范文一:17年高考数学全国卷导数压轴题
高考数学全国卷题目汇编2017导数压轴
无空数学QQ 3367686563
2017年8月2日
1. (1文) 已知函数f (x ) =e x (e x ?a ) ?a 2x 。
(1)讨论f (x ) 的单调性;
(2)若f (x ) ?0,求a 的取值范围。
2. (1理) 已知函数f (x ) =ae 2x +(a ?2) e x ?x 。
(1)讨论f (x ) 的单调性;
(2)若f (x ) 有两个零点,求a 的取值范围。
3. (2文) 已知函数f (x ) =(1?x 2) e x 。
(1)讨论f (x ) 的单调性;
(2)当x ?0时,f (x ) ?ax +1,求a 的取值范围。
4. (2理) 已知函数f (x ) =ax 2?ax ?x ln x , 且f (x ) ?0。
(1)求a ;
(2)证明:f (x ) 存在唯一的极大值点x 0,且e ?2
5. (3文) 已知函数f (x ) =ln x +ax 2+(2a +1) x 。
(1)讨论f (x ) 的单调性;
(2)当a <0时,证明f (x="" )="">0时,证明f>
6. (3理) 已知函数f (x ) =x ?1?a ln x 。
(1)若f (x ) ?0,求a 的值;
(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,(1+1)(2+1) ... (1+1)
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1
范文二:全国Ⅱ卷高考理科数学导数压轴题考点分析
全国?卷高考理科数学导数压轴题考点分
析
62StudyjoumalofmodemeducationandteachingOctober2011No.J0Vo1.7
外诗歌经典作品,意义深远.
笔者尝试改变诗歌教学传统的讲练教学法,引导学生展开 丰富的联想和想象,要"再现情景",能"身临其境",会"设身处 地",多角度,全方位鉴赏诗歌.积极引入多媒体手段,或播放 "古诗文鉴赏"电教专题片,或组织学生欣赏"电视诗歌散文", 古诗和国画的有机结合,奇妙的三维设计,吟诵,音乐,画面的巧 妙融合,为学生营造了一个可听,可视,可感的空间,来体味古诗 古朴淡雅的优美意境.制作课件,运用flash动画技术,将诗歌 的内涵意境美形象地传达给学生.带领学生在诵读中感受诗歌 美的语言,在观赏中领略诗歌美的画面,在品味中体验诗歌美的 意境,在深思中聆听诗人美的心灵,这美妙的诗教过程,让人沉 醉其中,流连忘返.
4.立足乡土资源,创新写作教学.体验成功创作美各地 区都蕴藏着自然,社会,人文等多种语文课程资源,语文教师要 有强烈的资源意识,去努力开发,积极引用.笔者所在的地方, 位于豫西深山区,山清水秀,历史悠久,人杰地灵,随处可见的历 史名胜和自然人文景观,时时可感的浓郁的民俗文化等,都是开 展语文学习的课程文化资源.教师可引导学生去亲近,去体验, 在碧水蓝天,莺歌燕舞的音韵里,让学生学着观察,试着感悟,用 心体验,真情表达.
笔者曾组织学生采访名人,调查生态环境,游览风景名胜, 搜寻历史传说等,让学生充分感知乡土文化的神韵,感悟历史的 沧桑变迁,学生的活动领域延伸到自然,社会的广阔空间.学生 不仅用身体去亲近,感受自然的风光与秀美,更是用心灵去亲
近,解读家乡人文精神的精美,与自然对话,与文物对话,与古迹 对话,与名人对话,在对话沟通中,扩大自己的视野见识,丰富自 己的文化底蕴,感受"大语文"美,创作的灵感由此产生.农村 这片沃土,有着取之不尽用之不竭的文学素材,成了学生自由驰 骋,发掘文学才思的精神领地.
收稿日期:2011—10—25
全国II卷高考理科数学导数压轴题考点分析
侯书红
(云南师范大学五华实验中学云南昆明650033) 【摘要】本文通过三年全国II理科数学压轴题的高等数学背景分析,透视三年高
考题属统一模型,为学子们冲刺阶段提供借
鉴.
【关键词】求导;LHospital法则;不等式恒成立
'
问
(本/l,题满分分)设函数f(一=lim2010II)1211exe =罟
2exe=2(年全国(本小题满分分)设函数f(x)=一x一+,一 e,
'
所以,a[0,]为所求.
