范文一:三角形面积的行列式公式
1.
A 1A 2A 3A k (x k , y k ) , k =1, 2, 3, S A
1A 2A 3
=1
2
z 1 z 21 z 3
z k z k
A 1A 2A 3=i
z 11
z 2
z 31
············(2)
(1),(2)
A 1A 2A 3A 4(x k , y k ) , k =1, 2, 3, 4, S ? A 1A 2A 3A 4=1
S ? A 1A 2A 3A 4=
i
z 111
z 2
z 311z 4
2 a 1b 1a 2
b 2 a 1b 1a 3b 3 a 2b 2a 3
b 3 b 2c 2b 3c 3 ? a 2c 2a 3c 3 a 2b 2a 3b 3
? b 1c 1b 3c 3
a 1c 1a 3c 3 ? a 1b 1a 3b 3 b 1c 1b 2c 2 ? a 1c 1a 2c 2 a 1b 1a 2
b 2
|A |= a 1b 1c 1a 2
b 2c 2a 3
b 3
c 3 , b 2c 2b 3c 3
? a 2c 2a 3c 3 a 2b 2a 3b 3
? b 1
c 1b
3c 3 a 1c 1a 3c 3 ? a 1b 1a 3b 3 b 1c 1b 2
c 2
? a 1c 1a 2c 2
a 1b 1a 2
b 2
=
A 11A 12A 13A 21A 22A 23A 31
A 32A 33
, A kj
|A |k
j A 11A 12A 13A 21A 22A 23A 31A 32A 33
|A |=
a 1A 11+b 1A 12+c 1A 1300
0a 2A 22+b 2A 22+c 1A 23000a 3A 31+b 3A 32+c 3A 33
=|A |3. |A |=0, A 11A 12A 13A 21A 22A 23A 31A 32A 33
=|A |2. ············(3)
S A 1A 2A 3=
1
A k (x k , y k ) , αkj A k A j (αk , αj ) =x k x j +y k y j , k, i =1, 2, 3,
α2kj =(αk , αk ) +(αj , αj ) ? 2(αk , αj ) .
S 2 A 1A 2A 3 =1
4
(α1, α1) +1(α1, α2) +1(α1, α3) +1 (α2, α1) +1(α2, α2) +1(α2, α3) +1 (α3, α1) +1(α3, α2) +1(α3, α3) +1
=1
4
0111 1(α1, α1) (α1, α2) (α1, α3) 1(α2, α1) (α2, α2) (α2, α3) 1(α3, α1) (α3, α2) (α3, α3)
=1
16
0111 10a 212a 213 1a 2210a 223 1a 231a 2320
.
S 2 A
1A 2A 3
=? 1
范文二:三角形面积公式的行列式形式及应用
三角形面积公式的行列式形式及应用
三角形面积公式的
行列式形式及应用
周革生福建石狮鹏山工贸学校
执小学到中学,栽们学习过好多个 三角形面积公式其中晟主要的足 1'
s=击口'k和:去占?c?湘』.但是当已 知条件是三角形三个顶点的坐标时,使 用上述两个公式就不很方便了,那么有 没有更为简单的方法呢?笔者翻阅了许多 参考书,找到了下面这个用行列式表示 的三角形面积公式,但是始终没有找到 这个公式的证明.鉴此,本文将应用向 量的数量积公式和两直线的夹角公式等知 阻刊该公式进行证明,井绐m两个推论 和应用实例.
定理:在平面直角坐标系中已翱l 三角形三个顶点的坐标是A(x.,Y1),B(x
y).C(x.y】,则三角形ABC的面积公 l二I
式是S=j严f的绝对值1J
证明:由于三角形必有I匈角为锐 角.不妨设A是锐角.
把已知点的坐标代人斜率公式和向量 的坐标公式可得
.一
鲁普
?
(一I一,L).C一(一.}一,lj "
l-I
l,;一,l,i一,ll
I一t一xl
.,=型=!=是=2I
l(,×?一)+l一1)(一,1){ 可薅
?-(一}一)+一^一,)
s=湎l?嗣?s-n一;?AB.AC? sI【l.???一AC??
