风峰锋烽疯
范文一：线性模型
硕士生《SPSS 统计分析》课程教学用资料
第十六章 征服一般线性模型 ――General Linear Model 菜单详解（上）
在我看来，学习统计软件时不去了解所用统计原理和模型，就像是学 英语时只背单词而不记语法一样，是永远不可能说出一口流利的英文的。 ――张文彤
请注意，本章的标题用了一些修辞手法，一般线性模型可不是三言两语就能说清楚 的，因为它包括的内容实在太多了。那么，究竟什么是一般线性模型呢？用最通俗的话 讲：方差分析模型和线性回归模型都是分析一个/多个自变量对一个/多个连续性应变量的 影响，并且都假设应变量和自变量是线性数量关系，因此他们都算是一般线性模型的特 例，凡是和他们沾边的都可以用 GLM 来做。包括成组设计的方差分析（即单因素方差 分析）、配伍设计的方差分析（即两因素方差分析）、多因素方差分析、多元方差分 析、重复测量的方差分析、协方差分析、多元线性回归分析等等。因此，能真正掌握 GLM 菜单的用法，会使大家的统计分析能力有极大地提高。 什么？GLM 还可以完成线性回归分析！是的，它的确可以。只不过他作回归 分析的功能没有专用的回归分析模块强，所以该功能较少被用到。 有些书中将 General Linear Models 翻译成广义线性模型，实际上 GLM 模块的功 能只限于一般线性模型。广义线性模型对应的英文是 Generalized Liner Models，指的是 范围更广、功能更强大的另一大类模型，在 SPSS 中可以编程拟合，但并非 GLM 菜单提 供的对话框就可以完成的，在本书的最后一章中对其有基本的介绍。 好了，本章要讲述的菜单名为 General Linear Model，既然一般线性模型的能力如此 强大，那么下属的四个过程各自的功能是什么呢？请看： Univariate 过程：四个菜单中的大哥大，当应变量只有一个时，我们所进行的分 析就要用它来完成。显然，它是用的最多的一个。 Multivariate 过程：当结果变量（应变量）不止一个时，当然要用他来分析啦！ Repeated Measures 过程：顾名思义，重复测量的数据就要用它来分析，这一点 可能要强调一下，用前两个菜单似乎都可以分析出来结果，但在许多情况下该 结果是不正确的。在相应章节我会详细讲述。 Variance Components 过程：用于对层次数据拟合方差成份模型，它是普通线性 模型向随机效应的进一步扩展，是一种可以考察各个层次因素的变异大小，从 而为哪些层次上可能存在组内聚集性、如何可能减小数据变异提供信息的统计 方法，也就是现在非常热门的多水平模型的最原始形式。 由于 Univariate 过程是最常用的一个过程，本章我们就围绕它来进行讲解，另外三 个过程将放在下一章学习。
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第四部分
一般线性与混合线性模型
§16.1
方差分析模型简介
现实世界中变量间的联系是错综复杂的，比如要研究性别对身高的影响，显然就要 考虑到年龄、遗传、营养状况等因素的作用。这时 t 检验作为单因素分析方法就无能为 力了，而方差分析可以在控制其他因素影响的同时研究两者之间的关系，分析的效率更 高，适用范围更广。 同时，许多时候各自变量之间还会存在交互作用，如研究催化剂对化学反应的催化 能力，如果该催化剂只在某个温度范围内效果最佳，则只单独研究该催化剂的催化作用 是没有实际意义的，此时这种交互作用也成为了我们研究的重点，即必须要研究在什么 温度条件下该催化剂的催化能力最佳。对交互作用的分析也是方差分析模型的特长。
16.1.1
模型入门
在均数的比较一章中我们实际上已经接触到了方差分析的基本思想，这里首先来复 习一下单因素方差分析中变异的分解公式： 总变异=处理因素导致的变异+随机变异 实际上，该公式只是为了便于大家理解，标准的单因素方差分析模型如下：
X ij = μ + α i + ε ij
其中 Xij 表示第 i 组的第 j 个观察值；μ表示总体的平均水平；αi 表示影响因素在 i 水平下对应变量的附加效应，并假设所有αi 之和应当为 0；εij 为一个服从正态分布 N(0, σ2)的随机变量，代表随机误差。一般情况下，我们做假设检验实际上就是检验各个αi 是否均为 0，如都为 0，即各组总体均数都相等，则 Xij 就会成为服从正态分布 N(μ,σ2) 的一个变量。 有的时候以上模型也被写为 X ij =
μ i + ε ij ，此时检验的含义就变成了各组均数
μi 是否相同。显然，他和上面的公式是等价的，但这种写法应当更加容易理解。比如在 上一章中我们比较三组石棉矿工的用力肺活量有无差别，那么石棉肺患者组中某一位观 察对象的用力肺活量数值就等于石棉肺患者组的平均水平再加上一个随机误差项。而如 果三组总体均数相同，则它就应当等于总体均数（平均水平）再加上一个随机误差项， 实际上就变成了同一个变量分布中的某一点。 多因素方差分析模型只是对以上公式的进一步扩展，以两因素方差分析模型为例， 公式如下：
X ijk = μ + α i + β j + ε ijk
其中αi、βj 分别表示 A 因素 i 水平和 B 因素 j 水平的附加效应，εijk 仍为随机误差 变量。此时如果要说明因素 A 有无影响，就是检验如下假设： H0：αi＝0，H1：至少有一个αi≠0 如果要说明因素 B 有无影响，就是检验如下假设： H0：βi＝0，H1：至少有一个βi≠0
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而所说的模型无显著性就是指上面两个 H0 同时成立（均不能被拒绝）。 更为复杂的是如考虑交互作用的情形，模型如下：
X ijk = μ + α i + β j + α i β j + ε ijk
其中αi、βj 分别表示 A 因素 i 水平和 B 因素 j 水平的附加效应。αiβj 则为两者的 交互效应。 可能有的朋友已经看得头痛了，但无论怎样，只要记住方差分析的原理即可：根据 资料类型以及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部分，除一部分代表随机误差的 作用外，每个部分的变异可由某因素的作用（或交互作用）来解释，通过比较可能由某 因素所致的变异与随机误差的大小，借助 F 分布做出推断，即可了解该因素对结果变量 的影响是否存在。
16.1.2
常用术语
方差分析中的常用术语有： 1．因素（Factor）：因素是可能对应变量有影响的变量，一般来说，因素会有不止 一个水平，而分析的目的就是考察或比较各个水平对应变量的影响是否相同。例如影响 农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等。在方差分析中，因素的取值范围不能 无限，只能有若干个水平，即应当为分类变量。 2．水平（Level）：因素的不同取值等级称作水平，例如性别有男、女两个水平。 需要注意的是有时候水平是人为划分出来的，比如身高被分为高、中、低三个水平。 3．单元（Cell）：指各因素水平之间的组合，我们所说的方差齐就是指的各个单元 间的方差齐。注意有的试验设计并不会给出所有可能的水平组合，如拉丁方设计。 4．元素（Element）：指用于测量应变量值的最小单位，比如研究石棉矿工用力肺 活量，则肺活量是从每一位矿工身上测得，矿工就是试验的元素。一个单元格内可以有 多个元素，也可以只有一个，甚至于没有元素。 5．均衡（Balance）：如果一个实验设计中任一因素各水平在所有单元格中出现的 次数相同，且每个单元格内的元素数相同，则该试验是均衡的，否则，就被称为不均 衡。不均衡的实验设计在分析时较为复杂。 6．固定因素（Fixed Factor）与随机因素（Random Factor）：两者都是因素的不同 种类，固定因素指的是该因素在样本中所有可能的水平都出现了。换言之，该因素的所 有可能水平仅此几种，针对该因素而言，从样本的分析结果中就可以得知所有水平的状 况，无需进行外推。比如要研究糖尿病、IGT（糖耐量异常）和正常人的血糖有无差 别，则按照糖尿病有无可将所有人分为糖尿病、IGT 和正常人三种，此时该因素就被认 为是固定因素。另外，有些人为设定的因素，比如下面引例中的 group，他被分为工前、 工中、工后这三个值，如果我们所做的检验就是想弄清楚这三个水平对应变量有无影 响，不需要外推到其他水平（如工后半小时），则它也可以被认为是固定因素。 和固定因素相对应的是随机因素，他指的是该因素所有可能的取值在样本中没有都 出现，或不可能都出现。如下面引例中的 worker，它表示的是工人这个配伍因素，实际 上总体中当然不可能只有这 10 个工人，他们只是所有工人的代表而已。因此要用样本中
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第四部分
一般线性与混合线性模型
