叫你2B对不起橡皮
范文一：含绝对值的不等式
1．3 含绝对值的不等式
一元二次不等式 一、明确复习目标
1ax，b,cax，b,c(c,0)
2
3 二．建构知识网络
1．一元一次不等式ax,b(a,0)的解集：
,,b,,b? ? axx,,0,时axx,,0,时,,,,aa,,,,
2．解含绝对值不等式的关键是去绝对值符号，去绝对值符号的方法有： （1）xaxa,,,或； x,axa,,,,,,axa
可用于解形如|()|fxa?的不等式，（式中a>0,对a?0时也成立） （2）平方去绝对值：（(0)a,,次数不高时）
2222； xaxa,,,xaxa,,,
22注意：xaaxa,,,(0)á。
（3）分段去绝对值：根据绝对值定义，按绝对值符号里面式子的正负号分段去掉绝
对值符号。
有些含绝对值不等式需要用到换元法。
3．一元二次函数、方程、不等式的的关系：
22二次函数，与相应的方程axbxc，，,0，不等式yaxbxca,，，,0，，
2有如下关系：(解二次不等式的依据) axbxca，，,?00，，
1
,,0,,0,,0
y y y2y,ax，bx，c
a,0x xx 12
x _ x0=x 12 xo_ 2bax，bx，c,0xxx,x(x,x),,,121212，，a,0的根2a2ax，bx，c,0,,b,,xx,x或x,xxx,,R,,12(a,0)的解集2a,,2ax，bx，c,0,,xx,x,x,,12(a,0)的解集
对于的情况可以化为的情况解决 a,0a,0
24.含参数的不等式ax＋bx＋c>0问题一般要分类讨论，具体解法是： （1）看a,0； （2）时，先看能否分解因式求方程的根，否则再按a?0,?0
分类讨论；
（3）看两根大小，依二次函数图象与出不等式的解集。
fx()5．分式不等式い0()()0,,fxgx0（带等号时分母不为0） gx()
6.高次不等式的解法:分解因式,用穿根法.
三、双基题目练练手
UR,,Axx,,,|121．（2006福建）已知全集且, ,,
2
2()eAB则等于 Bxxx,,，,|680,,,U
（A） （B） （C） （D） [1,4),(2,3)(2,3](1,4),
,,x2.（2006江西）.已知集合, Mx,,|0,,3(1)x,,,
2则等于 （ ） NyyxxR,,，,|31,MN,,,
A. B. C. D. ,xx|>1xx|,1xxx|<>
23.（2004湖北）设集合,,mRmxmx,，,,|440P,m|,1,m,0，Q={对任意实数都成立}，则下列关系中成立的是 （ ） A．Q B．QP C．P＝Q D．PQ,, P
4. 不等式|x-3|-|x+1|<1的解集为>
5．关于x的不等式|1||2|xxa，，,,有解,则实数a的取值范围是
26.已知不等式 的解集为，则的值依次是 axbx，，,10{51}xx,,,ab、
141答案提示：1—3、CBC； 4、；5、a>3； 6、 {x|x,},,,255
23、借助于函数ymxmx,，,44的图象分析；
4、分段去绝对值;
5、法1：用绝对值的几何意义借助数轴分析；
法2：借助于函数的图象，数形结合；
6、由韦达定理得http://www.xjktyg.com/wxc/a,b的值 wxckt@126.com
四、经典例题做一做
22x,5x，6,x,4【例1】解不等式
2解：（1）当x,4,0时，不等式的解集为 ,
2（2）当x,,40即时，有 x,,2或x,2
3
222,,,,，,,(4)564xxxx
12,,xx,,或22520xx,，, ,,,2,,,，,5100x,,x,2,
解集为{x|x>2}
322【例2】 已知A={x|x＋3x＋2x＞0}，B={x|x＋ax＋b?0}且A?B={x|0－2｝，求a、b的值. 解：A={x|－20}， 设B=［x，x］，由A?B=（0，2］知x＝2， 122且－1?x?0， ? 1
由A?B=（－2，+?）知－2?x?－1. ? 1由??知x＝－1，x＝2， 12
?a＝－（x＋x）＝－1，b＝xx＝－2. 1212方法提炼：本题解本题的关键是确定B中方程的两个根,还要熟练掌握在数轴上表示
集合（区间）的交与并的方法.
例3．（2007启东中学质检）
1,2yxx,,，,|2|0，,解不等式组：2，其中x、y都是整数． ,
,yx，,,|1|2.,
: 由绝对值非负及x,y是整数,对y或x作初步限定,再进一步由不等式组求解. 思路点拨
1,2yxx，,,,|2|0，,解法一：原不等式组可化为2 ,
,yx,,,,,2|1|0.,
1得－0）{x|,a,x,a} ,
{x|x,,a或x,a}|x|＞a（a＞0） ,说明条件a＞0的原因以及a<0,a=0时，用性质更为合适。从而得出：>
fxgxfxgxfxgx,,,,,或 ，，，，，，，，，，，，
fxgxgxfxgx,,,,, ，，，，，，，，，，
（3） 平方法：
（4）几何法：
二、新课
我们本节课重点研究定义法和公式法解题。 例1、解下列不等式：
2
（1） （左边为一个绝对值符号，右边为正数） x,,12
左边为一个绝对值符号，右边2xxx,,,,63（2）
为式子
2xx,,，93（3）
总结： 公式法解题步骤：
1、左侧为一个绝对值符号，右侧为正数或式子 2、“大于取两边，小于取中间”
含两个绝对值符号 例2、解下列不等式：
（1） xx,,，,311
（2） 2252,,，,xxx
点评：含两个或两个绝对值符号，一般用定义法（零点讨论法）
解题步骤：
1、绝对值内部x最高系数化为“正” 2、含绝对值的移到左侧
3、求零点
4、分段讨论绝对值内部的正负，从而脱去绝对值符号。
例3、解下列不等式：
（1） x,,,33
3
xx（2） ,xx，，22
点评：只含一个绝对值符号时：
（1） 右侧为0或负数——利用性质 a,0
（2） 右侧式子与绝对值内部式子相同——利用性质 aaa,,,0
x，3备选：解不等式： ,121x,
法1：公式法
法2：去分母，平方法（更简洁）
点评：绝对值内部为一次分式——法2
进一步整理思路：
观察题目含几个绝对值符号
只含一个 只含两个 两个以上
不含其它还含其它零点讨论法 公性 式质数或式 数或式 法法
平方法 零点讨论法
练习：解下列不等式：
2xx,,561、 2、 325,,x
242,,，xx3、 4、 2354xx,,，，
22232232xxxx,,,,,5、 6、 520,,x
4
解绝对值不等式的思路是：脱去绝对值符号
方法：代数法：定义法（零点讨论法）、平方法、公式法
几何法：利用绝对值的几何意义
小
结
作
业
5
板 书 设 计
课题：
1、 例 例
2、
3、
4、
课后反思：
6
范文三：含绝对值的不等式
1．3 含绝对值的不等式
一元二次不等式
一、明确复习目标
1.掌握ax?b?c与ax?b?c(c?0)型不等式的解法；会用分段去绝对值的解含多个绝对值的不等式；
2．理解一元二次函数、方程、不等式的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法以及含参数的不等式的讨论；
3．掌握简单的分式不等式，初步了解简单高次不等式的解法。
二．建构知识网络
1．一元一次不等式ax?b(a?0)的解集：
①a?0时,?xx?