(I)证明:当x>一时,(x);x;(20o
8年全国矗)解:(I)解答略;(II)当:o时,f(0):0 (11)设当0时,f()—x_,求的取值范围.不等式成立; 芷全同n,沿+_当x>0时,a>[,(2008$1nx年全国?)设函数f(x)=.
…一x……,x'
()求f()的单调区间;
咖
而=[]m趿=limf(x)
I=()求f(x)的单调区间;lluL—jmaX一"T
(II)如果对任何x?0,都有f(x)?a】【,求a的取值范围.1 (2006年全国II)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所, 有的x>-O,
都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围.
2.高等数学背景洛比达法则:对于罟型的极限问题,高 等数学可以分子,分母分别求导再求极限,直到不是罟型就代 入求出极限.例如詈}=芊=3—1X—lHll
3.以下给出在洛比达法则下求出参变量取值范围 (2OLO年全国II)解:(I)解答略;(11)由第一问知a0,否 则,与f(x)矛盾,X十l
所以当xo时,ax+1>0,分离参数a得:a;因Xt【XJ 此,
]?i[]rain=lim
=罟(LI-Iospital法则)
所以,a[?,+]为所求.
(2006年全国II)解:当x=0时,f(0)=0不等式成立; 当>0时,盟,所以,[]i
而[]min==罟=lim(1n(
X
x+1)
Xx—.')x—.oli—山
=1
所以,aE[一,1]
通过以上解题,不难发现三年的高考数学导数题属同一类 型,都可以用(LHospital法则)解决.事实上,2010年新课标卷 即海南卷亦可类似解决,只要问题出现对任何xI>0,都有f(x) ?ax或f(x)aX大都可以尝试此方法.
【注高考的标准答案分类讨论比较复杂,学生很难完整做
好,大都是高考压轴题】
收稿日期:2011—10一o2
范文三:2017年高考数学全国卷导数压轴题
导数专题
1. (2017全国Ⅰ卷文数) 已知函数 f(x) =ex(ex?a) ?a2。
(1)讨论f(x) 的单调性;
(2)若f(x) ≥0,求a的取值范围。
2. (2017全国Ⅰ卷理数) 已知函数 f(x) =ae2x+(a?2) ex?x。
(1)讨论f(x) 的单调性;
(2)若f(x) 有两个零点,求a的取值范围。
3. (2017全国Ⅱ卷文数) 已知函数 f(x) =(1?x2)ex。
(1)讨论f(x) 的单调性;
(2)当 x≥0时,f(x) ≤ax+1,求a的取值范围。
4. (2017全国Ⅱ卷理数) 已知函数 f(x) =ax2?ax?xln x,且f(x) ≥0。
(1)求a;
(2)证明:f(x) 存在唯一的极大值点x0,切e?2
5. (2017全国Ⅲ卷文数) 已知函数 f(x) =ln x+ax2+(2a+1)x。
(1)讨论f(x) 的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)>0时,证明f(x)>
6. (2017全国Ⅲ卷理数) 已知函数 f(x) =x?1?aln x。
(1)若f(x) ≥0,求a的值;
(2)设 m为整数,切对于任意正整数n,(1+2) (1+2) …(1+2)
范文四:全国中考数学压轴题
2007年全国各地中考数学压轴题赏析
浦东教育发展研究院 杨正家
2007年全国各地中考数学试题压轴题多姿多彩, 经学习、研究后有不少体会。这些成功试题值得大家 进行深入分析,细细品味。本人从中选取一部分加以分析,供教学、命题和研究参考。希望从考试试题的 研究出发,在研究、讨论中我们共同获得对数学和数学教学的启发,进而提高对数学和数学教学的认识。 试题 1(湖北省十堰市) 已知矩形 ABCD 中, AB =2, AD =4,以 AB 的垂直平分线为
x 轴, AB 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系 (如图 ) 。 (1)写出 A 、 B 、 C 、 D 及 AD 的中点 E 的坐标;
(2)求以 E 为顶点、对称轴平行于 y 轴,并且经过点 B 、 C 的抛物线的解析式; (3)求对角线 BD 与上述抛物线除点 B 以外的另一交点 P 的坐标;
(4)△ PEB 的面积 S △ PEB 与 △ PBC 的面积 S △ PBC 具有怎样的关系?证明你的结论。
略解:(1)所求各点坐标为 A (0, 1) , B (0, -1) , C (4, -1) , D (4, 1) , E (2, 1) 。 (2)设抛物线的解析式为 1+=22) -(x a y ,由于抛物线经过点 B(0,-1),可求得 2
1
-a =,所以抛物线的 解析式为 12
1
+=22) -(x -
y ,经验证,该抛物线过 C 。 (3)直线 BD 的解析式为 121x -y =,与抛物线解析式联列,解得点 P 坐标为 ) , (2
1
3P 。
(4) PBC ΔPEB ΔS S 2
1
=。
