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范文一：洛伦茨曲线的作者
刍议洛伦茨曲线的作者是什么人？哪国人？
刘汉林1
【内容提要】洛伦茨曲线目前已经被广泛用来比较和分析一个国家在同一时代的财富占有的不平等状况，因而它已经成为反映收入分配不平等程度，说明社会收入分配情况的重要工具。洛伦茨曲线是洛伦茨于1905年提出的，这一点经济理论界可以说没有争议。但对于洛伦茨曲线的提出者洛伦茨究竟是什么人和是哪个国家的人却存在着截然不同的说法。本文针对学术界对洛伦茨曲线作者的国籍和身份以及生卒年份的误解发表了个人见解。
【关键词】洛伦茨 洛伦茨曲线 社会学家 统计学家
洛伦茨曲线（Lorenz Curve，I 如右图）作为分析收入与财富分Y 配比例应用的基本工具，目前已
经被广泛用来比较分析一个国
家在同一时代的财富占有的不平等状况和反映社会收入分配
情况并反映收入分配不平等程度。 洛伦茨曲线是洛伦茨于1905年提出的，可以说没有争40议。然而，对于洛伦茨曲线的作
者究竟是什么人？是哪国人？20却存在着截然不同的说法。现有
辞书或专业书籍关于洛伦茨的说明简而不明，令人纳闷。关于P 洛伦茨是什么人的问题，主要有
图 洛伦茨曲线 两种说法：一种说法说洛伦茨是
社会学家，另一种说洛伦茨是统
计学家。
关于洛伦茨究竟是哪个国家的人，主要有三种说法：
一种说法认为洛伦茨是奥地利统计学家。例如，上海辞书出版社1992年版于光远主编《经济大辞典》第1816页说洛伦茨曲线“由统计学家洛伦茨（Max Otto Lorenz，1903—）提出，故名”，而该出版社1994年版于光远主编《经济大辞典·政治经济学卷》第662页则将洛伦119955年生；供职单位：西华大学管理学院；职称：教授。
茨曲线表述为“因由奥地利统计学家洛伦茨（Max Otto Lorenz，1903—）提出，故名”。洛伦茨是一位统计学家毫无疑问，但说他是奥地利人则是错误的；说他1903年生更是荒唐，因为他不可能在两岁时就提出广为流传的洛伦茨曲线。
又如，《辞海》三个版本(1989、1999和2009) 的说法与上海辞书出版社出版的《经济大辞典》的说法几乎没有区别。上海辞书出版社1989年版《辞海》说洛伦茨曲线“由奥地利统计学家洛伦茨（Max Otto Lorenz，1903—）提出，故称”1；1999年版《辞海》说洛伦茨曲线“由奥地利统计学家洛伦茨（Max Otto Lorenz，1903—）提出，故名”2；2009年出版的第六版、彩图版《辞海》说洛伦茨曲线“由奥地利统计学家洛伦茨（Max Otto Lorenz，1903～1989）提出，故称”3。三个版本《辞海》表述仅仅一字之差，但都说洛伦茨是奥地利统计学家，1903年生，所不同的是2009年版《辞海》比以前版本增加了洛伦茨的逝世年号1989年，就更离谱了。
另一种说法认为，洛伦茨是德国统计学家或社会学家。例如，1988年山西人民出版社出版刘凤岐主编的《当代西方经济学辞典》和有的教科书说洛伦茨是德国统计学家4。四川大学出版社1997年出版罗节礼编著《当代西方经济学原理》第249页也说洛伦茨是德国统计学家。张志诚、张佐友、林万波、李海波主编《生产力经济学辞典》，立信会计出版社2002年版第515页说洛伦茨是德国社会学家。
还有一种说法，即认为洛伦茨是美国统计学家，这是唯一正确的说法，因为西方经济学权威辞书《新帕尔格雷夫经济学大辞典》，英国剑桥大学约翰·伊特韦尔、美国哈佛大学的默里·米尔盖特和美国约翰·霍普金斯大学的彼得·纽曼编，陈岱孙主编翻译，经济科学出版社1992年版中译本第③卷第262页清楚明白地说马克斯·奥托·洛伦茨（Max Otto Lorenz）确实1876年9月19日生于美国伯林顿，1944年退休。经济科学出版社2000年出版胡代光、高鸿业主编《西方经济学大辞典》第98页也认为洛伦茨是美国统计学家。高鸿业和吴易风等著名经济学家在他们的西方经济学著作中也都是这样解释的。我在2003年版（成都时代出版社出版）的《西方理论经济学》中就作了如上脚注，可2005年1月出版的中国社会科学院经济研究所刘树成主编、凤凰出版社和江苏人民出版社出版的《现代经济辞典》第681页由胡怀国写的“洛伦茨曲线”条目仍然说洛伦茨是奥地利统计学家，但说生卒年不详。
2010年1月5日，作为《辞海》的老读者，我通过E-mail 致信上海辞书出版社社长先生：“我是贵社产品《辞海》的热心购读者，从1979年版到2009年版都购买。最近的2009年彩图版刚买回，未能细看，但发现了一个错误：
第2册1489页关于洛伦茨曲线条目明显有误：2009年版《辞海》说洛伦茨曲线“由奥地利统计学家洛伦茨（Max Otto Lorenz，1903～1989）提出，故称”5。三个版本《辞海》表述仅仅一字之差，但都说洛伦茨是奥地利统计学家，1903年生，所不同的是2009年版《辞海》比以前版本增加了洛伦茨的逝世年号1989年，就更离谱了。以下是本人有关研究的一个片段，兹录于后（略）。”
值得欣慰的，是上海辞书出版社社长收到我的意见后，负责任地委托施嘉喆编辑先生对所指出的问题给予郑重的答复——
2010年2月10日 16:12 (星期三) ，上海辞书出版社编辑施嘉喆先生通过shijiazhe@126.com代表上海辞书出版社回复630lhl@163.com说（兹录于后，以飨读者）：
刘先生：你好！
首先感谢你对辞海的关心和支持。
有关洛伦茨的国籍和生卒年，经作者核对，洛氏为美国统计学家，生年为1876年，卒年不详。原条目误为奥地利生态学家Lorenz 。彩图本重印时将改正；目前正在编辑缩印本，对该条条目已作修正。再次感谢你的指正。
在此虎年即将来临之际，祝身体健康，万事如意。
此致
敬礼
编辑 施嘉喆 上
2010年2月10日
上海辞书出版社承认“原条目误为奥地利生态学家Lorenz 。彩图本重印时将改正；目前正在编辑缩印本，对该条条目已作修正。再次感谢你的指正。”令人感动。
可喜的，是上海辞书出版社2010年4月第1版《辞海》（2009年版）缩印本第1238页
6已经将洛伦茨的出生时间纠正为1876年。
1
2
3见上海辞书出版社1990年12月第1版《辞海》（1989年版）缩印本第1048页。 见上海辞书出版社1990年12月第1版《辞海》（1989年版）缩印本第1048页。 见上海辞书出版社2009年9月第1版《辞海》第六版、彩图版第2卷第1489页。另外，中国社会科学院经济研究所编、刘树成主编《现代经济辞典》，凤凰出版社和江苏人民出版社2005年第1版第681页由胡怀国所写的“洛伦茨曲线”条目也说洛伦茨是“奥地利统计学家”。 4
5
6见刘凤岐主编《当代西方经济学辞典》，山西人民出版社1988年版第266页。 见上海辞书出版社2009年9月第1版《辞海》第六版缩印本第1489页。. 参见上海辞书出版社2010年4月第1版《辞海》（2009年版）缩印本第1238页。
范文二：洛伦茨曲线的作者
刍议洛伦茨曲线的作者是什么人,哪国人,
1刘汉林
(通信地址:成都市玉林二巷2号2-4-12号 邮码:610041 手机号:13558625168)
