范文一:期权定价公式的概率论推导
第30卷第3期北京工业大学学报vd30№32004年9月JoLⅡuULoFBEuINGuNⅣERsrrYoF1EcHNOLoGYsept2004
期权定价公式的概率论推导
许端
(上海海事大学基础部,上海200135)
摘要:为了揭示概率论思想在实际金融问题中的具体运用过程,在经典金融原理假设的基础上,独立推证了通过
概率论途径寻求期权定价公式的具体步骤.首先通过严密的逻辑演绎,给出了如何在合理的假设基础上,将实际金
融背景转换为概率论模型的详细过程,包括股票价格变化的随机过程,通过№引理描述了无套利均衡期权价格变
化的数学模型;其次给出了在利用概率模型求解期权定价公式时所涉及到的积分变量替换的具体公式.
关毽词:期权定价;概率论;积分变换
中圄分类号:F832文献标识码:A文章编号:0254—0037(2004)03一0382—04
期权定价原理的研究,不仅丰富了金融市场的产品种类,而且极大地推动了金融市场的发展与完善.在引进国外的先进理论时,国内学者经常以介绍国外的理论和结果为主,很少解释国外金融理论产生的基础,
期权定价原理建立在如下的合理假设之上“…:①市场上允许卖空行为;②不考虑交易费用以及税收从概率论上讲,某时刻的股票价格是一个随机变量.考虑该时刻后任何时刻的随机变量随时问变化[s(‘)一s(%)】/s(%),[s(t)一s(f.)】/s(f.),…,【s(‘)一s(‘一。)】,s(‘一.),…(1)收稿日期:2003.04.21.作者简介:许螬(1964_).江苏苏州人.讲师,硬士
尤其很少分析在运用数学进行有关求解时的逻辑演绎过程.求解期权定价公式的解析方法有两个:一个是利用偏微分方程;另一个是通过概率论方法.作者在经典金融原理假设的基础上,对求解期权定价公式的概率论途径进行了详细、严谨的逻辑演绎,并对相关的数学求解过程给出了详细描述,主要包括两个方面:一是详细分析金融原理向概率论模型的转换方式;二是具体给出有关概率求值过程中积分变量替换公式.1期权估价原理的前提假设等交易成本(考虑交易成本时另行处理);③存在一个定常的无风险的市场利率;④交易市场不存在无风险的套利机会(即所有的无风险组合有相同的收益,而且任何两个风险组合的单位风险的回报相同);@证券交易具有时间上和数量上的连续性(即以连续复利计息和允许交易量为小数);@不考虑期权有效期内的红利支付(考虑支付红利时另行处理).在这些合理假设之下,决定期权价格的因素有如下几个:①股票的当前价格s(‘);②期权的到期日r;@敲定价格尬④无风险收益率¨⑤股票价格的波动率D(瞬时收益率的标准差).2描述股票价格变化规律的数学模型的行为时,不同时刻的股票价格就构成一个随机过程”1.按照关于股票价格的经典假设,股票价格的瞬时变化率(即投资者的瞬时收益率)遵循布朗运动.用‘表示起始时刻,s(‘)表示时刻‘的股票价格(随机变量),则为一系列相互独立的正态随机变量.
第3期许端:期权定价公式的概率论推导383令f.一‘,根据In(1+x)≈x(当x一0),由式(1)推出
1n【s(f,)/s(乇)],ln[s(t)/s(f.)],…,1n【s(厶)/s(岛一,)】,…
服从相互独立的正态分布.也就是说
lns(f.)一lnS(乇),lnS(乞)一1ns(f】),…,lns(‘)一lnS(‘一1),…(2)(3)
(4)为一系列相互独立的随机变量.从而推知{lns(f))是一个广义维纳过程”1,此意味着dlns(f)=∥df+盯√df善,或者ds(r)/s(f)=肛df+盯√df言
其中:Ⅳ和d为常数,∥为ds(f)/s(f)的数学期望(即股票的瞬时预期收益率),D为ds(f)/s(f)的标准差(称为股票价格的易变性);0为一标准正态随机变量,用妒({,¥)表示正态分布,则0~妒(O,1).