赏与析: 第(2)小题看起来有多余条件,但实际上正好考查学生解题中的自检能力,如果学生用顶点式 求抛物线解析式,根据点 B 坐标求出解析式后须检查 C 在抛物线上。如果学生运用一般式求解,根据 E 、 B 、 C 的坐标求出解析式后,须检验 E 是顶点。这一自检步骤不可忽略,也不可默认。 试题 2(泰安市, 非课改) 如图, 在 ABC △ 中, 90BAC ∠=
, AD 是 BC 边上的高, E 是 BC 边上的一个动点(不与 B C , 重合) , EF AB ⊥, EG AC ⊥,垂足分别为 F G , 。
(1)求证:EG CG
AD CD
=; (2) FD 与 DG 是否垂直?若垂直, 请给出证明; 若不垂直, 请说明理由; (3)当 AB AC =时, FDG △ 为等腰直角三角形吗?并说明理由。
略解:(1)可证 ADC EGC ∴△ ∽△ , EG CG
AD CD
∴=。
(2) FD 与 DG 垂直。 先证四边形 AFEG 为矩形, AF EG ∴=,由(1)知
EG CG AD CD =, AF CG
AD CD
∴=。 ABC △ 为直角三角形, AD BC ⊥, FAD C ∴∠=∠, AFD CGD ∴△ ∽△ , ADF CDG ∴∠=∠。
又 90CDG ADG ∠+∠= , 90ADF ADG ∴∠+∠=
, FD DG ∴⊥。
(3)当 AC AB =时, FDG △ 为等腰直角三角形。 AB AC = , 90BAC ∠=
, AD DC ∴=,由(2)
知:AFD CGD △ ∽△ , 1FD AD
GD DC
∴
==, FD DG ∴=。又 90FDG ∠= , FDG ∴△ 为等腰直角三角形。 赏与析:(1)本题对几何图形的性质作了比较有趣的研究,探究其中比较有意义的数量关系、位置关系、 形状关系等,形成一类探索性试题的特点。 (2
)试题较有整体感,小题设计之间、小题解法之间联系均较
B
紧密,对于探究性问题中研究主题不断生成,环环相扣,又不断解决有一种流畅感。 试题 3(安徽省) 按右图所示的流程,输入一个数据 x ,根据 y 与 x 的关系式就输出一 个数据 y ,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在 20~100(含 20和 100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求:
(Ⅰ)新数据都在 60~100(含 60和 100)之间;
(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应 的新数据也较大。
(1)若 y 与 x 的关系是 y =x +p(100-x) ,请说明:当 p =1
2
时,这种变换满足上述
两个要求;
(2)若按关系式 y=a(x -h) 2
+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的 这种关系式。 (不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程) 略解:(1)当 P=
12时, y=x+()11002x -, 即 y=1
502
x +。 ∴ y 随着 x 的增大而增大,即 P=
1
2
时,满足条件(Ⅱ) 。又当 x=20时, y=502021+×=60,当 x=100时,
y=
1
100502
?+=100。而原数据都在 20~100之间,所以新数据都在 60~100之间,即满足条件(Ⅰ) ,综 上可知,当 P=1
2
时,这种变换满足要求;
(2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a ) h ≤ 20; (b )若 x=20,100时, y 的对 应值 m , n 能落在 60~100之间,则这样的关系式都符合要求。如:()2
12060160
y x =
-+。 赏与析:(1) 用流程图的方法叙述函数关系, 比较生动。 同时这也是对函数的意义作了一个形象化的解释。 其实函数的表达有多种方法, 用解析式表示只是其中一种, 而且不是所有函数都可以用解析式表示的。 (2) 通过隐含的方法对函数的几个有意思的性质,比如值域、单调性等进行描述、探究,引导学生学习数学研 究的方法。 (3)问题设计考虑到验证性证明和构造性证明等,试题比较注重数学思想方法的考查。 试题 4(淮安市 ) 在平面直角坐标系中,放置一个如图所示的直角三角形纸片 AOB ,已知 OA=2,∠ AOB=30°,D 、 E 两点同时从原点 O 出发, D 点以每秒 3个 单位长度的速度沿 x 轴的正方向运动, E 点以每秒 1个单位长度的速度沿 y 轴 的正方向运动,设 D 、 E 两点运动的时间为 t 秒。
(1)点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 。
(2)在点 D 、 E 运动的过程中,直线 DE 与直线 OA 垂直吗?请说明理由 (3)当 t 在什么范围时,直线 DE 与线段 OA 有公共点?
