渐近无偏矩估计量

范文一：渐近无偏矩估计量

渐近无偏矩估计量

第31卷

Vo1.31

第3期

No.3

西南师范大学(自然科学版)

JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScience)

2006年6月

Jun.2006

文章编号:1000—5471I2006)03—0019—05

AsymptoticallyUnbiasedMomentEstimators

Z0uJie—ruiLINGCheng—xiu.

7.CollegeofMathematics.SichuanUniversity.Chengdu610064.China; 2.SchoolofMathematicsandStatistics.SouthwestUniversity.Chongqing400715.China Abstract:Inthispaper,theauthorsgiveoutasymptoticallyunbiasedmomentestimator,whichisbasedonmoment

estimator.Furthermore,itsvarianceisnottoolargeevenifalargenumberofupper-orderstatisticsisusedinappli—

cations.ThebiascorrectedprocessproducesanestimatorofthesecondparameterP. Keywords:extremevalueindextunbiasedestimator;momentestimator;secondorderparameter;regularvariation

CLChumbet:0211.3Documentcode:A

Itisanimportantsubjectdiscussingestimatorsofextremevalueindex.Manyauthorshaveproposed

variousestimators(seeE1—

63).Inthispaperwewillderiveunbiasedestimatorswhicharebasedonno—

mentestimatorin[13,whichmayleadtoawideflatterregionoftheindexestimatorsevenifweu

sea

largenumberofupperorderstatistics,itsvarianceisnottoolargeevenifoneusesalargenumbe

rofup—

per-orderstatistics.Someotherbiascorrectedestimatorscanbefoundin[7]andE83,whichar

easymp—

toticallynormalonlyifthebiasoftheoriginalestimatorsisnegligible. Toobtainthemainresults,weneedthefollowingsecond—

orderregularlyvariationconditionsand

somelemmas.ThesignsarethesameasE13.

Lemma1AssumethatF?

D()andsatisfythefollowingsecond-ordercondition(seerelation<2.9),in

[9]):thereexistfunctions口(f)>0,and6(,)0withconstantsignnearinfinitysuchthatast.. 【,(垃)一【,(t)z7—1

口(f)y

b(f)一H()(1)

holdslocallyuniformlyforx>0andH()isassumednottobeamultiplierof(一

1)/y(H()takesthe

formas[43forsomep<O),and志o.,志

/O,thenwehavethefollowingthreeexpansionexpressions ofyA

(志)for===1,2and.,AMaccordingtoy>0,y一0andy<0.

(i)fory>0

争(志y+y+?6(y)+op(6(y,广))

志)=2+?+(一)?b(Ytr~k,n)+0(1/)+Op(6(y))

2+?+y+0(1/(6(y)

收稿日期:2005—12—06

基金项目t西南大学青年基金资助项目(210—413050).

作者简介:邹估教(1983一).男.重庆市人.硕士研究生,主要从事应用数理统计方面

的研究

20西南师范大学(自然科学版) (忌)一2(忌)一?(一4+.6(y…)+.+.( )一y+(譬--(X--2)P~)++D(1/厕(6(y) (il)fory一0

yA(忌)一

A2(忌)一

第31卷

z(畿导).?[c)+2?(一)6cYn-k,n)+0(胴y)] 一

[一4)+6(y一1/厕(6(y)]? [一z一cy]

[一4)+6(y+0(1/厕(6(y]

)=(譬一2P:)+6(y

(III)fory<0 忌一?[+P一(6(y)]

()[

一

忌=()[(南)

lb(y

一

y—p)

)+.(I/4~-)(6(y)] b(Y)+0(1/)+0(6(y.))l

…

k一2(1-X)A2().P,-2[一 1丽1:].6(y+D(1(y")(一2y)(一y).(1一y一.D)J…'….…"f

一丁(1-X)2A2.? {Q+4X.P.-2[}二一

2X(1一),)

(1一),)(1+0(6(y.,))}(6)

!:二二?.'

y(1一y—ID)(1—2y—ID) b(Y,广.)+o(1/)+0(6(ynk,n))(7)

ProofWith(1)andLemma2.3in[1],applyingtheproofofTheorem3.2in[103,onecanreach

theresults. y

_._

一

,,,,

,?,,L

,,,,

一

一+

一

r.j一一2

第3期ZOUJie—rui,etal:AsymptoticallyUnbiasedMomentEstimators

Theorem1Forthesameconditionsof[.emma1,andthenumberoftheupperorderstatisticsksa

tisfies

..,cx.) ??b(n/k)一?(一

thenformornantestimat.ry(是)in1-1],thefoil.wing(是)isunbiasedf0rthetrueextremeva1u

eindexy.

(1)Fory>0,let

then

"一

,,',

AI.

1D一—log—2l.g

一

淼)一2())'

yA()一2(意))

Furtharm.rewithll,l2,anestimat.r.fdll,l2,replacingA,M(是) ,lD

Af.ry

,ID,respective1y,wehave c.,2(k)--2))

then

(ii)Fory一0,let

===y十

一y十

(譬一c),--2)po)一 (譬一

?y?(一4P:)+o(1/?) (y一2)po一二.(QO一4P:)+D(1/?)1

A1.

1D一g

d2l:=:

dzz一

(1一.D)

(1一D)

棚

()一2())

州

()一2((n)) Nowwith2l,22,anestimat.r.fd2,d2z,replacinglDAf.

