范文一：小学到高中数学图形计算公式

小学-初中-高中数学图形计算公式 1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升

1立方米=1000升

重量单位换算

1吨=1000 千克

1千克=1000克

1千克=1公斤

人民币单位换算

1元=10角

1角=10分

1元=100分

时间单位换算

1世纪=100年 1年=12月

大月(31天) 有:1\3\5\7\8\10\12月

小月(30天) 的有:4\6\9\11月

平年 2月28天, 闰年 2月29天

平年全年365天, 闰年全年366天

1日=24小时 1小时=60分

1分=60秒 1小时=3600秒

小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式

1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2

2、正方形的周长=边长×4 C=4a

3、长方形的面积=长×宽 S=ab

4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a

5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

6、平行四边形的面积=底×高 S=ah

7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a ＋b ）h ÷2

8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2

9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr

10、圆的面积=圆周率×半径×半径

常见的初中数学公式 :

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12 两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对

的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平

分线

44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那

么交点在对称轴上

45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图

形关于这条直线对称

46 勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，

即a^2+b^2=c^2

47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那

么这个三角形是直角三角形

48 定理 四边形的内角和等于360°

49 四边形的外角和等于360°

50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°

51 推论 任意多边的外角和等于360°

52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等

53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等

54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分

56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角

61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等

62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形

63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形

64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等

65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a ×b ）÷2

67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形

68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对

角线平分一组对角

71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的

72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对

称中心平分

73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那

么这两个图形关于这一点对称

74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75 等腰梯形的两条对角线相等

76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77 对角线相等的梯形是等腰梯形

78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么

在其他直线上截得的线段也相等

79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=

（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b) ／b=(c±d) ／d

85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0), 那么(a+c+…+m)／

(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对

应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成

比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边

与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构

成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）

94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边

和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都

等于相似比

97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角

的正弦值

100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角

的正切值

101 圆是定点的距离等于定长的点的集合

102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104 同圆或等圆的半径相等

105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一

条直线

109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111 推论 1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对

的弦的弦心距相等

115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距

中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对

的弧也相等

118 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角

三角形

120 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 121 ①直线L 和⊙O 相交 d r

122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一

点的连线平分两条切线的夹角

127 圆的外切四边形的两组对边的和相等

128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的

比例中项

132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点

的两条线段长的比例中项

133 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线

段长的积相等

134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135 ①两圆外离 d ＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d r)

136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137 定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外

切正n 边形

138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139 正n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140 定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 141 正n 边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长

142 正三角形面积√3a ／4 a表示边长

143 如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k ×

(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144 弧长计算公式：L=n兀R ／180

145 扇形面积公式：S 扇形=n兀R^2／360=LR／2

146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

实用工具:常用数学公式

公式分类 公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a ≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a ≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0>

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n 项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b ）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S' 是直截面面积， L 是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

范文二：高中数学图形

篇一:高中数学图像及公式

幂函数的图形

指数函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα, cscα cosα , secαtanα, cotα

三角函数的性质

篇二:高中数学函数常用函数图形及其基本性质

常见函数性质汇总

常数函数f(x)=b (b?R)

图象及其性质:函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合(垂直于y轴)的直线

一次函数 f(x)=kx+b (k?0,b?R) |k|越大，图象越陡;|k|

b

图象及其性质:直线型图象。b=0;k0;k<0

定 义 域:R 值域:R 单调性:当k0时， 当k<

0时

奇 偶 性:当b=0时，函数f(x)为奇函数;当b?0时，函数f(x)

1

没有奇偶性;

反 函 数:有反函数。K=?1、b=0的时候 周 期

性:无

补充:一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系

2、与曲线函数的联合运用

反比例函数 f(x)=

k

(k?0，k值不相等永不相交;k越大，离坐标轴越远) x

图象及其性质:永不相交，渐趋平行;当k0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象

限;当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限; 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线; 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域:(??,0)?(0,??) 值 域:(??,0)?(0,??)