??b??b? ②a?0时,xx???? a?a??
2．解含绝对值不等式的关键是去绝对值符号，去绝对值符号的方法有： （1）x?a??a?x?a；x?a?x??a或x?a 可用于解形如|f(x)|¤a的不等式，（式中a>0,对a≤0时也成立） （2）平方去绝对值：（(a?0),次数不高时）
x?a?x2?a2；x?a?x2?a2
注意：x?a(a?0)áx?a。
（3）分段去绝对值：根据绝对值定义，按绝对值符号里面式子的正负号分段去掉绝
对值符号。
有些含绝对值不等式需要用到换元法。
3．一元二次函数、方程、不等式的的关系：
2
二次函数y?ax?bx?c?a?0?，与相应的方程ax?bx?c?0，不等式
2
22
ax2?bx?c¤0?a?0?有如下关系：(解二次不等式的依据)
对于a?0的情况可以化为a?0的情况解决
4.含参数的不等式ax2＋bx＋c>0问题一般要分类讨论，具体解法是：
（1）看a|0； （2）a?0时，先看能否分解因式求方程的根，否则再按??0分类讨论；
（3）看两根大小，依二次函数图象与出不等式的解集。
5．分式不等式
f(x)
い0?f(x)?g(x)0（带等号时分母不为0） g(x)
6.高次不等式的解法:分解因式,用穿根法.
三、双基题目练练手
1．（2006福建）已知全集U?R,且A?x|x?1?2,
??
B??x|x2?6x?8?0?,则(eUA)?B等于
（A）[?1,4) （B）(2,3) （C）(2,3] （D）(?1,4)
2.（2006江西）.已知集合M??x|
???x
?0?, 3
(x?1)?
N??y|y?3x2?1,x?R?则M?N等于 （ ）
A.? B. ?x|x>1? C. ?x|x?1? D. x|x?1或x
3.（2004湖北）设集合P??m|?1?m?0?，Q={m?R|mx2?4mx?4?0对任意实数都成立}，则下列关系中成立的是 （ ）
A．P
B．QP C．P＝Q D．P?Q??
??
4. 不等式|x-3|-|x+1|
2
答案提示：1—3、CBC； 4、{x|x?；5、a>3； 6、?,?
3、借助于函数y?mx2?4mx?4的图象分析； 4、分段去绝对值;
5、法1：用绝对值的几何意义借助数轴分析； 法2：借助于函数的图象，数形结合； 6、由韦达定理得a,b的值
121545
四、经典例题做一做
22
【例1】解不等式x?5x?6?x?4
解：（1）当x?4?0时，不等式的解集为?
2
（2）当x?4?0即x??2或x?2时，有
2
?(x2?4)?x2?5x?6?x2?4
?1
?2x2?5x?2?0?x?或x?2 ????2??5x?10?0??x?2
解集为{x|x>2}
【例2】 已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－20}， 设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2， 且－1≤x1≤0， ① 由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1. ② 由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
方法提炼：本题解本题的关键是确定B中方程的两个根,还要熟练掌握在数轴上表示集合（区间）的交与并的方法.
例3．（2007启东中学质检）
1?2
?y?|x?2x|??0，
解不等式组：?，其中x、y都是整数． 2
??y?|x?1|?2.
思路点拨: 由绝对值非负及x,y是整数,对y或x作初步限定,再进一步由不等式组求解.
1?2
?y??|x?2x|?0，
解法一：原不等式组可化为? 2
??y?2??|x?1|?0.
得－
1
＜y＜2． ∴y＝0或1． 2
1?2
?|x?2x|?，?x?0，?x?2，
当y＝0时，? 2解得??
?y?0；?y?0.??|x?1|?2.3?2
?|x?2x|?，?x?1，
当y＝1时，? 2解得?
y?1.???|x?1|?1.
?x?0，?x?2，?x?1，
综上，? ??
y?0；y?0；y?1.???
1?2
5?y?|x?2x|??02
解法二：不等式组化为?，两式相加得|x?2x|?|x?1|? 2
2??y?2?|x?1|?0?
∵x为整数，∴|x?1|?0,1,2 当|x?1|?0时，x＝1,y＝1
当|x?1|?1时，?
?x?0,?x=2,
?
?y?0.?y=0.
当|x?1|?2时，无解．
?x?0，?x?2，?x?1，综上? ??
y?0；y?0；y?1.???
2x2?2kx?k
?1对于x取任何实数均 【例4】若不等式
4x2?6x?3
成立，求k的取值范围
解：∵4x2+6x+3恒正
2x2?2kx?k?2x2?2kx?k?4x2?6x?3 ?1∴
4x2?6x?3
? 2x2?2(k?3)x?3?k?0，
∴题设即不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x∴?=[-2(k-3)]2-8(3-k)
思路.方法：（1）若非分母符号确定，一般把分式不等式化为一边为零的形式；
（2）不等式恒成立一般方法是：大于须最小值大于，小于须最大值小于。二次式恒>0(或
【研讨.欣赏】解关于x的不等式(a?4)x?4x?1?0 解：原式?[(a?2)x?1][(a?2)x?1]?0
2
2
当a??2时，方程的根为x1?
