只看不发不讲究
范文一：常见不等式
1、算术-几何平均值不等式 在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数
等号成立当且仅当
。，总有： 。
2、柯西不等式
二维形式
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)
扩展：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai 和bi 都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)
三角形式
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√*(a+c)^2+(b+d)^2+
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示平方根
3、托勒密定理、托勒密不等式
圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
2. 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、
托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
4、费马点 在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC 的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（3）在凸四边形ABCD 中，费马点为两对角线AC 、BD 交点P 。
三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。
5、莱布尼茨定理
点A\B\V
范文二：高中不等式
不等式
一、知识梳理
（一）不等式与不等关系 1. 不等式的主要性质：
(1)对称性：a >b ?b b , b >c ?a >c (3)加法法则：a >b ?a +c >b +c ；a >b , c >d ?a +c >b +d (4)乘法法则：a >b , c >0?ac >bc ；a >b , c <0?ac><>
a >b >0, c >d >0?ac >bd
(5)倒数法则：a >b , ab >0?
11< a="">
(6)乘方法则：a >b >0?a n >b n (n ∈N *且n >1) (7)开方法则：a >b >0?a >b (n ∈N *且n >1) 2. 应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法、作商法 （二）一元二次不等式及其解法
（三）线性规划
1. 用二元一次不等式（组）表示平面区域：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. （虚线表示区域不包括边界直线）
2. 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x , y ) ，把它的坐标（x , y ) 代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0) ，从Ax 0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
3. 线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
4. 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解
a +b
2a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 1. 如果a,b 是正数，那么2a +b
2. ≤几何意义是“半径不小于半弦”
2
≤
1. (1)若a , b ∈R ，则a +b ≥2ab 2. (1)若a , b ∈R ，则
**
2
2
a 2+b 2
(2)若a , b ∈R ，则ab ≤
2
（当且仅当a =b 时取“=”）
a +b *
(2)若a , b ∈R ，则a +b ≥2ab （当且仅当a =b 时取“=”） ≥ab
2
2
a +b ? (当且仅当a =b 时取“=”
(3)若a , b ∈R ，则ab ≤?） ?
?2?
3. 若x >0，则x +
1
≥2 (当且仅当x =1时取“=”） x 1
若x <0，则x +≤-2="" (当且仅当x="">
x
若x ≠0，则x +1≥2即x +1≥2或x +1≤-2 (当且仅当a =b 时取“=”）
x x x
a b a b
4. 若ab >0，则a +b ≥2 (当且仅当a =b 时取“=”）若ab ≠0，则+2即b a b a b a
(当且仅当a =b 时取“=”） 5. 若a , b ∈R ，则(
a b
2或+b a
2-
a +b 2a 2+b 2
（当且仅当a =b 时取“=”） ) ≤
22
注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值
例：求下列函数的值域
11 2
（1）y ＝3x ＋ 2 （2）y ＝x 2x x
解题技巧
技巧一：凑项
例 已知x
5
，求函数y =4x -2+1的最大值。 44x -5
技巧二：凑系数 例： 当时，求y =x (8-2x ) 的最大值。
技巧三： 分离 技巧四：换元
x 2+7x +10
(x >-1) 的值域。 例：求y =
x +1
例：求函数y =
2的值域。
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x >0, y >0，且
技巧七
例：已知x ，y 为正实数，且x ＋
技巧八：
1
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝ 的最小值.
2
19
+=1，求x +y 的最小值。 x y
y 2
2
＝1，求x 1＋y 的最大值.
2
ab
技巧九、取平方
例:
求函数y =1
2
2
应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a 、b 、c ∈R ，且a +b +c =1。求证： +
?1??1??1?
-1??-1??-1?≥8 a ???b ??c ?
应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x >0, y >0且
19
+=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。 x y
应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若
a >b >1, P =lg a ?lg b , Q =
1a +b (lga +lg b ), R =lg() ，则P , Q , R 的大小关系是22
线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
?x ≤2?
例1、 若x 、y 满足约束条件?y ≤2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）
?x +y ≥2?
A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5]
二、求可行域的面积
?2x +y -6≥0?
例2、不等式组?x +y -3≤0表示的平面区域的面积为 （ ）
?y ≤2?
