复变函数论里的欧拉公式与三角

范文一：复变函数论里的欧拉公式与三角函数

复复函复里的数欧拉公式

定理容内

　　e^ix=cosx+isinx

　　e是自然复的底数～i是复位。虚数

　　三角函的定复域复大到它将数复数～建立了三角函和指函的复系～在复复函复里占有非常重数数数它数

要的地位。

　　公式里的将x复成-x～得到,

　　e^-ix=cosx-isinx～然后采用式相加的方法得到, 两减

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)～cosx=(e^ix+e^-ix)/2. 　　复也叫做拉公式。两个欧

“上帝复造的公式”

　　将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到,

　　e^iπ+1=0.

复等式也叫做拉公式～是里最令人着迷的一公式～里最重要的字复个欧它数学个它将数学几个数

系到了一起,超越,自然复的底两个数数e～复周率 π～复位,复位两个虚数i和自然数的复位1～以及数学里常复的0。家复复价是“上帝复造的公式”～我复只能看而不能理解。数学它它它

虚数复位

　　在复数a+bi中～a复复复的复部～称数b复称复数的部～虚i复复位。部等于零复～复复就是复复称虚数当虚个数数

当虚个数称虚数部不等于零复～复复复～复复的复部如果等于虚数零～复复复。由上可知～复集包含了复复称虚数数数

集～因而是复集的复复。数

　　在复算中常用到的是,i? = -1 复位的平方复复一。即虚数

复复公式

公式一, 　sin;2kπ+α,=sinα 复α复任意角～复复相同的角的同一三角函的复相等数cos;2kπ+α,=cosα k是整数tan;2kπ+α,=tanα

cot;2kπ+α,=cotα

sec;2kπ+α,=secα

csc;2kπ+α,=cscα公式二, 　sin;π+α,=,sinα 复α复任意角～π+α的三角函复复数与α的三角函复之复的复系数cos;π+α,=,cosα

tan;π+α,=tanα

cot;π+α,=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα公式三, 　sin;,α,=,sinα 任意角α 与-α的三角函复之复的复系数cos;,α,=cosα

tan;,α,=,tanα

cot;,α,=,cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα公式四, 　sin;π,α,=sinα 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函复之复的复系数cos;π,α,=-cosα

tan;π,α,=,tanα

cot;π,α,=,cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα公式五, sin;α-π,=,sinα 利用公式四和三角函的奇偶性可以得到数α-π与α的三角函复之复的复系数cos;α-π,=,cosα

tan;α-π,=tanα

cot;α-π,=cotα

sec(α-π)=-secα

csc(α-π)=,cscα公式六, 　sin;2π,α,=,sinα 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函复之复的复系数cos;2π,α,=cosα

tan;2π,α,=,tanα

cot;2π,α,=,cotα

sec(2π-α)=secα

csc(2π-α)=-cscα公式七, 　sin;π/2+α,=cosα π/2?α及3π/2?α与α的三角函复之复的复系数cos;π/2+α,=,sinα

tan;π/2+α,=,cotα

cot;π/2+α,=,tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin;π/2,α,=cosα

cos;π/2,α,=sinα

tan;π/2,α,=cotα

cot;π/2,α,=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

sin;3π/2+α,=,cosα

cos;3π/2+α,=sinα

tan;3π/2+α,=,cotα

cot;3π/2+α,=,tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

sin;3π/2,α,=,cosα

cos;3π/2,α,=,sinα

tan;3π/2,α,=cotα

cot;3π/2,α,=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα复复公式的表格以及推复方法;定名法复和定法复, 号

sinαcosα　tanαcotαsecαcscα

2kπ+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα

(1/2)kπ-cosαsinαcotαtanαcscαsecα

(1/2)kπ+cosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα

kπ-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα

kπ+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα

(3/2)kπ--cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα

(3/2)kπ+-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα

2kπ-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

复α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

范文二：三角函数与欧拉

三角学是以三角形的边角关系为基础，研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支。“三角学”一词的英文“trigonometry?”就是由两个希腊词“三角形”和“测量”合成的。现在，三角学主要研究三角函数的性质及其应用。

1463年，法国学者缪勒在《论三角》中系统总结了前人对三角的研究成果。17世纪中叶，三角由瑞士人邓玉函（Jean?Terrenz?1576-1630)传入中国。在邓玉函的著作《大测》二卷中，主要论述了三角函数的性质及三角函数表的制作和用法。当时，三角函数是用左图中的八条线段的长来定义的，这已与我们刚学过的三角函数线十分类似。

著名数学家、物理学家和天文学家欧拉（Léonard?Euler)1707年出生于瑞士的巴塞尔，1720年进入巴塞尔大学学习，后获硕士学们。1727年起，他先后到俄国、德国工作，1766年再次到俄国直至逝世。