11,x2?； a?2a?2
?a2?4?0?a??2或a?2a?4?0??2?a?2
且x1?x2?
2
2a
所以 2
a?4
(1)当a
1?1或x? a?2a?2
（2）当-2
{x|?
11
?x?； a?2a?2
（3）当0
{x|
11
?x?? a?2a?2
（4）当a>2时，x1?x2?0,x1?x2，原不等式的解集为：
{x|x??
11
或x? a?2a?2
（5）当a=0时，x1?x2，原不等式的解集为Φ (6) 当a=±2时 ,原不等式的解集为{x|x?}
1
4
方法提炼：解含参数二次不等式的分类讨论方法——(见上面建构知识网络)
五．提炼总结以为师
1解含绝对值不等式，一般是去掉绝对值符号，将其转化为一般的不等式（组）或用换元法来解,所以关键是掌握去绝对值符号的方法;
2解一元二次不等式,要将一元二次不等式与相应的一元二次方程和二次函数结合起来，根据二次函数的图像写出解集;
?¨0，3.如果二次不等式的系数含有字母，则应该根据情况予以讨论，如开口方向，
两根的大小等；
4.解分式不等式时,一般不去同乘分母,确需乘时,要按符号分类;
例题简答
同步练习
1．3 含绝对值的不等式
一元二次不等式
【选择题】
1．（2005上海）已知集合M??x||x?1|?2,x?R?，P??x|则M?P等于 （ ）
A．?x|0?x?3,x?Z? B．?x|0?x?3,x?Z? C．?x|?1?x?0,x?Z? D．?x|?1?x?0,x?Z?
2．（2006四川）已知集合A?xx?5x?6?0，集合B?x2x?1?3，则集合A?B? （ ）
（A）x2?x?3 （B）x2?x?3 （C）x2?x?3 （D）x?1?x?3 3．（2005湖南卷）集合A＝｛x|
?
?5??1,x?Z?，x?1?
?
2
???
??
??
??
??
x?1
＜0＝，B＝｛x || x -b|＜a}，若“a＝1”是“Ax?1
∩B≠?”的充分条件， 则b的取值范围是（ ）
A．－2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．－3＜b＜－1 D．－1≤b＜2 【填空题】
4．不等式|x+2|≥|x|的解集是
5．不等式|x?1|?|x?2|?a有解，则a的取值范围是 6．不等式|x?1|?|x?2|?a恒成立，则a的取值范围是
答案:1-3、BCD； 4、{x|x≥－1}； 5、a>3; 6、a?3
提示:3. 若“a＝1”是“A∩B≠?”的充要条件,则-2
∩B≠?,是充分条件.
5、6．利用绝对值的几何意义，或函数图象。 【解答题】
7．已知集合A?{xx2?x?6?0}B?{x0?x?m?9} ①若A?B?B，求实数m的取值范围； ②若A?B??，求实数m的取值范围。
解：?A?{x?2?x?3}B?{xm?x?m?9} ①?A?B?B?A?B
?m??2?m??2
?即?6?m??2 ??
?m?9?3?m??6
②?A?B??
?m?9??2或m?3即m??11或m?3
8．解关于x的不等式
a2x?b2(1?x)?[ax?b(1?x)]2,(a?b)
解：原不等式化为
(a2?b2)x?b2?(a?b)2x2?2(a?b)bx?b2?(a?b)2(x2?x)?0
?a?b?(a?b)2?0?x2?x?0
0?x?1
故原不等式的解集为{x0?x?1}
9．已知A?{xx?2x?a?0},B?{xx?3x?2?0}，且AüB，求实数a的取值范围。
解：可得B?{x?x?2} 对于A：?1时,A=?,AB
2
2
?=0即a=1时,A={1},AB
?>0即a
综上所述：所求a的范围是[1，+∞）
10．（2004辽宁）设全集U=R
（1）解关于x的不等式|x?1|?a?1?0(a?R); （2）记A为（1）中不等式的解集，集合B?{x|sin(?x?若(eUA)?B恰有3个元素，求a的取值范围. 解：（1）由|x?1|?a?1?0得|x?1|?1?a. 当a?1时，解集是R；
当a?1时，解集是{x|x?a或x?2?a}. （2）当a?1时， eUA=?；
当a?1时，eUA={x|a?x?2?a}. ∵sin(?x?
?
3
)?3cos(?x?
?
3
)?0}，
?
3
)?3cos(?x?
?
3
)
?2[sin(?x?
?
3
)cos
?
3
?cos(?x?
?
)sin]?2sin?x.
33
?
由sin?x?0,得x?Z,?B?Z.
∵(eUA)?B怡有3个元素时。∴当a∈Z时，(2?a)?a?2,a?0
当a?Z时，因为2-a与a关于1对称，故只需2
?1?a?0.
【探索题】
1．（2006上海）三个同学对问题“关于x的不等式x＋25＋|x－5x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路
232
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”
乙说：“把不等式变形为左边含变量x
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”
参考上述解题思路，求出本题的正确结论，即求出a的取值范围是. 解：由x＋25＋|x－5x|≥ax,1?x?12
2
3
2
?a?x??|x2?5x|，
x
而x??10，且|x2?5x|?0，等号当且仅当x?5?[1,12]时两等
x号成立；
所以，a?[x??|x2?5x|]min?10，等号当且仅当x?5?[1,12]时成立；故
a?(??,10]；
x
(a?1)2(a?1)2
|?2．关于x的不等式|x?的解集为A，22
x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0的解集为B，如果A?B，
求a的取值范围。
(a?1)2(a?1)2
|?? 解：|x?22
(a?1)2(a?1)2(a?1)2
??x???2a?x?a2?1
222
x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0?(x?2)[x?(3a?1)]?0
∴当3a?1?2即a?