单 调 性:当k 0时;当k< 0时

奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身 周 期 性:无 补充:1、反比例函数的性质

2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——?直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值;?利用斜率，数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此)

2

3、反函数变形(如右图) f(x)=

(对比标准反比例函数，总结各项内容)

ax?b

(c?0且 d?0)

cx?d

1

二次函数

一般式:f(x)?ax2?bx?c(a?0) 顶点式:f(x)?a(x?k)?h(a?0)

两根式:f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)

2

?bx?c

图象及其性质:?图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为

?当a?0时，开口向上，有最低点 当a?0时。。。。。

?当

时，函数图象与x轴有两个交点( );当<0时，函数图象与x轴有一个交点( );当=0时，函数图象与x轴没有交点。

?f(x)?ax?bx?c(a?0)2

关系

f(x)?ax(a?0)

2

3

定 义 域:R 值 域:当a?0时，值域为( );当a?0时，值域为( )

单

调 性:当a?0时;当a?0时. 奇 偶 性:b=/?0

反 函 数:定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周 期 性:无 补充:

1、,a,的大小与和函数图象的走向2、

3、二次函数的对称问题:关于x轴对称;关于y轴对称;关于原点对称;关于(m，n)对称

4、二次函数常见入题考法:?交点 ?值域、最值、极值、单调性 ?数形结合判断图形走势(选择题)

指数函数

f(x)?a(a?0,a?1)，系数只能为1。 图象及其性质:

1、恒过(0,1)，无限靠近x轴;

x

2、f(x)?a与f(x)?()?a关于y轴对称;但均不

x

x

f(x)=a1)

1a

x?x

具有奇偶性。

4

3、在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”——靠近关系

定 义 域:R 值 域:(0,??) 单 调 性:当a?0时;当a?0时。奇 偶 性:无 反 函 数:对数函数f(x)?logax(a?0,a?1)周 期 性:无 补充:

2

1、

2、图形变换

对数函数(和指数函数互为反函数)

f(x)?logx(a?0,a?1)

f(x)=logax(a?1)

a图象及其性质:?恒过(1,0)，无限靠近y轴;

?f(x)?logax与f(x)?log1x??logax关于x轴对称;

f(x)=

ax(0?

a?1

)a

?x,1时“底大图低”;0,x,1时“底大图高”(理解记忆)

定 义 域:R值 域:(0,??) 单 调 性:当a?0时;当a?0时; 奇 偶 性:无 反 函 数:指数函数f(x)?ax

(a?0,a?1)周 期 性:无 补充:

1、

5

双钩函数

f(x)?x?

1

(变形式 x

)

图象及其性质:?两条渐近线: ?最值计算: 定 义 域:值 域:单 调 性:奇 偶 性:奇函数 反 函 数:定义域内无反函数 周 期 性:无

Zhuyi :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法

幂函数(考察时，一般不会太难)

无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

不需要背记，只要能够快速画出n=?1， ?1/2，?3,，1/3，0,的图象就行

3

篇三:高中数学图形语言

共轭直径和共轭弦

如图6-35所示，过中心的弦称

直径.如果弦EF//AB，CD过EF的

中点N，则AB和CD互为共轭直

径，EF为CD的共轭弦.

6

共轭直径有无数对，共轭直径相

互垂直时，就是长轴和短轴.

设EF:y?kx?t(k?0)带入

椭圆方程，得到关于x的一元二次方程:222222222b?akx?2aktx?at?ab?0. ??

写出中点N的坐标:

bt?a2kty?k?t?xN?2，N， xNb2?a2k2b?a2k2

求出ON的斜率:kON2yNb2???2. xNka

可以看出，ON的斜率与t无关，也就是说，所有平行于EF的弦的中点都在直径CD上.

kAB?kCDb2??2(弦倾斜角0?或90?时另行讨论) a

当a?b时，椭圆变成圆.kAB?kCD??1.

平行弦中点的轨迹

x2y2

?2?1平行弦中点的轨迹是它们的共轭直径.2ab

kAB?kCDb2??2.a

【推论1】如图6-38所示，已知

ABCD为椭圆内平行四边形(矩形除

外)，则

kAB?kBC?kA'B'?kC'D'b2??2. a

【推论2】如图6-39所示，已知AB

为椭圆直径，P为椭圆上异于A,B的

7

点(AP或BP斜率不存在时除外)，则

kAP?kBP?kB'D'?kAC''b2??2. a

【例35】已知N??

6,4.5?是椭圆

x2y2

??1的弦EF的中点，求10036

出EF所在的直线方程.

【解】只要求出EF的斜率kEF，

便可写出EF的点斜式方程，见图6-40.

?kEF?kON??364.5k?，ON，100?6

4.536?kEF???. ?6100

解得kEF?12. 25

12?x?6?， EF所在的直线方程为:y?4.5?25

即 24x?50y?369?0.

