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范文一：初中几何最值问题
一、三点共线
1、构造三角形
【例 1】 在锐角 ABC 中, AB =4, BC =5, ∠ ACB =45°, 将 △ ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转, 得到 △ A 1BC 1. 点
E 为线段 AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在 △ ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中,点 P 的 对应点是点 P 1,求线段 EP 1长度的最大值与最小值.
P 1
C 1
A 1
P
E
C
B
A
【巩固】以平面上一点 O 为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作 △ AOB 和 △ COD ,其中∠ ABO =∠
DCO =30°.如图,若 BO =,点 N 在线段 OD 上,且 NO =2.点 P 是线段 AB 上的一个动点, 在将 △ AOB 绕点 O 旋转的过程中,线段 PN 长度的最小值为 _______,最大值为 _______.
O P
N
D C
B
A
备用图
例题精讲
【例 2】 如图, 90MON ∠=°,矩形 ABCD 的顶点 A . B 分别在边 OM , ON 上,当 B 在边 ON 上运动时, A
随之在边 OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB =2, BC =1,运动过程中,点 D 到点 O 的最大距离为 __________
【巩固】 已知:
AOB △ 中, 2AB OB ==, COD △ 中, 3CD OC ==, ABO DCO =∠ ∠ . 连接 AD 、 BC , 点 M 、 N 、 P 分别为 OA 、 OD 、 BC 的中点 . 若 A 、 O 、 C 三点在同一直线 上, 且 2ABO α=∠ , 固定 AOB △ ,将 COD △ 绕点 O 旋转,则 PM 的最大值为 ____________
【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,点 M 为线段 AB 的中点.点
D 、 E 分别在 x 轴、 y 轴的负半轴上,且 10DE AB ==.以 DE 为边在第三象限内作正方形 DGFE ,请求出线段 MG 长度的最大值,并直接写出此时直线 MG 所对应的函数的解析式.
【例 3】 如图,已知 11(, ) 2A y , 2(2,) B y 为反比例函数 1
y x
=
图像上的两点,动点 (,0) P x 在 x 正半轴上运
动,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是 _________
2、轴对称 【例 1
【例 2】 AB CD 是半 径为 5的 O 的两条弦, 8AB =, 6CD =, MN 为直径, AB MN ⊥于点
E , CD MN ⊥于点 F , P 为 EF 上任意一点,则 +PA PC 的最小值为 _________
N
M
【巩固】 设半径为 1的半圆的圆心为 O , 直径为 AB , C D 、 是半圆上两点,若弧 AC 的度数为 96°, 弧 BD
的度数为 36°,动点 P 在直径 AB 上,则 +CP PD 的最小值是 _______
【巩固】设正三角形 ABC 的边长是 2, M 是 AB 边上的中点, P 是边 BC 上任意一点,则 +
PA PM 的最
大值为 _______,最小值为 ________
【例 3】 如图,已知等边△ ABC 的边长为 1, D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 AC 边上的点(均不与点 A 、 B 、 C 重
合) , 记△ DEF 的周长为 p . 若 D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 AC 边上任意点, 则 p 的取值范围是 .
F
E
D
C
B
A
【例 4】 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y =— x 2
+2x +3与 x 轴交于 A . B 两点,与 y 轴交于点 C ,
点 D 是抛物线的顶点.
(1)求直线 AC 的解析式及 B . D 两点的坐标;
(2)请在直线 AC 上找一点 M ,使 △ BDM 的周长最小,求出点 M 的坐标.
图 1
【例 5】
如图,直线 2y =+分别交 x 轴、 y 轴于 C 、 A 两点,将射线 AM 绕点 A 顺时针旋转 45°得到射 线 A N , D 为 AM 上的动点, B 为 AN 上的动点,点 C 在∠ MAN 的内部.
备用图
备用图
【例 6】 在直角坐标系中, ()1, 2A --, ()4, 1B -, (),0C m , (), D n n 为四边形的 4个顶点,当四边形
ABCD 的周长最短时,
m
n
=_________
【巩固】如图 1,抛物线 y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的顶点为 C (1, 4),交 x 轴于 A 、 B 两点,交 y 轴于点 D ,
其中点 B 的坐标为(3, 0)。 (1)求抛物线的解析式;
(2)如图 2,过点 A 的直线与抛物线交于点 E ,交 y 轴于点 F ,其中点 E 的横坐标为 2,若直线 PQ 为抛物线的对称轴,点 G 为直线 PQ 上的一动点,则 x 轴上师范存在一点 H ,使 D 、 G 、 H 、 F 四点所围成的四边形周长最小。若存在,求出这个最小值及点 G 、 H 的坐标;若不存在,请说明 理由。
图 13
图 2
【例 7】 已知,如图 1,二次函数 ()2
230y ax ax a a =+-≠的图像的顶点为 H ,与 x 轴交于 A B 、
两点(B 在 A 的右侧),点 H B 、
关于直线 l
:y = (1)求 A B 、
两点的坐标,并证明点 A 在直线 l 上; (2)求二次函数的解析式;
(3)过点 B 作 BK AH ∥ 交直线 l 于点 K , M N 、 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点,连结 HN NM MK 、 、 , 求 HN NM MK ++的最小值.
图 1
【巩固】 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中 ,
二次函数 2
y bx c =
++的图象与 x 轴交于 A (-1,0) 、 B (3,0) 两点 , 顶点为 C .