一
^x一),x—z
义因为
【
且'{一1ll一I:iYz-: If一'*一fI一
Mi一YL)
因此.s:
I萎l的绝对值推论1:在平l珂直角坐标系巾,AIx..
Y1),B(x:.y:)C(x.y3)三点共线的充螫 『yl1l
条阵是I:o
乃1I
点A(x.,Y,),B(x1,y,j的直线方程是 l=0
解'=—:=一t
__溅AB竹方程是
+2=一(43)Nx+十5=0 .
?
D拄0船镛晡(AB边J扪赢) ^:!!
叉?l地l:+2):+II+=4~12-
271
强:
.x
警
0
:
0
:
:
B一3X一6)一(一2)]10 ..S.J=10
点是否在同一直线上(摘自语文出版社的
中职K数学教材第三册P.10)
=
_6.
'一
k=篓
'
.直线AB和c碱裾合
叉-直线船祁行卟公jA .
'
.
直线船和蔚.
A,日,C喙
l23ll23li
:'?''
.
-
.A,,C!点嘲.
侧3:已知三角形三个顶点的坐标是 A(2,lj,B(0,7)c(一4,一I),求三边所 在的直线的方程(摘自语文出版社的 中职?数学教材第三册P.10) 下转摹275页
上接第269页
20,30,42,'????'q一2
第一递差数列:4,6,8,l0, l2.…??…'d.4
第二递差数列:2,2,2, 2,???????一d=二2
:1×2+2×3+3X4+…
+(+1):l+dl+《d2=
2+4竺+2竺竺二竺二1
21X2×
:
喜(6+6(一1)+.一+2)
:
;刀(刀.+3刀+2):刀(+1)(+2) 证(2)考虑数列:l,9,25,
49,8l,l2l,……q=l
第一递差数列:8,l6,24,32,
40.'?…??.d.8
第二递差数列:8,8,8,8,……… d8
:1+3+5.+…+(2一1). =++d2=.'?+8×
—
n(n—
-
1)+8二二
21×2×3
.'?[(3+12(.'?一1)+4(.'?2—3+2)] 1)
上接第270页
由:0.j导50X100内的唯一解为 :
18410—57km/h
.
'
.
最经济的车速为57km/h,最低费 用嵩+争322(
点评:根据实际意义,峰闻数导 数为0处取得最值,利用此结沦叮简化此
类题求解过程.
6.巧用导数求和
例6:求l+2+3+…+,? (x?0,x?1,n?)
解:1+2x+3x:+…+,7
二Y'+(,Y:)'+()'+…十()=
(+.Y:++…+")'
【】.=(
【1一(,7+1)x"J(1一)+(IY—X"I1) (1一)
1一f,7+1)x"+门"
(1一)一
点评:用导数法求前几项和注意根据 待求式的原函数,即由f'(x)去寻找f(x),再 求导即可.
证(3)考虑数列:6,24,60,7,求参数值 l20,2l0,336,…….I=6
第一递差数列:l8,36,60,90,
l26,……'d118
第二递差数列:l8,24,30, 36.………d=18
第三递差数列:6,6,6,………
d36
.
'
.
=1×2×3+2×3×4+3×4×5 +…+I"1(11+1)(,7+2)=(+(+
(+(6,7+18!!!二+18×
1×2
二二+6二二二
lx2×31×2×3×4
例7,已知函数,():鬲ax+l在(
2,+o.)内单调递减,求函数a的取值 范围.
=
,
')0在(2,+o.)内恒成立,
2a一1
即丽o在(2,}?)内
恒成立,0.
当a一时,.(?是常数函数,不 符合题意,故a< 275
点砰:函数f(x)在某区间上为增 (或减)函数的充要条件为f'(x)?0 (f'(X)?0)且f'(x)住任一子区间上不 恒为零.
参考文献
1,王后雄主编.x导航?教材完全解读 上接第271页
解膏佃=7-1=一3
.
?
.直线AB的-}
v=一3x+7~P3x+Y一7=0 (J篇懈,省略l『水龃线
2:线AB??AC,BC的方枉) J'I._70i
2lI=j2—60i=
07I107I
l'一7
2×;=
1—3
2《一3x一.
1'+7)=0
J3+.
