范文一:数学分析((华东师大)01函数
1-1-1
第一章 实数集与函数
【 目的与要求】
1. 使学生掌握实数的概念,建立起实数集确界的清晰概念;
2. 使学生深刻理解函数的概念, 熟悉与函数性态有关的一些常见术语 . 要求学生:理解并熟练运用实 数的有序性、 稠密性与封闭性; 掌握邻域的概念; 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个 常见的不等式; 理解实数确界的定义及确界原理, 并在有关命题证明中正确地加以应用; 深刻理解 函数的定义以及复合函数、反函数、 有界函数、单调函数和初等函数的定义, 熟悉函数的各种表示 方法;牢记基本初等函数的定义、性质及其图象,会求函数的定义域,会分析函数的复合关系 . 【重点与难点】重点是实数集、函数、确界的概念及其有关性质,难点是确界的定义及应用 . 第一节 实 数
数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数,因此先叙述一下实数的有关概念 一 实数及其性质:
1 回顾中学中关于有理数和无理数的定义 .
????
?
≠. 0进循环小数表示的数 有限十进小数或无限十
)表示的数;
为整数, , 有理数:q q p q p 若规定: n a a a a 210. = 999) 1(. 210-n a a a a
则有限十进小数都能表示成无限循环小数 .
例如:2.001记为 000999. 2; 0 记为 000. 0 ; -8 记为 999. 7- 2 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数
=x n a a a a 210. , n b b b b y 21. 0= 其中 k k b a , 为非负整数, 9, 0≤≤k k b a . 若由
1-1-2
1) k k b a =, , 2, 1, 0=k 则称 x 与 y 相等,记为 y x =.
2) 若存在非负整数 l , 使得 k k b a =, ) , 2, 1, 0(l k =, 而 11++>l l b a , 则称 x 大于 y (或 y 小于 x ) , 分别记为 y x >(或 x y <)>)>
规定任何非负实数大于任何负实数;对于负实数 , , y x 若按定义 1有 y x ->-,则称 x y >. 3 实数的有理数近似表示
定义 2 设 =x n a a a a 210. 为非负实数,称有理数 =n x n a a a a 210. 为实数 x 的 n 位不足近似值, 而有理数 n n n x 10
1
+
=称为 的 位过剩近似值 . 对于负实数 =x n a a a a 210. -
x 的 n 位不足近似值规定为:=n x n
n a a a a 10
1
. 210-- ; 的 位过剩近似值规定为:=n n a a a a 210. -. 比如 4142. 12= ,则
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,…称为 2的不足近似值; 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, … 称为 2的过剩近似值 .
4 命题 设 =x n a a a a 210. 与 n b b b b y 21. 0=为两个实数,则 y x > ? 存在非负整数 n 使得 n n x >
例 1 设 y x , 为实数, y x >,证明:存在有理数 r 满足 y r x >> 证明 由 y x >?存在非负整数 n ,使得 n n x > ,取 2
n
n x r += 则 r 显然为有理数,且 y r x x n n ≥>>≥.
5 实数的一些主要性质
1-1-3
(1) 四则运算封闭性 . (2) 三歧性 ( 即有序性 ).
(3) 实数大小由传递性,即若 , b a >c b >则有 c a >. (4) Rrchimedes 性 : b na N n a b R b a >∈?>>∈?使得 , , 0, , . (5) 稠密性 : 有理数和无理数的稠密性 . (6) 实数集的几何表示 ─── 数轴 .
6 两实数相等的充要条件 : . , 0εε<->??=b a b a 例 若 0>?ε有 ε+
??
?<>
a a
a a a
从数 绝对值就是到原点的距离:
2 绝对值的一些主要性质
1. 0≥-=a a 当且仅当 0=a 时 0=a . 2. a a a ≤≤-.
3. h a h h a <><; h="" a="" h="" h="" a="" ≤≤-?≤="" )="" 0(="">h .
4. b a b a b a +≤±≤-. 5.
b a =.
6. ) 0(≠=b b
a b a .
性质 4(三角不等式)的证明 :
由性质 2 a a a ≤≤-, b b b ≤≤-.
1-1-4
两式相加 b a b a b a +≤+≤+-) (. 由性质 3上式等价于 b a b a +≤+. 把上式的 b 换成 b -得 b a b a +≤-.
三 几个重要不等式
(1) b a 222≥+. 1s i n ≤x . x x ≤s i n .
(2) 均值不等式 : 对 +∈?R a a a n , , , 21 记
∑==++=n i i n i a n n a a a a M 1
211) ( (算术平均值 )
n
n
i i n n i a a a a a G 1
121) (???
?
??==∏= (几何平均值 )
∑∑===
=+++=
n
i i
n
i i
n
i a
n
a n a a a n
a H 1
1211
1
11111) ( (调和平均值 )
有平均值不等式 :
) () () (i i i a M a G a H ≤≤ 等号当且仅当 n a a a === 21时成立 .
(3) Bernoulli 不等式 (在中学已用数学归纳法证明过 )
0>?x , 有不等式 N n nx x n ∈+≥+, 1) 1(.
因为 对 0>?x , 由二项展开式
n n x x n n n x n n nx x ++--+-+
+=+ 3
2!
3) 2)(1(! 2) 1(1) 1(
有 n
x )
1( 大于上式右端的任何一项 . 作业:P4 1、 2、 3、 4、 5、 6.
1-1-5
1-1-6
第二节 数集 · 确界原理
一 区间与邻域 1 区间
}{b x a x < 称为开区间,记作="" )="" ,="" (b="" a="">
}{b x a x
≤≤ 称为闭区间,记作 [b a , ].
半开区间
}{b x a x
<≤记作 )="" ,="" [b="" a="" .="">≤记作>
}{b x a x
≤<记作 ],="" (b="" a="">记作>
}{a x x a ≤=-∞], (, }{a x x a >=+∞) , ( }{a x x a <=-∞) ,="" (,="" }{r="" x="" x="">=-∞)>
<∞-=+∞-∞) ,="">∞-=+∞-∞)>
2 邻域
设 a 与 δ是两个实数,且 0>δ
. 称点集 {}δ
δ<-=a x="" x="" a="" u="" )="" (为点="" a="" 的="">-=a>
) (a U δ.
称点集 {}δ
δ
<><=a x="" x="" a="">=a>
0) (0
为点 a 的空心 δ邻域,记作 ) (0
a U δ
.
此外 , 我们还常用到以下几种邻域: 点 a 的 δ右邻域 ) ; (δa U +) , [δ+=a a , 简记为 ) (a U +;
点 a 的 δ左邻域 ) ; (δa U -], (a a δ-=, 简记为 ) (a U -;
点 a 的空心 δ右邻域 )
; (0
δa U +) , (δ+=a a , 简记为 ) (0a U +; 点 a 的空心 δ左邻域 )
; (0
δa U
-) , (a a δ-=, 简记为 ) (0a U -;
∞邻域 {}M x x
U >=∞) (,其中 M 为充分大的正数 (下同 ) ;
1-1-7
+∞邻域 {}M x x U >=+∞) (;
-∞邻域 {}M x x U -<=-∞)>=-∞)>
二 有界数集·确界原理
1. 有界数集 定义 (上、下有界 , 有界 ) 定义 1 设 S 为 R 中的一个数集 .
若存在数 M , 使得对一切 S x ∈, 都有 M x ≤, 则称 S 为有上界的数集 . 数 M 称为 S 的一个上 界 .
若存在数 L , 使得对一切 S x ∈, 都有 L x ≥, 则称 S 为有下界的数集 . 数 L 称为 S 的一个下界 . 若数集 S 既有上界又有下界 , 则称 S 为有界数集 .
闭区间 ) , (b a (b a , 为有限数)、邻域等都是有界数集,集合
{}) , (, sin +∞-∞∈==x x y y E 也是有界数集 .
2 无界数集 对任意 0>M ,存在 S ∈,使 M >,则称 S 为无界集 .
) , (+∞-∞, ) 0, (-∞, ) , 0(+∞等都是无界数集 .
例 证明集合
???
???∈==) 1, 0(, 1x x y y E 是无界数集 .
证明:对任意 0>M
, 存在
) 1, 0(11∈+=M x , E x
y ∈=1, M M y >+=1
由无界集定义, E 为无界集 .
