嗫?暁雲?
范文一：静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理
[摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时
要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。
[关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项
[内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的?0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下：
?e?E?dS?
S
1
?0
?
V
dq
其中，E表示在闭合曲面上任一dS面处的电场强度，而EdS则表示通过面元dS的电场强度通量，
就表示通过整个闭合曲面S的电场强度通量，
习惯上称闭合曲面S为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。
下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a）点电荷在球面中心 点电荷q的电场强度为
q
E??3?r
4??0r
球面的电通量为
1
q
SE?dS?S4??0?r3?r?dS???
q4??0rq4??0rq
22
1
dS
S
?4??r2
（1）
?0
（b）点电荷在任意闭曲面外
闭曲面S的电通量为
S
E?dS?qq
14??0
S
?
q
?r?dS3r
（2）
1
?xdydz?ydxdz?zdxdy??3S4??0r?
根据高斯公式
111xdydz?ydxdz?zdxdy333S4??0rrr
??P?Q?R?
??????x??y??z??dxdydz
?V?
?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
S
（3）
xyz
,Q?，R?在S内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用r3r3r3
高斯公式计算。
并考虑到P?
将式（2）代入式（3）中得
S
E?dS?qq4??0
14??0
S
?
q
?r?dS3r
1
?xdydz?ydxdz?zdxdy??3S4??0r?
S
111
xdydz?3ydxdz?3zdxdy3rrr
?y?
??3??r???y
?z??3?r?z
????
??dxdydz?0???
??x???3??q?r????
4??0????xV?
??
（c）点电荷在任意闭曲面内
在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辅助球面S1，其法向朝内，根据（1）式可知点电荷q在闭曲面S+S1的电通量为零，即：
E?dS?E?dS?0
S
S1
E?dS??E?dS??E?dS?
S
S1
S2
q
（4）
?0
其中式（4）中S1和S2的大小相等，法向相反。 （d）点电荷系在闭曲面内外
设闭曲面内的点电荷为q1,q2,q3…qn；闭曲面外的点电荷为qn+1…则根据上述讨论可得
n
E?dS??E
S
Si?1
i
?dS
??Ei?dS
i?1
S
n
?
这就是高斯定理。
1
?0
?q
i?1
n
i
要说明的是，在选择高斯面时注意这几点： 1. 需求场强的场点要在高斯面上；
2. 高斯面上各部分或者与场强E垂直，或者与场强E平行，或者与场强E
有恒定的夹角；
3. 各部分高斯上垂直于高斯面的场强的大小应各自为一常值；
4. 高斯面的形状应比较简单。
另外，对于高斯定理还有几点注意：
1. 定理中的E是指空间某处的总电场强度。若用E外，E内 分别表示高斯
面外，内的电荷在高斯面上产生的场，则在该处的总场强E=E外+E内； 2. 注意高斯定理表达式中E和dS的矢量性； 3.
是高斯面内正、负电荷电量的代数和，不能因为合曲面内没有电荷；
4. 由于高斯定理是由点电荷间的相互作用的平方反比定理（E?
为零就认为闭
Q4??0r
2
）
得到的，所以高斯定理平方反比定律的必然结果。 高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。
[参考文献]
[1] 张丹海、宏小达 ，简明大学物理（第二版）[M],北京：科学出版社，2008年第2版 [2] 成都物理晚报（2002）
[3] 籍延坤，大连铁道学院学报[J]，2004年9月第25卷第3期：13～15 [4] 袁艳红，新疆教育学院学报[J],2000年12月第16卷第4期：84～85
范文二：§11-3 静电场的高斯定理
电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
,1、用电场线描述 E
,,规定： 方向：电力线切线方向 E,,,,大小：的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数,E
dN= ds
dN即 E,ds
,（即：某点场强大小=过该点并垂直于的面元上的电力线密度。） E
2、静电场中电场线性质
?不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
?任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电
场强度通量，用
,表示。 e
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场
,,?平面S与垂直。如图所示，由的 EE大小描述可知：
,,?平面S与夹角为,，如图所示，由 EE的大小描述知：
,,,,,,,,,ESEScos,ES(S,Sn) e,
,,S式中为的单位法线向量。 n
2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量 如图所示，在S上取面元，可看成平面，上 dSdSdS
,,,,,,可视为均匀，设为dS单位法向向量，dS与该处夹角为，则通过电dS,nEEE
场强度通量为：
,,,,,dEdS e
通过曲面S的电场强度通量为：
,, ,,d,,E,dSee,,s在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量
,,,EdS e,s注意：通常取面元外法向为正。
高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电
通量
的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，
S为正点电荷，为以为中心qq
以任
,,意rS为半径的球面，上任一点p处为： E
,q,E,e r2r4,,0
S2、通过闭合曲面的电场强度通量为：
,,,,qq,,E,dS,,dS,e,dS 22,,,errr,,44,,00sss
, ds（、同向） r
qqqdSdS,,, ,,22rr,,,44,,000ss
结论：与无关，仅与有关 ,r(,,const)qe02、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量
