撸道灰飞烟灭
范文一：金版教程
05限时规范特训
A 级 基础达标
1．[2014·福州一中月考]“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( )
A ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0
B ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0
C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0
D ．若x ，y ∈R 且x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0
解析：由否命题的概念可知，原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，故选B.
答案：B
2．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )
A. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件
B. “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件
C. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件
D. “x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件
解析：因为A ∪B ＝C 且B 不是A 的子集，所以A 是C 的真子集，所以x ∈A 则x 一定属于C ，但x ∈C 不一定属于A 所以“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件．
答案：B
3．[2014·山东滨州模拟]“10a >10b ”是“lga >lgb ”的( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：由10a >10b 得a >b ，由lg a >lgb 得a >b >0，所以“10a >10b ”是“lg a >lgb ”的必要不充分条件，选B.
答案：B
4．[2014·广东六校联考] “不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
1A ．m 4
C ．m >0 B ．0
解析：不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝1－4m <0，∴1m>4∴“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是m >0.
答案：C
15．设a ，b 为实数，则“0
A ．充分不必要条件
C ．充要条件 B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
11解析：当0a b
1时，则有ab >1，∴“0
选D.
答案：D
6．“|x －a |
A ．充分非必要条件
C ．充要条件 B ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件
解析：∵|x －y |＝|(x －a ) －(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |
取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有
|x －y |＝2<5＝2m ，但|x="" －a="">
不满足|x －a |
故|x －a |
答案：A
7．[2014·南昌模拟]以下有四种说法：
①“a >b ”是“a 2>b 2”的充要条件；
②“A ∩B ＝B ”是“B ＝?”的必要不充分条件；
③“x ＝3”的必要不充分条件是“x 2－2x －3＝0”；
④“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”．
其中正确说法的序号是________．
解析：如2>－4，但22<(－4) 2，故①错；②正确；x="" ＝3可推出x="" 2－2x="" －3＝0成立，反之则不一定成立，所以③正确；“m="" 是有理数”可以推出“m="">
答案：②③④
8．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a="">0)，命题q ：实数
x 2y 2
m 满足方程＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q m －12－m
的充分不必要条件，a 的取值范围为________．
解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a>
x 2y 2
3a
33－m >m －1>0，解得1
?3a >1，
必要条件，所以?34a ≤?2
13的取值范围是[38]．
13答案：3，8 ?3a ≥1，或?34a
9．已知奇函数f (x ) 是R 上的减函数，且f (3)＝－2，设P ＝{x ||f (x ＋t ) －1|<1}，q ＝{x="" |f="" (x=""><－2}，若“x ∈q="" ”是“x="" ∈p="" ”的必要不充分条件，则实数t="" 的取值范围是______．="">
f (x ) 的图象可以以如图所示的图象为例，则Q ＝{x |x >3}．由|f (x ＋t ) －1|<>
答案：(－∞，－6]
10．已知函数f (x ) 在区间(－∞，＋∞) 上是增函数，a ，b ∈R .
(1)求证：若a ＋b ≥0，则f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论． 解：(1)由a ＋b ≥0，得a ≥－b .
由函数f (x ) 在区间(－∞，＋∞) 上是增函数，得f (a ) ≥f (－b ) ，同
理，f (b ) ≥f (－a ) ，
所以f (a ) ＋f (b ) ≥f (－b ) ＋f (－a ) ，即f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ．
(2)对于(1)中命题的逆命题是：若f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) ，则a ＋b ≥0，此逆命题为真命题．
现用反证法证明如下：
假设a ＋b ≥0不成立，则a ＋b <0，a><－b ，b=""><－a>
根据f (x ) 的单调性，得f (a )
这与已知f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b ) 相矛盾，故a ＋b <0不成立， 即a="" ＋b="">
11．求证：方程x 2＋ax ＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3，这个条件是其充分条件吗？为什么？
证明：设x 2＋ax ＋1＝0的两实根为x 1，x 2，则平方和大于3的等价条件是
2?Δ＝a －4≥0，??2 222?x ＋x ＝(x ＋x )－2x x ＝(－a )－2>3，?121212
2即a >5或a <－5. ∵{a="" |a="" 5或a=""><－5}，{a ||a="" |="">3}， ∴|a |>3这个条件是必要条件但不是充分条件． 3312．[2014·江苏模拟]已知集合A ＝{y |y ＝x －2＋1，x ∈[42]}，
B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
解：化简集合A ，
337由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －42＋16
37∵x ∈[42]，∴y min ＝16y max ＝2.
