张小咩的小姿生活
范文一：2006至2007年江苏专转本高数真题附答案
2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高 等 数 学
一、选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分)
1、 若
2
1) 2(l
m
=→x x f x , 则
=→) 3(lim
x f x
x ( ) A 、
2
1 B 、 2 C 、 3
D 、
3
1 2
、
函
数
?????=≠=0
01sin ) (2
x x x
x x f 在
=x 处
( )
A 、连续但不可导 B 、连续且可导 C 、不连续也不可导 D 、可导但
不连续 3
、
下
列
函
数
在
[]
1, 1-上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 的 是
( ) A 、 x
e y = B 、 x y +=1 C 、 2
1x y -= D 、 x
y 1
1-
= 4、 已知 C e dx x f x +=?2) (, 则 =-?dx x f ) ('
( )
A 、 C e
x
+-22
B 、
C e x +-221 C 、 C e x +--22 D 、 C e x +--22
1
5、 设
∑∞
=1
n n
u
为正项级数, 如下说法正确的是 ( )
A 、如果 0lim 0=→n n u ,则 ∑∞
=1n n u 必收敛 B 、如果 l u u n
n n =+∞→1
lim
) 0(∞≤≤l ,则 ∑∞
=1n n u 必收 敛 C 、如果
∑∞
=1
n n
u
收敛,则
∑∞
=1
2
n n
u
必定收敛 D 、如果
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛,则 ∑∞
=1
n n u 必定收敛
6、设对一切 x 有 ) , () , (y x f y x f -=-, }0, 1|) , {(2
2
≥≤+=y y x y x D ,
=
1D }
0, 0, 1|) , {(22≥≥≤+y x y x y x , 则
??=D dxdy y x f ) , (
( )
A 、 0 B 、
??1
) , (D dxdy y x f C 、 2??1
) , (D dxdy y x f D 、 4??1
) , (D dxdy y x f
二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分)
7、已知 0→x 时, ) cos 1(x a -与 x x sin 是等级无穷小,则 =a 8、若 A x f x x =→) (l i m 0
,且 ) (x f 在 0x x =处有定义,则当 =A 时, ) (x f 在 0
x x =处连续 .
9、设 ) (x f 在 []1, 0上有连续的导数且 2) 1(=f ,
?
=1
3) (dx x f ,则 ?=1
' ) (dx x xf
10
1=, ⊥,则 =+?) (11、设 x e u xy
sin =,
=??x
u
12、 =??D
dxdy 其中 D 为以点 ) 0, 0(O 、 ) 0, 1(A 、 ) 2, 0(B 为顶点的三角形区域 .
三、解答题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分)
13、计算 1
1lim
1
--→x x x .
14、若函数 ) (x y y =是由参数方程 ???-=+=t
t y t x arctan ) 1ln(2所确定,求 dx dy 、 2
2dx y
d . 15、计算
?
+dx x
x
ln . 16、计算 dx x x ?
20
2cos π
.
17、求微分方程 2
' 2y xy y x -=的通解 .
18、将函数 ) 1ln() (x x x f +=展开为 x 的幂函数(要求指出收敛区间) .
19、求过点 ) 2, 1, 3(-M 且与二平面 07=-+-z y x 、 0634=-+-z y x 都平行的直线方 程 .
20、设 ) , (2
xy x xf z =其中 ) , (v u f 的二阶偏导数存在,求 y z
??、 x
y z ???2.
四、证明题(本题满分 8分) . 21、证明:当 2≤x 时, 233
≤-x x .
五、综合题(本大题共 3小题,每小题 10分,满分 30分)
22、已知曲线 ) (x f y =过原点且在点 ) , (y x 处的切线斜率等于 y x +2,求此曲线方程 .
23、已知一平面图形由抛物线 2
x y =、 82
+-=x y 围成 . (1)求此平面图形的面积;
(2)求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积 .
24、 设 ??
?
??=≠=??00) (1
) (t a t dxdy x f t t g t
D , 其中 t D 是由 t x =、 t y =以及坐标轴围成的正方形 区域,函数 ) (x f 连续 . (1)求 a 的值使得 ) (t g 连续; (2)求 ) ('
t g .