3 确界
先给出确界的直观定义:若数集 S 有上界,则显然它有无穷多个上界,其中最小的一个上界 我们称它为数集 S 的上确界;同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界 .
1-1-8
精确定义:
定义 2 设 S 是 R 中的一个数集,若数 η满足以下两条: (1) 对一切
S x ∈ 有 η≤x ,即 η是数集 S 的上界;
(2) 对任何 ηα<>
S x ∈0使得 α>0x (即 η是 S 的最小上界)
则称数 η为数集 S 的上确界 . 记作 S sup =η
.
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集,若数 ξ满足一下两条: (3) 对一切 S x ∈ 有 ξ≥x ,即 ξ是数集 S 的下界;
(4) 对任何 ξβ> 存在 S x ∈0使得 β<0x (即="" ξ是="" s="" 的最大下界)="" 则称数="" ξ为数集="" s="" 的下确界="" .="" 记作="" s="" inf="ξ">0x>
例 1
(1) ?
??
???=-+= , 2, 1) 1(1n n S n 则 =S
sup ; =S inf
(2) {}) , 0(,
sin π∈==x x y y E
则
=E sup ; =E inf
4 确界原理
定理 1.1 (确界原理 ). 设 S 为非空数集,若 S 有上界,则 S 必有上确界;若 S 有下界,则 S 必有下确界 .
证明 (见教材 p7)
例 2 非空有界数集的上(或下)确界是唯一的 . 例 3
设 S 和 A 是非空数集,且有 A S ? 则有
1-1-9
A S sup sup ≥, A S inf inf ≤.
例 4
设 A 和 B 是非空数集 . 若对 A x ∈?和 B y ∈?都有 y x ≤
则有
B A inf sup ≤
证 B y ∈? y 是 A 的上界 , y A ≤?sup A sup ? 是 B 的下界 ,
B A inf
sup ≤?.
例 5 A 和 B 为非空数集 , B A S = 试证明 :
{}B A S inf , inf m in inf
=
证 S x ∈?有 A x ∈或 B x ∈由 A inf 和 B inf 分别是 A 和 B 的下界 , 有
≥x A inf
或 ≥x B inf ? {}B A x inf , inf m in ≥.
即 {}B A inf , inf m in 是数集 S 的下界 , ?S inf {}B A inf , inf m in ≥
又 A S
??S 的下界就是 A 的下界 , S inf 是 S 的下界 ,
?S inf 是 A 的下界 , ?S inf A inf ≤ ; 同理有 S inf
B inf ≤. 于是有 S inf {}B A inf , inf m in ≤. 综上 , 有 S inf
{}B A inf , inf m in =.
5. 数集与确界的关系 确界不一定属于原集合 . 以例 1(2)为例做解释 . 6. 确界与最值的关系 设 E 为数集 .
(1) E 的最值必属于 E , 但确界未必 , 确界是一种临界点 . (2) 非空有界数集必有确界 (确界原理 ), 但未必有最值 . (3) 若 E m ax 存在 , 必有 E m ax =E sup .
对下确界也有类似的结论 . 作业:P9 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7.
1-1-10
第三节 函数概念
函数是整个高等数学中最基本的研究对象 , 可以说数学分析就是研究函数的 . 因此我们对函 数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识 .
一 函数的定义
1. 函数的几点说明 .
函数的两要素 : 定义域和对应法则 .
2. 约定 : 定义域(存在域)是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 . 例如 2x y
-=, ]1, 1[:-D 21x
y -=, ) 1, 1(:-D 二 函数的表示法
解析法 , 列表法 , 图像法 .
1. 分段函数
2. 几种特殊的函数
取整函数 ][x y = R x ∈
符号函数 ??
???<-=>=0, 10, 00, 1sgn x x x x
狄利克雷函数 ???=为无理数
, 为有理数 x x x D 0, 1) ( 黎曼函数 ?????===. 10100(, 1) ()内的无理数 , 和(,
, 为既约真分数) x q p q p x q x R
三 函数的四则运算
四 函数的复合
例 1 u u f y ==) (, 21) (x x g u -==
求 )]([) )((x g f x g f = 并求定义域 .
例 2 (1) 1) 1(2++=-x x x f ,=) (x f (2) 221) 1(x x x x f +=+ 则 =) (x f
五 反函数
一一对应 , 反函数存在定理 .
六 初等函数
1. 基本初等函数
1 常量函数 c y
= (c 为常量) 2 幂函数 αx y =(α为实数)
3 指数函数 x a y = (1, 0≠>a a )
4 对数函数 x y a log = (1, 0≠>a a )
5 三角函数 x y sin =, x y cos =, x y tan =, x y cot =.
6 反三角函数 x y arcsin =, x y
arccos = x y arctan =, x arc y cot =.
2. 初等函数
3. 初等函数的几个特例
设函数 ) (x f 和 ) (x g 都是初等函数 , 则
(1)
) (x f 是初等函数 , 因为 ) (x f 2)) ((x f =. (2) {}) (), (max ) (x g x f x =Φ 和 {}) (), (min ) (x g x f x =φ都是初等函数 ,
因为 {}) (), (max ) (x g x f x =Φ]
) () () () ([21
x g x f x g x f -++= , {}) (), (min ) (x g x f x =φ]) () () () ([21
x g x f x g x f --+=
. (3) 幂指函数 ) ()) ((x g x f ) 0) ((>x f 是初等函数 , 因为
) ()) ((x g x f ) (ln ) ()) (ln() (x f x g x f e e x g ==
作业: P15— 16 1(5) 、 3、 4、 6
第四节 具有某些特性的函数
一 有界函数
1 有上(下)界函数
定义 1 设 f 为定义在 D 上的函数 .
若存在数 M , 使得对一切 D x ∈, 都有 M x f ≤) (, 则称 f 为 D 上的有上界函数 . 数 M 称为 f 在 D 上的一个上界 .
若存在数 L , 使得对一切 D x ∈, 都有 L x f ≥) (, 则称 f 为 D 上的有下界函数 . 数 L 称为 f 在 D 上的一个下界 .
根据定义 f 在 D 上有上(下)界 , 意味着值域 ) (D f 是一个有上(下)界的数集 . 2 有界函数
若函数 ) (x f 在定义域 D 上既有上界又有下界,则称 ) (x f 为 D 上的有界函数 . 这个定义显
然等价于, D x ∈? 0>?k ,恒有 K x f ≤) (.
3
有界函数的几何意义 4 无上(下)界函数和无界函数
请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义 .
例 证明 x x x f sin ) (=, ) , 0(+∞∈x 是无界函数 .
证明 对任意的 0>M ,存在 n 使得 M n >+2π
π,取 2π
π+=n x m ,则
M n x f m >+=2) (π
π
二 单调函数
1 增函数和严格增函数
2 减函数和严格减函数
3 单调函数和严格单调函数
4 定理
设 D x x f y ∈=), (为严格增 (减) 函数 , 则 f 必有反函数 1-f
, 且反函数 1-f 在其定义域 ) (D f 上也是严格增(减)函数 .
例 函数 3x y =在 R 上是严格增函数 .
例 函数 []x y =在 R 上是增函数 .
例 函数 2x y =在 ) 0, (-∞上是严格减函数 , 有反函数 x y -=, ) , 0(+∞∈x ; 2x y =在 ) , 0(+∞上是严格增函数 , 有反函数 x y =, ) , 0(+∞∈x . 但 2x y =在 R 上不是单调函数 , 也不存在 反函数 .
例 函数 x a y =当 1>a 时在 R 上是严格增函数;当 10
三 奇函数与偶函数
1 奇函数与偶函数
(1)定义域关于原点对称
(2)奇函数(偶函数)对任何 D x ∈ 有 ) () (x f x f -=-, () () (x f x f =-) 两条缺一不可 .
2 奇、偶函数的运算性质
3 奇、偶函数的图象
四 周期函数
1 周期函数的定义
例如 常见的三角函数是周期函数 .
2 注: 1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期 .
2) 有的周期函数不一定有最小周期 ,例如常函数是周期函数, 狄里克雷函数,它 们显然没有最小周期 .
作业:p20 1、 2、 3、 5、 6.
