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范文一：连续
第四章 函数的连续性
§1 连续性概念
Ⅰ. 教学目的与要求
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.
Ⅱ. 教学重点与难点:
重点: 函数连续性的概念.
难点: 函数连续性的概念.
Ⅲ. 讲授内容
连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数．
从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我
们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数
的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性．
一 函数在一点的连续性
定义1 设函数f 在某U (x 0)内有定义．若lim f (x )=f (x 0)， 则称f 在点x 0连续． x →x 0
例如，函数连续f (x )=2x +1在点x =2连续，因为
lim f (x )=lim (2x +1)=5=f (2) x →2x →2
?x sin 1, x ≠0又如，函数f (x )=?, 在点x =0连续，因为 x ?0, x =0
1lim f (x )=lim x sin =0=f (0) x →0x →0x
为引入函数y =f (x )在点x 0连续的另一种表述，记?x =x -x 0，称为自变量x (在点
x 0) 的增量或改变量．设y 0=f (x 0)，相应的函数y (在点x 0) 的增量记为:
?y =f (x )-f (x 0)=f (x 0+?x )-f (x 0)=y -y 0
注 自变量的增量?x 或函数的增量?y 可以是正数，也可以是0或负数．引进了增
量的概念之后，易见“函数y =f (x )在点x 0连续”等价于lim ?y =0. ?x →0
由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用ε-δ方式来叙述，
即：若对任给的ε>0，存在δ>0，使得当x -x 0<>
f (x )-f (x 0<ε>
则称函数f 在点x 0连续．
由上述定义，我们可得出函数f 在点x 0有极限与f 与x 0连续这两个概念之间的联
系．首先，f 在点x 0有极限是f 在x 0连续的必要条件；进一步说，“f 在点x 0连续”不仅
要求，f 在点x 0有极限，而且其极限值应等于f 在x 0的函数值f (x 0)．其次，在讨论极限
时，我们假定f 在点x 0的某空心邻域U (x 0)内有定义(f 在点x 0可以没有定义) ，而“f 在
点x 0连续”则要求f 在某U (x 0)内(包括点x 0) 有定义，此时由于(2)式当x =x 0时总是成立
的，所以在极限定义中的“0
?(1)式又可表示为: lim f (x )=f ? lim x ?. 可见“f 在点x 0连续”意味着极限运算lim 与对x →x 0?x →x 0?x →x 0
应法则f 的可交换性．
例1 证明函数f (x )=xD (x )) 在点x =0连续，其中D (x )为狄利克雷函数．
证 由f (0)=0及|D (x )|≤1，对任给的ε>0，为使
f (x )-f (0=xD (x ≤x <>
只要取δ=ε，即可按ε-δ定义推得f 在x =0连续．相应于f 在点x 0的左、右极限
的概念，我们给出左、右连续的定义如下：
定义2 设函数f 在某U +(x 0)(U -(x 0))内有定义．若
?lim f (x )=f (x )?, 则称f 在点x 右(左) 连续． ()()lim f x =f x x →x -0?0+x →x 0?0?
根据上述定义1与定义2，不难推出如下定理．
定理4．1 函数f 在点x 0连续的充要条件是：f 在点x 0既是右连续又是左连续．
例2 讨论函数 f (x )=??x +2, x ≥2在点x =0的连续性. ?x -2, x <>
(x +2)=2， f (x )=lim 解 因为lim ++x →0x →0
x →0-(x -2)=-2，lim f (x )=lim 而f (0)=2，所以f 在+x →0
点x =0右连续，但不左连续，从而它在x =0不连续(见图 4-1).