ID,wehave 觚象?

then

一,

2P:一

磬?c一4/

~(Q~--4po)--ko(1/v'-~

(iii)Fory<0,let

一

警

d32一一2l1y)(1一y—p)(1—12r)(1一

(8)

22西南师范大学(自然科学版)第31卷

);

查)二AM:.查

(南),A2.(南)

andwith台31,台32,anestimatorof31,3z,replacingyAM),PA(惫)fory,P,respectively,wehave

,?奄,一

?[A…k,一惫,

(1一yAM(惫)):.

+o(1/?)

一y+?(2)一?[]

Proof(i)Fory>0.Since(2)inLemma1holds,combiningLemma3.4in[1]and(8)forsome

R,wehavPA三P.

Using(2)and(3)again,wegettheresult. (1i)Fory一0.Let7-一min(O,y),thena(t)/U(t)?RV一

.Since(4)inLemma1holds,SOdoesLem—

ma3.4in[1],and(8)forsome?R,wehavlDAP.

Using(4)and(5)again,.necaneasilygetthe result.

(iii)Fory<0.Since(6)inLemma1holds,combining(8)inTheorem1,and(1)holdsforsome

0,wehavPA三P.

Using(6)and(7)again,onecaneasilygettheresuh. Corollary1UndertheconditionsofTheorem1,onecaneasilygettheasymptoticallyunbiased

prop—

ertiesof.i.e.as..

?((是)一y)一aN(0,.(y))(9)

where

(y)=

:一全兰 {七(譬一c;,c七一z尸

一

?(1一yAM(七))(1—2yAM()),AM(七)

(一4_P:)1.l/J

(z)._

(?)meanstheasymptoticalexpectationof(?). 冬?[+P]

7>0

7—0

}

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渐近无偏矩估计量

邹佶叔,凌成秀

1.四川大学数学学院,成都610064;2.西南大学数学与统计学院,重庆400715

摘要:给出了檄值指数y的一类渐近无偏的矩型估计量,当估计量中的上端顺序统计量的个数k取得较大时,其渐近方差比

较稳定,并给r的选择.在估计量的偏度修正过程中,给}H了二阶参数l.的估计量. 关键词:极值指数;无偏估计量;矩估计量;二阶参数;正规变换

责任编辑覃吉康

范文二：渐近无偏矩估计量_英文_

( )J o urnalof So ut hwest China Nr moal U nive rsit y Nat ural Science Vol . 3 1 No . 3 J un . 2006

() 文章编号 : 1000 5471 200603 0019 05

Asymptot icall y Un bia sed Moment Est ima tors

1 2ZO U J i2r ui, L IN G Che ng2xi u

11 Colle g e of Ma the ma tic s , Sic hua n Unive rsit y , Che ng du 610064 , China ;

21 S chool of Ma the ma tic s a nd St a tis tic s , S outhw e s t Unive rsit y , Chong qing 400715 , China Abstract : In t hi s p aper , t he a ut ho r s give o ut a symp to tically unbia sed mo ment e stimato r , w hich i s ba sed o n mo ment e stimato r . Furt her mo re , it s variance i s no t too la r ge even if a lar ge number of upper2o rder stati stic s i s used in appli2

ρcatio ns. The bia s co r rect ed p roce ss p ro duces an e stimato r of t he seco nd p ara meter.

Key words : ext reme val ue index ; unbia sed e stimato r ; mo ment e stimato r ; seco nd o r der pa ra met er ; regula r variatio n

Document code : A CLC number : O2111 3

It i s a n i mpo r t a nt subject di sc u ssi ng e sti mato r s of e xt re me val ue i nde x . Ma ny a ut ho r s have p ropo sed

( ) va rio u s e sti mato r s see [ 1 6 ]. In t hi s p ap e r we will derive un bia se d e sti mato r s w hich a re ba sed o n mo2 me nt e sti mato r i n [ 1 ] , w hic h ma y lea d to a wi de f lat t e r regio n of t he i nde x e sti mato r s eve n if we u se a la r ge numbe r of upp er o r de r st ati stic s , it s va ria nce i s no t too la r ge eve n if o ne u se s a la r ge n umber of up2 p e r2o r der st ati stic s. So me o t he r bia s co r rect ed e sti mato r s ca n be fo und i n [ 7 ] a nd [ 8 ] , w hic h a re a symp2 to ticall y no r mal o nl y if t he bia s of t he o ri gi nal e sti mato r s i s ne gli gi ble .

To o bt ai n t he mai n re sult s , we need t he follo wi ng seco nd2o r de r regula rl y va riatio n co nditio n s a nd so me le mma s. The si gn s a re t he sa me a s [ 1 ] .

( ) ( () Lemma 1 Assume t hat F ? D Gγand satisf y t he following seco nd2order co nditio n see relatio n 21 9, in ) ) )( ( [ 9 ]: t here exist f unctio ns at> 0 , and bt 0 wit h co nstant sign near infinit y such t hat as t ?