77∴y ∈[16，2]，∴A ＝{y |16≤y ≤2}．
化简集合B ，由x ＋m 2≥1，
∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ?B .
733∴1－m ≤16，∴m ≥4或m ≤－42
33∴实数m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4∞) ．
B 级 知能提升
1．[2014·天津一中模拟]对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y="" 〉”的(="">
A ．充分不必要条件
C ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：令x ＝1.8，y ＝1.9，满足|x －y |<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x 〉≠〈y="" 〉；而〈x="" 〉＝〈y="" 〉时，必有|x="" －y=""><1，所以“|x －y=""><1”是〈x 〉＝〈y="" 〉的必要不充分条件，故选b="">
答案：B
12．[2014·湖北宜昌调研]x <1成立”是“关于x>
等式|x －m |≤1成立”的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )
A ．m <－1或m>2
C ．m >2 B ．m <－1 d="" ．m="" ≤－1或m="">
1解析：由x 得，x <0或x>1.由|x －m |≤1得－1＋m ≤x ≤1＋m .
由题意利用数轴，易得1＋m <0或－1＋m>1，即m <－1或m>2. 答案：A
x －13．集合A ＝{x |<0}，b ＝{x="" ||x="" －b="">
?”的充分条件，则实数b 的取值范围是______．
解析：A ＝{x |x －1<0}＝{x>
a
答案：(－2,2)
4．[2014·莱州模拟]已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．
(1)若(P ∪S ) ?P ，求实数m 的取值范围；
(2)是否存在实数m ，使得“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：由x 2－8x －20≤0解得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}． 由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤1＋m ，∴S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．
(1)要使(P ∪S ) ?P ，则S ?P ，
①若S ＝?，此时，m <>
m ≥0，??②若S ≠?，此时?1－m ≥－2，??1＋m ≤10. 解得0≤m ≤3.
综合①②知实数m 的取值范围为(－∞，3]．
(2)由题意“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则S ＝P ，
???1－m ＝－2，?m ＝3，则?∴? ?1＋m ＝10，???m ＝9，
∴这样的m 不存在．
范文二：金版教程
05限时规范特训
A级 基础达标
1．[2014·山东莱芜模拟]已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝
f(2x)
( )
log2(2－x)3
A．[2) 3
C．(2)
3
B．[22) 1
D．[2，2)
?3≤2x≤6，
解析：由题意得?1
?log2(2－x)>0
项．
答案：B
?3≤x≤3，??2
?0<><>
3
2x<>
2．[2014·武汉模拟]若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( )
A. x－1 C．2x＋1
B．x＋1 D．3x＋3
解析：∵2f(x)－f(－x)＝3x＋1，① 将①中x换为－x，则有 2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，② ①×2＋②得3f(x)＝3x＋3， ∴f(x)＝x＋1. 答案：B
1－x2
3．[2014·浙江金华]已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝x(x≠0)，
1
则f(2等于( )
A. 1 C．15
B．3 D．30
11－16
111
解析：令1－2x＝2，得x＝4f(2)＝115，故选C.
16答案：C
4.
[2014·济南模拟]如右图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(
)
解析：根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D正确．
答案：D
2??x－4x＋6，x≥0，
5．[2014·宁夏模拟]设函数f(x)＝?则不等式
?x＋6，x<>
f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：画出分段函数的图象如图，令f(x)＝f(1)，得x＝－3，1,3.所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．故选
A.
答案：A
11
6．[2014·宁波联考]设集合A＝[0，2，B＝[2，1]，函数f(x)＝
?x＋1，x∈A，?2
?2(1－x)，x∈B，
1
A．(0，4] 11C．(42
若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是( )
11
B．(423
D．[0，81
解析：∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋2B. 11
∴f[f(x0)]＝f(x0＋2)＝2(1－x0－2＝1－2x0.
1
又f[f(x0)]∈A，∴0≤1－2x0<2><>
∴4x0<2b.>
2x－1
7．[2014·佛山模拟]f(x)＝，f(x)的定义域是________．
log1 (2x＋1)
2
?2x＋1>0，
解析：由已知得?
log1 (2x＋1)≠0，?2
2x－1≥0，
??
1∴?x>－2??2x＋1≠1.