?在S内情形 ，q
如图所示，在S内做一个以为中心， ，q
任意半径r的闭合球面S，由1知，通过S11
q的电场强度通量为。?通过S的电力线 1,0
必通过S，即此时，?通过S的 ,,,eses1
q0电场强度通量为EdS,,,, e,,0s
?在S外情形。 ，q
此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即 穿入与穿出S面的电力线数相等，
,,,,EdS0? e,s
,结论：S外电荷对无贡献 e
q,, 在S内 q,e,0,,
0 在S外 q
3、点电荷系情况
在点电荷q,q,q,,,,q电场中，任一点场强为 123n
,,,,,E,E，E，E，,,,，E 123n通过某一闭合曲面电场强度通量为：
,,,,,,,，，,,E,dS,E，E，E，,,,，E,dS 123en,,ss
,,,,,,,,1,E,dS，E,dS，E,dS，,,,，E,dS,q ,n,1,2,3,,S0ssss内
1即,,,,EdSq ,e,,Ss0内
上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电
荷的代数和除以。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高,0
斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：?以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便
于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明
?高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更
广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时
间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
?高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代
数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。
>0时，不能说S内只有正电荷 ,,,,,,1,当,,E,dS,q <0时，不能说s内只有负电荷>
=0时，不能说S内无电荷
注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。
,,1?高斯定理说明,,E,dS,q与S内电荷有关而与S外电荷无关，,e,,S0s内
,,这并不是说只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上，是由SEE
内、外所有电荷产生的结果。
?高斯面可由我们任选。
四、应用高斯定理求场强
下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，
应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。
1. 一均匀带电球面，半径为，电荷为，求：球面内外任一点场强。 ，qR
解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径
,向外，以O为球心任意球面上的各点值相等。 E?球面内任一点的场强 P1
以O为圆心，通过P点做半径为的球面为高斯面，高斯定理为： rS111
,,1 E,dS,q,,,S0s1内1
,,,dS?与同向，且S上值不变 EE1
,,2?E,dS,E,dS,EdS,E,4,r 1,,,sss111
1 q,0,,S01内
2,E,4,r,0 1
?E,0
即均匀带电球面内任一点P场强为零。 1
注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上
电荷在球面内产生场强的矢量和=0。
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个
别点有可能为零）
?球面外任一点的场强
以O为圆心，通过P
rS点以半径做一球面作为高斯面，由高斯定理有： 222
124,E,r,q 2,0
q,, E24,,r0
POq,0方向：沿方向（若，则沿方向） OP2
,结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷 0 (r,R)E,,,在该点产生的场强一样。 ,q, (r,R)24,,r0
2．有均匀带电的球体，半径为，电量为，求球内外场强（8-13）。 ，qR
解：由题意知，电荷分布具有球对称性，?电场也具有对称性，场强方向由球心
,向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的相同。 E
,（1）球内任一点PE,?的 1
以O为球心，过P点做半径为r的高斯球面S，高斯定理为： 111
,,1 E,dS,q,,,S0s1内1
,,,?dS与同向，且S上各点值相等， EE1
,,2?E,dS,E,dS,EdS,E,4,r 1,,,sss111
1q4q33q,,r,r, ,11343,R,3S001内R,,03
q23,,E,4r,r 113R,0
q?, Er134,,R0
,,OPq,0 沿方向。（若，则沿方向） EEPO1
,结论：E,r 1
注意：不要认为S外任一电荷元在P处产生的场强为0，而是S外所有电111
荷元在P点产生的场强的叠加为0。 1
,（2）球外任一点PE,?的 2
以O为球心，过P点做半径为的球形高斯面S，高斯定理为： r222
,,1 E,dS,q,,,S0s2内2
由此有：
124, E,r,q2,0
q ,,E24,,r02
, 沿方向 EOP2
结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷
全部集中在球心处的点电荷产生的场
强一样。
,q(r,R) E,r,1134,,R,0
,,
q (r,R)24,,r0
曲线如左图。 E,r
3．无限长均匀带电圆柱面，半径为，电荷面密度为,,0，求柱面内外任一点R
场强。
解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，
,并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点值相等。 E
,1）带电圆柱面内任一点PE,?的 1
以OO’为轴，过Pr点做以为半径高为h的圆柱高斯面，上底为S，下底111为S，侧面为S。高斯定理为： 23
,,1E,dS,q ,,,S0s内
在此，有：
,,,,,,,, E,dS,E,dS，E,dS，E,dS,,,,sss123s
,,dS,E?在S、S上各面元，?上式前二项积分=0， 121
,,又在S上dS与同向，且=常数， EE3
,,? E,dS,EdS,EdS,E,2,rh1,,,ss33s
1q,0 ,,S0内
,E,2,rh,0 1
? E,0
结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0
,2）带电柱面外任一点场强E,?