(4)将直角三角形纸片 AOB 在直线 DE 下方的部分沿直线 DE 向上折叠,设折 叠后重叠部分的面积为 s ,请写出 s 与 t 的函数关系式,并求出 s 的最大值。
略解:(1) ) , (), , (301B A 。 (2)可求得 ) , (), , (t E t D 00,这时可得∠ EDO=30°,∴ ED ⊥ OA.(3)0≤ t
≤
34。 (4)当 0≤ t ≤ 32时, 28
t S =,当 32
_ 输出 y
_y 与 x 的 关系式
_ 输入 x _ 开始
当 3
334时, 2
2
3223) (t -S =。 S 最大值略。 赏与析:(1)几何图形随着问题的展开慢慢展开,一点一点变得丰富起来。各小题的问题解决过程也是慢
慢生成,每一小题的解法和结论对后一小题都有一定的启发性。 (2)本题对于点的运动位置要进行分类讨 论,要求还是比较高的。分类讨论是初中数学比较重要的思想方法,讨论的两个难题,一是想到要用讨论 的方法求解,一是确定讨论分界的不重不漏。
试题 5(武汉市) 填空或解答:点 B 、 C 、 E 在同一直线上,点 A 、 D 在直线 CE 的同侧, AB =AC , EC =
ED ,∠ BAC =∠ CED ,直线 AE 、 BD 交于点 F 。
(1)如图①,若∠ BAC =60°,则∠ AFB =____;如图②,若∠ BAC =90°,则∠ AFB =_____; (2)如图③,若∠ BAC =α,则∠ AFB =_________(用含 α的式子表示 ) ;
(3)将图③中的△ ABC 绕点 C 旋转 (点 F 不与点 A 、 B 重合 ) ,得图④或图⑤。在图④中,∠ AFB 与∠ α的数 量关系是 __________;在图⑤中,∠ AFB 与∠ α的数量关系是 ___________。请你任选其中一个结论证明。 略解:(1)∠ AFB =60°, ∠ AFB =45°。 (2)∠ AFB =90°-
α2
1
。 (3) ∠ AFB =90°-α2
1
, ∠
AFB =90°+α2
1
。证明略。
赏与析:(1) “填空或解答” ,这是一种试题类型,这种类
型试题的考查容量比较大, 同时又让学生可以避免重复书 写类似解题过程。比如本题中的三角形全等、三角形相似
的书写过程。试题类型视为考查服务的,不同的题型的产 生都是为了提高考查的有效性, 所以试题类型值得我们一 起去研究。 (2) 容易看出这道试题并不是原创的, 但是在一道传统试题的基础 上进行改编,挖掘出新意来,也会是一道有意思的试题,由此使我们体会到, 学生和教师在学习或教学中, 经常去改编、 挖掘陈题, 这是一项很有意义的劳 动, 这是一种试题研究, 也是一种数学研究和教学研究, 但是要注意的是应避 免原题对新题的负面干扰。 试题 6(北京市课标卷) 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 类
似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形. (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称; (2)如图,在 ABC △ 中,点 D E , 分别在 AB AC , 上, 设 CD BE , 相交于点 O ,若 60A ∠=°, 1
2
DCB EBC A ∠=∠=
∠.请你写出图中一个与 A ∠相等的角, 并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
(3) 在 ABC △ 中 , 如 果 A ∠是 不 等 于 60°的 锐 角 , 点 D E , 分 别 在 A B A C , 上 , 且
1
2
D C B E B A ∠=∠∠.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
略解:(1)答案不唯一,如平行四边形,等腰梯形等。 (2)∠ BOD=A ∠。猜想四边形 BCED 是等对边四
边形。 (3) 作 CD BF ⊥ 于 F , BE CG ⊥ 于 G , 可先证△ BCF ≌△ CBG , 从而 BF=CG。 然后可证△ BFD ≌△ CGE ,所以 BD=CE。即四边形 BCED 是等对边四边形。
赏与析
:这是一道围绕着鲜明主题的主题研究式学习试题,它可以引导学生步步深入地研究、解剖一个有
D D
图①
图② 图③ A B
图④
图⑤
B
E
C
意义的数学主题。引导学生接受试题暗示的启发,学会分析思考。而且第(2)小题只要猜想不要证明, 与第(3)小题的配合,设计比较合理巧妙,有错落的层次感,而避免小题解答书写时的雷同、重复。另 外,本题第(3)小题还可以在 BE 上截取 F ,使得 BF=CD,进而证明 CE=CF=BD。