1x≥2
11
∴x≥2f(x)的定义域为2，＋∞)． 1
答案：2，＋∞)
8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)＝________.
解析：令x＝y＝0?f(0)＝0；令x＝y＝1?f(2)＝2f(1)＋2＝6；令x＝2，y＝1?f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12；再令x＝3，y＝－3，得f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)－18＝0?f(－3)＝18－f(3)＝6.
答案：6
9．[2014·金版原创]已知函数
?3(0≤x≤1)，
f(x)＝1??log3x(x>1)，
2x(x<>
则
f{f[f(a)]}(a<>
解析：∵a<><><1，∴f[f(a)]＝f(2a)3，3>1，11∴f{f[f(a)]}＝f3)＝log33＝－2.
1
答案：－210. 已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R. (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域． 解：f(x)＝x2－4ax＋2a＋6＝(x－2a)2＋2a＋6－4a2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a＋6－4a2＝0. 3
解得a＝－1或a＝2(2)∵函数值域为非负数集，∴2a＋6－4a2≥0. 3
即2a2－a－3≤0，解得－1≤a≤2.
3217
∴f(a)＝2－a|a＋3|＝2－a(a＋3)＝－(a＋2＋43
∴f(a)在[－1，2]上单调递减． 19
∴－4f(a)≤4. 19
即f(a)值域为[－4
4]．
11.
[2014·珠海模拟]甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到
公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．
解：当x∈[0,30]，设y＝k1x＋b1，
??b1＝0，
由已知得?
?30k1＋b1＝2，?
11
∴k1＝15，b1＝0，y15x； 当x∈(30,40)时，y＝2； 当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
??40k2＋b2＝2，
由已知得?
?60k＋b＝4，?22
11
∴k2＝10，b2＝－2，y＝10x－2.
??
∴f(x)＝?2，x∈(30，40)，
1??10x－2，x∈[40，60].
2
1
15，x∈[0，30]，
??x－1，x>0，
12．已知函数f(x)＝x－1，g(x)＝?
??2－x，x<>
(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值； (2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式． 解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， ∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x<>
2??x－2x，x>0，
∴f[g(x)]＝?2
?x－4x＋3，x<>
当x>1或x<－1时，f(x)>0，故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2； 当－1<><><>
2??x－2，x>1或x<>
∴g[f(x)]＝? 2
??3－x，－1<><>
B级 知能提升
1．[2014·赣州模拟]对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f(x)＝x－[x]，那么下列命题中正确的一个是( )
A．f(5)＝1
1
B．方程f(x)＝3 C．函数f(x)是周期函数 D．函数f(x)是减函数
11114
解析：f(5)＝5－[5]＝0，故A错误；因为f(3)＝3[3＝3f(3441＝3[3＝3，所以B错误；函数f(x)不是减函数，D错误；故C正确．
答案：C
??a，a<>
2．[2014·临川一中模拟]对a，b∈R，记min{a，b}＝?，
?b，a≥b?
1
函数f(x)＝min{2，－|x－1|＋2}(x∈R)的最大值为________．
解析：
1
y＝f(x)是y＝2x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.
答案：1
－x??e－2(x≤0)
3．已知函数f(x)＝?(a是常数且a>0)．对于下列命
??2ax－1(x>0)
题：
①函数f(x)的最小值是－1； ②函数f(x)在R上是单调函数；
1
③若f(x)>0在[2)上恒成立，则a的取值范围是a>1； x1＋x2f(x1)＋f(x2)
④对任意x1<><>
解析：
作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；
显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；
1
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[2，＋∞)上的最111
小值为f2)＝2a×21＝a－1，所以若f(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；
由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<><0且x1≠x2，恒有x1＋x2f(x1)＋f(x2)f(2>
答案：①③④
??1，1≤x≤2，
4．设函数f(x)＝?g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其
?x－1，2<>
中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．
(1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数y＝h(x)的图象并指出h(x)的最小值．
??1－ax，1≤x≤2，
解：(1)由题意知g(x)＝?
??(1－a)x－1，2<>
当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数， 此时g(x)max＝g(3)＝2－3a，="" g(x)min＝g(1)＝1－a，="">
当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数， 此时g(x)min＝g(3)＝2－3a， g(x)max＝g(1)＝1－a， 所以h(a)＝2a－1；
当0≤a≤1时，若x∈[1,2]， 则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)； 若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1， 有g(2)
而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，
1
故当0≤a≤2g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； 1
当2a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.