范文二:数学分析教案 华东师大第三版
§6 重积分的应用
(一) 教学目的:学会用重积分计算曲面的面积,物体的重心,转动惯量与引力. (二) 教学内容:
曲面面积的计算公式;物体重心的计算公式;转动惯量的计算公式;引力的计算公式. 基本要求:掌握曲面面积的计算公式,了解物体重心的计算公式,转动惯量的计算公式
和引力的计算公式.
(三) 教学建议:
要求学生必须掌握曲面面积的计算公式,物体重心的计算公式,转动惯量的计算公式和引力的计算公式,并且布置这方面的的习题.
________________________________________
一 曲面的大面积
设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数,讨论由方程
z =f (x , y )
,
(x , y ) ∈D
所确定的曲面S 的面积?σi
i
i
i =1
n
i =1
当 ||T ||→0时,可用和式∑?A i 的极限作为S 的面积
i =1
首先计算?A i 的面积,由于切平面的法线向量就是曲面S 在M i (ξi , ηi , ζi ) 处的法线向量,记它与z 轴的夹角为γi ,则
cos γi =
1
+f (ξi , ηi ) +f (ξi , ηi ) =
2x
2y
?A i =
n
?σi cos γi
n
i
+f x (ξi , ηi ) +f y (ξi , ηi ) ?σi
22
∑?A
i =1
=
∑
i =1
22
+f x (ξi , ηi ) +f y (ξi , ηi ) ?σi
是连续函数+f x 2(ξi , ηi ) +f y 2(ξi , ηi ) 在有界闭域上的积分和,所以当||T ||→0时,就得到
n
?S =lim
||T ||→0
∑
i =1
22
+f x (ξi , ηi ) +f y (ξi , ηi ) ?σi
=
??
D
+f x (x i , y i ) +f y (x i , y i ) dxdy
n
22
或 ?S =lim
||T ||→0
∑|cos γ
i =1
2
?σi
) |i
2
=
??|cos(n , z ) |
D
dxdy
例 1 求圆锥 z =解 ?S =
x +y
2
在圆柱体 x 2+y 2≤x 内那一部分的面积
2
??
D
+z x (x i , y i ) +z y (x i , y i ) dxdy D :
x +y
22
≤x
所求曲面方程为 z =
z x =
x +y
22
?
x x +y
2
2
,
z y =
y x +y
2
2
?S =
??
D
2dxdy =2D =
24
π
例2 演示 例3 演示
若空间曲面S 由参数方程
x =x (u , v ) ,
y =y (u , v ) ,
z =z (u , v ) ,
(u , v ) ∈D
确定,其中在D 上具有连续一阶偏导数,且 ?(x , y ) ?(u , v )
, ?(y , z ) ?(u , v )
,
?(z , x ) ?(u , v )
中,至少有一个不等于零,则曲面S 在点(x , y , z ) 的法线方向导数为
??(y , z ) ?(z , x ) , , ?(u , v ) ?(u , v ) ?
?(x , y ) ?
?? ?(u , v ) ?
它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为
?(x , y ) ?(u , v )
(?(y , z ) ?(u , v )
) +(
2
?(z , x ) ?(u , v )
) +(
2
?(x , y ) ?(u , v )
=|)
2
?(x , y ) ?(u , v )
|
1EG -F
2
其中
当
?(z , x ) ?(u , v )
≠0时,作变换 x =x (u , v ) ,
1
D
E =x u +y u +z u , G =x +y +z
2v
2v
2v
222
F =x u x v +y u y v +z u z v , EG -F
2
, =R cos ψ
2
y =y (u , v ) ,则有
S =
??
cos(n , z )
=
??
1cos(n , z )
|
?(x , y ) ?(u , v )
|dudv
由课本p254, (4) ?
S =
??
D
EG -F dudv
2
例 2 求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积,设球面方程为
x =R cos ψcos ?y =R cos ψsin ? z =R sin ψ
E =x 222
ψ+y ψ+z ψ=R , F =0, G =R 2cos 2
ψ
EG -F
2
=R 2
cos ψ
?2
ψ
2
S =
?d ??R
2
cos ψd ψ
?1
ψ1
=R 2
(?1-?2)(sin?2-sin ?1)
范文三:华东师大04年数学分析
数学分析试卷 014
一 . (30分)计算题
(1)求 2
12
0lim cos 2x x x x →??
- ??
?;
(2)若 2ln sin(arctan), x
y e
x x -=+求 '
y .
(3)求 2
(1) x
xe dx x --?. (4)求幂级数 1
n
n nx ∞
=∑的和函数 () f x .
(5) L 为过 (0,0) O 和 (0,) A a 的曲线 sin (0) y a x a =>, 求 :
3() (2) . L
x y dx y dy +++?
(6)求曲面积分
(2) , S
x z dydz zdxdy ++??
其中
22,(01), z x y z =+≤≤取上侧 .
二(30分)判别题(正确的证明,错误的举反例)
1 .若 {, 1, 2,...,}n x n =是互不相等的非无穷大数列,则 {}n x 至少存在一个聚点
0(, ). x ∈-∞+∞
2. 若
() f x 在 (, ) a b 上连续有界,则 () f x 在 (, ) a b 上一致连续 .
3. 若 (), () f x g x 在 [0,1]上可积,则 :
1
1
11lim () () () () n n i i i f g f x g x dx n n n →∞=-=∑?
4 .若 1
n n a ∞
=∑收敛,则 21
n n a ∞
=∑收敛 .
5. 若 在
2R 上 定 义 的 函 数 (, ) f x y 存 在 偏 导 数 (, ) , (, x y f x y f
x y , 且 (, ) , (, x y f x y f x y 在 (0,0) 上连续,则 (, ) f x y 在 (0,0) 上可微 .
6 .
(, ) f x y 在 2R 上连续,
2220000(, ) {(, ) |() () }r D x y x y x x y y r =-+-≤若
00(, ), 0, (, ) 0, r
D x y r f x y dxdy ??>=??
则 2
(, ) 0,(, ) f x y x y R =∈.
三 . (15分)函数 () f x 在 (, ) -∞+∞上连续且 lim () x f x A →∞
=,求证:() f x 在
(, ) -∞+∞上有最大值或最小值 .
四(15分)求证不等式:221, [0,1].x
x x ≥+∈
五(15分)设
(), 1,2... n f x n =在 [], a b 上连续且 () n f x 在 [], a b 上一致收敛
于 () f x , 若 [, ],() 0x a b f x ?∈>, 求证:, 0, N δ?>
使 [, ],, () . n x a b n
N f x δ?∈>>
六(15分)设 {}n a 满足: (1) 0100, 1, 2...; k n a a n k k ≤
≤=++
(2)级数 1
n n a ∞=∑收敛。求证:lim 0n n na →∞
=. 七(15分)若函数 () f x 在 [1, ) +∞上一致连续,求证:
()
f x x
在 [1, ) +∞上有界 . 八(15分)设 (, , ), (, , ), (, , ) P x y z Q x y z R x y z 在 3
R 有连续偏导数,而且对 以任意点为 000(,
, ) x y z 中心,以任意正数 r 为半径的上半球面
2222000:() () () ,
r S x x y y z z r -+-+-=0, z z ≥
恒有 :
(, , ) (, , ) r
S P x y z dydz Q x y z dzdx R ++??
(, , ) 0x y z dxdy =
求证:(, , ), (, , ) 0, x y z R x y z ?=(, , ) (, , ) 0x y P x y z Q x y z +=
参考答案 014
一、 (30分)计算题。
1、求 21
20) 2
(coslim x x x x -→
解 :) 0(2
1~2sin 21cos 2
2
→--=x x x x
∴ 1) 1(1
2
01
201
20222) 1(lim ) 1(lim ) 2
(coslim ---→→→=-=-=-e x x x x x
x x x x x
2、若 )), sin(arctan2
ln x x e y x
+=-求 ' y .
解 :2
ln '
11
) cos(arctan) sin(arctanln 22x
x x x e x x y x +++-=-
3、求 ?--dx x xe x
2
) 1(.
解 :
=-?-dx x xe x 2
) 1(?--x d xe x 11=x xe x --1-=-?-dx x xe x 2' ) 1() (x xe x --1-dx e x ?-=c e x
xe x
x ++---1 4、求幂级数
∑∞
=1n n
nx 的和函数 ) (x f . 解 : 1||
=
∑∞
=+'
1) (
n n nx
∑∞=+0
) 1(n n
x n =∑∞=0
n n
nx +∑∞
=0
n n
x
?