A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
四、求线性目标函数中参数的取值范围
?x +y ≥5?
例4、已知x 、y 满足以下约束条件?x -y +5≤0，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解
?x ≤3?
有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
五、求非线性目标函数的最值
?2x +y -2≥0?22
例5、已知x 、y 满足以下约束条件?x -2y +4≥0 ，则z=x+y 的最大值和最小值分别
?3x -y -3≤0?
是（ ）
A 、13，1 B 、13，2
C 、13，
4 D
、
55
六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y ＋m|0?f(x)0与 ? 或?同解．
g(x)＞0 g(x)0?f(x)0 ?f(x)＞0?f(x)0与? 或?同解．(g(x)≠0) g(x)g(x)＞0g(x)0?f(x)0
(5)|f(x)|0)
(6)|f(x)|＞g(x) 与①f(x)＞g(x)或f(x)[g(x)]2
?f(x)≥0?
(7)f(x)＞g(x)与 ?f(x)≥0或?同解．
g(x)1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0a g(x)与f(x)g(x)
(10)当a ＞1时，log a f(x)＞log a g(x)与?同解．
f(x)＞0?
?f(x)log a g(x)与? f(x)＞0同解．
?
?g(x)＞0 4零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法
步骤：①形式：
P (x )
>0←移项，通分（不轻易去Q (x )
②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正③判断或比较根的大小绝对值不等式
1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方
2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题||a|─|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;||a|─|b||≤|a─b|≤|a|+|b|;并指出等号条件3．(1)?─g(x)<><>
(2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<─g(x)g(x)是否为正）（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式） a="" ±b="" ≤a="" ±b="" ≤a="" +b="" 左边在ab="" ≤0(≥0)="" 时取得等号，右边在ab="" ≥0(≤0)="">
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘； 3．左
11
右同正不等式：两边可以同时乘方或开方；4．若ab >0，a >b ，则<>
a b
11
ab <0，a>b ，则>。
a b
（1）对于实数a , b , c 中，给出下列命题： ①若a >b , 则ac 2>bc 2； ②若ac 2>bc 2, 则a >b ；
11
③若a <0, 则a="" 2="">ab >b 2； ④若a <0,><>
a b
b a
⑤若a <0, 则="">； ⑥若a <0, a="">b ；
a b
a b 11
> ⑦若c >a >b >0, 则； ⑧若a >b , >，则a >0, b <0。 c="" -a="" c="" -b="" a="">
其中正确的命题是______
（2）已知-1≤x +y ≤1，1≤x -y ≤3，则3x -y 的取值范围是______
c
（3）已知a >b >c ，且a +b +c =0, 则的取值范围是______
a
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
1t +1
（1）设a >0且a ≠1, t >0，比较log a t 和log a 的大小
22
1-a 2+4a -2
a >2p =a +（2）设，，q =2，试比较p , q 的大小
a -2
（3）比较1+log x 3与2log x 2(x >0且x ≠1) 的大小
三．利用重要不等式求函数最值时，注意：“一正二定三相等，和定积最大，积
定和最小”
（1）下列命题中正确的是
12 A、y =x +的最小值是2 B
、y =的最小值是2
x 44
C 、y =2-3x -(x >
0) 的最大值是2-、y =2-3x -(x >
0) 的最小值是2-x x
（2）若x +2y =1，则2x +4y 的最小值是______
11
（3）正数x , y 满足x +2y =1，则+的最小值为______
x y
≥≥≥(根据目标不等式左右4. 常用不等式有：（1
2+的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca （当且仅当a =b =c
b b +m
时，取等号）；（3）若a >b >0, m >0，则<>
a a +m
例、如果正数a 、b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是_________
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：
作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
（1）已知a >b >c ，求证：a 2b +b 2c +c 2a >ab 2+bc 2+ca 2 ；
(2) 已知a , b , c ∈R ，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc (a +b +c ) ；
11x y
>（3）已知a , b , x , y ∈R +，且>, x >y ，求证：；
a b x +a y +b
(4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：a +b b +c c +a lg +lg +lg >lg a +lg b +lg c ；
222
