达?矢抾哆拉?
范文一：非平稳信号
(1-4)
戚伟世 胡春静 望育梅 喻小红 宋卫林
,5-8
张闯 程卫军 孙纲 黄平牧 吕尧新 冯瑞军
1
2 时频表示与时频分布 本章主要内容:讨论非平稳信号的时,频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。重点是Wigner的性质、Wigner 分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。
时频表示与时频分析的提出
分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体(全局)变换。在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量(如均值、相关函数、功率谱等)是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。
时频表示:用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T(t，f)。 时频分析:能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分
f)。 析，记作P(t，
典型的线性时频表示有:短时Fourier变换、小波变化和Gabor变
2
换。
2(1 基本概念
1(传统的Fourier变换及反变换:
,j2,tf, S(f)= s(t)edt,,,
,j2,tfs(t)= S(f)edf,,,
2(解析信号与基带信号
?定义,解析信号,:与实信号s(t)对应的解析信号(analytic
signal)z(t)定义为z(t)=s(t)+jн[s(t)]，其中н[s(t)]是s(t)的Hilbert变换。
实函数的Hilbert变换的性质:
若
x(t)= н[s(t)]
则有
s(t)=- н[x(t)]
2 s(t)=- н[x(t)]
?实的调频信号a(t)cos,(t)对应的解析信号为
j(t),z(t)=a(t)cos,(t)+jн[a(t)cos,(t)]=A(t) e(2.1)
,(t)?任何一个实调幅-调频信号a(t)cos的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。
,(t)?实窄带高频信号s(t)=a(t)cos[2πft+]的解析信号为 0
3
j2,ftj(t),0 z(t)=a(t) ee(2.2)
,j2,ft0将上式乘以，即经过向左频移f成为零载频，其结果称e0
为基带信号
j(t), z(t)= a(t) eB
它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。
?高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。 3(瞬时频率和群延迟
? 瞬时频率f i
信号s(t)=a(t)cos 的瞬时频率定义为 ,(t)
1d f,arg[z(t)]i,2dt
可以看出它为解析信号的相位的导数。
物理意义:把解析信号z(t)表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。
?群延迟τg(f)
频率信号的群延迟定义为
1d,arg[Z(f)] τg(f)= ,2df
物理意义:设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。
需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。
4
4(不确定性原理
对有限能量的零均值复信号z(t)，其有限宽度T=和频谱Z,t(f)的有限宽度B=分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为: ,f
,,2222fZ(f)dftz(t)dt2,,222,,,,(,f)(,t)T== 和 B== ,,22Z(f)dfz(t)dt,,,,,,
对信号z(t)沿时间轴做拉伸z(t)=z(kt)，由时宽定义k
T,kT可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即;类似地，可求zzk
11出拉伸信号的带宽是原信号带宽的,即。由此可见BB,zzkkk
TTB==常数，这一结论说明对任何信号恒有TB=常数的可能Bzzzzkk
性。
命题:(不确定性原理)
对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式:
11 时宽-带宽乘积=TB=,f?或TB=? ,t,t,,4,2不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。
重要意义:既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。
2(2 短时Fourier变换 线性时频表示:满足叠加原理或线性原理，如:
z(t)=cz(t)+cz(t)?T(t，f)=cT(t，f)+cT1122z1z12z2
5
(t，f)
1(连续短时Fourier变换
? 定义: 给定一个时间宽度很短的窗函数γ(t)，令窗滑动，则信号z(t)的短时Fourier变换定义为
,,,j2,ft' STFT(t，f)= [z(t')(t',t)]edt',z,,,
(2.3)
可以看出，由于窗函数γ(t)的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz(t，f)可视为该时刻的“局部频谱”。 ?信号完全重构的条件:重构就是由STFTz(t，f)求出原信号z(t)的过程
,,j2,fu p(u)= STFT(t,f)g(u,t)edtdfz,,,,,,
(2.4)
,,,,2,f(t'u),,[edf]z(t'),(t',t)g(u,t)dt'dt = ,,,,,,,,,
,,, = z(t')(t',t)g(u,t)(t',u)dt'dt,,,,,,,,
,, =z(u) (u,t)g(u,t)dt,,,,
,, =z(u) (t)g(t)dt,,,,
显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件:
,, =1 (t)g(t)dt,,,,
(2.5)
才能使p(u)=z(u)。
6
可以看出，满足式(2.5)的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。这里有三种最简单的选择:
? g(t)=γ(t)
? g(t)=(t) ,
? g(t)=1
当取条件?时，完全重构条件成为
,2=1 ,(t)dt,,,
即所谓能量归一化，这时式(2.4)可写成:
,,j2,f't z(t)= STFT(t',f')(t,t')edf'dt',z,,,,,,
(2.6)
与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。 以上讨论表明:短时Fourier变换式(2.3)相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFT(t,f)，它在任一时刻t的切Z
片即是信号在该时刻的“局部频谱”。短时Fourier反变换即式(2.6)相当于信号的综合，它通过综合窗从STFT(t,f)恢复或z综合得到原信号z(t)。
2(短时Fourier变换的基本性质
? 频移和时移特性:
~j2ft',0 z(t'),z(t')e,STFT(t,f),STFT(t,f,f)~z0z
(2.7)
~,j2,tf0 z(t'),z(t',t),STFT(t,f),STFT(t,t,f)e~0z0z
7
(2.8)