为方便起见,下面记s=s(f),表示任何时刻f时的股票价格.此时的s=s(f)表示一个随机变量,而fs(f)1是一个随机过程,与一般的函数形式有所差别.
3广义维纳过程的It6引理
It6引理是描述一个广义维纳过程的任何函数形式的变化的随机微分方程,它类似于确定状态下的泰勒展开式.对于一个广义维纳过程{x(f)),出=肛出+盯出,如果肛和口不是常数,而是依赖于x和f,即芦=卢(鬲f)和仃=盯(知f),则称{x(f))遵循It6过程;出=∥(工,f)df+d(而f)出称为It6随机微分方程.
It6引理‘”:假设{x(f))服从广义维纳过程,即血=∥m+d出,其中p和d为常数.那么,对于任何x和f的函数G=Gf∞f),有
aG=c筹p+普+;等naH警a出
成立.cs,
令p(*r)=警p+筹+i等a2和a(*r)=筹棚o
dG=∥(G,f)df+盯(G,f)dz
推出G也遵循It6过程.
由于1nS(f。)一lns(乇),lns(乞)一1ns(f,),…,lnS(岛)一lns(‘,),…为一系列相互独立的随机(6)变量,所以lns(r)一lns(‘)服从正态分布.
特别地,令G=G(&f)=ln(s)
应用上述It6引理的结论,得
dlns=[芦s/s+0一仃2s2/(2s2)】df+弧√df言/s=
(肛一盯2/2)df+盯√df言,;~妒(O,1)
对式(7)进行积分,得到
lnS(丁)一lns(乇)=(肛一盯。/2)(丁一乇)+盯√71一毛}
即(7)
lns(7’)一lns(乇)一妒[(肛一盯2/2)(r一乇),盯√丁一岛】
亦即
s(丁)=s(乇)e1,叩~妒f(p一盯2/2)(7^一毛),盯√r一%】
推得s(r)服从某种形式的对数正态分布.
基于上述推证,可以给出通过概率分布途径求任意时刻‘的期权价格的过程.
4(8)利用概率论途径求欧式看涨期权的价值
市场不存在无风险的套利机会,任何套利行为只要一出现,便会由于投资者的大量进人而很快消失.因而,作为一个动态的长期过程,市场被认为是一种均衡状态.风险中性定价理论认为,所有投资者的投
384北京工业大学学报2004年资行为都是风险中性的,所有证券的预期收益率都是无风险利率r
等于该期权到期时的数学期望按无风险利率进行贴现的值.
对于欧式看涨期权,到期时的期权价值可表示为M“(s(丁)一份期权合约的均衡的期初价值应该墨0)(随机值),用c(S(‘))表示时刻‘的期权价格,则有“’”
c(S(矗))=e吖¨一々’E[Ma)【(s(丁)一尼O)】
如果s(丁)的概率密度函数是,(x),则式(9)即为”1(9)
c(‰))=e…7吲f:(x一Ⅳ)似)出=e
e“h,KJ':m)血钠吐
直接利用式(8)即得到咿吲r∥(。)血一(10)
_厂(x)=exp{一[1ns(乇)一lnx一(肛一仃2/2)(丁一乇)]2/
[2(盯√r一乇)21},(盯x√r一气√2兀)
在一个风险中性市场,∥=r.将式(11)代人式(10),对于以.,作变量替换
“=[1ns(乇)一lnx+(r+盯2/2)(丁一乇)】/(口√r一气)
代入A.,并化简得
^。=s(乇)|v(d,)
其中:dl=【lns(乇)一ln足+(r+盯2/2)(丁
对于^:,作变量替换(11)(12)(13)%)]/(口,亍i);Ⅳ(?)表示标准正态分布的密度函数
(14)
(15)“=[1ns(岛)一1nx+(r一盯2/2)(丁一乇)】/(盯√丁一乇)代入^:,并化简得以,=足e一¨一‘’Ⅳ(Z)
将式(13)、(15)代入式(10),即得所求结果其中:哎=【1ns(%)一lnK+(r—d2/2)(7_一‘)】/(口√丁一%);Ⅳ(?)表示标准正态分布的密度函数
c(s(乇))=s(岛)Ⅳ(吐)一Ke叫¨一’’Ⅳ(吐)
参考文献:
[1】BLAcKF,scHoLEsM.ne研cing
8l(3):637.654.ofop吐0nsa11d(16)co啪rateliab咖es[J】Jo啪al0fP01l石calEconomy,1973,
【2】张彩玉.期权定价的博弈分析【J】.西南交通大学学报,2003,38(3):56-6l
Z}I.~NGCai—yu.A11alysisof0pdonpdcingwiⅡ1g锄eⅡ世ory咖.Journal
EconometricsofofSoumwestJiaotongUIllversiIy,2003,38(3):56.61.fina证nese)【3]GARclAR,GHYsELs
ofE,RENAuLTE.Nonhneat0pdon蹦cing[R】.
