正宗卖男孩的小火柴
范文一：正弦定理
1.1.1正弦定理
学习目标
1.掌握正弦定理及基本应用. (重点 )
2.会判断三角形的形状. (难点 )
3.能根据正弦定理确定三角形解的个数. (难点、易错点 )
课前预习
阅读教材,完成下列问题.
1. 一般地, 把三角形的三个角 A , B , C 和它们的对边 a , b , c 叫做三角形的 ________. 已 知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ________________.
2.在 Rt △ ABC 中, C =90°,则有:
(1)A +B =________, 0°
(2)a 2+b 2=________(勾股定理 ) ;
(3)
a
sin A ________,
b
sin B ________,
c
sin C =________.
3. 正弦定理:在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即 ____________, 这个比值是 ________________________.
4.判断 (正确的打 “√” ,错误的打 “×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形. ()
(2)在△ ABC 中,等式 b sin A =a sin B 总能成立. ()
(3)在△ ABC 中,若 A =30°, a =2, b =23,则 B =60°.()
5.在△ ABC 中, A =45°, c =2,则 AC 边上的高等于 _________________.
知识点一 已知两角和一边解三角形
例 1 在△ ABC 中, a =5, B =45°, C =105°,解三角形.
小结:已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量,其中至少有一个是边,可 以求解其余的三个量.
变式训练 1在△ ABC 中,已知 a =2, A =30°, B =45°,解三角形.
知识点二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2在△ ABC 中, a =3, b =6, A =30°,解三角形.
小结:已知三角形两边和其中一边的对角,解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦 值,根据该正弦值求角时,需对角的情况加以讨论.
变式训练 2 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 A =60°, a =3, b =1,则 c 等于 ( )
A . 1 B . 2 3-1 3
知识点三 判断三角形的形状
例 3 在△ ABC 中,若 sin A =2sin B cos C ,且 sin 2A =sin 2B +sin 2C ,判断△ ABC 的形状.
小结:1.判断三角形的形状看该三角形是否为某些特殊的三角形,如锐角三角形、直角 三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等. 2.已知三角形 中的边角关系式,判断三角形的形状,可以考虑用正弦定理化边为角,再利用三角恒等 变换找出三个角之间的关系,或者化角为边,通过代数恒等变换找出三边之间的关系, 再给出判断.
变式训练 3 在△ ABC 中, cos cos A b B α=,判断△ ABC 的形状 .
知识点四 已知两边及其中一边的对角,判断三角形解的个数
例 4 不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(1)a =5, b =4, A =120°; (2)a =9, b =10, A =60°; (3)c =50, b =72, C =135°.
小结 已知三角形的两边及其中一边的对角,此类问题可能出现一解、两解或无解 的情况,具体判断方法是:可用三角形中大边对大角定理,也可作图判断.
变式训练 4 不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(1)a =7, b =14, A =30°; (2)a =30, b =25, A =150°; (3)a =7, b =9, A =45°.
课堂总结
1.公式结论:
(1)三角形内角和:A +B +C =π。
(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。
R C
c B b A a 2sin sin sin ===。 (3)公式变形
① 2sin a R A =, 2sin b R B =, 2sin c R C =
② s i n
2a A R =, s i n 2b B R =, s i n 2c C R
= ③ s i n s i n s i n a b c A B C ===s i n s i n s i n
a b c A B C ++++=2R ④ ::s i n :s i n :s i a b c A B C = 2.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题:
(1)已知两角和任一边,求其它两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.
3. 已知两边和其中一边的对角, 求第三边和其它两个角, 这时三角形解的情况比较复杂,
当堂检测
一、选择题
1.在△ ABC 中,下列等式中总能成立的是 ()
A . a sin A =b sin B B . b sin C =c sin A
C . ab sin C =bc sin B D . a sin C =c sin A
2.在△ ABC 中,已知 a =18, b =16, A =150°,则这个三角形解的情况是 () A .有两个解 B .有一个解
C .无解 D .不能确定
3.在△ ABC 中,已知 a =8, B =60°, C =75°,则 b 等于 ()
A . 42 B . 43 C . 46 32 3
4.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,如果 c =3a , B =30°,那 么角 C 等于 ()
A . 120°B . 105°C . 90°D . 75°
5.在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ()
A . b =10, A =45°, C =70°B . a =30, b =25, A =150°C . a =7, b =8, A =98°D . a =14, b =16, A =45°6.在△ ABC 中,若 c =2a cos B ,则△ ABC 的形状为 ()
A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .不等边三角形
二、填空题
7.在△ ABC 中, AC 6, BC =2,∠ B =60°,则 C =________.