以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。 ? 将(2.3)式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有
,,j2,tfj2,f't, STFT(t，f)= eZ(f'),(f',f)edf'Z,,,
(2.9)
其中，谱窗是时间窗的Fourier变换。式(2.9)可以解释,(t),(f)
,,j2ft,,(f',f)为信号通过频率响应为的滤波器输出乘以得到，它z(t')e是一个带通滤波器，中心频率为f。将式(2.9)做变量代换:,f'',f',f可得
,j2,f't,STFT(t，f)= Z(f'，f),(f')edf'Z,,,
(2.10)
式(2.10)可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。
3(窗函数g,t,的选择
如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。如 g(t)= (t)和g(t)= 1,
即为两个极端的情况:
当g(t)= (t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应,
的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率;当g(t)= 1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间
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分辨率。
综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g(t)的宽度与信号的局域平稳长度相适应。在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性(即能量在时频平面是高度集中的)，使得STFT(t，f)能够有效地对应为信号z(t)在时频点Z
(t，f)附近的“内容”。
4(离散短时Fourier变换
对应于连续的短时Fourier变换，离散的短时Fourier变换和反变换分别为:
,jnFk,,2,()z(k),(kT,mT)e= STFT(m,n),k,,,
,,jnFk2,()STFT(m,n)g(kT,mT)ez(k)= ,,mn,,,,,,
其中，T>0和F>0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m，n为整数。
与(2.5)相对应的约束条件为:
,11,g(kT，n,mT),(kT,mT),,,,k ,nFFm,,,
2.3 时频分布的一般理论 1.信号的双线性变换和局部相关函数
z(t)对非平稳信号进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。这
9
种时间和频率的联合函数称为信号的时频分布。类似于平稳P(t,f)
信号中自相关函数和功率谱密度的关系:
,* R(),z(t)z(t,)dt,,,,,
,j2,,f, S(f),R()ed,,,,,
(2.12)
我们定义非平稳信号的双线性变换为
,,,* R(t,),(u,t,)z(u，)z(u,)du,,,,,,22
(2.13)
,,*上式中使用对称形的双线性变换更能表现出非平稳信z(t，)z(t,)22
号的某些重要性质。其中Φ(t,τ)为沿t轴滑动的窗函数，同时沿加权，称为“局部相关函数”。 R(t,,),
对局部相关函数作Fourier变换，可得到时变功率谱，即信号能量的时频分布:
,j2,,f, P(t,f),R(t,)ed,,,,,
(2.14)
这表明，时频分布P(t,f)也可用局部相关函数R(t,,)来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。
取窗函数,(u,t,,),,(u,t)，则有
,,,,,** R(t,),k(t,),(u,t)z(u，)z(u,)du,z(t，)z(t,),,,z,,,2222
(2.15)
称为瞬时相关函数。它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville
分布:
10
,,,*j2,,f, P(t,f),W(t,f),z(t，)z(t,)ed,z,,,22
(2.16)
Wigner-Ville分布是时频分布中最基本的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。
2 时频分布的基本性质要求
对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布
具有表示信号能量分布的特性。因此，希望时频分布满P(t,f)P(t,f)足下面的一些基本性质。
性质1:实的(且是非负的)。
性质2:边缘特性
,2 信号在频率的谱密fP(t,f)dt,|Z(f)|,,,
度
,2 信号在t时刻的瞬时P(t,f)df,|z(t)|,,,
功率
可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。
性质3:时频分布关于时间t和频率的积分应给出信号的总能量f
E，即
,, P(t,f)dtdf,E(信号能量),,,,,,
,(f)f(t)性质4:时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和群延迟，gi
即
11
,,.(,).(,)fPtfdftPtfdt,,,,,,() 和 () ft,,f,ig,,(,)(,)PtfdfPtfdt,,,,,,
性质5:有限支撑特性
如果信号只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱z(t)Z(f)也只在某个频率区间取非零值，则称信号z(t)及其频谱是有限支撑的。相应地，如果在和的总支撑区以外，信号的时频z(t)Z(f)
分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。与此相对应，凡在信号和它的频谱等于零的各区z(t)Z(f)
域，时频分布等于零，这是Cohen提出的一种理想的具有“强”P(t,f)
有限支撑的时频分布。
边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量，同时还可保证时频分布的强有限支撑性。
表2.3.1列出了所有 “所期望具有的”数学性质。需要注意的是，并不是所有的时频分布都能满足表中的所有性质。实际中适用的时频分布不一定满足所有基本性质。根据应用场合，某些性质是可以不必强求的。
3(时频分布的二次叠加原理
线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理带来很大的方便。但是二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理，
12
使得时频分析不再能像线性时频分布的处理那样简单。因此，这里引入时频表示的“二次叠加原理”如下:
令
z(t),cz(t)，cz(t) 1122
则任何二次型时频分布服从下面的二次叠加原理:
22** P(t,f),|c|P(t,f)，|c|P(t,f)，ccP(t,f)，ccP(t,f)z1z2z12z,z21z,z121221
P(t,f)式中P(t,f),代表信号的“自时频分布”(简称“信号项”)，z(t)z,zz
它是的双线性函数;表示信号和的“互时频分布” z(t)x(t)y(t)P(t,f)x,y
(简称“交叉项”)，它是和的双线性函数，交叉项通常相当x(t)y(t)
于干扰。
类似地，可推广到多个分量信号的二次叠加原理。