'以OOr为轴，过P点做半径为高为的圆柱形高斯面，上底为S’，下h212
底为S’，侧面为S’。由高斯定理有： 23
1E,2,rh,,,2,Rh 1,0
,,,2R,, E2,,r02
?,,,,2,R,,,2,R,1=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=,
,,,?,，由轴线指向P。时，沿P指向轴线 EEE2,,022,,r02
结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带
电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。
4.无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求平面外任一点场强。 ，,解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距
,平面相同的任意二点处的值相等。设P为考察点，过P点做一底面平行于平面E
的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S，左端面为S，侧面为S，高斯123
定理为：
,,1E,dS,q ,,s,S0内
在此，有：
,,,,,,,, E,dS,E,dS，E,dS，E,dS,,,,ssss123
,,dS,E?在S上的各面元，?第三项积分=0 3
,,,又 ?在S、S上各面元dS与同向，且在S、S上=常数， EE1212
?有：
,,E,dS,EdS，EdS,EdS，EdS,ES，ES,2ES121,,,,,sssss1212
11qS,,, ,1,,00S内
1E2SS ,,,,,11,0
,即： E,（均匀电场） 2,0
,,垂直平面指向考察点（若,,0，则由考察点指向平面）。 EE5.有二平行无限大均匀带电平板A、B，电荷面密度分别为1）；2）。，,,，,，,,,,
求：板内、外场强。
解：设P为二板内任一点， 3
,,,E,E，E AB
,,,E,E，E,，,即 AB2,2,,000设P为B右侧任一点（也可取在A左侧） 4
,,,E,E，E AB
,,即： E,E,E,,,0 AB22,,00上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用
高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立
的，但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条
,,,,件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯11q,?E,dS,q 4）由高斯定理E,dS,?,,,,ss,,SS00面，从而很方便的计算出值。应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称内内求出。 E性；2）适选高斯面；3）计算
范文三：2.静电场中的高斯定理
《大学物理》作业 No .2 静电场中的高斯定理
班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________
说明：字母为黑体者表示矢量
一、 选择题
1.关于电场线，以下说法正确的是
[ ] (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；
(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平
行；
(C) 开始时处于静止的电荷在电场力的作用下运动的轨迹必与一条电场线重合； (D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.
2.如图2.1，一半球面的底面圆所在的平面与均强电场E的夹
角为30° ，球面的半径为R，球面的法线向外，则通过此半球面的电通量为
[ ] (A) ? R2E/2 . (B) ?? R2E/2. (C) ? R2E. 2
(D) ?? RE.
3.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是
[ ] (A) 如高斯面上E处处为零,则该面内必无电荷；
(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E处处为零； (C) 如高斯面上E处处不为零,则高斯面内必有电荷；
(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零； (E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场
4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb(Ra?Rb) , 所带电量分别为Qa和Qb，设某点与球心相距r , 当Ra?r?Rb时， 该点的电场强度的大小为：
[ ] (A)
14??0
?
Qa?Qb1Qa?Qb
(B) ?r24??0r2
(C)
14??0
?(
QaQb1Qa?) (D) ?2 22
4??0rrRb
5. 如图2.2所示，两个“无限长”的、半径分别为R1和R2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为?1 和?2， 则在内圆柱面里面、距离轴线为r处的P点的电场强度大小
???2
[ ] (A) 1
2??0r
(C)
?1?2
(B) ?