1
时，B?{x|2?x?3a?1}?A则 3
?2?2a
?1?a?3 ?2
?a?1?3a?1
当3a?1?2即a?
1
时，B?{x|3a?1?x?2}?A则 3
?3a?1?2a
?a??1 ?2
?a?1?2
综上所述：a的取值范围是{a|1?a?3或a??1}
范文四：含绝对值的不等式
含绝对值的不等式
[学习要求]
（1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。
（2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。
[重点难点]
1．实数绝对值的定义:
|a|=
这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>0时，则
|x|
|x|>a -aa。
注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。
3．常用的同解变形
|f(x)|
|f(x)|>g(x)
|f(x)|g(x)； f(x)
4．三角形不等式:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
例题选讲:
第一阶梯
例1：实数绝对值的涵义是什么？
探路：实数绝对值的定义是分类给出的。
解：正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 即：
评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。 例2：型如：|x|a，（其中a>0）不等式的解法。
探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。
解：当a>0时， |x|
|x|>a
评注：
解：型如|x|0）和|x|>a，（a>0）的不等式，可以利用平方法化为关于x的二
次不等式来解；也可以利用定义法来解，均可求得它们的解集。今后，要熟记|x|0）x>a 22xa或xa，（a>0）的解集为x>a或x
例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|” 探路：利用“代换法”
证明：由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b| 评注：关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商，有下面性质。
（1）|a·b|=|a|·|b|； （2） ，（b≠0）；
（3）|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|； （4）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|
例4：不等式|
（A）{x|5
（C）{x|7
|
探路：
根据不等式的性质|f(x)|
解： －a0）求解。
评注：本题考查含绝对值不等式的解法。
例5：解不等式|3x+2|+|x-2|>4
探路：
含多个绝对值符号的不等式，利用零点、分区间、讨论法。
解：由3x+2=0，得
x= ；由x-2=0，得x=2，∴
原式或 或
或x2 x0 或 故原不等式的解集为{x|0}
评注：
①解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般采用零点、分区间、讨论法；即先求出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把序轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式去解。
②分类讨论思想、 解关于x的不等式，若对x讨论，所求不等式的解集是各种情况所得解集的并集。
第二阶梯
例1：解下列不等式
（1）| -2|≤3；（2）|x-3x|>4
2 探路：当a>0时，有|f(x)| ≤a
解： －a≤f(x)≤a；|f(x)|>af(x)>a或f(x)
（1）原不等式－3≤－2≤3 －1
≤ ≤5，∵≥0， ∴0≤≤5 0≤3x-2≤25 2≤3x≤27
≤x≤9
∴原不等式的解集为
{x|≤x≤9}；
（2）原不等式
2 x-3x>4或x-3x 0或x-3x+40，得x4；解x-3x+4
∴原不等式的解集是{x|x4}。
评注：
依据a>0，x∈R时，有|x|a x>a或x
f(x)>a 可知，去掉绝对值符号的主要方法，为 |f(x)|
或f(x)0） －a0）；|f(x)|>a
例2.解下列不等式
（i）|x－9|≤x+3； 2
探路：根据实数绝对值的意义，即
|a|=去掉绝对值符号，再行解之。 解：原不等式（I）或（II
）
不等式组（I
）x=－3或3≤x≤4；
不等式组（II
）2≤x＜3；
∴原不等式的解集是{x|x=－3或2≤x≤4}。
探路（2）：根据不等式的性质|f(x)|≤g(x)
行解之。 －g(x)≤f(x)≤g(x)去掉绝对值符号，再
解：原不等式 －(x+3)≤x－9≤x+32
≤
x=－3或2≤x≤4。
∴原不等式的解集为{x|x=－3或2≤x≤4}。
评注：
解含绝对值符号不等式的基本方法是去掉绝对值符号，然后再解；去绝对值符号的常用手段有三种，即根据实数绝对值的意义，去绝对值符号；根据不等式性质：去绝对值符号，在这里不必考虑g(x)的符号问题；也可以根据|a|=a，（a∈R），将不等式两边平方，此时要注意不等式两边平方的条件。 22
（ii） >2x；
探路：
|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)
解：原不等式>2x或
由>2x，得
x
x>；
由
∴原不等式的解集为{x|x
}
评注：熟练应用“|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)
例3：解下列各不等式
(i)
探路：
利用，将原不等式化为关于|x|的含绝对值二次不等式，先求出|x|的取值范围，再求x的取值范围。
解：∵x=|x| 22
∴原不等式的解集为
评注：对上面介绍的五种去掉绝对值符号的方法，不要盲目套用，要分析题目的结果特征，选择解题的最佳途径是我们要培养的基础功。
(ii)
探路：∵不等式两边均为非负数，∴可以利用“平方法”
解：∵不等式两边都是非负数，∴不等式两边分别平方，得
，整理得
又∵此不等式两边都是非负数，∴两边分别平方，得
整理，得
∴原不等式的解集为 ；
评注：在利用“平方法 ”去绝对值符号时，必须注意不等式两边都非负的条件。 探路：可以利用零点、分段、讨论法（即零点区间法）
解4：求零点：令x+3=0，得x=-3；令x-3=0，得x=3 。分段：两个零点将R分为三段； （i）当x≥3时，原不等式化为|x+3-x+3|>3，∵此不等式恒成立；∴x≥3
（ii）当x≤-3时，原不等式化为|-x-3+x-3|>3，∵此不等式恒成立，∴x≤-3 （iii）当-33，
求(i)、(ii)、(iii)
的并集，得原不等式的解集为
第三阶梯
例1：设集合，若A?B，求实数a的取值范围。 探路：分别解绝对值不等式，分式不等式，化简集合A，B，再将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求a的取值范围。注意此时应包括端点。
解：|x-a|
∴A={x|a-2
-1
∵AB, 于是0≤a≤1。
评注：
本题考查的方向是求满足条件实数a的取值范围；考查的知识点为：绝对值不等式，分式不等式的解法以及集合的知识；考查数形结合的数学思想，必须指出的是集合的包含关系，可直观
地解释为数轴上区间的覆盖关系，从而将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求得a的取值范围。
例2：求证：
探路：
用综合法不易得手时，可从结论分析入手，逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或充要条件。
成立，∴原不等式成立。
评注：
本题考查用分析法证明不等式，是对课本P27。例4，证明方法的挖潜，∵每一个不等式都是前一个不等式成立的充分条件或充要条件，因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头“