（5）已知a , b , c ∈R ，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc (a +b +c ) ；
(6)若n ∈
N *，求证：(n +
1)
|a |-|b ||a |+|b |
≤(7)已知|a |≠|b |，求证：；
|a -b ||a +b |
111
（8）求证：1+2+2++2<>
23n
六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次
因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f (x ) 的符号变化规律，写出不等式的解集。 （1）解不等式(x -
1)(x +2) 2≥0。
（2）不等式(x -≥0的解集是____
0的解集为{x |1≤x <2}，（3）设函数f (x="" )="" 、g="" (x="" )="" 的定义域都是r="" ，且f="" (x="" )="">
g (x ) ≥0的解集为?，则不等式f (x ) g (x ) >0的解集为______
（4）要使满足关于x 的不等式2x 2-9x +a <0（解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式x="" 2-4x=""><0和x 2-6x=""><0中的一个，则实数a>
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
5-x
<-1>
x -2x -3
（2）关于x 的不等式ax -b >0的解集为(1, +∞) ，则关于x 的不等式ax +b
>0的解集为____________ x -2
八．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2-
31
x |≥2-|x +| 42
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式|x |+|x -1|>3
（4）两边平方：如
若不等式|3x +2|≥|2x +a |对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为______。 九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
2
（1）若log a <1，则a>
3
ax 2
>x (a ∈R ) （2）解不等式
ax -1
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
x -2
>0的解集为关于x 的不等式ax -b >0 的解集为(-∞, 1) ，则不等式
ax +b
__________
十．含绝对值不等式的性质：
a 、b 同号或有0?|a +b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a -b |； a 、b 异号或有0?|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |.
设f (x ) =x 2-x +13，实数a 满足|x -a |<1，求证：|f (x="" )="" -f="" (a="" )=""><2(|a |+1)="" 十一．不等式的恒成立,="" 能成立,="">
式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1). 恒成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上f (x )min >A
若不等式f (x )a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____ （3）若不等式2x -1>m (x 2-1) 对满足m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围_____
(-1) n +1
（4）若不等式(-1) a <2+对于任意正整数n 恒成立，则实数a="">
n
n
围是_____
（5）若不等式x 2-2mx +2m +1>0对0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
2). 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立, 则等价于在区间D 上
f (x )max >A ； f (x )min
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )
已知不等式x -4+x -3
3). 恰成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ；
若不等式f (x )
二、随堂练习
一、选择题
1．若-2x 2+5x -2>0，则4x 2-4x +1+2x -2等于（ ）
A ．4x -5 B．-3 C．3 D．5-4x
2．函数y ＝log 1（x ＋1＋1） （x > 1）的最大值是 （ ）
2
A ．－2 B．2 C．－3 D．3 3．不等式
3x -1
≥1的解集是 ( ) 2-x
33
≤x ≤2} B．{x|≤x 2或x ≤} D．{x|x1＞b ＞－1, 则下列不等式中恒成立的是 ( )
1111
A ．< b．=""> C．a ＞b 2 D．a 2＞2b
a b a b
5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy) 有 ( )
13
A ．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值
243
C ．最小值而无最大值 D．最大值1而无最小值
4
A ．{x|
6．二次方程x 2＋(a2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大, 另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( )
A ．－30
1
(n ∈N ) , 用不等号 2n
x 2-8x +20
2．不等式2<0的解集为r, 求实数m="">
mx +2(m +1) x +9m +4
?y ≤x , ?
3．求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件?x +y ≤1,
?y ≥-1. ?