10 个工人对应变量的影响情况来推论总体中全体工人对应变量的影响情况，包括未出现 的那些工人，这不可避免的存在误差（即随机效应），需要估计该误差的大小，因此被 称为随机因素。又如我们要研究什么温度下催化剂的效果最好，样本中取了 30、40、50 ℃三个水平，如果我们希望在分析结果中能同时外推 35℃、45℃这些水平的情况，此时 温度也是随机因素。 一般来说固定因素和随机因素在分析时应分别指定，如果将随机因素按固定因素来 分析，则可能得出错误的分析结果。但是如果所有单元格内都至多只有一个元素，则随 机效应无法被估计出来，此时两种做法的统计分析结论完全相同。 7．交互作用（Interaction）：如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明 显不同，则称为两因素间存在交互作用。当存在交互作用时，单纯研究某个因素的作用 是没有意义的，必须分另一个因素的不同水平研究该因素的作用大小。 如果所有单元格内都至多只有一个元素，则交互作用无法测量，只能不予考虑，最 典型的例子就是配伍设计的方差分析。
16.1.3
方差分析模型的适用条件
方差分析并不是万金油，他也有自己的适用条件（以 H0 假设成立为前提），具体说 有以下几点： 各样本的独立性：只有各样本为相互独立的随机样本，才能保证变异的可加性 （可分解性）。 正态性：即所有观察值系从正态总体中抽样得出。 方差齐：这里所说的方差齐是指假设总的模型无意义时方差齐，亦即每一个单 元格中的方差齐。 道理大家其实都懂，但做起来就不一定都明白了，为什么多因素方差分析一般都不 提这些条件呢？首先在以上条件中，对独立性的要求是最严的，但他一般都可以保证。 其次为正态性和方差齐性，具体来说就是： 单因素方差分析：适用条件是必须要考虑的问题，尤其是正态性和方差齐性一 般都需要进行考察。 配伍设计的方差分析：不考虑这两个问题，这是由于正态性和方差齐性的考察 是以单元格为基本单位的，此时每个格子中只有一个元素，当然没法分析了！ 不止是配伍设计的方差分析，只要是无重复数据的方差分析，如交叉设计、正 交设计等，都不考虑这两个问题。 有重复数据的多因素方差分析：由于方差齐性的考察是以单元格为基本单位， 此时单元格数目众多，真正分到每个格子中的样本例数一般都只有 3~5 例，此 时很难检验出差别；或者出现另一种极端情况，因为极个别格子方差不齐而导 致检验不能通过，这种情况实际上对分析结果影响并不太严重。因此在多因素 方差分析中，方差齐性往往只限于理论探讨的程度。真正在应用时，只要数据 分布不是明显偏态，不存在极端值即可，这两种情况对结果的影响要比方差不 齐严重得多。
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根据 Box 的研究结果，如果各组的例数相同（即均衡），或总体呈正态分布， 则方差分析模型对方差略微不齐有一定的耐受性，只要最大／最小方差之比小于 3，分 析结果都是稳定的。 在实际操作中，对数据正态性的考察有一个办法，就是拟合完毕后作出残差分 布图，如果残差呈随机分布，则可知（单元格内）原始数据满足正态条件。
§16.2
Univariate 过程入门
如前所述，Univariate 过程是最为常用的一个过程，几乎所有的实验设计都可以利用 它来进行分析，它也是后面三个过程的基础。下面，我们就以配伍组设计的方差分析为 例来看一下该过程的用法。
16.2.1
引例
例 16.1 某厂医务室测定了 10 名氟作业工人工前、工中及工后 4 小时的尿氟浓度 （μmol/L），结果见表 5.4。问氟作业工人在这三个不同时间的尿氟浓度有无差别？ （杨树勤，《卫生统计学》第三版 P46）
工人编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 工前 90.53 88.43 47.37 175.80 100.01 46.32 73.69 105.27 86.32 60.01 工中 142.12 163.17 63.16 166.33 144.75 126.33 138.96 126.33 121.06 73.69 工后 87.38 65.27 68.43 210.54 194.75 65.27 200.02 100.01 105.27 58.95
图 16.1
数据格式示意
解：显然，该数据的特点和以前学习过的配对数据非常相似，也属于同一受试对 象不同处理间的比较。但是，这里的处理组成为了三组（工前、工中和工后），如果采 用两两求出差值的方法来做配对 t 检验，显然会犯和多个均数比较时用两两 t 检验一样的 错误，会扩大一类错误。这里我们应采用两因素的方差分析方法来分析。 根据统计分析的要求，我们建立了三个变量来包括上述信息，time 表示测定时间为 工前、工中或工后，worker 代表区组，weight 表示最终的体重增量，如右上图所示。建 好的数据集存为文件 twoway.sav。 由于在配伍设计的数据中，每个格子中只有一个元素（无重复数据），因此交互作 用和方差齐性都无法检验，下面只分析主效应即可。 Analyze General Lineal Model Univariate Dependent List 框：fu Fixed Factor 框：group、worker Model： 要分析的应变量为 fu 固定效应变量为 group、worker
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第四部分
一般线性与混合线性模型
Custom Build Terms 下拉列表：Main effects Model 框：group、worker Continue Post Hoc： Post Hoc Test For 框：group S-N-K Continue OK
要求自定义方差分析模型 模型中准备纳入主效应 模型中只纳入主效应 group、worker
要求对 group 作两两比较 具体的两两比较方法为 SNK 法
这里 worker 本应被选入随机因素框，此处将其也选入固定因素框是为了让输 出结果和原书结果一致，同时也是基于下面的事实：在无重复数据的多因素方差分析 中，随机效应无法被估计出来，两种做法在统计分析结论上完全相同。
16.2.2
界面说明
图 16.2
主对话框
【主对话框】 1．Dependent Variable 框：选入需要分析的变量（应变量），只能选入一个。 2．Fixed Factors 框：选入自变量中的固定因素，对固定因素和随机因素的解释请参 见前面的“常用术语”。 3．Random Factors 框：用于选入自变量中的随机因素变量，如果你看完前面的解释 后还弄不明白，假装没看见这个框框就是了。 4．Covariate 框：用于选入协变量，所谓协变量就是指一些与应变量、自变量可能都 有关系的连续性变量，他们的存在可能会影响分析结果的正确性，从而不得不在分析中 加以控制。这种控制了协变量的分析被称为协方差分析，后面有专门的一节介绍。 5．WLS Weight 框：即用于选入加权最小二乘法的权重系数。别理他，根据我的理 解，只有统计分析的变态狂才会想起来用他（如有雷同，纯属巧合）！
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图 16.3
Model 子对话框
图 16.4
Contrast 子对话框
【Model 子对话框】 该对话框是方差分析中最让初学者头痛和不理解的部分，往往做不出结果时毛病就 在这里！好，现在让我们一起来看看。 1．Specify Model 组：用于对所用方差分析模型进行精确设定，可以规定模型中存 在哪些主效应和交互效应。模型的默认情况为 Full factorial，即分析所有分类自变量的主 效应和交互作用。这一般来说都用不着（从实用角度讲，三阶以上的交互作用都可以忽 略），而且往往会导致模型无法拟合出结果来。比如此处的配伍设计的方差分析，由于 每个格子中只有一个数值，不可能分析交互作用。强行分析的话会使得模型无法估计随 机误差，从而无法进行检验。所以要改一下：将按钮切换到右侧的 custom，这时中部的 Build Term 下拉列表框就变黑可用，该框用于选择进入模型的因素交互作用级别，即是 分析主效应、两阶交互、三阶交互、还是全部分析。这里我们只能分析主效应：选择 main，再用黑色箭头将 group 和 worker 选入右侧的 model 框中。 2．Sum of squares 下拉列表框：用于选择方差分析模型进行变异分解的方法，有Ⅰ 型到Ⅳ型四种，如果你搞不清他们之间的区别，使用默认的Ⅲ型即可。 这里涉及到的统计理论实在太深，不过你要是真的敢看，我就敢讲。 Ⅰ型：分层处理平方和的方法，研究者往往已对因素的影响大小有了主次之分，该 方法按因素引入模型的顺序依次对每项进行调整，因此，它的计算结果与因子的前后顺 序密切相关。应当将最重要的因素放在前面，然后按二阶交互、三阶交互的顺序依次指 定。该分解方法适用于平衡的模型和嵌套模型。 Ⅱ型：对其他所有效应均进行调整。它的计算会抑制其他参数的估计，所以不适用 于有交互作用的方差分析以及嵌套模型。该分解方法适用范围较小，为完全平衡的设 计、只牵涉主效应的设计以及纯粹的回归分析。 Ⅲ型：是系统默认的处理方法，对其他所有效应进行调整，但其计算方法也适用于 不平衡的设计。适用于Ⅰ型、Ⅱ型所列范围以及无缺失单元格的不平衡模型。对于含缺 失单元格的不平衡设计，则应当使用下面的Ⅳ型。
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第四部分
一般线性与混合线性模型