2??0R12??0R2
(D) 0
?1
4??0R1
二、 填空题
1.点电荷q1 、q2、q3和q4在真空中的分布如图2.3所示,图中S为闭合曲面,则通过该闭合曲面的电通量E?dS,
S
?q1
?q
2 ?q4
?q3 S
式中的E 是哪些点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和？答：是 .
2.如图2.4所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q,相距2R,若以其中一点电荷所在处O点为中心,以R为半径作高斯球面S,则通过该球面的电场强度通量?= ;若以r0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a、b 两点的电场强度的矢量式分别为 ， .
三、计算题
1. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为???数，试求球体内、外的场强分布。
图2.3
图2.4
?Ar?0
(r?R)(r?R)
, 其中A为一常
2.一对“无限长”的同轴直圆筒，半径分别为R1和R2（R1?R2），筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度电量分别为?1和?2。试求空间的场强分布。
范文四：静电场—电场线和高斯定理
黄山学院教学课件
大学物理学电子教案
静电场的性质与计算
7-4 电场强度通量 高斯定理 电场强度通量 高斯定理 高斯定理应用举例 7-5 密立根测定电子电荷的实验
复 习
? ? ? ? ? ? ? 电荷的量子化 电荷守恒定律 库仑定律 静电场的概念 电场强度 电场强度叠加原理 电场强度的计算
7-4 电场线和电场强度通量 高斯定理
一、电场线 一、电场线
1、定义
电场线是在电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇 电场线上每一点的场强的方 向与该点切线方向相同，而且电场 线箭头的指向表示场强的方向。
+q
K E
?q
K E
2、几种典型的电场线分布
K E
+q
?q
规定：
（1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向; （ 2 ）曲线的疏密程度表示该点场强的大小，即在该点附近 垂直于电场方向的单位面积所通过的电力线条数满足：
dN E= dS ⊥
3、电场线密度的计算
定义：经过电场中某一点，作一与该点 场强垂直的面积元ΔS，若通过dS面的 电场线条数为Δ N，则电场线密度为Δ N/ Δ S。 ΔN
E=
ΔS
4、静电场的电场线特点
对于匀强电场，电场线密度处 处相等，而且方向处处一致。
? 电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电 荷（或终止于无穷远），不是闭合曲线； ? 任何两条电场线都不能相交,在没有电荷的地方不会中断。
5、关于电场线的几点说明
? 电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况； ? 电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在; 视频：点电荷 ? 电场线图形可以用实验演示出来。 电场演示器
二、电场强度通量 二、电场强度通量
1、定义
通过电场中某一面元的电场线的条数叫做通过这一面元 的电场强度通量，用符号 Φe 表示。
2、匀强电场对平面的电通量
引入面积矢量
K K 平面 S 与 E 平行时
K K dS = dS ? en
Φ e = ES
K E
K E
K S
K S
K K 平面 S 与 E 有夹角 θ 时
d Φ e =E ? dS ⊥ =E ? dS ? cos θ K K K K =E ? dS = E ? en dS
dS
θ
θ
K E K en
dS ⊥
3、非均匀电场对曲面的电通量
面元dS
K K d Φ e = E ? dS
S
K dS
S
θ K
K en
E
K K Φ e = ∫∫ E ? dS
对封闭曲面
K K Φe = w ∫∫ E ? dS
S
4、面积矢量方向的规定
? 闭合曲面外法线方向(自内向外) 为正。 ? 非闭合曲面的曲面法向与边界绕行方向 成右手螺旋法则关系的方向为正向。 K
G θ en
G en G en
θ
K E
K en d Φe = 0
K E
K en
E
K en
d Φe > 0
K E
d Φe
三、高斯定理 三、高斯定理 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就： (1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电 的研究、利用
绝对单位（长度、质量和时间）法测量 度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行 德国数学家、 天文学家和物 理学家。高斯 在数学上的建 树颇丰，有“数 学王子”美称。 为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。 (4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概 率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高 斯误差曲线。 (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
1、高斯定理的内容
通过任一闭合曲面的电场强度的通量，等于该曲面所包围 的所有电荷的代数和除以ε0，与封闭曲面外的电荷无关。
Φe = w ∫∫
2、证明
S
K K E ? dS =
∑q
ε0
int i
dq ∫∫∫ 或
int
q1′
qi
S
q1
K dS
′ qn
ε0
K E
K en
qi′
qn
出发点：库仑定律和叠加原理。分下列情况证明 ?通过一个与点电荷q 同心的球面S的电通量 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
S
q
r
K K dS
K E
K E=
q 4πε 0 R 2
K K K K e r ，dS = dS ? e n = dS ? er
q dS 2 4πε 0 R q q Φe = w ∫∫ S d Φ e = w ∫∫ S 4πε 0 R 2 dS = 4πε 0 R 2
K K d Φ e = E ? dS = EdS =
1
w ∫∫
S
dS =
q
ε0
此结果与球面的半径无关。或者说，通 过各球面的电场线总条数相等。从 q发出的 电场线连续的延伸到无穷远。 ? 包围点电荷q的任意封闭曲面S' 对于任意一个闭合曲面S’，只要电荷被 包围在S’面内，由于电场线是连续的，在没 有电荷的地方不中断，因而穿过闭合曲面S’ 与S的电场线数目是一样的。
q
K r
K E
S q S′ ?
