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范文一：函数的极值与导数的教案
§4.3.2函数的极值与导数(2课时)
教学目标:
1. 理解极大值、极小值的概念;
2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3. 掌握求可导函数的极值的步骤;
教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤 . 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 . 教学过程: 一.创设情景
观察图 3.3-8, 我们发现, t a =时, 高台跳水运动员距水面高度最大. 那么, 函数 () h t 在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地, 导数的符号有什么变化规 律?
放大 t a =附近函数 () h t 的图像, 如图 3.3-9. 可以看出 () h a '; 在 t a =,当 t a <时, 函数="" ()="" h="" t="" 单调递增,="" ()="" 0h="" t="" '="">;当 t a >时,函数 () h t 单调递减, () 0h t '<;这就说明, 在="" t="" a="附近,函数值先增(t" a=""><, ()="" 0h="" t="" '="">)后减(t a >, () 0h t '<) .这样,当="" t="" 在="" a="" 的附近从小到大经过="" a="" 时,="" ()="" h="" t="" '先正后负,且="" ()="" h="" t="" '连续变化,于是有="" ()="" 0h="" a="" '="">
对于一般的函数 ()y f x =,是否也有这样的性质呢?
附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明 . 并且要说明函数的极值是 就函数在某一点附近的小区间而言的 . 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法 . 判断 二.新课讲授
1. 问 题 :图 3.3-1(1) , 它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度 h 随 时 间 t 变 化 的 函 数
2() 4. 96. 510
h t t t =-++的图像,图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变 化的函数 ' () () 9.86.5v t h t t ==-+的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现:
(1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 () h t 是
增函数.相应地, '
() () 0v t h t =>.
(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 () h t 是 减函数.相应地, ' () () 0v t h t =<>
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图 3.3-3,导数 ' 0() f x 表示函数 () f x 在点 00(, ) x y 处的切线的斜率.在 0x x =处, ' 0() 0f x >,
切线是 “左下右上” 式的, 这时, 函数 () f x 在 0x 附近单调递增; 在 1x x =处, ' 0() 0f x <,切线是“左上右下”式的,这时,函数 ()="" f="" x="" 在="" 1x="">
结论:函数的单调性与导数的关系
在某个区间 (, ) a b 内,如果 '
() 0f x >,那么函数 () y f x =在这个区间内单调递增; 如果 '
() 0f x <,那么函数 ()="" y="" f="" x="">
说明:(1)特别的,如果 '
() 0f x =,那么函数 () y f x =在这个区间内是常函数.
3.求解函数 () y f x =单调区间的步骤: (1)确定函数 () y f x =的定义域; (2)求导数 ' ' () y f x =;
(3)解不等式 ' () 0f x >,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 ' () 0f x <,解集在定义域内的部分为减区间.>
例 1. (课本例 4)求 ()3
1443
f x x x =
-+解: 因为 ()3
1443
f x x x =
-+,所以 ()' 24(2)(2) f x x x x =-=-+。
()' 0, 2, 2f x x x ===-
下面分两种情况讨论:
(1)当 ()' f x >0,即 2x >,或 2x <-时; (2)当="" ()'="" f="" x=""><0,即 22x=""><时>
当 x 变化时, ()' f x ,
f x 的变化情况如下表:
因此,当 2x =-时, () f x 有极大值,并且极大值为 28(2) 3
f -=; 当 2x =时, () f x 有极小值,并且极小值为 4(2)3
f =-。 函数 (
)3
1443
f x x x =-+的图像如图所示。
例 2求 y =(x 2-1) 3
+1解:y ′ =6x (x 2-1) 2=6x (x +1)2(x -1) 2 令 y ′ =0解得 x 1=-1, x 2=0, x 3当 x 变化时, y ′, y
∴当 x 极小值
1. 极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x 0附近有定义,如果对 x 0附近的所有的点,都有 f(x) 如下图所示, 1x 是极大值点, 4x 是极小值点,而 ) (4x f >) (1x f 4. 判别 f (x 0) 是极大、极小值的方法 : 若 0x 满足 0) (0='x f ,且在 0x 的两侧 ) (x f 的导数异号,则 0x 是 ) (x f 的极值点, ) (0x f 是极值,并且如果 ) (x f '在 0x 两侧满足“左正右负” ,则 0x 是 ) (x f 的极大值点, ) (0x f 是极大值; 如果 ) (x f '在 0x 两侧满足 “左负右正” , 则 0x 是 ) (x f 的极小值点, ) (0x f 5. 求可导函数 f (x ) 的极值的步骤 : (1)确定函数的定义区间,求导数 f ′ (x ) (2)求方程 f ′ (x )=0(3)用函数的导数为 0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格 . 检查 f ′ (x ) 在方程根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f (x ) 在这个根处取得极大值; 如 果左负右正,那么 f (x ) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负, 那么 f (x ) 如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点 四、巩固练习 : 1.求下列函数的极值 . (1)y =x 2-7x +6 (2)y =x 3-27x (1)解:y ′ =(x 2-7x +6)′ =2x -7 令 y ′ =0,解得 x = 2 7. 当 x ∴当 x = 2 7 时, y 有极小值,且 y 极小值 =-4. (2)解:y ′ =(x 3-27x ) ′ =3x 2-27=3(x +3)(x -3) 令 y ′ =0,解得 x 1=-3, x 2=3. 