(1) 求此二次函数解析式;
(2) 点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点,过点 A 作直线 l
:y BD 于点 E ,过点 B 作直线
BK ∥ AD 交直线 l 于 K 点 . 问:在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P ,使得它到四边形 ABKD 四 边的距离都相等,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在(2)的条件下,若 M 、 N 分 别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点,连结 DN 、 NM 、 MK , 求 DN NM MK ++和的最小值
.
【例 8】 在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A 、 B 分别在 x 轴、
y 轴的正半轴上, 3
OA =, 4
OB =, D 为边 OB 的中点 .
E 的坐标;
(Ⅱ)若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点,且 2
EF =,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E 、 F 的坐标 .
【巩固】已知点 A (3, 4),点 B 的坐标为(﹣ 1, 1)时,在 x 轴上另取两点 E , F ,且 EF =1.线段 EF 在 x 轴上平移,线段 EF 平移至何处时,四边形 ABEF 的周长最小?求出此时点 E 的坐标.
【例 9】 已知直线 112y x =
+与 y 轴交于点 A ,与 x 轴交于点 D ,抛物线 21
2
y x bx c =++与直线交于 A 、 E 两点,与 x 轴交于 B 、 C 两点,且 B 点坐标为 (1, 0). (1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点 M ,使 ||AM MC -的值最大,求出点 M 的坐标。
【巩固】已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 364
y x =-+与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A 、 B ,将∠
OBA 对折,使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上,折痕交 x 轴于点 C . (1)直接写出点 C 的坐标,并求过 A 、 B 、 C 三点的抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T , Q 为线段 BT 上一点,直接写出 QA QO -的取值 范围 .
3、旋转
【例 1】 如图,已知在 △ ABC 中, BC =a , AC =b,以 AB 为边作等边三角形 ABD . 当∠ ACB 变化 , 且点 D 与点 C
位于直线 AB 的两侧时,求 CD 的最大值及相应的∠ ACB 的度数 .
【例 2】 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 B 的坐标为 (0,2), 点 D 在 x 轴的正半轴上, 30ODB ∠=?, OE
为 △ BOD 的中线,过 B 、 E
两点的抛物线 2y ax c =++与 x 轴相交于 A 、 F 两点(A 在 F 的 左侧)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 P 为三角形 ABO 内的一个动点,设 m PA PB PO =++,请直接写出 m 的最小值 , 以及 m 取 得最小值时,线段 AP 的长
.
【巩固】已知矩形 ABCD , =10AD , =6AB ,在矩形 ABCD 内有一点 P ,在 BC 边上有一点 H , 分别确定点 P
和 H 的位置,使得 AP DP PH ++最小
H
A
【巩固】直角梯形 ABCD 中, 90B C ∠=∠=?,在梯形内求作一点 O 使 OQ BC ⊥于 Q 且 +O+OA D OQ
的值最小
Q D
C
B
A
二、垂线段最短
【例 1】已知 10AB =, P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 BP 为边作两个等边三角形
APC 和 BPD ,则线段 CD 长度的最小值是 _______
P D
C
B
A
【例 2】如图, 在锐角 ABC
中, 45AB BAC =∠=°, BAC ∠的
平分线交 BC 于点 D M N , 、 分别是 AD 和 AB 上的动点,则
BM MN +的最小值是 ___________ .
【巩固】 矩形 ABCD 中, 20AB =, 10BC =. 在 AC 、 AB 上各取一点 M 、 N ,使 +BM MN 的值最小, 求这个最小值
A
B
C
D
N
M
N M
D
C
B
A
【例 3】如图,在 ABC △ 中, AB =15, AC =12, BC =9,经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB 、 CA 分别相
交于点 E 、 F ,则线段 EF 长度的最小值是 ________
【例 4】已知在 ABC 的 BC 边上取一点 D ,设 ABD 和 ACD 的外接圆的圆心分别是 O 和 O ,求:使两圆
半径为最小值时点 D 的位置
【巩固】点 M 在 ABC 的 AC 边上,分别作 ABM 和 CBM 的外接圆。问当 M 点在什么位置时,两外接圆
公共部分的面积最小?
【例 5】在已知 ABC 内,作内接矩形 DEMN ,使一边 DE 在最大边 BC 上,另外两个顶点 M 、 N 分别在边
AC , AB 上。试确定矩形 DEMN 的位置,使对角线 DM 长最短 .
N
M
E
D C
B A
【巩固】点 P 在锐角 ABC 的边上运动,试确定点 P 的位置,使 ++PA PB PC 最小,并证明你的结论 .
【例 6】如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与 x 轴交于 A B 、 两点, D 为抛物线的顶点, O 为
坐标原点.若 OA OB OA OB <、 ()="" 的长分别是方程="" 2430x="" x="" -+="的两根,且" 45dab="" ∠="°.">
(2)过点 A 作 AC AD ⊥交抛物线于点 C ,求点 C 的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点 A 任作直线 l 交线段 CD 于点 P , 求 C D 、 到直线 l 的距离分别为
12d d 、 ,试求 12d d +的最大值.
