兜兜兜里没糖
范文一：空间向量求线面角
利用空间向量求线面所成角（高二文科）
11,.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC，N为AB上一2
点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，求BE与平面B1BDD1所成角的余弦值．
3．如图3－2－22直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，CC1＝2，求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值．
4.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
范文二：全程解读如何利用空间向量求线面角
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全程解读如何利用空间向量求线面角
作者：罗红梅
来源：《中学生数理化·学习研究》2016年第05期
摘要：高中数学是高中教育体系的重要组成部分，是初中数学的提高和深化，与初中数学相比，高中数学语言表达更加抽象，逻辑性更强。由于以上特点，高中数学对学生的学习能力提出了更高要求，很多学生不能很快地适应高中数学的学习，导致在数学学习上很吃力，数学成绩下滑。基于此，本文就对高中数学学习中存在的问题，以及好的学习方法展开论述。 关键词：高中数学；预习；复习；思想方法；提高成绩
高中数学学习是中学阶段承前启后的关键时期，进入高中学习，学生不能适应高中数学学习的现象普遍存在。不少学生升入高中后，能否适应高中阶段数学学习，是摆在高中新生面前的一个亟待解决的问题。许多学生在学习过程中存在着学习方法不当、未养成好的学习习惯、学习兴趣不强等因素，导致他们的学习成绩不理想。因此，为了解决以上问题，需要同学们积极转变观念、提高认识和改进学习方法等来提高数学成绩。
一、提高对数学的认知
1.数学的重要性。
高斯曾经说过：“数学是科学之王”。同时，数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。我们的生活离不开数学，在生活中我们可以使用数学来完成简单的计算，数学还为其他科目的学习奠定基础。
2.数学解题的本质。
探讨解数学题的方法和规律，首先要弄清它的本质。所谓解数学题，就是依据问题的条件和一系列有关的数学原理及基本方法，按照一定逻辑做题步骤，用一些数学思想及方法来求得数学问题的答案。
二、高中数学的特点
1.数学符号更加抽象化。
初中数学的学习主要是以简单的解题模式为主，而且语言符号通俗易懂。而在高中数学的学习中，由于课程内容中涉及非常抽象的逻辑运算符号、函数概念和函数图像等，所以学生在最初的学习中很难理解到位。
2.思维方式更加灵活、严密。
范文三：高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。
立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。在这先分析这些立体几何的解题思路。
在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线 互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面 内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。
在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何
范文四：空间向量处理线面角
线面角的定义及运用
线面角的求解方法（范围：）
一．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。（一作、二证、三求）
例、如图1、四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点。求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
C
变式：已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。
A
BC
O
D
二 利用公式sin??
h l
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，可用等体积法求垂线段的长。 例、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。
D
1 A1
1
1
变式：如图，在正方体AC1中，求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角。
三. 利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
例、如图，已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC所成的角的余弦值。
A
O
变式：如图，已知AB是平面?的一条斜线，B为斜足，AO??,O为垂足，BC为?内的一条直线，?ABC?60?,?OBC?45?，求斜线AB和平面?所成角。
训练一下：
A
B
OC
?
?
1如图，PA是平面?的斜线，?BAC在平面?内，且满足?BAC?90，又已知
?PAB??PAC?60?，求PA和平面?所成的角。
P
AA
BD
C
2．如图，已知PA?正方形ABCD所在平面，且PC?24,PB?PD?PC和平面ABCD所成的角。
线面角高考体验
1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。D1E与平面BC1D所成角的余弦值为。
2、PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）
A.
126 B. C. D. 2323
3、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）
?3????622??22?
,1? B、?,1? C、?,,1? A、? D、??
3??3??3??3?3?
4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、
BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG. （Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90?，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的余弦值。
6、三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，则此直线与另外一条直线所成的角。
7、正方形ABCD的两条对角线AC与BD交于点O，沿对角线BD折起，使?AOC?90?对于下列结论：?AC?BD；??ADC为等边三角形；?AB与CD成60?角④
AB与平面BCD成60?角。其中正确的有。
8、如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。
（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； （II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论
9、如图，在三棱锥V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB 的中点，且
π??
AC?BC?a，?VDC???0????．
2??
（I）求证：平面VAB⊥VCD；
?
（II）试确定?的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为。
6
（Ⅲ）当解?变化时，求直线BC与平面VAB
A
10、如图，∠BAD＝
90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.
11、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a. (1)求BM与侧面AC1所成角的正切值. (2)求顶点A到面BMC1的距离.
12、已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小; （2）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.
范文五：求线面角的三种方法
本文介绍求线面角的三种常见方法，并对其作比较分析.
例 如图1，在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=2AA1]，点[D]是[A1B1]的中点，点[E]在[A1C1]上，且[DE⊥AE].求直线AD和平面[ABC1]所成角的正弦值.
[图1][图2]
方法1 直接作出线面角求解
分析 因为本题几何图形是特殊的几何体――正三棱柱，点[D]在特殊位置上――线段[A1B1]的中点，所以本题比较容易作出线面角.
解 如图2，设[F]是[AB]的中点，连结[DF]，[DC1]，[C1F].由正三棱柱[ABC-A1B1C1]的性质及[D]是[A1B1]的中点知，[A1B1⊥C1D]，[A1B1⊥DF].
又[C1D?DF][=D]，所以[A1B1⊥]平面[C1DF].