二 间断点及其分类
0 定义3 设函数f 在某U (x 0)内有定义．若f 在点x 0无定义，或f 在点x
0有定义而不
连续，则称点x 0为函数f 的间断点或不连续点．
按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论，若x 0为函数f 的间断点，
则必出现下列情形之一：
（i ）f 在点x 0无定义或极限lim f (x )不存在； x →x 0
（ii ）f 在点x 0有定义且极限lim f (x )存在，但lim f (x )≠f (x 0) x →x 0x →x 0
据此，我们对函数的间断点作如下分类：
1．可去间断点 若 lim f (x )=A而f 在点x 0无定义，或有定义但f (x 0)≠A，则称x →x 0
x 0为f 的可去间断点．
例如，对于函数f (x )=sgn x 因f (0)=0，而 lim f x )=1≠f (0)故x =0为x →0
f (x )=sgn x 的可去间断点．又如函数g (x )=
定义，所以x =0是函数g 的可去间断点． sin x ，由于lim g (x )=1，而g 在x =0无x →0x
设x 0为函数f 的可去间断点，且lim f (x )=A我们按如下方法定义一个 函数f ：x →x 0^
当x ≠x 0时，f (x )=f (x )；当x =x 0时，f (x 0)=A；易见，对于函数f ，x 0是它的连^^^
x ?s i n ∧sin x ?, x ≠0∧
续点．例如，对上述的g (x )=，定义: g (x ) =?x 则g 在x =0连续． x ??1, x =0
f (x )≠lim f (x )则 2．跳跃间断点 若函数f 在点x 0的左、右极限都存在，但 lim +-x →x 0x →x 0
称点x 0为函数f 的跳跃间断点．
例如，对函数f (x )=[x ] (图1—8) ，当x =n (n 为整数) 时有 x →n -lim [x ]=n -1，lim +[x ]=n ， x →n
所以在整数点上函数f 的左、右极限不相等，从而整数点都是函数f (x )=[x ]的跳跃间断
点．又如符号函数sgn x 工在点x =0处的左、右极限分别为-1和1故x =0是sgn x 的跳跃
间断点(图1—3) ．
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点．第一类间断点的特点是函数在该点处的
左、右极限都存在．
3．函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为
第二类间断点．
11，当x →0时，不存在有限的极限，故x =0是y =的第二类间断x x
11点．函数sin 在点x =0处左、右极限都不存在，故x =0是sin 的第二类间断点．又如，x x 例如，函数y =
对于狄利克雷函数D (x )，其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点．
三 区间上的连续函数
若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．
例如，函数y =c , y =x , y =sin x 和y =cos x 都是R 上的连续函数．又如函数y =-x 2在(-1, 1) 每一点处都连续，在x =1为左连续，在x =-1为右连续，因而它在[-1, 1]上连续．
若函数f 在区间[a , b ]上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[a , b ]上分段连续．例如，函数y =[x ]和y =x -[x ]]在区间[-3, 3]上是分段连续的．
在§3中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数．同时，也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数，如前面已提到的狄利克雷函数．
例3 证明：黎曼函数
p ?1p q 为既约真分数)?, 当x =(p ，q 为正整数， R (x )=?q q ?当x =0，1及（0，1）内无理数?0，
（0，1）在内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续．
证 设ξ∈(0, 1) 为无理数．任给ε>0 (不妨设ε<11) ，满足≥ε的正整数q="">
有有限个(但至少有一个，如q =2) ，从而使R (x )≥ε的有理数x ∈(0, 1) 只有有限个(至少有一个，如1) ，设为x 1, x n 取δ=min (x 1-ξ, x n -ξ, ξ, 1-ξ)，则对任何2
x ∈U (ξ; δ)(?(0, 1))，当x 为有理数时有R (x )<ε，当x 为无理数时r="" (x="" )="0于是，对任何x" ∈u="" (ξ;="" δ)，总有="" |r="" (x="" )-r="" (ξ)|="R" (x=""><ε. 所以r="" (x="" )在无理点ξ处连续．="" 现设p="" 1为="" (0,="" 1)="" 内任一有理数，取ε0="，对于任何正数δ（无论多么小），在2q">
?p ??p ?1?内总可以取到无理数，使得()x ∈(0, 1) U ; δ()R x -R q ? q ??=q >ε0所以 R (x )在任何????
有理点处都不连续．
Ⅳ 小结与提问:本节要求理解函数连续性的概念， 会利用概念判别间断点的类型. Ⅴ 课外作业: P 78 3、4、5 、6、8、9.
范文二：连续与一致连续
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连续与一致连续
中图分类号:G622 文献标识码:B 文章编号:1002-766108-086-01
中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-7290620.htm
一、连续的定义及其理解
在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数.“连续”与“间断”照字面上来讲，是不难理解的，所谓“连续，意即连续不断”.它反映了我们观察到的自然现象的一种共同特性.例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等.
我们不难举出大量的连续与不连续的函数，例如 在每一点x都是连续，而y=[x]在所有整数点都不连续.但究竟怎样才叫连续呢,单从图形上来看是不行的，我们可以举出在每点都连续却无法用图形表示的函数.图形只能帮助我们更形象地理解这一概念.为了对它作进一步的分析和研究，必须给“连续”一确切的定义.
所谓函数f在 点连续就是指:当x越接近 时，函数值f就越接近f.它的意思是:函数f不仅在 点极限存在，而且这个极限正是f在点 的函数值，这意味--------------------------------------------最新精选范文分享--------------谢谢观看--------------------------------------
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着函数的图形在 点连结起来了.
1、函数在一点连续的定义
定义1若函数在 点附近包括 本身有定义，并且 时，我们称f在 点连续，或者称 点是f的连续点.