电场线
? 通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量为零 由于电场线的连续性可知，穿入 与穿出任一闭合曲面的电通量应该相 等。所以当闭合曲面无电荷时，电通 量为零。 ? 多个点电荷的电通量等于它们单独存q 在时的电通量的代数和 利用场强叠加原理可证
S
L
S′ ? q
电场线
K K K K K K ∫∫ E ? dS = w ∫∫ (∑ Ei ) ? dS = ∑ (w ∫∫ Ei ? dS ) w
S
q ∑ =∑ = ε ε qi
0 0
S
i
连续分布
K K ∫∫ E ? dS =
∫∫∫ dq
ε0
int
q2
视频：高斯定理
q1 qi
3、关于高斯定理的说明
? 高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面；
? ?
高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理； 高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑
定律更为广泛； ? 高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生 的，并非只有曲面内的电荷确定； ? 若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，但 高斯面上各点的电场强
度并不一定为零；
?
通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，
闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合 面上各点处的场强大小和方向；
?
不具有对称性的问题，高斯定理仍然成立，只是不便求解。
四、高斯定理应用举例 四、高斯定理应用举例
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场 的电场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性 时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是选 取适当的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包 括均匀带电的球 面，球体和多层 同心球壳等
柱对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
面对称分布：包括无 限大的均匀带电平 面，平板等。
应用步骤：
1. 进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布 的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见 的对称性有球对称性、柱对称性、面对称性等）。 2. 根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上； ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n 与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外 面。 3. 计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由 高斯定理求出场强。
例1 均匀带电球壳的场强。 设有一半径为R、均匀带电为Q的薄球壳。求球壳内部和外部 任意点的电场强度。 解：该电场具有球对称性。以球心 到场点的距离为半径作一球面，则 通过此球面的电通量为 K K 2 Φe = w E ? dS = E ? dS = 4 π r E ∫∫ w ∫∫
S S
高斯面
r
R
Q
K E
Q
R
根据高斯定理，通过球面的电 通量为球面内包围的电荷
K E
均匀带电球壳
高斯面
Φe =
K E=
q
当场点在球壳外时 q = Q
Q 4πε 0 r 2 K ? er
ε0
r
结果表明：均匀带电球壳外的电 场强度分布情况就象球壳上的电 荷都集中在球心处所形成的点电 荷在该区的电场强度分布一样。
当场点在球壳内时 q = 0
E=0
例2 均匀带电球体的场强。
设有一半径为R、均匀带电为Q的球体。 求球体内部和外部任意点的电场强度。 解：以球心到场点的距离为半径作一球面 作为高斯面，则通过此球面的电通量为
r
R
O
Q
K E
Φe = w ∫∫
S
K K 2 E ? dS = w E ? dS = 4 π r E ∫∫
S
根据高斯定理，通过高斯面的电通量 为球面内包围的电荷 Φ e = q / ε 0 当场点在球体外时 q = Q 当场点在球体内时
均匀带电球体