γ ( ) ( ) U t x - U t x - 1 - γ ( )a t ( )( )H x 1 ( )b t

γ hol d s locall y u nifo r ml y fo r x > 0 a nd H ( x) i s a ssumed no t to be a multip lie r of ( x- 1) /γ( H ( x) t a ke s t he ρ ) fo r m a s [ 4 ] fo r so me< 0,="" a="" nd="" k="" k/="" n0="" ,="" t="" he="" n="" we="" ha="" ve="" t="" he="" follo="" wi="" ng="" t="" hree="" e="" xp="" a="" n="" sio="" n="" e="" xp="" re="" ssio="" n="" s="">

? ? M of γ( k) fo r j = 1 , 2 a nd γacco r di ng to γ > 0 , γ = 0 a ndγ < 0="" .="" n="" ,="" j="" n="">

γ Β fo r > 0

? 1 0γ γ) ( ( ) )( γ( )p k =+?P n + ?bY n- k , n + o b Y n- k , n n , 1 ρ 1 -

? 1 γ 22 2 0 γγ- 1 ) ( ) ( ( ) )( γ( k) n + p n , 2 = 2+?Q ?bY n- k , n + o 1/ k + o b Y n- k , n 2ρ ( ρ) 1 -

γ( ρ)22 - 2 2 0 + γγ( ( ) = 2+?Q ( ( n ?bYn- k , n ) + o1/ k+ o p n- k , n ) ) bY 2( ρ) 1 -

06 ? 收稿日期 : 2005 12

( ) 基金项目 : 西南大学青年基金资助项目 210 413050.

( ) 作者简介 : 邹佶叡 1983 , 男 , 重庆市人 , 主要从事应用数理统计方面的研究.

()第 31 卷20 西南师范大学学报自然科学版

? γ2 22 2 0γ ( ( ) ( ) γγn + ) ( ( ) ) n , 1 k=+ 2?P ?bY n- k , n + o1/ k+ o bY p n- k , n ρ1 -

w hich i mp lie s ? ? ργ2 0 2 2 0) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) γ( k) 2γ( k) γ( - 4 Pn + n- k , n p n- k , n n , 2 , 1 = ?Q ?b Y+ o 1/ 2 - n n + o b Y k 2( ρ) 1 -

0 ? Qn 0 γ - ργ +ρ Mγ ( )γ )( ) ( ( ) ) n k (γ ) ( ( )= + + + op bY - - 2Pn + o 1/ k 3 ?bY n- k , n n- k , n 2γ( ρ) 2 1 - γ Χ fo r = 0

? ) ( a Yn - k , n 1 0 ( ) ( ( ) )γ( )1 + n + b Y + obn/ kPk = n- k , n p n , 1 ρU ( Y ) 1 - n- k , n

2 ? )( ρa Y n- k , n 2 0 2 + Qn + ( ) ( )( ( ) )γ( k) bY n- k , n + o1/ k + obn/ kn , 2 = p 2( ρ) U ( Y ) 1 - n- k , n 2 ? )( 2 a Y 0 2n- k , n γ ( )1 + 2 Pn + ( (( ) )b Y n- k , n + o1/ k ) + op bn/ k ( k) n , 1 = ρ1 - )( U Y n- k , n

w hich al so i mp lie s

2 ? ? )ρ( aY n- k , n 2 - 2 2 0 0 ( ) - γ( γ( ( ) ( ))) ( n k 2k( + o 1/ k ) ) - n = ? Qn - 4 P+ 2 ? b Y n- k , n + op b Y n- k , n n , 2 , 1 2ρU ( Y ) ( ρ) 1 - n- k , n 1 -

? ρ2 0 0 2 ) ( ) ( )+ o( b( Y ) ) 4 Pn + bY n- k , n + o1/ k p n- k , n γ( ) Q-?n =, 1 k? n 2( ρ) 1 -

0 2 1 - 2 Q- ( )n b Y n- k , n ρ1 -

? ρ 2 0 0 2 ) ( ) ( )+ o( b( Y ) ) γ( ) Q-4 Pn + bY n- k , n + o1/ k ( )p n- k , n =, 1 k? n 4 n 2( ρ) 1 -

0 ? ? Qn ρ 0 Mγ 2 Pn ( ) γ( )( )( ) + bY + k5 k= -n- k , n n , 1 n 2 ( ρ) 2 1 -

γ ? fo r < 0="">

? )γ( V Y - 1 n- k , n b( Y ) + o( b( Y ) ) γ( k) n - P?n- k , n p n- k , n n , 1 = + γ( γ) ( γ ρ))1 - 1 - 1 - - ( U ?

2 2 ? )( V Y n- k , n γ2 n + Qγ( k) n , 2 = ( )( γ) ( γ)U ?1 - 1 - 2

1 1 ( ) ( ) ( ( ) )- 2 Y n- k , n + o1/ k+ op bY n- k , n b- ( γ) ( γ ρ)( γ) ( γ ρ)1 - 1 - - 1 - 21 - 2-

2 2 ? γ γγV ( Y ) 2 2 n- k , n 2γ )( ( ) )( ( ) bY n- k , n + op bY n- k , n P n + + o 1/ k - ( )k= n , 1 2 γ)γ ( γ) ( γ ρ)( 1 - U ?1 - 1 - 1 - -

2 ? ? γ ( γ) ( ) 1 1 4 V Y 2 1 - 2 n- k , n γ( )γ( k) - ?P- 2?, 1n k = n , 2 Qn + n - - ( γ) ( γρ) ( γ) ( γρ)( )γ1 - 1 - - 1 - 21 - 2- γU ?1 - 2 1 - 2

γ( γ)21 - ) ( ( ) )( ()p bY n- k , n + o?bY n- k , n + o1/ k 2 ( γ) ( γ) ( γρ)1 - 21 - 1 - -

2 ? 1 1 ( γ)γ1 - 4 2 γ= - - ? Q+ n , 1 ?P - 2n n 2 ( γ) ( γρ) ( γ) ( γρ) 1 -γ1 - 1 - - 1 - 21 - 2- 2 γ

γ( γ)21 - ) ( ( ) )( () ( )6 ?bY n- k , n + o1/ k+ op bY n- k , n 2 ( γ) ( γ) ( γρ)1 - 21 - 1 - -

2 ? γ1 - 2 ( γ) ( γ) (γρ) ( γ) ( γ)1 - 1 - 2+ 1 - 1 - 2 M 2 P+γ( k) =γ+ ? n Q n n + ?γ( γρ) ( γρ) γγ 2 1 - - 1 - 2-

( ) ( ) ( ( ) )( )bY n- k , n + o1/ k+ op bY n- k , n 7

() Wit h 1a nd L e mma 21 3 i n [ 1 ] , app l yi ng t he p roof of Theo re m 31 2 i n [ 10 ] , o ne ca n reach Proof

t he re sult s.