Ⅳ型：专门针对含有缺失单元格的数据而设计，他对任何效应计算平方和，如果效 应存在嵌套，则只对效应的较高水平效应作对比。可用于Ⅰ型、Ⅱ型所列模型，但更主 要的是用于含缺失单元格的不平衡设计。 综上，除非很特殊的情况下必须要用到Ⅳ型，一般使用Ⅲ型分解方法即可。 3． Include intercept in model：用于选择是否在模型中包括截距（即模型中的常数 项μ），不用改动，默认即可。 【Contrast 子对话框】 用于对精细趋势检验和精确两两比较的选项进行定义。该对话框在这里比单因素方 差分析的时候还要专业，使用频率也更少。 1．Factors 框：用于选择需要定义比较方法的因素。 2．Change Contrast 框组：用于对比较方法进行定义。 Contrast 子对话框的实质是进行哑变量的精细设置，出于控制难度循序渐进， 使大家能逐步掌握的目的，这里我只对比较方法作一简单介绍，在 Logistic 模型和 Cox 比例风险模型中会更加深入的探讨该问题，请大家参阅相应章节。 【Plots 子对话框】 用于指定用模型的某些参数作图。 1．Factors 框：可用于作图的变量列表。 2．Horizontal Axis 框：做出选入该框中的因素的不同水平均数的曲线。 3．Separate Lines 框：按该框中因素的不同水平在同一张图中分层做出均数曲线。 4．Separate Plots 框：按该框中因素的不同水平分不同的图作均数曲线。 5．Plots 按钮组：该栏中有三个按钮：Add、Change 和 Remove。分别用于将上面的 选择加入、更改和移出下方的绘图定义框。
图 16.5
Plots 子对话框
图 16.6
Post Hoc 子对话框
【Post Hoc 子对话框】 该两两比较对话框和第 7 章单因素方差分析中的实际上一模一样，不再重复。
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【Save 子对话框】 将模型拟合时产生的中间结果或参数保存为新变量供继续分析时用。 1．Predicted Values 复选框组：有标准化预测值、权重预测值以及预测值的标准误。 其中权重的预测值只有在主对话框中选择了加权最小二乘变量（WLS）时才可用。 2．Diagnostics 复选框组：有 Cook’s 距离和非中心化杠杆值。 3．Residuals 复选框组：有未标化、权重、标准化、史氏和剔除残差，其中史氏残差 指的是将残差进行 t 变换，亦称学生化残差；剔除残差则是去掉当前记录时，当前模型 对该记录应变量的预测值对应变量观测值的残差；权重的残差只有在主对话框中选择了 权重最小二乘变量（WLS）时才可用。 4．Save to New File 组：选择一个新数据文件用于保存参数拟合的协方差矩阵。 以上预测值、诊断指标和残差等的详细解释请参见线性回归部分。 【Options 子对话框】 当然是定义选项啦！ 1．Estimated Marginal Means 组：用于定义输出哪些指标的估计均数、并选择所用的 两两比较方法。 Factors and Factor Interactions 框：可用的因素及交互作用列表。 Display Means for 框：选入需要估计均数的因素和交互作用。 Compare main Effects：选中上方框内的因素或交互作用名称时才可用，要求进 行均数间的多重比较。 Confidence interval adjustment 下拉列表：选中上方的多重比较复选框时才可 用，用于定义具体的比较方法，共有 LSD(none)、Bonferroni 和 Sidak 三种方 法，他们在实质上和 Post Hoc 子对话框中的同名方法是一样的。
图 16.7
Save 子对话框
图 16.8
Options 子对话框
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第四部分
一般线性与混合线性模型
2．Display 复选框组：其他一些常用的、非常重要的输出指标，使用者往往会忽视 里面的功能－－其实这是个金矿。 Descriptive Statistics：输出常用描述统计量。 Estimates of effects size：对模型和各因素计算偏 eta 平方，它用于表示由该因素 所导致的变异占应变量总变异的比例，其实在前面各章中我们已经见过这个指 标了。 Observed power：为模型和所有因素／交互项的检验计算检验效能，通过该数值 我们可以得知试验设计的样本量是否充足，以及接近检验水准的因素有无必要 继续研究。这是一个常被人忽视的选项。 Parameter estimates：为所有因素各水平估计参数，等价于直接对各因素转换为 哑变量使用多元线性回归拟合时计算出的系数值。 Contrast coefficient matrix：列出计算系数时采用的变换矩阵（L 矩阵）。 Homogeneity：进行方差齐性检验。 Spread vs. level plot：绘出所有单元格的分布－－水平图（该图的详情请参见 Explore 过程的相应内容）。 Residuals plot：绘制预测值、实测值与残差三者间两两散点图。这也是一个非 常有用的功能，对检查模型拟合效果非常有帮助。 Lack of fit：检查模型是否充分描述了应／自变量间的关系。如果无效假设被拒 绝，则说明现有模型尚不能充分刻画应／自变量间的关系，可能还有交互作用 未被发现，或尚有其他因素需要被引入模型。怎么样，这个选项非常有用吧。 但是它的计算需要有一个或多个自变量的重复观测值。 General estimable function：列出模型的设计矩阵。 再多解释一下 Lack of fit，他指的是自变量为随机因素变量，在重复测量时会 有改变。如果变动太大，则无效假设会被拒绝，这说明现在的样本数据还不稳定，需要 增大样本量以补充信息。 3．Significance Level 框：用于定义多重比较时采用的显著水平，默认值为 0.05。
16.2.3
结果解释
Univariate Analysis of Variance
Between-Subjects Factors
测定时间 1.00 Value Label N 工前 10 2.00 工中 10 3.00 工后 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1.00 2.00 3.00 4.00 区组因素 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
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硕士生《SPSS 统计分析》课程教学用资料
这是一个所分析因素的取值情况列表，没有什么不好懂的。这里为了节省空间，我 们将输出表格进行了转置。可见测定时间共分为三个水平，各有 10 次测量；区组因素共 有 10 个水平，各有三次测量。
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: 尿氟浓度 Source Corrected Model Intercept GROUP WORKER Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 47895.877a 362019.463 8182.893 39712.984 17365.561 427280.901 65261.438 df 11 1 2 9 18 30 29 Mean Square 4354.171 362019.463 4091.447 4412.554 964.753 F 4.513 375.246 4.241 4.574 Sig. .002 .000 .031 .003
a. R Squared = .734 (Adjusted R Squared = .571)
现在大家看到的是一个典型的方差分析表，只不过是两因素的而已，我来解释一 下： 1．首先是所用方差分析模型的检验，F 值为 4.513，P=0.02，因此所用的模型有统 计学意义，可以用它来继续判断模型中系数有无统计学意义； 2．第二行是截距，它在我们的分析中没有实际意义，忽略即可； 3．第三行是变量 GROUP，可见 P=0.031，它也有统计学意义； 4．第四行是配伍因素 worker，它的 P 值为 0.003，也有统计学意义。 因此我们的结论是可以认为氟作业工人工前、工中及工后三个时间的尿氟浓度有差 别，但具体是哪两个或几个间存在差别，还需要用后面的两两比较来回答。 上表的标题内容翻译如下：
变异来源 校正的模型 截距 GROUP WORKER 误差 合计 校正的合计 III 型方差 SS 自由度 47895.877 11 362019.463 1 8182.893 2 39712.984 9 17365.561 18 427280.901 30 65261.438 29 均方 MS 统计量 F 4354.171 4.513 362019.463 375.246 4091.447 4.241 4412.554 4.574 964.753 P值 .002 .000 .031 .003
Post Hoc Tests 测定时间
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第四部分
一般线性与混合线性模型
Homogeneous Subsets
尿氟浓度
Student-Newman-Keuls
a,b
Subset
测定时间 工前 工后 工中
Sig.