∑∞
=0
n n
nx ='
1) (∑∞
=+n n nx
-∑∞
=0
n n x ==---x x x 11) 1(' =---x x 11) 1(122
) 1(x x
- 5、 L 为过 ) 0, 0(O 和 ) 0, 2
(
π
A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y , 求 ?+++L
dy y dx y x . ) 2() (3
xdx a x da dy x a y cos sin , sin ===
?+++L
dy y dx y
x ) 2() (3
=?20
π
xdx +?
20
3
3
sin πxdx a
+?20
cos 2πxdx a +?
20
2
cos sin πxdx x a
=+82π+323a 2
22
a a + 6、求曲面积分
??++S
zdxdy dydz z x ) 2(, 其中 ) 10(, 22
≤≤+=z y x
z , 取上侧 .
解:应用 Gauss 公式,并应用极坐标变换得:
??
++S
zdxdy dydz z x ) 2(=?????+?+?V
dxdydz z
z
x z x ) ) 2((
=??????==1
00202333
πθπ
z
V
rd dr dz dxdydz . 二、 (30分)判断题(正确的证明,错误的举出反例)
1、若 }, , 2, 1, { =n x n 是互不相等的非无穷大数列,则 }{n x 至少存在一个聚点 ). , (0+∞-∞∈x 解:正确。 }{n x 在数轴上对应的点集必有界无限的子点集 {}k n x ,故由聚点定理,点集 {}k n x 至少存 在一个聚点 ).
, (0+∞-∞∈x
2、若 ) (x f 在 ) , (b a 上连续有界,则 ) (x f 在 ) , (b a 上一致连续 .
解: 错误 . 反例 1() sin
f x x =在 (0,1)上连续 , 且有界 , 但 1
() sin
f x x =在 (0,1)上不一致连续 .
3、若 ) (x f , ) (x g 在 ]1, 0[上可积,则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1
10) () () 1
() (1lim .
解: 正确。
证:) (x f , ) (x g 在 ]1, 0[上可积,故对 , |) (|, 0],1, 0[M x f M x ≤?>?∈?且 ) (x f ) (x g 在上也可积,
∑∑∑===--=--n i n i n i n
i
g n i g n i f n n i g n i f n n i g n i f n 111|)]() 1()[(|1|) () (1) 1() (1|
1111|() () |(, ) 0,() n
n
i
i i M i i g g M g I n n
n n n ω==-≤-≤→→∞∑∑, 故 11111lim[() () () ()]0n n n i i i i i i
f g f g n n n n n n →∞==--=∑∑,
111lim () () n n i i i f g n n n →∞=-∑1
1lim[() ()]n n i i i
f g n n n →∞==∑
1
() () f x g x dx =?.
4、若
∑∞
=1
n n
a
收敛,则
∑∞
=1
2n n
a
收敛 .
解: 错误。反例 ∑
∞
=+-1
1
) 1(n n n
收敛 , 但
∑∞
=1
1
n n 发散 .
5、若在 2
R 上定义的函数 ) , (y x f 存在偏导数 ) , (y x f x , ) , (y x f y , 且 ) , (y x f x , ) , (y x f y 在 (0,0)上连 续,则 ) , (y x f 在 (0,0)上可微 . 解: 正确 . 书上的定理
证:) 0, 0() 0, 0(f y x f z -?+?+=?
=+?+-?+?+)) 0, 0() 0, 0((y f y x f )) 0, 0() 0, 0((f y f -?+ =y y f x y x f y x ??+-??+?+) 0, 0() 0, 0(21θθ
有 ) , (y x f x , ) , (y x f y 在 (0,0)上连续,
∴αθ+=?+) 0, 0() 0, 0(1x f x f , βθ+=?+) 0, 0() 0, 0(2y f y f
当 ) 0, 0() , (→??y x 时, 0, →βα,
∴ y x y f x f z y x ?+?+?+?=?βα) 0, 0() 0, 0(
根据定义,可知 ) , (y x f 在 (0,0)上可微 .
6、 ) , (y x f 在 2
R 上连续 , }) () (|) , {() , (2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-=,
若 ??
=>??r
D dxdy y x f r y x , 0) , (,
0), , (00 则 . ) , (, 0) , (2R y x y x f ∈=
解:正确 .
用反证法 , 假若存在一点 , 使得
00(, ) 0f x y ≠, 不妨设 00(, ) 0f x y >,
则存在 0r >, 使得在 }) () (|) , {() , (2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-=上有 (, ) 0
f x y >,
于是
(, ) 0r
D f x y dxdy >??, 矛盾 .
三、 (15分)函数 ) (x f 在 (, ) -∞+∞上连续,且 , ) (lim A x f x =∞
→ 求证:) (x f 在 ). , (+∞-∞上有最大值
或最小值。
证明 :1) 若 A x f ≡) (,显然 ) (x f 在 ) , (+∞-∞同时有最大、最小值 A .
2) 设 () f x 不为常数 A , 则 1x ?, 使得 A x f >) (1或 A x f <) (1,="" 当="" a="" x="" f="">) (1时 ,
由函数 ) (x f 在 (, ) -∞+∞上连续,且 ,
) (lim A x f x =∞
→知
) (x f 在 (, ) -∞+∞上有界 ,
当 A x f >) (1时 , ) (x f 在 (, )
sup
() x M f x A
∈-∞+∞=>上 ,
再由 ,
) (lim A x f x =∞
→存在 0b >, 当 ||x b >时 , 有 () f x M <, 所以="" [,="">,>
sup ()
x b b M f x ∈-=,
由 ) (x f 在 (, ) -∞+∞上连续 , 所以 ) (x f 在 [, ]b b -上连续,由最值定理知存在 [, ]b b ξ∈-, 使得
() f M ξ=最大 .
同理当 A x f <) (1时="" ,="" )="" (x="" f="" 在="" )="" ,="" (+∞-∞上有最小值。="" 结论得证="">)>
四、 (15分)求证不等式 :].1, 0[, 122
∈+≥x x x
证明 :令 12) (2
--=x x f x , 则 0) 1() 0(==f f , 对 ]1, 0[∈?x , 有
x x f x
22ln 2) ('
-= , 022ln 2) (2
'
' <>
x f 因此 ) ('
x f 在 [0,1]上单调递减且连续 , 又
022ln 2) 1(, 02ln ) 0(' ' <-=>=f f .
故由介值定理知存在 ξ, 使得
. 0) ('
=ξf
那么在 ], 0[ξ上 ) (x f 单调递增 , 在 ]1, [ξ上 ) (x f 单调递减 . 因此 ) (x f 可在端点处取得最小值 , 又 0) 1() 0(==f f .
所以在 ]1, 0[上
0) (≥x f , 即 ].1, 0[, 122∈+≥x x x
五、设 ) (x f n ,
, 2, 1=n 在 ], [b a 上连续 , 且 ) (x f n 在 ], [b a 上一致收敛于 ) (x f .
若 ], [b a x ∈?, 0) (>x f . 求证 :, 0, >?δN 使 ], [b a x ∈?, N n >, . ) (δ>x f n
证明 : 由函数列 )}({x f n 的每一项在 ], [b a 连续且一致收敛于 ) (x f , 可知 ) (x f 在 ], [b a 上也连续 , 因此 有界 . 不妨设 ]}, [|) (min{b a x x f m ∈=, 因为对任意 ], [b a x ∈, 有 0) (>x f . 所以 0>m
) (x f n 在 ], [b a 上一致收敛于 ) (x f , 即对 , , 0N ?>?ε对 ], [, b a x N n ∈?>?有
ε->) () (x f x f n 当取 2
m
=
ε时 , 有 ) 1(02
2) () (>=-
≥->m m m x f x f n ε
对上述 0, , >=?εδεN 则 (1)式成立 , 且 . 2
) (δ=>
m
x f n 六、 (15分)设 }{n a 满足(1) ; , 2, 1, 1000 ++=≤≤k k n a a n k (2)级数 ∑∞
=1
n n
a
收敛 .
求证 :0lim =∞
→n n na .