ZO U J i2r ui , et al : A symp to ticall y U nbia sed Mo me nt Esti mato r s 第 3 期 21

Theorem 1 Fo r t he same co nditio ns of Lemma 1 , and t he number of t he upper o rder statistics k satisfies ( )λ ( )( )k ?bn/ k8 ? - ?, ?

? M M γ( ) γ( ) γt hen fo r mo ment estimato r kin [ 1 ] , t he following`kis unbiased for t he t rue ext reme value index. n n

γ Β Fo r > 0 , let

γ ργ ρ- + = d11 2γ( ρ) 1 -

ργ2 d=12 2( ρ) 1 -

t he n

2 ? ? n n γγ n , 22 - n , 1 ? n 2lo g n 2lo g 1 ρ= lo g n2 ? ? lo g2 n n γ γn , 2 2 n , 1 - lo g n lo g n

? ? ? ? M Fur t her mo re wit h d, d, a n e sti mato r of d, d, rep laci ng γk ( ), ρfo r γ, ρ, re sp ectivel y , we have 11 12 11 12 n n

? ? ? ? d2M 11 M ( ) )γ( )( ) γn , 1 k =γ( k) (γk k- 2`n n - n , 2 ? d12

? 0 dQ11 0 n 02 0- ?γ?( Q )=γ + (γ ) - 4 P ( )- 2Pn n n + o1/ k - ? 2 d12

0 γ ργ ρQn 0- +00 γ ) )( )(( γ - 2P - - 4 Pn + o 1/ k - ?Q =+ n n ρ2 2

γ Χ Fo r = 0 , let

ρ d21 = 2( ρ) 1 -

ρ2 d= 22 2( ρ) 1 -

t he n

2 ? ? n n γ γn , 22 n , 1 - ? 1 2lo g n 2lo g n ρ= lo gn 2 ? ? lo g2 n n γ γ22 n , 1 - n , lo g n lo g n ? ? ? ρρd21 , d22 , rep laci ng n fo r, we ha ve No w wit h d21 , d22 , a n e sti mato r of

? ? ? 2 ? ? dγ( k) - 2γ( k) 21 n , 2 , 1 n M M γ( )=γ( k) γ( ) k ( )`n n + o 1/ k - n , 1 k- ? ? ? 2 γ( k) d22 , 1 n

? 0 Qn 0 d21 0 0 = - 2 P ( ) () n - ?Q- 4 P+ o1/ kn n ? 2 d22

? 0 nρQ02 00 = ( ())- 2 P n + o1/ k n - - 4 P?Q n ? 2 ρ1 -

γ ? Fo r < 0="" ,="" let="">

( γ) ( γ) (γ ρ) 1 - 1 - 2+ = d31 γ( γ ρ) ( γ ρ)1 - - 1 - 2-

γ γ2 ) ( 1 1 1 - d32 - - = - 2 2 ( γ) ( γ ρ)( γ) ( γ ρ)( γ) ( γ) ( γ ρ)1 - 1 - - 1 - 21 - 2- 1 - 21 - 1 - -

t he n

()第 31 卷22 西南师范大学学报自然科学版

? M ? ? ( γ( )) 2 1 - k n n n 2 γγ n , 2- ?n , 1 ? Mlo g2 n lo g2 n ? ? γ1 - 2 ( k) n 1 M γ( )ρ( k) 2n k n = ?- ? M lo g2 ? ? ( γ( ) )2 1 - k n n n 2 γ γn , 2- ?, 1 n ? Mlo g n lo g n γ1 - 2 ( )kn

? ? ? ? M ) ( ) d, d, rep laci ng γk ( , ρk fo r γ, ρ, re sp ectivel y , we have a nd wit h d31 , d32 , a n e sti mato r of 31 32 n n

? M ? ? ( γ( ) ) ? 2 1 - k n 2 M 2 ( )( )γγkn , 2 ?n , 1 k - (γ( ) ) k? ? n ? M ? ? γ( ) 1 - 2k 31 n d M M γ( )=γ( k) )(- γ( k) `n k ?+ o1/ k n n , 1 - ? ? ? M 22( γ( ) ) γ 1 - n k n , 1 d32

? 2 γγ ( γ) ( γ)4 1 - 2 d31 1 - 1 - 2γ 2 Pn + =+ )( ? Q n Qn + P n + o1/ k - ? ? 1 -γ γγ2 2 d32

γ λ () () Proof Β Fo r > 0 . Si nce 2i n L e mma 1 hol ds , co mbi ni ng L e mma 31 4 i n [ 1 ] a nd 8fo r so me?

? P ρρ() () R , we have n . U si ng 2a nd 3a gai n , we get t he re sult .

γ γ( γ) ( ) ) ( () Χ Fo r = 0 . L et- = mi n 0 , , t he n a t/ U t?RVγ . Si nce 4i n L e mma 1 hol ds , so do e s L e m2 - ? P λ ρρ() () () ma 31 4 i n [ 1 ] , a nd 8fo r so me? R , we have n . U si ng 4a nd 5a gai n , o ne ca n ea sil y get t he re sult .