N 10 10 10
1 87.375 115.589
2 115.589 126.590 .057 .439
Means for groups in homogeneous subsets are displayed. Based on Type III Sum of Squares The error term is Mean Square(Error) = 964.753.
a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 10.000. b. Alpha = .05.
现在是两两比较的结果，方法为 SNK 法，从中可见工前和工中的尿氟浓度是有差异 的，其余两两无差异。
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范文二：动态模型
动态系统及控制讲义
Mohammed Dahleh Munther A. Dahleh George Verghese
电气工程与计算机科学系
麻省理工学院 1
1
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第6章 动态模型
6.1 引言：信号，系统和模型
一个系统可以被看作是对一组变量施加约束，或者是加强变量间的联系。这种把系统看作约束的观点非常具有一般性，并且很有用。然而更为有用和普遍的观点，不是看施加了多少约束，而是把系统看成从一组输入变量到一组输出变量的一个映射；在这里，映射显然是限制的一种更精确的形式。
一个（行为）模型列出我们感兴趣的变量（“外部”变量）以及它们必须满足的条件。任何满足约束条件的变量组合都是可能的，这叫做模型的行为。
为了使约束更加简洁明了，我们可以引入辅助（“内部”）变量。这样，我们就可以把系统的外部行为、内部行为和所有行为（外部和内部行为）加以区分。
对于一个动态模型，上面提到的“变量”指的是信号，这些信号是时间的函数（或者是其它独立变量的函数，例如空间上的）。我们首先需要指定时间轴Τ（离散，连续，无限，半无限等）和一个信号空间W ，即信号在每个时刻的取值空间。对于一组信号{ωi (i ) }来说，一个动态模型列出所有ωi (i ) 需满足的约束条件。任何满足约束条件的信号组合
ω(t ) =[ω1(t ), ???, ωA (t ) ]称做模型的一个行为，用ω(t ) ∈Β来表示，这里Β表示行为。
我们现在来举几个动态模型的例子，看一看各种可能的模型表现形式。 例6.1（电路模型）
在上图中，假设当t ≥0时，我们感兴趣的信号（变量）―外部信号―为ω1(t ) 、ω2(t ) 和
ω3(t ) ，因此信号空间w 为
，时间轴Τ
为
（也就是时间间隔为[0, ∞]）。选择其
他所有电压和电流参数作为内部信号，我们可以写出定义模型的约束形式：
2个基尔霍夫电压定律（KVL ）方程 ??
2个基尔霍夫电流定律（KCL ）方程 ??元素的4个定义方程 ?
任何外部和内部信号只要同时满足上面所述的约束条件都可以组成一个行为，模型的行为Β是满足所有这些解的一个空间。
很明显，同样的行为也可以等价地由外部变量写成的模型进行描述，在上面等式中通过消去所有其它变量，则可以得到：
可以对方程进一步进行简化，消去其中一个变量，可以将其简化成一个单变量二阶差分方程。
例6.2（质量－弹簧系统）
一个质量块M 在水平的光滑平板上运动，它的一端固定在一个弹性系数为Κ的线性弹簧上。一个水平力u(t)作用在质量块上。假设变量Ζ表示弹簧相对于其原长度的变化。则根据牛顿定律，我们可以得到以下模型：
图6.1 质量弹簧系统
例6.3（倒立摆）
质量为M 的平板小车在水平力u (t ) 的作用下，在光滑的水平平板上运动。在小车上通过一个支起的无摩擦铰链悬挂一个质量为m 的倒立摆，见图28.1。倒立摆的质心离两端的距离为l ，倒立摆关于质心的转动惯量为I 。倒立摆的支点到参考点的距离为S (t ) 。倒立摆与垂直线的角度记为θ(t ) 。小车施加给倒立摆底部垂直方向的力记为P ，水平方向的力记为N ，我们所关心的是对（外部）变量u (t ) ，S (t ) ，θ(t ) 的约束。 首先，根据小车的受力图，写出其运动方程。垂直力P 、R 和Mg 互相抵消，对于水平方向的力，我们得到下面的方程：
从倒立摆的受力分析图，在水平方向根据力平衡，我们可以得到以下方程：
在垂直方向根据力平衡，我们可以得到以下方程：
从方程（28.16）和（28.17），我们可以消掉N ，从而得到：
根据质心周围的力矩平衡关系，我们可以得到方程：
图6.2 倒立摆
将式（28.17）和（28.18）代入（28.19）得到：
化简上式可以得到方程：
式(28.20)和(28.21)就是组成我们的系统模型的方程。我们还可以将(28.20)
中的
和
(28.21)中的消去，从而得到一个更加简洁的方程。定义常数：
联立方程(28.21)和(28.20)
，消去
得到：
同理，联立方程(28.21)和(28.20)，消去得到：
例6．4（食物链系统）
前面的例子是基于物理系统的，还有许多基于行为模式假设的动态系统。举一个经典的例子，假设一个小岛上主要有山羊和狐狸两种动物，山羊靠岛上的植被得以生存，而狐狸则依靠吃山羊继续生存。
为了建立一个关于这两种互相影响动物的数量增长模型，做如下定义：
N 1(t ) = 在时间t 时的山羊数量 (6.11)
N 2(t ) = 在时间t 时的狐狸数量 (6.12)
在此，t 指的是以几个月为单位的离散时间变量，得到下面的模型表达式：
N 1(t +1) =aN 1(t ) ?bN 1(t ) N 2(t ) (6.13)
N 2(t +1) =cN 2(t ) +dN 1(t ) N 2(t ) (6.14)
常数a 、b 、c 和d 均大于零，并且a>1，c<1。如果岛上没有山羊，则n 1(0)="0，根据该模型，狐狸的数量则会呈现几何减少（也就是离散时间指数）。如果岛上没有狐狸，则山羊的数量则会呈现几何增长（假设岛上有无数的植被、水和空间）。另一方面，如果岛上两种物种并存的情况下，则两者相遇的频率决定了羊被吃掉而狼获得美味的速率，而两者相遇的频率和N" 1n="" 2的乘积成正比。因此一个可能的问题将摆在面前：哪些行为特性和这样的模型相关联？并且根据这样的模型能够预测到什么内容？常数a="" ,b="" ,c="" ,d="">
例6．5（ 图像底片的拖尾效应 ）
考虑一个描述二维物体和它在照相机底片上图像关系的模型。因为孔径狭小，镜头不理想和调焦的错误，物体表面的某一个单位在底片产生的图像上出现污点，用单位脉冲函
数δ(x , y ) 表示。光线在图像上强度可以用函数h (x , y ) 表示，其中
，例如函数
h (x , y ) =
e ?a (x
2
+y 2)
。一个物体可以看成空间单独分布的一个点的重叠，即：
假设镜头的作用是线性和不变化的，这样一个物体其图像可以用下面的强度函数给出：
我们可以将u 看成是系统的输入量，而将m 看成是系统的输出量。
6.2 系统表示
关于动态模型，有两种普遍的表示方法，一种叫做行为法，一种叫做输入-输出表示法。
6 .2 .1行为模型
这是一种很常见的表示法，我们将它视为一个动态模型原始定义的基础。在这种表示法中，系统被看作是指定信号w i 约束条件的一个集合。任何满足约束条件的信号集合
ω(t ) =[ω1(t ), ???, ωA (t ) ]称为模型的一个行为，其中ω(t ) ∈Β，B 表示这个行为。例6.1就
是关于行为法表示的一个例子。
线性