证明 :级数
∑∞
=1
n n
a
收敛,由级数收敛的柯西准则:, , 0N ?>?ε对任何 +
∈Z p , 有
ε<++++++||21p n="" n="" n="" a="" a="" a="">++++++||21p>
由于 ; , 2, 1; , 2, 1, 1000 ++==≤≤k k n k a a n k 那么
<++++++p n="" n="" n="" a="" a="" a="">++++++p><++++-++-+-p n="" p="" p="" n="" n="" p="" n="" p="" a="" p="" a="" a="" a="" 12211100100100="">++++-++-+-p>
而当 p 充分大时 , 1
100-<+p p="" p="" n="">+p>
ε<><+-+p n="" p="" p="" n="" a="" p="" a="" p="" n="" 1100)="" (0="" 因此有="" 0lim="∞→n" n="" na="">+-+p>
七、 (15分)若函数 ) (x f 在 ) , 1[+∞上一致连续,求证:x
x f )
(在 ) , 1[+∞上有界 . 证明 : 由函数 ) (x f 在 ) , 1[+∞上一致连续 对 1ε=,
0δ?>, 对 ' '' , [1, ) x x ?∈+∞, 且满足 ' ''
||x x δ-≤时 , 有
' '' |() () |1f x f x -<, 特别有="" |(1)="" )="" ()="" |1f="" n="" f="" n="">,>
于是 |(1) ) ||(1) ) () ||() |f n f n f n f n δδδδ+≤+-+ 1|() |(1) () f n n k f k δδ≤+≤
≤+-+,(1(1) k k δδ≥>-)
对任意 [1,) x ∈+∞, 存在 m , 使得 (1) m x m δδ<>
|() ||() () ||() |1|() |f x f x f m f m f m δδδ≤-+≤+() () m k f k δ≤-+ (() ) m f k k δ=+-(() ) x
f k k δδ
≤
+-,
故有
() |
|f x x 1(() ) 1
|() |f k k f k k x δδδδ-≤+≤+-, 即得
x
x f )
(在 ) , 1[+∞上有界 .
八、 (15分)设 ) , , (), , , (), , , (z y x R z y x Q z y x P 在 3
R 有连续偏导数,而且对以任意点 ) , (00, 0z y x 为中 心,以任意正数 r 为半径的上半球面 , , ) () () (:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+- 恒有
(, , ) (, , ) (, , ) 0r
S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++=??
,
求证 : 3(, , ) x y z R ?∈ , 有 (, , ) 0, (, , ) (, , ) 0x y R x y z P x y z Q x y z =+= 证明: 记 222000:() () , , r D x x y y r z z -+-≤=
22220000:() () () , , r V x x y y z z r z z -+-+-≤≥
0(, , ) (, , ) (, , ) r
S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
=++??
(, , ) (, , ) (, , ) r
S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
=++?? (, , ) (, , ) (, , ) r
D P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
+++??
(, , ) (, , ) (, , ) r
D P x y z d y d z Q x y z d z d x R x y z d x d y
-++??
(
) r
V P Q R
dxdydz x y y ???=++??????0(, , ) r
D R x y z dxdy
+??
在 2
1(
) r
V P Q R dxdydz r x y y π???++??????02
1(, , ) 0
r
D R x y z dxdy r
π+=??
中 ,
令 0r +→, 则有 000(, , ) 0
R x y z =, 于是
(, , ), (, , ) 0, x y z R x y z ?=
进而
(
) 0r
V P Q dxdydz x y
??+=?????,
在
3
1(
) 023r
V P Q
dxdydz x y
r ??+=?????中 , 令
0r +→, 则有 000
(
)(, , ) 0
P Q x y z x y ??+=??,
故 3(, , ) x y z R ?∈ , 有 (, , ) 0, (, , ) (, , ) 0x y R x y z P x y z Q x y z =+=
范文四:华东师大2005数学分析考研真题
2005年攻读硕士学位研究生入学考试
考试科目:数学分析
考生注意:无论以下试题中是否有答题位置,均应将答案做在考场另发的答题纸上。
一.(每题6分,共24分)判断下列命题的真伪(正确的命题请简要证明,错误的命题请举出反例)
1.lim a n =A 的一个充要条件是:存在正整数N ,对于任意正数ε,当n >N 时
n →∞
均有a n -<>
2. 设f (x )在[a , +∞)上连续,f (x )在[a , +∞)上一致连续,那么(f (x ))在[a , +∞)上一
2
致连续.
∞
a n
=0,那么正项级数∑a n 收敛. 3. 设a n >0,lim n →∞1n =1
n
4. f (x , y )在点(x 0, y 0)沿任意方向导数都存在,则函数f (x , y )在点(x 0, y 0)连续. 二.(每题8分,共64分)计算下列各题;
1??11. 求极限lim 2-? 2n →0x sin x ??
2. 求极限lim sin 2n +2cos 2n
n →∞
3. 求曲线x y =x 2y ,在(1, 1)处的切线方程. 4. 设f (x )在R 上连续,g (t )=?2f (x )dx ,求g ' (t ).
t e t
5. 求??2
x +y 2≤1
3x +4y dxdy .
6. 设f (1, 1)=1,f x ' (1, 1)=a ,f y ' (1, 1)=b ,g (x )=f (x , f (x , f (x , y ))),求g ' (1).
x 2y 2z 2
7. 设S 是有向曲面2+2+2=1外侧,求第二型曲面积分??zdxdy .
S a b c x 2y 2z 2
8. 设椭球面2+2+2=1, x >0, y >0, z >0的切平面与三个坐标平面所围成
a b c
的几何体的最小体积.
三.(第一题至第四题每题12分,第五题14分,共62分)证明以下个题: 1. 设f (x )在有限区间(a , b )上一致连续,求证:f (x )在区间(a , b )上有界.
2. 已知a 2n -1
∞n +111n
=,a 2n =?dx ,求证:∑(-1)a n 条件收敛.
n n x n =1
3. 设f (x )在区间[a , b ]连续,f (x )>0. 求证:函数列于1.
f x 在[a , b ]上一致收敛
}
4. 设f (x , y )在[a , b ]?[c , d ]上连续,求证:g (y )=max f (x , y )在[c , d ]上连续.
x ∈[a , b ]
5. 设f (x )在区间[a , +∞)上的有界连续函数,并且对于任意实数c ,方程
f (x )=C 至多只有有限个解,求证:lim f (x )存在.
x →+∞
2005年硕士研究生入学考试数学分析试题参考解答
一、判断下列命题的真伪,正确的命题请简要证明,错误的命题请举出反例(每
题6分,共24分):
a n =A , 但是不存在正整数N ,对于1. 错误。反例如下:a n =, A =0, 则n lim
→+∞
1n
任意正数ε,当n >N 时均有a n -A <ε,事实上,对此数列a n="" ,若存在正整数n="" ,对于任意正数ε,当n="">N 时均有a n -A <ε,则当n>N 时均有a n =A ,即a n 是常数列,显然与a n =
1
产生矛盾。 n
f (x ) =A 是有限2. 正确。证明如下:因为f (x )在[a , +∞)上一致连续,故x lim →+∞
实数,从而, f(x)在区间[a +∞) 有界,即存在正数上
M >0, 使f (x ) ≤M (?x ∈[a , +∞) ),再由f (x )在[a , +∞)上一致连续,故对于任意正数ε,存在正数δ>0, 使得对任意的x , y ∈[a , +∞当恒有) , x -y δ<>
f (x ) -f (<>
δ
2M
,从而
f (x ) 2-f (y ) 2=f (x ) -f (y ) f (x ) +f (y ) ≤(f (x ) +f (y ) )f (x ) -f (y ) <2m>2m>
2M
ε
那么(f (x ))在[a , +∞)上一致连续.
2
1
1a n 1
3. 错误。反例如下:a n =, lim =lim =lim =0,由于广义n →+∞ln n n ln n n →∞n →+∞n n
积分?1
+∞
∞+∞+∞1
=?d ln ln x =ln ln x =+∞是发散的,故正项级数∑a n 发1x ln x n =1
散,所以命题结论不成立。
?0,(x , y ) =(0,0);
?
4. 错误。反例如下:f (x , y ) =?x 3+y 3. 则f (x , y )在点(0,0)沿任
,(x , y ) ≠(0,0),?x 2+y
?
