG Hongwei,ZHAO Guo qing,QI Fei lin, ,1 ,从 表 可 以 看 出本文算法的计算量 , eal Time and Accurate Single Frequency Estimation 2 ,5,( O( N) ) K, Lui ,ATS与 成正比高于 算法低于 Approach
,J,, Journal of Data Acquisition , Processing,2009,24
,,( 2) : 208211, ( in Chinese) So H C, Twostage autocorrelation approach for accu,9, Lui K,-
,2, ,,,, rate single sinusoidal frequency estimation,J,, IEEE Trans- 路伟涛杨**洪家财等一种新的正弦信号频率和初
,actions on Signal Processing,2008,88 ( 7) : 18521857, ,J,, ,2012,52( 9) : 1459,1464,相估计方法电讯技术
, , ,10, Cao Yan,Wei Gang,Chen Fang Jiong, A Closed , , , LU Wei tao,YANG Wen ge,HONG Jia cai,et al, A
formExpanded Autocorrelation Method for Frequency Novel Method for Frequency and Initial Phase Estimation
Estimation of A Sinusoid,J,, IEEE Transactions on , of Singletone Signals,J,, Telecommunication Engineer-
,Signal Processing,2012,92 ( 4) : 18521857, ,ing,2012,52( 9) : 14591464, ( in Chinese)
,11, Funga H W,Alex C,Kotb K H Li,et al, ParameterEsti- ,3, Pisarenko V, The retrieval of harmonicsby linear predic-
mation of A ,eal Single Tone from Short Data ,ecords tion,J,, Geophysical Journal of the ,oyal Astronomical
,J,, IEEE Transactions on Signal Processing,2004,84 ,Society,1973,33( 5) : 347366, ,( 3) : 601617, ,4, Lui K,So H C, Improved Variant of Pisarenko Harmonic Decomposition for Single Sinusoidal Frequency Estimation :作者简介 ,J,, IEICE Transactions on Fundamentals of Electron- ( 1978—) ,,,,黄 超 男江西九江人讲师 ics,Communications and Computer Sciences,2007,90 ,;博士研究生主要研究方向为通信信号处理 ,( 11) : 26042607, HUANG Chao was born in Jiujiang,Jiangxi ,5, Lui K,So H C, Modified Pisarenko Harmonic Decomposition Province,in 1978, He is now a lecturer and cur- ,for Singletone frequency estimation,J,, IEEE Transactions rently working toward the Ph, D, degree, His re- ,on Signal Processing,2008,56( 7) : 33513356, search direction is communication signal pro- ,,,6, ElasmiKsibi ,,Besbes H,L pez Valcarce ,,et cessing, , , al, Fre- quency estimation of real valued single tone Email: 39273591@ qq, com,hcph98@ 163, com in colored noise using multiple autocorrelation lags( 1959—) ,,,、, 索继东男辽 宁 盘 锦 教人 授博 士 生 导 师,J,, IEEE Transactions on Signal Processing,2010,- ;主要研究方向为导航与雷达信息系统 ,90( 7) : 23032307, , SUO Ji ong was born in Panjin,Liaoning Province,in d
,7, So H C,Chan K W, ,eformulation of Pisarenko harmonic 1959, He is now a professor and also the Ph, D, supervisor, His
, decomposition method for single tone frequency estima- research concerns navigation and radar information system, tion,J,, IEEE Transactions on Signal Processing,2004, ( 1980—) ,,,,,于 亮 女辽宁大连人硕士讲 师主 要 研
,52( 4) : 11281135, 。究方向为计算机语言及日语
,,8, Cao Yan,Wei Gang,Chen FangJiong, An exact analysis YU Liang was born in Dalian,Liaoning Province,in of Modified Covariance frequency estimation algorithm 1980,She is n ow a lecturer with the M, S, degree, Her research
, based on correlation of single tone,J,, IEEE Transac- con- cerns computer language and Japanese language,
,tions on Signal Processing,2012,92 ( 4) : 27852790,
2013 本刊 年版影响因子年报发布
( ) 《根据中国学术期刊光盘版电子杂志社和中国科学文献计量评价研究中心发布的中国学术期刊影响
( ?2013 ) 》,2012 ,因子年报自然科学与工程技术版本刊 年多项文献计量评价指标较上年均有提高综合影
12, 54% ,71% 。响因子增幅达 高影响力作者发文增幅达
,133 58 ,133 年报显示本刊的复合影响因子在 种同类期刊中排名 位期刊综合影响因子在同类 种期刊
50 ,100 36 ,。中排名第 位技术研究类影响因子在同类 种期刊中排 位与上年度相比排位总体一致
2012 ,,。,web web 由于本刊 年载文量达到了历史新高使得分母增大影响因子有所下降此外下载量和
,,即年下载率均下降明显这主要是因为本刊论文在门户网站提供免费下载以扩大影响力从而对国内有关数
。据库和网站的在线下载造成了冲击
,,虽然年报发布的仅只反映了统计时段内的期刊发展状况作为参考但某些指标的明显变化应引起重 ,。,,,视值得深入思考编辑部将针对具体情况努力采取措施以进一步提高质量为中心逐步提升核心竞争 ,,,。力办出特色搭建更高层次的学术交流平台实现本刊的可持续发展
本刊编辑部
范文二：正弦函数的图像
2010-2011学年度第2学期数学科必修3导学案 编号:005 班级: 姓名: 学习小组: 层级编码: 组内评价: 教师评价:
主备人:周春玲 张 华 审核: 包科领导: 年级主任: 使用时间:
5.2 正弦函数的图像
【学习目标】
1(会运用单位圆中的正弦线及“五点法”作出正弦函数y=sinx,x?R的图像。
2(通过正弦函数y=sinx,x?R图像的产生过程，抽象概括“五点法”，培养作图、识图及分析概括能力。