如果一个模型的行为组成一个向量空间，则称该模型为线性模型，也就是说满足如下叠加原理：
其中，α, β为任意的标量。例6.1就是一个明显的线性模型。
时不变
对所有有效的τ，即满足Τ?τ?Τ的τ，如果一个行为任何可能的时移都服从式（6.16）所描述的行为—在此移位中，每个信号都具有相同的位移—则称此模型为时不变的（或转换不变的，或移位不变的）：
ω(t ) ∈Β?στω(t ) =ω(t ?τ) ∈Β, (6.16)
在上式中，στ表示τ移位算子。例6.1就是明显的时不变模型。
无记忆模型
如果描述相关信号ω(?) 的约束条件纯粹是代数的，也就是说，对每一个t 0∈Τ约束只和
ω(t 0) 有关（而不包含积分和微分等等），把这样的模型叫做无记忆模型。我们比较感兴趣
的是有记忆系统，或者动态系统，在这些系统中，约束和信号在不同时间上的值都有关系。
6.2.2 输入-输出模型
对于这类模型来说，系统被看作从一组输入信号u (t ) 到一组输出信号y (t ) 的一个映射。我们把这种映射关系表示为：
y (t ) =(S u )(t ) (6.17)
（也就是，映射S 通过作用到完整信号u (?) 上得到信号y (?) ，在时刻t ，输出的精确值如上所述）。上述映射清楚的表示u (t ) 和y (t ) 组成的约束；这可以通过用下面的形式重写等式来强调：
y (t ) ?(S u )(t ) =0 (6.18)
从这几个例子中可以看出，线性、时不变和无记忆系统简化了映射。一个这种形式的表示法的例子就是例6.5。
线性和时不变
从行为的观点看，我们感兴趣的信号由ω(t ) =?根据前面对行为模型的讨论，?u (t ) y (t ) ]给定。可知当且仅当下面等式成立时，模型是线性：
(S (αu a +βu b ) )(t ) =αy a (t ) +βy b (t ) =α(S u a )(t ) +β(S u b )(t ) （6.19）
当且仅当下式成立时，模型是时不变的：
(S στu )(t ) =(στy )(t ) =y (t ?τ) ， (6.20)
这里στ还是表示τ移位算子（因此映射的时不变满足映射的移位操作）。
无记忆模型
再次审视行为定义，我们可以看到，对任何t 0∈Τ，当且仅当y (t 0) 只取决u (t 0) 时，一个映射是无记忆的，即：
y (t 0) =(S u )(t 0)=f (u (t 0)). （6.21）
因果模型
如果输出与输入的未来值无关，那么我们说该映射为因果的。为了精确地用数学形式来表示因果关系，用下式来定义信号的切断算子
：
因此，如果u 是所有时间上函数的一个记录的话，则(P T u )是u 从0到时间T 的一个记录。因此，如果下式成立：
P T SP T =P T S (6.23)
则系统S 被称作是因果系统。换句话说，截至到时间T 的输出结果只取决于时间T 及以前的输入。
例6.6 例6.5表示了一个由输入-输出映射描述的系统。很显然模型是线性、时不变和有记
。 忆的（除非h (x , y ) =δ(x , y ) ）
注：
要了解更多关于动态系统建模和分析的行为方法，请参阅：
习题
习题6.1 假设系统的输出y (t ) 和输入u (t ) 有如下关系： y (t ) =
∫
∞
e ?(t ?s ) u (s ) ds .
验证模型是线性的、时变、非因果和有记忆的。
习题6.2 假设系统的输入-输出关系由下式给出：
这个输入-输出关系表示了一个饱和元素，问该映射是非线性的吗？是无记忆的吗？
习题6.3 考虑一个从u (t ) 到y (t ) 映射的系统模型，并且已知当：
?1, 当1≤t ≤2u (t ) =?
?0, 其他
时，相应的输出为：
?e t ?1?e t ?2, 当t≤1?
y (t ) =?2-e 1-t ?e t ?2, 当1≤t ≤2
?e 2?t ?e 1?t , 当t ≥2?
另外，系统为零输入时，其输出也为零。问该系统是因果系统吗？它是无记忆的吗？
现已知一个符合上述实验的映射，表示为：
y (t ) =∫e ?t ?s (s ) ds .
?∞
∞
问：该模型是线性的吗？是时不变的吗？
习题6.4 对下面给出的映射，确定模型是否为（a ）线性，（b ）时不变，（c ）因果，（d ）无记忆的？
范文三：向量式有限元复杂结构线性构件断裂过程动态坐标拾取模型研究
摘要：随着向量式有限元理论越来越流行，该理论的使用范围也随之增长，在土木领域，已经有很成熟的使用向量式有限元理论进行计算的模型。但是，由于目前对这些模型的处理仅仅停留在数据阶段，并不能很直观准确的反应模型特点，在模拟模型倒塌，断裂的过程中，并不能很直观的了解模型动态，在模型数据出现问题的时候，并不能直观，准确的定位出错构件，这给分析人员带来了很大的麻烦。该文主要介绍了如何利用已有的模型数据，找到模型构件之间的关系，利用OpenGL技术，在屏幕再现土木模型，并动态展示模型变化过程，实现鼠标的屏幕拾取功能，可以通过鼠标的简单点选，显示模型构件的所有信息。
关键词：向量式有限元；线性构件；断裂；屏幕坐标拾取
中图分类号：TP301 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）32-7632-05
1 背景及问题的提出
1.1 背景
有限元分析在工程技术和科学技术领域是一种十分有效、普遍的的数值分析方法。2002年美国普渡大学的丁承先教授等基于向量力学与数值计算提出了向量式有限元（Vector Form Intrinsic Finite Element，简称VFIFE）理论，该理论是在数值分析方法方面的一个重大突破。相比于传统有限元分析方法，向量式有限元分析的优势在于，它易于增减单元和改变边界条件，整个求解过程相对方便、简单、稳定，并且不会求解失败。该理论已经在许多大型工程问题，例如大变形、断裂、碰撞等研究中得到了应用，并取得了不错的效果，该理论具有很广泛的应用前景。
到目前为止，在结构力学领域已经使用向量式有限元理论进行了很多方面的运算，得到了很多模型大形变，断裂、碰撞、破碎等的实验数据。然而，目前广泛使用的各种建模，模拟软件，都不能很好的使用向量式有限元理论所产生的数据，因此，为了展示、使用这一理论，很有必要开发一款基于向量式有限元理论的建模以及模型动态展示软件。
1.2 问题的提出
在动态模拟土木模型变化的过程中，模型的结构会因为力等原因发生变化，对于模型中的线性构件而言，发生断裂是常见的变化之一，当在线性构件某点加的力过大时，就会引起这点的断裂，在观察模型的变化过程中，这些断裂的构件往往是观察者所关注的重点。然而，目前现行模型相关软件中，大多数软件所能做到的仅仅是对模型进行简单的屏幕拾取，即用鼠标点击模型元素，返回模型中该元素的坐标，这样的简单拾取功能，并不能反映出模型元素之间的关系，这对于模型的研究，带来了一些不便，加入高效、准确的模型元素拾取功能，可以更方便的观察模型，找到模型的脆弱元素，追踪模型中元素的动态变化，甚至还能发现在数值分析过程中出现的错误，因此，动态模型的坐标拾取具有很重要的作用和意义。
1.3 相关工作
浙江大学土木学院以及同济大学土木学院已经使用向量式有限元理论对多组模型包括桥梁、塔、板结构等进行了计算以及分析，取得了很好的结果。
同济大学软件学院，使用C#以及OpenGL技术，实现了基于向量式有限元理论的动态模型展示软件的初步开发工作。
当前，很多学者都对屏幕拾取做了相关研究，Richard S. Wright[1]研究了如何将模型立体的呈现在屏幕上，并介绍了如何进行3维模型坐标与屏幕二维坐标之间的转换；刘力强[2]研究了如何在平行透视下，实现对3维模型的屏幕拾取；He J[3]提出了一种基于OpenGL的高效屏幕拾取算法等。