试题 7(常德市) 如图 1,已知四边形 ABCD 是菱形, G 是线段 CD 上的任意一点时,连接 BG 交 AC 于
F ,过 F 作 FH CD ∥ 交 BC 于 H ,可以证明结论
FH FG
AB BG
=成立(考生不必证明) . (1) 探究:如图 2,上述条件中,若 G 在 CD 的延长线上,其它条件不变时,其结论是否成立?若成立, 请给出证明;若不成立,请说明理由;
(2) 计算:若菱形 ABCD 中 660AB ADC ==
,∠ ,
G 在直线 .. CD 上, 且 16CG =,连接 BG 交 AC 所在的
直线于 F , 过 F 作 FH CD ∥ 交 BC 所在的直线于 H , 求 BG 与 FG 的长. (3) 发现:通过上述过程,你发现 G 在直线 CD 上时,
结论
FH FG
AB BG
=还成立吗? 略解:(1)结论 BG
FG
AB FH =成立。 证 明 :由 已 知 易 得 //FH AB , ∴
BC
HC
AB FH =。 ∵ FH //GC , BG FG BC HC = ∴ BG
FG
AB FH =。 (2)∵ G 在直线 CD 上,∴分两种情况讨论如下: ① G 在 CD 的延长线上时, DG =10,如图 3,过 B 作 BQ ⊥ CD 于 Q ,
由于 ABCD 是菱形,∠ ADC =60
,∴ BC =AB =6,∠ BCQ =60
,∴ BQ =3, CQ =3
∴ BG =2]33[2
2
=+, 由 AB ∥ CG , ∴ FG FB CG AB =, 即 FG
2166=, ∴ 971116=FG 。 ② G 在 DC 的延长线上时, CG =16,如图 4,过 B 作 BQ ⊥ CG 于 Q ,由于 ABCD 是菱形,∠ ADC =600,
∴ BC =AB =6, ∠ BCQ =600
, ∴ BQ =, CQ =3, ∴ BG =2
2
]3[+=14, 由 AB ∥ CG , ∴ FG
FB
CG AB =, 即 FG FG -14166=,∴ FG=5
112。 (3) G 在 DC 的延长线上时, 586548=÷=AB FH , 58145112=÷=BG FG ,所以 BG
FG
AB FH =成立。 结合上述过程,发现 G 在直线 .. CD 上时,结论 BG
FG
AB FH =还成立。 赏与析 :试题采用探究、计算、发现这样的形式,生动活泼,给出学生学习过程的明确引导性。指导学生
对于一个问题不满足于被动解答,而是把问题作为一种特殊情形,然后多角度去扩充问题的各种情形,并 一一解答。这样的试题样式,间接教育学生:数学学习中要追求深入问题内部追根究底的良好品格,逐步 达到对问题举一反三的目标。
C
F
H G
D
图 4
B
A D
C
图
3
G Q
图 1
D 图 2
试题 8(龙岩市) 如图, 抛物线 254y ax ax =-+经过 ABC △ 的三个顶点, 已知 BC x ∥ 轴,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,且 AC BC =。
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出 A B C , , 三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点,是否存在 PAB △ 是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点 P 坐标;不存在, 请说明理由.
略解:(1)抛物线的对称轴 55
22
a x a -=-
=。 (2) (30) A -, , (54) B , , (04) C , 。 把点 A 坐标代入 254y ax ax =-+中, 解得 16a =-, 215
466
y x x ∴=-++。
(3)存在符合条件的点 P 共有 3个.以下分三类情形探索. 设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ,与 CB 交于 M .
过点 B 作 BQ x ⊥轴于 Q , 易得 4BQ =, 8AQ =, 5.5AN =, 52
BM =
① 以 AB 为腰且顶角为角 A 的 PAB △ 有 1个:1
PAB △ . 2
2
2
2
2
8480AB AQ BQ ∴=+=+=, 在 1Rt ANP △
中, 1PN
152
2P ?∴- ??, 。 ②以 AB 为腰且顶角为角 B 的 PAB △ 有 1个:2P AB △ . 在 2Rt BMP △
中, 2MP
====
, 25822P ?∴ ??