2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高 等 数 学
一、单项选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分) 1
、
若
2)
2(l
m
=→x
x f x , 则
=∞→) 21
(l
m
x
xf x ( ) A 、
4
1
B 、
2
1 C 、 2
D 、 4
2、已知当 0→x 时, ) 1ln(2
2
x x +是 x n
sin 的高阶无穷小, 而 x n
sin 又是 x cos 1-的高阶 无 穷 小 , 则 正 整 数
=n
( ) A 、 1
B 、 2
C 、 3
D 、 4
3、 设 函 数 ) 3)(2)(1() (---=x x x x x f , 则 方 程 0) ('
=x f 的 实 根 个 数 为 ( ) A 、 1
B 、 2
C 、 3
D 、 4
4、 设 函 数 ) (x f 的 一 个 原 函 数 为 x 2sin , 则
=?
dx x f ) 2('
( ) A 、 C x +4cos B 、
C x +4cos 2
1
C 、 C x +4cos 2 D 、 C x +4sin
5、
设 dt
t x f x ?=21
2sin ) (,
则
=) (' x f
( )
A 、 4sin x B 、 2sin 2x x C 、 2cos 2x x D 、 4
sin 2x x 6
、
下
列
级
数
收
敛
的
是
( )
A 、 ∑∞
=122n n
n
B 、
∑
∞
=+1
1
n n n
C 、 ∑∞
=-+1
) 1(1n n
n
D 、
∑
∞
=-1
) 1(n n
n
二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分)
7、设函数 ???
??=≠+=0
2
0)
1() (1
x x kx x f x ,在点 0=x 处连续,则常数 =k
8、若直线 m x y +=5是曲线 232
++=x x y 的一条切线,则常数 =m 9、定积分
dx x x x ) cos 1(432
2
2+-?
-的值为
10、已知 →
a , →
b 均为单位向量,且 2
1
=?→
→b a ,则以向量 →
→?b a 为邻边的平行四边形的面积为
11、设 y
x
z =
,则全微分 =dz 12、设 x x
e C e
C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该微分方程为
三、解答题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分)
13、求极限 x
x x e x x tan 1
lim 0--→.
14、设函数 ) (x y y =由方程 xy e e y
x
=-确定,求 0=x dx dy 、 0
22=x dx y
d .
15、求不定积分 dx e x x
?
-2.
16、计算定积分 x
x -12
2
2
.
17、设 ) , 32(xy y x f z +=其中 f 具有二阶连续偏导数,求 y
x z
???2.
18、求微分方程 2
'
2007x y xy =-满足初始条件 20081
==x y 的特解 .
19、求过点 ) 3, 2, 1(且垂直于直线 ?
??=++-=+++0120
2z y x z y x 的平面方程 .
20、计算二重积分 dxdy y x D
??
+22,其中 {}0, 2|) , (22≥≤+=y x y x y x D .
四、综合题(本大题共 2小题,每小题 10分,满分 20分) 21、设平面图形由曲线 2
1x y -=(0≥x )及两坐标轴围成 . (1)求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积;
(2)求常数 a 的值,使直线 a y =将该平面图形分成面积相等的两部分 .
22、设函数 9) (2
3
-++=cx bx ax x f 具有如下性质: (1)在点 1-=x 的左侧临近单调减少; (2)在点 1-=x 的右侧临近单调增加; (3)其图形在点 ) 2, 1(的两侧凹凸性发生改变 . 试确定 a , b , c 的值 .
五、证明题(本大题共 2小题,每小题 9分,满分 18分)
23、设 0>>a b ,证明:
dx x f e e dx e x f dy b
a
a x x b
y
y x b
a
???
++-=) () () (232.
24、求证:当 0>x 时, 2
2) 1(ln ) 1(-≥-x x x .
2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、 C 2、 B 3、 C 4、 C 5、 C 6、 A 7、 2 8、 ) (0x f 9、 1- 10、 1 11、 ) cos sin (x x y e xy
+ 12、 1
13、原式 322
131lim 2134
1==--→x x
x 14、 2121122' '
t t t x y dx dy t
t =+-
==, t t t t x dy dx y d t 41121
) (22
'
' 22+=+== 15、原式 C x x d x ++=++=
?
23
) ln 1(3
2
) ln 1(ln
16、原式 x d x dx x x x
x x d x cos 24
sin 2sin sin 20
2
20
20
2
20
2???
+=
-==
π
π
π
π
π
24
cos 2cos 24
2
20
20
2
-=
-+=
?πππ
π
xdx x
x
17、方程变形为 2
'
??? ??-=x y x y y ,令 x
y p =则 ' ' xp p y +=,代入得:2
' p xp -=,分离变
量得:
dx x p ??