8.在△ ABC 中,已知 a 、 b 、 c 分别为内角 A 、 B 、 C 的对边,若 b =2a , B =A +60°, 则 A =__________.
9.在△ ABC 中,已知 a =3, b =6, A =30°,解三角形.
1.1.1 正弦定理答案详解
课前预习
1.元素 解三角形 2. 90° (2)c2 (3) c c c 3. sin Asin Bsin C 三角形 外接圆的直径 2R 4. (1)√ (2)√ (3)× 5. 3
例 1 解 由三角形内角和定理知 A +B +C =180°,
所以 A =180°-(B +C ) =180°-(45°+105°) =30°.
由正弦定理 a sin A =b sin B c sin C ,得 b =a sin B sin A sin 45°sin 30°
2; c =a sin C sin A =sin 105°sin 30°=sin 60°+45° sin 30°=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°sin 30°=52(6+2) .
变式训练 1 解 a sin A b sin B =c sin C b =a sin B sin A =2sin 45°sin 30°2221
2
=4. ∵ C =180°-(A +B ) =180°-(30°+45°) =105°,
∴ c =a sin C sin A 22sin 105°sin 30°22sin 75°12
=2+23. 例 2 解 a =3, b =6, a <>
又因为 b sin A =6sin 30°=3, a >b sin A ,
所以本题有两解,由正弦定理得: sin B =b sin A a 6sin 30°23
=32,故 B =60°或 120°. 当 B =60°时, C =90°, c =a +b =3;当 B =120°时, C =30°, c =a =23. 所以 B =60°, C =90°, c =43或 B =120°, C =30°, c =3.
变式训练 2 B [由正弦定理 a sin A b sin B 3sin 60°=1sin B
∴ sin B 12
B =30°或 150°. 由 a >b , 得∠ A >∠ B ,∴∠ B =30°,故∠ C =90°,由勾股定理得 c =2.]
例 3 解 法一 在△ ABC 中,根据正弦定理:a sin A =b sin B c sin C
=2R (R 为△ ABC 外接圆的半径 ) .∵ sin 2A =sin 2B +sin 2C ,∴ ??a 2R 2=??b 2R 2+??c 2R 2,即 a 2=b 2+c 2. ∴ A =90°,∴ B +C =90°. 由 sin A =2sin B cos C ,得 sin 90°=2sin B cos(90°-B ) ,∴ sin 2B =12 ∵ B 是锐角,∴ sin B =22
,∴ B =45°, C =45°. ∴△ ABC 是等腰直角三角形. 法二 在△ ABC 中,根据正弦定理:sin A =a 2R , sin B =b 2R , sin C =c 2R
∵ sin 2A =sin 2B +sin 2C ,∴ a 2=b 2+c 2,∴△ ABC 是直角三角形且 A =90°.
∵ A =180°-(B +C ) , sin A =2sin B cos C ,∴ sin(B +C ) =2sin B cos C .
∴ sin B cos C -cos B sin C =0,即 sin(B -C ) =0. ∴ B -C =0,即 B =C .
∴△ ABC 是等腰直角三角形.
变式训练 3解:在△ ABC 中,∵
,由正弦定理, 得 。
∴ 2A =2B 或 2A +2B =180°,∴ A =B 或 A +B =90°。
故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形。
例 4 解 (1)sin B =b a sin 120°=453232,所以三角形有一解. (2)sin B =b a sin 60°=10932=539,而 32539
,所以当 B 为锐角时, 满足 sin B =59
60°<90°,故对应的钝角 b="" 有=""><120°, 也满足="" a="" +b=""><>
(3)sin B =b sin C c =7250sin C >sin C =22
B >45°,所以 B +C >180°,故三角形无解. 变式训练 4 解 (1)A =30°, a =b sin A ,故三角形有一解.
(2)A =150°>90°, a =30>b =25,故三角形有一解.
(3)A =45°, b sin 45°
当堂检测
1. D 由正弦定理知 D 正确.
2. B 因为 a >b , A 为钝角,所有只有一个解. ]
3. C 方法一 根据三角形内角和定理, A =180°-(B +C ) =45°. 根据正弦定理, b =a sin B sin A =8sin 60°sin 45°
6. 方法二 如图,过点 C 作 CD ⊥ AB ,由条件可知 A =45°, 而由 CD =a sin 60°=b sin 45°,得 b =6.] 4. A [∵ c =3a ,∴ sin C =3sin A =3sin(180°-30°-C )
=3sin(30°+C ) =3???
?32C +12C ,即 sin C 3cos C . ∴ tan C =-3. 又 C ∈ (0, π),∴ C =120°.]