示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件），或用双向箭头“”（表”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充要条件）连结。也可以用“需证”、“即证”等语句连结。通过练习，落实数学思想和方法。
例3：已知| a |
探路：
∵要比较大小的对象含有绝对值符号，∴可联想算术平方根，对其进行变形，再利用不等式的性质进行放缩处理。
评注：
对于含有绝对值符号的比较大小问题，可视为绝对值不等式的证明，要结合绝对值不等式的性质，利用放缩等方法解决问题。
探路：本题也可以按a+b与a-b的符号分类讨论，解答问题。
解：
(i) 当a+b与a-b同号时，有
(ii)当a+b与a-b异号时，有
(iii)当a+b与a-b至少一者为零时，结论显然
综上所述：|a+b|+|a-b|
仅供参考，不必深究。
例4：设a>0，且a≠1，解关于x
的不等式
探路：利用“同底法”。
解：
∴原不等式
(i)当0
不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为 ；
(ii)当a>1时
不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为
评注：
本题是含字母系数a的对数不等式，参数a的作用有两个：一是由01来决定对数函数的单调性；在对数不等式变换为代数不等式时，决定不等号的方向是否改变；二是决定所得代数不等式的解集，还需指出的是，对数函数的定义域为R的制约作用也不可忽视。 +
第四阶梯
例1．解不等式 |x+4x-1|
2
解:①
-4
即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。
例2．解不等式|x-3|>2x...........①
2-5
解:①
x2-32x 2x+2x-30 22-33 x3。
即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。
例3．解不等式|
|≤1...........①
解: ①
(2) |2x+3|≤|x-1|2
2(2x+3)2-(x-1)2≤
0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0
(3) (x+4)(3x+2)≤0, x≠1。 -4≤x≤- 。
∴原不等式的解集为[-4，- ]。
例4．解不等式|x+1|+|x-2|
分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。
解:将不等式①化为三个不等式组
（I）
-2
（II）
-1≤x≤2；
（III）
2
∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。
例5．解不等式|x+1|+|x-2|
解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式无解。
说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。
例6．已知:|a|
证法1：欲证①，只需证
2222 只需证|a+b|
只需证(a+b-ab-1)
∵ |a|
∴ 原不等式成立。 22222222
证法2：欲证①，只需证-1
只需证（
只需证
+1）（
·
-1）
只需证
只需证
22 ∵ |a|
又(1+ab)>0, ∴③式成立，
∴ 原不等式成立。 2
例7．求证: ≤
≤
+ 。
证法1:
∵
≤
|a+b|≤|a|+|b|。 |a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)
∵ 上式显然成立，∴
又
≤
+ ≤
成立。 + = 。
∴ 原命题成立。
证法2：这里只证明
≤
分析:观察两式结构均为
函数
y= 的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明在[0，+∞）上单调递增即可。
证明:设0≤x1≤x2, 则
- = ，
∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴
≥0。
∴
- ≥0, 即
≥
,
设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|
∵ |a+b|≤|a|+|b|,
∴
≤
。
参考练习:
1．解不等式 |x+3x-8|≤10。
2．解不等式 |x+7|-|x-2|
3．解不等式
| -3|>1。
4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。
5．求
y=
2的值域。 , |f(2)|
7．已知|x|0)。求证:|x+2y-3z|
参考答案:
1. [-6, -2]∪[-1, 3]；
2. (-∞, -1)；
3. [ , 2)∪(6, +∞)；
4. 提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，
）∪[ ，3]。
5．提示:可用反解法解出sinx= ，则解不等式| |≤1得y∈
[-4, - ]。
6．提示:用反证法
略证:假设|1+a+b|
由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z,
∴ 1+a+b=0.........①
同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③
由①，②解得a=-3, b=2。 但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|能同时小于
。
7．证明略。
测试
选择题
1．求不等式(1+|x|)(|2x+1|-4)>0的解集是 ( ) 不
A.x> B. x>或x
2．不等式|x-2|+|x+2|
A.x>5 B.x7
3．解关于x的不等式x2-2ax≤-a2+1 ( )
A.a-1≤x≤a+1 B.a+1≤x≤a-1
C.a≤x≤a+1 D.a-1≤x≤a
4．解不等式 ( )
A.x>2 B.x=-2
或
C. D.x=-2
5
．解不等式：
A
.
C. B. D. ( )
答案与解析
答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、A
解析：
1.分析：首先观察不等式，不难发现(1+|x|)是非负的，所以(|2x+1|-4)必须大于0。解(|2x+1|-4)>0就可以了。
2.分析：首先寻找零点，就是|x-2|=0和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x
注：也可取特殊值代入验证：0满足不等式，所以解集中应该有0，排除A、D；再代入-5验证。
3.分析：原不等式等价于 x-2ax+a≤1。
即 (x-a)≤1，-1≤x-a≤1。
∴ 原不等式的解集为a-1≤x≤a+1。
4.分析：原不等式 222
5.分析：原不等式
绝对值不等式内容归纳
1、含有绝对值的不等式的性质
(1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,
∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),
|a+b|≤|a|+|b|........①
又 a=a+b-b, |-b|=|b|
∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②
由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
由以上定理很容易推得以下的结论：
(2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
(3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|
2 几个基本不等式的解集
(1) |x|0)
x>a或x0)
-a
x>m+a 或 xa (3) |x-m|0) (4) |x-m|>a(a>0)
3．绝对值的定义： x-m>a或x-m
|a|=
由定义可知：|ab|=|a||b|, .