当 x ∴当 x =-3时, y 有极大值,且 y 极大值 =54. 当 x =3时, y 有极小值,且 y 极小值 =-五、教学反思 :函数的极大、极小值的定义以及判别方法 . 求可导函数 f (x ) 的极值的三个 步骤 . 还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的, 在整个定义区间可能 有多个极值,且要在这点处连续 . 可导函数极值点的导数为 0,但导数为零的点不一定是极 值点,要看这点两侧的导数是否异号 . 六、课后作业:书本 P 34 3 . 4 . 5 七 板书设计 课后反思: §4.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时) 教学目标: ⒈使学 生理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握可 导函 数 ) (x f 在 闭区间 []b a , 上所有点(包括端点 b a , )处的函数中的最大(或最小)值 必有的充分条件; ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程: 一.创设情景 我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内 的性质.也就是说,如果 0x 是函数 ()y f x =的极大(小)值点,那么在点 0x 附近找不到 比 ()0f x 更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数 在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果 0x 是函数的最大(小)值,那么 ()0f x 不 小(大)于函数 ()y f x =在相应区间上的所有函数值. 二.新课讲授 观察图中一个定义在闭区间 []b a , 上的函数 ) (x f 的图象.图中 ) (1x f 与 3() f x 是极小值, 2() f x 是极大 值.函数 ) (x f 在 []b a , 上的最大值是 ) (b f ,最小值是 3() f x . 1. 结 论 :一 般 地 , 在 闭 区 间 []b a , 上 函 数 () y f x =的图像是一条连续不断的曲线,那么函 数 () y f x =在 []b a , 上必有最大值与最小值. 说明:⑴如果在某一区间上函数 () y f x =的图像是一条连续不断的曲线,则称函数 () y f x =在这个区间上连续. (可以不给学生讲) ⑵给定函数的区间必须是闭区间,在开区间 (, ) a b 内连续的函数 ) (x f 不一定有最大值 与最小值.如函数 x x f 1 ) (= 在 ) , 0(+∞内连续,但没有最大值与最小值; ⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断, ⑷函数 ) (x f 在闭区间 []b a , 上连续, 是 ) (x f 在闭区间 []b a , 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件. (可以不给学生讲) 2. “最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是 个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. ⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 ⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值. 3.利用导数求函数的最值步骤 : 由上面函数 ) (x f 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数 值进行比较,就可以得出函数的最值了. 一般地,求函数 ) (x f 在 []b a , 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 ) (x f 在 (, ) a b 内的极值; ⑵将 ) (x f 的各极值与端点处的函数值 ) (a f 、 ) (b f 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值,得出函数 ) (x f 在 []b a , 三.典例分析 例 1. (课本例 5)求 ()3 1443 f x x x = -+在 []0, 3解: 由例 4可知,在 []0, 3上,当 2x =时, () f x 有极小值,并且极小值为 4 (2)3 f =- ,又由于 ()04f =, ()31f = 因此,函数 ()31443f x x x =-+在 []0, 3的最大值是 4,最小值是 4 3 -. 上述结论可以从函数 ()3 1443 f x x x =-+在 []0, 3上的图象得到直观验证. 例 2. 求函数 522 4+-=x x y 在区间 []2, 2-解:先求导数,得 x x y 443 /-= 令 / y =0即 0443 =-x x 解得 1, 0, 1321==-=x x x 导数 / y 的正负以及 ) 2(-f , ) 2(f 如下表 从上表知,当 2±=x 时,函数有最大值 13,当 1±=x 时,函数有最小值 4 例 3. 已知 23() log x ax b f x x ++=, x ∈ (0,+∞ ). 是否存在实数 a b 、 , 使 ) (x f 同时 满足下列两个条件:(1) ) (x f ) 在 (0, 1) 上是减函数, 在 [1, +∞ ) 上是增函数; (2) ) (x f 的最小值是 1,若存在,求出 a b 、 ,若不存在,说明理由 . 解:设 g (x )=x b ax x ++2 ∵ f (x ) 在(0, 1)上是减函数,在[1, +∞ ) 上是增函数 ∴ g (x ) 在(0, 1)上是减函数,在[1, +∞ ) 上是增函数 . ∴ ???==3) 1(0) 1(' g g ∴ ???=++=-3101b a b 解得 ? ??==11 b a 经检验, a =1,b =1时, f (x ) 满足题设的两个条件 . 四.课堂练习 1.下列说法正确的是 ( ) A. 函数的极大值就是函数的最大值 B. 函数的极小值就是函数的最小值 C. 函数的最值一定是极值 D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y =f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值是 M ,最小值是 m , 若 M =m , 则 f ′ (x ) ( ) A. 等于 0 B. 大于 0 C. 小于 0 D. 以上都有可能 3.函数 y =2 342 13141x x x ++,在[-1, 1]上的最小值为 ( ) A.0 B. -2 C. -1 D. 12 13 4.求函数 522 4+-=x x y 在区间 []2, 2-上的最大值与最小值. 5.课本 练习 五.回顾总结 1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点, 区间端点; 2.函数 ) (x f 在闭区间 []b a , 上连续,是 ) (x f 在闭区间 []b a , 上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件; 3.闭区间 []b a , 上的连续函数一定有最值;开区间 ) , (b a 内的可导函数不一定有 最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值 4.利用导数求函数的最值方法. 六.