=-112
,故 C x p +=ln 1
, C x x y +=ln . 18、令 ) 1ln() (x x g +=, 0) 0(=g , 2
00'
1) 1() 1() (+∞
=∞
=∑∑+-=-=n n n n n
n
x n dx x x g ,
故 2
1) 1() (+∞
=∑+-=n n n x n x f , 11<-x>
19、 }1, 1, 11-n 、 }1, 3, 42-n , k j i k
j i
n n l ++=--=?=321
3411321
直线方程为
1
2
3123+=
-=-z y x . 20、 '
22f x y
z =??,
' ' 222' ' 213' 2' ' 22' ' 212' 2222) 2(2yf x f x xf y f x f x xf x y z ++=?+?+=???. 21、 令 3
3) (x x x f -=, []2, 2-∈x , 033) (2
'
=-=x x f , 1±=x , 2) 1(-=-f , 2) 1(=f ,
2) 2(-=f , 2) 2(=-f ; 所以 2m in -=f , 2max =f , 故 2) (2≤≤-x f , 即 233≤-x x .
22、 y x y +=2'
, 0) 0(=y
通解为 x
Ce x y +--=) 22(,由 0) 0(=y 得 2=C ,故 x
e x y 222+--=. 23、 (1) 3
64
) 8(2
2
22=
--=?
-dx x x S (2) πππ16) () (284
2
4
=-+=??
dy y dy y V
24、
dx x f t dy x f dx dxdy x f t
t
t
D t
??
???==0
) () () (
?????=≠=?00
) () (0
t a
t x f t g t (1) 0) (lim
) (lim 0
00
==?
→→dx x f t g t
t t ,由 ) (t g 的连续性可知 0) (lim ) 0(0
===→t g g a t
(2)当 0≠t 时, ) () ('
t f t g =,
当 0=t 时, ) 0() (lim ) (lim ) 0() (lim
) 0(00
00'
f h f h
dx x f h g h g g h h
h h ===-=→→→? 综上, ) () ('
t f t g =.
2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、 B 2、 C 3、 C 4、 A 5、 D 6、 D 7、 2ln 8、 1 9、 π2 10、 2
11、
dy y
x
dx y 21- 12、 06' 5' ' =+-y y y 13、解:212lim 21lim 1lim tan 1lim 002
00==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e .
14、 解:方程 xy e e y
x
=-, 两边对 x 求导数得 ' ' xy y y e e y
x
+=?-, 故 x
e y
e y dx dy y
x +-==' . 又当 0=x 时, 0=y ,故
10==x dx dy 、 2022-==x dx
y
d . 15、解:) (22) (2222x x x x x
x
e d x e x dx xe e x e
d x dx e x ------???
?
--=+-=-=
C e xe e x x x x +---=---222.
16、解:令 t x sin =,则
41sin cos 24
22
12
2
22ππ
π-==-t t x x . 17、解:'
2' 12yf f x
z +=??,
) 3() 3(2' ' 22' ' 21' 2' ' 12' ' 112x f f y f x f f y x z ?+?++?+?=??? ' 2'
' 22' ' 12' ' 11) 32(6f xyf f y x f ++++=
18、 解:原方程可化为 x y x y 20071'
=?-
,
相应的齐次方程 01'
=?-y x
y 的通解为 Cx y =. 可设原方程的通解为 x x C y ) (=. 将其代入方程得 x x C x C x x C 2007) () () ('
=-+,所以
2007) (' =x C ,从而
C x x C +=2007) (,故原方程的通解为 x C x y ) 2007(+=. 又 2008) 1(=y ,所以 1=C ,
于是所求特解为 x x y ) 12007(+=. (本题有多种解法,大家不妨尝试一下) 19、解:由题意,所求平面的法向量可取为
) 3, 1, 2(1
1211
1
) 1, 1, 2() 1, 1, 1(-=-=-?=→
k
j i n .
故所求平面方程为 0) 3(3) 2() 1(2=---+-x y x ,即 0532=+-+z y x .
20、解:
9
16
cos 38203cos 20
2
20
2
22====+??
?????
π
θ
π
θθρρθθρρd d d d d dxdy y x D
D
.
21、解:(1) ?
=
-=1
2215
8) 1(ππdx x V ; (2) 由 题 意 得
?