'一7=0
相比之下,例1的第二种解法较为简 便,例2的两种解法相差不多,例3的第 一
种解法较为简便.笔者将上述内容整 理成文,便于老师们参考,不当之处, 敬请批评指正.
范文三:彰显行列式的魅力——计算解析几何中三角形的面积
彰显行列式的魅力——计算解析几何中三角形的面积
上海中学数学?年第期 彰显行列式的魅力
??计算解析几何中三角形的面积
陈兴义
上海市普陀区教育学院
上外附属大境中学 赵玉梅
前苏联著名数学教育家..斯托利亚在《数 因为 ,所以??石当且仅当
学教育学》中指出:“数学中符号和公式等人工语言 一?可时取等号.
的制定是最伟大的科学成就,它很大程度上决定了 说明:本题通过行列式建立了?的顶点
数学的进一步发展.”
坐标与面积之间的联系,将面积表示为变量的函 诚然,行列式也是数学符号,它是表示特殊算式的 数,运用基本不等式求得面积的最小值.
记号.作为上海现行教材的教学内容之一,用其讨论线 计算以“圆”为载体的三角形的面积
性方程组解的情形具有理论上的价值.若将方程组的
解用公式表示出来,其形式整齐、简单明了、便于记忆. 如图,已知圆,、、为圆上
所以用行列式解二、三元线性方程组的方法,经过几年 按逆时针方向排列的三点,一,一万,么
的教学实践,已得到教师和学生的较高认同. 一。,求出的面积的最大值.
除此之外,教材还给出了通过三角形的三个顶 分析:?的顶点的坐 ,
点的坐标,用行列式的形式表示三角形的面积公式. 标为常数,点与是圆周上相关
如果在学习解析几何的过程中有意识地运用这个公 译弑~
联的两个点,由题意可知,/
式,会彰显出行列式的又一魅力.下面举例说明运用 一 夕
行列式求解析几何中三角形的面积,以求达到“行列 一要,从而借助圆的参
数方程,
式”与“解析几何”的自觉融合.
图
与两点的坐标均可由一个量来
表示.
计算以“直线”为架构的三角形的面积
解:连接、?,令么一,则么
如图,已知定点,、,和动点
,,经过点、的直线与轴正半轴的交 一号,。,?,则
点为,当时,求三角形面积的最小值. 分析:三角形的三个顶 。曰号,口号,其中一,一万,
,
点中,顶点的坐标为常数,顶点 ,\\ ?
一?可
.五
的坐标已知,问题的关键在于顶 口 口、
所以?瑚一丢
点在直线上,且是直线与
’
轴的交点,所以坐标能用来 日詈棚号 表示,运用行列式表示三角形 图 一要艄,
面积,问题得到解决.
解:直线的方向向量窟一一,一,由 当一要时,三角形面积的最大值为
直线方程的点方向式可知,直线的方程为 瓜.
一一一一.
说明:本题通过行列式建立了?的顶点 令?,则一苦,得 ,,则三
一
坐标与面积之间的联系,将面积表示为变量口的三
角形的面积为: 角函数,运用三角函数的性质求得面积的最 小值.
一
计算以“椭圆”为依托的三角形的面积 ??