1.4 本文研究内容
基于对以上研究的探讨与分析，结合目前向量式有限元理论已有的模型数据以及研究、分析模型时需要考虑的模型间元素信息，我们提出了一种新的屏幕拾取方式，解决了现有的屏幕拾取方式所不能满足的要求。
首先给出相关定义，再根据现有的模型数据特点，提出了对断裂的线性构件进行连带拾取的方式，即对模型的元素不再进行简单的拾取，而是在拾取的同时，找到断裂构件之间的关系，在模型动态展示的过程中，动态展示线性构件的变化，更加方便分析、研究断裂的线性构件。最后，该文对这一想法进行了验证，展示了如何进行连带拾取以及如何利用连带拾取，获取线性构件之间的关系。
2 线性构件特点
2.1 相关定义
在模型的动态展示过程中，会发生两种断裂，一种是从模型节点处发生断裂，另一种是从线性结构内部发生断裂。根据这两种断裂的不同特点，做出如下两种定义。
5 结论与展望
实验结果表明本方案切实可行，可以准确找出断裂后线性构件之间的关系，通过屏幕拾取，展示这些线性构件之间的关系，符合预期效果，有很好的应用价值。
1） 屏幕拾取的准确性符合预期，可以准确检测鼠标对模型线性构件的点击，显示鼠标选中线性构件信息。
2） 线性构件的结构体可以高效准确的存储构件的信息，同时存储构件之间的关系信息，高效、快捷的显示各个线性构件之间的关系
3） 准确、快速的找到断裂构件的相关信息，方便、高效的分析断裂线性构件的相关信息。
目前实验所使用的存储线性构件元素的堆栈还是固定的，这对于超大规模的线性构件模型是一个瓶颈，未来可以研究如何根据模型大小以及当前使用的计算机性能，使用合适数量的堆栈，以加快计算机处理、显示速度。
参考文献：
[1] Wright R S，Lipchak B.OpenGL superbible[M].Indianapolis： Waite Group Press，2000.
[2] 刘力强，周明全，耿国华.种平行透视下的三维拾取方法[J].西北大学学报：自然科学版，2002，32（1）.
[3] He J，Xu Q，You J.A 3-D Picking Method Based on OpenGL[J].Computer Engineering & Science，2006， 28：45-46.
范文四：虚拟水贸易的可计算非线性动态投入产出分析模型
虚拟水贸易的可计算非线性动态投入产出
分析模型
摘要 虚拟水是水资源需求管理的创新领域。投入产出法是研究虚拟水的重要方法,但既有研究多以线性静态投入产出模型为主,存在较强的比例性假设,在解释现实经济活动中的虚拟水贸易时存在一定缺陷和不足。为更加贴近现实状况,本文利用可计算一般均衡,CGE,思想,设计了一种新的虚拟水测算思路,对传统的线性静态投入产出模型进行了非线性和动态化的拓展,旨在对区域经济系统中的虚拟水贸易进行更加科学合理的计算和考察。首先,参照国家统计机构常用的42产业部门划分方式,根据一般均衡理论,围绕区域经济系统的生产模块、价格模块和供需平衡模块三个部分,定义有关变量和参数,对区域经济系统非线性动态投入产出模型进行了详细的方程列写。在此基础上,将虚拟水流动的因素与一般形式的非线性动态投入产出模型进行嵌套,采用“母表”,价值型流量表,和“子表”,水资源流量表,相结合的形式,给出了一种全新的区域水资源投入产出表的设计思路与编制方法,将可计算非线性动态产出模型从一般形式扩展至水资源领域,构建了区域经济系统中虚拟水贸易
1
的可计算非线性动态投入产出分析框架。分析同时指出,通过对该模型进行求解,可以推导和计算平衡增长路径和最优增长路径下的区域经济系统产出结构和用水结构,并可结合虚拟水贸易对区域经济的作用机理,分析最优增长路径下实施虚拟水贸易对区域经济增长的贡献
关键词 虚拟水贸易,可计算,非线性,动态,投入产出
中图分类号 TV213.4 文献标识码 A 文章编号 1002-2104,2016,11-0160-10
doi,10.3969/j.issn.1002-2104.2016.11.020
虚拟水贸易是无形的“引调水工程”[1-2]。“虚拟水”的概念由Tony Allan教授于1993年首先提出[3-5],与实体水相对应,是指生产商品或服务中所需要的水资源量[6-7],以无形的方式蕴含在产品和服务中。虚拟水贸易,则是指缺水国家或地区通过贸易的方式从富水国家和地区购买水密集产品来缓解本国或本地区的水资源压力,实现当地的水资源安全及食品安全。其理论的提出与发展拓展了过去人们对于水与粮食问题上从问题发生范围内寻求解决方案的传统思路,而是强调从系统的角度出发,基于系统思考的方法从问题发生的范围之外寻找解决问题的对策,为水资源管理特别是需求侧管理开辟了新的视角。虚拟水的量化分析和政策研究,也由此成为水问题政策专家与学者的关注焦点与创新领域。我们试图对传统的线性静态水资源投入产出模型加以扩展和
2
改进,引用当前较为前沿的可计算非线性动态投入产出模型,基于可计算非线性动态投入产出的思想,建立区域经济系统非线性动态水资源投入产出模型,对区域经济系统中的虚拟水贸易进行更加科学合理的计算和考察。本文将重点给出可计算非线性动态水资源I-O模型的构建思路
1 文献综述
在虚拟水的量化计算中,国内外学者常用的方法有两种,一种是单位水量法,主要来自Chapagain和Hoekstra提出的研究不同产品生产树的方法[7],以及Zimmer和Renault基于对不同产品类型的区分的计算方法[8]。比如,在计算农产品的虚拟水含量时,普遍采用联合国粮农组织,FAO,推荐并修正的标准彭曼-孟蒂斯公式,计算作物在生长发育期间蒸发蒸腾所消耗的全部水资源量ETc,Plant Evapotranspiration,,并对农作物产量YC进行统计,即可得到单位质量农产品的虚拟水含量[9-11]。另一种是投入产出法。与生产树法相比,后者因为其所依据的投入产出表覆盖了国民经济系统中各种产品的生产过程和使用去向,可以在产业普遍联系之中,更为直观、准确的追踪产品贸易背后的水资源流动效应,因而成为研究社会生产系统中水资源问题最重要的分析工具之一[12-14]。近年来,大量学者使用投入产出模型对虚拟水贸易进行计算分析。Yu等用投入产出模型计算了英国虚拟水贸易格局[15]。Antonelli等利用投入
3
产出法计算了地中海地区“蓝水”和“绿水”的流动情况[16]。田贵良和许长新基于投入产出分析方法,构建起虚拟水贸易理论框架下的水价敏感性模型,分析了水价上涨对各产业产品价格带来的影响[17]。Guan等用投入产出法,计算了我国北方6省和广东省的虚拟水流动情况[18]。谭圣林提出运用单区域投入产出表和多区域投入产出表研究虚拟水,并以广东省为例进行了量化分析[19]。李方一对山西省与国内其他地区的虚拟水流动关系进行了实证研究[20]。雷玉桃依据投入产出分析原理,对中国17个行业的各种用水系数和虚拟水进出口量进行了计算分析[21]。周姣等建立起价值-实物混合型区域间投入产出表对华北地区的虚拟水贸易进行了量化分析[22]。黄晓荣等运用投入产出法计算了1998-2002年宁夏地区的虚拟水状况[23]。马忠等利用投入产出法对甘肃省张掖市各产业间的虚拟水流动进行了分析[24]。总的看来,随着虚拟水概念的逐渐普及和研究领域的不断扩大,投入产出法以其行业覆盖面广、计算精确度高的特点,成为当前虚拟水贸易研究中的主流方法
但需要看到,既有研究中的投入产出模型多以线性静态模型为主,存在着很强的比例性假设,即假设在一定的值域内,某种产品的产出量与包括水资源在内的投入要素之间是成线性比例的,各投入要素间必须是固定比例而不能变化的[25]。而事实上,在实际生产过程中,各产业内部投入要素