?-=-a
a
dy y dy y 0
1
2
12
1
) 1() 1(. 由 此 得 2
323) 1(1) 1(a a --=--. 解 得
31
) 4
1
(1-=a .
22、解:c bx ax x f ++=23) (2
'
, b ax x f 26) ('
' +=.
由题意得 0) 1('
=-f 、 0) 1('
' =f 、 2) 1(=f ,解得 1-=a 、 3=b 、 9=c 23、证明:积分域 D :??
?≤≤≤≤b x y b y a ,积分域又可表示成 D :???≤≤≤≤x
y a b
x a
dy e dx e x f dy e x f dx e x f dx e x f dy x
a
y b
a
x x
a
y x b
a
D
y x b
y
y x b
a
????????
===+++22222) () () () (
dx x f e e dx e e e x f b
a
a x x b a
a x x ??+-=-=) () () () (232.
24、 证 明 :令 1
1
ln ) (+--
=x x x x F , 显 然 , ) (x F 在 ()+∞, 0上 连 续 . 由 于 0) 1(1
) (2
2'
>++=x x x x F ,故 ) (x F 在 ()+∞, 0上单调递增,
于 是 , 当 10
1ln +-
x x x , 又 012
<-x ,="" 故="" 22)="" 1(ln="" )="" 1(-="">-x x x ;
当 1≥x 时, 0) 1() (=≥F x F ,即 1
1ln +-≥
x x x ,又 012
≥-x ,故 22) 1(ln ) 1(-≥-x x x . 综上所述,当 0>x 时,总有 2
2
) 1(ln ) 1(-≥-x x x .
范文二：2007专转本高数试卷
绝密★启用前
2007年普通高校专转本统一考试
高等数学 试卷
注意事项:
1. 考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2. 考生须用钢笔或者圆珠笔将答案直接答在试卷上,答在草稿纸上无效。 3. 本试卷共五大题 24小题,满分 150分,考试时间 120分钟。
选择题 (本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分,
在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,
请把所选项前的字母填在题后的括号内)
1. 若 2) 2(lim
0=→x x f x , 则 ) 21
(l i m x xf x ∞→等于 ( )
A. 41 B. 2
1
C.3 D.4 2. 已知当 0→x 时, ) 1(2x In x +是 x n sin 的高阶无穷小,而 x n sin 又是 x cos 1-的高阶无穷小, 则正整数 n 等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3. 设函数 ) 3)(2)(1() (---=x x x x x f ,则方程 dx x f ) 2('等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 设函数 ) (x f 的一个原函数为 x 2sin ,则 ?'dx x f ) 2(等于 ( )
A. C x +4cos B. C x +4cos 2
1
C. C x +4cos 2 D. C x +4sin
5. 设 ?=2
1
2sin ) (x dt t x f ,则 ) (x f '等于 ( )
A. 4sin x B. 2sin 2x x C. 2cos 2x x D. 4sin 2x x
6. 下列级数收敛的是 ( )
A. ∑∞
=122n n
n
B. ∑
∞
=+1
1n n n
C. ∑∞
=-+1
) 1(1n n
n D.
∑
∞
=-1
) 1(n n
n
二 , 填空题 (本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分)
7. 设函数 ???
??=≠+=0,
20, ) 1() (1
x x kx x f x 在点 0=x 处连续, 则常数 k=_______________
8. 若直线 m x y +=5是曲线 232++=x x y 的一条切线, 则常数 m=____________ 9. 定积分 ?
-+-22
32) cos 1(4dx x x x 的值为 _____________.
10. 已知 b a , 均为单位向量,且 2
1=?b a ,则以向量 b a
, 为邻边的平行四边形
的面积为 ________________.