1748年，欧拉出版了一部划时代的著作《无穷小分析概论》，其中提出三角函数是对应的三角函数线与圆的半径的比值，并令圆的半径为1，这使得对三角函数的研究大为简化，他还在此书的第八章中提出了弧度制的思想。他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是Π，所对圆心角的正弦是0，即sin?Π=0，同理，圆的1/4的长是Π/2，所对圆心角的正弦是1，可记作sin?Π/2=1。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及其计算。

18世纪中叶，欧拉给出了三角函数的现代理论，他还成功地把三角函数的概念由褛范围推广到复数范围。

值得指出，1735年，欧拉右眼失明，《无穷小分析概论》这部著作出自版于他这一不幸之后。他的著作，在样式、范围和记号方面堪称典范，因此被许多大学作为教科书采用。1766年，他回到俄国不入，又转成双目失明，他以惊人的毅力，在圣彼得堡又用口述由别人记录的方式工作了近17年，直到1783年去世。1909年，瑞士自然科学学会开始出版欧拉全集，使他卷帙浩繁的著作得以流芳百世，至今已出版七十余卷。

范文三：泰勒级数、欧拉公式、三角函数

泰勒级数、欧拉公式、三角函数

默认分类 2009-12-28 10:06:32 阅读1639 评论2 字号：大中小订阅

泰勒级数的定义：

若函数f （x ）在点为：

的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f （x ）的n 阶泰勒公式

其中：

以上函数展开式称为泰勒级数。泰勒级数在幂级数展开中的作用：

，称为拉格朗日余项。

在泰勒公式中，取，得：

这个级数称为麦克劳林级数。函数f （x ）的麦克劳林级数是x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f （x ）的麦克劳林级数一致。

注意：如果f （x ）的麦克劳林级数在点如果f （x ）在

的某一临域内收敛，它不一定收敛于f （x ）。因此，

处有各阶导数，则f （x ）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区

域内收敛，以及是否收敛于f （x ）都需要进一步验证。

几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。

指数函数和自然对数:

? :

? 二项式定理:

? 三角函数:

? :

朗伯W 函数:

二项式展开中的C(α,n ) 是二项式系数。 tan(x ) 和tanh(x ) 展开式中的Bk 是。 sec(x ) 展开式中的Ek 是欧拉数。

复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，此点可表示为

e 是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e 可以用计算方法定义为

欧拉公式与三角函数的关系由泰勒级数展开

范文四：泰勒级数、欧拉公式、三角函数

泰勒级数、欧拉公式、三角函数

泰勒级数的定义：

若函数f （x ）在点n 阶泰勒公式为：

的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f （x ）的

其中：，称为拉格朗日余项。

以上函数展开式称为泰勒级数。泰勒级数在幂级数展开中的作用：

在泰勒公式中，取，得：

这个级数称为麦克劳林级数。函数f （x ）的麦克劳林级数是x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f （x ）的麦克劳林级数一致。

注意：如果f （x ）的麦克劳林级数在点（x ）。因此，如果f （x ）在

的某一临域内收敛，它不一定收敛于f

处有各阶导数，则f （x ）的麦克劳林级数虽然能做出来，

但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f （x ）都需要进一步验证。

几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。

指数函数和自然对数:

? 几何级数:

? 二项式定理:

? 三角函数:

? 双曲函数:

朗伯W 函数:

二项式展开中的

C(α,n ) 是二项式系数。 tan(x ) 和tanh(x ) 展开式中的Bk 是伯努利数。 sec(x ) 展开式中的Ek 是欧拉数。

复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，此点可表示为

是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e 可以用计算方法定义为

欧拉公式与三角函数的关系由泰勒级数展开

范文五：泰勒级数、欧拉公式、三角函数

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泰勒级数、欧拉公式、三角函数

泰勒级数的定义:

若函数f(x)在点的某一临域内具有直到(n+1)阶导数，则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为:

其中:，称为拉格朗日余项。

以上函数展开式称为泰勒级数。

泰勒级数在幂级数展开中的作用:

在泰勒公式中，取，得:

这个级数称为麦克劳林级数。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。

注意:如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于f(x)。因此，如果f(x)在处有各阶导数，则f(x)的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f(x)都需要进一步验证。

几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。

, 指数函数和自然对数:

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, 几何级数:

, 二项式定理:

, 三角函数:

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, 双曲函数:

, 朗伯W函数:

二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。

tan(x)和tanh(x)展开式中的Bk是伯努利数。

sec(x)展开式中的Ek是欧拉数。

复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，此点可表示为

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e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法定义为

欧拉公式与三角函数的关系

由泰勒级数展开

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