beissue.No曲叫ina:&pa咖entEcono删cs,L肺veIsi廿ofR.ACamlimChapcl|五ll,2003.Revlew,to[4】SAVIKAssimpleop60n-p打cingfo皿Illa【J].111e开nallcial
ⅪE【5】劳斯sM.随机过程[h劬.何声武,谢盛荣,程依明译.北京:中国统计出版社,1997.RosssM.stochas6cProcess[M1.HEsheng—wu,sheng—rollg,c}Ⅱ州GYi-ming,咖d.BeDing:c11ina
Stads6calPublisIlingHouse,1997.(1nCIlinese)
[6】陈舜.期权定价理论及其应用[h劬.北京:中国金融出版社,1998.
C皿NShIltl.op60nPricing:Theorya11dApplic撕on[枷.BeUlng:cIlinaFinancialPllMisIling}王oIlse,1998.(inCIli眦sel
[7】约翰-赫尔.期权、期货和衍生证券[M】.北京:华夏出版社,1997.
IjLJLLJc.opdons,Futllrcsandomer瓜dv觚vesec面Ees【M】.Beqing:}王眦iaPublis岫培HolIse,1997.(1nCIlimsel
第3期许端:期权定价公式的概率论推导385
DeductionProcessofoptionPricingFormula
ThroughProbabiUtyApproach
XUDuan
(I)evlsionofBasiccourses,shaIl曲aiM撕曲坨u11ivers时,shan曲ai200135,china)
Abstract:Inordertorevealmespecialapplicadonprocessofpmbabili够inhandlingprac石calnnancialpmblems,meauthorindependenⅡydeducesmestepstonndopdonpdcingf0衄ula血mughprobabiliqappmachesonmebasisofmehypo也esisofclassical疗nancialp^nciple.FirStmroughunass棚able109icdeduon,Ⅱ1edetailedpmcessoftmnsforIllingpmc6calnnallcⅫbackgmundintoprobabilitymodelisgiven,w11ichincludesme砌dompmcessofstockpdcenuctLl撕onandmees诅blishmentofma山em撕cmodeltodescdbetheequilibdumopdonpricech柚geofnoarbitmgebyIt6;second,血esubsd扎donalfo姗uIaforintegralva^ablesin丘ndingop廿0npdcingfornllllabyprobabili够modelispresented.