【例 7】在直角坐标系中, 点 A 坐标为 (-3, -2) , 圆 A 的半径为 1, P 为 x 轴上一动点, PQ 切圆 A 于点 Q ,
则当 PQ 最小时, P 点的坐标为 _________
【巩固】如图,在平面直角坐标系中,已知 OAB △ 是等腰三角形(OB 为底边),顶点 A 的坐标是
24(,) , 点 B 在 x 轴上,点 Q 的坐标是 ()60-, , AD x ⊥轴于点 D ,点 C 是 AD 的中点,点 P 是直线 BC 上的一动点 (1)求点 C 的坐标
(2)以点 P
P ,过点 Q 作 P 的两条切线,切点分布为 E F 、
,问:是否存在以 O E P F 、
、 、 为顶点的四边形的最小面积为 S ?若存在,请求出 S 的值;若不存在, 请说明理由.
三、与圆相关的最值
1、过圆内任一点的弦中,最长的弦是直径,最短的弦是垂直于过该点的直径的弦 【例 1】如图,⊙ O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为
,如果过点 P 作弦,那
么长度为整数值的弦的条数为 ________
2、设 A 是 ⊙ O 内一点,在连接 A 与圆上各点的线段中,圆心所在线段最短,圆心在其反向延长线上的线段 最长;设 A 是 ⊙ O 外一点,在连接 A 与圆上各点的线段中,圆心所在线段最长,圆心在其延长线上的线段 最短
【例 1】在直线 MN 的同侧有定点 A 及定圆圆 O ,试在 MN 上求一点 P ,在圆 O 上求一点 Q ,使 AP PQ +最
短
P N
M
【例 2】点 P 在图形 M 上,点 Q 在图形 N 上,记 ()max d M N , 为线段 PQ 长度的最大值, ()min d M N , 为线
段 PQ 长度的最小值,图形 M N 、 的平均距离 ()()()
max min 2
d M N d M N Ed M N +=
, , , .
(1)在平面直角坐标系 xOy 中, O 是以 O 为圆心,
2为半径的圆,且 12A ?
??
, (2B , 求 ()Ed A O ,
及 ()Ed B O , ;(直接写出答案即可). (2)半径为 1的 C
的圆心与坐标原点 O
重合,直线 y x =+x 轴交于点 D ,与 y 轴交 于点 F ,记线段 DF 为图形 G ,求 ()Ed G C ,
. (3)在(2)的条件下,如果 C 的圆心 C 从原点沿 x 轴向右移动, C 的半径不变,且
()5
2
Ed G C = , ,求圆心 C 的横坐标.
3、过圆上点作割线的垂线段,当圆心在这垂线段上时,该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点
【例 1】已知:AB 是 O 中一条长为 4的弦, P 是 O 上一动点,
1
cos 3
APB ∠=. 问是否存在以 A P B 、 、 为顶点的面积最大的三角形 , 试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积.
4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段,当圆心在这条垂线段上时,这点是圆上所有点与该直线距离 最长的点;当圆心在这条线段的反向延长线时,这点事圆上所有点与该直线距离最短的点
【例 1】如图, AB 是半圆的直径,线段 CA ⊥ AB 于点 A ,线段 DB 上 AB ⊥点 B ,
AB =2, AC =1, BD =3, P
是半圆上的一个动点,则封闭图形 ACPDB 的最大面积是 ______
D
B
5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角,而这圆周角则大于该弧所对的圆外角 【例 1】 B 为 MON ∠的边 OM 上的两点,试在 ON 上求作一点 C ,使 ACB ∠最大
C N
M O B
A
【例 2】如图所示,直线 CD 与线段 AB 为直径的圆相切于点 D ,并交 BA 的延长线于点 C ,且 2AB =,
1AD =, P 点在切线 CD 上移动 . 当 APB ∠的度数最大时,则 ABP ∠的度数为 _____
四 、转化类
【例 1】如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 P 为边 BC 上任意一点(可与 B 点或 C 点重合) ,分别过 B 、 C 、
D 作射线 AP 的垂线,垂足分别是 B ′、 C ′、 D ′,则 BB ′ +CC′ +DD′的最大值为 ________,最小值 为 ________.
C ' B '
D
C B
A
【巩固】在 ABC 中, 120A ∠=?, 6BC =,若 ABC 的内切圆半径为 r ,则 r 的最大值为 __________
C
B
【例 2】已知抛物线 2y ax bx c =++经过 ()43A -,
、 ()20B , 两点,当 3x =和 3x =-时,这条抛物线上对应 的纵坐标相等.经过点 C ()02-,
的直线 l 与 x 轴平行, O 为坐标原点. (1)求直线 AB 和这条抛物线的解析式; (2)以 A 为圆心, AO 为半径的圆记为圆 A , 判断 直线 l 与圆 A 的位置关系,并说明理由;
(3)设直线 AB 上的点 D 的横坐标为 1-, ()P m n ,
是抛物线 2y ax bx c =++上的动点,当 PDO △ 的周 长最小时,求四边形 CODP 的面积.
【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中,⊙ O 的半径为 2,且 A (4, 0) , B (4, 4) ,点 P 在⊙ O 上运动。 (1)求 2BP +AP 的最小值。 (2)若点 M 是函数 4
y x
=
(x >0,x ≠2)的图象上一点, ME ⊥ x 轴于点 E , MF ⊥ y 轴于点 F ,记 M 的横坐 标为 t (t >0,t ≠2) , 请用含 t 的表达式表示
22
t
PE PF t +的最小值。
【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 222y x mx m m =-++的顶点为 C .