11. 设 , y
x
z =
则全微分 _____________
=dz 。 12. 设 x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次性微分方程的通解,则该微分方程
三. 解答题 (本大题共 8小题, 每小题 8分,
满分 64分)
13. 求极限 x
x x e x x tan 1
lim 0--→。
14. 设函数 ) (x y y =由方程 xy e e y
x
=-确定,求 0|=x dx dy , 022|=x dx
y
d
15. 求不定积分 ?-dx e x x 2
16. 计算定积分 x
x -12
22
2
17. 设 ) , 32(xy y x f z +=其中 f 具有二阶连续偏导数,求 y x z
???2
18.求微分方程 22007x y y x =-'满足初始条件 2008|1==x y 的特解。
19. 求过点 ) 3, 2, 1(且垂直于直线 ???=++-=+++0120
2z y x z y x 的平面方程。
20.计算二重积分 ??+D
dxdy y x 22,其中 }0, 2|) , {(22≥≤+=y x y x y x D
四. 综合题 (本大题共 2小题,每小题 10分,
满分 20分)
21. 设平面图形由曲线 ) 0(12≥-=x x y 及两坐标轴围成。 (1)求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积;
(2)求常数 a 的值,使直线 a y =将该平面图形分成面积相等的两部分。
22.设函数 9) (23-++=cx bx ax x f 具有如下性质: (1)在点 1-=x 的左侧临近单调减少; (2)在点 1-=x 的右侧临近单调增加;
(3)其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变。 试确定常数 c b a , , 的值。
五. 证明题 (本大题共 2小题,每小题 9分,
满分 18分)
23.设 0>>a b ,证明 ???++-=b
a
b
y
b
a
a x x y x dx x f e e dx e x f dy ) () () (232
24.求证:当 0>x 时, 22) 1() 1(-≥-x Inx x
范文三：2007专转本高数试卷[1]
合计得分 题号 一 二 三 四 五 复查人 得分 绝密?启用前
2007年普通高校专转本统一考试
高等数学 试卷
注意事项:
1. 考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2. 考生须用钢笔或者圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效。
3. 本试卷共五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。
选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分，得分 评卷人 复评人
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 请把所选项前的字母填在题后的括号内)
fx(2)11( 若，则等于 ( ) milxf()lim,2x,0x,,x2x
11A. B. C.3 D.4 42
nn2sinxsinx2( 已知当x,0时，是的高阶无穷小，而又是1,cosxxIn(1，x)
的高阶无穷小，则正整数等于 ( ) n
A.1 B.2 C.3 D.4
,f(x),x(x,1)(x,2)(x,3)f(2x)dx3( 设函数，则方程等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
,f(2x)dxf(x)4( 设函数的一个原函数为sin2x，则等于 ( ) ,
1A.cos4x，C B. C.2cos4x，C D.sin4x，C cos4x，C2
2x2,f(x)f(x),sintdt5( 设，则等于 ( ) ,1
4224sinx2xsinx2xcosx2xsinxA. B. C. D. 6( 下列级数收敛的是 ( )
n,,2nA. B. ,,2nn，1n,1n1,
nn,,1，(,1)(,1)C. D. ,,nn,,n1n1
二,填空题(本大题共6小题，每小题4分，满分24得分 评卷人 复评人
分)
1,x,(1，kx),x,07( 设函数f(x),在点处连续，则常数k=_______________ x,0,
,2,x,0,
2y,5x，m8( 若直线是曲线的一条切线，则常数m=____________ y,x，3x，22239( 定积分的值为_____________. 4,x(1，xcosx)dx,,2
,,,,,,110( 已知均为单位向量，且，则以向量为邻边的平行四边形a,b,a,ba,b2
的面积为________________.
xdz,_____________z,,11( 设则全微分。 y
2x3x12( 设为某二阶常系数齐次性微分方程的通解，则该微分方程y,Ce，Ce12
为__________________。
三( 解答题(本大题共8小题，每小题8分，得分 评卷人 复评人
满分64分)
xex1,,lim13( 求极限。 ,0xxtanx
2dydyxyy,y(x)|14( 设函数由方程确定，求， |e,e,xyx,0x,02dxdx
2,xxedx15( 求不定积分 ,
21x1,16( 计算定积分 dx2,2x2
2,zz,f(2x，3y,xy)f 设17(其中具有二阶连续偏导数，求 ,x,y
2,18(求微分方程满足初始条件的特解。 y|,2008xy,y,2007xx,1
x，y，z，2,0,(1,2,3)19( 求过点且垂直于直线的平面方程。 ,2x,y，z，1,0,