时频分布的交叉项一般比较严重，而且在大多情况下是有害的，需对它进行有效地抑制。
2.4 模糊函数
,,*时频分布是对信号的双线性变换作关于变量的,z(t，)z(t,)22
Fourier变换，如Wigner-Ville分布，如果对该双线性变换关于时间t作Fourier反变换，则可得到另一种二维时频分布函数:
,,,*j2,,,A(,),z(t，)z(t,)edt,, z,,,22
(2.17)
z(t)称为模糊函数，式中是s(t)的解析信号。
式(2.15)定义的瞬时相关函数
13
,,* k(t,),z(t，)z(t,),z22
,为时间，τ为时延。可见，模糊函数可以视为瞬时相关函数关于的Fourier反变换: t
,1 A(,,,),, f[k(t,,)]zz,t,(,.,,)
对比模糊函数和Wigner-Ville分布知，它们都是双线性变换信号或瞬时相关函数k(t,,)的某种线性变换，后者变换到时频平面，z
表示能量分布，称为能量域;而前者则变换到时延,频偏平面，表示相关，称为相关域。可以证明，Wigner-Ville分布和模糊函数是一对Fourier变换对:
,,j2,(t,,f),， W(t,f),A(,)edd,,,,zz,,,,,,
(,.,,)
模糊函数具有以下性质:
(1) 时移:模糊函数的模对时移不敏感，即有
~j2,t,0 z(t),z(t,t),A(,,,),A(,,,)e~0zz
(2) 频移:模糊函数的模对频移不敏感:
~j,2ftj2,f,00 z(t),z(t)e,A(,,,),A(,,,)e~zz
~,z(t),z(u)h(t,u)du(3) 滤波:令，则 ,,,
,A,(,,),A(,,,)A(,,u,,)du ~zh,,,z
~
z(t),z(t)m(t)(4) 调制:对于调制信号，其模糊函数为
,A,(,,),A,(,,)A(,,,,,)d, ~zm,,,z
类似地，可以定义互模糊函数。
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范文二：非平稳信号分析论文
《工程信号处理》大作业
学 院： 机电工程学院 题 目： 机械振动非平稳信号分析 年 级： 2013级 组 员： 念丽波、周浩、王伟龙 组 号： 第七组 指导教师： 郭瑜（教授）
基于小波分析的机械故障非平稳信号分析
念丽波、周浩、王伟龙
摘要：本文主要研究了小波分析在轴承故障诊断中的应用。文中通过离散小波变换对原始信号进行分解与重构，将重构后细节信号中冲击特征最为突出的信号作为特征域，取其绝对值信号进行频谱分析，从频谱图中得出故障的特征频率。最后，再对源信号进行包络分析，验证小波分析的结果。结果表明，基于小波分析的轴承故障诊断是一种有效的方法。
关键字：轴承故障，小波分析，特征提取
0 引言
在现代机械设备中，轴承作为一种必不可少的起固定和减小载荷摩擦系数的通用零部件，广泛应用于各个领域。若轴承发生故障，将直接影响设备的安全可靠运行，会降低生产效率和加工精度。因此，对轴承故障进行检验和诊断的意义重大。
轴承故障诊断过程一般分为三个步骤：一是诊断信息的获取，二是故障特征的提取，三是状态识别和故障诊断。其中故障特征提取是关键。故障特征提取常用的方法多种多样，如傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波分析等。傅里叶变换是一种传统的故障诊断方法，适合于平稳信号的分析，能从全局上得到信号的频谱。短时傅里叶变换是在变换的基础上发展起来的一种时频分析方法，它弥补了傅里叶变换的不足，适用于非平稳信号的分析。但是短时傅里叶变换的时频域窗口保持固定不变，这样对实际的时变非稳态信号就受到了限制。[1]
小波分析方法是一种全新概念的、变分辨率的时频分析方法，具有良好的时频局部化特性，弥补了傅里叶变换和短时傅里叶变换的不足，是处理非平稳信号的有力工具，适合于轴承的故障诊断分析。因此，本文选用小波分析来研究轴承故障。
1.小波分析原理
小波理论的确立和应用和时域分析一样同样是在信号分析发展史上重要里程碑，小波分析的提出和发展是为了解决傅里叶信号分析中对非平稳信号分析的不足，小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。小波分析作为一种有用的分析工具，在很多领域都获得了很好的应用。小波分析之所以在这十几年的发展中越来越受到重视，这与它在进行数据分析时众多的优点是分不开的。它和传统的傅里叶分析相比，主要优点在于它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，突破了傅里叶分析在时域没有任何分辨率的缺陷，能对指定频带和时段内的信号成分进行任意尺度的分析，使高频有较好的时间分辨率，同时能在很好的频率分辨率下对信号进行低频分析[1-8]。
本项目研究的对象是混有噪声的随机信号，信号内容复杂，频率不确定，是非平稳信号。首先采用小波分析进行阈值去噪，然后进行多级分解，将原始信号和多级细节信号进行功率谱对比分析，最后完成短时傅里叶变换图形显示
1．1 离散小波变换
连续小波主要用于理论分析及方法研究。由于小波分析在各个领域实际应用时，大量依靠计算机进行运算，因此，实际使用中，更多的是用到伸缩变量和平移变量均已离散化的小波变换。
在工程运用过程中，信号通常是一系列的采样值（离散时间信号），用f(n)(n∈Z)表示，这种情况下的母小波和对应的小波都应该是离散时间的，分别用φ(n)和φj,k(n)表示，定义离散小波为：[2]
离散小波变换定义为： φj,k(n)=2-j/2φj,k(2-jn-k),j,k∈Z
∞（1）
DWTφ(j,k)=
n=-∞∑f(n)j,k(n)
=2-j/2
n=-∞∑∞ （2） f(n)j,k(2-jn-k),j,k,n∈Z
这种小波变换很适用于数值计算和工程实现。同时离散小波有其自身的优点。首先，离散小波的算法简单，便于工程实现。其次，离散小波变换把频带严格区分开，信息没有冗余，许多设备的故障在频域内表现为故障的特征频率和特征频率的倍频，只要选择合适的采样频率和分解层数，就可以将特征频率及其倍频分解到各个频段，对这些频带的时域信号的做FFT变换，可以通过查找是否存在这些特征频率及其倍频来判断是否有故障。[3]
1.2软件设计流程和小波选取
1.2.1软件设计流程 根据小波分析原理和项目研究的要求与自上而下程序设计的原理，首先设计的MATLAB程序总体流程框图如下：
1.2.2小波选取
随着小波理论的日益成熟，小波分析的应用范围日益广泛，小波也出现了多种类型以满足不同应用领域的不同信号分析的需要。因此，在进行小波变换进行分析时，选择合适的小波类型尤为重要。
实际选取小波的原则主要有以下三种：
(1)自相似性原则。对二进小波变换，如果选择的小波对信号有一定相似性，则变换后的能量比较集中，可以有效减少计算量。
(2)判别函数。针对某类问题找出一些关键性的技术指标，得到一个判别函数，将各种小波函数代入其中，得到一个最优函数。
(3)支集长度。大部分应用选择支集长度为5—9的小波，因为支集太长会产生边界问题，支集太短不利于信号能量的集中。
实际应用中信号的信息量太大，很难找到相应的模式，因此需要通过典型的小波分析结果与实际认识的反复对比来选取。通过对小波形态与原始信号时域图形态的对比及对不同小波进行变换的结果分析，认为Daubechies小波在划分沉积旋回时具有较好的适用性。从形态上看，该小波相对其他几种类型对称性比较差，变化特征明显，与原始信号曲线具有较好的相似性，符合小波函数选取的原则。通过采用不同阶数的Daubechies小波分别对原始信号进行变换后发现，db1小波的能量集中较好，边界问题也不明显，划分的结果较为理想 [9]
2. 轴承故障分析
2.1 文中提出的轴承故障特征提取方法
轴承中的故障多为故障是滚子和滚道剥落、凹痕、破裂、腐蚀和杂物嵌入，[4]小波分析对提取振动信号中的冲击特征十分有效，因此提出以下轴承故障特征提取方法：（1）利用小波变换来获取振动信号的故障特征域；（2）计算特征域上信号的绝对值；（3）对绝对值信号做快速傅里叶变换，来获取绝对值信号频谱；（4）利用绝对值信号的频谱和轴承的特征频率来诊断轴承故障。