(1)求点 C 的坐标(用含 m 的代数式表示);
(2) 直线 2y x =+与抛物线交于 A 、 B 两点, 点 A 在抛物线的对称轴左侧 . 抛物线的对称轴与直线
AB 交于点 M ,
作点 B 关于直线 MC 的对称点 ' B . 以 M 为圆心, MC 为半径的圆上存在一点 Q ,
使得 ' QB 的值最小,则这个最小值为 _______________ .
【例 4】已知抛物线 21y ax bx =++经过点 ()13A ,
和点 ()21B , . (1)求此抛物线解析式;
(2)过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 E 点.点 P 从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达 F 点,再沿 FE 到达 E 点,若 P 点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE
倍,试确 定点 F 的位置,使得点 P 按照上述要求到达 E 点所用的时间最短.(要求:简述确定 F 点位置的 方法,但不要求证明)
【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中,设 G 为 y 轴上一点,点 P
从点 (0) 出发,先沿 y 轴到达 G 点,再 沿 GA 到 A (-6, 0) 点.若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2倍,试确定 G 点的位置,使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短. (要求:简述确定 G 点位置的方法,但 不要求证明 )
【例 5】射线 OM 垂直平分 CD , 垂足为 O , 10CD =, 点 A 、 B 为射线 OM 上两动点,且 OBC ODA ∠=∠,求
+OA OB 的最小值
M
B O
D
范文二：初中几何最值问题
初中几何最值问题
例题精讲
一、三点共线
1 、构造三角形
ABC【例1】在锐角中，AB=4，BC=5，?ACB=45?，将?ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到?ABC(点11E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在?ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P，求线段EP长度的最大值与最小值( 11
C1
AP1
PE
A1
BC
【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作?AOB和?COD，其中?ABO=?DCO=30?(如图，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2(点P是线段AB上的一个动点，33
在将?AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______(
A
POO
B
NN
DDCC
备用图
，,MON90【例2】如图，?，矩形ABCD的顶点A(B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A
随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点
O的最大距离为__________
?AOBABOB,,2?CODCDOC,,3??ABODCO,BC【巩固】已知:中，，中，,.连接AD、，NOAODBCOC?ABO,2,点M、、P分别为、、的中点.若A、、三点在同一直线上，且，?AOB?CODO固定PM，将绕点旋转，则的最大值为____________
BA
M
O
NPD
C
yxABMAB【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点、分别在轴、轴的正半轴上，点为线段的中点(点
yxDEAB,,10DEDE、分别在轴、轴的负半轴上，且(以为边在第三象限内作正方形
MGMGDGFE，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式(
y
B
M
AxODG
E
F 图2
11xBy(2,)y,Px(,0)Ay(,)【例3】如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在正半轴上运12x2
动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是_________ APBPP
y
A
B
O x P
2 、轴对称
22【例1】求的最小值 xx,，，，341，，
OCDAB,8CD,6MNABMN,AB【例2】是半径为5的的两条弦，，，为直径，于点
CDMN,PAPC+EFPEF,于点，为上任意一点，则的最小值为_________
A
C
NMEOPF
D
B
OCD、ACABBD【巩固】设半径为1的半圆的圆心为，直径为,是半圆上两点，若弧的度数为96?，弧
CPPD+PAB的度数为36?，动点在直径上，则的最小值是_______
ABCBCMABPPAPM+【巩固】设正三角形的边长是2，是边上的中点，是边上任意一点，则的最
大值为_______,最小值为________
【例3】如图，已知等边?ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合)，记?DEF的周长为.若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是 . pp
A
DF
ECB
2【例4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y,—x，2x，3与x轴交于A(B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点(
(1)求直线AC的解析式及B(D两点的坐标;
(2)请在直线AC上找一点M，使?BDM的周长最小，求出点M的坐标(
图1
3yx,,，2【例5】如图，直线分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45?得到射3
线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在?MAN的内部(
?BCD(1)当AM?x轴，且四边形ABCD为梯形时，求的面积;
(2)求?BCD周长的最小值;
52?BCDBD,(3)当?BCD的周长取得最小值，且时，求的面积( 3
y y y A A A 2 2 2 D M 1 1 1
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 O C x O x O x C C B
N 备用图 备用图
A,,1,2B4,1,Cm,0Dnn,【例6】在直角坐标系中，，，，为四边形的4个顶点，当四边形，，，，，，，，
m,的周长最短时，_________ ABCDn
y
DO xC
B
A
2【巩固】如图1，抛物线y,ax，bx，c(a?0)的顶点为C(1，4)，交x轴于A、B两点，交y轴于点D，
其中点B的坐标为(3，0)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线
PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F
四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在，请说明
理由。
P y y y C C C
D D D E
F A B A B A B x x O x O O
Q
图13 图2
2xAB、yaxaxaa,，,,230【例7】已知，如图1，二次函数的图像的顶点为，与轴交于两点(在，，HB
3HB、l的右侧)，点关于直线:对称( yx,，3A3
AB、l(1)求两点的坐标，并证明点在直线上; A
(2)求二次函数的解析式;
MN、ll(3)过点作交直线于点，分别为直线和直线上的两个动点，连结BBKAH?KAH
HNNMMK、、，HNNMMK，，求的最小值(
y
lHK
OABx
图1
32xyxbxc,，，【巩固】如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于(-1,0)、(3,0)AB2
C两点, 顶点为.