布置作业 七 板书设计 课后反思: §1.4生活中的优化问题举例(2课时) 教学目标: 1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用 2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 :利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点 :利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学过程 : 一.创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 优化问 题 .通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们 利用导数,解决一些生活中的优化问题. 二.新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以 下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数 关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立 适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个 过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路: 三.典例分析 例 1.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】 :某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料 .瓶子的制造成本是 20.8r 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获 利 0.2 分 , 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是 ()33224 0. 20. 80. , 06 3 3r y f r r r r r πππ??==?-= -<≤> 令 ()20.8(2) 0f r r r π'=-= 解得 2r =(0r =舍去) 当 ()0, 2r ∈时, ()0f r '<;当 ()2,="" 6r="" ∈时,="" ()0f="" r="" '="">. 当半径 2r >时, ()0f r '>它表示 ()f r 单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径 2r <时, ()0f="" r="">< 它表示="" ()f="" r="" 单调递减,即半径越大,利润越低.="" (1)半径为="" 2cm="" 时,利润最小,这时="" ()20f=""><,表示此种瓶内饮料的利润还不够> (2)半径为 6cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知:当 3r =时, ()30f =,即瓶子的半径为 3cm 时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等;当 3r >时,利润才为正值. 当 ()0, 2r ∈时, ()0f r '<, ()f="" r="" 为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于="" 2cm="" 时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为="" 2cm=""> 例 2.汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L )与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一 定的关系, 汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数. 根据你的生活经验, 思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2) “汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比 值. 如果用 G 表示每千米平均的汽油消耗量, 那么 w G s = , 其中, w 表示汽油消耗量 (单 位:L ) , s 表示汽油行驶的路程 (单位:km ) . 这样, 求 “每千米路程的汽油消耗量最少” , 就是求 G 的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中, 汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量, 单位:L/h) 与汽车行驶的平均速度 v (单位:km/h)之间有如图所示的函数关系 ()g f v =. 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽 油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单位:km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题. 解:因为 w w g G s v t === 这样,问题就转化为求 g v 的最小值.从图象上看, g v 表示经过原点与曲线上点的直线的 斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为 90/km h . 因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小, 此时的车速约为 90/km h . 从数值上看, 每千米的耗油量就是图中切线的斜率, 即 ()90f ', 约为 L . 例 3. 在边长为 60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折 起 (如图 ) ,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积 是多少? 解法一 :设箱底边 长 为 x cm , 则 箱 高 602 x h -= cm ,得箱子 容积 260) (3 22 x x h x x V -== ) 600( 2 3() 602x V x x '=- ) 600(<> 令 2 3() 602 x V x x '=-=0,解得 x=0(舍去) , x=40, 并求得 V(40)=16 000 由题意可知, 当 x 过小(接近 0) 或过大(接近 60) 时,箱子容积很小, 因此, 16 000答:当 x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm3 解法二 :设箱高为 x cm , 则箱底长为 (60-2x )cm , 则得箱子容积 x x x V 2) 260() (-=) 300( 由题意可知, 当 x 过小或过大时箱子容积很小, 所以最大值出现在极值点处. 事实上, 可导函数 2 60) (322 x x h x x V -==、 x x x V 2 ) 260() (-=在各自的定义域中 都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最 例 4. 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用 的材料最省? 解:设圆柱的高为 h ,底半径为 R ,则表面积 S=2πRh+2πR 2 由 V=πR 2 h ,得 2 V h R π=,则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2 令 22() V s R R '=-+4πR=0 解得, h=2V R π 即 h=2R 因为 S(R)变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才 能使所用材料最省? 