下文则根据以上提出的方法来具体介绍如何对轴承故障进行诊断。本文以Matlab作为平台，Daubieches 3阶小波作为基小波，对轴承信号进行分析。
实验得到的信号数据为20140513w_20hz_2.mat，轴的转速为1200r/min，轴的转动频率为20Hz，采样率为51.2kHz。将数据导入Matlab，截取10000个数据。
2.2 轴承故障信号的小波分析
图1，给出了轴承的原始信号。从图1中，可以看出信号中存在明显的冲击成分，即轴承的故障所在。但是，直接对原始信号处理很难发现问题所在，因此需要提取信号中的冲击成分，而小波分解为此提供了一种非常有效的手段。通过小波分解，可以分离出信号的逼近成分和细节成分。逼近成分中对应大尺度低频分量，细节成分对应小尺度高频分量。由于冲击成分本身在频域内表现为高频，所以细节成分才是我们对轴承故障诊断所需要重点分析的信号。
图1 轴承的原始信号
本文对轴承原始振动信号进行一维四层离散小波的分解与重构。产生四层信号，而每层的逼近信号又被分解层下一层的逼近信号和细节信号，经过小波变换后一共产生5个信号。这相当于把原始信号细化，使其变化为一个低频信号和四个高频信号，为后续故障特征提取奠定了基础，使得轴承诊断更加精确。小波变换后的结果如图2所示。
图2所示的五个图，分别是第四层的逼近信号A4，第一层的细节信号D1，第二层的细节信号D2，第三层的细节信号D3以及第四层的细节信号D4。从图2中可以看到，第四层的逼近信号A4很杂乱，特征并不突出。而对于其他四个细节信号，都可以看出较明显的冲击信号，其中第一层的冲击信号最突出，因此选用第一层的细节信号进行后续分析。
图2 小波分析后的逼近信号及细节信号
2.3 轴承参数及故障频率计算
轴承型号：NU205em
滚动体直径：d=7mm
轴承节径：D=38.5mm
滚动体数目：z=12
接触角：α=0
转轴频率：fa=20Hz
外圈故障频率计算：
计算得出外圈故障频率为98Hz。
2.4 小波分解细节信号的谱分析
为了找出冲击对应的频率，对Detail D4信号，即第四层细节信号的绝对值进行傅里叶变换。D4信号的绝对值如图3所示。在Matlab中使用FFT函数，对Detail D4的绝对值进行快速傅里叶变换，并取其单边谱，结果如图4所示。我们可以从图4中直观的看出，故障特征频率是20Hz，处于轴承的转动频率处，80Hz也处于其倍频处。
图3 D4细节信号的绝对值
图4 Detail D1信号绝对值的幅值谱
2.5 源信号包络谱的FFT变换
设备的损伤性故障信号往往会附载到高频共振信号上。在设备故障信号并不突出的情况下，使用包络分析技术可以有效地弥补FFT频谱分析方法的不足。包络分析技术可以有效地排除原始振动信号中的低频干扰信号，突出设备故障特征信号，提高信噪比，从而正确诊断出设备故障。
图5源信号包络谱的FFT变换
对图4和图5进行对比，可以很好的验证小波分析的正确性。而且，小波分析做出来的故障特征更明显。
3 结论
3.1 分析结果
本文提出了一种轴承故障诊断的方法，该方法利用离散小波变换来提取轴承信号的故障特征域，对故障特征域的绝对值进行频谱分析，从频谱图上得出轴承故障的特征频率，由此，来诊断轴承的故障。结果表明用离散小波变换提取故障特征信号是可行的。
3.2 总结
本次设计由于时间仓促，再加上对工程信号这门课程还有对matlab的应用比较陌生，所以现在不敢总结自己的优点，目前存在的主要问题还有以下几点：
(1)在进行小波分析时由于理论不是很过硬，目的不是很明确，以至于到最后的分析结果不尽人意。
(2)由于时间关系，好多预先设想的功能都没实现，诸如将冲击信号还原，以此分析冲击信号的来源，以及短时傅里叶变换后的三维显示等等。
4、体会
在本项目中融合了众多学科所学的理论知识与一体，并应用到实践上，显现了我们所学还是有所用的，更加强了我们以后运用知识的综合能力。重要的是它使我感受到学以致用的成就感，通过自己认真独立的完成此次项目研究，增强了我面对困难的勇气。
在此，非常感谢郭瑜老师孜孜不倦的教导，郭老师严谨的治学态度和活跃的学术思维深深地影响了我。还有郭老师那宽广的胸怀，他不惜将自己宝贵的经验展示出来与大家分享，这是最难能可贵的。另外，还要感谢伍星老师和柳小勤老师为本项目所做的理论铺垫，以及同班同学们的无私奉献和帮助，在
大家的共同帮助下，我才得以完满的完成本项目。
参考文献：
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范文三：平稳和非平稳振动信号的处理方法综述
平稳和非平稳振动信号的处理方法
周景成
（东华大学 机械工程学院，上海 201620）
摘要：本文主要综述了当前对于平稳和非平稳振动信号的处理方法及其优缺点，同时列举了目前振动信号处理的研究热点和方向。
关键词：稳态非稳态振动信号处理；方法；优缺点。
1．稳态与非稳态振动信号的界定
稳态振动信号是指频率、幅值和相位不变的动态信号，频率、幅值和相位做周期性变化的信号称为准稳态信号，而对于频率、幅值和相位做随机变化的信号则称为非稳态信号。
2. 稳态或准稳态振动信号的主要处理方法及其优势与局限
对于稳态振动信号，主要的分析方法有离散频谱分析和校正理论、细化选带频谱分析和高阶谱分析。对于准稳态信号主要采用的是解调分析。对于非稳态振动信号主要采用加Hanning 窗转速跟踪分析、短时傅里叶变换、Wigner-Ville 分布和小波变换等。对于任一种信号处理方法都有其优势和劣势，没有完美的，具体在工程实际中采用哪一种分析方法得看具体的工程情况而定，不能一概而论。
2. 1 离散频谱分析与校正
离散频谱分析是处理稳态振动信号的常用方法，离散频谱分析实现了信号从时域到频域分析的转变。FFT 成为数字信号分析的基础，广泛应用于工程技术领域。通过离散傅里叶变换将振动信号从时域变换到频域上将会获得信号更多的信息。对于这一方法，提高信号处理的速度和精度是当下两个主要的研究方向。由于计算机只能对有限多个样本进行运算，FFT 和谱分析也只能在有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断产生的能量泄漏，离散频谱的幅值、相位和频率都可能产生较大的误差，所以提高精度成为近一段时间主要的研究方向。上世纪70年代中期，有关学者开始致力于离散频谱校正方法的研究。目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：(1)比值校正法(内插法) ；(2)能量重心校正法；(3)FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换法；(4)相位差法。四种校正方法的原理和特点见表1[1].
从理论上分析，在不含噪声的情况下，比值法和相位差法是精确的校正法，而能量重心法和FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换法是精度很高的近似方法。随着频谱校正技术的发展和不断完善，越来越广泛地被应用于分析各种实际问题和各类动态信号分析系统中，根据应用对象特点的不同，采用不同的校正方法。一般在只需要较高幅值精度时，多采用方法简便的三点卷积幅值法；需要精确的频率和相位采用比值法；在噪声较大时，采用相位差校正法或FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换法。
2. 2 细化选带频谱分析
振动信号中, 对密集型频谱的分析采用细化选带频谱分析方法, 该方法有多种, 如复调制细化、相位补偿细化、Chirp- Z 变换、最大熵谱分析等, 其中
工程应用最广泛的是复调制细化选带频谱分析。主要研究工作在提高分析精度、细化倍数和分析速度。