(1) 求此二次函数解析式;
33ClB(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线:交BD于点E，过点作直线yx,，AD33
l?交直线于点.问:在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四BKADK
边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
NDNNMl(3) 在(2)的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，ADMMKDNNMMK，，求和的最小值.
xOACB【例8】在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、
yOA,3OB,4轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.
OACDE(?)若为边上的一个动点，当?的周长最小时，求点的坐标; EE
温馨提示:如图～可以作点D关于轴x ,CD的对称点～连接与轴交于,xD CDE点E～此时?的周长是最小的.这样～ OE你只需求出的长～就可以确定点的E 坐标了.
y y
B C C B
D D
E A x x O O A
,D OACDEF(?)若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标. EEF,2EFF
【巩固】已知点A(3，4)，点B的坐标为(,1，1)时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1(线段EF在
x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小,求出此时点E的坐标(
112yxyx,，1yxbxc,，，【例9】已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E22
x两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0).
(1)求该抛物线的解析式;
||AMMC,(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。
3yx,,，6【巩固】已知:如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将?4
OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C. (1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
QAQO,(2)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围.
3 、旋转
【例1】如图，已知在?ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.当?ACB变化,且点D与点C
位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的?ACB的度数.
C
AB
D
xxOy(0,2)OE，,:ODB30【例2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，BD
32xBOD为?的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点(在的yaxxc,，，BEAFAF6
左侧)
(1)求抛物线的解析式;
mmABOmPAPBPO,，，(2)点为三角形内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取P
得最小值时，线段的长. AP
y
B
E
OAGFDx
ABCDAD=10AB=6ABCDBCPHP【巩固】已知矩形，，，在矩形内有一点，在边上有一点,分别确定点
HAPDPPH，，和的位置，使得最小
AD
P
CBH
OQBC,OADOQ+O+Q【巩固】直角梯形中，，在梯形内求作一点使于且ABCD，,，,:BC90O
的值最小
D
OA
BCQ
二、垂线段最短
AB,10【例1】已知,是线段上任意一点，在的同侧分别以和为边作两个等边三角形PABABAPBP
CDAPC和，则线段长度的最小值是_______ BPD
C
D
BAP
【例2】如图，在锐角中，，的 ABC，BACABBAC,，,4245，?
C ADAB平分线交于点分别是和上的动点，则BCDMN，、
的最小值是___________ ( BMMN，
D M
A N B
【巩固】矩形ABCD中，AB,20，BC,10.在AC、上各取一点、N，使BMMN+的值最小，ABM求这个最小值
DC
M
ABN
?ABCC【例3】如图，在中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点且与边相切的动圆与CB、CA分别相AB
交于点E、F，则线段长度的最小值是________ EF
B
E
CFA
, ABCBC ACDOOD ABD【例4】已知在的边上取一点，设和的外接圆的圆心分别是和，求:使两圆
D的位置 半径为最小值时点
OA
'O
CB D
ABCAC CBMM ABMM【巩固】点在的边上，分别作和的外接圆。问当点在什么位置时，两外接圆
公共部分的面积最小,
BO
'O
CAM
ABCDEMNBCNDEM【例5】在已知内，作内接矩形，使一边在最大边上，另外两个顶点、分别在边
ACDEMNABDM，上。试确定矩形的位置，使对角线长最短.
A
MN
EDBC
【巩固】点在锐角 ABC的边上运动，试确定点的位置，使PAPBPC++最小，并证明你的结论. PP
xAB、OD【例6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，为
2OAOBOAOB、(),，,DAB45?(坐标原点(若的长分别是方程的两根，且 xx,，,430
(1)求抛物线对应的二次函数解析式;
ACAD,CCA(2)过点作交抛物线于点，求点的坐标;
lCDP，CD、lA(3)在(2)的条件下，过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为
dd、dd+，试求的最大值( 1212y
c
C c l
P c O Bx
c c A D
c
【例7】在直角坐标系中，点A坐标为(-3，-2)，圆A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切圆A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________
(，)24OB?OAB【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰三角形(为底边)，顶点的坐标是， A
x,60，QADx,CBC，，点在轴上，点的坐标是，轴于点，点是的中点，点是直线上的一动点 BADPD
C(1)求点的坐标
QEF、 P P(2)以点为圆心、为半径作圆，得到动圆，过点作的两条切线，切点分布为，问:P2