【内容提要】洛伦茨曲线目前已经被广泛用来比较和分析一个国家在同一时代的财富占有的不平等状况，因而它已经成为反映收入分配不平等程度，说明社会收入分配情况的重要工具。洛伦茨曲线是洛伦茨于1905年提出的，这一点经济理论界可以说没有争议。但对于洛伦茨曲线的提出者洛伦茨究竟是什么人和是哪个国家的人却存在着截然不同的说法。本文针对学术界对洛伦茨曲线作者的国籍和身份以及生卒年份的误解发表了个人见解。
【关键词】洛伦茨 洛伦茨曲线 社会学家 统计学家
洛伦茨曲线(Lorenz Curve，
I如右图)作为分析收入与财富分Y100,配比例应用的基本工具，目前已
经被广泛用来比较分析一个国
家在同一时代的财富占有的不,80
平等状况和反映社会收入分配
情况并反映收入分配不平等程
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者究竟是什么人,是哪国人,c,,20n却存在着截然不同的说法。现有
辞书或专业书籍关于洛伦茨的
c45:说明简而不明，令人纳闷。关于,,,,,,20P406080O100洛伦茨是什么人的问题，主要有
图 洛伦茨曲线 两种说法:一种说法说洛伦茨是
社会学家，另一种说洛伦茨是统
计学家。
关于洛伦茨究竟是哪个国家的人，主要有三种说法:
一种说法认为洛伦茨是奥地利统计学家。例如，上海辞书出版社1992年版于光远主编《经济大辞典》第1816页说洛伦茨曲线“由统计学家洛伦茨(Max Otto Lorenz，1903—)提出，
119955年生;供职单位:西华大学管理学院;职称:教授。
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故名”，而该出版社1994年版于光远主编《经济大辞典?政治经济学卷》第662页则将洛伦茨曲线表述为“因由奥地利统计学家洛伦茨(Max Otto Lorenz，1903—)提出，故名”。洛伦茨是一位统计学家毫无疑问，但说他是奥地利人则是错误的;说他1903年生更是荒唐，因为他不可能在两岁时就提出广为流传的洛伦茨曲线。
又如，《辞海》三个版本(1989、1999和2009)的说法与上海辞书出版社出版的《经济大辞典》的说法几乎没有区别。上海辞书出版社1989年版《辞海》说洛伦茨曲线“由奥地利
1统计学家洛伦茨(Max Otto Lorenz，1903—)提出，故称”;1999年版《辞海》说洛伦茨曲线
2“由奥地利统计学家洛伦茨(Max Otto Lorenz，1903—)提出，故名”;2009年出版的第六版、彩图版《辞海》说洛伦茨曲线“由奥地利统计学家洛伦茨(Max Otto Lorenz，1903,1989)提
3出，故称”。三个版本《辞海》表述仅仅一字之差，但都说洛伦茨是奥地利统计学家，1903年生，所不同的是2009年版《辞海》比以前版本增加了洛伦茨的逝世年号1989年，就更离谱了。
另一种说法认为，洛伦茨是德国统计学家或社会学家。例如，1988年山西人民出版社
4出版刘凤岐主编的《当代西方经济学辞典》和有的教科书说洛伦茨是德国统计学家。四川大学出版社1997年出版罗节礼编著《当代西方经济学原理》第249页也说洛伦茨是德国统计学家。张志诚、张佐友、林万波、李海波主编《生产力经济学辞典》，立信会计出版社2002年版第515页说洛伦茨是德国社会学家。
还有一种说法，即认为洛伦茨是美国统计学家，这是唯一正确的说法，因为西方经济学权威辞书《新帕尔格雷夫经济学大辞典》，英国剑桥大学约翰?伊特韦尔、美国哈佛大学的默里?米尔盖特和美国约翰?霍普金斯大学的彼得?纽曼编，陈岱孙主编翻译，经济科学出版社1992年版中译本第?卷第262页清楚明白地说马克斯?奥托?洛伦茨(Max Otto Lorenz)确实1876年9月19日生于美国伯林顿，1944年退休。经济科学出版社2000年出版胡代光、高鸿业主编《西方经济学大辞典》第98页也认为洛伦茨是美国统计学家。高鸿业和吴易风等著名经济学家在他们的西方经济学著作中也都是这样解释的。我在2003年版(成都时代出版社出版)的《西方理论经济学》中就作了如上脚注，可2005年1月出版的中国社会科学院经济研究所刘树成主编、凤凰出版社和江苏人民出版社出版的《现代经济辞典》第681页由胡怀国写的“洛伦茨曲线”条目仍然说洛伦茨是奥地利统计学家，但说生卒年不详。
2010年1月5日，作为《辞海》的老读者，我通过E-mail致信上海辞书出版社社长先生:“我是贵社产品《辞海》的热心购读者，从1979年版到2009年版都购买。最近的2009年彩图版刚买回，未能细看，但发现了一个错误:
第2册1489页关于洛伦茨曲线条目明显有误:2009年版《辞海》说洛伦茨曲线“由奥
5地利统计学家洛伦茨(Max Otto Lorenz，1903,1989)提出，故称”。三个版本《辞海》表述仅仅一字之差，但都说洛伦茨是奥地利统计学家，1903年生，所不同的是2009年版《辞海》比以前版本增加了洛伦茨的逝世年号1989年，就更离谱了。以下是本人有关研究的一个片段，兹录于后(略)。”
值得欣慰的，是上海辞书出版社社长收到我的意见后，负责任地委托施嘉喆编辑先生对所指出的问题给予郑重的答复——
2010年2月10日 16:12 (星期三)，上海辞书出版社编辑施嘉喆先生通过shijiazhe@126.com代表上海辞书出版社回复630lhl@163.com说(兹录于后，以飨读者):
刘先生:你好～
首先感谢你对辞海的关心和支持。
有关洛伦茨的国籍和生卒年，经作者核对，洛氏为美国统计学家，生年为1876年，卒年不详。原条目误为奥地利生态学家Lorenz。彩图本重印时将改正;目前正在编辑缩印本，对该条条目已作修正。再次感
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谢你的指正。
在此虎年即将来临之际，祝身体健康，万事如意。
此致
敬礼
编辑 施嘉喆 上
2010年2月10日
上海辞书出版社承认“原条目误为奥地利生态学家Lorenz。彩图本重印时将改正;目前正在编辑缩印本，对该条条目已作修正。再次感谢你的指正。”令人感动。
可喜的，是上海辞书出版社2010年4月第1版《辞海》(2009年版)缩印本第1238页
6已经将洛伦茨的出生时间纠正为1876年。
1见上海辞书出版社1990年12月第1版《辞海》(1989年版)缩印本第1048页。 2见上海辞书出版社1990年12月第1版《辞海》(1989年版)缩印本第1048页。 3见上海辞书出版社2009年9月第1版《辞海》第六版、彩图版第2卷第1489页。另外，中国社会科学院经济研究所编、刘树成主编《现代经济辞典》，凤凰出版社和江苏人民出版社2005年第1版第681页由胡怀国所写的“洛伦茨曲线”条目也说洛伦茨是“奥地利统计学家”。 4见刘凤岐主编《当代西方经济学辞典》，山西人民出版社1988年版第266页。 5见上海辞书出版社2009年9月第1版《辞海》第六版缩印本第1489页。. 6参见上海辞书出版社2010年4月第1版《辞海》(2009年版)缩印本第1238页。
3
范文三：洛伦茨曲线
[3]用洛伦兹曲线分析销售结构