?1?1－a，0≤a≤2，
综上所述，h(a)＝?1
a，2a≤1，?
?2a－1，a>1.
1－2a，a<>
1(2)画出y＝h(x)的图象，如图所示，数形结合可得h(x)min＝h(2)
1＝2
范文三：平面向量 金版教程
第二章 单元质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．[2012·宿州高一检测]如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )
A ．a ＝b C ．a ＝－b
B ．a ·b ＝1 D ．|a |＝|b |
[解析] ∵a ，b 都是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. [答案] D
→→→
2．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A ＋PB ＝PC 成立时，点P 位于( )
A ．△ABC 的AB 边上 C ．△ABC 的内部
B ．△ABC 的BC 边上 D ．△ABC 的外部
[解析]
→→→
P A ＋PB ＝PC ，则P 在△ABC 的外部(如图) ． [答案] D
3．[2013·吉林实验高一联考]设x ，y ∈R ，向量a ＝(x, 1) ，b ＝(1，y ) ，c ＝(2，－4) 且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A. 5 C. 10
B. 25 D. 10
[解析] 由a ⊥c 且b ∥c ，得2x ＋1×(－4) ＝0，且1×(－4) －2y ＝0，即x ＝2，y ＝－2.
∴a ＋b ＝(2,1)＋(1，－2) ＝(3，－1) ． ∴|a ＋b |＝3＋(－1)10. [答案] C
4．若三点A (2,3)，B (3，a ) ，C (4，b ) 共线，则有( ) A ．a ＝3，b ＝－5 C ．2a －b ＝3
B ．a －b ＋1＝0 D ．a －2b ＝0
→→→→
[解析] AB ＝(1，a －3) ，AC ＝(2，b －3) ，AB ∥AC ?b －3＝2a －6,2a －b ＝3.
[答案] C
5．若a ，b 是非零向量且满足(a －2b ) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是( )
πA. 6 2πC. 3
πB. 3 5πD. 6
[解析] 由题意知，a 2－2a ·b ＝0， b 2－2a ·b ＝0，
12
2a ·b
∴a 2＝b 2，即|a |＝|b |，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝＝＝
|a ||b ||a |12π
又0≤θ≤π，∴θ＝3. [答案] B
a b
6．[2013·大庆实验中学段考]设非零向量a ，b ，c ，若p ＝＋
|a ||b |
c
|p |的取值范围为( ) |c |
A ．[0,1] C ．[0,3] [解析]
B ．[1,2] D ．[1,3]
a b c
分别为a ，b ，c 方向上的单位向量， |a ||b ||c |
∴当a ，b ，c 同向时，|p |取大值3，|p |的最小值为0. [答案] C
7．已知C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cosC －1，－2) ，n ＝(cosC ，cos C ＋1) ．若m ⊥n ，则∠C 等于( )
πA. 6 2πC. 3
πB. 3 5πD. 6
[解析] ∵m ⊥n ，∴2cos 2C －3cos C －2＝0. ∴(2cosC ＋1)(cosC －2) ＝0. 1
∴cos C ＝－22π
又C 为△ABC 的一个内角，∴C ＝3[答案] C
8．e 1，e 2是平面内互相垂直的两个单位向量，且a ＝e 1＋e 2，则与a 平行的单位向量可以表示为( )
a A. 2 2
a B ．2D ．2
[解析] 由题意可知，|a |＝2. ∵与a 平行的向量方向有相同相反之分，
a
∴与a 平行的单位向量应为2[答案] D
→→
9．[2013·大庆实验高一月考]如图，非零向量OA ＝a ，OB ＝b ，且→
BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC ＝λa ，则λ
＝( )
A. |a |·|b |
a ·b
B. a ·b
|a |·|b |
a ·b
C. |b |
→→
[解析] 由题意知，OC ·BC ＝0，
a ·b
D. |a |
→→→→→→
2
∴OC ·(OC －OB ) ＝OC －OC ·OB ＝0. →
又∵OC ＝λa ，∴λ2a 2－λa ·b ＝0， a ·b 即λa ＝a ·b ，∴λ＝.