复调制细化谱分析方法，简称Zoom FFT(或ZFFT) ，又称为选带频率细化分析方法，是信号处理领域在上世纪70年代发展起来的一项新技术。传统的复调制细化谱分析方法采用：移频(复调制) 一低通数字滤波一重抽样一FFT 及谱分析一频率成分调整，这种方法因物理概念非常明确，所以一直沿用到今。但存在以下的缺点：(1)需要很大的内存空间来存放中间数据；(2)低通滤波器的过渡带将带来分析频带两端谱线的幅值误差，细化倍数越大，误差越大；(3)计算量较大和频率成分调整较复杂。这些缺点使最大细化倍数和精度都受到很大限制，对用软件实现ZoomFFT 的影响尤为巨大，这时最大细化倍数一般不超过150倍。
2. 3 包络分析(解调分析)
包络分析主要用于机械设备故障分析。具有齿轮、滚动轴承的机械设备故障, 一般有周期性的脉冲冲击力, 产生振动信号的调制现象, 在频谱上表现为在啮合频率或固有频率两侧出现间隔均匀的调制边频带。采用解调分析方法, 从信号中提取调制信息, 分析其强度和频次就可以判断零件损伤的程度和部位。信号的频率成分在调制边频带内，这个问题还有待解决。
表1 四种校正方法的原理和特点
2. 4 高阶谱分析
在振动信号分析中,, 多是假设信号具有线性、高斯性和最小相位的性质, 但实际信号中有时含有非线性、非高斯性或非最小相位性质的成分。周期信号与准周期信号、复杂机械系统的自激信号和故障信号等可当作非高斯信号处理。高阶谱是分析非高斯信号的有力工具, 它从更高阶概率结构表征随机信号, 可以弥补二阶统计量(功率谱) 不包含相位信息的缺陷。高阶谱在振动信号中的应用研究刚刚开始。
2. 5 加Hanning 窗转速跟踪分析
根据旋转机械的转速进行整周期采样, 作DFT 求出与转频相关的各次谐波信号幅值与相位。在进行旋转机械的升降速过程或动平衡分析时，转速跟踪分析方法是精确分析振动谐波信号幅值和相位的一种应用广泛的信号处理方法。其实质是根据旋转机械的转速进行整周期采样，作DFT 求出与转频相关的各次谐波信号幅值与相位。如果采集转子旋转一周的振动信号作为一个样本，对其进行DFT ，则第一条谱线就是转频分量，第二条谱线就是二倍频，依次类推。谱线非常密集，所以只能加矩形窗，不能加其它窗函数，否则会产生谱线干涉现象，各阶频率成分的幅值和相位都会产生很大误差[463。这种分析方法特别适用于具有滑动轴承的旋转机械振动信号的分析，在此种工况下振动信号中只有转频和高次谐波分量成分。
加Hanning 窗转速跟踪分析的具体步骤为(1)根据要分析的谐波阶次将一次采样样本所包含的整周期数扩大一倍进行整周期采样；(2)对采样得到的样本信号加同点数的Hanning 窗；(3)进行DFT 计算；(4)将偶数项谱线提取出来乘以加窗恢复系数就是需要分析的各次谐波的幅值和相位。为了提高计算效果，也可以直接计算出偶数项谱线的幅值和相位。如果没有非周期成分的干扰信号，这种方法与传统转速跟踪分析方法得到的结果也是相同的。
2. 6 短时傅立叶变换
信号傅立叶变换前乘上一个时间有限的窗函数, 并假定非平稳信号在分析窗的短时间隔内是平稳的。具有不变窗的短时Fourier 变换更适合应用在准稳态信号分析的场合。
2. 7 Wigner-Ville 分布
Wigner-Ville 分布具有明确的物理意义, 它可被看作信号能量在时域和频域中的分布。但多分量信号的Wigner-Ville 分布会出现交叉项。当信号含有较多的频率成分或其频率成分靠得较近时,Wigner-Ville 分布所产生的交叉干扰项问题仍然没有得到很好的解决,
2. 8 小波变换
小波变换是上世纪80年代后期发展起来的一门新兴的应用数学分支，在工程应用领域，特别在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别和量子物理等领域，小波变换被认为是工具及方法上的重大突破。
小波变换具有多分辨特性，可以由粗及精地逐步观察信号, 也可以看成是用一组带通滤波器对信号作滤波。通过适当地选择尺度因子和平移因子, 可得到一个伸缩窗, 只要适当的选择基本小波, 就可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。但存在如下问题:
(1) 怎样选取合适的时域与频域分辨率的问题仍未很好解决。
(2) 小波变换对信号的奇异点非常敏感。在实际采样得到的振动信号中, 由于不可避免地存在各种干扰信号, 所以信号中的奇异点特别多, 到底是故障信息产生的奇异点还是干扰信号产生的奇异点是很难判断的[2]。
2. 9 Hilbert-Huang 变换
Hilbert-Huang 变换将时间信号经过经验模态分解成为一组本征模函数, 再进行Hilbert 变换。与傅立叶变换以余弦函数为基底进行信号分解不同, Hilbert-Huang 变换局部性能良好而且是自适应的, 对稳态信号和非平稳信号都能进行分析[3]。
3. 研究热点和发展方向
近十年来，盲信号处理成为信号处理领域的一个研究热点，其理论也不断地深入和完善，盲源分离作为盲信号处理的一个分支，已成功用于地震勘探、移动通信、图像增强、语音信号处理和阵列信号处理及生物医学工程。随着技术的发展与进步，非平稳信号盲源分离方面的研究更是盲源分离研究的热点，因为该问题的解决有着重要的理论意义和使用价值[4]。
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范文四：非平稳信号平稳性的一种度量方法
２００２年第１６卷专刊测试技术学报ｖ０１．１６Ｍｏｎｏ２００２
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＴＥＳＴＡＮＤＭＥＡＳＵＲＥＭＥＮＴＴＥＣＨＮｏＬｏＧＹ
非平稳信号平稳性的一种度量方法
张海勇
（大连舰艇学院通信教研室，大连１１６０１８）
摘要首先介绍了非平稳信号平稳性的一种定量测量方法。该方法用Ｈｉｌｂｅｒｔ时频谱定义非平稳信号的平稳度并给出了数学表达式。用该表达式可对非平稳信号的平稳性进行定量描述，可以检测非平稳信号的平稳性。然后，讨论了该表达式的意义。通过对某油田抽油机齿轮箱振动信号的应用研究，验证了该方法的有效性。该方法对非平稳信号的分析与处理具有重要意义。最后指出了这一方法需进一步研究的有关问题。
关键词非平稳信号Ｈｉｌｂ时频谱平稳度
概述
根据传统定义，一个时间序列坦ｒ），在广义上平稳的条件是：任给时间ｆ，
Ｅ（㈨１２）＜ｏ。
Ｅ（Ｘ（ｒ））＝聊（１）
Ｃ（Ｘ（，１），Ｘ（ｆ２））＝Ｃ（Ｘ（ｆｌ＋ｆ），Ｘ（ｆ２＋ｒ））＝Ｃ（ｆ）
其中，以?）代表全局均值，Ｃ（?）代表协方差函数。一个时间序列坝ｆ），其严格平稳的条件是：如下联合分布
Ⅸ（ｆ１），ｘ（，２），…，ｘ（ｆ。）Ｊ…
Ⅸ（‘＋ｆ），ｘ０２＋ｆ），…，ｘ（ｆ。十ｒ）Ｊ
对于所有的卉与丁都是一样的。
然而，一个过程或者是平稳的或者是非平稳的，人们只能是定性地描述它的平稳性。因为上述平稳性的定义太严格、太理想化而且用处不大，在实际中很少有数据能够满足如此严格的定义，结果是很少有人用它来检测数据的平稳性。为了进行定量分析，需要一个指数来表明信号的平稳性偏差到底有多大。本文介绍了一种非平稳信号平稳性的定量测量方法，给出了平稳度的定义，讨论了它的意义，并指出了这一方法需进一步研究的有关问题。
１Ｈｉ｜ｂｅｒｔ时频谱
为了研究瞬态与非平稳现象，频率必须是时间的函数。
信号ｘＯ）通过Ｈｉｌｂｅｎ变换可构造一个解析函数ｚＯ）：
＋收稿日期：２００２．０３．２３
ｙｏ）＝去终丁即）＝去曙≥死＋８ｌ一气７ｃ＋２ｔ—ｔ非平稳信号平稳性的一种度量方法１４１９（３）
ｚＯ）＝ｘＯ）＋ｆ】，Ｏ）＝口Ｏ）Ｐ坩（‘）
其中（４）
荆＝鼢小）２乒硼）…ｔａｎ端
由此，定义瞬时频率缈为：（５）
国：型（６）
这样，Ｈｉｌｂｅｒｔ变换提供了一个独特的定义幅度与相位的函数。（３）式与（４）式都表明了它的局部特性：它是一个幅度与相位变化的三角函数敞Ｏ的最好局部近似。
虽然Ｈｉｌｂｅｒｔ变换具有优良的特性，但不幸的是，大多数信号或数据在任何时刻，
可能包含不只一个振荡模式，这就是为什么简单的Ｈｉｌｂｅｎ变换不能给出一个一般信号的完全的频率内容的原因。