222220(计算二重积分，其中 D,{(x,y)|x，y,2x,y,0}x，ydxdy,,D
四( 综合题(本大题共2小题，每小题10分，得分 评卷人 复评人
满分20分)
221( 设平面图形由曲线及两坐标轴围成。 y,1,x(x,0)(1)求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积; x
(2)求常数的值，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分。 y,aa
3222(设函数具有如下性质: f(x),ax，bx，cx,9(1)在点的左侧临近单调减少; x,,1
(2)在点的右侧临近单调增加; x,,1
(3)其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变。
a,b,c试确定常数的值。
五( 证明题(本大题共2小题，每小题9分，得分 评卷人 复评人
满分18分)
bbb2x，y3x2x，adyf(x)edx,(e,e)f(x)dx，证明 23(设b,a,0,,,aya
22x,024(求证:当时， (x,1)Inx,(x,1)
范文四：专转本高数真题试卷2007
江苏省 2007年普通高校专转本统
一考试试卷
高等数学 试卷
注意事项
1、 考生务必将密封线内的各项目及第 2页右下角 的座位号填写清楚。
2、 考生须用钢笔或圆珠笔将答案 直接答在试卷 上,答在草稿纸上无效。
3、 本试卷共 8页,五大题 24小题,满分 150分, 考试时间 120分钟。
一、选择题(本大题共 6小题,每小题 4分,共 24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的,请把所选项前的字母填在题后的括号内) 。 1、若 2) 2(lim 0
=→x
x f x ,则 =∞
→) 21(
lim x
xf x ( )
A
4
1 B
2
1 C 2 D 4
2、已知当 0→x 时, ) 1ln(22x x +是 x n sin 的高阶
无穷小,而 x n
sin 又是 x cos 1-的高阶无穷小,则
正整数 n 等于( ) A 1 B 2 C 3 D 4
3、设函数 ) 3)(2)(1() (---=x x x x x f ,则方程
0) (='x f 的实根个数为( )
A 1 B 2 C 3 D 4
4、 设 函 数 ) (x f 的 一 个 原 函 数 为 x 2s i n , 则
?
='dx x f ) 2(( )
A C x +4cos B
C x +4cos 2
1
C C x +4cos 2 D C x +4sin 5、 ?
='=
2
1
2
) (, sin ) (x
x f dt t x f ( )
A x 4
s i n
B 2
si n 2x x
C 2cos 2x x D 4si n 2x x 6、下列级数收敛的是 ( )
A
∑
∞
=12
2n n n
B
∑
∞
=+1
1
n n n
C
∑
∞
=-+1
)
1(1n n n
D
∑
∞
=-1
) 1(n n
n
二、填空题(本大题共 6小题,每小题 4分,满分 24分)
7、 设函数 ??
???
=≠+=0,
20
, ) 1() (1
x x kx x f x
, 在点 0=x 处
连续,则常数 =k 8、若直线 m x y +=5是曲线
232
++=x x y 的一条切线,则常数 =m
9、定积分 dx x x x ?
-+-2
2
3
2) cos 1(4的值为
10、已知 b a
, 均为单位向量,且 2
1=?b a ,则以向
量 b a
, 为邻边的平行四边形面积为
11、设 y
x z =
,则全微分 =dz
12、设 x
x
e
C e
C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性
微分方程的通解,则该微分方程为
三、计算题(本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分) 13、求极限 x
x x e x
x tan 1lim
--→
14、设函数 ) (x y y =由参数方程 xy e e y
x
=-所确
定,求 0
22
,
==x x dx
y d dx
dy
15、求不定积分 dx e x x ?-2 16、计算定积分 x
x ?
-1
2
2
2
2
17、设 ) , 32(xy y x f z +=,其中 f 具有二阶连续
偏导数,求 y
x z ???2
18、 求微分方程 22007x y y x =-'满足初始条件 20081
==x y
的特解
19、求过点 ) 3, 2, 1(且垂直于直线
?
?
?=++-=+++0120
2z y x z y x 的平面方程 20、 计 算 二 重 积 分
dxdy y x D
??
+2
2, 其 中
{}
0, 2) , (2
2≥≤+=y x y x y x D
四、综合题(本大题共 2小题,每小题 10分,满分 20分)
21、设平面图形由曲线 ) 0(12≥-=x x y 及两坐标 轴围成 (1) 求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体 积;
(2)求常数 a ,使直线 a y =将该平面图形分成面 积相等的两部分。
22、设函数 9) (2
3
-++=cx bx ax x f 具有如下性 质:
(1)在点 1-=x 的左侧临近单调减少; (2)在点 1-=x 的右侧临近单调增加; (3)其图形在点 ) 2, 1(的两侧凹凸性发生改变。 试确定常数 c b a , , 的值
五、证明题(本大题共 2小题,每小题 9分,满分 18分) 23
、
设
0>>a b ,
证 明 :
?
??