|a |
2
[答案] D
10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满→→→
足AP ＝2PM ，则P A ·(PB ＋PC ) 等于( )
4
A ．－9
4B ．－3
4C. 3 4D. 9
[解析] 由题意可知，P 是△ABC 的重心， →→→
∴P A ＋PB ＋PC ＝0. →→→→∴P A ·(PB ＋PC ) ＝－P A 2 2→24＝－(3) ＝－9[答案] A
→→→→→→→2
11．在△ABC 中，若AB ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( )
A ．等边三角形 C ．直角三角形
B ．锐角三角形 D ．钝角三角形
→→→→→→→→→→→
22
[解析] ∵AB ＝AB ·(AC －BC ) ＋CA ·CB ＝AB ＋CA ·CB ，∴CA ·CB ＝0，∴∠C ＝90°，故△ABC 是直角三角形．
[答案] C
12．已知O 为原点，A ，B 两点的坐标分别为(a, 0) ，(0，a ) ，其→→→→中常数a >0，点P 在线段AB 上，且AP ＝tAB (0≤t ≤1) ，则OA ·OP 的最大值为( )
A ．a C ．3a
B ．2a D ．a 2
→→→
[解析] AB ＝OB －OA ＝(0，a ) －(a, 0) ＝(－a ，a ) ， →→
∴AP ＝tAB ＝(－at ，at ) ．
→→→
又OP ＝OA ＋AP ＝(a, 0) ＋(－at ，at ) ＝(a －at ，at ) ， →→∴OA ·OP ＝a (a －at ) ＋0×at ＝a 2(1－t )(0≤t ≤1) ． →→∴当t ＝0时，OA ·OP 取最大值，为a 2. [答案] D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．)
→→1→
13．若OM ＝(3，－2) ，ON ＝(－7,13) ，则5MN ＝________. →→→
[解析] MN ＝ON －OM ＝(－10,15) ， 1→
∴5＝(－2,3) ． [答案] (－2,3)
14．已知向量a ＝(4，－3) ，b ＝(x, 2) ，且a ∥b ，则x ＝________. 8
[解析] 由题意，得4×2＋3x ＝0，得x ＝－38
[答案] －3
15.
→
如图，在正方形ABCD 中，已知|AB |＝2，若N 为正方形内(含边
→→
界) 任意一点，则AB ·AN 的最大值是________．
→→→→→→
[解析] ∵AB ·AN ＝|AB ||AN |·cos ∠BAN ，|AN |·cos ∠BAN 表示AN 在→→→→AB 方向上的投影，又|AB |＝2，AB ·AN 的最大值是4.
[答案] 4
16．[2013·扬州高一联考]设a ，b ，c 都是单位向量，且a 与b 的2
夹角为3，则(c －a )·(c －b ) 的最小值为________．
[解析] (c －a )·(c －b ) ＝c 2－c ·b －a ·c ＋a ·b 2
＝|c |－c ·(a ＋b ) ＋|a |·|b |·cos 3
2
1
＝2c ·(a ＋b ) ，
要使(c －a )(c －b ) 最小，则只需c 与a ＋b 同向共线即可． 2
又∵a 与b 夹角为3π的单位向量，∴|a ＋b |＝1. 111故2c ·(a ＋b ) ＝212. 1[答案] －2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分10分
)
如右图，四边形ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，N →→→→
是AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，试用a 、b 分别表示DC 、BC .
[解]
→连接AC ，DC ＝1→1
2＝2， →→→AC ＝AD ＋DC ＝b ＋12a ， →→→BC ＝AC －AB ＝b ＋1
2－a ＝b －12.
18．(本题满分12分) 已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．
求：(1)a ·b ，|a ＋b |； (2)a 与b 的夹角的余弦值． [解] (1)因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)， 所以a ＝3e 1－2e 2＝(3，－2) ， b ＝4e 1＋e 2＝(4,1)．
∴a ·b ＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10， a ＋b ＝(7，－1) ， |a ＋b |＝7＋(－1)＝52.
(2)设a 与b 的夹角为θ， a ·b
则cos θ＝
|a ||b |1010221＝22117
19．(本题满分12分)[2013·南京市高一联考]如图，在△ABC 中，已知CA ＝2，CB ＝3，∠ACB
＝60°，CH 为AB 边上的高．
→→(1)求AB ·BC ；
→→→
(2)设CH ＝mCB ＋nCA ，其中m ，n ∈R ，求m ，n 的值． →→→→→→→
[解] (1)设CB ＝a ，CA ＝b ，因为AB ＝CB －CA ＝a －b ，所以AB ·BC ＝(a －b )·(－a ) ＝－a 2＋a ·b ＝－9＋3×2×cos60°＝－6.