下面根据定义看这样的题，
函数 在点 连续
解:
函数 在点 连续
定义2设函数f在 的右领域 内有定义，若
则称函数f在x*右连续.
由定义1和定义2，我们可得出如下定理:
定理1，函数f在点 连续的充要条件是:函数f在点 既是右连续，又是左连续.
例如:函数 在x=0的连续性.
解;因为
而 ，所以函数在 右连续，但不左连续，从而它在 不连续.
2、区间上的连续函数.
若函数f在区间I上每一点都连续，则称f为I上的连续函数.对于闭间端点上的连续性则按左 右连续来确定.
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二、一致连续性的定义的理解
函数f在区间内的连续性，是指它在某区间内每一点都连续，那下面就来讨论的一致连续函数的概念是反映函数在区间上更强烈的连续性.
定义3， 设f为定义在区间I上的函数，若对任给的正数ε，总存在正数δ=δ，只要 属于I，且| |<δ，有>
| (
则称f在区间I上一致连续.
直观地说，f在I上一致连续是指:不管 与 在 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使
同理有了一致连续的定义也就有不一致连续的定义，如下:
函数f在区间I上不一致连续就是:存在正数ε，使得对任何正数δ，总存在两点 ，虽然| |<δ，但有| (="" .="">
例 证明 在 上一致连续.
证 对于任给的正数 ，由于
所以选取 ，不论 取为 上的怎样两点，只要| |<δ，就一定有>
这就证得 在 上一致连续
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范文三：连续与一致连续
专题2 连续与一致连续
函数连续的概念和定义 一、
I函数连续的概念: 如果函数在区间上有定义，并且函数的图象是连续不断f(x)f(x)
I的，我们称函数在区间上连续. f(x)
x(一) 函数在点连续的相关定义 f(x)0
x1、 函数在点连续 f(x)0
xU(x;,)设函数定义在内，如果，则我们称函数在f(x)f(x)f(x),f(x)lim000x,x0点连续.
,,，U(x;,)设函数定义在内，对，，当时，有f(x)x,x,,,,,,,0,,000
x,则我们称函数在点连续. f(x)f(x),f(x),,00
x2、 函数在点右连续 f(x)0
xU(x;,)设函数定义在内，如果f(x),f(x)，则我们称函数在f(x)f(x)lim0，00，x,x0点右连续.
,,，0,x,x,,,,U(x;,)设函数定义在内，对，，当时，f(x),,,0,,00，0
x有,则我们称函数f(x)在点连续. f(x),f(x),,00
x3、 函数f(x)在点左连续 0
xU(x;,)设函数f(x)定义在内，如果f(x),f(x)，则我们称函数f(x)在lim0,00,x,x0点左连续.
,,，0,x,x,,,,U(x;,)设函数f(x)定义在内，对，，当时，,,,0,,00,0
x有,则我们称函数f(x)在点左连续. f(x),f(x),,00
If(x)(二) 函数在区间上连续
f(x)(a,b)1、函数在区间内连续
f(x)(a,b)(a,b)如果函数在区间内任意一点连续，则我们称函数在区间内连续.
1
，x设是区间内的任意一点, 对，，当时(a,b)x,x,,,,,0,,000
x,,,a,x，,,b)，有,则我们称函数在区间内连续. ((a,b)f(x),f(x),,000
2、函数在区间连续 f(x)(a,b]
如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续, 则我们称函数f(x)(a,b)f(x)b在区间连续. (a,b]
3、函数在区间连续 f(x)[a,b)
在区间内任意一点连续，并且在点右连续, 则我们称函数如果函数f(x)(a,b)f(x)a在区间连续. [a,b)
4、函数在区间上连续 f(x)[a,b]
如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续、点右连续, 则我们f(x)(a,b)ab称函数在区间上连续. f(x)[a,b]
二、 函数一致连续的概念和定义
I 函数连续的概念: 如果函数在区间上有定义，函数的图象是连续不断的，f(x)f(x)
I并且函数的图象没有铅直的渐进线，我们称函数在区间上一致连续. f(x)f(x)
1 例如，函数在区间内连续，但不一致连续. f(x),(0,1)x
,,,II设函数y,f(x)在区间上有定义，x,x是区间内的任意一点, 对，,,,0
,,,,,,I，，当时，有,则我们称函数f(x)在区间上一致x,x,,f(x),f(x),,,,0
连续.