而[AB∥A1B1]，
所以[AB⊥]平面[C1DF].又[AB?]平面[ABC1]，故平面[ABC1⊥]平面[C1DF].
过点[D]作[DH]垂直[C1F]于点[H]，则[DH⊥]平面[ABC1].
连结[AH]，则[∠HAD]是[AD]和平面[ABC1]所成的角.
由已知[AB=2AA1]，不妨设[AA1=2]，则[AB=2]，[DF=2]，[DC1=3]，
[C1F=5]，[AD=AA21+A1D2][=3]，
[DH=DF?DC1C1F=305].
所以[sin∠HAD=DHAD=105].
方法2 用等体积法求出点[D]到 [图3] 面[ABC1]的距离[h]，[hAD]为所求线面角的正弦值
分析 如图3，连结[C1D]，[BD]，即得四棱锥[D-ABC1].用等体积法，即[VD-ABC1=VC1-DAB]，容易求出点[D]到平面[ABC1]的距离[h].
解 如图3，连结[C1D]，[BD].
因为平面[A1B1C1⊥]平面[AB1]，[C1D][⊥][A1B1]，
所以[C1D][⊥]平面[AB1].
不妨设[AA1=2]，则[AB=2]，[DC1=3]，[AC1=BC1=6]，[AD=BD]=[3].
易求[SΔADB=2]，[SΔABC1=5].
设[D]在平面[ABC1]内的射影为[H]，[DH=h]，连结[AH]，则[∠HAD]是[AD]和面[ABC1]所成的角.
因为[VD-ABC1=VC1-DAB]，
所以[13×h×SΔABC1=13×C1D×SΔABD]，[h=305].
所以[sin∠HAD=DHAD=105].
[图4] 方法3 坐标向量法
解 如图4，设[O]是[AC]的中点，以[O]为原点建立空间直角坐标系，不妨设[AA1][=2]，则[AB=2]，相关各点的坐标分别是[A（0，-1，0）]，[B（3，0，0）]，[C1（0，1，2）]，[D32，-12，2.]
易知[AB]=（[3]，1，0），[AC1]=（0，2，[2]），[AD]=[32，12，2].
设平面[ABC1]的一个法向量为[n=（x，y，z）]，
则有[n ? AB=3x+y=0，n ? AC1=2y+2z=0.]
解得[x=-33y]，[z=-2y].
故可取[n=（1，-3，6）].
所以[cos=n?AD|n|?|AD|][=-105].
则[AD]和平面[ABC1]所成角的正弦值为[105].
变式1 如图1，将题设条件“点[D]是[A1B1]的中点”改为“点[D]是棱[A1B1]上一点，[A1D=14A1B1]”，其它不变.
解法1 虽可作出所成角，但求解过程复杂，故放弃此法.
[图5] 解法2 如图5，连结[BD]，取[A1B1]的中点[F]，连结[C1F]，则[C1F⊥][A1B1]，[C1F⊥]平面[DAB].
不妨设[AA1=2]，则[AB=2]，[C1F=3]，[AD=][AA12+A1D2=32].
易求[SΔADB=2]，[SΔABC1=5].
设[D]在平面[ABC1]内的射影为[H]，[DH=h]，连结[AH]，则[∠HAD]是[AD]和平面[ABC1]所成的角.
因为[VD-ABC1=VC1-DAB]，所以有
[13×h×SΔABC1=13×C1F×SΔABD]，[h=305].
所以[sin∠HAD=DHAD=23015].
解法3 如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设[AA1=2]，点[A]，[B]，[C1]，[AB]，[AC1]及平面[ABC1]的法向量[n]的坐标同原题解法3.不同的是：
[D34，-34，2]，[AD]=[34，14，2].
所以[cos=n?AD|n|?|AD|][=2310×32=23015].
则[AD]和平面[ABC1]所成角的正弦值为[23015].
变式2 原题题设不变，将结论改为“求直线[AE]和平面[ABC1]所成角的正弦值”.
解法1 点[E]不是特殊点，它在平面[ABC1]内的射影不好定位，故放弃此法.
解法2 如图6，不妨 [图6]设[AA1=2]，则[AB=2]，[AE=AA12+A1E2=32] ， [A1E=12A1D=12]，[EC1=32].
取[AC]的中点[F]，连结[BF]，易知[BF⊥]平面[AEC1]，[BF=3].
易求[SΔAEC1=324]，[SΔABC1=5].
设[E]在平面[ABC1]内的射影为[H]，[EH=h]，连结[AH]，则[∠HAE]是直线[AE]和平面[ABC1]所成的角.
因为[VE-ABC1=VB-AEC1]，所以有
[13×h×SΔABC1=13×BF×SΔAEC1]，[h=33020].
所以[sin∠HAE=EHAE=3010].
则[AE]和面[ABC1]所成角的正弦值为[3010].
解法3 如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设[AA1=2]，点[A]，[B]，[C1]，[AB]，[AC1]及平面[ABC1]的法向量[n]的坐标同原题解法3.不同的是：
[D0，-12，2]，[AE]=[0，12，2].
所以[cos=n?AE|n|?|AE|][=32310×32=3010].
则[AE]和面[ABC1]所成角的正弦值为[3010].
究竟选择哪一种方法更好，需要根据题目所给的图形特征来确定. 若几何体容易作出线面角，解法1是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，解法2也是不错的选择；若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，解法3是最佳选择.