提示:S =2Rh π+2 2R π?h =R R S ππ222 - ?V (R )=R R S ππ222 -πR 2=3221) 2(21R SR R R S ππ-=- ) (' R V )=026R S π=? ?R h R Rh R 222622=?+=πππ. 例 5. 在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数同,记为 C(x),出售 x 单位 产品的收益称为收益函数,记为 R(x), R(x)-C(x)称为利润函数,记为 P(x)。 (1) 、如果 C(x)=10005003. 010236++--x x x ,那么生产多少单位产品时,边际 ) (x C '最低? (边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量 ) (2) 、如果 C(x)=50x+10000,产品的单价 P =100-0.01x ,那么怎样定价,可使利润 最大? 变式:已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C =100+4q ,价格 p 与产量 q 的函数关系式为 q p 8 125-=.求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C ,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 解:收入 2 11252588 R q p q q q q ??=?=-=- ?? ?, 利润 221125(1004) 2110088L R C q q q q q ??=-=---=-- ???(0100) q 1214 L q '=-+ 令 0L '=,即 12104 q -+=,求得唯一的极值点 q =答:产量为 84时,利润 L 例 6. 一条水渠, 断面为等腰梯形, 如图所示, 在确定断面尺寸时, 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l =AB +BC +CD 最小, 这样可使水流阻力小, 渗透少,求此时 的高 h 和下底边长 b . 解:由梯形面积公式,得 S = 21 (AD +BC ) h , 其中 AD =2DE +BC , DE =3 h , BC =b ∴ AD =3 2h +b , ∴ S =h b h h b h ) 33() 2332(21+=+ ① ∵ CD =h h 3230cos =?, AB =CD . ∴ l =h 2×2+b ② 由①得 b = 3 3-h S h , 代入② , ∴ l =h S h h h S h +=-+33334 l ′ =2h S -=0,∴ h =43S , 当 h <43s 时,="" l="" ′=""><0,h>43S 时, l ′ >0. ∴ h =43 S 时, l 取最小值,此时 b =S 332 练习 1:有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸 40千米,乙城到岸的垂足 与甲城相距 50千米,两城在此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分 别为每千米 500元和 700元,问水厂应设在河边的何处,才能使水管费用最省? 【解】设水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米,总费用为 y 元, 则 CD =2240+x . y =500(50-x )+70016002+x =25000-500 x +70016002+x , y ′ =-500+700 · 2 1(x 2+1600) 21 -· 2 x =-500+1600 7002+x x , 令 y ′=0,解得 x =3 . 答:水厂距甲距离为 50-3 6千米时,总费用最省. 【点评】 当要求的最大(小)值的变量 y 与几个变量相关时,我们总是先设几个变量中的一个 为 x ,然后再根据条件 x 来表示其他变量,并写出 y 的函数表达式 f (x ) . 四.课堂练习 1.用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边 比另一边长 0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. (高为 1.2 m , 最大容积 3 1.8m ) 5.课本 练习 五.回顾总结:.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学 模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导 数往往是一个有利的工具。 六.布置作业 七 板书设计: 课后反思; 3.3.2函数的极值与导数 [教材分析]: 《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大(小)值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。 [学情分析]: 学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。 [教学目标]: 知识与技能: ? 了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学 生的数形结合意识，提升思维水平; ? 掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法; ? 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 过程与方法: ? 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 情感态度与价值观: ? 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性; ? 培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神; ? 激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。 [教学重点和教学难点]: 教学重点:掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。 教学难点:函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 [教法学法分析]: 教法分析和教学用具: 本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。 学法分析 通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。 教学过程 教学内容 设计意图 课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课培养学生的自主学习能力， 一、自主学习: 本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。通过检查学为学生的终身学习奠定基 案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。 础。 对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组培养学生互相合作的精神，二、成果展示: 内达成共识。以小组为单位进行汇报展示。 