椭圆的光学性质

如图6-41所示，光线反射——入射角=反射角. x2y2

椭圆方程:2?2?1; ab

x0xy0y切线方程:2?2?1. ab

切线斜率可求，法线斜率k2可求.

计算k?k1?k2?k1，k3?k21?k3?k2，

，tan?F1PQ?tan?QPF2

?F1PQ??

8

QPF2.

如图6-42所示，一焦点发出的光线经椭圆的反射，经过另一焦点. 如图6-43所示，如果在一焦点处装一个灯泡，在另一个焦点处可获得最大的光线强度.

双曲线平行弦中点轨迹(1) 用类似求椭圆平行弦中点轨迹的方法，kEF?kON

区别～～(相差一个负号)

如图6-57所示， 当kEFb2?2.注意与椭圆时的ab?时，平行弦中点轨迹是a

两条射线，它们的连线通过双曲线的中

心;

当kEF无意义时，轨迹是实轴外侧两

射线.

双曲线平行弦中点轨迹(2) kEF?kONb2?2a

注意与椭圆时的区别～(相差一个负号) 如图6-58所示， 当kEFb?时，平行弦中点轨迹是a

一条通过双曲线中心的直线; 当kEF

交点;

当kEF?0时，平行弦中点轨迹是y轴. b?时，与双曲线至多一个a双曲线平行弦中点轨迹(3) kEF?kONb2?2a

注意:形式与它的共轭双曲线一致～ 如图6-59所示， 当kEF?b时，平行弦中点轨a

9

迹是一条通过双曲线中点的直线; 当kEF?

一个交点;

当kEF无意义时，平行弦中点轨迹是x轴. b时，与双曲线至多a

10

范文三：高中数学立体几何公式之立体图形公式

【摘要】考点内容有什么变化? 复习需要注意什么? 查字典数学网高中频道小编整理了高中数学立体几何公式之立体图形公式，希望为大家提供服务。立方图形名称 符号 面积S 和体积V1、正方体 a-边长 S=6a2 ; V=a32、长方体a-长;b-宽 ;c-高; S=2(ab+ac+bc) ; V=abc3、棱柱S-底面积;h-高;V=Sh4、棱锥 S-底面积h-高 ;V=Sh/35、棱台S1和S2-上、下底面积h-高 ;V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/36、拟柱体S1-上底面积 ;S2-下底面积 ;S0-中截面积 ;h-高V=h(S1+S2+4S0)/67、圆柱 r-底半径;h-高;C 底面周长;S 底底面积;S 侧侧面积S 表表面积C=2rS底=r2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h =r2h8、空心圆柱 R-外圆半径;r-内圆半径;h-高V=h(R2-r2)9、直圆锥r-底半径;h-高 V=r2h/310、圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=h(R2+Rr+r2)/311、球 r-半径 ;d-直径 V=4/3d2/612、球缺 h-球缺高;r-球半径;a-球缺底半径V=h(3a2+h2)/6=h2(3r-h)/3a2=h(2r-h)13、球台r1和r2-球台上、下底半径;h-高V=h[3(r12+r22)+h2]/614、圆环体R-环体半径;D-环体直径;r-环体截面半径;d-环体截面直径 V=22Rr2=2Dd2/415、桶状体D-桶腹直径;d-桶底直径;h-桶高V=h(2D2+d2)/12(母线是圆弧形, 圆心是桶的中心)V=h(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形) 查字典数学网高考频道第一时间为您发布高中数学立体几何公式之立体图形公式

范文四：高中数学图形语言

共轭直径和共轭弦

如图 6-35所示,过中心的弦称

直径 . 如果弦 //EF AB , CD 过 EF 的

中点 N ,则 AB 和 CD 互为共轭直

径, EF 为 CD 的共轭弦 .

共轭直径有无数对, 共轭直径相

互垂直时,就是长轴和短轴 .

设 EF :(0) y kx t k =+≠带入

椭 圆 方 程 , 得 到 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 :()

22222222220b a k x a ktx a t a b +++-=. 写出中点 N 的坐标:

2222

N a kt x b a k -=+, 2222N xN b t y k t b a k =+=+, 求出 ON 的斜率:22N ON N y b k x ka

==-. 可以看出, ON 的斜率与 t 无关, 也就是说, 所有平行于 EF 的弦 的中点都在直径 CD 上 .