意方向导数都存在(y =kx , x →0) 且导数为零,函数f (x , y )在点(0,0)不连续. (因为
(x , y ) →(0,0)
lim
f (x , y ) 不存在,事实上当点(x , y )沿曲线y =kx 3-x 2(k 为非零常数)
1
)。 k
二.计算下列各题(每题8分,共64分); 1. 解:
趋向(0,0)时,该极限等于
1?sin 2x -x 2sin 2x -x 2?1
lim 2-2?=lim 22=lim n →0x n →0sin x ?n →0x sin x x 4?
sin 2x -2x 2cos 2x -2-4sin 2x 1=lim =lim =lim =-n →0n →0n →04x 312x 224x 3
=1,所以由夹
2.
解:因为1
n lim 逼定理即得=1。
n 3. 解:对曲线x y =x 2y 两边取对数求导,得y ln x =2ln x +ln y , y 'ln x +=+
令x=1,y=1代入解得y ' =-1,曲线x y =x 2y 在(1, 1)处的切线方程为:
y
x 2x y ' ,y
y -1=-1(x -1), 即x +y =2。
4. 解:因为f (x )在R 上连续,所以f (x )存在原函数,设F (x ) 是f (x )的一个原函
数,则g (t ) =F (e ) -F (t 2) ,因此g '(t ) =-F '(t 2)2t =-f (t 2)2t =-2tf (t 2) 。
5. 解:根据题意作极坐标变换:?
?x =r cos θ
(0≤θ≤2π,0≤r ≤1), 注意到:
?y =r sin θ
?x ?x ,
cos θ, -r sin θ?r ?θJ ===r ,所以
?y ?y sin θ, r cos θ, ?r ?θ
??
x 2+y 2≤1
3x +4y =?d θ?3r cos θ+4r sin θ=?
2π12π
3cos θ+4sin θθ?r 2dr ,
1
然而
?
2π
π
20
3cos θ+4sin θθ=(?+π
π-arctg
34
2
+?
π
34
π-arctg
+?+3π
π
2
3π2
2π-arctg
34
+?
2π
34
2π-arctg
) 3cos θ+4sin θd θ
=7+2+1+7+2+1=20,因此??2
x +y 2≤1
3x +4y =
20。 3
6. 解:分解g(x,y) 的复合过程有:g(x,y)=f(x,u),u=f(x,z),z=f(x,y), 所以有:
g ' x (x , y ) =f x '(x , u ) +f y '(x , u ) u x ', u x ' =f x '(x , z ) +f y '(x , z ) z x ', z x ' =f x '(x , y )
把f (1, 1)=1,f x ' (1, 1)=a ,f y ' (1, 1)=b 代入上面表达式计算得g '(1,1) =a (1+b +b 2) 。
?x =a sin θsin ??
7. 解:作广义坐标变换?y =b sin θcos ?(0≤θ≤2π,0≤?≤π) 注意到:
?z =c cos θ?
?x ?x ,
?θ??a cos θsin ?, a sin θcos ?J ===-ab sin θcos θ,所以有:
?y ?y b cos θcos ?, -b sin θsin ?, ?θ??
??
=
S
zdxdy =??c cos θ-ab sin θcos θθd ?=?d θ?c cos θ-ab sin θcos θ?
Ω
2ππ
π
2
abc ?cos θsin θcos θd θ=0
2π
8. 解:设切点为C (x 0, y 0, z 0),则通过坐标变换可以求出过点C 的切平面的方程
x x y y z z
0+0+0=1,所以切平面与三个坐标面所围成的几何体是一个三棱锥,
a b c
他的体积是V =
2
abc
,由重要不等式可知:
6x 0y 0z 0
2
2
02
02
y 1=++
a
2
b c
≥?
1
≥
x 0y 0z 0?所以V ≥,等号当且仅当(
x 0, y 0, z 0)=??时取到。 ??
三.(第一题至第四题每题12分,第五题14分,共62分)证明以下个题:
1. 证明:因为f (x )在有限区间(a , b )上一致连续,故lim f (x ) =A 和lim f (x ) =B 是
x →a +x →b -
有限实数,则可以扩充定义使f (x )在[a,b]上连续(令f(a)=A,f(b)=B),从而f(x)在区间[a , b ]上有界,因此f (x )在区间(a , b )上有界. 。
2. 证明:由已知条件知a 2n -1=,a 2n =?n
n
k
1
n
n +1
n +111
dx =ln x =ln(1+) ,令:
n x n
S n =∑(-1)a k ,则易证S 2n 有界数列,故lim S 2n 存在有限,注意到
k =1
n →+∞
S 2n +1=S 2n +(-1)
2n +1
a 2n +1=S 2n -a 2n +1=S 2n -
∞
1
,则lim S 2n +1=lim S 2n
n →+∞n →+∞n +1
1
,所以级数n
n
因此lim S n 存在,即∑(-1)a n 收敛. 。另一方面,注意到:a n ≥
n →+∞
n =1
∑(-1)
n =1
∞
n
a n 不绝对收敛,也就是∑(-1)a n 条件收敛。
n
n =1
∞
3. 证明:因为f (x )在区间[a , b ]连续,故f (x )在[a , b ]上存在最大值M 和最小值m ,
即m ≤f (x ) ≤M (x ∈
[a , b ])
,则
n
lim
=1
≤≤≤→0(n →+∞)
所以函数列
f x 在[a , b ]上一致收敛于1.
}
4. 证明:用连续性定义结合反证法即可得到命题结论。
f (x )不存在,由于f (x )是有界函数, 故由归结原则和5. 证明:用反证法。假设x lim
→+∞
致密性定理知道存在两个趋向正无穷的无限点列{x n }和{y n },使lim f (x n ) =A ,
n →+∞
n →+∞
lim f (y n ) =B 而且A ≠B ,不妨设A
A +B
,存在自然数N, 当n >N 2
时, 恒有f (x n )
z n , 使f (z n ) =C , 则方程f (x )=C 有无限多个解z n (n >N ) ,与题设条件矛盾, 故假设不成立, 即lim f (x )存在.
x →+∞
范文五:华东师大数学分析习题解答5
《数学分析选论》习题解答
第 五 章 级 数
1.下列命题中有些是真命题, 有些是伪命题.对真命题简述理由;对假命题举出反例 (题中“
∑n a ”是“ ∑∞
=1n n a ”的简写)
: (1) ∑n a , ∑n b 发散 ?∑±) (n n b a 发散; (2) ∑n a , ∑n b 收敛
?
∑n
n b a 收敛; (3) ∑∑n n
b a 2
2, 收敛 ?
∑n
n b a 收敛; (4) ∑n a , ∑n b 绝对收敛 ?
∑n
n b a 绝对收敛;
(5) ∑n a 收敛, ∑n b 绝对收敛
?
∑n
n b a 绝对收敛;
(6) ∑n a 收敛, 1lim
=∞
→n n b ?
∑n
n b a 收敛;
(7)
∑||n a 收敛, 1lim =∞
→n n b ?
∑||n n b a 收敛;
(8) 0lim =∞
→n n a ? -+-+-+-332211a a a a a a 收敛; (9)
∑n a 收敛 ?
∑
a n
收敛; (10) ∑n a 收敛
?0lim =∞
→n n a n ;
(11) ∑||n a 收敛
?
∑++) (1n n a a a 收敛;
(12)
∑n
a 收敛 ?
∑+-|
|1n n a a 收敛;
(13) {}n a 与
∑++) (1n n a a 收敛 ?
∑n a 收敛;
(14) ∑+||1n n a a 收敛 ?∑n a 收敛;
(15) 1||≥n a n ?∑n a 发散;
(16)
∑n
a 2收敛 ?∑n
a 3收敛;
(17) 0
lim =∞
→n n a ?
∑+-|
|1n n a a 收敛;
*
(18) ∑+-||1n n a a 收敛 ?
{}n a 收敛;
(19) ||n a ~
) (∞→n n c p
?