γ ρ () () () ? Fo r < 0="" .="" si="" nce="" 6i="" n="" l="" e="" mma="" 1="" hol="" ds="" ,="" co="" mbi="" ni="" ng="" 8i="" n="" theo="" re="" m="" 1="" ,="" a="" nd="" 1hol="" d="" s="" fo="" r="" so=""><>

? P ρρ() () 0 , we ha ve n . U si ng 6a nd 7a gai n , o ne ca n ea sil y get t he re sult .

Corollary 1 U nde r t he co nditio n s of Theo re m 1 , o ne ca n ea sil y get t he a symp to ticall y unbia se d p rop2

M γer tie s of , i1 e1 a s n `?n

d M 2 (γ( )γ)( )k `k - ( σ(γ) )9 n N 0 ,

w here

? ? ? ? 0 MM 2 ? γ Q( γ( k) ρ ρ )- n + n n k n n M 0 0 0 (γ( k) ) ( )n 2Pn - ?Q-4 Pn - n - γ > 0 E? ? k 2 ρ2n ? 0 2 Qρ 2n n 0 0 0 2 ( )?Q-2 Pn - 4 Pn n σ(γ) - γ = 0 E ? ? = k 2 ρ1 - n

? ? ? ? ? 2 MMM 2 M γγ( k) ( k) 1 - 2 4 n n γ( ) )( γ( ) ) ( 2k 1 - k1 - n n 31 d Qn n P2 P+Q+n n ? ? ? - ? γ E? < 0="" k="" m="" m="" mγ(="" )γ(="" )2k="" 1="" -="" 2k="" n="" n="" γ="" (="" k)="" n="" d32="">

( ) ) ( E ? ?mea n s t he a symp to tical e xp ect atio n of ?.

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渐近无偏矩估计量

1 2邹佶叡, 凌成秀

11 四川大学数学学院 , 成都 610064 ; 21 西南大学数学与统计学院 , 重庆 400715

γ摘要 : 给出了极值指数的一类渐近无偏的矩型估计量 , 当估计量中的上端顺序统计量的个数 k 取得较大时 , 其渐近方差比较稳定 , 并给出了 k 的选择 . 在估计量的偏度修正过程中 , 给出了二阶参数ρ的估计量 .

关键词 : 极值指数 ; 无偏估计量 ; 矩估计量 ; 二阶参数 ; 正规变换

责任编辑覃吉康

范文三：基于矩理论正态分布和均匀分布的比较

基于矩理论正态分布和均匀分布的比较

1 李振东,步金芳

2 ()1 . 唐山学院基础教学部 ,河北唐山 063000 ;2 . 唐山职业技术学院基础部 ,河北唐山 063004 摘要 :计算了正态分布和均匀分布的峰度系数 ,分析了它们的几何性质 ,并基于此系数比较了这两

类分布的概率密度曲线。

关键词 :正态分布 ;均匀分布 ;峰度系数 ;概率密度

() 中图分类号 : O212 文献标识码 : A 文章编号 :16722349 X 20070220005202

Comparison of Normal Distribut ion an d Un if orm

Distribut ion Ba sed on t he Theory of Moment

1 2L I Zhe n2do ng,BU J in2f a ng

()1. Tangshan College , Tangshan 063000 ,China ;2. Tangshan Vocatio nal & Technical College , Tangshan 063004 ,China Abstract : Coefficie nt of k urto si s i s calc ulat ed fo r t he co mp a ri so n of di st ri b utio n a nd unifo r m di st ri2 b utio n a nd it s geo met ric si gnifica nce i s a nal ysed . O n t he ba si s of coefficie nt of k ur to si s , t he p ro b2 a bilit y de n sit y cur ve s of t he t wo ki nd s a re co mp a re d.

Key Words : no r mal di st ri butio n ; unifo r m di st ri butio n ;co efficie nt of k ur to si s ;p ro ba bilit y de n sit y

2 2 = E[ ( X - 因为μ证明 2 σ) ( ) E X] = V a r X=, 0 引言 [ 1 ] 4 正态分布和均匀分布是重要的连续型分布, 它们的概 ( ) μ = E[ X - E X] = 4 2 2 ( μ) x - + ? ( μ)x - 1 1 4- -2 ? ( x - μ) e 2 x = d ( ) ( ) σ率密度函数一般被表示为 f x = 和 f x = 2 e σ2 - ? σπ2 σπ2 2 ( ) μx - + ? σ- 3 - 1 [ 6 ] 2) ?=( μ) ( x - d eσ2 ?x ?b , a ? - 2 [ 2 ] b - a μσ) (( ) π2 , 并分别简记为 N ,和 R a , b, 这两 2 (0 , 其他μ) + ? x - σ 3 2 - 2 ?( μ) 0 + x - e d x = σ2 - ?2π 类分布的数字特征 , 比如数学期望 E( X) 和方差 V a r ( X) 分别 22 ( μ) + ? x - 1 ( )a + b b - a 2 2 2- [ 3 ]2 σμ3σ? ( x - μ) e d x = , 是,和。σ2 - ? 2 12 σπ2 [ 4 ] 2 2 本文利用矩这一随机变量的数字特征 , 计算正态分布 σ( ) 3E[ X - E X] = 2 4 和均匀分布的偏度系数和峰度系数 , 分析这些系数的几何意 σσ( ) 3V a r X= 3。