5. D 对于 A ,由三角形的正弦定理知其只有一解;对于 B ,∵ a >b ,即 A >B ,且 A =150°,∴只有一解;对于 C , a
6. B
7. 75° 解析 由正弦定理 2sin A 6sin 60°sin A =22
. ∵ BC =2
8. 30° 解析 b =2a ? sin B =2sin A ,又∵ B =A +60°,∴ sin(A +60°) =2sin A ,
即 sin A cos 60°+cos A sin 60°=2sin A , 化简得 sin A =33cos A , ∴ tan A =33
, ∴ A =30°. 9.解 a =23, b =6, a <90°. 又因为="" b="" sin="" a="6sin" 30°="3," a="">b sin A ,
所以本题有两解,由正弦定理得: sin B =b sin A a =6sin 30°23
=32,故 B =60°或 120°. 当 B =60°时, C =90°, c =a +b =3;当 B =120°时, C =30°, c =a =23. 所以 B =60°, C =90°, c =43或 B =120°, C =30°, c =3.
范文二：正弦定理
一、教材分析
正弦定理是高中新教材人教B 版必修⑤第一章1.1.1的内容, 是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明, 并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：
（1）已知两角和一边，解三角形：
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。 二、学情分析
本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标 1. 知识与技能：
(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；
(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题
2. 过程与方法：
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.
3. 情感、态度与价值观：
(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识； (2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界, 进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养. 四、教学重点、难点
教学重点： 1. 正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点：1. 正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用. 五、学法与教法 学法与教学用具
学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养
学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。 教学用具：电脑、多媒体。
教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式 整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。 （1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考, 由特殊到一
般，组织学生自主探索, 获得正弦定理及证明过程。
（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。 （4）巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合2009年辽宁数学高考理科17题文科18题，巩固新知。
六、教学过程
七、评价分析
这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一
个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。 （附）板书设计
等比数列 教材分析：
等比数列是一种特殊的数列，它有着非常广泛的实际应用：如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算问题．教材将等比数列安排在等差数列之后，有承前启后的作用．一方面与等差数列有密切联系，另一方面为进一步学习数列求和等有关内容做好准备． 设计理念：
长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策．
数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生有追求过程的体验．
基于以上原因，在设计本节课时，我考虑的不是简单地告诉学生等比数列的定义及其通项公式，而是将内容按照“问题情境——学生活动——数学建构——
数学运用——回顾反思”的顺序展开，通过列举生活中的大量实例，给出等比数列的实际背景，让学生自己去发现，去探索其意义，公式．
从发现等比数列定义及通项公式的过程中让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题，解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念． 教学目标：
A ．知识目标：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式． B ．能力目标：
（1）通过公式的探索，发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力．
（2）通过通项公式的探求过程，培养学生用不完全归纳法去发现并解决问题的能力．
C ．情感目标：
（1）公式的发现反映了普遍性寓于特征性之中，从而使学生受到辨证唯物主义思想的熏陶．
（2）通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度．
（3）培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，调动学生主动参与课堂教学的积极性，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感．
教学重点、难点：等比数列的定义、通项公式的推导； 通项公式的初步应用． 教学方法：发现式教学法，类比分析法．
教学多媒体选择：电脑．
教学过程：
一、问题情境 首先请同学们看以下几个事例：（电脑显示）
情境1：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?
情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”
情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？
问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？
问题2：上述例子有何共同特点？
二、学生活动
通过观察、联想，发现：
1、上述例子可以与数列联系起来．（有了等差数列的学习作基础）
2、得到以下3个数列：
① 1，2， 22，?，263
② 1，，，?，，?
③ 36，36?.9，36?92，?，36?9n ，?
通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）．
三、数学建构 1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数列，谁能试着给这样的数列取个名字？
（学生通过联想、尝试得出最恰当的命名）等比数列
2、归纳总结，形成等比数列的概念． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）
3、对等比数列概念深化理解
问题1：上述三例的公比分别为多少？
问题2：你能举一个公比小于0的等比数列吗？
问题3：等比数列与等差数列在定义上有许多密切关系，那么有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列呢？
问题4：形如，，，?（对吗？
（对问题4，学生作短暂的讨论）
（1）形如，，，?的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当=0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当≠0时，此数列 为等比数列．
（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．
4、问题：刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，下面试将等比数列定义的内容用数学表达式写出． （提示可类比等差数列，由学生活动得出） ）的数列既是等差数列，又是等比数列
（1）对于数列，若（，为常数 ），则称这个数列为等比数列，常数叫做等比数列的公比．
（2
）是等比数列（，为常数 ），此式可来证明一个数列是否为等比数列． 5
、探索问题： 在学习等差数列时，我们可以用公差d ，项数n 以及首项表示数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式项？ （启发引导，类比等差数列，让学生大胆尝试，讨论回答） （1）知道等比数列的首项和公比就可以求出这个等比数列的任何一项． ，那么在等比数列中，要表示该数列，需先确定几个条件？怎样用这些条件来表示这个等比数列的每一（2）学生1：∵，
，
，
??