Q
K E=
K E=
Q 4πε 0 r 2
K ? er
K E
Q 4 3 Qr 3 πr = 3 q= 4π R 3 3 R 3
Qr K e ? r 4πε 0 R 3
O
R
r
例3 无限长均匀
带电直线的场强
设有一无限长均匀带电直线，电荷线密度 为λ，求距离直线为 r 处的电场强度。 解：以带电直导线为轴，作一个通过 P点，高为 h h 的圆筒形封闭面为高斯面 S，通过 S 面的电通 量为圆柱侧面和上、下底面三部分的通量。 K K K K K K K K Φe = w ∫∫ E ? dS = ∫∫ E ? dS + ∫∫ E ? dS + ∫∫ E ? dS
S 侧面 上底 下底
S
O
r
λ
K E
P
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电 通量为零。所以式中后两项为零。
Φ e = ∫∫
侧面
K K E ? dS = E ∫∫
侧面
dS = E ? 2π rh
此闭合面包含的电荷总量
∑q
i
i
= λh
K E =
K λ ?e 2 πε 0 r r
Φ e = E ? 2π rh = 1 λ h
ε0
其方向沿求场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。
例4 无限长均匀带电平面的场强。
设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷即电荷面密 度为σ，求距离平板为 r 处的电场强度。 解：由于电荷分布对于场点 P 到平面的 垂线 OP 是对称的，所以 P点的场强必 然垂直于该平面。作一对称于该无限大 平面的圆柱面做为高斯面 K K K K K K Φe = w ∫∫ E ? dS = ∫∫ E ? dS + ∫∫ E ? dS = 2ES
S 左底 右底
S
O
P
K E
高斯面所包围的电量为 由高斯定理可知
q = σS
σ
2 ES = σS / ε 0
由此可知，电场强度为 电场强度的方向垂直于带电平面。 K σ K E= ? en σ > 0 电场强度方向离开平面 2ε 0 σ
例5 两个带异号电荷的无限大平行平面的电场
设面电荷密度分别为 +σ1和 -σ2 解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接 +σ 1 -σ 2 应用高斯定理。然而每一个带电平面的场强先 K K 可用高斯定理求出，然后再用叠加原理求两个 E1 E2 带电平面产生的总场强。 C B A 由图可知，在A 区、B区和C 区的场强为两 K 块带电平面激发出的场强叠加。选定向右方向 +en 为正，则三个区域的场强分别为： K K K σ1 σ2 σ 2 ? σ1 K K K E A = E1 + E2 = ? (?en ) + ? (+ en ) = ? en 2ε 0 2ε 0 2ε 0 K K K σ1 σ2 σ 2 + σ1 K K K EB = E1 + E2 = ? (+ en ) + ? (+ en ) = ? en 2ε 0 2ε 0 2ε 0 K K K σ1 σ2 σ1 ? σ 2 K K K EC = E1 + E2 = ? (+ en ) + ? (?en ) = ? en 2ε 0 2ε 0 2ε 0
7－5 密立根测定电子电荷的实验
1909年密立根测量电子电荷；1923年获得诺贝尔物理奖。 方法：观察均匀电场中带电油滴的运动。
不加电场时
油滴在重力和阻力的 作用下，最后得到终 极速度。
mg ? 6πη rv1 = 0
6πη r v1 = mg
由此式可从实验中测量油滴的质量。
加电场时
油滴在重力、阻力和电 场力的作用下，最后也 得到终极速度。
mg ? 6πη rv2 -qE = 0
mg ? qE v2 = 6πη r
因而可得油滴的电荷为
密立根油滴实验的结果
6πη r (v1 ? v 2 ) q= E
?电子电荷的值
为e =1.603×10-19C，称为基元电荷； ?油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍 q = ne, n = ±1, ±2,…. 即 电荷是量子化的。
小 结 ? 电场强度通量 高斯定理
? 电场线 ? 电场强度通量 ? 高斯定理 ? 高斯定理应用举例
? 密立根测定电子电荷的实验
范文五：静电场中的高斯定理
物理与电子信息学院学年论文
目录
1前言 ....................................................................................... 1
2静电场中的高斯定理的定义 ............................................... 1
3高斯定理的推导过程 ........................................................... 2