义 , 对这两类连续型分布进行比较 , 讨论其概率密度曲线的 4 μσ4 3 故β= 一些特征。 2 = = 3 。 2 22 (σ) μ2

9 β( ) 当随机变量 X, R a , b时 ,= 。峰度系数的计算 1 定理 2 2 5 μ 42 ( ) βμμb - a 在文献[ 5 ]中 , 峰度系数被定义为= , 这里和2 2 42 2 μ 因为μ= E[ ( X - ) ( ) 证明 2 E X] = V a r X= , 2 12 分别为随机变量的二阶、四阶中心矩。 4 ( ) μ = E[ X - E X] = 4下面给出两个定理及其证明。 a + b 1 4 2 b ) (?x - μσ) βd x =(a 定理 1 当随机变量 X, N ,时 ,= 3 。2 b - a2

收稿日期 : 2006209225 ,修回日期 :2006211215 ( ) 作者简介 : 李振东1970 - ,男 ,副教授 ,主要从事高等数学、工程数学的教学和研究。

?6 ? 唐山学院学报第 20 卷

1 a + b a + b - a 1 b 响 , 是概率密度曲线“陡峭”程度的一个衡量指标。 b 4 4 ( ( ( ?x - ) d x - ) = ) 。a a b - 2 2 5 2 综合性质 1 , 2 可知 , 虽然两类分布都是无偏分布 , 但是

概率密度曲线“陡峭”程度却是不同的。 1 b - a 4( ) 5 μ 42 9 β。 = 故= =2 2 2 μ 5 ( ) 2 b - a2 峰度系数的修正 3 ][ 12 正态分布在概率论和数理统计中占有核心地位 , 所以正

两类分布的比较2 态分布又称科学分布。它的概率密度曲线的形状为一钟形

性质 1 正态分布和均匀分布均为无偏分布。曲线 , 中间大两头小。基于这一出发点 ,修正定义峰度系数为 μ 3μ 4证明 βμ采用文献[ 5 ]定义的偏度系数1 = , 这里3 3 β= - 3 ,在新的定义下 , 正态分布的峰度系数系数正好为 2 2 2μ 2 μ2

为随机变量的三阶中心矩。 9 6 ,此时 ,均匀分布的峰度系数系数变为了 - 3 = - 。 0 2 + ? 3 3 5 5 μσ) (μ( 对 N ,来讲 , 有= E[ X -3 E X) ] = ? x - μ) ( - ? 2 2 ( μ)( μ) x - x - ? 4 结束语 + σσ 1 - -2 -22?) d x = e ( μ) ( = 0 + x - d e σσ2 2 - ?2π σππ2 2 随机变量的数字特征大致描述了该随机变量分布的特 2( μ) + ? x - - 征。本文计算出的偏度和峰度 , 为描述连续型随机变量的概 2 2e ? d ( x - μ) = 0 + 0 = 0 。 σ2 - ? 率密度曲线提供了数量依据。2 故β= 0 。即 N (μ,σ) 是无偏分布。 1 本文也从一个侧面给出了高阶矩的一个应用。 a + b 1 33 b ) ( x - ) 对 R ( a , b) ,有μ= E[ ( X - E X] = ? a 3 d x = 2 b - a

参考文献 : a + b a + b - a 1 1b 1 3 b4 ) ( ) ) ( ( d x - = [ ?- x -a b - a 2 2 b - a 4 2 同济大学数学教研室. 概率论[ M ] . 北京 : 高等教育出 [ 1 ] - b a 4 ( ) ] = 0 。版社 ,1982 . 2 中山大学数学力学系. 概率论与数理统计 : 上册 [ M ] . 故β= 0 , 即 R ( a , b) 是无偏分布。 [ 2 ] 1 北京 :高等教育出版社 ,1980 . 2 μσ) (这一结论从几何上是因为 N ,的概率密度曲线关浙江大学数学系. 概率论与数理统计[ M ] . 北京 : 高等 μ( ) 于直线 x =是对称的 , 而 R a , b的概率密度曲线关于直线 [ 3 ] 教育出版社 ,1979 . 工科数学课程教学指导委员会本科 a + b组编. 工程数学例题与习题[ M ] ,北京 :高等教育出版 x = 是对称的 , 因此它们的偏度系数为零 , 均为无偏2 社 ,1996 . [ 4 ] 分布。范金城 , 吴可法. 统计推断导引 [ M ] . 北京 : 科学出版这是性质 2 正态分布的峰度大于均匀分布的峰度。社 ,2001 . [ 5 ] ββ因为对正态分布来讲= 3 , 对均匀分布来讲=2 2 同济大学应用数学系. 高等数学 :上册[ M ] . 4 版. 北京 :

高等教育出版社 ,2002 . 9 9 [ 6 ] , 3 > 。()责任编校 :夏玉玲 5 5

4 由四阶中心矩的表达式μ= E[ ( X - E X) ]可以看出 , 4

它表示的是概率密度曲线在其均值 E ( X ) 附近的陡峭程度。 2 μμβ用去除后得, 它与 X 的单位无关 , 抵消了单位的影2 4 2

范文四：★估计量的评价标准

第二节估计量的评价标准

??设总体X服从,0，θ,上的均匀分布，由上节例7可知， ,Xmax,,2X,,Li矩1,,in都是θ的估计，这两个估计哪一个好,下面我们首先讨论衡量估计量好坏的标准问题.