∴．
（3）学生2：∵ ，∴，，?，，． 将各式相乘便有，∴（，），
当
立． 时，两边均为即等式也成立，说明上式当时都成
教师点评：
（1）寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论，这是探索数列问题常用的一种方法，叫不完全归纳法，但这种方法得出的通项公式还不够严谨，须对其进行证明．
（2）方法2就是对方法1
得到的结论的一种证明，叫做叠乘法．与推导等差数列通项公式用到的叠加法类似，都必须注意对第一项是否成立进行补充说明． 6、问题延伸：对于这个通项公式，我们可以从哪几个方面去认识它呢？ （这不是第一次遇到这类公式，在讲等差数列时已讨论过，学生应该知道从什么角度去认识公式）
学生类比等差数列得：
（1）可以从函数观点去认识，把通项看成的解析式．
（2）还可以从方程观点去认识，把通项看成一个方程． 师生共同小结： （1）当时， ，点在直线y=上．
当
组成． 时， 函数图象类似于指数函数图象，但它的图象是由一些孤立的点
（2）从方程的观点去考虑，方程中有四个量，在，，和中只要知 道其中三个便可求第四个，请学生举例编题（应能编出四类问题）．
四、数学运用
1、例题
例1 判断下列数列是否是等比数列? （电脑显示） ①；
②1，2，4，8，16，20；
③1，1，1，1，1； ④－1，－2，－4，－8，－16；
⑤数列的通项公式为
解 据数列的定义可知：数列①③④⑤都是等比数列，②不是等比数列．
讨论：1、对于等比数列
则
，若>1
，则一定是递增数列；若
0<>
（学生例举反例④⑤，判断此结论不正确） 2、你能知道等比数列何时为递增数列， 何时为递减数列吗
?
引导学生从函数的角度去讨论通项公式，结合复合函数的单调性研究，得到：当>1，
0<>
时，>0或0<1，>0时， <>
是递增数列；当>1， <0或是递减数列；当＝1时，><>
例2 在等比数列中，已知=20，，求．
解 设等比数列的公比为，则 ，解得
．故．
反思 这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用过程主要是三个步骤：设、列、求．
2、练习：
教科书第50页第1（1）、（3），2，3题．
五、回顾小结
教科书第48页练习第1题、第3题，第52页习题2．3第1题、第2题（1）、第3题．
课后思考：对照等差数列，试猜想等比数列的一些相应性质．
七、板书设计
范文三：正弦定理
§1. 1. 1正弦定理
课型 :新授课
一、 教学目标
知识与技能:1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方 法;
2. 会运用正弦定理解三角形的两类基本问题
3. 已知两边和其中一边的对角解三角形会判断解的情况。
过程与方法:让学生从已有的几何知识出发 , 共同探究在任意三角形中边与其对角的关系, 引导学生通过观察, 推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理, 引导学生用不同的方法对 定理进行证明并学会用定理解三角形的有关问题。
情感态度与价值观:培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力, 通过三角函数、 正 弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
三、教学难点
1. 用不同的方法推导正弦定理
2. 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数
四、教学过程
1. 引入
问题 1:在初中我们知道在三角形中有大边对大角、小边对小角的定性关系, 我们能不能 进一步研究得到三角形边角关系的定量表示呢
2. 正弦定理的推导
方法一 :利用平面几何知识,采用从特殊到一般的推导方法
由于我们不容易直接得到一般三角形中边和角的关系,所以我们先考虑直角三角形这种特 殊情况, 然后证明它在锐角和钝角三角形中同样成立, 得出正弦定理对于任意三角形都是适 用的。
问题 2:正弦定理涉及到边和对角的正弦关系,是否可以用其他方法进行证明
方法二:等面积法
以三角形的不同边为底, 则三角形的面积有三种不同的表示方法, 通过适当变形同样能得
到正弦定理的表达式
方法三、 利用向量的数量积进行证明
3. 正弦定理的应用
1. 已知两角和一边解三角形
解析:首先有三角形内角和是 180求出第三角,再根据正弦定理求出另外两边 跟踪练习:在 ?ABC 中,已知 032.0=A , 081.8=B , 42.9=a cm ,解三角形。
2. 已知两边和其中一边的对角解三角形
解析:首先求出另一边所对角的正弦值, 然后求出该角。 这时需要对方程是否有解以及有一 解还是两解进行判断。
判断的依据:1. 正弦值的有界形
2.三角形中大边对大角的定性关系
3. 三角形的内角和为 180
五、小结 (学生总结)
本堂课所学的内容:
涉及的数学思想和方法:
个人的心得:
六、作业
七、教师课后反思
范文四：正弦定理
《正弦定理》教学设计
一、教材分析
本节内容安排在《数学必修5》第二章正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察—实验—猜想—证明—应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、教学目标分析
1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。
3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
四、教学重点、难点分析
重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定
理解决一些简单的三角形度量问题。
难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个
数的判断。
五、学法、教法与教学用具
学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养
学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教学用具：电脑、制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。 教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式
整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。
（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考, 由特殊到一般，组