3.1电场线 ........................................................................... 2
3.2电场强度通量 ............................................................... 3
3.3高斯定理的推导 ........................................................... 4
4高斯定理的应用 ................................................................... 6
参考文献： .............................................................................. 8
静电场的高斯定理
刘慧君（学号：20111104295）
（物理与电子信息学院 11级电子信息工程1班，内蒙古 呼和浩特 010022）
指导教师：刘淑琴
摘要：本文意在论述静电场中的高斯定理的定义、推导过程以及其在静电场中的应用方法。方法是通过讨论电通量与场源电荷之间的关系得出高斯定理，应用高斯定理求解几种情况下的场强大小及其分布情况，然后根据例题总结出高斯定理在静电场中应用的方法。
关键词：静电场；高斯定理；定义；推导过程；应用方法
中图分类号：O44 文献标识码：A
1前言
电磁学是研究电磁相互作用和电磁运动基本规律的一门学科，是经典物理学的一个重要分支，也是近代物理学不可缺少的基础。而静电场中的高斯定理就是电磁学的一部分，同时静电场中的高斯定理是电磁学中的重要定理之一。以前我们学习了匀场电场中有关场强的解答方法，但如果是在场强分布不均匀的电场中，我们又该怎样解出场强来呢？或许你想到了运用高等数学里所学习的积分来解答，积分对于大多数人来讲它过于复杂了。还有没有更加简单快速的方法呢？学习了静电场中的高斯定理之后，你会发现：原来一切都是那么简单。是的，运用静电场中的高斯定理你无需在使用复杂的积分，你只需要做一个简单的高斯面就可以快速解答一切有关求场强的问题了。无论它有多么复杂，只要你熟练掌握了静电场中高斯定理的应用方法。
2静电场中的高斯定理的定义
静电场中的高斯定理是电磁学中的重要定理之一，表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面S的电通量等于该面所包围的所有电荷电量的代数和除以?0，而与闭合曲面外
的电荷无关；数学公式表示为
S
s??EdS??q ?0式中表示沿一个闭合曲面S的积分，该闭合曲面S通常称为高斯面。由上式可
以看出闭合曲面的电通量只与闭合面内的电荷有关，闭合面外的电荷对闭合曲面的电通量没有贡献。
3高斯定理的推导过程
3.1电场线
引入电场线可形象地描绘电场在空间的分布。电场线是按下述规定的一系列假想曲线：曲线上任意一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线在某处的疏密程度表示该处的场强的大小。电场线可以用实验演示出来，图1中实线所示的是几种电荷的电场线分布。
(a)正点电荷 (b)负点电荷 (c)等量异号点电荷
(d)等量同号点电荷 (e)等量异号带电平行板
图1 几种特殊情况下电场线的分布
从图1可以看出，静电场中的电场线具有如下一些普遍性质：
（1） 电场线起始于正点电荷（或来自无穷远），终止于负点电荷（或伸向无穷
远），不会在没有电荷的地方中断；
（2）
（3） 电场线不会形成闭合线； 任何两条电场线电场线都不会相交。
注意：引入电场线是为了形象地表示电场的分布，并不是电场中真的有电场线存在，特别是，电场线一般都不是电荷在电场中的运动轨迹。
3.2电场强度通量
规定通过垂直于电场中某点场强方向的单位面积上的电场线数目，等于该点场强的大小。穿过电场中某一面积的电场线总数称为穿过这个面的电场强度通量，简称电通量，用符号?e表示。则穿过电场中垂直于某点场强方向的某一面积dS?的电通量d?e为d?e????EdS?。对于电场中的任意面元dS,定义面元矢量dS?dSn0，n0为法向单位矢量。
?与n0的夹角为??设该处场强E，如图2所示，穿过dS?的电场线数目也就是穿过垂直于E
的投影面元dS?(即dS?)的电场线数目。由于dS??dScos?，故通过面元dS的电通量d?e可表示为
??d?e?EdS??EdScos??EdS （1）
图2面元的电通量
即通过任一面元的电通量等于该点处场强与其面元矢量的标量积。（1）式定义的电通量有正有负：当???
2时，d?e?0；当???2时，d?e?0。
对于有限大曲面S，场强大小和方向一般都是逐点变化的。要计算通过它的电通量，就必须先把它分成许多个无限小面元，按上式表示出各面元的电通量，然后积分即可求
出通过该曲面的总电通量为
?e???