一、分析销售结构的传统方法
连锁业经营的重要特点是集中统一控制，总部的决策是建立在对来自第一线各业务部门的数据上的，快速准确地抽取大量数据中的信息是连锁管理的必然要求使用管理信息系统后，连锁企业缺乏数据的情形已有所缓解，但决策需要的信息在数量、质量和时效上的标准都大大了。
提高结构分析是连锁企业经常进行的数据分析工作，销售结构分析是结构分析内容之一，在分析销售数据时，不但需要知道销售总量，同时也必须了解销售结构。例如，一家经营150家门店的连锁公司，商品a和商品b的日销售数量都是1500，总量是相同的但商品a只有一家门店销售，而商品b在153家门店都有销售。而且每家门店的销售量都是10，销售存在非常大的差异。从平均数的角度看，商品a和商品b的店均日销售数都是10，体现不出两十商品销售的差异。如果商品淘汰的数量指标是1500，则商品a和b都要被淘汰，但商品a只有一家门店销售，单店销售量高(从门店的角度看是不能淘汰的;而商品b单店销售量低，从总部的角度和门店的角度都是可以淘汰的。这个例子虽然比较极端，但说明了销售结构对商品决策的重要性。
获取销售结构信息最直观的办法是观察比较每一门店的销售数据还可以用频度统计的方法，将销售数据划分为若干区间，统计每一区间的门店数量，计算其频度或用分类的方法，根据定义的标准，给商品分类如统计80,的销售量对应的门店数量比例等，即所谓80—20分析:但上方法都有一个共同的缺点:总括性差，不得不用多个数值来反映结构以下我们借鉴经济学中分析收人分配程度的思路，提出一种分析销售结构的方法。
二、引入洛伦兹系数
经济学家在研究收人分配时，用洛伦兹曲线来比较不同国度的收入分配程度，如下图。
将收人由低至高排序后，依次统计:1,的人口在总收人中的比例，2,的人口在总收人中的比例?一直至的人口在总收入中的比例。绘制成图就得到曲线oc。
如图上时，收人是最平均的，1,的人口的收入比例是1,，2,的人口的收入比例是2,，99,的人口的收入比例是99,，100,的人口的收入比例是100,
如上图时，收人是最不平均的，99,的人口的收人比例是0,，100,的人口的收入比例是100,，即1,的人口占有了100,的收人。
如果定义:洛伦兹系数=oac的面积,oacb的面积(图2)，那么，洛伦兹系数反映了洛伦兹曲线的特征。图3洛伦兹系数=0.5，收人最平均;图4的洛伦兹系数=0，最不平均。
三、洛伦兹系数销售分析方法
我们可以用洛伦兹系数的原理来分析销售，计算商品的洛伦兹系数(见图5)。取规定时段的几店销售数据，由低至高排序后，依次统计:1, 的门店在总
销售中的比例，2,的门店在总销售中的比例……直至99,的门店在总销售中的比例，100,的九店在总销售中的比例。实际运用时，门店的比例可 根据具体情况处理，不必机械地照搬1,的间距。
当销售洛伦兹系数=0.5时，形状如图3时，销售是最平均的。
当销售洛伦兹系数=0时，形状如图4时，销售是最不平均的。99,的门店销售额是0，100,的门店销售是1O0,，即1,的门店创造了l00,的销售额。清楚算法后，具体计算可通过计算机程序实现。
四、运用
1.商品销售洛伦兹系数可以定量比较商品销售的均匀程度，作为反映销售结构(销售分布的指标。因此销售洛伦兹系数可作为一个管理控制的指标。
2(也可以计算门店销售总额的洛伦兹系数，将门店销售总额捧序后，进行计算。同理可以计算毛利的洛伦兹系数。其实，洛伦兹系数可以在更广泛的范围内使用。
3.可以定义洛伦兹系数比率，如门店商品的洛伦兹系数,门店销售总额的洛伦兹系数，这个比率也可以更精确反映销售的均匀程度。
范文四：基尼系数基础—洛伦茨曲线的修正
微观经济学
洛伦茨曲线的修正与基尼系数的改进
周铁城
中北大学 ,山西 太原 030051,
摘要: 本文指出洛伦茨曲线图中存在的一个错误并提出修正方案。在经过修正的洛伦茨曲线图中，实际收入分配曲线分为低收入、高收入两段，分别在绝对平均曲线的左下方和右上方，它们的连接线与绝对平均曲线形成一个交点，即低收入、高收入的分界点。利用修正的洛伦茨曲线，结合高低收入分界点显示的人口百分比, 将使作为社会收入分配平均程度判据的基尼系数功能增强，应用便捷。
关键词: 收入分配，基尼系数，洛伦茨曲线
收入分配状况是影响社会和谐发展的重要因素之一，如何评估收入分配是否合理也就成为人们关注的重要问题。意大利经济学家C.Gini 于1922年提出以基尼系数(Gini Coefficient)作为判断社会收入分配平均程度的指标，以后逐渐在国际上通用。但是，它不够完善，有必要加以改进。
基尼系数是在洛伦茨曲线图(Lorenz Curve)的基础上建立的，又称洛伦茨系数。洛伦茨曲线图如图1所示。
b
图1 洛伦茨曲线图
1
图中,纵轴OI表示收入百分比，横轴OP 表示人口百分比(数据采集由低收入到高收入)。
dI直线a 与OP 线成45 o角，斜率，表示收入与人口成比例增长，称为绝对平均线。,1dP
1总收入T==0.5，相当于a 线下的面积 ，它是一个常量。OP-PY线为绝对不平均曲线，IdP,0
这是一种极端的情况，它表示社会成员中除一人外 ，其余人的收入都是零， 这一个人得到全部收入，占有直线a 下的整个面积。曲线b 表示一般条件下的实际分配曲线。
如以A表示实际收入分配曲线b 与绝对平均曲线a 之间的面积 ;B表示实际收入分
A配曲线b右下方的面积，基尼系数用公式表示为:。A等于零，基尼系数为C,GA，B
零，收入绝对平均;如果B等于0，基尼系数为1 ，收入绝对不平均。 基尼系数一般在0与1之间。基尼系数越小，收入越平均，基尼系数越大，收入分配越不平均。联合国有关组织认为:比较平均、差距过大、收入悬殊。国际公认的警戒0.2,0.30.4,0.50.5,0.6
线是0.4。
但是，这样的洛伦茨曲线图在表示一般条件下的实际收入时存在一个问题。社会的实际收入总量应是常量，相当于图中a线下的面积A+B。图中的实际分配曲线b ,既对应于横轴100%的人口，而其收入仅用曲线b 下的面积B表示，显然是不合理的。也就是说，有一部分人口的收入低于平均数，必有另一部分人口的收入高于平均数, 相当于面积A的这一部分收入在图上不能没有反映。下面利用一份统计资料加以说明。
表1 美国1973年的收入分配状况(%)
收入等级 户数百分比 收入百分比 累计户数百分比 累计收入百分比 5000 以下 15 1 15 1
5000-7499 11 5 26 6
7500-9999 13 7 39 13 10000-12499 13 11 52 24
12500-14999 13 13 65 37 15000-24999 26 38 91 75
25000以上 9 25 100 100
由表1可知:收入为12500-14999等级的户数百分比 、收入百分比同为13%，表示此等级的家庭收入已经达到平均水平，为高收入、低收入的分界线。大约65%的低收入家庭的收入占37%;35%的高收入家庭的收入占63%。根据表1中最后一列的累计收入百分比作实际
2