Keywords:opⅡonpricing;pmbabili哆;integraltransforrlla廿on
上接第294页
PenicminBiOmassGrowthVisualModel
BasedonCenularAutomata
YUNai-gong,RUAN)(iao_gang
(C011egeof日ectr0IlicInf0衄a60nandControlEngincenng,
BeUingumvers时ofTcchnology,Be日ing100022,cIlina)
Inordertorenectmeplexsyste:mcharactcrizadonofbiomas8growthinpcllicilIinprocess,t11ispaperestablishedabiomassgmw血visualmodelofpellicillinba蛐processbasedoncelIll【arautomatabystIldyingthemechanismofpelliciIIinbatchprocessbiomassgrow血.Themodelllsescolorparremtodescribcmegrow血ev01u60nofpicillinbiomass,and池evoIu廿0nmIesaredesigncdbaSedonpc血c川inba蛐
processbiomassgrow血mech嘶smanddynarnicsdiffc他ndaleqlladons.Themodelwit}lspeciaIcharactcris廿csofdiversity,mndomanduncenain£yinpellicil“nba衄h
processwell.Simula缸onresllltsshowmatthevisualmodeldescribedtheev01砸onofpe面cj埘nfe删en扭donpf∞ess蜥omassgfow出H,eJJ
words:pellicilIinbatchfe咖en枷onprocess;biomassgrowm;Visualmodel;celluIarautomataAbstract:feImentadonfenllen锄onfe硼entadooprocessfenllenta廿onconfomlsfemlen锄onbe血a“orKey
期权定价公式的概率论推导
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):
被引用次数:许端上海海事大学,基础部,上海,200135北京工业大学学报JOURNAL OF BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY2004,30(3)1次
参考文献(7条)
1. 约翰·赫尔 期权、期货和衍生证券 1997
2. 陈舜 期权定价理论及其应用 1998
3. 劳斯S M;何声武;谢盛荣;程依明 随机过程 1997
4. SAVIKAS R A simple option-pricing formula
5. Garcia R;GHYSELS E;RENAULT E The Econometrics of Option Pricing 2003
6. 张彩玉 期权定价的博弈分析[期刊论文]-西南交通大学学报 2003(03)
7. Black F;SCHOLES M The pricing of options and corporate liabilities 1973(03)
引证文献(1条)
1. 束洪春. 吴水军. 董俊. 王超 基于预测-校核机制的发电侧煤电联动[期刊论文]-电网技术 2007(8)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_bjgydxxb200403026.aspx
范文二:概率论及统计学的重要公式和解题思路
一、基本概率公式及分布 1、概率常用公式:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A 、B 独立,则P(AB)=P(A)P(B) ; P( B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率 :P(A|B)=或记 : P(AB)=P(A|B)*P(B) ;
2、随机变量分布律、分布函数、概率密度 分布律:
离散型X 的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=xk 的概率为: P{X=xk }=Pk , k=1,2,3...; --- 既 X 的分布律;
P(AB) P(B)
;
X 的分布律也可以是上面的表格形式,二者都可以。 分布函数:
F(x)=P(X≤x ), -∞<><+∞ ;="" 是概率的累积!="">+∞><>
离散型rv X; F(x)= P{X≤x}= x k
x
rvX ;F(x)= f x dx , f(x)称密度函数;既分布函数?∞
F(X)是
密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x) 围成的面积! 性质:F(∞) =1; F(?∞) =0;
二、常用概率分布:
①离散:二项分布:事件发生的概率为p, 重复实验n 次,发生k 次的概率(如打靶、投篮等), 记为B(n,p)
k n ?k
P{X=k}= n p (1?p) ,k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p); k
②离散:泊松分布:X ~Π(λ) P{X=k}=
λk e ?λk!
,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ;
③连续型:均匀分布:X 在(a,b)上均匀分布,X ~U(a,b),
1
则:密度函数:f(x)= b ?a
, a <>
x ?a
分布函数F(x)= ?∞f x dx =
x
0, x
1
b ?a
, a <><>
e , 0
?x
④连续型:指数分布,参数为θ,f(x)= F(x)= 1?e , x >0 ;
?x θ
⑤连续型:正态分布:X ~N(μ, σ2),
most importment!