Ｈｕａｎｇ等【１】经过研究发现，为得到有意义的用Ｈｉｌｂｃｒｔ变换定义的瞬时频率，信号必须满足局部限制条件：函数对称于局部零均值，且有相同的极值与过零点。进而定义了一类满足下面两个条件的被称为基本模式分量的函数：
在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的数量必须相等，或最多相差不能多于一个；在任何时间点上，被它的局部最大值与局部最小值定义的包络的均值必须是零。
对于一个复杂的信号，在一个时刻会有多于一个的瞬时频率。为了使用这个关于瞬时频率的定义，必须把一个信号数据序列分解成基本模式分量。为此，Ｈｕａｎｇ等…提出了把信号分解成基本模式分量的方法——基于经验的模式分解。信号般Ｏ通过基于经验的模式分解，可得到如下结烈ｕ：
ｘ（，）＝∑ｃＪ＋＿
Ｊ＝ｌ（７）
式中删２，，．．．，，２）为门个基本模式分量，％为剩余分量。该剩余分量或者为一个平均趋势或者是一个常量。
对（７）式中的每一个基本模式分量啄Ｏ进行Ｈｉｌｂｅｒｔ变换，可得到解析表达式：
ｃＪ（ｆ）＝口Ｊ（ｆ）ｅ。。∥Ｖ，则整体为：
ｘ（，）＝∑口∥）Ｐ…舢
Ｊ＝１（８）
通过（８）式可以把信号幅度在三维空间中表示成时间与瞬时频率的函数。经过这
１４２０测试技术学报２００２年６月些处理后的时间频率平面上的幅度分布被称为Ｈｉｌｂｅｒｔ时频谱日（国，ｆ）。其数学表达式为：
Ⅳ（彩，ｒ）＝∑６Ｊ口Ｊ（，）Ｐ”舢
当缈，（，）＝∞时，易２，，否则岛２Ｄ。（９）
２平稳度
根据（９）式，可定义Ｈｉｌｂｅｎ时频谱的边界谱：
０
办（∞）＝１日（国，，）衍
进一步定义平均边界谱：（１０）
胛（彩）＝÷办∞）
丁是，定义平稳度为…：（１１）
脚，＝专Ｋ?一等卜…，
上式采用积分式是因为它给出了整个数据平稳性的定量测量。对于一个平稳过程，Ｈｉｌｂｅｎ时频谱不是时间的函数，它将只包含水平的等高线，上坶（缈）将是零。只有在这种情况卜．，边界谱与傅立叶谱才是一致的。这时，傅立叶谱是有物理意义的。如果Ｈｉｌｂｅｒｔ时频谱依赖于时间，指数将不为零，这会使傅立叶变换谱实际意义不明显。指数越高，整个过程越不平稳。
（１２）式将平稳性定义为频率的函数，这是必须的。因为某些频率分量可能是非平稳的，同时另一些频率分量可能是平稳的。例如一个偶然发生的振动冲击叠加波与规则的大的振动同时发生，低频的振动是平稳的，而高频的振动是断续的，即是非平稳的。
平稳度也隐含为时间的函数，它依赖于分析长度７１。一个过程可以是分段平稳的，另一方面，在一个平稳信号中加入一个跳变，如果积分时间丁足够长，该过程也可以认为是几乎平稳的，但若在此跳变的周围来看则又是非平稳的。对于一个信号数据来说平稳性是一个复杂的特性：对任何一个短于其长周期的数据段来说，该数据段被看作是瞬态的；如果数据长度足够长，则周期性被显现出来，从而变成平稳的。另一方面，数据可以在局部平稳，而在长时间内却不平稳。对于上述情况该指数就可以用来衡量信号过程的平稳性。
３实例齿轮磨损问题是设备故障诊断中常见现象。因其非平稳性，很难判定磨损程度。利
非平稳信号平稳性的一种度量方法１４２ｌ
用本文提供的方法可对齿轮振动信号的平稳性进行定量描述。图１是通过本文提供的方法计算得到的某齿轮振动信号的平稳度指数，该振动信号取自辽河油田某抽油机（设备型号为Ｙ１０．３．５３）的齿轮箱（传感器放置在轴承座上）。信号的设定分析频率为５００Ｈｚ（采样频率为５００×２．５６Ｈｚ），采样长度为１０２４点。已知所测传动轴的转速是１９６ＲＰＭ，即轴频是３．２７Ｈｚ，因有２２个齿，故齿频为７１．９Ｈｚ。从图１中可明显看出齿轮箱的振动信号在其轴频及齿频附近的平稳度指数很小，接近于零，所以它相对比较平稳，而在高频附近，平稳度指数相对很大，因此在高频处非常不平稳。事实上，齿轮箱振动信号的高频分量是由齿轮的摩擦引起的，因此，它相对于轴频及齿频肯定要更不平稳。
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图ｌ齿轮振动信号的平稳度指数
４结束语
平稳度的定义给出了非平稳信号平稳性的定量测量方法，用它可以检测数据的平稳性。本文的应用实例验证了该方法的有效性，它是非平稳信号分析与处理的一种新方法。加强平稳度的定义在不同领域的应用研究，将是很有意义的。
在实际中通常遇到的非平稳信号，其中就有一类特殊的１Ｆ平稳信号可视为准平稳或局部平稳信号，近年来引起了广‘泛注剖２’３Ｉ。这类非平稳信号的统计特性在一些未知时刻突变，而在这些时刻之间保持平稳特性。这些未知时刻称为分界点，各平稳段可以用平稳信号参数模型来描述，因此可把这类非平稳信号称为分段平稳信号。分析这类信号需要解决的问题是：分段的段数；各段之间的分界点：选择各段最佳的平稳信号参数模型。文献［２】［３】中用贝叶斯法对此问题作了研究，导出了一个关于分段数、各段ＡＲ模型阶数和各段之间分界点的优化方程。此法不需要设置门限，可适用于许多应用领域，但由于优化方程的解法十分复杂，计算量火，影响了其实际应用。若将平稳度定义为时间的函数（隐含为频率的函数），必将会使处理分段平稳信号的方法大火简化。加强这一问题的进一步研究，具有重要意义。
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１４２２测试技术学报２００２年６月
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ＡＭｅａｓｕｒｅｏｆＨｏｗＦａｒＮｏｎ—ＳｔａｔｉｏｎａｒｙＳｉｇｎａｌ
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１（ｅｙｗｏｒｄｓＮｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｓｉｇｎａｌ；Ｈｉｌｂｅｒｃｓｐｅｃｔｒｕｍ；ｄｅｇｒｅｅｏｆｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ
非平稳信号平稳性的一种度量方法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：张海勇， Zhang Haiyong大连舰艇学院通信教研室,大连,116018测试技术学报JOURNAL OF TEST AND MEASUREMENT TECHNOLOGY2002,16(z2)
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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hbgxycsjsxb2002z2135.aspx
范文五：非平稳随机信号处理
《非平稳信号分析与处
理》
组长：戚伟世 讲课安排：
第一小组：(1-4节)
戚伟世 胡春静 望育梅 喻小红 宋卫林
第二小组：（5-8节）
张闯 程卫军 孙纲 黄平牧 吕尧新 冯瑞军
2 时频表示与时频分布
本章主要内容：讨论非平稳信号的时－频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。重点是Wigner的性质、Wigner 分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。
时频表示与时频分析的提出
分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。
时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。 时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。
典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变
换。
2．1 基本概念
1．传统的Fourier变换及反变换：