,,,,,,Ix,xx,x说明: 对给定的, 由于区间内的点对有无穷多个, 所以对每一对均,,0
I存在一个, 进而有无穷多个, 无穷多个中有最小的, 我们称函数f(x)在区间上一,,,
If(x)致连续. 无穷多个中没有最小的, 我们称函数在区间上不一致连续. ,
f(x)三、 函数的间断点(不连续点)
2
x如果，我们称函数在点间断. f(x),f(x)lim00x,x0
(一) 第一类间断点
1、可去间断点
f(x)f(x)x如果极限存在，但不等于，我们称点为函数的可去间断点. lim00x,x0
2、跳跃间断点
x如果极限和都存在但不相等，我们称点为函数的跳跃间断点. f(x)f(x)limlim0，,x,xx,x00
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点. (二) 第二类间断点
非第一类间断点称为第二类间断点.
1，当x为有理数时，,，，D(x),,,,，,例如，狄利克雷(Dirichlet)函数定义域上的,0，当x为无理数时,
1,当x为有理数时,,,任意一点为第二类间断点. 因为D(x),所以不存D(x)limlim,，，0,当x为无理数时x,xx,x00,
在.
11sinx,0再例如,对函数,是函数的第二类间断点. 因为不存在sinlim0，xxx,x0
sinx(不存在前面已证). limx,，,
四、例题与练习
1、连续
2,x,3x,4,x,4,,2xx，2,24例1 (天津大学2006年)证明: 函数在处连续f(x),x,4,1,,x,42,
(用语言证明). ,,,
2x,3x,41x,4,,,,min18,,1,,证明: 因为, 对, 存在, 当,,,02x，2x,2422(x，6)
2,4x,3,41,4xxx时, 有,,,,, 所以函数,x,4,,2，2,2422，618xx(x)
3
2,x,3x,4,x,4,,2xx，2,24在处连续. f(x),x,4,1,,x,42,
sinx,x为有理数,,,例2 (天津大学2005年)证明: 函数f(x),在处连x,n,0,x为无理数,用语言证明). 续(,,,
，证明: 因为, , 所以, 对，，当sin,x,sinn,,0x,R,,,0,,0limx,n
时，有. 又因, , 所以. 故x,n,,sin,x,0,,f(x),sin,xf(x),0,,x,R
sinx,x为有理数,,,f(x),函数在处连续. x,n,0,x为无理数,
1例3 (复旦大学2002年)证明函数在区间上不一致连续. f(x),(0,1]x
11x,y,(0,1]证明: 取,,,则.因为y,n,1,2,3,？x,nnnnnn，1
yx,nn,,1fxfy 所以, 存在,对所有,当时, 有(),(),,1,x,y,,,,00nnnnxynn
1yx,nnfxfy故函数在区间上不一致连续. (),(),,1,f(x),(0,1]nnxyxnn
11x,y,(0,1]x,y,0证法2: 取,y,,,则.因为,n,1,2,3,？x,limnnnnnnn,,nn，1
1f(x),f(y),1而,所以函数在区间上不一致连续. f(x),(0,1]limnn,,nx
2，x1f(x),sin例4(中北大学2005年)证明函数在区间内不一致连续, 在(0,1)1，xx[1,2]与[2,，,)上均一致连续.
11x,y,(0,1)x,,,n,1,2,3,？,则.因为证明 取y,nnnn,2n,2n，,2
,,n8，2，2x,y,0fxfy,而,所以函数(),(),,2limlimlimnnnnn,,n,,n,,n,,4，，2
2，x1f(x),sin在区间(0,1)上不一致连续. 1，xx
2，x12，x1f(x),sinf(x),sin由于函数在区间[1,2]上连续, 所以函数在区1，xx1，xx
[1,2]间上一致连续.
4
2，x12，x1由于函数在区间上连续, 所以函数f(x),sinf(x),sin[2,A，1]1，xx1，xx
A,2在区间()上一致连续. [2,A，1]
x2，1,,,A,2因为fx,对,当时,有x,x,A(),sin,0limlimx,，,x,，,xx1，
2，x1,,,A,2. 进而函数f(x),sin在区间()上一致连续. [A,，,)f(x),f(x),,1，xx
，，例5 (北京工业大学2005年)设和为区间a,b上的连续函数，试证明f(x)g(x)
,,，，F(x),maxf(x),g(x)为区间a,b上的连续函数.
1证明:因为，所以只要证,,,,F(x),maxf(x),g(x),f(x)，g(x)，f(x),g(x)2
，，,x,a,b，，明为区间a,b上的连续函数即可.对,由于和为区f(x)g(x)f(x),g(x)0
，，，a,b间上的连续函数, 所以,对，，当时，有x,x,,,,,0,,00
,.又因f(x),f(x),,g(x),g(x),,00
f(x),g(x),f(x),g(x),f(x),f(x)，g(x),g(x),2,,所以0000
，，a,b为区间上的连续函数. f(x),g(x)
,,f(a),f(b)例6(江苏大学2006年)设函数为上的单调增函数,其值域为,f(x)[a,b]
证明f(x)在[a,b]上连续.