一暑与
如图,过点,作直线与椭圆‘等一 万方数据
范文四:数学:《三角形面积公式的行列式表示及其应用》教案
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三角形面积公式的行列式表示及其应用
一(常见的三角形面积公式及其证明
abc11S,ahS,absinCS,S,p(p,a)(p,b)(p,c),,,,。这里分别为S,pra,b,ca224R
三个内角的对边,为边上的高,分别为外接圆,内切圆的半径,为,ABC,ABC,ABCA,B,CaR,rhpa
的半周长。
二(二阶行列式和三阶行列式
三(三角形面积公式的行列式表示
在平面直角坐标系,已知三个顶点的坐标,这个三角形就确定了,当然面积也就确定了。如,PPP123
果所涉及问题中含有字母运算,那么应用上述面积公式,可烦啦~如何快速便捷的计算出的面积,,PPP123
笔者在本文中介绍一个重要的三角形面积公式。
如图,三个顶点的坐标分别为,且按逆时针方向排列,分别,PPPP(x,y),P(x,y),P(x,y)123111222333
P过做轴的垂线,垂足分别为,过作轴的平行线,分别交于xxP,P,PM,M,MMP,MP11232233123
。设,,则Q,QPP,,,PP,,,,PPP,,(0,,,,),QPP,,,,QPP,,2312113221321213132
,,,,,,并且 21
y P,,3cos,PQ,MM,x,x,11121221
,,sin,QP,y,y,112221 P 2,,cos,PQ,MM,x,x,22131331 P1 Q2Q ,sin,,QP,y,y,3223331
所以,的面积为 ,PPP123 M O MM 13x 2
111,,,,,,,,,,,,,S,sin,sin(,),(sincos,cossin)121221122121222
11,,[(cos,)(,sin,),(,sin,)(,cos,)],[(x,x)(y,y),(y,y)(x,x)] 由112211222131213122
1,(xy,xy,xy,xy,xy,xy)。1223311321322
xyz111
于行列式。 xyz,xyz,xyz,xyz,xyz,xyz,xyz222123231312132213321
xyz333
S 这样,的面积就可以简单地用一个三阶行列式来表示,即 ,PPP123
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xy1111。 S,xy1222xy133
注意:如果是逆时针方向排列,则上述公式的右边将得到一个负数(行列式中的某些行会发P,P,P123
生交换),但绝对值大小不改变。
由此,我们还可以得到一个三点共线的结论:
xy111
共线,。 P(x,y),P(x,y),P(x,y)xy1,011122233322
xy133
四(三角形面积公式的行列式表示的应用
例1、在内找一点,使,,的面积相等。 ,ABCP,PAB,PBC,PCA
A(x,y)B(x,y)解:把安排在一个平面直角坐标系中,设,,,,由,ABCP(x,y)C(x,y)122233
xy1xy1xy1112233111xy1,xy1,xy1条件可得,,解此方程组得, 223311222xy1xy1xy1
1,x,(x,x,x)123,3。由此可知,为的重心,即各边中线的交点。 ,ABCP,1,y,(y,y,y)1233,
例2、(2008年南京大学自主招生考试最后一题,文字叙述未必全部相同)已知点是内任意O,ABC
一点,求证:。 S,OC,S,OA,S,OB,0,AOB,BOC,COA
y 证明:以为原点任意建立一个平面直角坐标系, O
A A(x,y)B(x,y)设,,,因此 C(x,y)112233
S,OC,S,OA,S,OB,AOB,BOC,COAx O xy1xy1xy1112233B 111,xy1(x,y),xy1(x,y),xy1(x,y)223333111122222C 001001001111 ,(xy,xy)(x,y),(xy,xy)(x,y),(xy,xy)(x,y)1221332332113113222221,[(xxy,xxy,xyy,xyy),(xxy,xxy,xyy,xyy)1322311232131231322133122
1,(xxy,xxy,xyy,xyy)],(0,0),0。2311233121232
得证。
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范文五:已知三点求三角形面积可以用行列式表示
已知三点求三角形面积可以用行列式表示
已知三点A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)
求三角形面积为
S ABC =1x 22x 3x 1y 11y 21 y 31证明:如图所示
AB =(x2-x1,y2-y1) AC =(x3-x1,y3-y1)
1 1 S ABC =AB AC sin θ=AB ?AC 22
令AB ?AC =AD i j k x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1y 2-y 1AB ?AC ?AD =x 2-x 1y 2-y 10=0i +0j +k =k x 3-x 1y 3-y 1x 3-x 1y 3-y 1x 3-x 1y 3-y 10
因此有
:
S ABC 1 1x 2-x 1y 2-y 1 1 =AB AC sin θ=AB ?AC =AD == 2222x 3-x 1y 3-y 1
可以看出AD 的大小与i,j 无关, 现在取AD =(x1,y1,1),即i=x1:j=y1:k=1,则有
S ABC =1x 2-x 1y 2-y 111=x 2-x 1y 2-y 10=x 22x 3-x 1y 3-y 122x 3-x 1y 3-y 10x 3
1x 22x 3x 1y 11y 21 得证。y 31
x 1y 11x 1y 11y 21 y 31即S ABC =
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