三、课后作业
一、选择题
1．一元二次不等式ax ＋bx ＋2>0的解集是(－11, ) ，则a ＋b 的值是_____。 23
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 2
2．下列不等式中：
①x 2+3x -2>0和 x 2+3x -4>0 ②4x +55和 4x >8 >8+x +3x +3
③4x +x +355>0和 (x +3)(2-x ) >0 和 4x >8 ④>8+2-x x -3x -3
不等价的是（ ）
A ．① 和② B．① 和③ C．②和③ D．②、③和④
51–x 5x 2) B．x 2 D．x 0，f(1)＞0．
又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式，
所以f(0)=ax1x2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1． 从而 f(0)·f(1)≥1． ① 另一方面，
且由x1≠x2知等号不同时成立，所以
由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．
说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．
例5.设等差数列{an}的首项a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．问：它的前多少项的和最大？ 分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列． 解:设等差数列{an}的公差为d，由Sm=Sn得
ak≥0，且ak+10，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．
分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”． 证法一 (作差比较法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0， 即 (a+b)3≤23．
证法二 (平均值不等式—综合法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
所以a+b≤2，ab≤1．
说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮． 证法三 (构造方程)
设a，b为方程x2-mx+n=0的两根．则
因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①
因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以
所以a+b≤2．
由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．
说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点．
证法四 (恰当的配凑)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，
于是有6≥3ab(a+b)，从而
8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，
所以a+b≤2．(以下略
)
即a+b≤2．(以下略) 证法六 (反证法)
假设a+b＞2，则
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．
因为a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1． ① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab， 所以ab1．
说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．
例10．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末的汽车保有量为a1，以后每年末的汽车保有量依次为a2,a3....，每年新增汽车x万辆。
由题意得an?1?0.94an?x即an?1?
x0.06
?0.94(an?
x0.06
)
an?(30?
x0.06
)0.94
n?1
?
x0.06
301?0.94
n?1
令an?60,解得x?(30?
上式右端是关于故要对一切自然数
)?0.06
n的减函数,且当n??时,上式趋于3.6
n满足an?60,应有x?3.6,即每年新增汽车不应超
过3.6万辆
例11．已知奇函数f(x)在（??，0）?（0，??）上有定义，在（f(1)?0,又知函数g(?)?sin
2
0，??）上是增函数，
??mcos??2m,??[0,
?
2
],集合
M?m恒有g(?)?0,N?m恒有f(g(?))?0,求M?N
????
分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。
解?奇数函数f(x)在（0，??）上是增函数，?f（x)在（??，0）上也是增函数。?g(?)?0?g(?)?0又由f(1)?0得f(?1)??f(1)?0?满足?的条件是?
?f(g(?)?0?f(?1)?g(?)??1 即g(?)??（1??（0]），即sin
2
2
?
2
??mcos??2m??1,
也即?cos??mcor??2m?2?0?
令t?cos?,则t?[0,1],又设?（t)??t2?mt?2m?2,0?t?1 要使?(t)?0,必须使?(t)在[0，1]内的最大值小于零1 当
00
?m?0
知m?? ?
?2m?2?0?
m2
?0即m?0时，?(t)max??(0)??2m?2,解不等式组m2
?1即0?m?2时,?(t)max?
m?8m?8
4
2
2当0?,
解不等式组
?0?m?2
?2
?m?8m?8?0得4?22?m?2?
4?
3当
m2
?1即m?2时，?(t)max??m?1,解不等式组
综上：M?N?mm?4?22
?
?m?2
?
?m?1?0得m?2?
?
例12．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？
?
（半个椭圆的面积公式为s=lh,柱体体积为：底面积乘以高，
4
2?1.414，7?2.646本题结果均精确到0.1米）
分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解：1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5） 椭圆方程为：
xa
22
?
yb
22
?1
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得
a?
4477
,此时l?2a?
8877
?33.3故隧道拱宽约为33.3米
2)由椭圆方程
?11a
2
xa?
22
?
yb
22
?1得
11a
2
2
?
4.5b
2
2
?1
2
?
4.5b
2
2
2?11?4.5
ab?99?2
,?ab?99
11a
2
?s?
?
4
lh?
?ab
2
,当s最小时有
2
?
4.5b
2
2
?
12
?a?112,b?
922
此时l?2a?31.1,h?b?6.4
故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
例13．已知n∈N，n＞1．求证
分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解．
则
说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决．
例14．已知函数f(x)?
(2)设x是正实数，求证：
x?2x?2
x?1
2
?fx?1?2?2.
?f?x?1??n
?
n
?
n
分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先
将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。 (1)设〈0x?1,0?t?1,t?x?t?x?
f?tx?1?
证明：（1）?f(x)?
?f(tx?1)?tx?
1tx
(x?1)?1
x?1
2
?f(tx?1)?tx?
1tx
?tx?
1tx
?2tx?