分配曲线，不能反映上述事实。在此基础上提出的基尼系数，不能给出高、低收入人口(或家庭)所占的比例，影响了它对问题的说明和应用。上述联合国有关组织的规定以及国际上公认的警戒线也只是概略说法。造成这种状况与洛伦茨曲线图存在缺陷，导致基尼系数先天不足有关。因此，有必要对洛伦茨曲线图加以修正。修正后的洛伦茨曲线图的基本形式如图2所示，其中实际收入分配曲线的斜率将视具体情况而定。
图2 修正后的洛伦茨曲线图
修正涉及以下两点:
1.分界线的建立 在图1上作一条绝对平均曲线a的平行线，与实际收入分配曲线b相
dI切于R点(图2)，该点斜率，表示该比例人口的收入已达平均值，为高、低收入的,1dP
分界。到达此点，实际收入分配曲线即由低收入区进入高收入区，发生质变，继续按照累计数在绝对平均曲线下延伸该曲线已无意义，而应当过R点作垂线同绝对平均曲线相交于Q点，再从Q点作高收入人口的实际收入分配曲线。如此，实际收入分配曲线将分成两段，低收入段:弧线OR;高收入段:弧线QZ，由分界线RQ连接。弧线OR—垂线RQ—绝对平均曲线OQ段包围的A区，同绝对平均曲线QY段—垂线YZ—弧线QZ包围的C区面积相等，表示低收入人口所缺少的恰好等于高收入人口所多拥有的。
2.A区、B区的划定 原来的洛伦茨曲线图中，实际分配曲线b在绝对平均曲线下方，跨越整个横轴。修正后的实际分配曲线低收入、高收入两个区分别在实际收入分配曲线的左下方和和右上方，图形有了根本改变。因此，需要重新界定A区、B区。A区为低收入人群实际收入分配曲线OR—垂线RQ—绝对平均曲线OQ段包围的面积;B区为低收入人群实际收入分配曲线OR段以下、QR延伸线(虚线)以左、横坐标轴以上的面积。如此，基尼系数
3
A，表示低收入人群少于平均收入那一部分在其按比例应收入中所占的比例。下C,GA，B
面的说明均以此为准。
利用修正后的洛伦茨曲线图作为计算基尼系数的基础，可以赋予基尼系数以更明确的意
义。在原来的洛伦茨曲线图中，不区分高收入低收入，将实际收入分配曲线统统置于绝对平
A均曲线下方，致使图中面积A所代表的意义不明确，并影响由公式表示的基尼C,GA，B
系数意义的确切性。修正后的洛伦茨曲线图中，面积A的意义是明确的，它代表低收入人群
少于平均值的那一部分收入。基尼系数的意义也跟着明确了，它表示低收入人群少于平均收
入那一部分在其按比例应收入中所占的比例。与此同时带来如下优点:
1.借助高、低收入分界点Q，得出高、低收入人群的人口及其收入的比例，可以使基尼
系数的功能增强。例如，基尼系数0.4，原来只说明低收入人口的收入少了40%，而有了高、
低收入分界处所对应的人口百分数，就可以针对具体情况进一步说明问题。试看基尼系数
C=0.3、0.4、0.5;Q=0.5、0.6、0.7、0.8 几种不同条件下的收入分配情况，见表2、表G
3、表4。
C表2 =0.3 收入分配比例表 G
Q 值 0.5 0.6 0.7 0.8 项 目 人口 收入 人口 收入 人口 收入 人口 收入 低收入人群 0.5 0.35 0.6 0.42 0.7 0.49 0.8 0.56
高收入人群 0.5 0.65 0.4 0.58 0.3 0.51 0.2 0.44 人均收入比 1.86 2.07 2.43 3.18
C表3 =0.4 收入分配比例表 G
0.5 0.6 0.7 0.8 Q 值
项 目 人口 收入 人口 收入 人口 收入 人口 收入 低收入人群 0.5 0.3 0.6 0.36 0.7 0.42 0.8 0.48
高收入人群 0.5 0.7 0.4 0.64 0.3 0.58 0.2 0.52
人均收入比 2.33 2.67 3.22 4.33
4
C表4 =0.5 收入分配比例表 G
Q 值 0.5 0.6 0.7 0.8
项 目 人口 收入 人口 收入 人口 收入 人口 收入低收入人群 0.5 0.25 0.6 0.30 0.7 0.35 0.8 0.40
高收入人群 0.5 0.75 0.4 0.70 0.3 0.65 0.2 0.60
人均收入比 3 3.5 4.33 6 注:人均收入比，指高收入人群同低收入人群的人均收入比，不同于等量人口的最高、最低收入比。
C从表中可以看出， 如=0.4，当Q= 0.6时，40%高收入人群的收入占有全部收入的G
64%;60%低收入人群的收入占有全部收入的36%，人均收入比2.67，不均情况并不严重;而当Q= 0.8时，20%高收入人群同80%低收入人群的人均收入比为4.33，情况就大不相同了。
C又如=0.5被认为是危险的，但是，当Q=0.6时，人均收入比3.5，问题不算太严重。 G
2.找到高、低收入的分界点，只作低收入区的实际分配曲就能计算基尼系数，从而简化操作，减少工作量。
C3. 同一个基尼系数可能出现与反映不同分配情况的多条洛伦茨曲线相对应的情G
况，这一缺点会由于Q值的存在而得到一定程度克服。
利用修正的洛伦茨曲线图计算基尼系数，保留基尼系数原来的创意，而二者的数值会有差异。因此，需要在考虑同现有基尼系数接轨的基础上，根据大量统计资料和实际情况，综
C合分析、Q两个因素，制定合理的评价社会分配情况标准。如此，将使基尼系数获得新G
的生命力，增强功能，更便于应用。
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5
Revision of Lorenz curve and Improvement of Gini Coefficient
Zhou Tiecheng
North University of China (Taiyuan Shanxi)
Abstract: In this paper an imperfect is pointed out of Lorenz curve diagram and its revision scheme is proposed. In the revised Lorenz curve diagram the real income distribution curve is divided into two sections one of below the absolute distribution curve left side is showing the low income, the other of above it right side is showing the high income. The line joined two sections cross with absolute distribution curve at point Q is boundary between low income and high income. By use of the revised Lorenz curve diagram combined with point Q showing population percentage function of Gini coefficient as criterion of the social income distribution average degree will be strengthened and its application is convenient.