++-=
b
a
a
x x
b y
y
x b
a
dx x f e
e
dx e
x f dy ) () () (232
24、求证:当 0>x 时, 22) 1(ln ) 1(-≥-x x x
范文五：2007年专升本高数答案
2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二) 》参考答案
考试说明:
1. 考试时间为 150分钟; 2. 满分为 150分
3. 答案请写在试卷纸上,用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷,否则无效; 4. 密封线左边各项要求填写清楚完整。 一、 填空题:(只需在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,本题共有 8个空格,每一 空格 5分,共 40分)
1. 设 ) 1ln(1-+=x y ,其反函数为 11+=-x e y . 2. 设 2
3ln 2
+-=
x x x
y ,函数 y 的可去间断点为 1=x . 3. 设 x e x x y =) (,则曲线 ) (x y 与直线 1=x 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体
积为
) 1(4
1
2e +π. 4. 级数
1
n
n u
∞
=∑收敛的必要条件为 lim 0n n u →∞
=.
5. 确定曲线 1
2
-=x x y 的垂直渐近线为 1=x ,斜渐近线为 1+=x y .
6. 广义积分
2
1
ln e
dx x x
+∞=?
7. 对于 x xe x y x y x y x
sin ) (2) (2) (=+'+'',其特解可以假设为
]sin ) (cos ) [(*x D Cx x B Ax e y x +++=.
二、 选择题: (本题共有 5个小题,每小题 4分,共 20分,每个小题给出的选项中,只 有一项符合要求 . )
1. 曲线 1-=x y 的拐点为 ( A )
(A ) ) 1, 0(- (B) (1,0) (C) ) 2, 1(-- (D) 无拐点
2. 当 0x →时, 2
(1cos ) x - 是 2
sin x 的( C ) .
() A 同阶但不是等价无穷小 () B 等价无穷小
() C 高阶无穷小 () D 低阶无穷小 3. 若 2) 1(='f ,则 0(1) (1)
lim
sin x f x f x
→+-=( A )
(A ) 2 (B) 2- (C) 1 (D) 0
4. 对于幂级数
∑∞
=-1
1
)
1(n p n
n
,下列说法中正确的为( D ) (A)当 1
p 时,条件收敛 (D) 当 1>p 时,绝对收敛
5. 若 x x y sin =, x y sin =分 别 为 非 齐 次 线 性 方 程 ) (x f qy y p y =+'+''的 解 , 则
x x y sin ) 1(+=为下列方程中( B )的解:
(A) 0=+'+''qy y p y (B ) ) (2x f qy y p y =+'+'' (C) ) (x f qy y p y =+'+'' (D) ) (x xf qy y p y =+'+''
三、计算题:(计算题必须写出必要的计算过程,只写答案的不给分,本题共 10个小题, 每小题 6分,共 60分) 1.
求曲线 12+=x xe y 在点 ) 1, 0(的切线方程和法线方程 .
解:x x xe e x y 22) (+=', (1分)
2) 0(='y (1分)
切线方程:12+=x y (2分) 法线方程:12
1
+-
=x y (2分) 2. 1
2
+=
x e y x
, 求 ) (x y '. 解:) 1ln(2
1
21ln 2+-=
x x y (3分) ) 1
21(1212
2+-+='x x
x e y x (3分) 3. 求微分方程 x
e y y y 252=+'+''的通解 . 解:1) 052=+'+''y y y
特征方程为 0522
=++r r ,解为 i r 21±-= (2分)
通解为 ) 2sin 2cos (21x C x C e y x
+=- (2分)
2)设特解为 x Ae y =*,代入 求得 4
1
=
A (1分) 故原方程通解为 x x
e x C x C e y 4
1) 2sin 2cos (21++=- (1分)
4. 设函数 () y y x =由方程 20
2
2
=-
?
-y t dt e xy 确定,求微分 dy .
解:2
220y y xyy y e -''+-= (4分) dx xy
e
y dy y 22
2-=
- (2分)
5. 求极限 ) cot 1
1(
lim 20x x x x -→.
解: ) cot 1
1(lim 20x x
x x -→
x
x x
x x x s i n c o s s i n l i 20-=→ (2分) 30cos sin lim x
x x x x -=→ (2分) 3
13sin lim 20==→x x x x (2分) 6. 确定级数 ∑∞
=1
3! sin n n n
n 的收敛性 .
解: !
! s i n 33n n n n n ≤, (1分) 由比值判别法判断,级数 ∑∞
=13
!
n n n 收敛 (3分)
由比较判别法判断原级数绝对收敛 (2分) 7.