1tx
?2,当且仅当tx?1时，上式取等号。
?0?x?1,0?t?1?tx?1,?f(tx?1)?2 s?(t?x?t?x
2
?2(t?x)?2t?x?(t?x?t?x)?2(t?x)?2t?x
2
222222222
当t?x,s?4t?4;当?xs?4x?4
?t?x?t?x?2?f(tx?1)t?x?t?x?f(tx?1)
2
（2）n?1时，结论显然成立
当n?2时，?f(x?1)??f(x?1)?(x?
n
n
1x
)?(x?
2
n?4
nn
1x
)?Cnxn
n?2
1n?1
?1
1x
?Cnx?Cn
n?1
2n?2
?1
1x
2
?.....
?Cn
n?2
x?
2
1x
n?2
?Cn
n?1
x?
1x
n?1
?Cnx
1n?2
?Cnx?......?Cn
?
x
n?4
?
x
n?2
?
1?1n?2111?2n?1n?4n?2C(x?)?C(x?)?....?C(x?) nnnn?2n?4n?2??2?xxx?
?
12
?2?(C
1n
?Cn?...?Cn
2n?1
)?Cn?Cn?...?Cn
?
12
n?1
?2?2
n
例15．（2001年全国理）己知i,m,n是正整数，且1?i?m?n （1）证明：nAm?mAn
i
i
i
i
?1?m???1?n? （2）证明：
n
m
证明：（1）对于1?i?m,有Am?m.(m?1)......(m?i?1),同理
n?knAnn
ii
i
Amm
i
i
?
mm
?
m?1m
?
m?2m
......
m?i?1m
?
nn?1n?2n?i?1
??......m?n,对整数k?1,2,......,i?1,有 nnnnm
,?
Ann
ii
?
m?k
?
Amm
i
i
i
i
i
即mAn?nAm
i
n
（2）由二项式定理有(1?m)?
(1?i?m?n),而Cn?
m
i
i
n
?
i?0
mCn,(1?n)Ami!
i
i
i
ii
m
m
?
i
?
i?0i
nCm,由(1)知mAn?nAm
iiiiii
Ani!
im
i
,Cm?
o
o
i
?mcn?nCm(1?i?m?n)
o
o
1
1
i
i
因此?mCn?
i?2
i
m
?nC
i?2
i
,又mCn?nCm?1,mCn?nCm?mn,mCn?0
m
i
i
n
m
n
i
(m?i?n)??mCn??nCm即(1?m)?(1?n)。
i?0
i?0
i
四、强化训练
1．已知非负实数x，y满足2x?3y?8?0且3x?2y?7?0，则x?y的最大值是（ ） A．
73
B． C．2 D． 3
3
8
2．已知命题p：函数y?log
(x?2x?a)的值域为R，命题q：函数y??(5?2a) 0.5
2x
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a≤1 B．a
a?xx?2x?3
2
＞0
4．求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：
(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解关于x的不等式?a2x?a?ax(a?0且a?1) 6．（2002北京文）数列xn由下列条件确定：x1?a?0,xn?1?（1）证明：对于n?2,总有xn?
2
??
1?a?
?xn??,n?N? ?2?xn??
a,
（2）证明：对于n?2,总有xn?xn?1．
7．设P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围． 8．已知数列?an?的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项，数列
b1=1，点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上。
?bn?中，
?bn?的通项公式an,bn Ⅰ）求数列?an?、
Ⅱ）设?bn?的前n项和为Bn, 试比较
1B1
?1B2
?...?
1Bn
与2的大小。
Ⅲ）设Tn=
b1a1
?
b2a2
?...?
bnan
,若对一切正整数
n,Tn?c(c?Z)恒成立,求c的最小值
五、参考答案
1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D
2．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x?2x?a的判别式??4?4a?0，从而a?1；命题q为真时，5?2a?1?a?2。
2
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。 若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1
3．分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为?x?a??x?3??x?1??0 和比较a与?1及3的大小，定出分类方法。 解：原不等式化为：?x?a??x?3??x?1??0
（1） 当a??1时，由图1知不等式的解集为?xx?a或?1?x?3? （2） 当?1?a?3时，由图2知不等式的解集为（3） 当a?3时，由图3知不等式的解集为
?xx??1或a?x?3?
?xx??1或3?x?a?