Key words: social income distribution Lorenz curve Gini coefficient
6
周铁城 中北大学
住址:山西省太原市中北大学家属住宅27楼1单元6号 邮编:030051
电话:0351-3922313 手机:13453437876
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7
范文五：基于洛伦茨曲线的收入分配评价方法
专恶篡㈣
基于洛伦茨曲线的收入分配评价方法
●张世伟万相昱
基于洛伦茨曲线的收入分配评价方法从社会福利视角对公平与效率的经济问题进行了有效分析，其理论在国外相关研究领域内被普遍公认并广泛应用。然而，目前在国内学术界，该理论与方法尚不能被充分理解和有效应用。本文系统地对相关的基本理论进行了定理化表述与公式化规范，进而详细地解释和说明了基于洛伦茨曲线的收入分配评价方法的适用范围和应用方法，并具体针对定理的局限提出警惕系数作为补充评价方法，为相关领域的研究提供有益的借鉴与依据。
【关键词】收入分配；社会福利；洛伦茨曲线；警惕系数ｆ中图分类号】Ｆ８１２
【文献标识码］Ａ
［文章编号Ｊ１００４—５１８ｘ（２００８）０２—００７０—０７
张世伟（１９６４一），男，吉林大学数量经济研究中心教授，经济学博士，博士生导师，主要研究方向为经济模拟、收入分配；万相昱（１９７８一），男，吉林大学数量经济研究中心博士研究生，主要研究方向为数量经济学。（吉林长春
１３００１２）
本文为国家社会科学基金项目（项目编号：０５ＢＹＪ０２６）、教育部人文社会科学重点研究基地重大项目（项目编号：７９ＪＪＤ００７９）、教育部新世纪优秀人才支持计划（项目编号：ＮｃＥＴ—０５一０３１８）的研究成果。
一、引言
在收入分配问题的研究上不仅存在着实证和规范之争，更主要的是一直存在公平与效率之争。学者们越来越意识到两者的相互制约与不可孤立，随着福利经济学的兴起和发展，人们希望
２０世纪７０年代著名的Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理为我们开辟了一条新的研究途径，他将收入分配领域广泛运用的洛伦茨（Ｌｏｒｏｎｚ）曲线与社会的福利评价结合起来，在一个比较宽泛且经济意义显著的框架下对收入分配进行规范的评价，作用域是某一类社会福利函数而不是具体的某个
以一种福利评价的方式将两者有机地进行理论
上的统一，以获得对社会收入分配的规范评价，
社会福利函数ｆ２】。利用洛伦茨曲线使其便于实
证研究，作用域广泛使其适用性强。该定理影响巨大，在很大程度上决定了后继研究的结构和程序。在现实的收入分配研究中，洛伦茨曲线与另一种由Ｓｈｏｒｒｏｃｋｓ在１９８３年提出的广义洛伦茨曲线相结合就构成了现有的两种基本分析框架ｂＪ。在其理论基础上，研究者们进一步提出Ｄａｒｄａｎｏｎｉ和Ｌａｍｂｅｒｔ定理以及Ｄａｖｉｓ和Ｈｏｖ定
由此，经济学研究的出发点被定位为社会福利最
大化，即经济效率和社会公平的最大化。就是在这种经济范式下人们开始独立地构建满足其评
价要求的福利函数。Ａｒｒｏｗ不可能定理的出现从
数理角度证明了完备意义的社会福利函数不存在ｎ】，而各自独立的福利函数其经济内涵和评价结果往往大相径庭。
万方数据
理‘…５１，它们分别通过对假设施加不同的、更为严格的限制进而提高对收入分配的比较能力。
应用洛伦茨优势准则和广义洛伦茨优势准则等社会福利比较的方法，经济学者对现实经济中的收入分配状况进行了比较广泛的研究，
主要体现在三个方面：（１）某一时期不同国家之
间收入分配状况的横向比较，如ＫａｋｗａＩｌｉ通过对２３个国家１９７０年收入分配状况进行了两两比较㈣；（２）某一个国家不同时期收入分配状况的
纵向比较，如Ｂｉｓｈｏｐ、Ｆｏ瑚ｂｙ和Ｓｍｉｔｈ对美国
１９６７年一１９８６年期间收入分配状况进行的比较【７１；（３）不同地区不同时期收入分配状况的平
行比较，如Ｃｈｕ咖ｓｐｈｏｎｌｅｒｔ、Ｆｏ咖ｂｙ和Ｂｉｓｈｏｐ对
泰国１９９２年一２０００年期间不同地区收入分配状况进行的隔年比较哺】。这些定理／推论在现实的经济评价中发挥了至关重要的作用。
尽管Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理和Ｓｈｏ肿ｃｋｓ定理已经成为学界公认的标准理论侈】，但它们尚未被系统地
写入教科书，而且目前在国内学术界，这一领域的理论与实证研究尚不能被充分地理解和有效地应用。因此，在这里引入关于收入分配评价的方法论，并做出系统的解释和论述是十分必要
的。本文在Ａｔｋｉｎｓｏｎ及其后续研究者的工作基
础上展开研究分析，围绕着收入分配的福利评价问题，对相关的定理与推论进行理论阐述和
具体应用分析，并具体针对定理的失灵状况作
为修正补充。
二、收入分配评价的定理及推论
在阐述定理之前，我们还是首先给出某些定义，并做出必要的假设：
定义ｌ：
我们用Ｌ＾（ｐ）和ＬＢ（ｐ）分别表示收入分配Ａ
和Ｂ的洛伦茨曲线，其中ｐ为人口累计份额，
ｐ∈【Ｏ，１】。如果Ｌ＾≠Ｌｎ而且满足（Ｖｐ）（ｐ∈［０，
１】叶Ｌ＾（ｐ）≥ＬＢ（ｐ）），那么收入分配Ａ的洛伦茨
曲线优于Ｂ的，简记为Ｌ＾≥ＬＢ；如果满足（ｊｐ）
万
方数据基于洛伦茨曲线的收入分配评价方法
（ｐ∈【０，１】＾ＬＡ（ｐ）＞ＬＢ（ｐ）），那么收入分配Ａ的洛伦茨曲线严格优于Ｂ的，简记为Ｌ＾＞ＬＢ。