③以 AB 为底,顶角为角 P 的 PAB △ 有 1个,即 3P AB △ .
画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于 3P ,此时平分线必过等腰 ABC △ 的顶点 C . 过点 3P 作 3P K 垂直 y 轴,垂足为
K ,显然 3Rt Rt PCK BAQ △ ∽ △ . 31
2
P K BQ CK AQ ∴==. 32.5P K = 5CK ∴= 于是 1OK =, 3(2.5
1) P ∴-, 赏与析 :本来将求符合要求的点的坐标与讨论方法相结合并没什么新意,但是同时又结合着作图的过程, 就比较别致了。数学中的知识、能力有很多,从本题可见,适当的组合也是一种新意,可以起到有效的考 查作用,不一定要去挖掘试题的技巧性和复杂性。
试题 9(潍坊市) 如图,已知平面直角坐标系 x O y 中,点 A (m , 6) , B (n , 1)为两动点,其中 0<><3, 连结="" oa="" ,="" ob="" ,="" oa="" ob="">3,>
(1)求证:mn=-6;
(2)当 10AOB S =△ 时,抛物线经过 A , B 两点且以 y 轴为对称轴,求抛物线 对应的二次函数的关系式;
(3)在(2)的条件下,设直线 AB 交 y 轴于点 F ,过点 F 作直线 l 交抛物线 于 P , Q 两点,问是否存在直线 l ,使 :1:3POF QOF S S =△ △ ?若存在,求出直 线 l 对应的函数关系式;若不存在,请说明理由。 略解:(1)作 BC x ⊥ 轴于 C 点, AD x ⊥ 轴于 D 点。
A B , 点坐标分别为 (6) (1) m n ,,, , 16BC OC n OD m AD ∴==-==, , , ,
又 OA OB ⊥ ,易证 CBO DOA △ ∽△ , 166
CB CO BO n
mn DO DA OA m -∴
==∴=∴=-, , 。 (2)由(1)得, OA mBO =,又 10AOB
S =△ , 102
1
=OA OB ·,即 20202=∴ =mBO OA OB , ·。
又 222221(1) 20623OB BC OC n m n mn m n =+=+∴+==-∴==- , , , , ,
A ∴坐标为(2, 6) , B 坐标为(-3, 1) ,易得抛物线对应二次函数的关系式为 210y x =-+。
(3)直线 AB 为 4y x =+,且与 y 轴交于 F (0, 4)点, 4, OF ∴=
假设存在直线 l 交抛物线于 P , Q ,且使 :1:3POF QOF S S =△ △ ,如图。 则有 PF :FQ=1:3,作 PM y ⊥ 轴于 M 点, QN y ⊥ 轴于 N 点,
P 在抛物线 210y x =-+上, ∴设 P 坐标为 2(10) t t -+, ,
则
221046FM x x =-+-=-+, 易 证 P M F
Q △ ∽△ ,
13
PM MF PF QN FN QF ∴
===, 2333318QN PM t NF MF t ∴==-==-+, , 2314ON t ∴=-+, Q ∴点坐标为 2(3314) t t Q -- , , 点在抛物线 210y x =-+上, 22314910t t ∴-=-+
,解得 t =P ∴
坐标为 (,
Q
坐标为 8) -, ∴易得直线 PQ
为 4y =-+。 根据抛物线的对称性可得直线 PQ
另解为 4y =+。
赏与析:(1)对于第(1)小题除了上述提供的几何方法证明之外,还可以根据勾股定理逆定理进行计 算证明。如果学生今后学习了高中数学之后,可以运用平面解析几何的方法去解。 (2)第(2)小题除了 几何方法之外, 也可以运用代数方法直接得到
101362
1
22=++n m , 与 mn=-6联列, 求出 m,n 。 (3) 借助二次函数图像的对称性,求出直线 l 的一解之后,立即得到与 y 轴对称的另一解。而不是完全根据代 数方法再计算一遍。我们要培养学生的数学思维、观察的敏锐性,而不是盲目的计算和数学的教条。 试题 10(浙江省) 如图,抛物线 223y x x =--与 x 轴交 A 、 B 两点(A 点在 B 点左侧) ,直线 l 与抛物线交于 A 、 C 两点,其中 C 点的横坐标为 2。
(1)求 A 、 B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式;
(2) P 是线段 AC 上的一个动点, 过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段 PE 长度的最大值;
(3)点 G 是抛物线上的动点,在 x 轴上是否存在点 F ,使 A 、 C 、 F 、 G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在, 求出所有满足条 件的 F 点坐标;如果不存在,请说明理由。
略解:(1)令 y=0,解得 11x =-或 23x =,∴ A (-1, 0) B (3, 0) ;
将 C 点的横坐标 x =2代入 2
23y x x =--得 y=-3,∴ C (2,-3) 。 ∴直线 AC 的函数解析式是 y=-x -1。
(2)设 P 点的横坐标为 x (-1≤ x ≤ 2) ,则 P 、 E 的坐标分别为:P (x ,-x -1) , E 2