3(在正弦函数图像的作图过程中，进一步渗透数形结合的思想方法，培养用运动变化的观点来认识事物。 32、作出的简图，判断其与直线的交点的个数。 y,y,1，sinx,x,[0.2π]【重点难点】 2重点:利用“五点法”作正弦函数图像。 难点:用正弦线作函数y=sinx，x?R的图像。 【使用说明与学法指导】
1(预习课本22-25页，完成问题导学。
2(用红笔勾画出疑惑点，独立完成导学案并总结归纳。
3 (带的,C层可以不做。
一、问题导学
1、正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称有向线段 为角α
的正弦线。
2、正弦函数的图像作法
(1)描点法:按 、 、 的顺序，可作出正弦函数的图像。 1y,，sinx*3、求函数的定义域。 (2)几何法:利用正弦线可作出y=sinx,x?[0，2π]的图像;要得到y=sinx(x?R)的图像，只需通过 即2可，此时的图像叫 。
(3)五点法:作y=sinx,x ?[0，2π]的图像时，取的五个点是 、 、 、
和 。
3、函数y=1—sinx，x?[0，2π]的大致图像是( )
三、当堂检测 二、合作探究
四、归纳小结 1、用五点法作出函数y,3sinx(x,[0.2π])的简图。(先列表，再描点作图。)
知识方面: 。
数学思想与方法: 。
?
?
? 之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。
? 顶 2 收藏 3
? ? 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，? 无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何? 如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 ? 顶 4 收藏 5
? ? 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着? 微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 ? 顶 3 收藏 5
? ? 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，? 也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 ? 顶 4 收藏 3
? ? 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，? 他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一? 个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到? 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的爱的缠绵，飞翔的滋味。
洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 1 收藏 1
? 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地顶 3 收藏 2
? 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人柔和。漫天的安静。 很排外。事实上，什么都不是绝对的。
顶 7 收藏 7 顶 2 收藏 0
? 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了? 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 11 收藏 9 顶 2 收藏 1
? 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐? 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠
? 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷顶 0 收藏 2
? 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗鼻;无过一个梦，决定从那里启程。
了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻顶 0 收藏 0
而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的? 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 0 收藏 0
? 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的顶 3 收藏 4
? 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站顶 0 收藏 0
在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，? 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 2 顶 0 收藏 0
? 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高? 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 1 收藏 3 顶 0 收藏 0
? 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐? 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自
2010-2011学年度第2学期数学科必修3导学案 编号:005 班级: 姓名: 学习小组: 层级编码: 组内评价: 教师评价:
己一定做得更好。
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? 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。
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? 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。
顶 0 收藏 0
? 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。
顶 0 收藏 0
? 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻??我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。
范文三：正弦函数的性质
正弦函数的性质：编辑本段
解析式：y=sinx 图象：波形图象 定义域：R
值域：【-1，1】 最值：
①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1 ②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1 零值点： (kπ,0) 对称性：
1) 对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称 2) 中心对称：关于点(kπ,0)对称 周期：2π 奇偶性：奇函数
单调性：在【-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ】上是增函数，在【(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ】上是减函数
余弦函数的性质： 余弦函数
图象：波形图象 定义域：R
值域：【-1，1】 最值：
1）当x=2kπ时,y(max)=1
2）当x=2kπ+π时,y(min)=-1 零值点：(π/2+kπ,0) 对称性：
1）对称轴：关于直线x=kπ对称 2）中心对称：关于点(π/2+kπ,0)对称 周期：2π
奇偶性：偶函数