假设１：
收入分配｛ｘ。，ｘ：，…，ｘｗ｝的社会福利可以表示为：一
Ｎ
Ｗ＝［１／Ｎ】∑Ｕ（ｘ；）（（Ｖｘ）（ｘ≥Ｏ＿（Ｕ’
（ｘ）＞０＾Ｕ”（ｘ）
的两种收入分配，那么
（（Ｖｐ）（ｐ∈【０，１】＿＋Ｌ一（ｐ）≥Ｌｎ（ｐ））车亭（（ＶＷ）（Ｗ∈Ｗｌ－＋Ｗ＾≥ＷＢ））
Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理表明：从社会福利的视角，在
收入规模相等（队＝№）的情况下具有洛伦茨曲
线优势的收入分配是可取的，即收入的均值相
同，若Ｌ＾≥ＬＢ，则收入分配Ａ优于Ｂ，记为Ａ≥Ｂ；若Ｌ一＞ＩＪＢ，则Ａ严格优于Ｂ，记为Ａ卜Ｂ。Ｋｏｌｍ和Ｄａｓｇｕｐｔａ等人提出的辅助定理也从另一角度很好地证明了Ａｔｋｉｎ８０ｎ定理…】【Ｉ纠。该定理的约束条件是十分苛刻的，在现实的收入分配比较中较
为罕见，那么对于绝大多数的其他情况，即收入
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规模不相等的收入分配，或无法判断洛伦茨曲线优势的收入分配，我们又将如何评价呢？Ａｔｋｉｎｓｏｎ首先扩充了他的定理，以强化其求解能力：
推论１（Ａｔｋｉｎｓｏｎ推论）：
令Ａ和Ｂ分别表示两种收入分配，那么（Ｖｐ）（ｐ∈【０，１】＿＋Ｌ一（ｐ）≥Ｌｅ（ｐ））＾（¨一＞斗Ｂ）ｊ（ＶＷ）（Ｗ∈Ｗｌ＿＋Ｗ＾≥ＷＢ）
分析定理１和推论ｌ我们可以得出：对于
收入规模与洛伦茨曲线优势方向不一致，以及无法对洛伦茨曲线优势作出判断的收入分配而言，Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理（推论）出现了失灵。１９８３年Ｓｈｏｒｒｏｃｋｓ对Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理进行了扩展。为了理解这一扩展定理，我们必须首先明确一下定义：
定义２（广义洛伦茨曲线）：
我们用ＧＬ＾（ｐ）＝ＭＬ＾（ｐ）和ＧＬＢ（ｐ）＝岫Ｌ＾（ｐ）分别表示收入分配Ａ和Ｂ的广义洛伦茨曲线。如果Ｌ＾≠ＬＢ且满足（Ｖｐ）（ｐ∈【０，ｌ卜＋ＧＬＡ（ｐ）≥ＧＬＢ（ｐ）），那么收入分配Ａ的广义洛伦茨曲线优于Ｂ的，简记为ＧＬ＾≥ＧＬＢ；如果满足（了ｐ）（ｐ∈【０，１】）＾（ＬＡ（ｐ）＞ＬＢ（ｐ）），那么收入分配Ａ的广义洛伦茨曲线严格优于Ｂ的，简记为ＧＬ＾
＞ＧＬＢ。
显然，广义洛伦茨曲线的值等价于ｐ＝０到ｐ＝１的人均收入增加值。利用广义洛伦茨曲线，
ｓｈｏ玎ｏｃｋｓ提出了收入分配中另一重要定理——
Ｓｈｏｒｍｃｋｓ定理。
定理２（Ｓｈｏｒｒｏｃｋｓ定理）口】：
令Ａ和Ｂ分别表示两种收入分配，那么（Ｖｐ）（ｐ∈［０，ｌ】＿＋ＧＬ一（ｐ）≥ＧＬｎ（ｐ））车争（ＶＷ）（Ｗ
Ｅ
Ｗｌ＿Ｗ＾≥ＷＢ）⑦…１ｓｈｏ咖ｃｋｓ定理表明：广义洛伦茨曲线正是
公众接收福利的充分必要条件的标准，Ｋａｋｗａｎｉ给出了该定理的全新的、独立的证明，并在解决Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理（推论）失灵问题的同时，研究了广义洛伦茨曲线优势的覆盖率，他在对２３个国家１９７０年实际ＧＤＰ分配的２４８种两两比较后发
现㈨：
万
方数据Ａ与Ｂ的比较情况：满足该条件的数目
１．Ｍ≥脚ｎＬ＾≥ｂ
１１６
２．ｍ＞ｐＢｎＬ＾≤ＩＪＢｎＧＬ＾≥Ｇｂ４６３．Ｌ＾与ＬＢ相交ｎＧＬ＾与ＧｌＪＢ不相交４６
４．（丑＾与Ｇｈ相交
柏
Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理（推论）仅能解决第１类情况，而ｓｈｏ玎ｏｃｋｓ定理能够解决第２类和第３类的所有情况，ｓｈｏｎｏｃｋｓ定理的提出大大提高了分析和评价收入分配的能力。Ａｔｋｉｎｓｏｎ和Ｓｈｏ玎ｏｃｋｓ的结论并没有解决第４类情况，尽管Ｋａｋｗａｎｉ研究发现，实证分析中广义洛伦茨曲线相交的情况要少于洛伦茨曲线相交的情况，但他的样本中该情况包含了大量令人感兴趣的收入分配的两两比较。Ｌａｍｂｅｒｔ在这方面进行了更为深入的研究，通过对社会福利函数施加约束条件，提出新的福利判定定理，从而增强评价收入分配的能力【９１。
假设２：
收入分配｛ｘ。，ｘ２，…，ｘ一）的社会福利可以表示为：
Ｎ
Ｗ＝【１／Ｎ】∑Ｕ（ｘｔ）（（Ｖｘ）（ｘ≥０－＋（Ｕ’
（ｘ）＞０＾Ｕ”（ｘ）０）））④
我们用ｗ：表示假设２中所描述的社会福利函数，并将其记为ｗ∈ｗ：。
在利用平均收入来表示社会福利的范式下，指定收入效用函数的三阶导数为正，实质上
是Ｋｏｌｍ原则【１５】，即递减的转移支付原则。而社
会福利的表示Ｗ２本质上就是在Ｗ１的基础是施加递减的转移支付原则的限制条件，它满足：
收入递增、转移支付原则和递减的转移支付原
则。这里强调，对于曲线相交模式的限制是新定理有效的一个必要的条件，同时，出于规范方法论的经济学涵义的考虑，我们认为还有必要预先引入罗尔斯法则和一个引理⑤：
定义３（罗尔斯法则）ｎ６１：
罗尔斯法则下收入分配Ａ优于收入分配Ｂ，当且仅当Ａ中的最低收入高于Ｂ中的，或两
者相同但Ａ中发生的频率较低时，记为：
Ａ＞Ｒ
Ｂ牟争（Ｖｙ）（ｊｘ）（ｘ∈（０，ｙ】＾Ａ≠Ｂ＾
Ａ（ｘ）≤Ｂ（ｘ））
罗尔斯法则事实上是社会选择理论中的一种极端情况（最大不平等厌恶），它反映出在无
限趋近于原点位置上具有收入优势的收入分配