(, 23) x x x --。 ∵ P 点在 E 点的上方, PE=2
2
(1) (23) 2x x x x x -----=-++,∴当 12x =
时, PE 的最大值 =9
4
。 (3)存在 4个这样的点 F
,分别是 1234(1
,0), (3,0), (4(4F F F F - 赏与析:(1)求函数图像与 x 轴交点坐标可先将 y=0代入函数解析式,与 y 轴交点即可先取 x=0。两
个函数图像交点即方程组的解。 (2)建议把第(2)小题的“过 P 点作 y 轴的平行线”改为“过 P 点作 x 轴的垂线” ,这样可以更严格一些。 (3)问题并没有确定 A 、 C 、 F 、 G 作为平行四边形顶点的顺序,所以 要结合图形研究 AC 、 AF 为边或对角线的各种情况来求出 F 的各个解来。 试题 11(南昌市) 实验与探究
(1)在图 1, 2, 3中,给出平行四边形 ABCD 的顶点 A B D , , 的坐标(如图所示) ,写出图 1, 2, 3中 的顶点 C 的坐标,它们分别是 , , ;
(2)在图 4中,给出平行四边形 ABCD 的顶点 A B D , , 的坐标(如图所示) , 求出顶点 C 的坐标(C 点坐标用含 a b c d e f , , , , , 的代数式表示) ;
归纳与发现
(3)通过对图 1, 2, 3, 4的观察和顶点 C 的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形 ABCD 处于直角 坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为 () () () () A a b B c d C m n D e f , , , , , , , (如图 4)时,则四个顶 点的横坐标 a c m e , , , 之间的等量关系为 ;纵坐标 b d n f , , , 之间的等量关系为 (不必证明) ; 运用与推广
(4) 在同一直角坐标系中有抛物线 2(53) y x c x c =---和三个点 15192222G c c S c c ??
??- ? ?????, , (20) H c , (其中 0c >) .问当 c 为何值时,该抛物线上存在点 P ,使得以 G S H P , , , 为顶 点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的 P 点坐标.
略解:(1) (52) ,
, () e c d +, , () c e a d +-, 。 (2)分别过点 A B C D , , , 作 x 轴的垂线,垂足分别为
1111A B C D , , , ,
分 别 过 A D , 作
1AE BB ⊥于 E , 1DF CC ⊥于 点 F . 在 平 行 四 边 形 A B C D 中 , C D BA =, 又
11BB CC ∥ , 180EBA ABC BCF ABC BCF FCD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠= . EBA FCD ∴∠=∠.
又 90BEA CFD ∠=∠=
, BEA CFD ∴△ ≌△ . AE DF a c ∴==-, BE CF d b ==-.
设 () C x y , .由 e x a c -=-,得 x e c a =+-.由 y f d b -=-,得 y f d b =+-. () C e c a f d b ∴+-+-, . (3) m a c e +=+, n b d f +=+.
(4)若 GS 为平行四边形的对角线,由(3)可得
1(27) P c c -,
.要使 1P 在抛物线上, 则有 2
74(53) (2) c c c c c =--?--,即 20c c -=. 10c ∴=(舍去) , 2
1c =.此时 1(27) P -, . 若 SH 为平行四边形的对角线,由(3)可得
2(32) P c c , ,同理可得 1c =,此时 2(32) P , .
若 GH 为平行四边形的对角线,由(3)可得 (2) c c -,
,同理可得 1c =,此时 3(12) P -, .
x
图 1
x
图 2
x
图 3
)
x
)
x
图 4
综上所述,当 1c =时,抛物线上存在点 P ,使得以 G S H P , , , 为顶点的四边形是平行四边形.符合条 件的点有
1(27) P -,
, 2(32) P , , 3(12) P -, . 赏与析:(1)本题告诉学生数学也可以在实验中进行探究,数学不仅是单纯的思维,也有很多具体的图形
渐变中关系规律的实验探究。 (2)从一系列简单特殊的情况推及更一般的情况叫做猜想或者叫归纳,为了 解决一个比较复杂的问题,先把它退化为一个比较简单的特殊情形,叫做化归。这些都是解决问题的重要 思想方法。 (3)根据前一小题研究得到的规律,结合分类讨论图形的各种情况,进行直接的运用。这样的 问题显然可以考查学生解决问题的综合水平,但是缺憾是文试题篇幅比较大。
范文五:2016全国卷压轴题解析
2016全国卷压轴题解析
by zhcosin
题目:已知函数f (x ) =(x ?2) e x +a (x ?1) 2有两个零点
(1)求a 的取值范围.