密度函数 f(x),表达式不用记!一定要记住对称轴x=μ, E(X)=μ,方差D(X)= σ2; 当μ=0,σ2=1时,N(0,1)称标准正态,图形为:
分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x) 围成的面积。当X ~N(0,1),F(x)=Φ(x)(换个叫法), 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a); 看到X ~N(μ, σ2) , 求概率的题,一定要变成标准正态N(0,1); 既把X 变成
X?μσ
;则
X?μσ
~N(0,1);
例题:已知 X~N(1, 22) ; 求P(-1<><3). 解:(思路:μ="">3).><><><><>
?1?12
x ?12
X ?12
)
3?12
)= P(?1
X ?12
1)= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表 正态性质:如X ~N(μ1, σ12) ,Y ~N(μ2, σ22) ;则Z=aX+bY也是正态;Z ~N(μz, σz 2) , 其中μz=aμ1+bμ2 ; σz 2=a2σ12+b2σ22 ;
三、二维随机变量:
离散型:(X,Y) 可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...). 联合分布律:P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..) 联合分布律的表格形式:
边缘分布:
P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加) ; P(X=2),P(X=3)同样计算 P(Y=1)=P11+P21+P31(竖排相加); P(Y=2) ,P(Y=3)类似计算;
条件概率:
X=X1条件下Y 的分布律:P{Y=yj|X=x1}=P{Y=y1|X=x1}=
连续型:设f(x,y)是联合概率密度;(注意x,y 常常有取值范围D 的)
x y 则 :F(x,y)=P(X<>
∞∞
边缘密度:f x x = f x, y dy; f y =f x, y dx; y ?∞?∞
P11P{X=X1)
P{Y=yj,X=X1}P{X=X1)
=
P1J
P{X=X1)
;
P13
; P{Y=y2|X=x1}=
P12
P{X=X1)
P{X=X1)
如XY 独立,则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成立;
X,Y 二维正态密度中的参数ρ=0,则X,Y 独立; 题型:1、f(x)有未知常数,求未知常数; 思路:注意x 的定义域,利用
∞
F(∞)= f x dx ?∞
=1; 求出参数;
2、求P(X 3、求Z=X+Y的分布:密度公式f x+y z = f x, z ?x dx; ?∞四、数学期望、方差 数学期望 E(X), 方差D(X) : n 离散:E(X)= n i=1xi ?pi ; E(g(X))= i=1g(xi)?pi ; ∞连续:E(X)= xf x dx; ?∞ ∞ ∞ E(g(X))= g(x)f x dx; ?∞ 性质:E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y) 如X,Y 独立,则E(XY)=E(X)*E(Y); D(X)=E(X2) ?E 2(X); D(C)=0, D(CX)=C2X 如X,Y 独立,D(X±Y)=D X +D(Y) 五、样本及抽样分布 中心极限定理:E(X)=μ,D(X)=σ2的独立同分布的X1,X2,X3...Xn ,当n n N(0,1); n i=1Xi 是Xi 的和; 样本及抽样分布:从总体X 中抽取一个个体,独立抽n 次,记为X1,X2,...Xn, 它们组成独立、同分布的随机变量,叫随机样本,n 是样本容量,X1,X2,..Xn 的观测值x1,x2,x3...xn 叫样本值。 如总体X 的分布函数是F ,密度是f; 则: F(x1,x2,..xn)=F(x1)*F(x2)*...*F(xn)= n i=1F(xi) ; f(x1,x2,...,xn)= n i=1f(xi) ; 重要统计量: 样本均值: = n i=1Xi ; 样本方差 S 2= n 1n σ2n 1 1n ?1 n i=1(Xi ?)2; 1n n 如总体X 的E(X)=μ,D(X)=σ2, 则E(= n E(Xi) =i=1i=1μ=μ, D(=; 六、正态总体分布常用统计量: 1、卡方χ2:X1,X2,... 