22AB CD b k k a

?=-(弦倾斜角 0 或 90 时另行讨论) 当 a b =时,椭圆变成圆 . 1AB CD k k ?=-.

平行弦中点的轨迹

22

221x y a b

+=平 行 弦 中 点 的 轨 迹 是 它 们 的 共 轭 直 径 . 22AB CD b k k a ?=-.

【推论 1】如图 6-38所示,已知

ABCD 为椭圆内平行四边形 (矩形除

外) ,则

' ' ' ' 22AB BC A B C D b k k k k a

?=?=-. 【推论 2】 如图 6-39所示, 已知 AB

为椭圆直径, P 为椭圆上异于 , A B 的

点 (AP 或 BP 斜率不存在时除外) , 则

' ' ' ' 22AP BP B D AC b k k k k a

?=?=-. 【例 35】已知 ()6, 4.5N -

是椭圆

22

110036

x y +=的弦 EF 的中点,求 出 EF 所在的直线方程 .

【解】 只要求出 EF 的斜率 EF k ,

便可写出 EF 的点斜式方程,见图 6-40.

36100EF ON k k ?=- , 4.56

ON k =-, 4.5366100

EF k ∴?=--. 解得 1225

EF k =. EF 所在的直线方程为:()124.5625

y x -=+, 即 24503690x y -+=.

椭圆的光学性质

如图 6-41所示,光线反射——入射角 =反射角 . 椭圆方程:22

221x y a b

+=; 切线方程:00221x x y y a b

+=. 切线斜率可求,法线斜率 2k 可求 .

计 算 211k k k k -+?, 32321k k k k -+?,

12

tan tan F PQ QPF ∠=∠, 12F PQ QPF ∠=∠

.

如图 6-42所示, 一焦点发出的光线经椭圆的反射, 经过另一焦点 . 如图 6-43所示, 如果在一焦点处装一个灯泡, 在另一个焦点处可 获得最大的光线强度 .

双曲线平行弦中点轨迹(1) 用类似求椭圆平行弦中点轨迹的方法, 22EF ON

b k k a ?=. 注意与椭圆时的 区别! ! (相差一个负号)

如图 6-57所示, 当 EF b k a

>时,平行弦中点轨迹是 两条射线, 它们的连线通过双曲线的中

心;

当 EF k 无意义时, 轨迹是实轴外侧两

射线 .

22EF ON b k k a ?=

注意与椭圆时的区别! (相差一个负号)

如图 6-58所示, 当 EF b k a

<时, 平行弦中点轨迹是="" 一条通过双曲线中心的直线;="" 当="">

EF b k a

=时, 与双曲线至多一个 交点;

当 0EF k =时,平行弦中点轨迹是 y 轴 . 双曲线平行弦中点轨迹(3)

22EF ON b k k a ?=

注意:形式与它的共轭双曲线一致!

如图 6-59所示, 当 EF b k a

>时,平行弦中点轨 迹是一条通过双曲线中点的直线; 当

=

时,与双曲线至多 一个交点;

当 EF k 无意义时,平行弦中点轨迹是 x 轴 .

22EF ON b k k a ?=

注意:形式与它的共轭双曲线一致!

如图 6-60所示, 当 EF b k a

<时, 平行弦中点轨迹="">

线的中心;

当 0EF k =时,轨迹是实轴外侧两射线 .

【例 38】 已知 ()8,12N 是双曲线 22

110036

x y -=的弦 EF 的中点, 求 EF 所在的直线方程 .

【解】只要求出 EF 的斜率 EF k ,

便可写出 EF 的点斜式方程,如图

6-61所示 .

36

100EF ON k k ?= , 12

8ON k =,

12368100

EF k ∴?=. 解得 625

EF k =. EF 所在的直线方程为:()612825y x -=

-,即 6252520x y -+=.

如图 6-62所示,从一个焦点发出的,经双曲线反射的光线,犹如从 另一焦点发出的一样 .

【例 39】已知 F 是双曲线 22

1412x y -=的左焦点, ()1,4A ,

P 是双 曲线右支上的动点,则 PF PA +的最小值为 .

【解】作图如图 6-63所示 .