4．绝对值不等式的解法
(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图
像或曲线为解决。
(2)几种主要的类型
① |f(x)|>|g(x)|
②
|f(x)|>g(x)
③ |f(x)|g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)
④ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。
⑤ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决
5．关于“绝对值”的四则运算规律
1) |ab|=|a|·|b| (2)
≤|a|+|b| (3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| (4) |a|-|b|≤|a-b|
在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。
6．不等式取等号的条件
(1) |a|-|b|≤|a+b|取等号a,b异号且|a|>|b|
a,b同号
a,b同号且|a|>|b|
a,b异号 (2) |a+b|≤|a|+|b|取等号 (3) |a|-|b|≤|a-b|取等号 (4) |a-b|≤|a|+|b|取等号
7．拓展
(1)定理在形式上包含两部分：|a+b|≤|a|+|b|和|a|-|b|≤|a+b|，但|a|-|b|≤|a+b||a+b+(-b)|≤|a+b|+|(-b)|，这说明前者与后者在本质上是一致的，故可先证明前者，再由前者推出后者。
(2)定理可改写为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当a,b同号或至少有一个为0时右侧等号成立，当a,b异号或至少有一为0时左侧等号成立。等号成立的条件常可用于求最值问题。 (3)推论1：|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|，可推广到多个数的情况：|a1+a2+??+an|≤
|a1|+|a2|+??+|an|，当且仅当a1,a2??an非异号时等号成立。它是不等式的证明中“放缩”的
依据，同时也使求函数的最值有了更简洁的途径。
(4)
定理可与向量模的不等式：
三角形不等式。 联系起来，因此也可称为
检测题
1、选择题
（1）若|x-a|
A、|x-y|h D、|x-y|>2h
（2）实数x, y，满足xy>0，则有
A、|x+y|>|x-y| B、|x+y|>|x|+|y| C、|x-y|>|x|-|y| D、|x|+|y|>|x+y|
（3）设全集为R，A={x|x-5x-6>0}，B={x| |x-5|
A、
B、
C、 D
、
（4）不等式
A、{x|x12} 的解集是（ ）
B、{x|412} D、{x|312}
（5）不等式1
A、[3，9] B、[-5，9] C、 D、
（6）不等式|x+1|+|x+2|
A、（-3，2） B、（-1，3） C、（-4，1） D、
（7）不等式
A、{x|-2≤x≤2}
C、{x|- 的解集是（ B、{x|-） ≤x
（8
）不等式组
A、{x|0
D、{x|0
（9）若不等式|x-3|+|x-4|
A、a>1 B、a≥1 C、 a>7 D、1
（10）设a>1，方程
A、 的解是（ ） B、x≥1 C、x≥a D、0
2、填空题：
（1）不等式|x+1|
（2）设
围是 ； ，B={x| |x-1|0}，当时，a的取值范
（3）不等式|x-x-6|>2+x的解集为 ； 2
（4）不等式
（5）不等式 的解集为 ； 的解集为 ； 答案：
1、⑴、B
⑻、C ⑵、A ⑼、A
⑶、D ⑽、B ⑵、a>1 ⑶、{x|x4} ⑷、 ⑷、C ⑸、D ⑹、C ⑺、B 2、⑴、-2
⑸、
范文五：含绝对值的不等式
含绝对值的不等式
教学目标
（1）掌握
与
（
）型的绝对值不等式的解法．
（2）掌握
与
（
）型的绝对值不等式的解法．
（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；
（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；
教学重点：
型的不等式的解法；
教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．
教学过程设计
课堂教学设计说明
1．抓住解
型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复
习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的基础． 2．在解
与
绝对值不等式中的关键处设问、
质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的． 3．针对学生解
（
）绝对值不等式容易出现丢掉
这部分解集的错误，
在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力．
一元二次不等式的解法
教学目标
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组； （3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系； （5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式； （6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想； （7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．
教学重点：一元二次不等式的解法；
教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系． 教与学过程设计
第一课时
Ⅰ．设置情境
问题：
①解方程
②作函数
③解不等式
的图像
【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？ 【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式
上方部分对应的横坐标。能。
通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用
的解集为函数图像落在x轴
在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？
Ⅱ．探索与研究
我们现在就结合不等式
上的“列表描点”的方法作出
程及一元二次不等式的解集。） 【答】方程
的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法”而非课本的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方
的解集为
的解集为
不等式
【置疑】哪位同学还能写出
【答】不等式
的解法？（请一程度差的同学回答）
的解集为
我们通过二次函数
的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）
的解集，还求出了
的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二
小题
次不等式是个十分有效的方法。 下面我们再对一般的一元二次不等式
起见，暂只考虑
的情形。请同学们思考下列问题：
分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次
的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）
与
来进行讨论。为简便
如果相应的一元二次方程
函数
【答】二次函数
的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）
【答】
的解集依次是
的解集依次是
它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函
的图像。
的一元二次不等式，却都没有给
数
课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数
出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。
（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。） Ⅲ．演练反馈 1．解下列不等式： （1）
（2）
（4）
（3）
2．若代数式
3．解不等式
的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。
（1）
参考答案：
（2）
1．（1）
；（2）
；（3）
；（4）R
2．
3．（1）
（2）当 或
时，
，当
时，
当
Ⅳ．总结提炼
或
时，
。
这节课我们学习了二次项系数
的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与
x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。
（五）、课时作业
（P20．练习等3、4两题） （六）、板书设计
此
逻辑联结词
一、教学目标
（1）了解含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式； （2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；
（3）能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题；
（4）能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题； （5）会用真值表判断相应的复合命题的真假； （6）在知识学习的基础上，培养学生简单推理的技能．