提高学生语言表达的能力， 增强学生学习的自信心。 展示北京奥运会奖牌榜:北京奥运会中国跳水队获得全部8激发学生的民族自豪感，培三、合作探究: 枚金牌中的7枚。 养学生的爱国主义精神.引对学生解决,ht()0,用高台跳水的例子研究: 起学生兴趣，激起学生的求不了的问题，重点 (1)当t ___________ 引导学生最终去 (2)当t>a时h(t)的单调性是 解决问题，以生成ta,ta,ta, ___________ 新目标、新知识、用高台跳水的例子发展学生(3)当t=_______时运动员距 新能力。 的数学应用意识，发挥学生水面高度最大，h(t)在此点的 的主体作用。 导数是_______ 分组讨论—小组 1 汇报—教师点拨。 (4)导数的符号有什么变化规律, 用信息技术辅助教学，突破用几何画板制作动画演示在t=a附近: 难点。 1、函数值的比较:h(t)-h(a)的正负号; 2、动点切线斜率(即导数)的发展变化. 再用两个例子使学生经历直如图，函数y=在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附f(x) 观感知、观察发现、归纳类分组讨论—小组近的函数值有什么关系,y=在这些点的导数值是f(x)比的思维过程，引导学生创汇报—教师点拨。 ________,在这些点附近，y=的导数的符号有什么规律, f(x)新与实践。 培养学生大胆创新、勇于探 y 索、互相合作的精神。 a x O b y x c d e f O g h i j 定义:在x=a附近，先减后增，先___后___，f(x)f'(x)f'(x) 根据探究，总结极小值点、学生展示: 连续变化，于是有=0(比在点x=a附近其它点的f'(a)f(a)极小值、极大值点、极大值、 函数值都小。我们把点a叫做函数y=f(x)的极值点、极值的定义。培养 __________,叫做函数的___________. f(a)学生的归纳能力。 在x=b附近，先增后减，先___后___，连f(x)f'(x)f'(x) 续变化，于是有f'(b)=0(f(b)比在点x=b附近其它点的函数值都大。我们把点b叫做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做函数的___________. 极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________。 1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小通过教师的点拨，帮助学生四、教师点拨: 变化情况; 构建知识体系，巩固、完善、 2、极值点是自变量的某个值，极值指的是其函数值; 深化对知识、规律内涵的认 3、函数的极值与导数的关系。 识。 f'(x)x(1)如果=0, 并且在附近的左侧 f'(x)>0 ，右侧00体会导数方法在研究函数性xf'(x)<0, 那么f()是极大值。="" 0质中的一般性和有效性。=""> x(2)如果f'(x)=0, 并且在附近的左侧 f'(x)<0> xf'(x)>0, 那么f()是极小值。 0 通过典型例题巩固学生对新1五、巩固提高: 3的极值。 典型例题:求函数f(x),x,4x，4知识的理解。 对学案中的例题3通过对典型例题的板演，让和习题，先让学生132新疆王新敞奎屯学生明确求极值的方法，突f'(x)解:=(x,4x+4)′=x,4=(x+2)(x,2) 做，并让尽可能多3出本节课的重点。培养学生的学生板演，在学新疆王新敞奎屯f'(x)令=0，解得x=2，x=,2 12规范的表达能力，形成严谨生相互点评的基 下面分两种情况讨论: 的科学态度。 础上，教师引导学 2 生总结思路方法(1) 当>0，即x>2,或<-2时;> 技巧，并进行变式(2) 当<><><2时。 f'(x)="" 训练予以拓展。="" 当x变化时，，的变化情况如下表:="" f'(x)f(x)="" x="" 2,，,-2="" (-2,2)="" 2="" ，，="" (,,,,2)="" f'(x)+="" 0="" 0="" +="" ,="" 284单调递增="" 单调递减单调递增="" f(x)="" ,="" 33="" 28="" 新疆王新敞奎屯?当x=",2时，有极大值，并且及极大值为=" f(x)f(,2)="" 教师板演:="" 3="" 4="" 当x="2时，有极小值并且及极小值为=,。" f(x)f(2)="" 作图时先作出两个极值点，3="" 再根据单调性作图。通过作13="" 函数的图像如图所示="" f(x),x,4x，4图，使学生掌握数形结合思3="" 想及作图的一般步骤。="" y="" 1="" 3f(x)="x-4x+4" 3=""> 学生总结: 2 Ox-2 学生总结解题方法，培养归 纳能力。 解题方法总结: 求函数y=f(x)极值(极大值、极小值)的方法: (1)求导 ; (2)求极值点 ; 通过变式训练，进一步突出 (3)讨论单调性 ; 重点。使学生从感性认识升 (4)列表 ; 华到理性认识。 分组讨论: (5)写出极值. 变式训练: 通过 拓展1，突出判断极值32 f(x),x,3x,9x，5求出函数的极值。 点的条件，从而突破难点。 拓展提高: 拓展(1)、导数为0的点一定是函数的极值点吗, 3 f(x),x如 f(x)f'(x)若是极值，则=0。 00 f'(x)f(x)反之，=0，不一定是极值 00 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要 条件。 函数y=f(x)在点x取极值的充分条件是: 0通过拓展2帮助学生理解极 ?函数在点x处的导数值为0 0值是函数的局部性质。 ?在点附近的左侧导数大于(小于)零，右侧小于(大于) 零。 拓展3给的图像是导函数的 图像，进一步让学生区分如 3 拓展(2)、极大值一定比极小值大吗, 何用导函数的图像判断函数 不一定 的极大值与极小值。从而突 极值是函数的局部性概念 出重点、突破难点。 拓展(3)、下图是导函数的图象，试找出函数 y=f(x)y,f'(x) 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。 y 自主完成: 我分层设计练习题，让各层 xx2 3 面学生都能学有所获，不断 axxxx 4 1 5 6 bx O 增强学习的信心。 当堂练习: 1.求下列函数的极值: 3f(x),x,27(1) 3f(x),6，12x,x(2) 3f(x),,x2.函数是否有极值? [板书设计]: 课题:函数的导数与极值 探究汇报 定义: 典型例题求函数…的极值。 求极值的步骤: 2? (1)xa,? f(x)=(x+2)(x,2) … f'(x),0附近的左侧>0 ，右f'(x)(3)讨论单调性 ; 令=0，解得x=2，f'(x) x=a,最高， 1f'(a),0x侧f'(x)<0, 那么f()是极0(4)列表="" ;="" 新疆王新敞奎屯x=",2"> 通过板书，给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系。 我的说课到此结束，谢谢大家。 2008年12月12日 3.3.2函数的极大值和极小值 一(教学目标 4 (一)知识目标 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; (二)能力目标 掌握利用导数判别可导函数极值的方法; (三)情感目标 体验导数知识和数学方法的作用，逐步形成科学地分析、解决问题的能力; 二、教学重点 利用导数判别可导函数极值的方法. 三、教学难点 对极大、极小值概念的理解，对可导函数极值点的必要条件和充分条件的理解. 四、教学过程 (一)引入课题 上节课我们利用导数来研究函数的单调性，这节课我们要利用导数来研究函数的另一种性质——函数的极值. (二)传授新知 ,(我们观察一下两张图象中，点a与点b处的函数值.