是来自总体X ~N(0,1)的样本, χ2=X12+X22+...+Xn2, 则称χ2~χ2(n)为自由度n 卡方分布; 性质:E(χ2)=n , D(χ2)=2n ; 卡方χ2的上分位点:给定 0χa 2 ∞ (n)}= χa 2f x dx =a 的χa 2(n),已知a,n, 查表可χa 2(n); 2、t 分布:X ~N(0,1),Y ~χ2(n),XY互相独立, t , 称自由度为n 的t 分布,记t ~t(n); 图形和N (0,1)类似; 分布的上分位点:给 定 0 ∞ P{t>ta (n)}= t (n)f x dx a =a 的t a (n), 已知a,n, 查表可 t a (n), t 分布的图形: 3、F 分布:U ~χ2(n1) ;V ~χ2(n2) ,且UV 互相独立, F= ; 是自由度为(n1,n2)的F 分布,记F ~F(n1,n2); U F 分布的上分位点:给定 0 ∞ P{F>Fa(n1,n2)}= Fa(n1,n2)f x dx =a 的Fa(n1,n2) χa 2, 已知a,n1,n2, 查表可Fa(n1,n2) ; F 分布性质: ~F n2, n1 ; 分位点有F 1-a (n1,n2)=1/ Fa (n2,n1) ; F 1 正态总体N(μ, σ2) 的平均值和方差分布: E(=μ, D(= σ2n ; D(S2)=σ2; σ2n 性质1:平均值也是正态, ~N(μ, ) ; 2: 3: (n ?1)S 2σ2 ?μS ~χ2(n-1); 卡方χ2分布; ~ t(n-1) ;t 分布; 2 4:X ~N(μ1, σ1 ), Y~N(μ2, σ22 ) ; S1,S2是对应方差; σ1 /σ2 S12/S22 ~ F(n1-1,n2-1) ; 七、参数估计 1、最大似然估计法: 离散型总体X ,其分布律P{X=x}=p(x;θ) , θ 是待定参数,Xi(i=1,2..n)是个体样本,xi(i=1,2,..n)是样本取样值,则Xi(i=1,2..n)的联合分布律为: n ; i=1p(xi;θ) (既Xi(i=1,2..n)的积事件)似然函数L(θ) =L x1, x2, …, θ = n i=1p(xi;θ) ; 把θ看做自变量,如L(θ) 达到极大值,则 ,θ 称最大似然估计值。 θ=θ 为计算方便;可 d(lnL θ ) d θ dL (θ) d θ =0时,可解得 , =0 ,计算出θ=θ 正态X ~N(μ, σ2) 的最大似然估计量为: 2=1 n (Xi ?)2 ; μ =x , σi=1 n 的数学期望E(θ )=θ; 2、无偏估计:指估计量θ 如E(=μ, 称样本均值是总体均值μ的无偏估计;D(S2)=σ2, 称样本方差是总体方差的无偏估计;其中, 样本方差 S 2= 1n ?1 n i=1(Xi ?,分母是n-1, 不是n!. 3、区间估计: 置信区间:给定a(0 连续型rv : a 已知,利用P(θ1<><θ2)=1-a, 求出θ1,="" θ2="" ;常用的正态分布公式是:~n(μ,="">θ2)=1-a,> n σ2 题型:①σ已知,求μ的置信水平为1-a 的置信区间: a 、变换成标准正态;令, 则Y ~N(0,1);上分位点Y a/2 可 查表得出,由于N(0,1)的对称性,下分位点是-Y a/2 ; b 、由-Y a/2Y a/2 ; 得?Y a/2?σ/ <> +Y a/2?σ/ 就是μ 的置信区间。见图! ②σ未知,求μ的置信水平为1-a 的置信区间: ~ t(n-1); 由 t a/2(n-1))=a/2, 查表得上分位点 t a/2(n-1) ,由于t 函数对称性,下分位点是- ta/2(n-1) ; - ta/2(n-1) < t="" a/2(n-1)=""> 既 得μ 的置信区间(±S/ * ta/2(n-1)) ③方差的置信区间(μ 未知); (n ?1)S 2σ2 χ2(n-1); 卡方χ2分布;给定a, 查表可得上下分位 点 χ2a/2 (n-1)和χ21-a/2 (n-1) ;解 χ2a/2 (n-1)<( n-1)s="">(><χ21-a (n-1)得方差σ2的置信区间:="">χ21-a> n ?1 S 2χ a/2(n?1) n ?1 S 2χ 1?a/2(n?1) ④两个正态总体X ~N(μ1, σ12) ,Y ~N(μ2, σ22) 的置信区间; 来自总体X 的样本X1,X2,...Xn1, 均值, 方差S 12; 来自总体Y 的样本Y1,Y2,... Yn2, 均值, 方差S 22; a 、μ1?