二、教学重点难点：
重点是判断复合命题真假的方法；难点是对“或”的含义的理解． 三、教学过程 1．新课导入
在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的教学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．
初一平面几何中曾学过命题，请同学们举一个命题的例子．（板书：命题．） （从初中接触过的“命题”入手，提出问题，进而学习逻辑的有关知识．） 学生举例：平行四边形的对角线互相平． ??（1） 两直线平行，同位角相等．????（2）
教师提问：“??相等的角是对顶角”是不是命题？??（3） （同学议论结果，答案是肯定的．） 教师提问：什么是命题？ （学生进行回忆、思考．）
概念总结：对一件事情作出了判断的语句叫做命题． （教师肯定了同学的回答，并作板书．）
由于判断有正确与错误之分，所以命题有真假之分，命题（1）、（2）是真命题，而（3）是假命题．
（教师利用投影片，和学生讨论以下问题．）
例1 判断以下各语句是不是命题，若是，判断其真假：
命题一定要对一件事情作出判断，（3）、（4）没有对一件事情作出判断，所以它们不是命题．
初中所学的命题概念涉及逻辑知识，我们今天开始要在初中学习的基础上，介绍简易逻辑的知识．
2．讲授新课
大家看课本（人教版，试验修订本，第一册（上））从第25页至26页例1前，并归纳一下这段内容主要讲了哪些问题？
（片刻后请同学举手回答，一共讲了四个问题．师生一道归纳如下．） （1）什么叫做命题？
可以判断真假的语句叫做命题．
判断一个语句是不是命题，关键看这语句有没有对一件事情作出了判断，疑问句、祈使句都不是命题．有些语句中含有变量，如
中含有变量
，在不给定变量的值之前，
我们无法确定这语句的真假（这种含有变量的语句叫做“开语句”）． （2）介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”．
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．逻辑联结词除这三种形式外，还有“若?则?”和“当且仅当”两种形式．
对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念．
“或”，它是指“
且
；也可以
”、“
且
”中至少一个是成立的，即
且
；也可以
中的
．这与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理
解上是排斥你我都去这种可能．
对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念．
“且”，是指“
”、“
这两个条件都要满足的意思．
对应于集合
，则命题非
中的
对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题
就对应着集合
在全集
中的补集
．
命题可分为简单命题和复合命题．
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题．
由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题，如“6是自然数且是偶数”就是由简单命题“6是自然数”和“6是偶数”由逻辑联结词“且”构成的复合命题． （4）命题的表示：用
，
，
，
，??来表示．
（教师根据学生回答的情况作补充和强调，特别是对复合命题的概念作出分析和展开．） 我们接触的复合命题一般有“
式．
给出一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，应能说出构成它的简单命题和弄清它所用的逻辑联结词；应能根据所给出的两个简单命题，写出含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题． 对于给出“若
则
”形式的复合命题，应能找到条件
和结论
．
或
”、“
且
”、“非
”、“若
则
”等形
在判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上来看有没有“或”、“且”、“非”．例如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”，此命题字面上无“且”；命题“5的倍数的末位数字不是0就是5”的字面上无“或”，但它们都是复合命题． 3．巩固新课
例2 判断下列命题，哪些是简单命题，哪些是复合命题．如果是复合命题，指出它的构成形式以及构成它的简单命题． （1）
；
（2）0.5非整数；
（3）内错角相等，两直线平行； （4）菱形的对角线互相垂直且平分；
（5）平行线不相交； （6）若
，则
．
（让学生有充分的时间进行辨析．教材中对“若?则?”不作要求，教师可以根据学生的情况作些补充．）
例3 写出下表中各给定语的否定语（用课件打出来）．
分析：“等于”的否定语是“不等于”； “大于”的否定语是“小于或者等于”； “是”的否定语是“不是”； “都是”的否定语是“不都是”；
“至多有一个”的否定语是“至少有两个”； “至少有一个”的否定语是“一个都没有”； “至多有
个”的否定语是“至少有
个”．
（如果时间宽裕，可让学生讨论后得出结论．）
置疑：“或”、“且”的否定是什么？（视学生的情况、课堂时间作适当的辨析与展开．） 4．课堂练习：第26页练习1，2． 5．课外作业：第29页习题1.6 1，2．
四种命题
教学目标
（1）理解四种命题的概念；
（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
（4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；
（5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；
（6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育； （7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力．
教学重点和难点
重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用．
教学过程设计
第一课时：四种命题
一、导入新课
【练习】 1．把下列命题改写成“若
（l）同位角相等，两直线平行； （2）正方形的四条边相等．
则
”的形式：
2．什么叫互逆命题？上述命题的逆命题是什么？ 将命题写成“若
则
”的形式，关键是找到命题的条件
与结论
．
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题．
上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”．
值得指出的是原命题和逆命题是相对的．我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题． 3．原命题真，逆命题一定真吗？
“同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真．
学生活动：
口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
设计意图：
通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础．
二、新课
【设问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？
【讲述】可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题．
【提问】你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗？
学生活动：
口答：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．
教师活动：
【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题． 若用
和
分别表示原命题的条件和结论，用┐
则
．
；
和┐
分别表示
和
的否定．
【板书】原命题：若
否命题：若┐
则┐
【提问】原命题真，否命题一定真吗？举例说明？ 学生活动：
讲论后回答：
原命题“同位角相等，两直线平行”真，它的否命题“同位角不相等，两直线不平行”不真． 原命题“正方形的四条边相等”真，它的否命题“若一个四边形不是正方形，则它的四条边
不相等”不真．
由此可以得原命题真，它的否命题不一定真．
设计意图：
通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成否命题及判断它们的真假，调动学生学习的积极性．
教师活动：
【提问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了 能构成它的逆命题和否命题外，还可以不可以构成别的命题？ 学生活动：
讨论后回答
【总结】可以将这个命题的条件和结论互换后再分别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行，则同位角不相等”，这个命题叫原命题的逆否命题． 教师活动：
【提问】原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么？ 学生活动：
口答：若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形． 教师活动：
【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题． 原命题是“若
则
”，则逆否命题为“若
则
．
【提问】“两条直线不平行，则同位角不相等”是否真？“若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形”是否真？若原命题真，逆否命题是否也真？ 学生活动： 讨论后回答