是可取的，而不考虑其他分布位置。
引理ｌ：
Ａ＞Ｒ
Ｂ々亭（Ｖｑ）（ｊｐ）（ｐ∈（０，ｑ】＾ＧＬ＾≠
ＧＬｓ＾ＧＬ一（ｐ）≥ＧＬｅ（ｐ））
罗尔斯法则与引理ｌ事实上给出了一种罗尔斯主义社会偏好与广义洛伦茨曲线间的等价命题，无限趋近于原点位置上具有广义洛伦茨曲线优势的收入分配，它在罗尔斯法则下是可取的。它为广义洛伦茨曲线解释福利经济学涵义的同时，更直观地约束了相交的广义洛伦茨曲线原点到第一交点的开区间内的优势情况，
即Ａ、Ｂ在（Ｏ，１）内相交，且Ａ＞ｎＢ，那么在原点
到第一交点的开区间内ＧＬ＾＞ＧＬＢ，ＧＬ＾从上方与ＧＬＢ相交。
定理３（Ｄａｒｄａｎｏｎｉ和Ｌａｍｂｅｒｔ定理）…：假定收入分配Ａ与收入分配Ｂ的广义洛伦
茨曲线相交于一点⑥，且Ａ＞ｎＢ。
定理３．１：
如果队＝斗ｅ，那么
（盯一２≤盯ｎ２）铮（Ｖｗ∈Ｗ２）（ｗ＾≥ｗＢ），其
中，（盯一２≤Ｖ＾叮ｅ２）称为方差条件。
定理３．２：如果ＭｎＢ我们可以直观地理解为Ａ从上方与Ｂ相交，Ａ在原点附近具有优势，即Ａ是能更好地改善最低收入层次的收入分配，它使罗尔斯法则更优。定理３．１是一个等价表达式，但我们着
重强调其判别基础——方差条件，定理３．２是
一个蕴含式，均值一方差条件是其评价的基础。两个条件都是从缩小收入差距出发的，但在定理３．２中对ｗ的不平等厌恶的最小值施加了限制，即该结论仅对不平等厌恶大于等于限制条件的ｗ有效，其他情况（典型的，如功利主义福利函数）则失灵。Ｌａｍｂｅｒｔ对这一问题以及不平等厌恶作了深入的分析⑦。事实上反过来看，差距值【盯一２一盯ｎ２一（队一ｍ）（２ｚ—Ｍ一肛ｎ）】越大，则从ｗ：中排除的函数类型就越少，而且对Ａ的福利评价就越高。
按照Ｓｈｏ玎ｏｃｋｓ和Ｆｏｓｔｅｒ的观点，实践中洛伦茨曲线多交点的可能性远小于单交点的可能性【１７】。进而Ｌａｍｂｅｒｔ指出，相交的广义洛伦茨曲线仅有单个交点的情况是最为常见的眇】。那么定理３的提出又使我们的分析能力大幅提高，更重要的是，它使很多感兴趣的评价成为可能。
实践中，广义洛伦茨曲线不止一次相交的情况虽不多见，但Ｄａｖｉｅｓ和Ｈｏｙ还是提供了处理此类情况的思路。概括地说，由原点开始依次
根据交点对广义洛伦茨曲线进行分组，保证新
分出的子群体（Ｓｕｂ—ｐ叩ｕｌａｔｉｏｎ）能够形成一个
单点交叉的广义洛伦茨曲线段，直到不能分为
止。实际是除最后一个子群体外，每个子群体可以看作是收入规模相同且单点交叉的广义洛伦茨曲线某种映射，那么就可以应用定理３逐个
作出福利评价。另外，当广义洛伦茨曲线的相交
次数为偶数时，最后一个子群体中具有广义洛
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伦茨曲线优势的收入表ｌ收入分配的福利评价条件与结论
分配在原点附近同样曲线关系条件
均值条件
附加条件
结论有效性备注
具有优势，即该分配ｌ｝Ｕ≥ｐＢ
Ｗ＾≥ＷＢＷｌ
２Ｌ＾≥ｈＭ弘Ｂ
不会发生
ｎ
每个子群体内（除最后一个）都满
具有罗尔斯优势但收ＧＬ＾从上方开始
足方差条件
ＷＡ≥ＷＢ
Ｗｊ——
入规模较小的情况，与‰相交偶数
｝‘＾≥ｆ上Ｂ
存在子群体（除最后一个）不满
１２次
足方差条件
必须利用定理３．２独１３
Ｍ似
不会发生
Ｈｏｖ定理）‘５１：
定理４．１：如果Ａ＞ｎＢ，且ＧＬ＾与ＧＬＢ相交到此，我们能够应用这些定理（推论）对现偶数次，那么如果Ａ中每个子群的收入方差都实的收入分配问题做出评价，图１给出了对收小于Ｂ中的（除最后一个子群体），则对于所有入分配进行福利规范的评价时所应顺序执行的Ｗ∈Ｗ２，有Ａ优于Ｂ。
分析步骤。这就是目前福利评价收入分配的方定理４．２：如果Ａ＞ｎＢ，且ＧＬＡ与ＧＬＢ相交奇法论，我们可以简要概括这些评价的条件以及数次，那么如果Ａ中每个子群的收入方差都小
结论，并将其列于表１中。这里，我们必须着重于Ｂ中的（除最后一个子群体），且最后一个子
强调对于使得这些结论有效的具体福利函数的
群体满足自身的均值一方差条件，则对于满足类型的限制，如果评价者对于社会福利函数的
最小的不平等厌恶的所有Ｗ∈ｗ：，有Ａ优于Ｂ。
界定超出限制的条件，那么这些评价的方法是
无效的。
三、对于评价方法的补充
在现实应用中，我们最为常见的现象是广义洛伦茨曲线单点相交但定理３失灵的状况，如对于我国城镇居民收入分配的历史比较。显然，我们不希望为每种比较继续施加福利函数的限制条件，以破坏定理中
图ｌ
收入分配的福利评价流程图
福利评价的广泛性和完备
万
方数据
图２收入分配Ａ与Ｂ的广义洛伦茨曲线图
性；同时，我们更不希望因定理３的失灵而使实证分析终止于目前的缺陷状态，这就需要我们确定一种有效的评价方式。假定两个收入分配方案Ａ和Ｂ，ＧＬ＾与ＧＬｅ单点交叉，且Ａ斗Ｂ），即【叽２一盯Ｂ２一（斗＾一斗Ｂ）（２ｚ一¨＾一帅）】＜０，我们来分析该问题，如图２。首先尝试评价两种收入分配现状与其满足均值一方差条件的最小距离。现在有两种方案进行研究：第一，扩大两者间收入规模的差距，使Ｂ＜２Ａ；第二，缩小收入规模差距，使Ａ０Ｂ。显然，第一种方案与我们福利研究的方向相悖，我们应用方案２＠。如图２，假设我们减小Ａ的收入规模，很容易理解当Ａ的收入规模降到Ｎ点时，ｍ＝帅，【叮＾２一仃Ｂ２一（斗＾一斗Ｂ）（２ｚ一弘一一斗ｎ）】＜０，此时，
Ａ＜２Ｂ，那么在区间［¨ｎ，Ｍ】上总存在值Ｍ＊，使