μ2的置信区间: 1)、σ1,σ2已知,设Z=?, 则Z ~N(μ1?μ2, 既 +22 σ12n1 + σ22n2 ~N(0,1) , 上分位点为Z a/2; 置信区间为: σ12n1 (?±Z a/2 + σ22n2 ) S w 2)、σ12=σ22=σ2 (未知)~t(n1+n2?2) ; 置信区间:(?±t a/2(n1+n2-2) Sw 其中:S 2w= n1?1 S12+ n2?1 S22 n1+n2?2 1n1 + 2n2 ) ; b 、两个方差之比σ12/σ22的置信区间,μ1,μ2均未知。 由: σ1 /σ2 S12/S2 ~ F(n1-1,n2-1); 给定a, F 分布的上下分位点分别 为F a/2(n1-1,n2-1), F1-a/2(n1-1,n2-1), 有:F a/2(n1-1,n2-1) 2 2 σ1 /σ2 S12/S2 < f1-a/2(n1-1,n2-1)=""> 1 σ1/σ2置信区间:( 八、假设检验 S12 S2F a/2(n1?1,n2?1) , S12 S2F 1?a/2(n1?1,n2?1) 1 ); 方法:给定较小的a 值(0.01,0.05), 得到上分布点Z a/2; 当统计量Z = 、t = 等 成立(H1), a称显著性水平。 双边检验: H0:μ=μ0 , H1:μ≠μ0 ; H0的拒绝域为Z>Za时; 左检验:H0:μ≤μ0 , H1:μ>μ0 ; H0的拒绝域为Z>Za时; 右检验:H0:μ≥μ0 , H1:μ<μ0 ;="">μ0><> ∵1?a 为大概率事件,∴总体抽样的个体,分布在<> 1、正态总体均值的假设检验: a 、单个总体均值μ的检验; ①如方差σ2已知~N(μ, ,Z = n σ2 ~N(0,1) ;当Z 原假设H0:μ=μ0成立,当Z ≥Z a/2 时H1 : μ≠μ0成立。 ②如方差σ2未知~ t(n-1),; 当t H0:μ=μ0成立,t>ta/2(n-1)时,H1:μ≠μ0成立。 b 、两个总体正态的检验:X ~N(μ1, σ2) ,Y ~N(μ2, σ2) , μ1, μ2, σ2未知,检验; H0:μ1?μ2=δ,H1:μ1?μ2≠δ,(δ为已知,显著性水平是a) 检验统计量S W +, 2s w = 2 n1?1 S 2+(n2?1)S n1+n2?2 ; 当H0成立时,t ~t n1+n2?2 ; 设k=t a/2(n1+n2-2)(双边检验), 则H0的拒绝域是|t|≥k=t a/2(n1+n2-2); c 、成对数据的检验(t 检验) 原始数据对X1,X2,...,Xn; Y1,Y2,...,Yn,构造r. v. D 2 D1=X1-Y1,D2=X2-Y2,Di=Xi-Yi ; Di服从正态分布:Di ~N(μ0, σ2D ) , μ0, σD 未 知;检验假设: ①H0:μD =0,H1:μD ≠0;②H0:μD ≤0,H1:μD >0; ③H0:μD ≥0,H1:μD <> 设样本均值为样本方差S 2 ,上述检验的拒绝域为(a 为显著水平) ①| t|=|≥t a n ?1 , ② t=||≥t a n ?1 , ③ t=||≤?t a n ?1 , 2、正态总体方差的假设检验: 1)、单个总体 X ~N(μ, σ2) ,, μ, σ2未知,X1,X2,...Xn 是样本,要检验(显著性水平为a) ; 222 ①H0: σ2=σ20 ; H1: σ≠σ0 , σ0为常数;属于双边检验; 由 (n ?1)S 2σ2 ~χ2(n-1); 卡方χ2分布,取χ2= (n ?1)S 2 σ20 22其上下分位点是:k1=χ1?a/2(n-1); k2=χa/2(n-1) ∴拒绝域: (n ?1)S 2 σ0 (n ?1)S 22 ≤k1=χ1?a/2(n-1) or σ0 ≥k1=χ2a/2(n-1) 222 ② H0: σ2≤σ20 ; H1: σ>σ0 , σ0为常数;属于单边检验; 拒绝域 : (n ?1)S 2 σ0 ≤χ2(上分位点) a (n-1); 222③ H0: σ2≥σ20 ; H1: σ<σ0 ,="">σ0> 拒绝域 : (n ?1)S 2 σ0 2 ≤χ1(上分位点) ; ?a (n-1); 概率论与数理统计重要公式:假设检验 2016年考研数学复习,公式是首要掌握的基础和关键。下面凯程老师整理了概率论与数理统计部分的重要公式,希望考生收藏背诵,并在复习中灵活的掌握和运用,提升解题能力。 