4
的比例是在不断变化的。比如,发展中国家处于经济起步阶段时,往往投入较多的劳动力资源而使用较少的固定资本,但随着经济发展,固定资本占投入要素的比例不断增加,而投入的劳动力总量基本变化不大,导致其投入比例的减小,由此引起了两种投入要素其比例,S着生产的进行在不断变化。由此看来,基于比例性假设的线性静态投入产出模型在描述现实经济活动中的投入产出关系时不够准确。为了使投入产出模型更加切近现实中的区域经济系统,近年来,许多经济学家都致力于将线性投入产出模型推广到非线性的情况,并取得一定进展,但尚未有研究将这一思路应用到水资源及虚拟水贸易领域。 2 模型构建的思路
本模型的构建思路源于可计算一般均衡,CGE,思想。这一思想源于经济学家瓦尔拉斯的一般均衡理论,该理论有别于数据导向的计量经济学模型,而是依赖坚实的经济理论基础,将整个经济系统作为研究对象,全面考察系统中各种商品和要素供给、需求和供求的变化关系,成为研究经济复杂系统和政策分析的有效工具[26-28]。在CGE框架中,各经济主体和市场都将价格视为参数,并通过价格相互作用,既体现经济主体彼此之间的联系,又包含对市场机制的描述[29],一般框架如图1所示。而水资源作为资源环境可持续发展的基础性资源,与经济社会关系密切、相互依存,几乎所有行业的生产和消费都直接或间接与水有关。在接下来可
5
计算非线性动态水资源投入产出模型的构建中,本文将结合CGE的思想进行阐释
国内学者曾给出6部门区域经济系统非线性动态投入产出模型的计算方法[25]。从本质上讲,如果采用上述原理与方法进一步构造更多部门的可计算非线性动态投入产出模型,除了在数据采集及参数估计方面要求较大的工作量,在技术上是完全可行的。考虑建模、求解的复杂程度以及统计数据的可得性,本研究拟扩展到投入产出分析中更为具体的42产业部门,建立42部门可计算非线性动态水资源I-O模型。需要说明的是,本文对非线性投入产出模型中相关参数的设置,与投入产出表的元素结构基本一致
3 区域经济系统非线性动态投入产出模型方程列写
根据一般均衡理论,区域经济系统由生产模块、价格模块和供需平衡模块三部分组成。本小节分别构建前两模块的非线性动态方程组,其中生产模块包括总产出方程、增加值生产函数、固定资产生产函数、存货生产函数和资本存量平衡方程,价格模块包括产品价格方程、要素价格方程、增加值价格模型
参照国家统计局惯用的部门划分方式,将国民经济划分为42个部门,其中第一产业包括1个部门,即农林牧渔业,简称农业,代码为01,第二产业包括25个部门,代码为02到26,第三产业包括16个部门,代码为27到42。为体现
6
区域经济系统固定资本的实际变化,我们在建立非线性动态投入产出模型时,将建筑业部门,代码26,从工业部门中单独分离进行分析
3.1 生产模块方程
关于区域经济系统生产模块的数学描述,主要包括各产业部门的生产动态方程、固定资本累计与投资方程两部分。下面,首先给出区域经济系统生产动态方程,定义变量见表1,
需要强调的是,表中所定义的变量与投入产出表中的定义完全一致。另外,在以上42个部门或者42种产品中,只有工业产品及建筑业产品可以作为固定资本,由于每个部门其使用的固定资本总额Kj中包括工业品固定资本Kj′和建筑业产品固定资本Kj″,一般的,有如下平衡关系,
对于第j个部门,其投入产出关系可用图2来表示,
对于图2所示的第一层关系,根据宏观经济学的基本知识,以及区域经济系统投入产出经济流量表的平衡关系,有,
产业部门j中间投入的i产品数量xij由j部门的经济产出Yj和中间投入系数aij决定,后者可以直接从投入产出表直接获取。对于j部门的增加值Vj,根据投入产出表的平衡方程,则有,
由式2和式3可得到区域经济系统投入产出关系第一层关系的数学方程,列写如下,
7
第二层关系表示了生产活动中部门增加值与固定资本投资投入产出的数量关系,其数学表达式可用学者惯用的CES类型的生产函数来描述。方程如下,
其中,αj、dj、σj是j产业部门CES函数的参数
下面,考虑图2的第三层投入产出关系,该部分用以反映固定资本投资的构成比例。考察投入产出表的结构不难发现,在实际的固定资本积累中只有工业品与建筑业品可作为固定资本投资,对于固定投资中的其他部分由于无法在投入产出结构中明显体现,本文不予考虑。不妨假设部门j工业产品投资占固定资本的比例为βj,则建筑业品所占比例为1-βj。其关系方程很容易由下式表达,
用列昂惕夫型的函数表示,上式转化为,
同样的,βj值也可以依据区域经济系统历年的统计数据进行参数估算。以上方程构成了区域经济系统各部门的生产方程
下面,仍以产业部门j为例,对固定资本累计与投资方程进行描述。为体现固定资本的累计效应,需设定基准年t及基准年的后续年t+1,此外还需设定固定资产折旧率δ′和δ″,分别代表工业品固定资本及建筑业固定资本的折旧率,部门j在第t年使用的工业品及建筑业品固定资本数量分别为Ij′,t,和Ij″,t,。由此,我们对部门j的固定资本积累与投资方程表述如下,
8
至此,区域经济系统第j个产业部门的生产函数、固定资本投资及资本积累的非线性动态方程推导完毕,联立方程组如下,
3.2 价格模块方程
区域经济系统价格方程可由生产函数方程进行演推,根据公式,9,的第一式,即列昂惕夫型的生产函数,不妨假设j部门产品的产出Yj量为1,反映在方程上,此时中间投入xij等于中间投入系数aij,即,
对于增加值Vj,有,
类似的,我们首先对价格方程推导中涉及的诸多变量进行定义,详见表2
其中,pj和qj分别为j部门的产品价格及增加值价格。应当注意,该价格并非现实中产品价格的绝对值,而是价格指数的概念。这是因为,对于价值型投入产出表,每单位的经济产出并非数量概念而是代表价值概念,所以这里的pj和qj均指调价幅度。如pj=1.2,则对于j部门1亿元的经济产出而言,是指当前的产品价格被低估,应调整为1.2亿元。在市场平衡时,一种产品的市场价格应和实际投入的成本相等
接下来,考虑生产函数非线性方程的第三式,即,
用价格方程来表示生产函数中固定资本的构成比例,首先应明确工业固定资本与建筑业品固定资本的价格指数。对
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于后者,由于在投入产出表中由唯一的部门与之对应,可直接由该部门的价格指数予以表示,而工业固定资本则包含了投入产出表中的多个部门,由于模型中的参数设置与投入产出表结构完全一致,因此不能用某一参数直接给出。这里,我们考虑用区域经济系统各工业部门的平均价格指数来表示工业固定资本的价格指数。如,对于42部门投入产出表,其工业部门包含了代,a由02至25总共24个经济部门,因此其固定资本价格指数可表示为,p′=p2+p3+…+p2524,
而建筑业固定资本的价格指数为p″=p26。简明表示起见,使用p′和p″分别表示两种固定资本的价格指数。根据生产方程的第三式,以及前面给出的参数,我们得到部门j使用两种固定资本分别付出的成本,租金,,包括资本增长率及折旧,如下式所示, 基于上式,再根据工业品及建筑业品分别占固定资本的构成比例,部门j每单位的固定资本投资需要付出的成本,租金,可表示为,
容易理解的是,当市场达到平衡时,产业部门使用的各种固定资本其统一回报率相等,即r=r′=r″。则上式转化为,
不难发现,对于42部门的区域经济系统投入产出模型,上述价格动态方程共有126个方程,而变量却共有128个变量。按照方程自身的经济学特点,变量个数大于方程个数,且方程相互之间并非全部线性独立,如果按照数学上非线性的方程组算法,求解过程将变得十分复杂,具体方法我们将