(2)因为A ，H ，B 三点共线， →→
所以设AH ＝λAB ＝λ(a －b ) ．
→→→
所以CH ＝CA ＋AH ＝b ＋λ(a －b ) ＝λa ＋(1－λ) b . →→→→因为CH ⊥AB ，所以CH ·AB ＝0. 所以[λa ＋(1－λ) b ]·(a －b ) ＝0. 即λa 2－(1－λ) b 2＋(1－2λ) a ·b ＝0.
1
因为a ＝9，b ＝4，a ·b ＝3，代入上式，解得λ7.
2
2
→1616所以CH 7＋7，即m ＝7n ＝720．(本题满分12分) 已知a ＝(2,3)，b ＝(x, 2) ． (1)当a －2b 与2a ＋b 平行时，求x 的值； (2)当a 与b 夹角为锐角时，求x 的取值范围．[解] (1)由题意得：a －2b ＝(2－2x ，－1) ， 2a ＋b ＝(4＋x, 8) ，
由a －2b 与2a ＋b 平行，得 (2－2x )·8－(－1)·(4＋x ) ＝0. ∴x ＝43(2)由题意，得???a ·
b >0，??a 与b 不共线，
即???2x ＋6>0，??
4－3x ≠0，
∴x >－3且x ≠4
321．(本题满分12分
)
已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π
4→→
AC ＝p －3q ，D 为BC 的中点，求AD 的模．
→[解] ∵AD 1→→
2(AC ＋AB )
→AB ＝5p ＋2q ，
1＝2p －3q ＋5p ＋2q )
1＝2p －q ) ，
→
∴|AD |＝
1＝21＝215＝2.
22．(本题满分12分) 已知向量a ＝(cosα，sin α) ，b ＝(cosβ，sin β) ，且a 、b 满足关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．
(1)求a 与b 的数量积用k 表示的解析式f (k ) ．
(2)a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k 值．
(3)求a 与b 夹角的最大值．
[解] (1)由已知|a |＝|b |＝1.
∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，
∴(k a ＋b ) 2＝3(a －k b ) 2，
∴k 2|a |2＋2k a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2k a ·b ＋k 2|b |2) ，
2k ＋12∴8k a ·b ＝2k ＋2，∴a ·b ＝4k (k >0)． →12|AD |＝(6p －q ) 36p －12p ·q ＋q 36×(2)－12×22×3×cos 432 2
(2)∵a ·b ＝f (k )>0，
∴a 与b 不可能垂直．若a ∥b ，由a ·b >0知a 、b 同向， 于是有a ·b ＝|a ||b |cos0＝|a ||b |＝1，
k 2＋1即4k 1，解之得k ＝3. ∴当k ＝3时，a ∥b .
k 2＋1a ·b (3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ＝4k k >0)，∴cos θ|a ||b |
1111211212＝4k ＋k ) ＝4k ) ＋() ]＝4[(k －) ＋2]，∴当k ＝即k ＝1k k k
1时，cos θ2. 又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为
60°.