1.无偏性

定义7.2 若估计量(X，X，…，X)的数学期望等于未知参数θ，即: 12n

?,,,E()， (7.6)

?则称为θ的无偏估计量(Non-deviation estimator). ,

??估计量的值不一定就是θ的真值，因为它是一个随机变量，若是θ的无偏估计，则,,

?的值随样本值的不同而变化，但平均来说它会等于θ的真值. 尽管,

n1XX,例7.9 设X，X，…，X为总体X的一个样本，E(X)=μ，则样本平均数12n,ini,1是μ的无偏估计量.

证因为E(X)=μ，所以E(X)=μ，i=1，2，…，n，于是 i

nn11,,=μ. EXEXEX,,()(),,ii,,nn,,11ii,,

所以X是μ的无偏估计量.

2例7.10 设有总体X，E(X)=μ，D(X)=σ，(X，X，…，X)为从该总体中抽12n

n122()XX,得的一个样本，样本方差S及二阶样本中心矩B=是否为总体方差σ的无2,ini,1

偏估计,

22222解因为E(S)=σ，所以S是σ的一个无偏估计，这也是我们称S为样本方差的理由.由于

n,12B=S， 2n

nn,,1122那么 E(B)=,, ES(),2nn2所以B不是σ的一个无偏估计. 2

还需指出:一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数相应函数的无偏估计量.例如，

222XX当X~N(μ，σ)时，是μ的无偏估计量，但不是μ的无偏估计量，事实上:

22,222，，EXDXEX()()().,，,，, ,,，，n

2.有效性

?????对于未知参数θ，如果有两个无偏估计量与，即E()=E()=θ，那么在，,,,,,12121

2??中谁更好呢,此时我们自然希望对θ的平均偏差E(-θ)越小越好，即一个好的估计,,2

量应该有尽可能小的方差，这就是有效性.

??定义7.3 设和都是未知参数θ的无偏估计，若对任意的参数θ，有 ,,12

??D()?D()， (7.7) ,,12

??则称比有效. ,,12

?????如果比有效，则虽然还不是θ的真值，但在θ附近取值的密集程度较高，,,,,,12112

?即用估计θ精度要高些. ,1

n12XX,例如，对正态总体N(μ，σ)，，X和X都是E(X)=μ的无偏估计i,in,1i

量，但

2,2D(X)=?D(X)=σ， in

X故较个别观测值X有效.实际当中也是如此，比如要估计某个班学生的平均成绩，可用两i

种方法进行估计，一种是在该班任意抽一个同学，就以该同学的成绩作为全班的平均成绩;另一种方法是在该班抽取n位同学，以这n个同学的平均成绩作为全班的平均成绩，显然第二种方法比第一种方法好.

3.一致性

无偏性、有效性都是在样本容量n一定的条件下进行讨论的，然而(X，X，…，X)12n不仅与样本值有关，而且与样本容量n有关，不妨记为n，很自然，我们希望n越大时，n对θ的估计应该越精确.

定义7.4 如果n依概率收敛于θ，即ε,0，有 ,

?P,,,,,,lim1,，(7.8) ,,n,,n

?则称是θ的一致估计量(Uniform estimator). ,n

S2X由辛钦大数定律可以证明:样本平均数是总体均值μ的一致估计量，样本的方差

2及二阶样本中心矩B都是总体方差σ的一致估计量. 2

范文五：评价估计量的贴近标准

评价估计量的贴近标准

李绍奎

(天津医科大学, 天津 300070)

2 摘要本文提出评价估计量的贴近标准, 并用该标准讨论了正态分布总体方差 Ρ及均匀分

布参数的极大似然估计的一些性质. Η

在对估计量进行评价时, 通常使用的标准为无偏性、有效性和一致性等. 为以下讨论之方

() X n 为其子样, T n = T X 1 , X 2 , , X n 是 , 便, 今简述如下: 设总体 X 具有未知参数 Η, X 1 , X 2 ,

() Η的一个估计量. 若 E T n = Η, 则称 T n 为 Η的无偏估计量, 此时 T n 摆动在真值 Η左右, 无系统

偏差. 设与均为的无偏估计, 若 () < ()="" ,="" 则称估计量="" 较估计量="" 有="" t="" 1,="" n="" t="" 2,="" n="" ηd="" t="" 1,="" n="" d="" t="" 2,="" n="" t="" 1,="" n="" t="" 2,="" n="" 效.="" 子样容量="" 越大,="" 对来自总体的信息了解得越充分,="" 若对任意的=""> 0, 有 {| - | >n Εlim P T n Η n?? Ε}= 0, 则称 T n 是 Η的一致性估计. 依据一致性来评价估计量时, 要求子样容量越大越好, 而实

( 际应用中通常难以做到. 因此在小子样情况下, 对估计量无偏性的要求常常摆在首位有效性

)的比较也是在无偏估计量中进行的. 但是, 注意到并不是所有的参数都有无偏估计, 在不存在无偏估计时如何评价估计量? 其次, 参数的极大似然估计有优良的性质, 但某些参数的极大似

2 然估计是有偏的 (例如正态总体方差的极大似然估计和均匀分布参数的极大似然估计都 ΡΗn 2 1 32{ ) ) 是有偏估计, 不少实际应用者宁可舍弃它而寻求无偏估计, 认为用 S (X= - n i X? n - 1 i= 1 n 1 2 2 2 { () 估计 Ρ比用 S = - 为好, 如果不是以无偏性为前提, 这样处理是否合理?n X i X? n i= 1

为讨论上述问题, 引出以下定义:

2 ) 定义 1 设 = (, , . , ) 为未知参数的一个估计量, 称 () = (- T n T X 1 X 2 X n ΗD ΗT n E T n Η为估计量的均方误差. T n

令 = () - (在为无偏估计量时 = 0) , 于是 bn E T n Η T n bn

2 2 2() () () () = ]- - = [ - + ]D ΗT n E T n ΗE T n E T n E T n Η

2 () = + ,D T n bn

() 即均方误差 D ΗT n 综合考虑了估计量 T n 的方差和估计量 T n 与真值 Η的偏差两个因素.