得将Ａ收入规模整体下降到该位置时，有【叮一２一叮Ｂ２一（卜＾一ｐＢ）（２ｚ一斗一一斗Ｂ）】＝０，我们将Ｍ。称为Ａ相对于Ｂ的均值一方差条件的中性收入，简称Ａ的中性收入＠。由队。的引入，我们给出一个评价指标：
定义４：
对于分配方案Ａ和Ｂ，ＧＬ＾与ＧＬＢ单点交叉，且Ａ龟Ｂ，女日果［盯一２一盯Ｂ２一（斗．一斗Ｂ）（２ｚ—
Ｍ—ｍ）］羽，那么定义Ｓ＝坐二１生，称之为
Ｕ＾一ＵＢ
收入分配Ａ相对于Ｂ的警惕系数，ｓ∈［０，ｌ】。
这里，ｓ的值越小，表示为了实现Ａ０Ｂ，必须越大程度地降低Ａ的收入规模，Ａ相对于Ｂ就越不具备整体的劣势，当ｓ＝０时，事实上Ａ≥
万
方数据基于洛伦茨曲线的收入分配评价方法
３
Ｂ；反之亦反。警惕系数ｓ实际上是在第二章福
利假设的基础上进行的，它的建立与收入的方差和均值紧密联系，体现了公平与效率相互作用的福利评价原则。简单地讲，它告诉我们一个较大规模的收入分配与较小规模的收入分配相比在多大程度上会是一种福利的倒退。
四、结论
基于洛伦茨曲线的方法是以社会福利为视角对收入分配进行有效评价的理论最为成熟、应用最为广泛的方法。本文首先回顾了基于洛伦茨曲线的收入分配评价理论的基本定理的形成与实证应用，接着以定理化的方式对该领域内的主要定理进行了阐述，并用公式化的方法对这些定理进行了数学表达，这为我国学者在
该领域的研究与教学提供了严谨的规范。文章
对基于洛伦茨曲线的收入分配的社会福利评价方法予以系统的论述，结合对定理的适用范围和应用方法的详细解释和说明，并针对定理３失灵现象提出警惕系数作为补充，为收入分配
福利排序的具体应用提供依据。从国内经济学
界来讲，对于收入分配的福利评价无论是理论研究还是实证应用，都还没有引起足够的重视，通过本文的论述，我们希望能够对相关领域的研究提供有益的借鉴。
注释：
①如果采用连续的收入分配方式，那么，其中ｆ（ｘ）为收入分布密度函数。
②当然，对于该假设的理解也存在某些争议，如收入分配中洛伦茨与福利的一致性假设，ＣｈａｔａｅｕｎｅＩｌｆ和Ｍｏｙｅ８对洛伦茨曲线非一致福利与不平等问题进行了研
究。
③该定理的等价形式最早见于１９６９年Ｋｏｌｍ的论述中，但我们仍然习惯性地称之为“ｓｈｏｒｍｃｋｓ定理”。另外，Ａｔｋｉｎｓｏｎ定理及其推论的等价阐述也可见于Ｋｏｌｍ的同一著作中。
④如果采用连续的收入分配方式，那么，其中ｆ（ｘ）
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为收入分布密度函数。
⑤目前利用ＩＪａ—１１ｂｅｒｔ定理评价收入分配的文献中，更多的是应用语言描述限定广义洛伦茨曲线两两相交的模式，而非规范的、体现经济学意义的数理表示。对于该法则和引理的具体解释参见文献【９】。
⑥这里相交是指交点的横指标ｐＥ（０，１）的情况，即不计算原点的必然相交及ｐ＝１时的可能相交情况。下
文同。
⑦在ｈｍｂｅｒｔ的分析中不平等厌恶由收入的边际效用弹性的负值ｑｕ（ｘ）＝一ｘｕ”（ｘ）／ｕ’（ｘ）表示。
⑧事实上可以利用ＧＬＢ与ＧＬＡ的最低值的比值刻画一个系数，使得Ａ以该系数扩大收入时，Ｂ＜Ａ。但这是一个最大排除不平等干扰的标准，且ＧＬ优势的种类繁多，也不利于标准化。
⑨应用基本的概率学和代数学的知识，以斗Ａ的缩小比例ｘ作为中间变量，很容易求解斗Ａ★。
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【责任编辑：叶萍】
基于洛伦茨曲线的收入分配评价方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
张世伟， 万相昱， Zhang Shiwei， Wan XiangYu吉林大学数量经济研究中心,吉林长春,130012江西社会科学
JIANGXI SOCIAL SCIENCES2008(2)
参考文献(26条)
1. 应用基本的概率学和代数学的知识,以uA的缩小比例x作为中间变量,很容易求解uA*
2. 事实上可以利用GLB与GLA的最低值的比值刻画一个系数,使得A以该系数扩大收入时,B《2A.但这是一个最大排除不平等干扰的标准,且GL优势的种类繁多,也不利于标准化
3. 在Lambert的分析中不平等厌恶由收入的边际效用弹性的负值qU(x)=-xU''(X)/U'(x)表示
4. 这里相交是指交点的横指标PE(0,1)的情况,即不计算原点的必然相交及P=1时的可能相交情况.下文同
5. 目前利用Lambert定理评价收入分配的文献中,更多的是应用语言描述限定广义洛伦茨曲线两两相交的模式,而非规范的、体现经济学意义的数理表示.对于该法则和引理的具体解释参见文献6. 如果采用连续的收入分配方式,那么,其中f(x)为收入分布密度函数
7. 该定理的等价形式最早见于1969年Kolm的论述中,但我们仍然习惯性地称之为"shormcks定理".另外,Atkinson定理及其推论的等价阐述也可见于Kolm的同一著作中
8. 当然,对于该假设的理解也存在某些争议,如收入分配中洛伦茨与福利的一致性假设,Chataeuneuf和Moyes对洛伦茨曲线非一致福利与不平等问题进行了研究
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26. 如果采用连续的收入分配方式,那么,其中f(x)为收入分布密度函数
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