与它们附近点的函数值有什么 关系, 图1 图2 从图1可以看出，点a处的函数值f(a)比点a附近的点的函数值大;而从图2可以看出，点b处的函数值f(b)比点b附近的点的函数值小. u,v 如果是函数y=f(x)在某个开区间()上的最大值点，即不等式f(c),f(x)对x,c 一切x,(u,v)成立，就说函数f(x)在处取到极大值f(c)，并称为f(x)的一个极大值x,cc f(c)点，为f(x)的一个极大值. u,v 如果是函数y=f(x)在某个开区间()上的最小值点，即不等式f(c),f(x)对x,c x,(u,v)f(c)一切成立，就说函数f(x)在x,c处取到极小值，并称c为f(x)的一个极小值 f(c)点，为f(x)的一个极小值. 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称极值点. 5 ,(观察课本图3,13到3,18，看出函数在极值点的导数为零. 观察课本图3,23，看出如果函数的曲线在局部最高点处有切线，这切线应与x轴平行.同样，如果函数的曲线在局部最低点处有切线，这切线应与x轴平行.换句话说，函数在极值点的导数为零.(这里的前提是函数在极值点有导数) ,(可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗, 3,y,x举个例子:，,0，但x=0不是极值点. f(0) , y=,x,，在x,0处取到极小值，但不存在. f(0) ,,也就是说若存在，,0是f(x)在处取到极值的必要条件，但不是充分条件. f(c)f(c)x,c ,通常，若,0，则叫作函数f(x)的驻点. f(c)x,c ,(判别可导函数f(x)极大、极小值的方法 (,)求导数f′(x); (,)求f(x)的驻点，即求f′(x),0的根; (,)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个驻点处取得极大值;如果在驻点左侧附近为负，右侧附近为正，那么y,f(x) 函数在这个驻点处取得极小值. y,f(x) ,(几点注意: 新疆王新敞奎屯(,)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 新疆王新敞奎屯(,)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 新疆王新敞奎屯不止一个 新疆王新敞奎屯(,)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值. 新疆王新敞奎屯(,)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取 新疆王新敞奎屯得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 (三)讲解例题 fx(),的驻点和极值点. 例1 求函数x，sinx ,f(x),1，cosx,0fx()分析:，的驻点集合是:,,. x,(2k，1),k,Z ,f(x)f(x)在驻点左右的符号均为正，所以函数没有极值. 2g(x),x(3,x)例2 求函数的极大值和极小值. 2,g(x),6x,3x分析: ,, (- ,0) (0,2) (2,+ ) x 0 2 6 + — — , g(x) 0 4 g(x) 故函数g(x)的极小值为g(0)=0, 极大值为g(2)=4. (四)技能训练 P练习1、2. 121 337答案:1.(1)函数的驻点是,极小值点是,极小值为. x,x,,222 ,,,n(2) 函数的驻点集合是, xx,n，,n,Z(1),,,,6,, 3,,，k，函数的极大值点是,极大值为,. 2x,k，,k,Z,2126 535,,,，k，函数的极小值点是2,极小值是,. x,k，,k,Z,2126 (3)函数无驻点,无极值点. ,2(4) 函数的驻点是,函数的极大值点是,极大值为, x,,2,x,04ex,,2 函数的极小值点为,极小值为0. x,0 2.在处不一定能取到极值. f(x)x,c 323,,,,,,f(x),x,f(x),3x,f(x),6x,f(0),f(0),0f(x),x例如，，但是增函数， 4324,,,,,,f(x),x,f(x),4x,f(x),12xf(x),x无极值;，f(0),f(0),0,但在x,0处取得极小值。 (五)课堂小结 本节课学习了函数在某点取得极值的必要条件和充分条件以及利用导数求可导函数的极值的步骤. 注意极大、极小值与最大、最小值的区别. 五、布置作业 课本P126习题8:第1题(1),(10) 7 1.3.2 函数的极值与导数 一、教学目标 1 知识与技能 〈 1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈 2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法 结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。 3 情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会极值是函数的 局部性质,增强学生数形结合的思维意识。 二、重点:利用导数求函数的极值 难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一 〉 、创设情景,导入新课 1、通过上节课的学习,导数和 函 数 单调性的关系是什么? (提高学生回答) 2.观察图 1.3.8 表示高台跳水运动 员 的 高度 h 随时间 t 变化的函数 () h t =-4.9t2+6.5t+10的图象,回答以下问题 (1)当 t=a时,高台跳水运动员距水面的高度最大,那么函数 ()h t 在 t=a处的导数 是多少呢? (2)在点 t=a附近的图象有什么特点? (3)点 t=a附近的导数符号有什么变化规律? 共同归纳 : 函数 h(t)在 a 点处 h /(a)=0,在 t=a的附近 , 当 t 0; 当 t >a 时 , 函数 ()h t 单调递减 , ()' h t <0, 即当="" t="" 在="" a="" 的附近从小到大="" 经过="" a="" 时="" ,="" ()'="" h="" t="" 先正后负="" ,="" 且="" ()'="" h="" t="" 连续变化="" ,="" 于是="" h="" a)=""> 3、对于这一事例是这样,对其他的连续函数是不是也有这种性质呢? <二>、探索研讨 1、观察 1.3.9图所表示的 y=f(x)的图象,回答以下问题: (1)函数 y=f(x)在 a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ? (2) 函数 y=f(x)在 a.b. 点的导数值是多少 ? (3)在 a.b 点附近 , y=f(x)的导数的符号分别是什么,并且有什么关系呢 ? o h t 2、极值的定义 : 我们把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值; 点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(a)叫做函数 y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点 , 极大值与极小值称为极值 . 3、通过以上探索,你能归纳出可导函数在某点 x 0取得极值的充要条件吗? 充要条件:f(x0)=0且点 x 0的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图 1.3.11,回答以下问题: (1)找出图中的极点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点? (2)极大值一定大于极小值吗? 5、随堂练习 : 1 如图是函数 y=f(x)的函数 , 试找出函数 y=f(x)的极值点 , 并指出哪些是极大值点 , 哪些是极小值点 . 