() () 定义 2设 T 1, n 与 T 2, n 均为参数 Η的估计量, 若 D ΗT 1, n < d="" ηt="" 2,="" n="" ,="" 则称估计量="" t="" 1,="" n="" 较估="">

计量贴近性好.T 2, n

2 2 2 现在, 就贴近性标准来分析正态总体 ( , ) 参数的极大似然估计和最小方差无 N ΛΡΡS n

2 3 偏估计 S . n

2 3 2 () nS n - 1S n n 2 ) ( 11 由于=, 因此1 , ? n - 2 2 ΡΡ2 2 22 33nS nS n n (n - () ) n n 1S n - 1S ()= 2 n - 1. = E = n - 1, D = D E 2 2 2 2 ΡΡ ΡΡ 2n - 12 32 2() ( ) ( ) ( ) 于是 E S = n Ρ有偏估计 , E n = Ρ无偏估计 , S n

第 1 期李绍奎: 评价估计量的贴近标准 153

2 ()2 n - 1 2 3 2 4 4 )() =( ,= .D S n Ρ Ρ D S n 2 n - 1 n

2 2 1 2 3 32 2 () (= -, ) = -= - = 0.偏差bn E S n Ρn n Ρ bE S Ρ n 因此

2 2 2 2n - 12 2 2 2 4 343 3 2 2 (( ) ( ) ) ( ) Ρ,= + =n = n S n + .D ΡS D b S S n D Ρn = D n b Ρ 2 n n - 1

2 2 2 2n -13 2 2 2 ( ) > () 由于 >, 故此 Ρn < ρn,="" s="" d="" s="" d="" 2="" n="" n="" -="" 1="" n="" 2="" 32="" 2="" 即极大似然估计="" s="" n="" 较最小方差无偏估计="" s="" n="" 更贴近参数="" ρ真值.="">

2 2 () () 21 设 f x , Λ, Ρ为总体 X , N Λ, Ρ的概率密度函数, 则

2 () 5 x - Λ 1 2 ()x , Λ, Ρ = - ,ln f42 2 5Ρ2Ρ2Ρ

2 4 2 () () 5 x - Λx - Λ 12 ()lnf x , Λ, Ρ - + = E E 2 864 5Ρ4Ρ4Ρ 2Ρ

1 .= 42Ρ 4 2 2Ρ 2 3 2 因此, 依据 2不等式所确定的的无偏估计量的方差下界为, 是的渐近n R ao C ram e r ΡS Ρn

n - 1 优效估计, 其有效率为 = . 但是仍然有en n

2n - 1 2 2 4 4 2 () =D ΡS n < .ρ="" ρ="" 2="" n="" n="">

2 2 由此看出, 若不局限于无偏性而考虑估计量的贴近性质, Ρ的极大似然估计 S n 的均方误

差突破了 R ao 2C ram e r 不等式所给出的下界限制. n 1 { () , 它是的无设 X 为在 0, Η上的均匀分布, 参数 Η的矩法估计 T 1, n = 2X= 2 X iΗ ? n i= 1

)(, X n . 偏估计. Η的极大似然估计为 T 2, n = m ax X 1 , X 2 ,

的密度函数 T 2, n

n- 1() () () , = , [ , ] f n x Ηnf x ΗF x Ηn- 1 n x x < η,="">< ,="" η="" η="">

其它,0,

() () 其中 f x , Η与 F x , Η分别为 X 的密度函数和分布函数. 因此

n- 1 Η n x n () () dx = 有偏估计, E T 2, n = xΗ n + 1Η Η ?0 Η 偏差, = -bn n + 1 22 () () () ]= -E T 2, n D T 2, n E T 2, n n- 1 2 2 Η n Η n x n 2 Η= .= x-dx 2 (() ) n + 1?0 Η Η n + 1n + 2 2 Η 4 { () () () ,= 4= =而D T 1, n D XD X 3n n

于是得到与的均方误差为T 1, n T 2, n

2 Η () ,D ΗT 1, n = 3n

工科数学第 14 卷154

2 2 n Η Η 2 () D ΗT 2, n = + = .2 Η () ()(() )n + 1 n + 1n + 2 n + 1n + 2

() ()当 n ?2 时, 显然有 D ΗT 2, n < d="" ηt="" 1,="" n="" .="">

在子样容量增大时, 较贴近性好的特性表现得更明显, 因为当 ??时 n T 2, n T 1, n n

D (T ) Η2, n 6n = 0. () () () D ΗT 1, n n + 1n + 2 () ()最后, 叙述一个均方误差 D ΗT n 的极限性质, 即当 D ΗT n 0 时, 必为的一致性T n Η n ?? 估计量. 事实上

2) (Η T n - ()() dF x { - > }= ?||P T n ΗΕdF x 2 ? ?Ε | T - Η| > Ε | T - Η| > Ε n n 2 () T - Ηn 1 1 2 )(()() =-?dF x = Η , E T n D ΗT n 2 2 2 ?ΕΕ Ε8

这里 8 为整个 n 维平面. 2 2 2 3, 均匀分布参数的矩法估计和极大由此可得出正态总体参数 Ρ的估计量 S 和 S n n ΗT 1, n 似然估计 T 2, n 都是一致性估计.

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.w a s d iscu ssed

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