范文四：金版教程 物理(24)
板块三 高考模拟·随堂集训
1.[2015·天津高考]物理学重视逻辑，崇尚理性，其理论总是建立在对事实观察的基础上。下列说法正确的是( )
A. 天然放射现象说明原子核内部是有结构的
B. 电子的发现使人们认识到原子具有核式结构
C.α粒子散射实验的重要发现是电荷是量子化的
D. 密立根油滴实验表明核外电子的轨道是不连续的
答案 A
解析 天然放射现象说明原子核是可分的，即核内部是有结构的，A 项正确；电子的发现使人们认识到原子是可分的，B 项错误；α粒子散射实验的重要发现是原子具有核式结构，C 项错误；密立根油滴实验精确地测出了电子的电荷量，原子光谱的分立性表明原子核外电子轨道是不连续的，D 项错误。
2.[2014·山东高考](多选) 氢原子能级如图，当氢原子从n ＝3跃迁到n ＝2的能级时，辐射光的波长为656 nm。以下判断正确的是(
)
A ．氢原子从n ＝2跃迁到n ＝1的能级时，辐射光的波长大于656 nm
B. 用波长为325 nm的光照射，可使氢原子从n ＝1跃迁到n ＝2的能级
C. 一群处于n ＝3能级上的氢原子向低能级跃迁时最多产生3种谱线
D. 用波长为633 nm 的光照射，不能使氢原子从n ＝2跃迁到n
＝3的能级
答案 CD
c 解析 由h λE 2－E 1及氢原子能级关系可知，从n ＝2跃迁到n
＝1时释放光子波长为122 nm，故选项A 错误。波长325 nm光子能量小于波长122 nm 光子能量，不能使氢原子从n ＝1跃迁到n ＝2的能级，选项B 错误。一群处于n ＝3能级的氢原子向低能级跃迁时最多有3种可能，因此最多产生3种谱线，选项C 正确。从n ＝3跃迁到n ＝2时辐射光的波长λ＝656 nm，所以，只有当入射光波长为656 nm 时，才能使氢原子从n ＝2跃迁到n ＝3的能级，选项D 正确。
3.[2013·福建高考]在卢瑟福α粒子散射实验中，金箔中的原子核可以看作静止不动，下列各图画出的是其中两个α粒子经历金箔散射过程的径迹，其中正确的是(
)
答案 C
解析 金箔中的原子核与α粒子都带正电，α粒子接近原子核过程中受到斥力而不是引力作用，A 、D 错误；由原子核对α粒子的斥力作用及物体做曲线运动的条件知，曲线轨迹的凹侧应指向受力一方，选项B 错、C 对。
4.[2015·山东济南一模]一群处于n ＝4的激发态的氧原子，向低能级跃迁时，最多发射出的谱线为( )
A.3种
C.5种
答案 D
解析 一群处于n ＝4的激发态的氧原子，向低能级跃迁时，最多发射出的谱线为C 24＝6种，选D 。
5．[2015·东北二联](多选) 如图所示，氢原子可在下列各能级间B ．4种 D ．6种
发生跃迁，设从n ＝4到n ＝1能级辐射的电磁波的波长为λ1，从n ＝4到n ＝2能级辐射的电磁波的波长为λ2，从n ＝2到n ＝1能级辐射的电磁波的波长为λ3，则下列关系式中正确的是(
)
A. λ1<>
C. λ3>λ2
111E. λ3λ1λ2
答案 ABE
解析 已知从n ＝4到n ＝1能级辐射的电磁波的波长为λ1，从n ＝4到n ＝2能级辐射的电磁波的波长为λ2，从n ＝2到n ＝1能级辐
11c c c 射的电磁波的波长为λ3，则λ1、λ2、λ3的关系为h >h ，即λ1λ3λ2λ1λ3
11111111c c c λ1<><λ2，又h h="" ＝λ3λ2λ1λ3λ2λ1λ3λ2λ3λ1λ2即正确选项为a="" 、b="" 、e="" 。="" b=""><λ2 111d.="">
范文五：金版教程 物理(22)
板块三 高考模拟·随堂集训
1.[2015·课标全国卷Ⅱ](多选) 实物粒子和光都具有波粒二象性。下列事实中突出体现波动性的是( )
A. 电子束通过双缝实验装置后可以形成干涉图样
B.β射线在云室中穿过会留下清晰的径迹
C. 人们利用慢中子衍射来研究晶体的结构
D. 人们利用电子显微镜观测物质的微观结构
E. 光电效应实验中，光电子的最大初动能与入射光的频率有关，与入射光的强度无关
答案 ACD
解析 衍射和干涉是波特有的现象，选项A 、C 正确；光电效应体现了光的粒子性，选项E 错误；射线在云室中穿过，留下的径迹是粒子的轨迹，选项B 错误；电子显微镜利用了电子的波动性来观测物质的微观结构，选项D 正确。
2.[2014·广东高考](多选) 在光电效应实验中，用频率为ν的光照射光电管阴极，发生了光电效应，下列说法正确的是( )