∑||n a 与 ∑
n 1
同敛态; *
(20)
∑n a 收敛 ?0) 2(1
lim
21
=+++∞
→n n a n a a n . 解 其中有十二个真命题:(3) , (4) , (5) , (7) , (8) , (9) , (11) , (13) , (16) , (18) , (19) , (20) ;其余八个是伪命题.现依此简述如下:
(1)反例:0) (, , =+-==∑n n n n b a n b n a 为收敛.
(2)反例:∑
-n
n
) 1(收敛, ∑∑=???
?
??-n n n 1) 1(2
为发散. (3)因 n
n n n b a b a 2
2||+≤. (4) , (5) 因
∑n a 收敛
?) (1||0lim N n a a n n n >≤?=∞
→
∑∑?
?
??≤?|
|||||||n n n n n n b a b b b a 收敛 收敛.
(6)反例:n
b n
a n
n n
n ) 1(1, ) 1(-+
=-=
, ∑∑???
? ??+-=n n b a n n n 1) 1(为发散. (7)因 1
lim =∞
→n n b ?) (2||N n b n >≤,
∑∑?
?
??
≤?|
|||||2||n n n n n n b a a a b a 收敛 收敛.
(8)因 0lim ) (0, 0122=?∞→→==∞
→-n n n n n S n a S S . (9)据阿贝尔判别法, ∑n a 收敛, ?
??
??
?n 1单调有界,故 ∑
a n
收敛. (10)反例:=∑n a ∑
-n
n
) 1(收敛,而 {}{}
n n a n ) 1(-=不存在极限.
(11)由
∑||n a 收敛,
∑++?≤++?
≤++≤++?.
绝对收敛 ) (|
|) (||||1111n n n n n n n a a a a M a a a M a a a a
(12)反例:=∑n a ∑
-n n ) 1(收敛, ∑∑++=-+)
1(1
2||1n n n a a n n 发散. (13) {}.
收敛 收敛 已知 收敛 收敛 ∑∑∑?-?
??
+-?
++n n n n n n a a a a a a 2)
() () (11
(14)反例:=∑n a ++++=-+∑10102
) 1(1n
发散,但因 01≡+n n a a ,
故
0|
|1=∑+n n a a 为收敛.
(15)反例:=∑n a ∑
-n
n
) 1(收敛,满足 1||≥=
n a n n .
(16)
∑∑?
>≤?>≤?.
绝对收敛
收敛 3232) (||) (1||n n
n n n a N n a a N n a a (17)反例:同(12)题.
(18) ∑+-||1n n a a 收敛 N n N >∈?>ε??+当 , , 0N 时, +∈?N p , 有
.
ε<>
ε<>
n p n n n p n n p n p n n n a a a a a a a a a a 1211121,
所以 {}n a 满足柯西条件,从而收敛.
(19) ||n a ~
) (∞→n n
c p
∞+<>
→c a n n p n ||lim . 可 见
∑|
|n a 与
∑
n 1
同时收敛,或同时发散. (20)设
∑n
a 的前 n 项部分和为 , 2, 1, =n S n ,且 S S n n =∞
→lim .则有
().
. 011lim 21lim ) (,
)
() (2212121121112121=-=??
????--+++-=+++?+++-=-++-+=+++-∞→∞→--S S n n n S S S S a n a a S S S S n S S n S S S a n a a n n n n n n n n n n □
2.设
∑∞
=1
n n
a 为证项级数,试证对数判别法:
(1)若存在 0>ε和 +∈N N ,使得当 N n > 时,有
ε+≥11
ln ln 1n n
. , 则
∑∞
=1
n n
a 收敛;
(2)若存在 +∈N N ,使得当 N n > 时,有 11
ln ln 1≤n n . ,则 ∑∞
=1
n n a 发散.
证 把不等式分别改写成: (1) +ε+≤≥111, ln 1
ln
n a n n n 即 ; (2) n
a n n n 1, ln 1ln
≥≤即 . 根据比较法则, (1) 时
∑∞
=1
n n
a 收敛; (2) 时
∑∞
=1
n n
a 发散. □
3.利用对数判别法鉴别下列正项级数的敛、散性: (1)
∑
∞
=1
ln 3
1n n
; (2)
∑
∞
=1
ln ln )
ln (1n n
n ; (3)
) 0(1
ln >∑∞
=x n n x
.
解 (1) n n a ln 31=
,
050109813ln 1
ln ln 1. . . +>≈=n n
,故收敛. (2) n
n n a ln ln ) ln (1
=
,
) 16(0101ln ln 1ln ln 1≥+>=n n n
n . . ,故收敛. (3) x n n a ln =,由于
n x n
n 1ln ln ln 1ln ln 1=-=. , 故当 ) 0(e 101>ε?≤
<>
+x 时收敛; 1
≥
x 时发散. □ 4.证明:
(1)若
∑∞=1
n n a n 收敛,则 ∑∞
=1
n n
a 收敛;
(2)若
∑
∞
=1
n n n a 收敛,则 p x >时 ∑∞=1
n n
n a 也收敛. 证 (1) ∑∑∞
=∞=???
? ??=111n n n n a n a . .由阿贝尔判别法,已知 ∑∞=1n n a n 收敛,而 ??????n 1 单调有界,故
∑∞
=1
n n
a 收敛.
(2)同理,由
∑∑
∞=-∞
=???? ?
?=11
1n n n n n n a n a . , ∑∞=1n n n a 收敛, ??
????????-n 1当 p x >时 单调有界,故
∑
∞
=1
n n
n a 收敛. □ 5. 证明:若 {}) (x f n 与 {}) (x g n 都在 E 上一致收敛, 则 {}) () (x g x f n n ±在 E 上 也一致收敛.
证 设 ) (x f n →→) (x f , ) (x g n →→) (x g , E x ∈. 依据定义, +∈?>ε?N N , 0, 当 N n >时,对一切 E x ∈,恒有
2
) () (ε
-x f x f n , 2
) () (ε
-x g x g n ; 于是又有
[][]
ε<-+-≤±-±) ()="" ()="" ()="" ()="" ()="" ()="" ()="" (x="" g="" x="" g="" x="" f="" x="" f="" x="" g="" x="" f="" x="" g="" x="" f="" n="" n="" n="" n="">-+-≤±-±)>
所以 ) () (x g x f n n ±→→) () (x g x f ±, E x ∈.
注:本题也可用确界逼近准则( p . 138 定理 5. 2 )来证明. □
6.设 f 在区间 I 上一致连续, ) (x n ?→→) (x ?, E x ∈,且 ) (, ) (E I E n ???,
, 2, 1=n .试证:) ) ((x f n ?→→) ) ((x f ?, E x ∈.
证 因 f 在 I 上一致连续,故 0, 0>δ?>ε?,只要 δ<''-'u u ) , (I u u ∈''', 便有
ε<''-') () (u f u f .
对上述 δ,由 ) (x n ?→→) (x ?, E x ∈,必定 +∈?N N ,当 N n >时,对一切
E x ∈,均有 δ-?) ()="" (x="" x="" n="" .记="" i="" x="" u="" i="" x="" u="" n="" ∈?='' ∈?=') (, ) (,则有
ε-?=' '-')="" )="" (()="" )="" (()="" ()="" (x="" f="" x="" f="" u="" f="" u="" f="" n="">?-?)>
这就证得 ) ) ((x f n ?→→) ) ((x f ?, E x ∈. □ 7.证明:
∑
∞
=1
) (n n x f 在 E 上一致收敛的必要条件是 ) (x f n →→E x ∈, 0.
证 设 , ) () (1
∑
==n
k k n x f x S ) (x S n →→E x x S ∈, ) (,则 =) (x f n ) (x S n ) (1x S n --.
由题5易知
) (x f n →→E x x S x S ∈=-, 0) () (. □
8.设
∑∞
=1
n n
a 收敛,试证
) , 0[e 1
∞+-∞
=∑在 x n n n a 上一致收敛.
证 由一致收敛的阿贝尔判别法,数项级数
∑∞
=1
n n
a 收敛即一致收敛;对每个 0≥x ,
x
n -e 对 n 单调(减) ,且一致有界 , ) , ) , 0[,
1e (
+-∈∞+∈≤N n x x n 故
x
n n n a -∞
=∑e 1
在 ) , 0[∞+上一致收敛. □
9.判别下列函数序列或函数项级数在指定的区间上是否一致收敛:
(1) ??
?
????
??