OEPF、、、SS为顶点的四边形的最小面积为,若存在，请求出的值;若不存在，是否存在以
请说明理由(
y
A
C
DBxOQ
三、与圆相关的最值
1 、过圆内任一点的弦中,最长的弦是直径,最短的弦是垂直于过该点的直径的弦
OPOP【例1】如图，?的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那10
么长度为整数值的弦的条数为________
PO
2?O、设AA是内一点,在连接与圆上各点的线段中,圆心所在线段最短,圆心在其反向延长线上的线段
?OAA最长,设是外一点,在连接与圆上各点的线段中,圆心所在线段最长,圆心在其延长线上的线段
最短
APPQ，OO【例1】在直线MN的同侧有定点A及定圆圆，试在MN上求一点P，在圆上求一点Q，使最短
OQ
A
MPN
dMN，dMN，QPQN，，，，【例2】点在图形上，点在图形上，记为线段长度的最大值，为线PMmaxmin
dMNdMNmaxmin，，，，，，，PQMN、段长度的最小值，图形的平均距离( EdMN，,，，2
,,13xOyB223， OOA，(1)在平面直角坐标系中，是以为圆心，2为半径的圆，且，，,,，，,,22,,EdAO， EdBO， ，，，，求及;(直接写出答案即可)(
343yx COyx,，-(2)半径为1的的圆心与坐标原点重合，直线与轴交于点，与轴交D33
EdGC， ，，G于点，记线段为图形，求( DFF
x CC C(3)在(2)的条件下，如果的圆心从原点沿轴向右移动，的半径不变，且
5CEdGC， ,，，，求圆心的横坐标( 2
3 、过圆上点作割线的垂线段,当圆心在这垂线段上时,该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点
1APB、、 O Ocos，,APB【例1】已知:是中一条长为4的弦，是上一动点，(问是否存在以ABP3
为顶点的面积最大的三角形,试说明理由;若存在，求出这个三角形的面积(
4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段,当圆心在这条垂线段上时,这点是圆上所有点与该直线距离
最长的点,当圆心在这条线段的反向延长线时,这点事圆上所有点与该直线距离最短的点【例1】如图，AB是半圆的直径，线段CA?AB于点A，线段DB上AB?点B，AB=2，AC=1，BD=3，P
是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是______
D
PC
AOB
5 、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角,而这圆周角则大于该弧所对的圆外角
，MONOMONC，ACB【例1】B为的边上的两点，试在上求作一点，使最大
M
B
A
ONC【例2】如图所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交BA的延长线于点，且AB,2，ABDCDC
AD,1，P点在切线上移动.当，APB的度数最大时，则，ABP的度数为_____ CD
P
D
? A B O C
四 、转化类
【例1】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合)，分别过B、C、
D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为________，最小值
为________(
DC
P'B'C'DBA
rr ABC，,:A120BC,6 ABC【巩固】在中，，，若的内切圆半径为，则的最大值为__________
2A,43，B20，x,3x,,3，，，，yaxbxc,，，【例2】已知抛物线经过、两点，当和时，这条抛物线上对应
x02，,COl，，的纵坐标相等(经过点的直线与轴平行，为坐标原点(
(1)求直线和这条抛物线的解析式; ABy
AO(2)以为圆心，为半径的圆记为圆,判断AA
l直线与圆的位置关系，并说明理由; A
Pmn，，，(3)设直线上的点的横坐标为,ABD,1
2?PDOyaxbxc,，，是抛物线上的动点，当的周
CODP长最小时，求四边形的面积( Ox
【例3】在平面直角坐标系xOy中，?O的半径为2，且A(4，0)，B(4，4)，点P在?O上运动。
(1)求2BP+AP的最小值。
4y,(2)若点M是函数(x>0,x?2)的图象上一点，ME?x轴于点E，MF?y轴于点F，记M的横坐x
2tPEPF，标为t(t>0,t?2),请用含t的表达式表示的最小值。 t2
B
OA
22xOy【巩固】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为. Cyxmxmm,,，，2
m(1)求点的坐标(用含的代数式表示); C
yx,，2(2)直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线ABA
Q交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，MCMCABMBB'M
2使得的值最小，则这个最小值为_______________ . QBQB'，2
2A13～B21～，，，，yaxbx,，，1【例4】已知抛物线经过点和点(
(1)求此抛物线解析式;
x(2)过点作轴的垂线，垂足为点(点从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达BEPF点，再沿到达点，若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍，试确FEEPFE2定点的位置，使得点按照上述要求到达点所用的时间最短((要求:简述确定点位置的FPEF方法，但不要求证明)
y
3
2
1
O2x1
0,63，【巩固】在平面直角坐标系xOy中，设G为y轴上一点，点P从点)出发，先沿y轴到达G点，再，，
沿GA到A(,6，0)点(若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短((要求:简述确定G点位置的方法，但不要求证明)
OMCDOCD,10OM，,，OBCODAAB【例5】射线垂直平分,垂足为，,点、为射线上两动点，且，求
OAOB+的最小值
C
OBMA
D
范文三：初中几何最值问题716612310
几何最值问题
一、 相关知识
1. 两点之间的连线中，________最短.
直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短. 2. 连结
3. 三角形任意两边之和________第三边，两边之差__________第三边. 二、 基本图形
“张李河”问题:
一条河的同侧有两个村子张村、李村，要在河边建一个水电站，使得水电站到张村和李村的距离和最小，水电站应该选择什么位置,
上述问题可以建立如下模型:
平面内有一直线l及同侧两点A、B，
(1)在直线l上找一点P，使 PA+PB最小;
由问题(1)引申出问题(2)
(2)在直线l上找一点Q，使|QA-QB|最大.
三、 知识应用
1、 “两定一动一直线”
(1) 如图，菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是___________. |PD-PN|的最大值是____________.