A. 增大入射光的强度，光电流增大
B. 减小入射光的强度，光电效应现象消失
C. 改用频率小于ν的光照射，一定不发生光电效应
D. 改用频率大于ν的光照射，光电子的最大初动能变大 答案 AD
解析 增大入射光强度，单位时间内逸出的光电子数目增多，光电流增大，A 项正确；光电效应的发生与入射光的强度无关，B 项错误；入射光频率小于ν时，若仍大于金属的截止频率，仍能发生光电效应，C 项错误；增大入射光的频率时，由爱因斯坦光电效应方程E k ＝hν－W 0可知，光电子的最大初动能变大，D 项正确。
3.[2014·江苏高考]已知钙和钾的截止频率分别为7.73×1014 Hz和
5.44×1014 Hz，在某种单色光的照射下两种金属均发生光电效应，比较它们表面逸出的具有最大初动能的光电子，钙逸出的光电子具有较
大的( )
A. 波长
C. 能量
答案 A
解析 由爱因斯坦光电效应方程E k ＝hν－W 0，金属钙的逸出功大，则逸出的光电子的最大初动能小，即能量小，频率低，波长长，动量小，选项A 正确。
4.[2015·浙江质检]一个德布罗意波波长为λ1的中子和另一个德布罗意波波长为λ2的氘核同向正碰后结合成一个氚核，该氚核的德布罗意波波长为( )
A. λλ λ1＋λ2λλB. λ1－λ2
λ1－λ2D. 2B ．频率 D ．动量 λ1＋λ2C. 2
答案 A
h h 解析 中子的动量p 1＝p 2＝λ1λ2
λλh 核的动量p 3＝p 2＋p 1，所以氚核的德布罗意波波长λ3＝A p 3λ1＋λ2
正确。
5.[2015·陕西质检](多选) 分别用波长为λ和2λ的光照射同一种金属，产生的速度最快的光电子速度之比为2∶1，普朗克常量和真空中光速分别用h 和c 表示，那么下列说法正确的有( )
hc A. 该种金属的逸出功为3λ
hc B. 该种金属的逸出功为λ
C. 波长超过2λ的光都不能使该金属发生光电效应
D. 波长超过4λ的光都不能使该金属发生光电效应
答案 AD
1212c c 解析 由hν＝W 0＋E k 知h λ＝W 0＋m v 1，h W 0v 2，又v 122λ2
hc ＝2v 2，得W 0＝，A 正确，B 错误。光的波长小于或等于3λ时都能3λ
发生光电效应，C 错误，D 正确。
6.[2013·北京高考]以往我们认识的光电效应是单光子光电效应，即一个电子在极短时间内只能吸收到一个光子而从金属表面逸出。强激光的出现丰富了人们对于光电效应的认识，用强激光照射金属，由于其光子密度极大，一个电子在极短时间内吸收多个光子成为可能，从而形成多光子光电效应，这已被实验证实。光电效应实验装置示意如图。用频率为ν的普通光源照射阴极K ，没有发生光电效应。换用同样频率ν的强激光照射阴极K ，则发生了光电效应；此时，若加上反向电压U ，即将阴极K 接电源正极，阳极A 接电源负极，在KA 之间就形成了使光电子减速的电场。逐渐增大U ，光电流会逐渐减小；当光电流恰好减小到零时，所加反向电压U 可能是下列的(其中W 为逸出功，h 为普朗克常量，e 为电子电量)(
)
hνW A. U ＝e －e
C. U ＝2hν－W
答案 B
解析 同频率的光照射K 极，普通光不能使其发生光电效应，而2hνW B ．U ＝e e D ．U ＝5hνW －2e e
强激光能使其发生光电效应，说明一个电子吸收了多个光子。设吸收的光子个数为n ，光电子逸出的最大初动能为E k ，由光电效应方程知：E k ＝nhν－W (n ≥2) ①；光电子逸出后克服减速电场做功，由动能定理
nhνW 知E k ＝eU ②，联立上述两式得U ＝e －e ，当n ＝2时，即为B 选
项，其他选项均不可能。
7.[2015·课标全国卷Ⅰ] 在某次光电效应实验中，得到的遏止电压U c 与入射光的频率ν的关系如图所示。若该直线的斜率和截距分别为k 和b ，电子电荷量的绝对值为e ，则普朗克常量可表示为_______，所用材料的逸出功可表示为________。
答案 ek －eb
1解析 由光电效应方程，光电子的最大初动能v 2＝hν－W 。根2
12h W 据动能定理，eU c ＝m v ，联立解得：U c ＝e ν－e 2
h 压U c 与入射光的频率ν的关系图象，可知：图象斜率k ＝e ，解得普
W 朗克常量h ＝ek 。图象在纵轴上的截距b ＝－e 解得所用材料的逸出
功W ＝－eb 。