单调性：在【2kπ-π,2kπ】上是增函数 在【2kπ,2kπ+π】上是减函数
tan15°=2-√3 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3
性质
1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z} 2、值域：实数集R 3、奇偶性：奇函数
4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，（k ∈Z ）上是增函数 5、周期性：最小正周期π（可用T=π/|ω|来求） 6、最值：无最大值与最小值 7、零点：kπ,k∈Z 8、对称性：
轴对称：无对称轴
中心对称：关于点(kπ/2,0)对称（k ∈Z ） 9、图像（如图所示）
实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外, 所有x=(2/n)π点都是它的对称中心. 诱导公式
tan(2π+α)=tanα tan(－α) =－tanα tan(2π－α)=－tanα tan(π－α) =－tanα tan(π+α) =tanα
tan(α+β) =（tanα+tanβ）/（1-tanα×tanβ） 12．正弦（sin ）等于对边比斜边；
余弦（cos ）等于邻边比斜边； 正切（tan ）等于对边比邻边； 2．互余角的三角函数关系
sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。 3．同角三角函数间的关系 商数关系：sinA/cosA=tanA
平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1 积的关系： sinA=tanA·cosA cosA=cotA·sinA cotA=cosA·cscA tanA·cotA=1
正弦：第一，二象限为正，第三，四象限为负 余弦：第一，四象限为正，第二，三象限为负 正切：第一，三象限为正，第二，四象限为负 反三角函数主要是三个：
y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条； y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条；
y=arctan(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条； sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 其中R 是三角形的外接圆半径。
范文四：正弦函数的图像
《正弦函数的图像》教学设计
教学目标:
(1)知识与技能
理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法。
(2)过程与方法
理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法。
(3)情感、态度与价值观
理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法。
教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象。
教学难点:用五点法作出正弦线作正弦函数的图象。
教学过程:
(一)、引入
一、回顾三角比的定义:
新疆王新敞奎屯1,,设是一个任意角，在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)
2222则P与原点的距离 r,x，y,x，y,0
yy,sin,,2(比值叫做的正弦 记作: rr
xx,cos,,比值叫做的余弦 记作: rr
y)(x,yyP,tan,,比值叫做的正切 记作: xxr
xx,,,cot,比值叫做的余切 记作: yy
1
二、三角函数的概念:
以上四个三角比，可统称为三角函数。
(二)、新课
1(正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，
y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
xysin,,,MP，cos,,,OM rr
有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线。
2(用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象(几何法):
为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数(在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识(
新疆王新敞奎屯第一步:列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线(在直角坐标
OO系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交11
点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到
2
,,,对应于角，，,?，2π的正弦线及余弦线(这等价于描点法0,632
中的列表)(
第二步:描点(我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(
新疆王新敞奎屯第三步:连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x?[0，2π]的图象(
以上我们作出了y=sinx，x?[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x?R的图象，叫做正弦曲线
y
1
,,03,4,,,,,,56,-5-4-2-6,,-3-2x-1
f，，x = sin，，x
3(用五点法作正弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx，x?[0，2π]的图象中，五个关键点是:
,,3(0，0) (，1) (,，0) (，-1) (2,，0) 22
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了(因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握(
4(用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式
5.典型例题
例1: 作下列函数的简图
(1)y=sinx，x?[0，2π]， (2)y=1+sinx，x?[0，2π]，
3
解:(1)列表
,,3 ,2,x 0 22
sin
0 1 0 -1 0
x
(2)列表
,,3 , 2, x 0 22
sinx 0 1 0 -1 0
1+si
1 2 1 0 1
nx
例2:利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合:
1sinx, 2
解:作出正弦函数y=sinx，x?[0，2π]的图象:
,,5，，由图形可以得到，满足条件的x的集合为: ，2k,,，2k,,k,Z,,66，，
6.课堂练习
1、用“五点法”作出函数y=-sinx，x?[0，2π]的图像。
,,3 解:(0，0)，(，-1)，(π，0)，(，1)，(2π，0) 22
变式练习:用“五点法”作出函数y=-sinx+2，x?[0，2π]的图像。 (三)、课时小结
4
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数，余弦函数的图象;
2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图;
3、用正弦函数的图象解最简单的三角不等式。 (四)、布置作业P26 练习 (1) (2) (3)
教后反思:
5
范文五：正弦函数的图像
1.5.1正弦函数的图像与性质
主备人:黄兆祥
【本节重点】
1、 利用单位圆中的正弦线通过平移画正弦函数图像。
2、 掌握正弦函数图像的“五点作图法” 。
(请同学们自主阅读教材 P23—— P26的内容,完成课前导学)
【课前导学】
一、 1、由单位圆(如图所示)看出正弦函数 y
(1)定义域是 ____________;
(2)值域是 ____________.