S（f）=?-∞s(t)e-j2πtfdt s（t）=?-∞S(f)ej2πtfdf
∞
∞
2．解析信号与基带信号
⑴定义（解析信号）：与实信号s（t）对应的解析信号（analytic signal）z（t）定义为z（t）=s（t）+jн[s（t）]，其中н[s（t）]是s（t）的Hilbert变换。 实函数的Hilbert变换的性质：
若
x(t)= н[s(t)]
则有
s(t)=- н[x（t）]
s(t)=- н[x（t）] ⑵实的调频信号a（t）cosφ(t)对应的解析信号为
2
z（t）=a（t）cosφ(t)+jн[a（t）cosφ(t)]=A（t）ejφ(t)
（2.1）
⑶任何一个实调幅-调频信号a（t）cosφ(t)的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。
⑷实窄带高频信号s（t）=a（t）cos[2πf0t+φ(t)]的解析信号为
z（2.2）
（t）=a（t）
ejφ(t)
ej2πf0t
将上式乘以e-j2πft，即经过向左频移f0成为零载频，其结果称
为基带信号
zB（t）= a（t）ejφ(t)
它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。
⑸高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。
3．瞬时频率和群延迟
⑴ 瞬时频率fi
信号s（t）=a（t）cos φ(t)的瞬时频率定义为 fi
=
1d
arg[z(t)] 2πdt
可以看出它为解析信号的相位的导数。
物理意义：把解析信号z（t）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。 ⑵群延迟τg（f）
频率信号的群延迟定义为 τg（f）=-
1d
arg[Z(f)] 2πdf
物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。
需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。
4．不确定性原理
对有限能量的零均值复信号z（t），其有限宽度T=?t和频谱Z（f）的有限宽度B=?f分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为：
T=(?t)2=?-∞∞
2
∞
t2z(t)dtz(t)dt
2
2
?
和 B2=(?f)2=?-∞∞
∞
f2Z(f)dfZ(f)df
2
2
-∞
?
-∞
对信号z（t）沿时间轴做拉伸zk（t）=z（kt），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即Tz出拉伸信号的带宽是原信号带宽的
TzkBzk
1
k
k
=kTz；类似地，可求
k
,即Bz
=
1Bzk
。由此可见
=TzBz=常数，这一结论说明对任何信号恒有
TB=常数的可能
性。
命题：（不确定性原理）
对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式：
时宽-带宽乘积=TB=?t?f≥
1
4π
或TB=?t?ω≥1
2
不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。
重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。
2．2 短时Fourier变换
线性时频表示：满足叠加原理或线性原理，如：
z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）→Tz（t，f）=c1Tz1（t，f）+c2Tz2
（t，f）
1．连续短时Fourier变换
⑴ 定义： 给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗滑动，则信号z（t）的短时Fourier变换定义为
∞
STFTz（t，f）=?-∞[z(t')γ*(t'-t)]e-j2πft'dt' （2.3）
可以看出，由于窗函数γ（t）的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz（t，f）可视为该时刻的“局部频谱”。 ⑵信号完全重构的条件：重构就是由STFTz（t，f）求出原信号z（t）的过程 p（2.4）
= ?-∞?-∞[?-∞e
∞
∞
（u）=
??
*
∞∞
-∞-∞
STFTz(t,f)g(u-t)ej2πfudtdf
∞∞∞
-2πf(t'-u)
df]z(t')γ(t'-t)g(u-t)dt'dt
=?-∞?-∞z(t')γ*(t'-t)g(u-t)δ(t'-u)dt'dt =z(u)?-∞γ*(u-t)g(u-t)dt =z(u)?-∞γ*(t)g(t)dt
显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件：
?-∞γ*(t)g(t)dt（2.5）
才能使p(u)=z(u)。
∞
∞∞
=1
可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。这里有三种最简单的选择：
① g(t)=γ(t) ② g(t)=δ(t) ③ g(t)=1
当取条件①时，完全重构条件成为
?
∞
-∞
(t)dt=1
2
即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成： z(t)=（2.6）
与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。
以上讨论表明：短时Fourier变换式（2.3）相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFTZ（t,f），它在任一时刻t的切片即是信号在该时刻的“局部频谱”。短时Fourier反变换即式（2.6）相当于信号的综合，它通过综合窗从STFTz（t,f）恢复或综合得到原信号z(t)。
??
∞∞
-∞-∞
STFTz(t',f')γ(t-t')ej2πf'tdf'dt'
2．短时Fourier变换的基本性质
⑴ 频移和时移特性：
z(t')=z(t')ej2πft'→STFTz(t,f)=STFTz(t,f
~
~
-f0)
（2.7）
z(t')=z(t'-t0)→STFT~(t,f)=STFTz(t-t0,f)e-j2πt0f
z
~
（2.8）
以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。
⑵ 将（2.3）式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有 STFT（2.9）
其中，谱窗Γ(f)是时间窗γ(t)的Fourier变换。式（2.9）可以解释为信号z(t')通过频率响应为Γ*(f'-f)的滤波器输出乘以e-j2πft得到，它是一个带通滤波器，中心频率为f。将式（2.9）做变量代换：f''=可得
STFT
（2.10）
式（2.10）可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。
3．窗函数g（t）的选择
如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。如 g(t)= δ(t)和g(t)= 1即为两个极端的情况：
当g(t)= δ(t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率；当g(t)= 1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间
∞
Z
（t，f）=
e
-j2πtf
?