如果把函数图象改为导函数 y=()' f x 的图象 ? <三>、讲解例题 例 4 求函数 ()31443 f x x x =-+的极值 教师分析 :①求 f /(x),解出 f /(x)=0,找函数极点; ②由函数单调性确定在极点 x 0附 近 f /(x)的符号 , 从而确定哪一点是极大值点 , 哪一点为极小值点 , 从而求出函数的极 值 . 学生动手做 , 教师引导 解 :∵ ()31443 f x x x =-+∴ ()' f x =x2-4=(x-2)(x+2) 令 ()' f x =0,解得 x=2,或 x=-2. 下面分两种情况讨论 : (1)当 ()' f x >0, 即 x >2, 或 x <-2时 ;="" (2)="" 当="" ()'="" f="" x=""><0, 即=""> 当 x 变化时 , ()' f x ,f(x)的变化情况如下表 : 因此 , 当 x=-2时 ,f(x)有极大值 , 且极大值为 f(-2)= 3 ; 当 x=2时 ,f(x)有极 小值 , 且极小值为 f(2)= 43 - 函数 ()31443 f x x x =-+的图象如 : 归纳:求函数 y=f(x)极值的方法是 : 1求 ()' f x , 解方程 ()' f x =0,当 ()' f x =0时 : (1) 如果在 x 0附近的左边 ()' f x >0, 右边 ()' f x <0, 那么="" f(x0)="" 是极大值="" .="" (2)="" 如果在="" x="" 0附近的左边="" ()'="" f="" x=""><0, 右边="" ()'="" f="" x="">0, 那么 f(x0) 是极小值 <四>、课堂练习 1、求函数 f(x)=3x-x3的极值 2、思考:已知函数 f (x ) =ax3+bx2-2x 在 x=-2, x=1处取得极值 , 求函数 f (x )的解析式及单调区间。 <五>、课后思考题: 1、 若函数 f(x)=x3-3bx+3b在(0, 1)内有极小值,求实数 b 的范围。 2、 已知 f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值,求实数 a 的范围。 <六>、 课堂小结 : 1、 函数极值的定义 2、 函数极值求解步骤 2 2 -()3 1443 f x x x = -+ 3、 一个点为函数的极值点的充要条件。 <七>、 作业 P 32 5 ① ④ ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a >0) 为增函数，则一定有（ ） A ．b 2-4ac <0 b="" ．b="" 2-3ac=""><0 c="" ．b="" 2-4ac="">0 D ．b 2-3ac >0 2. （2004全国）函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） A ．(π2, 3π 2) B ．(π,2π) C ．(3π2, 5π 2 ) D ．(2π,3π) 3. 若在区间(a , b ) 内有f '(x ) >0，且f (a ) ≥0，则在(a , b ) 内有（ ） A ．f (x ) >0 B ．f (x ) <0 c="" ．f="" (x="" )="0" d="" ．不能确定="" 4.="" 函数f="" (x="" )="x" 3-x="" 的增区间是="" ，减区间是="" 5.="" 已知f="" (x="" )="x" 2+2xf="" '(1)，则f=""> 1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）f (x ) =x 3+x 2-x ；（2）f (x ) =3x +x 3； （3）f (x ) =x +cos x , x ∈(0,π 2 ) 1. 已知汽车在笔直的公路上行驶： （1）如果函数y =f (t ) 表示时刻t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点. （2）如果函数y =f (t ) 表示时刻t 时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？ §3.3.2函数的极值与导数 1. 理解极大值、极小值的概念； 2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3. 掌握求可导函数的极值的步骤. 9396 复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内y '<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的=""> 复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x ) 的导数f '(x ) . ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 问题1：如下图，函数y =f (x ) 在a , b , c , d , e , f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y =f (x ) 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y =f (x ) 的导数的符号有什么规律？ 看出，函数y =f (x ) 在点x =a 的函数值 f (a ) 比它在点x =a 附近其它点的函数值都 ，f '(a ) = ；且在点x =a 附近的左侧f '(x ) 0，右侧f '(x ) 0. 类似地，函数y =f (x ) 在点x =b 的函数值f (b ) 比它在点x =b 附近其它点的函数值都 ，f '(b ) = ；而且在点x =b 附近的左侧f '(x ) 0，右侧f '(x ) 新知： 我们把点a 叫做函数y =f (x ) 的极小值点，f (a ) 叫做函数y =f (x ) 的极小值；点b 叫做函数y =f (x ) 的极大值点，f (b ) 叫做函数y =f (x ) 的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ， 刻画的是函数的 . 试试： （1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值 (3)函数的极值点一定出现在区间的内，外) 部，区间的端点. 反思：极值点与导数为0的点的关系： 导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数f (x ) =x 3在x=0处的导数为 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件. ※ 典型例题 例1 求函数y =1 3 x 3-4x +4的极值. 1 小结：求可导函数f (x ) 的极值的步骤: (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x ) ； (3)求方程f ′(x )=0 （4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x ) 在这个根处无极值. 变式2：已知函数f (x ) =x 3-3x 2-9x +11. （1）写出函数的递减区间； （2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数y =2-x 2-x 3的极值情况是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也极小值 2. 三次函数当x =1时，有极大值4；当x =3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A ．y =x 3+6x 2+9x B ．y =x 3-6x 2+9x C ．