为了使用双曲线定义,需要构造出 2PF :

2

222222459

2PF PA PF PA PA PF PA PF PF PF PF PF a a AF +=+=++=++≥+=-++=-

最小值为 9. (如熟悉光学性质可直接得出结果)

如图 6-71所示,从焦点 F 发出,经抛物线反射的光线,平行于 对称轴 . 广泛应用于光源反光镜,如手电筒、聚光灯、探照灯等 . 如图 6-73所示,平行于对称轴,经抛物线反射的光线,聚集于焦 点 . 广泛应用于能源收集,如卫星信号接收、太阳灶、太阳能冶炼等

.

范文五：高中数学常用重要公式

高中数学常用重要公式

正弦定理a 1、 ：

sin A =b sin B =c

sin C

=2R 222

2、 余弦定理：a =b +c -2bc cos A

cos A =b 2+c 2-a 2

2bc

3、 正弦定理求三角形面积：

S 1 ABC =

2ab sin C =11

2bc sin A =2

ac sin B 4、 等差数列求和公式：

n (a +a S 1n ) n =

2或S n

=na 1+n (n -1)

2

d 5、 等比数列求和公式：

a n 1(1-q )

a S 1-a n q n =1-q

或S n =1-q (q ≠1)

a +b

6、

≤2

7、 平方和公式：

2+22+32+ +n 2

n (n +1)(2n +1)

1=

6

8、 立方和公式：

13+23+33+ +n 3=

1n 2

(n +1) 24

2

=??n (n +1) ?

2?

=(1+2+ +n ) 2

??9、 二项式定理：

(a +b ) n =C 0n 1a

n -11k n -k k

n a +C n b + +C n a b +

+C n n N*n b ,(n ∈) T C k n -k k K +1=n a b

10、离散型随机变量

X 的均值或数学期望的定义：

E (X ) =x 1p 1+x 2p 2+ +x i p i + +x n p n

11、离散型随机变量

X 方差的定义： n

D (X )

=∑(x i -E (X )) 2p i

i =1

1

15、点到直线的距离公式：

d =

16、两点间的距离公式：

p 1(x 1, y 1) ，p 2(x 2, y 2)

p 1p 2=y 2x 2

17、椭圆的标准方程：a 2+b

2=1，(a >b >0) .

长轴长为2a ，短轴长为2b .

焦距c =y 2x 2

18、双曲线的标准方程：a 2-b

2=1，(a >0, b >0) .

渐近线方程：y =±

b

a

x .

焦距c =

19、抛物线的标准方程：

y 2=2px ，(p >0) .

焦点坐标(p p 2,0) ，准线方程x =-2

.

20、平面向量的数量积：

a ?b =

a b cos θ

cos θ=

a ?b

a b =

21、圆的面积公式：S =πr 2 圆的周长公式：L

=2πr

222、圆柱体表面积公式：S =2πr +2πrl =2πr (r +l ) 23、圆锥的表面积公式：S =πr 2+πrl =πr (r +l ) 24、圆台的表面积公式：S =π(r '2+r 2+r 'l +rl )

25、一般柱体的体积：V =Sh （底面积×高）

1

26、锥体的体积：V =

3

Sh 27、圆台（棱台）的体积:

V =13

(S 'S ') h 28、球的体积：

V =43

πR 3

2

29、球的表面积：S =4πR

35、弧长公式与扇形的面积公式：

设扇形的半径为R , 弧长l ，面积为S , 圆心角为α. 则 30、三角恒等变换公式：

sin(α+k ?2π) =sin α1, cos(α+k ?2π) =cos α l =R α，S =

2lR =1

2

R 2 tan(α+k ?2π) =tan α (k ∈Z)

sin(π+α) =-sin α,cos(π+α) =-cos α

tan(π+α) =tan α

sin(-α) =-sin α,cos(-α) =cos αtan(-α) =-tan α

sin(π-α) =sin α,cos(π-α) =-cos αtan(π-α) =-tan α

sin ? π?2-α???=cos α,cos ? π?

?2-α??=sin αsin ? π?2+α???=cos α,cos ? π?

?2+α??=-sin αcos(α β) =cos α?cos β±sin α?sin β sin(α±β) =sin α?cos β±cos α?sin β

tan(α±β) =

tan α±tan β

1 tan α?tan β

31、三角形函数二倍角公式： sin 2α=2sin αcos α

cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2α

α tan 2α=

2tan 1-tan 2α

32、万能公式：

2tan

α

1-tan 2

α sin

α=

1+tan

2

cos

α=

1+tan

2

2

2

33、化同名角公式：

a sin α+b cos αα+?) ，

其中tan ?=

b

a

. 34、立方和与立方差公式：

a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)

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