基本思想 假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的,即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定H0是不正确的,我们拒绝接受H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受H0,我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设,用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件 ,其概率就是检验水平α,通常我们取α=0.05,有时也取0.01或0.10。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下: (i) 提出零假设H0; (ii) 选择统计量K ; (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ; (iv) 由样本值 计算统计量之值K ; 将 进行比较,作出判断:当 时否定H0,否则认为H0相容。 两类错误 第一类错误 当H0为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规定的检验法则,应当否定H0。这时,我们把客观上H0成立判为H0为不成立(即否定了真实的假设),称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误,记 为犯此类错误的概率,即 P{否定H0|H0为真}= ; 此处的α恰好为检验水平。 第二类错误 当H1为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的检验法则,应当接受H0。这时,我们把客观上H0。不成立判为H0成立(即接受了不真实的假设),称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误,记 为犯此类错误的概率,即 P{接受H0|H1为真}= 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,当容量n 一定时, 变小,则 变大;相反地, 变小,则 变大。取定 要想使 变小,则必须增加样本容量。 在实际使用时,通常人们只能控制犯第一类错误的概率,即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时,则应把α取得很小,如0.01,甚至0.001。反之,则应把α取得大些。 统计学及概率论重要公式 11材料科学与工程(3)班复习资料 条件概率 乘法 独立性 P(AB)。 P(A)乘法公式:记为?两个事件的独立性 (A)设事件满足 两两互不 相容,, 则有 全概公式 。 贝叶斯公 式 伯努利概 型 ,i=1,2,…n。 ,。 11材料科学与工程(3)班复习资料 布 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 11材料科学与工程(3)班复习资料 单正态总体均值和方差的假设检验 11材料科学与工程(3)班复习资料 条件概率 乘法 独立性 P (AB ) 。 P (A ) 乘法公式:P (AB ) =P (A ) P (B /A ) 记为P (B /A ) =①两个事件的独立性 P (AB ) P (A ) P (B ) ==P (B ) P (A ) P (A ) 设事件B 1, B 2, , B n 满足 P (B |A ) = 1°B 1, B 2, , B n 两两互不相容,P (B i ) >0(i =1, 2, , n ) , 则有 全概公式 P (A ) =P (B 1) P (A |B 1) +P (B 2) P (A |B 2) + +P (B n ) P (A |B n ) 。 贝叶斯公式 伯努利概型 P (B i /A ) = P (B i ) P (A /B i ) ∑P (B j =1 n ,i=1,2,…n 。 j ) P (A /B j ) P n (k ) =C n p k q n -k k ,k =0, 1, 2, , n 。 布 单正态总体均值和方差的假设检验 转载请注明出处范文大全网 » 期权定价公式的概率论推导范文三:概率论与数理统计重要公式
范文四:统计学及概率论重要公式
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