计算定积分
20
x ?
.
解: 设 t x sin 2=, 2cos dx tdt = (1分)
2sin 222220
4sin 2cos x t
x t tdt π
==
??
?
(1分)
220
4s i n 2t d t π
=
?
(2分)
20
2(1cos4) t dt π
π=-=? (2分)
8. 确定幂级数
1
1
1n n n x na ∞
-=∑收敛半径及收敛域,其中 a 为正常数 .
解: a a a n
n n 1
l i 1==+∞→λ (2分)
收敛半径为 a R = (1分)
当 a x =时,级数发散 (1分)
当 a x -=时,级数收敛 (1分) 故收敛域为 ) , [a a - (1分)
9. 求 ?++-dx x x x x )
1(3
2
2. 解:1123) 1(3222++-
=++-x x x x x x x (3分) C x x x dx x x x x +-+-=++-?arctan ) 1ln(ln 3)
1(32
2
2 (3分) 10. 求解微分方程 x e x y y sin cos -=+'. 解: 1) 0cos =+'x y y
x d x y
dy
cos -= (1分) C x y ~
s i n ln +-= (1分) x
Ce
y sin -= (1分) 2) x
e
x u y sin ) (-= (1分)
x x
xe x u e
x u y sin sin cos ) () (---'='
x
x
e e x u x y y s i n
s i n ) (c o s --='=+', 解得, () u x x C =+ (1分) 故 x
e
C x y sin ) (-+= (1分)
四、综合题:(本题共 4个小题,总分 30分)
1. (本题 7分 ) 将函数 x y arctan =展开为麦克劳林级数 .
解:∑∞
=-=+='0
22
) 1(11
n n n x x y (3分) ∑∞
=++-==01
21
2) 1(a r c t a n n n n x
n x y (3分)
]1, 1[-∈x (1分) 2. (本题 7分 )
计算 n →∞
+
++
解:
2
214
12
122
2
2
2
2
+≤
++
+++
+≤
+n n n
n n n n
n n (3分)
由
lim
lim
1n n →→== (3分)
可得
1n →∞
+
++= (1分)
3. (本题 8分 ) 设 ???
??≤+>-=0,
0, cos ) () (x a e x x
x
x x f x
?,其中 () x ?具有二阶导数,且 1) 0(=?, 0) 0(='?, 1) 0(=''?,
(1) 确定 a 的值,使 ) (x f 在 0=x 处连续; (2) 求 ) (x f '.
解:(1) 0
lim () 1x f x a -→=+ (1分)
() 11cos lim () lim x x x x
f x x
?++
→→-+-=
0() (0)1cos lim (0)00x x x x x ???+→--??'=+=+=????
, (1分)
于是,当 1-=a 时, ) (x f 在 0=x 处连续,且 0) 0(=f (1分) (2) 当 0x >时, 2
(() sin ) (() cos )
'() x x x x x f x x ??'+--=
, (1 分)
当 0x <时, '()="">
f x e = (1分)
当 0x =时,已知 () x ?具有二阶导数,且 1) 0(=?, 0) 0(='?, 1) 0(=''?,
由 2
() cos (0)
() cos (0)lim lim x x x x
f x x
f x
x
??+
+
+→→---'==
0() sin () (0)sin (0)1
lim lim 22222
x x x x
x x x
x x ????+
+→→'''''+-??==+=+????=1 (1分)
11
lim ) 0(0=-='-→-x
e f x x (1分)
因为 (0)(0)1f f -+''==,所以 '(0)1f =.
由此得 2
(() sin ) (() cos )
, 0() 1, 0, 0x x x x x x x x f x x e x ??'+--?>??
'==??<>
(1分)
4.(本题 8分 ) 设 ) (x f 在 ) , 1[+∞具有连续导数,且满足方程 ?=+-x
dt t f t
x f x 1
2
2
1) () 1() (,
求 ) (x f .
解: 0) () 1() () (222=+-'+x f x x f x x xf (1分)
记 ) (x f y =,易见 1) 1(=y (1分) y x x y x ) 12(22+-='
dx x
x x y dy 2
212+-= (2分) C x
x x y ~
1ln 2ln +-
-= (1分) x
x x
x x e x
C Ce
y 1
21
ln 2--
-== (1分) 由 1) 1(=y 可知, 1=C (1分)
综合可得 x
x e x
y 1
21-= (1分)
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