(2)设两个零点为x 1,x 2,求证:x 1+x 2<>
解:(1)导函数f 0(x ) =(x ?1) e x +2a (x ?1) =(x ?1)(e x +2a ) ,
若a >0,则f (x ) 在区间(?1; 1) 上递减,在(1; +1) 上递增,最小值f (1)=?e <0,考察它在两侧无穷远处的符号情况,显见x>2时f (2)=a >0,所以f (x ) 在(1; 2) 上有唯一零点。x 趋于负无穷大时的符号稍显麻
x 烦点,若是a =0,则f (x ) =(x ?2) e <0在负实数区间上恒成立,此时函数在x>0在负实数区间上恒成立,此时函数在x><>
x 只看a =/0的情况,在x <0时e>0时e><1,所以f (x="" )="">(x ?2) +a (x ?1) 2,于是f (1+x ) =ax 2+x ?1,因此
在x <>
零点。1+p 时即有f (x ) 2a >0成立,所以f (x ) 在? 1+; 2a 1上也有唯一零点,除此之外没有其它 若a <0,则f 0(1)="0;" f="" 0(ln="" (?2a="" ))="0,若是ln" (?2a="" )="1,则f" 0(x="" )="" 仅在x="1处导数为零,其它地方皆为正,故函数f" (x="" )="" 在整个实数区间上递增,不可能有两个零点,所以ln="" (?2a="" )="1的情况排除。现在记m" (a="" )="" 为ln="" (?2a="" )="" 与1两者的较小者,而记较大者为m="" (a="" )="" ,则函数f="" (x="" )="" 在(?1;="" m="" (a="" ))="" 上递增,在(m="" (a="" )="" ;="" m="" (a="" ))="" 上递减,在(m="" (a="" )="" ;="" +1)="" 上递增,="" 同时f="" (1)="?e">0,则f><0,f (ln="" (?2a="" ))="?2a" (ln="" (?2a="" )="" ?2)="" +a="" (ln="" (?2a="" )="" ?1)="" 2="a" (ln="" 2(?2a="" )="" ?4ln="" (?2a="" )="" +5)="">0,f><>
终上,a >0为所求。
(2)即要证明x 2?1<1?x 2,设x="">1?x>
01+t 01?t 提),对实数t >0,有f (1+t ) =t (e +2a ) ,f (1?t ) =?t (e +2a ) ,于是在
0 f (1+t ) e 1+t +2a =>1
R r 00f (1+t ) dt >?f (1?t ) dt ,0R r 0R 1+r 0R r 00R 1?r 0而0f (1+t ) dt =1f (t ) dt =f (1+r ) ?f (1),同理?0f (1?t ) dt =1f (t ) dt =f (1?r ) ?
f (1),于是f (1+r ) >f (1?r ) ,取r =1?x 1,就得f (2?x 1) >f (x 1) =0,取r =x 2?1,就得0=f (x 2) >f (2?x 2) ,于是f (2?x 2) <0=f (x="" 1)="" ,但是由于x="" 2="">1,所以2?x 2<1,所以利用单调性得2?x 2="">x 1,即x 1+x 2<2:也即是f 0(1+t="" )="">?f 0(1?t ) ,因此对于任意正实数r ,就有
现在回过头来看初等证明,从上面看到,f (1+r ) >f (1?r ) 正是关键的不等式,所以我们只要利用导数来证明它即可,令g (r ) =f (1+r ) ?f (1?r ) ,于是g (0)=0,其导函数g 0(r ) =r (e 1+r +e 1?r +4a ) 在r >0时恒有g 0(r ) >0,故g (r ) 在(0; +1) 上为增函数,所以f (1+r ) >f (1?r ) 对正实数r 总是成立的,于是我们用导数也就证明了该题。R r
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2:也即是f>1,所以利用单调性得2?x>0=f>1,所以f>0,考察它在两侧无穷远处的符号情况,显见x>