y =x 3-6x 2-9x D ．y =x 3+6x 2-9x 3. 函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2在x =1时有极值10，则a 、b 的值为（ ） A ．a =3, b =-3或a =-4, b =11 B ．a =-4, b =1或a =-4, b =11 C ．a =-1, b =5 D ．以上都不正确 4. 函数f (x ) =x 3+ax 2+3x -9在x =-3时有极值10，则a 的值为 f (x ) =x 3-3ax 2+a (a >0) 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为 ※ 动手试试 练1. 求下列函数的极值： （1）f (x ) =6x 2-x -2；（2）f (x ) =x 3-27x ； 1. 如图是导函数y =f '(x ) 的图象, 在标记的点中，在哪一点处（1）导函数y =f '(x ) 有极大值？ （3）f (x ) =6+12x -x 3；（4）f (x ) =3x -x 3. （2）导函数y =f '(x ) 有极小值？（3）函数y =f (x ) 有极大值？（4）导函数y =f (x ) 有极小值？ 练2. 下图是导函数y =f '(x ) 的图象，试找出函数y =f (x ) 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 2. 求下列函数的极值： （1）f (x ) =6x 2+x +2；（2）f (x ) =48x -x 3. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤； 2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象. ※ 知识拓展 函数在某点处不可导, 但有可能是该函数的极值点. 由些可见：“有极值但不一定可导” 2 1.3.2 函数的极值与导数 一、教学目标 1、知识与技能 (1)结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (2)理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值。 2、过程与方法 结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。 3、情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会极值是函数的局 部性质,增强学生数形结合的思维意识。 二、教学重难点: 重点 正确理解函数极值的概念 , 利用导数求函数的极值 难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学手段 :多媒体辅助教学 四、教学过程 1、复习引入新课 (1 (2)已知函数 <1>求 f(x) <2>函数 f(x)在 2、概念形成 设函数 y=f(x)在 (1)如果在 x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大,即 f(x) 记作 : x0叫做函数 y=f(x)的 极大值点 ; y 极大值 =f(x0) (2)如果在 x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小,即 f(x) >f(x0), 则称 f(x0) 是函数 y=f(x)的一个 极小值 . 记作 : x 0叫做函数 y=f(x)的 极小值点 ; y 极大值 =f(x0) 极大值点与极小值点统称为 极值点 ;极大值与极小值统称为 极值 。 3、关于极值概念的几点说明(通过图像阐述) 引导学生观察下图,回答以下问题: (1)找出图中的极点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点? (2)极大值一定大于极小值吗? 几点说明: (1)极值是一个局部概念 , 反映了函数在某一点附近的大小情况 ; (2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值 ; (3)函数的极大 (小 ) 值可能不止一个 , 而且函数的极大值未必大于极小值 ; (4)函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。 4、函数的极值与导数的关系(引导学生观察上图) (1)如果 f /(x0)=0,, 并且在 x 0附近的 左侧 f /(x)>0;右侧 f /(x)<0, 那么="" f(x0)="" 是极大值=""> (2)如果 f /(x0)=0, 并且在 x 0附近的 左侧 f /(x)<0; 右侧="" f="" x)="">0, 那么 f(x0) 是极小值 (左负右正为极小) 归纳:对可导函数, x= x0为极值点的 充要条件 是 : f /(x0)=0, 并且在 x 0附近的左侧 和右侧的 f /(x)的符号相反 。 5、辨析:导数值为 0的点一定是函数的极值点吗 ? (学生思考交流) 对可导函数,导数值为 0的点是该点为极值点的必要非充分条件 . 6、例题精解 f f f f 例 1: (1)下图是导函数 f /(x)的图象 , 试找出函数 f /(x)的极值点 , 并指出哪些是极大 值点 , 哪些是极小值点 ? (2)下图是导函数 f /(x)的图象 , 试找出函数 f (x)的极值点 , 并指出哪些是极大 例 2: 求函数 的极值 .(略 ) 求解函数极值的一般步骤(引导学生归纳) (1)确定函数的定义域 (2)求方程 f /(x)=0的根 (3)用方程 f /(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格。 (4)由 f /(x)在方程 f /(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在该根处取极值的情况。 五、随堂练习 1、求下列函数的极值 :(略) 六、课堂小结 (1)函数极值的定义 (2)函数的极值与导数的关系 (3)用导数法求解函数极值的步骤 七、作业:练习册 八、课后反思 ; 27) ( ) 2( ; 26) ( ) 1(32x x x f x x x f -=--=. 3) ( ) 4( ; 126) ( ) 3(3 3x x x f x x x f -=-+=443 1) (3 +-=x x x f 教学反思 : 本节的教学内容是导数的极值 , 有了上节课导数的单调性作铺垫 , 借助函数图形的直观 性探索归纳出导数的极值定义 , 利用定义求函数的极值 . 教学反馈中主要是书写格式存 在着问题 . 为了统一要求主张用列表的方式表示 , 刚开始学生都不愿接受这种格式 , 但随 着几道例题与练习题的展示 , 学生体会到列表方式的简便 , 同时为能够快速判断导数的 正负 , 我要求学生尽量把导数因式分解 . 本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条 件与充分条件 , 为了说明这一点多举几个例题是很有必要的 . 在解答过程中学生还暴露 出对复杂函数的求导的准确率比较底 , 以及求函数的极值的过程板书仍不规范 , 看样子 这些方面还要不断加强训练 . 研讨评议 : 教学内容整体设计合理 , 重点突出 , 难点突破 , 充分体现教师为主导 , 学生为主体的双主 体课堂地位 , 充分调动学生的积极性 , 教师合理清晰的引导思路 , 使学生的数学思维得到 培养和提高 , 教学内容容量与难度适中 , 符合学情 , 并关注学生的个体差异 , 使不同程度 的学生都得到不同效果的收获 . 转载请注明出处范文大全网 » 函数的极值与导数的教案范文二：函数的极值与导数经典教案
范文三：函数的极值与导数(教案)
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