?n nx
sin , ) , (∞+∞-∈x ; (2) ∑∞=+-1sin ) 1(n n x n , ) , (∞+∞-∈x ; ) 3(*
]1, 0[, , ) () (, , ) () (, ) (1121∈===-x x f x x f x f x x f x x f n n ;
(4) ??
?
???????+1n n x x ,
(ⅰ) ]1, 0[∈x , (ⅱ) ) 10(]1, 0[<><δ-∈x ;="">δ-∈x>
]1, 0[, ) (1
2∈+∑
∞
=+x n
n x x n n
n .
解 (1)由于 0sin lim
=∞
→n
nx n ,且
) (010sin sup
)
, (∞→→=
-∞+∞-∈n n
n
nx x ,
因此
n
nx sin →→
0, ) , (∞+∞-∈x . (2)由函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法,
1) 1(1
≤-∑=n
k k
为一致有界;
) , (∞+∞-∈?x ,
x
n sin 1
+关于 n 单调(减) ;且 0sin 1lim =+∞→x n n ,
) (01
1
0sin 1sup
)
, (∞→→-=-+∞+∞-∈n n x n x ,
从而 x n sin 1+→→0, ) , (∞+∞-∈x . 所以, ∑∞=+-1sin ) 1(n n x
n 在 ) , (∞+∞-上为一致收 敛.
(3)事实上, ) () () (21
1∞→=→=-
n x x f x
x f n .记
]1, 0[, ) () () (211∈-=-=-
x x x
x f x f x g n n ,
由 01211) (2=-???
? ?
?
-='-x x g n n
,求出 ) (x g n 的最大值点 n
n x 2211??
?
?
??-=,和最
大值 n
n n x g 2211121) (???
? ??--=.由于 ) (0e 0) () (max ) (sup 1-]
1, 0[]
1, 0[∞→=→==∈∈n x g x g x g n n n x n x . ,
因此 ) (x f n →→]1, 0[, ∈x x .
(4)设 1
111
) (+-
=+=
n
n
n n x x x x f ,则有
???
??=∈==∞→. 1, 2
1
,
) 1, 0[, 0) () (lim x x x f x f n n (ⅰ)由于 ) (0\2111
1sup ) () (sup
) 1, 0[)
1, 0[∞→→=???
?
??+-=-∈∈n x x f x f n
x n x ,因 此
{}) (x f n 在 ) 1, 0[上不一致收敛,从而在 ]1, 0[上更不一致收敛.
(ⅱ)当 ) 10(]1, 0[<><δ-∈x>δ-∈x>
) (01
) 1(11) () (sup
]
1, 0[∞→→+δ--
=-δ-∈n x f x f n
n x ,
因此 ) (x f n →→) (x f , ) 10(]1, 0[<><δ-∈x>δ-∈x>
(5)设 n
n n n
n x x x f ++=
2) () (.由于
]1, 0[, 0]
) 1([) () (21∈>+++='+-x n
n x n n x x f n
n n
,
因此有 22
23) 11(1) 1() 1() (0n
n n n f x f n
n n n <>
=
+=
≤≤+
.根据优级数判别法,由 ∑
∞
=1
2
3n n
收敛,可知
∑
∞
=++1
2) (n n
n n
n x x 在 ]1, 0[上一致收敛. □
10.证明:∑∞
=+-1
2
2)
1(n n
n
n x 在任何闭区间 ], [b a 上一致收敛;但对任何 x 不绝
对收敛. 证 由于
1)
1(1
≤-∑=n
k k
为一致有界, ], [b a x ∈?,
2
2n
n x +关于 n 单调(减) ,
0lim
2
2=+∞
→n
n x n ,
, (00sup
2
22
2]
, [∞→→+=
-+∈n n
n b n
n x b a x 设 ) ||||a b ≥,因
此根据狄利克雷判别法,该级数在任何 ], [b a 上一致收敛.
又因对任何 x , n n
n x n
1)
1(2
2≥+-,所以 ∑∞=+-1
22)
1(n n n n x 发散. □
11*.设 ) (0x u 在 ], [b a 上可积,
, 2, 1, d ) () (1==?-n t t u x u x
a
n n .
试证
∑∞
=1
) (n n x u 在 ],
[b a 上一致收敛.
证 设 M x u ≤) (0, ], [b a x ∈.则可依次估计得:
) (d ) (d ) () (001a x M t t u t t u x u x a
x
a
-≤≤=
?
?,
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ) (!
2d ) (d ) () (212a x M
t a t M t t u x u x
a
x a
-=
-≤≤??
n n x a
n n a b n M
a x n M t a t n M x u ) (!
) (! d ) (! ) 1() (1-≤-=--≤?
-.
而 ∑∞
=-1) (!
n n a b n M
易用比式判别法得知它收敛,故级数 ∑∞
=1
)
(n n x u 在 ], [b a 上一致收
敛. □
12.已知
∑∞
=1
)
(n n x f 在 E 上一致收敛.试讨论:当 ) (x g 在 E 上满足何种条件时,
就能保证
∑∞
=1
)
() (n n x f x g 在 E 上一致收敛?
解 这里可用一致收敛的柯西准则来讨论.由于
∑
∞
=1
) (n n x f 在 E 上一致收敛,故
+∈?>ε?N N , 01,当 N n >时,对一切 E x ∈和 +∈N p ,恒使
11
) (ε<>
++=p n n i i x f .
而
∑
∑++=++==p n n i i p
n n i i x f x g x f x g 1
1
) () () () (.
,
因此当设 ) (x g 在 E 上有界,即 E x M x g ∈≤, ) (时,就有
ε=ε<>
∑
++=++=11
1
) () () (M x f M
x f x g p n n i i p
n n i i .
此即表示
∑∞
=1
)
() (n n x f x g 在 E 上一致收敛. □
31*
. 证明:若对每个 , n ) (x f n 是 ], [b a 上的单调函数, 且
∑∞
=1
, ) (n n a f ∑
∞
=1
)
(n n b f 都绝对收敛,则
∑∞
=1
)
(n n x f 在 ], [b a 上为绝对一致收敛.
证 由假设条件,对每一个 , n 有
{})
(, ) (max ) (a f a f x f n n n ≤
[
]
n
n n n n M b f a f b f a f ==-++=
def )
() () () (1. 由于
∑
∞
=1
)
(n n a f 与
∑
∞
=1
)
(n n b f 都收敛,因此
[
]∑∞
=+1)
() (n n n b f a f 与 [
]∑∞
=-1
)
() (n n n b f a f
也都收敛,从而
∑∞
=1
n n
M 收敛.依据优级数判别法,证得
∑
∞
=1
) (n n x f 在 ], [b a 上为一致
收敛. □
14.设 ]2, 0[, ) 10(cos ) (0π∈<>
∑∞
=x r nx r x S n n .试求
?π
20
d ) (x x S .
解 由于 n
n
r nx r ≤cos ,而 r n n
=∑∞
=10
为收敛,因此 ∑∞
=0cos n n
nx r 为一致收
敛,于是可以逐项求积.据此便可求得
?π
20
d ) (x x S π=+
π==
∑∑
?∞
=∞
=π
20
. 2d cos 1
20
n n n n
r x nx r
. □
51*
.设函数 f 在 ) 1, (+b a 内连续可微 ) (b a <>
, 2, 1, ) , (, ) () 1() (=∈??
?
???-+=n b a x x f x f n x f n .
试证:(1) {}) (x f n 在任何 ], [βα) , (b a ?上一致收敛于 ) (x f ';
(2) ) () (d ) (lim
α-β=?
β
α
∞→f f x x f n n .
证 (1)由于 ) (x f '在 ], [βα上连续,从而一致连续.故 0, 0>δ?>ε?,只要
∈'''u u , ], [βα 且 δ<''-'u u , 便有 ε<'''-'') () (u f u f .而由假设,
.
. ], [, ) 1
, (, ) (1
) () () 1() (βα∈+∈ξξ'=ξ'=??
????-+=x x x f f n x f x f n x f n n n n
所以 ??
????δ=?1N ,当 ) 1
(δ<>N n 时,对任何 ∈x ], [βα,恒有
ε<'-ξ'=
'-) () () () (x f f x f x f n n .
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ε,则当n>ε,事实上,对此数列a>-=>)>-=>;>->