2(2) 已知:抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C. yxx,,,23
，使PA+PC最小. ?在抛物线的对称轴上找点P
?在抛物线的对称轴上找点Q，使|QB-QC|最大.
y
x
2、 “两定两动两直线”
(1)已知:如图，A(1,2)，B(4,3)在y轴上找一点P，在X轴上找一点Q
使四边形APQB周长最小?
y
x
(2) 已知:如图，A(1,2)，B(4,3)在X轴上找两点E、F，使EF=1
使四边形AEFB周长最小?
y
x
(3)如图，有两个村庄E、F被一条宽a米的河隔开，假设河岸是平行的，现在要架一座与两岸垂直的桥MN，使由E到F的路程最短，问桥应架在什么地方,
3、 “一定两动两直线”
(1)已知:两条定直线a、b，在直线a上有一个定点A，在直线a上求一点B,在直线b上求一点P，使两点A、B与点P的连线总长最短。
0 (2)如图:在锐角?ABC中，AB=4 ，?BAC= 45的平分线交BC于点D、2
M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值。
四、 达标测评
1、 如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上AN
O的半径为1，则AP+BP的最小值为_______. 一动点，?
0 2、 已知?AOB=45，其内部一点P，OP=10，在?AOB的边OAOB上分别有、
点Q、R(P、Q、R三点不在同一直线上)，Q、R不同于点O，则?PQR周长
的最小值为多少?
3、已知:边长为a的正ΔABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的最大值是___________.
y
x
4、已知:正ΔABC的内部有一点P，当?APB，?BPC，?CPA等于多少度时，使PA+PB+PC有最小值.
范文四：初中数学几何最值问题
初中数学几何最值问题
在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量 (如线段的长 度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差 ) 的最大值或最小值问题,称为几何最 值问题 . 近年来,各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、 分析问题和解决问题的能力 . 本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析,希望对大 家有所帮助 .
最值问题的解决方法通常有如下 6大类 :
1. 三角形的三边关系
例 1. 如图,在矩形纸片 ABCD 中, AB=2, AD=3,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 AD 边上的一 个动点,将△ AEF 沿 EF 所在直线翻折,得到△ A′EF ,则 A′C 的长的最小值是 .
2. 两点间线段最短
例 2 如图 2, 圆柱底面半径为 2cm, 高为 9πcm , 点 , A B 分别是回柱两底面圆周上的点, 且 , A B 在同一母线上,用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3圈到 B ,求棉线长度最短 为 .
` 3. 垂线段最短
例 3 如图,在 Rt △ ABC 中,∠ B=90°, AB=6, BC=8,点 D 在 BC 上,以 AC 为对角线的所有平行四边形 ADCE 中, DE 的最小值是 ____________
?
4. 利用轴对称
例 4 如图 5,正方形 ABCD , 4
AB =, E 是 BC 的中点,点 P 是对角线 AC 上一动 点,则 PE PB
+的最小值为 .
5. 利用二次函数
例 5在边长为 2的等边三角形 ABC 中, P 是 BC 边上任意一点, 过点 P 分别作 PM ⊥ A B, PN ⊥ AC , M 、 N 分别为垂足.
(1)求证:不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM +PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高;
(2)当 BP 的长为何值时,四边形 AMPN 的面积最大,并求出最大值.
利用圆中直径是最长的弦
例 6. 如图, AB 是⊙ O 的弦, AB=6,点 C 是⊙ O 上的一个动点,且∠ ACB=45°.若点 M , N 分 别是 AB , BC 的中点,则 MN 长的最大值是 .
范文五：建立函数模型求解几何最值问题
建立函数模型求解几何最值问题
中学生数学?2011年4月上?第415期(高中)
福建省永定县城关中学(364100)童其林
立体几何主要研究空间中点,线,面之间
的位置关系,近几年全国各省市的高考题中,
与空间图形有关的线段,角,距离,面积,体积
等最值问题常常在高考试题中出现,并且成增
长趋势,其中建立函数模型是求最值问题的常
见方法,下面举例说明解决这类问题的常用函
数模型.
1.建立一次函数
例1(2008北京
卷,理8)如图1,动点P
在正方体ABCD—
ABCD的对角线
BD上.过点P作垂直
于平面BBDD的直图1
线,与正方体表面相交于
M,N.设BP—,MN—Y,则函数Y一-厂(z)的
图像大致是()
(A)(B)
(C)(D)
本题给出了变量——自变量和因变量,给
出了函数图像的选项,要求函数的图像.显然
若能求出函数解析式,问题便解出,但却不是
一
件容易的事.改变研究视角是正确的选择:
把MN向平面ABCD内作正投影,保持其长
度不变,从而把空间问题转为平面问题,在平
面内研究函数关系即可顺利完成.
解设正方体长为a,沿BC的平
行线PQ折叠,使平面APQ上平面BCQP,求
四棱锥的棱AB取得最小值时,四棱锥A一
BCQP的体积.
分析棱AB的长是由A点到PQ的距
离变化而变化,因此我们可建立棱AB与点
A到PQ的距离的一个函数关系式,
从而求出棱AB的
最小值,进而求出体积.
解如图3所示,取
PQ中点0,显然A0jn
PQ,即A0上PQ.
由平面APQJ-平面
BCQP,则A0上平面
BCQP,如图3建立直角图3
网址:ZXSS.chinajourna1.net.cn?
35?电子邮箱:zxss@chinajourna1.net.Crl
高
耄
囤
泡
?
?
寸蜜学
高
鸯
固
泡
?
o
?
中学生数学?2011年4月上?第415期(高中)
坐标系0一xyz,设A0一,因iEAABC的边
长为a,易知A(0,0,z),0(0,0,0),B
(雩n—z,一),得
===
+一(0,0,一z)+
(n,一钏)一(n,一1,z)
_?a+(一+(
r+
即当z一a时,l一a.