证明:因为函数f(x)为[a,b]上的单调增函数,所以函数f(x)在[a,b]上任意一点的极限都存在.
xx,a如果函数f(x)在[a,b]上不连续,则函数f(x)在[a,b]上存在间断点,如果,00则f(a，0),f(a),0.由函数f(x)在[a,b]上的单调性知, 函数f(x)无法取到,,,,x,bf(a),f(a，0)f(a),f(b)上的值,这与函数f(x)的值域为矛盾. 如果,则0f(b,0),f(b),0f(x)[a,b]f(x).由函数在上的单调性知, 函数无法取到
，，x,a,b,,,,f(b,0),f(b)f(a),f(b)f(x)上的值,这与函数的值域为矛盾. 如果，则0
f(x,0),f(x),0f(x，0),f(x),0不等式及至少有一个成立,不妨设0000
5
f(x,0),f(x),0.由函数在上的单调性知, 函数无法取到f(x)[a,b]f(x)00
,,f(x,0),f(x)上的值, 这与函数的值域为,,矛盾. 故函数在f(a),f(b)f(x)f(x)00
上连续. [a,b]
例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程的惟一不恒为f(x，y),f(x)f(y)
x，，f(x),a,x,,,,，,零的连续函数是指数函数,其中. a,f(1),0
cx分析:要说明函数是指数函数,应证明?;?,其中f(x)f(x),0a,,f(cx),f(x)是实数;?. a,f(1),0c
2，，xxxxx,,,,,,,,证明:首先证明?.因为f(x),f，,ff,f,0,f(x),0,,,,,,,,,,22222,,,,,,,,，，
f(x),f(,x),f(0)f(x),f(x),0，，,,,，,又因为(因为在上不恒为零,所f(x)00
，，x,,,,，,f(x),0以存在,使).所以,进而. f(x),0f(x),000
c其次证明,其中是实数. c,,f(cx),f(x)
0,f(x),f(x)f(0)a) 当时, 由得得. f(0),1f(0),1c,000
nn,,,,,,,,,,,,,,n,,b) 当,为正整数时,,,. nc,nf(nx),fx，？，x,f(x)？f(x),f(x),,,,
mn,mc) 当,为正整数时, c,n
mm,,,,,,,,,,,,,,m,,，，mxxxxx,,,,,,,,,,fx,f，？，,f？f,f, ,,,,,,,,,,nnnnnn,,,,,,,,,,，，,,,,
nn,,,,,,,,,,,,,,n,,1，，xnxxxxx,,,,,,,,,,n,,f,f(x),,又因为fx,f，？，,f？f,f,所以.,,,,,,,,,,,,nnnnnnn,,,,,,,,,,,,，，,,,,
mm,,n,,，，fx,fx进而. ,,n,,
mn,mc,,d) 当,为正整数时, n
6
mmmmnn，，，，mf(0)1,,,nn, ,,,,，，f,x,f,x,,,f(x),,,,,,nf(x)f(x),,，，，，
,,ce) 当为无理数时,有有理数列,使得.因函数连续,所以 limc,cf(x)cnn,,n
cccnnlim. ,,,,,,f(cx),f(cx),f(x),f(x),f(x),,nlimlimn,,,,nn
最后证明. a,f(1),0
因为,所以. f(x),0a,f(1),0
，，例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数是区间R,,,,，,上的f(x)
，，单调函数，定义.证明函数在区间R,,,,，,上的每一点都右连g(x),f(x，0)g(x)
续.
，，分析:不妨设函数是区间R,,,,，,上的单调增函数.要证明函数在区间f(x)g(x)
x,R，，，R,,,,，,上的每一点都右连续，只要证明对任意一点，，，,,,0,,00
0,g(x),g(x),,0,x,x,,当时，有. 00
x，，R,,,,，,证明: 不妨设函数是区间上的单调增函数.设是区间f(x)0
g(x),f(x，0)，，，R,,,,，,上的任意一点, 因为,所以,对，，当,,,0,,000
0,x,x,,时，有. 又因函数f(x)是区f(x，,),g(x),f(x，,),g(x),,00000
g(x),f(x，0),f(x，,)，，R,,,,，,间上的单调增函数, 所以,故0
g(x),g(x),,，，R,,,,，,.又因函数f(x)是区间上的单调增函数,所以0
，，g(x),f(x，0),fx，0,g(x),进而.所以函数g(x)在区间g(x),g(x),,000
，，R,,,,，,上的每一点都右连续.