∞
-∞
Z(f')Γ*(f'-f)ej2πf'tdf'
f'-f
,
Z
（t，f）=?-∞Z(f'+f)Γ*(f')ej2πf'tdf'
分辨率。
综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g（t）的宽度与信号的局域平稳长度相适应。在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性（即能量在时频平面是高度集中的），使得STFTZ（t，f）能够有效地对应为信号z（t）在时频点（t，f）附近的“内容”。
4．离散短时Fourier变换
对应于连续的短时Fourier变换，离散的短时Fourier变换和反变换分别为：
STFT(m,n)=∑z(k)γ*(kT-mT)e-j2π(nF)k
k=-∞∞
z(k)= ∑∑STFT(m,n)g(kT-mT)ej2π(nF)k
m=-∞n=-∞
∞∞
其中，T>0和F>0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m，n为整数。
与（2.5）相对应的约束条件为：
1
F
m=-∞
∑
∞
g(kT+n
1
-mT)γ*(kT-mT)=δn,?k F
2.3 时频分布的一般理论
1.信号的双线性变换和局部相关函数
对非平稳信号z(t)进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。这
种时间和频率的联合函数P(t,f)称为信号的时频分布。类似于平稳信号中自相关函数和功率谱密度的关系：
R(τ)=?z(t)z*(t-τ)dt
-∞∞∞
S(f)=?-∞R(τ)e-j2πτfdτ （2.12）
我们定义非平稳信号的双线性变换为
R(t,τ)=?-∞φ(u-t,τ)z(u+τ)z*(u-τ)du
∞
22
（2.13）
上式中使用对称形的双线性变换z(t+τ)z*(t-τ)更能表现出非平稳信
2
2
号的某些重要性质。其中Φ（t,τ）为沿t轴滑动的窗函数，同时沿τ加权，R(t,τ)称为“局部相关函数”。
对局部相关函数作Fourier变换，可得到时变功率谱，即
信号能量的时频分布：
∞
P(t,f)=?-∞R(t,τ)e-j2πτfdτ （2.14）
这表明，时频分布P(t,f)也可用局部相关函数R(t,τ)来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。 取窗函数φ(u-t,τ)＝φ(u-t)，则有
R(t,τ)=kz(t,τ)=?-∞δ(u-t)z(u+τ)z*(u-τ)du=z(t+τ)z*(t-τ)
∞
2222
（2.15）
称为瞬时相关函数。它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville分布：
P(t,f)=Wz(t,f)=?z(t+)z*(t-)e-j2πτfdτ-∞22∞ττ
（2.16）
Wigner-Ville分布是时频分布中最基本的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。
2 时频分布的基本性质要求
对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布P(t,f)具有表示信号能量分布的特性。因此，希望时频分布P(t,f)满足下面的一些基本性质。
性质1：实的（且是非负的）。
性质2：边缘特性
?-∞P(t,f)dt=|Z(f)|2 信号在频率f的谱密
度
?-∞P(t,f)df
功率
可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。
性质3：时频分布关于时间t和频率f的积分应给出信号的总能量E，即
?-∞?-∞P(t,f)dtdf=E(信号能量)
性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率fi(t)和群延迟τg(f)，即 ∞∞∞∞=|z(t)|2 信号在t时刻的瞬时
?f(t)=i∞-∞∞f.P(t,f)dfP(t,f)df?-∞ 和 τ(f)=??g∞-∞∞t.P(t,f)dtP(t,f)dt -∞
性质5：有限支撑特性
如果信号z(t)只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱Z(f)也只在某个频率区间取非零值，则称信号z（t）及其频谱是有限支撑的。相应地，如果在z(t)和Z(f)的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。与此相对应，凡在信号z(t)和它的频谱Z(f)等于零的各区域，时频分布P(t,f)等于零，这是Cohen提出的一种理想的具有“强”有限支撑的时频分布。
边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量，同时还可保证时频分布的强有限支撑性。
表2.3.1列出了所有 “所期望具有的”数学性质。需要注意的是，并不是所有的时频分布都能满足表中的所有性质。实际中适用的时频分布不一定满足所有基本性质。根据应用场合，某些性质是可以不必强求的。
3．时频分布的二次叠加原理
线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理带来很大的方便。但是二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理，
使得时频分析不再能像线性时频分布的处理那样简单。因此，这里引入时频表示的“二次叠加原理”如下：
令
z(t)=c1z1(t)+c2z2(t)
则任何二次型时频分布服从下面的二次叠加原理：
Pz(t,f)=|c1|2Pz(t,f)+|c2|2Pz1**(t,f)+ccP(t,f)+ccPz2,z1(t,f) 12z,z21212
式中Pz(t,f)＝Pz,z(t,f)代表信号z(t)的“自时频分布”（简称“信号项”），它是z(t)的双线性函数；Px,y(t,f)表示信号x(t)和y(t)的“互时频分布” （简称“交叉项”），它是x(t)和y(t)的双线性函数，交叉项通常相当于干扰。
类似地，可推广到多个分量信号的二次叠加原理。
时频分布的交叉项一般比较严重，而且在大多情况下是有害的，需对它进行有效地抑制。
2.4 模糊函数 时频分布是对信号的双线性变换z(t+τ)z*(t-τ)作关于变量τ的22
Fourier变换，如Wigner-Ville分布，如果对该双线性变换关于时间t作Fourier反变换，则可得到另一种二维时频分布函数： ∞ Az(τ,υ)=?-∞z(t+)z*(t-)ej2πτυdt 22
（2.17）
称为模糊函数，式中z(t)是s(t)的解析信号。
式（2.15）定义的瞬时相关函数
kz(t,τ)=z(t+)z*(t-) 22
ττττ
ｔ为时间，τ为时延。可见，模糊函数可以视为瞬时相关函数关于t的Fourier反变换：
Az(τ,υ)=
（２.１８）
对比模糊函数和Wigner-Ville分布知，它们都是双线性变换信号或瞬时相关函数kz(t,τ)的某种线性变换，后者变换到时频平面，表示能量分布，称为能量域；而前者则变换到时延－频偏平面，表示相关，称为相关域。可以证明，Wigner-Ville分布和模糊函数是一对Fourier变换对：
Wz(t,f)=?∞
-∞-∞＝ft→υ-1[kz(t,τ)] ?∞Az(τ,υ)e-j2π(tυ+τf)dυdτ
（２.１９）
模糊函数具有以下性质：
（1） 时移：模糊函数的模对时移不敏感，即有
z(t)=z(t-t0)→Az(τ,υ)=Az(τ,υ)ej2πtυ ~0~
（2） 频移：模糊函数的模对频移不敏感:
z(t)=z(t)ej2πft0~→A~(τ,υ)=Az(τ,υ)ej2πf0τ z
(3) 滤波：令z(t)=?-∞z(u)h(t-u)du，则
A(τ,υ)=?-∞Az(τ,υ)Ah(τ-u,υ)du ~~∞∞z
(4) 调制：对于调制信号z(t)=z(t)m(t)，其模糊函数为 A(τ,υ)=?-∞Az(τ,η)Am(τ,υ-η)dη ~~∞z
类似地，可以定义互模糊函数。