.
?
.
VA,--p~pQ—1?
sQ?A0
—
1×(nz一(专n))×a一
评注对于图形的翻折问题,关健是利用
翻折前后不变的数量关系和图形关系;同时还
要仔细观察翻折前后图形的性质.很多情况
下,我们都是把这类动态问题转化成目标函
数,最终利用代数方法求目标函数的最值.
3.建立三角函数P
例3如图4,已知在
?ABC中,C一90.,PA
jI平面ABC,AE上PB交
PB于E,AF’LPC于F,”
当AP—AB===2,AEF
一0,当变化时,求三棱图4
锥P—AEF体积的最大值.
分析0的变化是由AC与BC的变化引
起的,要求三棱锥P—AEF的体积,则需找到
三棱锥P—AEF的底面积和高,高为定值时,
底面积最大,则体积最大.
解...PA上平面ABC,BCc平面
ABC....PAj_BC.
又’.’BC_l_AC,PAnAC=A,
.
.
.
BCJ-平面PAC,AFC平面PAC,
.
.
.
BCAF.
又..’AF上PC,PCnBC=C,
.
‘
.
AFc二平面PBC,.’.AF上EF
.
.
.
EF是AE在平面PBC上的射影,
‘
.
.AEj-PB,
.
‘
.
EF上PB,.’.PE—L平面AEF.
在三棱锥P—AEF中,’..AP—AB一2,
AElPB.
.
.
.
PE===?,AE?,AF=,/2sin0,EF
cos0,
VF一sF.PE
===×丢×sin?c.s×=sin20,
‘
?
‘0<号’..?0<27r,0<s1’n21,
.
?
.
当O=4H~,V盯取得最大值为譬.
4.建立根式函数
例4在棱长为1的正方体ABCD—EF—
GH中,P是AF上的动点,则GP+PB的最小
值为.
解以A为坐标原
点,分别以AB,AD,AE
所在直线为32,Y,轴,
建立如图5所示的空间
直角坐标系,则B(1,0,
0),G(1,1,1).根据题意
设P(,0,),贝0Bp一
H
B
图5
(z一1,0,z),一(1,一1,一1),那么
GP+PB一?『二_二+~/二而
蕊]两,
式
可以看成z轴正半轴上一点(,0,0)到xAy平
面上两点(1,,.),(,1
,.)的距离之和,其最
,J,值.所以GP+PB的最/J,值为.
-一.c下转籼页)
网址:ZXSS.chinajourna1.net.cn?
36??电子箱:@i..-.t.
寸蜜
鸶
竞
赛
I
富
国
黪
?
中学生数学?2011年4月上?第415期(高中)
陈藏蹙酶斟证安徽省当涂县青山中学(243151)今标
题目口在AABC中,D,E分别为边AB,
AC的中点,BE与CD交于点G,AABE的外接
圆与?ACD的外接圆交于点P(P?A),AG的
延长线与?ACD的外接圆交于点L(L?A).
求证:PL?CD.
这是第一届(2010年7月)陈省身杯高中
数学奥林匹克的第1题,原证明利用三角形的
面积以及三角函数关系.本文将用纯几何方法
给出该赛题的两种别证,供读者参考.
证明1如图1,连
结PA,PC,PD,PE,PG.
则PCD一PAD
一PEB
故P,C,E,G四点
共圆,EPG一/ACG
一
APD.
于是DPG一APE.
又PDG一PAC.
因此?PDGc/~?PAE.
知PG一篇?
由点G为AABC的重心,E为AC的中点,
得GC一2DG,AC一2AE.
为PG一
.
又EPG一ACG.
因此?PEGc~ACAG,PEG=CAG=
CPL.
进而PCD一/CPL.
故PL//CD.
注此证法别开生面,浅显,简洁,直观,
明了,凸现出几何的无穷魅力和纯几何方法的
独特风采.
证明2如图1,连结PB.
则PCD一PAD一/PEG.
故P,c,E,G四点共圆,/EPG=/ACG.
由托勒密定理,知PG?EC+GE?PC—
GC?PE.
又EC一?AC,
得PG?AC+2GE?PC=2GC?PE?
由PBE===PAE一PDC,得
APCDooAPEB,一.
又点G为AABC的重心,则有CD一
3DG,BE一3GE,GC一2DG.
‘日PC——
DG——
GC
PEGE2GE’
即2GE?PC=GC?PE?
由?,?得PG?AC=GC?PE.
即等一筹.
下同证1.
参考文献
[1]第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹
克[J].中等数学,20lO.9(责审王雷)
(上接第36页)
说明利用对称求最值.如在轴上求一
M(z,0)到A(0,1),B(2,3)距离之和的最小
值.通常是将A或B关于轴对称得到A
(B),然后利用A(B),M,B(A)共线求解.
建立函数法是一种常用的求最值方法,很
多情况下,我们都是把这类动态问题转化成目
标函数,最终利用代数方法求目标函数的最
值.解题途径很多,在函数建成后,可用一次函
数的端点法;二次函数的配方法,公式法;有界
函数界值法(如三角函数等)及高阶函数的拐
点导数法等.(责审王雷)
网址:ZXSS.chinajourna1.net.cn?
34?电子邮箱:zxss@chinajourna1.net.cn
鲞