4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．
解(1) 由题意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以
(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以
4a+2b+a2-1=0． ① 又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以
(4)由题意知，a=0．b3或log2x1，
又由an+1＝Sn+1- Sn＝(an?1?1)(an?1?2)?
6
116
(an?1)(an?2)，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。 （Ⅱ）证法一：由an(2b
?1?
??logbz?logz?1?
??an??
?1)?1可解得
3n
z
3n?1
；
3n??36
??·?
3n?1??25
从而Tn
?b1?b2???bn?log
z
。
3
因此3Tn
?1?log
z
(an
3n?2?36
?3)?logz??·?·
3n?1?3n?2?25
3
。
令
3n?2?36
f(x)???·?·
3n?1?3n?2?25
3
,则
3
f(n?1)f(n)
(3n?3)3n?2?3n?3?
????2
3n?5?3n?2?(3n?5)(3n?2)
?(3n?5)(3n?2)
2
。
因(3n?3)2?9n?7＞0，故
f(n?1)＞f(n).
特别的即3Tn
f(n)?f(1)?
2720
1。从而3Tn?1?log(an?3)?logf(n)＞0
，
?1＞log2(an?3)。
证法二：同证法一求得bn及Tn。 由二项式定理知当c＞0时，不等式
(1?c)＞1?3c成立。
3
由此不等式有
3Tn?1?log
1??1?1???
2?1???1????1??
2??5?3n?1???
3
3
3
2
＞log
2
3??3??3??
2?1???1????1??
2??5??3n?1??
2
2
＝log
583n?22·?·?log243n?1
2
(3n?2)?log
(an?3)
。
证法三：同证法一求得bn及Tn。 令An＝因
3n3n?1
3
63n?·253n3n?13n
＞
，Bn＝
3
73n?1583n?2
，Cn＝?·?·
463n473n?1
?3n?22
。
3n?23n?1
，因此An3＞AnBnCn
。
从而
3Tn?1?log
3n??26
2??·??log
3n?1??35
3
22
2Ax
3
＞log2
2AnBnCn?log2(3n?2)?log2(an?3)。
7、（07浙江理21）已知数列?an?中的相邻两项a2k?1，a2k是关于x的方程
2，3，?)． x?(3k?2)x?3k?2?0的两个根，且a2k?1≤a2k(k?1，
2
k
k
（I）求a1，a2，a3，a7；（II）求数列?an?的前2n项和S2n；
f(2)f(3)f(4)f(n?1)
?1?sinn(?1)(?1)(?1)(?1)?3?，Tn????…?（Ⅲ）记f(n)??，
aaaaaaaa2?sinn1234562n?12n?
求证：
16
≤Tn≤
524
(n?N)．（放缩法）
*
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I）解：方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根为x1?3k，x2?2k，
当k?1时，x1?3，x2?2， 所以a1?2；
当k?2时，x1?6，x2?4， 所以a3?4；
当k?3时，x1?9，x2?8， 所以a5?8时；
当k?4时，x1?12，x2?16， 所以a7?12．
（II）解：S2n?a1?a2???a2n
?(3?6???3n)?(2?2???2)
2
n
?
3n?3n
2
2
?2
n?1
?2．
f(n?1)
（III）证明：Tn?
1a1a2?
1a3a4
16
1a1a2
?
1a3a4
?
1a5a6
???
(?1)
a2n?1a2n
，
所以T1?
1a1a2
?
，
524
T2?
?
．
当n≥3时，
Tn?
16?
1a3a4
?
1a5a6
???
(?1)
f(n?1)
a2n?1a2n
，
≥
16
1616
?
?1?1?????? a3a4?a5a6a2n?1a2n?1
16?216?2
n
≥?
2
?
1?11?
????3n?
6?22?16
???
，
同时，Tn?
524
524524
524
?
1a5a6
?
1a7a8
???
(?1)
f(n?1)
a2n?1a2n
≤?
?1?1?????? a5a6?a1a2a2n?1a2n?1
19?219?2
n
≤?
3
?
1?11?
????1n?9?22?524
???
．
1
524
综上，当n?N*时，≤Tn≤
6
．
8、（07四川理）（基本不等式、放缩法、裂项求和） 1??
设函数f(x)??1??(n?N,且n?1,x?N).
n??