,
,3，，arctanax,,,0,x,,arcsinxx,f(x),6,x,0,例9(中北大学2005年)设函数 ,ax2,，,,1exax,x,0,,x,,,xln1，,,,4,,,
7
问:(1)为何值时,在处连续;(2) 为何值时, 是的可去间f(x)f(x)aax,0x,0
断点.
解: (1) 因为
332axax3axarctan，，,,limlimlim1,,,,x,xx,xarcsinarcsinx,0x,0x,0221,1,x，，
23ax6ax6a,,,, limlimlim333,,,,,,x,x,x,000222222，，，，，，,x1,x,x1,x,1,x,,6a
22axaxe，x,ax,1e，x,ax,1,limlim，，xx,,,,00xxx,xln1，,,442,,,所以,当时,即,6a,2a，4,6ax2axae，2x,aae，22,,,2a，4limlim，，11,,00xxx22
时,函数在处连续. f(x)a,,1x,0
2(2)当时, 是的可去间断点.即时, 是f(x)2a，4,,6a,6x,0a,,2x,0
f(x)的可去间断点.
练习
，，，，a,bc,a,b[1] (电子科技大学2005年)设函数定义在上,,又设和f(x)H(x)
，，c,b分别在上连续且在和内是的原函数.令G(x)(a,c],[c,b)(a,c)f(x)
H(x),a,x,c,,CF(x),,其中选择使在处连续,就下列情况,F(x)x,c,0G(x)，C,c,x,b0,
，，a,b回答F(x)是否是f(x)在上的原函数.
(1)f(x)在处连续; x,c
f(x)(2) x,c是的第一类间断点;
f(x)(3) x,c是的第二类间断点.
解: (1)当f(x)在处连续时,因为x,c
8
F(x),F(c),,,所以是在，，上a,bF(x)f(x)F(c),,F(x),f(x),f(c)limlimlimx,cx,cx,cx,c
的原函数.
(2)因为 是的第一类间断点,且在处连续, 所以f(x)F(x)x,cx,c
f(x),f(x),f(c)f(x),f(x)或.当limlimlimlim，,，,x,cx,cx,cx,c
f(x),f(x),f(c)时,由limlim，,x,cx,c
F(x),F(c),,,F(c),f(x),f(c)得, ,所F(c),,F(x),f(x)limlimlimlim，，，，，，x,cx,cx,cx,cx,c
，，f(x),f(x)不是在a,b上的原函数.当时, 不存在,即以F(x)f(x)f(c)limlim，,x,cx,c,，，.所以不是在a,b上的原函数. F(c),f(c)F(x)f(x)
11,n,1n,2,nxsin,nxsin,x,0,(3)不能判断.例如当f(x),n,1,2,xx
,0,x0.,,
1,n,xsin,x,0,时,是的第二类间断点,取当f(x)F(x),x,0n,2,x
,0,x,0,,
F(x),F(0)1,，，a,b时,,故是在上的原F(x)f(x)F(0),,xsin,0,f(0)limlimx,0x,0x,0x
F(x),F(0)1,函数. 当时,,故不是F(x)f(x)F(0),,sin,0,f(0)n,1limlimx,0x,0x,0x，，a,b在上的原函数.
，，a,b[2] (电子科技大学2003年,江苏大学2004年)证明区间上的单调函数的一f(x)
切不连续点都为第一类间断点.
，，x,a,b证明:不妨设函数f(x)是单调增函数,并且设是函数f(x)的间断点.因为0
，，，，fx,0,limf(x),f(x)fx，0,limf(x),f(x)x,,并且函数在不连续,00000,，x,xx,x00
，，，，fx,0,f(x)fx，0,f(x)x所以不等式,至少有一个取,或,号,所以是跳00000
，，a,bf(x)跃间断点,即区间上的单调函数的一切不连续点都为第一类间断点. [3](上海交通大学2003年,深圳大学2006年)定义函数如下:
9
1p,,x,(p,q互质),，，R0,1,R(x), (), 0,x,1qq,
,0，x为无理数,
证明在区间上的无理点处连续,而在区间上的有理点处不连续. [0,1][0,1]R(x)
，，xx,,,x，,证明:设是区间上的任意一个有理点,则在区间内一定存在无理[0,1]000
11,,,,0R(x),R(x),,,,点(根据无理数的稠密性),对我们只要取,使得.所以x0qq在区间上的有理点处不连续. [0,1]R(x)
，x设是区间上的任意一个无理点,我们只要证明: 对，，当[0,1],,,0,,00
11R(x),R(x),R(x),0,,,,,q时，有即可.因为的值有有限个,x,x,,00qq
x,x,？,x,,,,minx,x,x,x不妨设为.令,当时，有x,x,,12mk0k00,,1km
1R(x),R(x),R(x),0,,,.即在区间上的无理点处连续. [0,1]R(x)0q
[4] (南京理工大学2004年)设函数f(x)在[a,b]上连续,且在[a,b]上的任意有理点为,证明函数f(x)在[a,b]上恒为零. 0
xxx证明:设为[a,b]上的任意一点,当为有理点时,f(x),0.当为无理点时,存000
,,x,[a.b]x,xf(x),f(x),0,0在有理数列,使.故,进而函数limlimlimnnn00,,n,,n,,n
f(x)在[a,b]上恒为零.