(3)它是周期函数,其周期是 ____________.
(4) []0,2在 π上 的 单 调 性 为 :在 _________上 是 增 加 的 , 在
__________上是减少的 , 在 ___________上是减少的 , 在
_____________上是增加的。
(5)奇偶性 ________.
2 、设任意角 α的终边与单位圆交于点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M ,我们称 ______为角 α的正弦线。
点拨:正弦线 MP 实质是以 M 为起点, P 为终点的有向线段,
当与 y 轴同向时表示正弦值为正值,当与 y 轴反向时,
表示正弦值为负值,而用其长度表示正弦值的绝对值。
3 、五点作图法
观察正弦函数图像可看出,下面五个点在确定正弦函数的图
像形状时起着关键作用。
00(, ) , __________,__________,___________,20(, ) π.
这五点描出后,正弦函数 , [0,2]π∈y =sinx x , 的图像形状
就基本上确定了。
二、正弦函数的图象
1、用描点法作出正弦函数
的图像
2、思考 (1):
①观察右图如何用
几何方法在直角坐标系中
作出点 ? ②用几何方法在直角坐标系中
作出点
2π2πC(, sin ). 33
ππB(, sin ) 33
[]0,2π=∈y sinx, x
[]0,2sin y x x π=∈
sin R y x x =∈
只要把 []0,2sin y x x π=∈上的图像向左、向右平行移动(每次移动 2π个单位长度) ,就得正弦函数 sin y x x R =∈的图象,把这个图像 叫做 正弦曲线。 用此方法完成下图:
归纳 几何描点法 做图步骤:
(1)等分、 (2)作正弦线、 (3)平移、 (4)连线
观察正弦函数 , [0,2]π∈y =sinx x 图象,其中起关键作用的点有哪 些?
图 象的 最高点 ,最 低点 , 与 x 轴的 交 点 ,共有 点 .
3、简图作法:五点法
步骤:(1) 列表 (列出对图象形状起关键作用的五点坐标 )
(2) 描点 (定出五个关键点 )
(3) 连线 (用光滑的曲线顺次连结五个点 )
归纳小结:
正弦曲线的作法
终边相同角的三角函数值相等 即 sin(x+2kπ)=sinx, k ∈Z
(2) () f x k f x π+=利用图象平移 1. 代数描点法(误差大) 2. 几何描点法(精确但步骤繁) 3. 五点法(重点掌握) 其中五点法最常 用,要牢记五个
关键点的坐标 。
【典型例题】
例 用不同颜色分别作出下列函数简图(五点法作图)
(1) y=2sinx ,x∈ [0,2π] (2) y=sinx-1 x∈ [0,2π] 列表
描点作图
(3) y=-sinx, x∈ [0,2π] (4) y=1-sinx, x∈ [0,2π]
问题 :分析说明以上函数图像与正弦函数图像的关系
1. 上下平移:() () y f x y f x b =?=+
说明:
2. 伸缩变换:() () =?=y f x y Af x
说明:
3. 对称变换(关于 x 轴对称) :() () =?=-y f x y f x
说明:
【自我小结】
o
训练案【课时作业】
1. 用五点法作 2sin 2y x =一个周期的图象, 应描的五个特殊点的横 坐标是( )
A. 30, , , , 222π
πππB. 30, , , , 424πππ
π C. 0, ,2,3,4ππππ D. 20, , , , 6323ππππ
2. 利用正弦线比较 1sin , 2. 1sin , 5. 1sin 的大小关系是( )
A 、 5. 1sin 2. 1sin 1sin >> B 、 2. 1sin 5. 1sin 1sin >>
C 、 1sin 2. 1sin 5. 1sin >> D 、 5. 1sin 1sin 2. 1sin >>
3. 用五点作图法画出 1sin 2+=x y 的图象
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