1??
(Ⅰ)当x=6时,求?1??的展开式中二项式系数最大的项;
n??
x
x
(Ⅱ)对任意的实数x,证明
f(2x)?f(2)
2
n
＞f?(x)(f?(x)是f(x)的导函数);
(Ⅲ)是否存在a?N,使得an＜??1?
k?1
??1?
?＜(a?1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并k?
求出a的值;若不存在,请说明理由.
20?1?
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C6315???3
n?n?1??
（Ⅱ）证法一：因f?2x??f?2???1??
n??
?n3
2n
1??
??1??
n?
?
n
2
1??1?1???
?2?1????1???2?1??
n??n?n???
n
'
n
1?1?1?1?????
?2?1??ln?1???2?1??ln?1???2f
n?2?n?n?????
?x?
证法二：
1??
因f?2x??f?2???1??
n??
2n
1??
??1???n??
21??1??
?2?1????1??
n??n??
n
1?1???
而2f?x??2?1??ln?1??
n?n???
'
n
故只需对?1?
?
?
1?1??和ln1????进行比较。 n?n??
1x?x?1x
令g?x??x?lnx?x?1?，有g'?x??1?由
x?1x
?0，得x?1
'
因为当0?x?1时，g
?x??0，g?x?单调递减；当1?
x???时，g
'
?x??0，g?x?单
调递增，所以在x?1处g?x?有极小值1 故当x?1时，g?x??g?1??1，
从而有x?lnx?1，亦即x?lnx?1?lnx 故有?1?
??
1?1???ln1????恒成立。 n?n??
'
所以f?2x??f?2??2f?x?，原不等式成立。
（Ⅲ）对m?N，且m?1 1??
有?1??
m??
m
01?1?2?1?k?1?m?1?
?Cm?Cm????Cm?????Cm?????Cm??
?m??m??m??m?
2
k
m
2
k
m
m?m?1??1?m?m?1???m?k?1??1?m?m?1??2?1?1?
?1?1??????????????
2!k!m!?m??m??m?
?2?
1?1?1?1??2??k?1?1?1??m?1?1????1?1??1????1??1????????????? 2!?m?k!?m??m??m?m!?m??m?12!?13!???
1k!???
1m!
?2? ???
1m?m?1?
?2?
12?1
?
13?2
???
1k?k?1?
1??11?1?1???1?1?2??1??????????????????
223k?1km?1m?????????3?
1m?3
km
又因Ck
?1m
0?k?2,3,4,?,m?，故2??1???
?m???
?1????3
m??
1?m
n
k
∵2??1??3，从而有?
m?
?2n???
?1?1???3n成立，
k?1?
k?n
k
即存在a?2，使得2n???
1?1????3n恒成立。
k?1?
k?
9、（08江西）已知函数f?x?＝
1＋
1＋
ax?x
?a
ax?8
，x∈(0，＋∞)． （1）当a?8时，求f?x?的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：1?f?x??2．（基本不等式、放缩、分析） 解：
（
1
）
a?8
f'
(x)?
(1?x)'??x?(1?
x)?(?x)'
1?x
?x1?
x?2
x?2?x1?x?
1?
x
2
x??x?(1?x)
f(x)?
1?
1?
1?x
3
?
x1?x
?
1?x
?x
3
∴
令f'(x)?0，结合x?0，解得0?x?1
故f(x)在（0，1）单调递增，同理f(x)在(1，??）单调递减。 ∴a?8时，f(x)单调递增区间为（0，1），单调递减区间为(1，??）。 （2）对任意给定的a?0，x?0，因
时，
f(x)?
1?x
?
1?a
?
1?
8ax
，若令b?
8ax
，则abx?8 ①
f(x)?
1?x
?
1?a
?
1?b1?x
②
（一）先证f(x)?1：因为?
11?x
，
1?a
?
11?a
，
1?b
?
11?b
又由2?a?b?x≥42abx?8，∴a?b?x≥6 所以
（2）.再证
f(x)?
??
1?x
?
1?a
?
1?b
?
11?x??
11?a
?