织学生自主探索, 获得正弦定理及证明过程。
（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。
（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合2009年辽宁数学高考理科17题文
科18题，巩固新知。
七、设计思路：
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。 1、 结合实例，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。 2、数学实验，验证猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。 3、证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。
（附）板书设
范文五：正弦定理
解三角形
正弦定理
一、正弦定理及其证明 1、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c
== sin A sin B sin C
正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。 2、正弦定理的证明方法
法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， 111
S △ABC =ab sin C =ac sin B =bc sin A .
2221a b c
两边同除以abc 即得：==.
2sin A sin B sin C
法二：（外接圆法）
如图所示，∠A =∠D , ∴CD =2R =
a a
=. sin A sin D
b c
=2R , =2R . 同理
sin B sin C
可将正弦定理推广为：法三：（向量法）
a b c
===2R（R 为△ABC 外接圆半径）. sin A sin B sin C
过A 作单位向量j 垂直于AC ，
由 AB =AC +CB .
两边同乘以单位向量j 得j ?(AC +CB )=j ?AB .
则?+?=?.
∴|j |?|AC |cos90?+|j |?|CB |cos(90?-C)=| j |?|AB |cos(90?-A) .
∴a sin C =c sin A . ∴
a c
=. sin A sin C
sin C
sin B
c b a b c
同理，若过C 作j 垂直于CB 得：=∴==.
sin A
sin B
sin C
例1、（1）已知在?ABC 中，c =10, A =45, C =30, 求a , b 和B
?ABC 中，b =, B =60, c =1, 求a 和A , C （2）
【变式练习】（1）已知在?ABC 中，c =10, A =45?, C =30?, 求a , b 和B .
（2）?ABC 中，c =6, A =450, a =2, 求b 和B , C ；
二、正弦定理的变形及应用： 1、（1）sinA:sinB:sinC=a :b :c ； （2）
a +b +c a b c ====2R ; sin A sin B sin C sin A +sin B +sin C
（3）a =2R sin A ；b =2R sin B ；c =2R sin C ；
a b c ; sin B =; sin C =； 2R 2R 2R 111
（5）S =ab sin C =bc sin A =ac sin B .
222
（4）sin A =
2、三角形解的个数
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况：
⑴若A 为锐角时:
?a
?a =b sin A 一解(直角) ?，如下图所示： ?
?b sin A
已知边a,b 和∠A
a<>
无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA
⑵若A 为直角或钝角时:?3、正弦定理可以解决的问题：
?a ≤b 无解?a >b 一解(锐角)
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 例2、已知△ABC 的面积为1，tanB=
例3、不解三角形，判断下列三角形解的个数． （1）a =5, b =4, A =120?； （2）a =9, b =4, A =120?; （3）c =50, b =72, C =135?;
1
,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 2
课时训练：
1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C=ccos A （B ）bsinC=csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A．
2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=，b=1， 则c 等于() ．
（A ） 1 （B ） 2 （C ）
3-1 （D ） 3．
4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A：sin B：sin C等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题
5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则
a -b
=__________ ． a +b
6．在△ABC 中，a=x，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为_____________． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a，B=A+60，则A=_________ ． 三、解答题
8． 在?ABC 中，c =20cm , A =340, B =560, 求b 和a , C
9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？
10. 已知方程x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角, 试判定这个三角形的形状．
拔高训练：
1. △ABC 中，若tan A =
2. 在△ABC 中，已知内角A =
3
（1）求函数y =f (x ) 的解析式和定义域； （2）求y =f (x ) 的最大值.
2
1
, C =150?, BC =1，求AB ． 3
π，边BC =2，设内角B =x , ，周长为y .