S??EdS （2）
对于闭合曲面S，其电通量为
?e?S??EdS （3）
对于不闭合的曲面，面上各处的法线方向可以任意规定。对于闭合曲面，由于它将整个空间分割为内外两个区域，要区分电场线是穿入还是穿出该面，一般规定自内向外的方向为正法向。因此，电场线穿出的地方（如图3中的A处）电通量为正；电场线穿入的地方（如图3中的B处）电通量为负。
图3 穿过闭合曲面的电通量
3.3高斯定理的推导
设电场是由单个点电荷q产生的，根据其场强分布具有球对称性和电通量的定义，
?以此点电荷为球心作一个半径r的球面S0,如图(a)所示，球面上各处dS的法向均为径
向r，因而与场强E同向，则通过球面的电通量为
?e???S??EdS?SEdS?q4??0r2SdS?q4??0r24?r2?q?0 （4）
这一结果与球面的半径r无关，只与它所包围的电荷有关，即对以q为球心的任意球
面都有上述结果。
再设想另一个闭合曲面S，它与球面S0包围的是同一电荷q。由于电场线的连续性，
通过S的电通量和通过S0的电通量是一样的。因此，通过包围点电荷q的任意形状的闭合曲面的电通量都等于q
0。
(a)包含点电荷q (b)不包含点电荷q
图4 高斯定理的推导
如果闭合曲面S不含该点电荷q，如图(b)所示，则根据电场线的连续性，由一侧穿进去的电场线条数一定等于从另一侧穿出来的电场线条数，即电通量为0。因此，单个点电荷q所产生的电场对任一闭合曲面的电通量为
q???（q在S内）?EdS??0 （5）
?0q不在S内）?（?e?S
对于点电荷q1,q2,...,qn组成的点电荷系，根据场强叠加原理，在它们的电场中的任一闭
合曲面S的电通量为
?e?S??EdS?S???E1dS?2dS?...?SS??EndS??e1??e2?...??en
qi?ei为单个点电荷qi的电场通过S的电通量，当S包围qi时?e等于i
i0；当S不包围qi时?e等于零。因此在点电荷系的电场中，有
?e?
?式中的ES??1EdS??0（S内）?qi （6） 为n个点电荷在dS处激发的总场强，?qi是包围在闭合曲面S内的总电量。
S内
上式表明静电场的高斯定理成立。由于任意带电体的电场可以看成无限多个电荷元电场的叠加，故（4）式对任意带电体的电场都成立。
4高斯定理的应用
例 1 求均匀带正电球体内外的电场分布，设球体带电量为q，半径为R。
解 由于电荷分布的球对称性，它所激发的电场也具有球对称性。故可选取半径为r的球形高斯面，此球面上的场强大小处处相等，方向均与所在处法向一致。
（1）当r
由于球体均匀带电荷，高斯面内的电荷为
q
4
3?343?r?3qR3r 3?r
由高斯定理，应有 图5 匀强带电球体的场强分布
q
E14?r2?R3r3?0 q故球体内的场强大小为E1?4??0R3r
（2）当r>R时，穿过高斯面的电通量为
S2??2E2dS?E24?r
高斯面内的电荷为q，由高斯定理，可得球体外的场强大小为
E2?q4??0r2
即均匀带电球体内一点的场强大小与场点离成正比，
而体外的场强分布则完全类似于点
电荷。
例 2 求半径R的无限均匀带正电圆柱面的场强分布，电荷面
密度为?。
解 由于电荷分布的轴对称性，它所产生的电场也具有轴对称性，
即离开圆柱面轴线等距离的各点的场强大小相等方向都垂直于圆柱
面（带正电荷时向外）。根据这种对称性，求圆柱体外一点P的电场
时，过P作一同轴闭合圆柱面S，其高为h、半径为r。
由上可知，该圆柱侧面上各点的场强大小相等，方向都与圆柱
侧面正法向一致，而上下底面的正法向却与其上的场强处处
垂直。因此，通过S面的电通量为
??EdS???EdS???EdS???EdSS??S侧??S上??S下
?ES侧?0?0?E2?rh
S面包围的电荷为?2?Rh，根据高斯定理应有
E2?rh??2?Rh0
故 E??R
?0r 图6 带正电圆柱面的场强分
例 3 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强分布，电荷面密度为?。
解 由于电荷分布的平面对称性，它所激发的电场也具有平面对称性。在离平面等距离的地方场强大小相等，两侧场强方向相反且均背离平面。故选取侧面与带电平面垂直、面积均为?S的两底面与带电平面平行的对
称柱形高斯面。此柱面的电通量为
S??EdS???S侧??EdS???S左??EdS???S右??EdS
?0?E?S?E?S?2E?S
柱面包围的电荷为??S，根据高斯定理应有 图3 无限大带电平面的场强分布
2E?S???S0
故 E??
2?0
上式表明，无限大均匀带电平面两侧附近是匀强电场，场强的大小与场点到带电平面的距离无关。
从以上例子的讨论可以看出，只有电荷分布具有某种对称性，才可相应地选取简单的几何面作为高斯面，使高斯面上各点的场强与该点的法向或垂直或平行，如此便可简单地算出电通量S??EdS，从而由高斯定理求出场强分布。不具有对称性分布的带电体
系，其电场不能直接用高斯定理求得，但并不是说这种带电体系的电场不满足高斯定理。
参考文献：
[1]周培勤.大学物理学.内蒙古自治区呼和浩特市：内蒙古大学出版社. 2011年12月，109-119.