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后续研究中,细解释
3.3 供需平衡模块方程
在构建了区域经济系统生产与价格动态方程后,下面主要根据列昂惕夫动态I-O系统总供给流量与总需求流量的关系,通过对区域经济系统的供需模块的动态平衡进行数学描述和方程的列写
3.3.1 数学描述
列昂惕夫动态投入产出模型属于动态一般均衡分析的范畴,在区域经济系统的平衡增长中,首先应满足如下关系,
总产出=中间产品+固定资产投资品+
存货投资品+最终净产品,24,
对其进行数学方程的列写,上式可表述为,
这里,将区域经济系统中的实物平衡方程表示成了与传统的列昂惕夫动态投入产出模型完全一致的形式。其中,δ′=δ″=0,即不考虑固定资本折旧,A为中间投入系数矩阵,根据历年投入产出表可以直接查找得到,B,p,w,r,中的元素是价格p、工资率ω和利润率r的非线性函数,反映了区域经济生产过程中资本与劳动相互替代的情况,这也是与线性投入产出模型的根本区别。此外,这些非线性函数的数学表达式由上一部分与本节前面部分构件的区域经济系统三大模块动态方程组确定,其中的参数也可根据实际数据进行参数估计,因而是可计算的
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为便于对实物平衡方程进行求解,还应当相应对消费需求向量c,t,的形式进行等价变换。用于最终消费需求的是消费者收入,即劳动力的工资总额,而工资总额又等于生产过程中由于劳动力投入带来的增加值。在实际的消费中,假设消费者用工资总额wL购买i中产品的支出比例是固定的,令i产品的价格为pi,购买量为ci,支付比例为gi,g1+g2+…+gi=1,则有如下关系,
4 基于非线性动态投入产出的虚拟水贸易分析框架
建立了区域经济系统的非线性动态投入产出模型之后,接下来,将虚拟水的因素考虑进去,建立相应的非线性动态水资源I-O模型。为了更加直观的表示水资源在各部门之间的投入产出关系,这里引入一种全新的区域水资源投入产出表的设计思路与编制方法
如表3、表4所示,用于可计算非线性动态水资源I-O模型求解的投入产出表,采用“母表”与“子表”的形式。其中,“母表”为区域经济价值型流量表,其结构与区域经济投入产出表的一般形式完全一致,“子表”为区域水资源流量表,其结构布局与“母表”是一致的,表中的元素与“母表”中的元素一一对应,即“子表”中所有数据均为“母表”同一位置价值量所对应的直接用水量
为了建立虚拟水贸易的可计算非线性动态投入产出分析框架,这里需要厘清区域经济系统一般形式的投入产出模型
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和水资源系统的投入产出模型之间的关系,重点作出两点说明。首先,前面建立的区域经济系统实物平衡方程,具有与传统的列昂惕夫投入产出模型相同的形式,并且与区域经济系统中的价值型投入产出表是相互对应的,即方程中的元素Y,t,是指社会总产品的价值,c,t,代表区域经济系统的最终消费需求对应的价值量。其次,区域经济系统的平衡关系适用于接下来的水资源投入产出分析,也就是说,利用标准型的可计算非线性动态投入产出模型,根据水资源投入产出母表与子表的对应关系,以水资源的流量对模型中的经济变量进行一一替代,就可以建立起可计算非线性动态水资源I-O模型,据此可对区域经济系统中的虚拟水贸易进行分析测算。对于第二点说明,我们基于前面建立的区域经济系统平衡方程给出简要证明,为便于阅读,将该方程再度列写如下,
根据前面的基本假定,由于产品类型不同及其价值的差别悬殊决定了使用单位质量产品生产所需的水资源数量来表示产品对水资源依赖程度大小,因此使用单位价值产品生产中所需要的水资源数量来对区域经济系统的虚拟水含量进行表征。这里,我们将n个产业部门产品的虚拟水含量分别以vw1,vw2,…vwn来表示,不妨假设各产品虚拟水含量在一段时间内保持不变
上面的方程中,Y,t,是一个n行列向量,代表了n个
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产业部门的产出,因此对于产业部门i来说,有,
上式即为可计算非线性动态水资源I-O模型的标准形式。可见,可计算非线性动态水资源I-O模型依然保持了与传统列昂惕夫投入产出模型基本一致的形式,但两者的一个重要区别是,静态投入产出模型中的最终需求包括了最终消费和投资需求,尽管将固定资产的投资与需求也包含在内,但分不清投资结构与消费结构,而可计算非线性动态水资源I-O模型则定义了固定资产使用系数,将最终需求中的消费需求与投资需求分开,从理论上对后者进行了完善,更为清晰的表述区域经济系统中的投入产出关系
与一般性的非线性动态投入产出模型一样,非线性动态水资源投入产出模型考虑了区域经济发展中资本与劳动的相互替代规律,更为贴近区域经济的发展实际。式中,A矩阵中的元素与一般性的非线性动态水资源投入产出模型完全相同,系数矩阵B和T中的元素仍是价格的函数,可以依照实际数据进行参数估计,因而是可计算的投入产出模型。需要说明的是,尽管我们在数学方程的表达上对两个投入产出模型采用了相同的参数表示形式,但模型中参数的现实意义却并不相同。或者说,区域经济系统和水资源系统的非线性动态I-O模型拥有相同的数学表达形式,但参数的量纲是明显存在区别的。特别的,对于可计算非线性动态水资源I-O模型而言,尽管这里对其参数的现实意义难以立刻给出合理
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的解释,但这并不影响模型的计算分析。至此,我们已经将可计算非线性动态产出模型从一般形式扩展至水资源领域,根据该模型,可以对区域经济系统中各产业部门间的虚拟水流动,进行更加客观、精确的测算。 5 小 结
本文在传统静态水资源投入产出模型的基础上,引入可计算非线性动态投入产出理论,通过区域经济系统生产、价格以及实物平衡方程的列写,阐述了将区域经济系统非线性动态投入产出模型从一般性分析向水资源领域的转换思路,建立了测算区域经济系统中虚拟水贸易的投入产出分析框架。需要说明的是,由于联立方程组涉及的变量及参数较多,大大超过了方程的数量,使得模型的求解过程变得十分复杂,限于篇幅限制这里不再进行专门阐述
在后续工作中,我们将重点讨论该模型的参数估计思路及求解方法,利用庇隆-弗罗宾纽斯定理,P-F定理,、Jordan分解定理及GaussSeidel迭代,\算思想,对经济系统平衡增长路径的存在性和唯一性进行分析,对基于可计算非线性动态I-O模型的虚拟水测算方法展开探讨,并通过著名的“快车道”定理,推导最优增长路径下区域经济系统产出结构与用水结构的求解思路。同时,结合虚拟水贸易对区域经济的作用机理[30],回答如何基于以上模型计算对最优增长路径下实施虚拟水贸易对区域经济增长的贡献
,编辑,李 琪,
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范文五：空间飞行器动力学模型的动态反馈线性化
第18卷 第3期
1997年7月宇 航 学 报
JOURNALOFASTRONAUTICE
Vol.18No.3
Jul.1997
空间飞行器动力学模型的动态反馈线性化
方 勃 吴瑶华 黄文虎
(哈尔滨工业大学航天工程与力学系?哈尔滨?150001)
摘 要 本文研究了空间飞行器非线性动力学模型的线性化问题。利用微分几何方法和反馈线性化理论,本文证明了推力方向相对体系不变,即受有“常方向推力”作用限制的空间飞行器的轨道—姿态耦合非线性动力学模型可用二阶动态补偿器