11?b
3?2(a?b?x)?ab?bx?ax
(1?x)(1?a)(1?b)
(1?x)(1?a)(1?b)
9?(a?b?x)?(ab?bx?ax)
(1?x)(1?a)(1?b)?1
1?(a?b?x)?(ab?bx?ax)?abx
f(x)?2：由①、②中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0
（Ⅰ）.当a+b≥7，则a≥5，∴x≥a≥5 1?b
?1，
1?x?
?
1?a1?a
?
?16?16?
26?1
∴f(x)?
1?x
1?b
8ab
?2
（Ⅱ）若a+b
1?x
b
?
abab?8
2
③
因为
11?b
?1?
b1?b
?
b
2
2
4(a?b)
?(1?
2(1?b)
)
∴
1?b
?1?
b2(1?b)
④
同理得
1?a1
?1?
a2(1?a)
b1?b
⑤，于是
f(x)?2?
21?a
(
a
??2
abab?8
) ⑥
今证明
a1?a
?
b1?b
?2
abab?8
⑦
因为
a1?a
?
b1?b
?2
ab(1?a)(1?b)
，则只要2
ab(1?a)(1?b)
?2
abab?8
只要(1?a)(1?b)?8?ab，即证1?a?b?ab?8?ab，即a+b
10、(2004年江苏卷）已知函数f(x)(x?R)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 λ(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]
和f(x1)?f(x2)?x1?x2，其中λ是大于0的常数.
设实数a0,a,b满足 f(a0)?0和b?a??f(a)
(Ⅰ)证明λ?1，并且不存在b0?a0，使得f(b0)?0； (Ⅱ)证明(b?a0)2?(1?λ2)(a?a0)2；
(Ⅲ)证明[f(b)]2?(1?λ2)[f(a)]2.
本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
证明：（I）任取x1,x2?R,x1?x2,则由 ?(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)] 和|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2| ②
可知 ?(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?|x1?x2|?|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|2， 从而 ??1. 假设有b0?a0,使得f(b0)?0,则由①式知
0??(a0?b0)?(a0?b0)[f(a0)?f(b0)]?0矛盾.
2
∴不存在b0?a0,使得f(b0)?0.
（II）由b?a??f(a) ③
22222
可知 (b?a0)?[a?a0??f(a)]?(a?a0)?2?(a?a0)f(a)??[f(a)] ④ 2
由f(a0)?0和①式，得(a?a0)f(a)?(a?a0)[f(a)?f(a0)]??(a?a0) ⑤ 222
由f(a0)?0和②式知，[f(a)]?[f(a)?f(a0)]?(a?a0) ⑥ 222222
由⑤、⑥代入④式，得 (b?a0)?(a?a0)?2?(a?a0)??(a?a0) 22
?(1??)(a?a0)
（III）由③式可知[f(b)]?[f(b)?f(a)?f(a)]
?[f(b)?f(a)]?2f(a)[f(b)?f(a)]?[f(a)] ?(b?a)?2???[f(a)]???[f(a)?
2
2
2
2
2
22
22
22
b?a
?
2
[f(b)?f(a)]?[f(a)] （用②式）
2
2
?
2
(b?a)[f(b)?f(a)]?[f(a)]
???(b?a)?[f(a)] （用①式）
2
2
2
2
2
?
=l[f(a)]-2l[f(a)]+[f(a)]=(1-l)[f(a)]
2
2
11、（2004年北京高考第20题）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和
L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是： 首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可
能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时
的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、……，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止。（性质、反证法）
（I）判断r1,r2,?,rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数 （II）当构成第n（n
rn?1?
150n?Ln?1
（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N?11
解：（I）r1?r2???rN。除第N组外的每组至少含有
15050
?3个数
（II）当第n组形成后，因为n?N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差rn，余下数之和也大于第n组的余差rn，即 L?[(150?r1)?(150?r2)???(150?rn)]?rn 由此可得r1?r2???rn?1?150n?L 因为(n?1)rn?1?r1?r2???rn?1，所以rn?1?
150n?Ln?1
（III）用反证法证明结论，假设N?11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r11，且r11?r10 故余下的每个数?r11?r10?
150?11?1275
10
?37.5 （*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5?3?112.5 此时第11组的余差r11?150?第11组数之和?150?112.5?37.5 这与（*）式中r11?37.5矛盾，所以N?11