,,x,[a.b][5] (江苏大学2004年)设f(x)在[a,b]上连续,又有,使得n
x,[a,b]f(x),Af(x),A,证明:存在,使得.又因 lim00n,,n
,,x,,,,x,[a.b]x证明:因为，由致密性定理，存在收敛的子列，使.x,xlimnnnn0kk,,nkf(x)[a,b]又因在上连续, 故. f(x),f(x),Amil0nk,,nk
Rf(x)x,0,1[6]( 上海交通大学2003年)设定义在实数集上的函数在两点处连续，
2f(x),f(x)f(x)且对任意的有，证明:为常函数. x,R
10
11nn222f(x),f(x)x,1证明:对，由得，f(x),f(x),n,N.因为,,x,0limn,,
1n2f(x),f(x),f(x),f(1)并且在点处连续,所以.又在点f(x)x,1x,0limlimn,,n,,
2f(x),f(x),f(1),x,Rf(0),f(x),f(1)处连续,所以.又因,所以为f(x)lim，x,0
常函数.
,R[7](陕西师范大学2003年)设在上有定义且恒不为零,存在,且对任意的f(x)f(0)
,x,y都有,求. f(x，y),f(x)f(y)f(x),f(x)
,R解:因为,并且在上恒不为零,所以.由f(x，0),f(x)f(0)f(x)f(0),1f(0)
,x,R存在,则在点连续.设对,因f(x)00
,所以f(x),f(x),f(x)f(x,x),f(x),f(x)f(x,x),1000000
,,,故函数在f(x)f(x),f(x),f(x)f(x,x),1,f(x)f(0),1,0limlim0000x,xx,x00
xR,,x上连续.对任意的有理数,有,对任意的无理数,存在有理数列,xx,,f(x),f(1)n
xxxnx,x使得.进而.所以.,,,,f(x),f(x),f(1),f(1),,f(x),f(1)limlimlimnn,,n,,,,nn
,xx,1,所以. ,,,,,,f(x),f(1),xf(1),lnf(1)
Rf(x),0f(x),1[8](中北大学2005年)设f(x)在上有定义,且,,在区limlimx,,,x,，,，，0,1间上定义函数,证明:函数g(x)右连续. ,,g(x),inftf(t),x
，，,x,0,1，，，，t,,,,,，,证明: 对,,所以对,存在,,,g(x),inftf(t),x,,,0000
f(t(,)),x0,t(,),g(x),,当,有.因为,所以,,，，g(x),inftf(t),x,t,00
，，g(x),g(x),,x,x,f(t(,),，即函数g(x)右连续. 00
2，x1，，f(x),sin0,1[9](中北大学2005年)证明: (1)函数在内不一致连续，(2) 1，xx
2，x1f(x),sin函数在[1,2]与[2,，,)上均一致连续. 1，xx
11，，x,y,0,1x,证明:(1)取，,则.因为y,nnnn,2n,2n，,2
11
,，，
,,112xy,而，，,,,,,0limlimlim,,nn,,n,,n,,n,,n,2,,,,n2，,nn22，,,,,2，，2,,
,,,,2，2n，,,2，2n,,2,,,,,所以，，f(x),f(y),sin2n,sin2n，,1,,,,limlimnnn,,n,,1，2n2,,,,,,1，2n，,,,2,,
1，，函数f(x),sin在0,1内不一致连续. x
2，x12，x1(2)因为f(x),sin在上连续,所以f(x),sin在上一致连[1,2][1,2]1，xx1，xx续.