这两个逆否命题都真． 原命题真，逆否命题也真． 教师活动：
【提问】原命题的真假与其他三种命题的真 假有什么关系？举例加以说明？
【总结】1．原命题为真，它的逆命题不一定为真． 2．原命题为真，它的否命题不一定为真． 3．原命题为真，它的逆否命题一定为真． 设计意图：
通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成逆否命题及判断它们的真假，调动学生学的积极性． 教师活动： 三、课堂练习
1．设原命题是“若
判断它们的真假． 学生活动： 笔答： 逆命题“若
否命题“若
逆否命题“若
教师活动：
2．设原命题是“当
时，若
，则
”，写出它的逆命题、否定命与逆否
，则
，则
，则
”．逆命题是假命题． ”．否命题是假命题． ”．逆否命题是真命题．
，则
”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别
命题，并分别判断它们的真假． 学生活动： 笔答 逆命题“当
否命题“当
逆否命题“当
设计意图：
通过练习巩固由原命题构成否命题、逆否命题及判断它的真假的能力．
时，若
时，若
时，若
，则
，则
，则
”．
”．否命题为真．
”．逆否命题为真．
教师活动： 【总结】“当
题的条件是 ，结论是
时”是大前提，写其他命题时应该将“当
时”写在前面．原命
“
而不是“
”的否定是“
”．
”，而不是“
”，同样“
”的否定是“
”，
【投影】 3．填图
1．若原命题是“若
则
”，其它三种命题的形式怎样表示？请写在方框内？
学生活动：笔答 教师活动：
2．根据上图所给出的箭头，写出箭头两头命题之间的关系？举例加以说明？ 学生活动：讨论后回答 设计意图：
通过学生自己填图，使学生掌握四种命题的形式和它们之间的关系． 教师活动： 四、小结
四种命题的形式和关系如下图：
由原命题构成道命题只要将
定为
和
，但
和
和
和
换位就可以．由原命题构成否命题只要
和
和
分别否换位，而
不必换位．由原命题构成逆否命题时不但要将
且要将换位后的
否定·
原命题为真，它的逆命题不一定为真． 原命题为真，它的否命题不一定为真． 原命题为真，它的逆否命题一定为真．
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式—一加以讨论． 教师活动： 五、作业 1．阅读课本
2．
四种命题．
四种命题，练习（31页）1、2，练习（32页）1、2
1、2、3、4
3．习题
充分条件与必要条件
教学目标
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； （4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学建议
（一）教材分析
1．知识结构
首先给出推断符号“ 件的初步知识．
”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条
2．重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判断．
（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件
和结论
之间的因果关系．
（2）在判断条件
和结论
之间的因果关系中应该：
①首先分清条件是什么，结论是什么；
②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；
③最后再指出条件是结论的什么条件．
（3）在讨论条件
和条件
的关系时，要注意：
①若
，但
，则
是
的充分但不必要条件；
②若
，但
，则
是
的必要但不充分条件；
③若
，且
，则
是
的充要条件；
④若
，且
，则
是
的充要条件；
⑤若
，且
，则
是
的既不充分也不必要条件．
（4）若条件
以集合
的形式出现，结论
以集合
的形式出现，则借助集合知识，
有助于充要条件的理解和判断．
①若
，则
是
的充分条件；
显然，要使元素
，只需
就够了．类似地还有：
②若
，则
是
的必要条件；
③若
，则
是
的充要条件；
④若
，且
，则
是
的既不必要也不充分条件．
（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题 逆命题
逆否命题，
否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得
出原命题成立．
（二）教法建议
1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的
，
与四种命题中的
，
要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不
则
”形式的复合命题．
能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若
2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．
3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．
4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．
教学设计示例
充要条件
教学目标：
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学重点难点：关于充要条件的判断
教学用具：幻灯机或实物投影仪
教学过程设计
1．复习引入
练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：
（1）若
，则
；
（2）若
，则
；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（5）若
，则
；
（6）若方程
有两个不等的实数解，则
．
（学生口答，教师板书．）
（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．
置疑：对于命题“若
，则
”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看 能不能推出
，如果
能推出
，则原命题是真命题，否则就是假命题．
对于命题“若
么
是
，则
”，如果由
经过推理能推出
，也就是说，如果
成立，那
一定成立．换句话说，只要有条件
成立的充分条件，记作
．
就能充分地保证结论
的成立，这时我们称条件
2．讲授新课
（板书充分条件的定义．）
一般地，如果已知
，那么我们就说
是
成立的充分条件．
提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．
（学生口答）
（1）“
，”是“
”成立的充分条件；
（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；
（3）“方程
的充分条件．
的有两个不等的实数解”是“
”成立
从另一个角度看，如果
也就没有
，亦即
是
成立，那么其逆否命题
也成立，即如果没有
，
成立的必须要有的条件，也就是必要条件．
（板书必要条件的定义．）
提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．
（学生口答）．
（1）因为
的必要条件；
，所以
是
的充分条件，
是
（2）因为
充分条件；
，所以
是
的必要条件，
是
的
（3）因为“两三角形全等”
“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三
角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；
（4）因为“四边形的对角线互相垂直”
“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互
相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为
条件；
，所以
是
的必要条件，
是
的充分
（6）因为“方程
而且“方程
程
条件．
的有两个不等的实根”
的有两个不等的实根”
的有两个不等的实根”是“
“
“
”，
”，所以“方
”充分条件，而且是必要
总结：如果
是
的充分条件，
．
又是
的必要条件，则称
是
的充分必要条件，
简称充要条件，记作
（板书充要条件的定义．）
3．巩固新课
例1 （用投影仪投影．）
（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以
是
的必要非充分条件；
是
的充分非必要条件，
②
件，
是
一定能推出
，而
不一定推出
，所以
是
的充分非必要条
的必要非充分条件；
③ 、 是奇数，那么
是
一定是偶数；
的充分非必要条件，
是
是偶数， 、
不一定都是奇数（可
能都为偶数），所以
的必要非充分条件；
④
表示
或
，所以
是
成立的必要非充分条件；
⑤由交集的定义可知
且
是
成立的充要条件；
⑥由
知
且
，所以
是
成立的充分非必要条件；
⑦由
成立的必要非充分条件；
知
或
，所以
是
，
⑧易知“ 是4的倍数”是“
是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；
（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）
例2 已知 的关系．（投影）
是
的充要条件，
是 的必要条件同时又是
的充分条件，试 与
解：由已知得
，
所以 是 的充分条件，或 是
的必要条件．
4．小结回授
今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．
课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35页练习l、2；第36页练习l、2．
（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）
5．课外作业：教材第36页 习题1.8 1、2、3．