2,,，1,,x2，11,,x,,因为,所以,对,存在fxlim(),limsin,limsin,0,,,0,,x,，,x,，,x,，,1xxx1，,,,,，1,,x,,
2，x1,,,,,,X,2,当时，有，即f(x),sin在上x,x,X[X，1,，,)f(x),f(x),,1，xx
,,,,,,,,,连续(当时，显然有时，). x,x,[X，1,，,)x,x,,f(x),f(x),,
2，x12，x1f(x),sinf(x),sin因为在上连续,所以在上[2,X，1][2,X，1]1，xx1，xx一致连续.
[10](复旦大学2002年、汕头大学2003年、中北大学2005、浙江师范大学2003年)
1f(x),sin证明:函数在内不一致连续. (0,1]x
11x,y,(0,1]证明:取x,，,则.因为y,nnnn,2n,2n，,2
,,,,,112,,xy，，,,,,,0,而limlimlimnn,,n,,n,,n,,n,2,,,,n2，,nn22，,,,,,,2,,2,,
1,,,f(x),sin,所以函数在，，f(x),f(y),sin2n,sin2n，,1,,,,limlimnnn,,n,,x2,,
(0,1]内不一致连续.
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范文四：连续与一致连续
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连续与一致连续
作者：杨昌海
来源：《读写算·教研版》2016年第08期
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）08-086-01
一、连续的定义及其理解
在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数.“连续”与“间断”（或不连续）照字面上来讲，是不难理解的，所谓“连续，意即连续不断”.它反映了我们观察到的自然现象的一种共同特性. 例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等.
我们不难举出大量的连续与不连续的函数，例如 在每一点x 都是连续，而y=[x]在所有整数点都不连续. 但究竟怎样才叫连续呢？单从图形上来看是不行的，我们可以举出在每点都连续却无法用图形表示的函数. 图形只能帮助我们更形象地理解这一概念. 为了对它作进一步的分析和研究，必须给“连续”一确切的定义.
所谓函数f （x ）在 点连续就是指：当x 越接近 时，函数值f （x ）就越接近f （ ）. 它的意思是：函数f （x ）不仅在 点极限存在，而且这个极限正是f （x ）在点 的函数值，这意味着函数的图形在 点连结起来了.
1、函数在一点连续的定义
定义1若函数在 点附近包括 本身有定义，并且 时，我们称f （x ）在 点连续，或者称 点是f （x ）的连续点.
下面根据定义看这样的题，
函数 在点 连续
解：
函数 在点 连续
定义2设函数f 在 的右（左）领域 内有定义，若
（ ）
则称函数f 在x*右（左）连续.
范文五：连续偶数,连续奇数
连续偶数，连续奇数
1.5个连续自然数的和为50，求此5数。(奇数个连续自然数)
2.6个连续自然数的和为141，求此6数。(偶数个连续自然数)
3.5个连续奇数的和为35，求此5数。(奇数个连续奇数)
4.6个连续奇数的和为48，求此6数。(偶数个连续奇数)
5.5个连续偶数的和为40，求此5数。(奇数个连续偶数)
6.6个连续偶数的和为66，求此6数。(偶数个连续偶数)
7. 有25个连续数，末一个数为第一个数的4倍，求第一个数。
8. 有两组互不相同的5个连续自然数，第一组5个数的和减去第二组5个数的和，所得的差，正好是第一组开头一个数的3倍。这两组5个连续自然数各是哪几个？
9. 连续几张日历上的日数和是49，第一张日历的日数最小是几号？最大是几号？
10. 有3个连续自然数，它们的积是和的120倍，求这3个数各是多少。
答案：
1.505=10(中间数) ，8、9、10、11、12；
2.141(62)=1413=47(中间二数的和) 或1416=233，23+3=26(最大的数) ，21、22、23、24、25、26；
3.355=7(中间数) ，3、5、7、9、11；
4.48(62)=16(中间二数的和) 或486=8(中间两奇数所夹的偶数) ，3、5、7、9、11、13；
5.405=8(中间数) ，4、6、8、10、12；
6.66(62)=22(中间二数的和) 或666=11(中间两偶数所夹的奇数) ，6、8、10、12、14、16。
17. 公式：第一个数=(连续数个数-1)(倍数-1) ，(25-1)(4-1)=8；
8. 本题无穷多解，如(1)10、11、12、13、14与4、5、6、7、8，(2)15、16、17、18、19与6、7、8、9、10；
9.(1)497=7，最小4号，(2)平年2月28日是最大日数，2月28日、3月1日、2日、3日、4日、5日、6日，28+(1+2+3+4+5+6)=49；
10.. 三个连续自然数之和是中间一数的3倍，因此这三个数连乘是中间一数的1203=360倍。三数中有一个是中间数，故三数中另外两数之积是360。但这两数相差2，且1818=324，1919=361，故小的一数不会比18大，试18，18(18+2)=360，故三数为18、19、20。
