范文一：概率论与统计学

全国 2010年 7月高等教育自学考试

概率论与数理统计(二)试题

课程代码:02197

一、单项选择题 (本大题共 10小题,每小题 2分,共 20分 )

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选 或未选均无分。

1.设 A 、 B 为两事件,已知 P (B )=, P (A B,若事件 A , B 相互独立,则 P(A)=( ))=

A . B.

C . D.

2.对于事件 A , B ,下列命题正确的是 ( )

A .如果 A , B 互不相容,则,也互不相容

B .如果 A B,则

C .如果 A B ,则

D .如果 A , B 对立,则,也对立

3.每次试验成功率为 p (0

<1),则在 3次重复试验中至少失败一次的概率为="" (="">

A . (1-p ) 3 B. 1-p 3

C . 3(1-p ) D. (1-p ) 3+p (1-p ) 2+p 2(1-p )

4.已知离散型随机变量 X 的概率分布如下表所示:

则下列概率计算结果正确的是 ( )

A . P (X =3)=0 B. P (X =0)=0

C

. P (X >-1)=1 D. P (X <>

5.已知连续型随机变量 X 服从区间 [a , b ]上的均匀分布,则概率 P ( )

A . 0 B.

C . D. 1

6.设 (X , Y ) 的概率分布如下表所示,当 X 与 Y 相互独立时 ,(p , q )=( )

A . (, ) B. (, )

C . (, ) D. (, )

7.设 (X , Y ) 的联合概率密度为 f (x , y )=则 k =( )

A . B.

C . 1 D. 3

8.已知随机变量 X ~N (0, 1) ,则随机变量 Y =2X +10的方差为 ( )

A . 1 B. 2

C . 4 D. 14

9.设随机变量 X 服从参数为 0.5的指数分布,用切比雪夫不等式估计 P (|X -2|≥ 3) ≤ ( )

A . B.

C . D.

10.由来自正态总体 X ~N (μ, 22) 、容量为 400的简单随机样本,样本均值为 45,则未知参数 μ的置信 度为 0.95的置信区间是 (u0.025=1.96, u 0.05=1.645)( )

A . (44, 46) B. (44.804, 45.196)

C . (44.8355, 45.1645) D. (44.9, 45.1)

二、填空题 (本大题共 15小题,每小题 2分,共 30分 )

请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。

11.对任意两事件 A 和 B , P (A -B )=______.

12.袋中有 4个红球和 4个蓝球,从中任取 3个,则取出的 3个中恰有 2个红球的概率为 ______.

13. 10个考签中有 4个难签,有甲、乙 2人参加抽签 (不放回 ) ,现甲先抽,乙次之,设 A ={甲抽到难签 }, B={乙抽到难签 }.则 P (B )=______.

14.某地一年内发生旱灾的概率为,则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为 ______.

15.在时间内通过某交通路口的汽车数 X 服从泊松分布,且已知 P (X =4)=3P (X =3),则在时间内至少有一辆 汽车通过的概率为 ______.

16.设随机变量 X ~N (10, σ2) ,已知 P (10<20)=0.3,则 p=""><>

17.设随机变量 (X , Y ) 的概率分布为

则 P {X =Y }的概率为 ______.

18.设随机变量 (X , Y ) 的联合分布函数为 F (x , y )=,

则 (X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 f X (x )=______.

19.设随机变量 X ~B (8, 0.5) , Y=2X -5,则 E (Y )=______.

20.设随机变量 X , Y 的期望方差为 E (X )=0.5, E (Y )=-0.5, D (X )=D (Y )=0.75, E (XY )=0,则 X , Y 的相关系 数 ρXY =______.

21.设 X 1, X 2,…, X n 是独立同分布随机变量序列,具有相同的数学期望和方差 E (X i )=0, D (X i )=1,则当 n 充分大的时候,随机变量 Z n =的概率分布近似服从 ______(标明参数 ) .

22.设 X 1, X 2,… X n 为独立同分布随机变量, X i ~N (0, 1) ,则 χ2=服从自由度为 ______的 χ2分布. 23.设 X l , X 2, X 3为总体 X 的样本,,则 C =______时,是 E (X ) 的无偏估计.

24.设总体 X 服从指数分布 E ( ),设样本为 x 1, x 2,…, x n ,则的极大似然估计 =______.

25.设某个假设检验的拒绝域为 W ,当原假设 H 0成立时,样本 (x l , x 2,…, x n ) 落入 W 的概率是 0.1,则犯 第一类错误的概率为 ______.

三、计算题 (本大题共 2小题,每小题 8分,共 16分 )

26. 100张彩票中有 7张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖的概率是否 相同.

27.设随机变量 X 的概率密度为试求 E (X ) 及 D (X ) .

四、综合题 (本大题共 2小题,每小题 12分,共 24分 )

28.已知某种类型的电子元件的寿命 X(单位:小时 ) 服从指数分布,它的概率密度为

某仪器装有 3只此种类型的电子元件,假设 3只电子元件损坏与否相互独立,试求在仪器使用的最初 200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率.

29.设随机变量 X , Y 相互独立, X ~N (0, 1) , Y ~N (0, 4) , U=X +Y , V=X -Y ,

求 (1)E (XY ) ; (2)D (U ) , D (V ) ; (3)Cov(U , V ) .

五、应用题 (本大题共 1小题, 10分 )

30. 某食品厂对产品重量进行检测。 假定产品重量为 X 克, 根据以往长期统计资料表明, 产品重量 X ~N (500, 102) .现随机抽取 400件产品样品进行检测,测得平均重量为 496.4克.在 =0.01下检验该产品重量是否 显著变化 ?(u 0.01=2.32, u 0.005=2.58)

范文二：第四版 概率论与数理统计答案

方差的性质：

1. 设C 是常数，则D (C ) =0

2. 设X 是随机变量，C 是常数，则有D (CX ) =C D (X )

3. 设X , Y 是两个随机变量，

则有D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) +2E {[X ?E (X )][Y ?E (Y )]} 特别，若X , Y 相互独立，则有D (X +Y ) =D (X ) +D (Y )

综合上述三项，设X , Y 相互独立，a , b , c 是常数，

则D (aX +bY +c ) =a D (X ) +b D (Y ) 222

4、D (X ) =0?充分

必要P {X =E (X ) }=1

6

例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：

P (X =0) =1?p ，P (X =1) =p ，求D (X ) 。

解：

E (X ) =0?(1?p ) +1?p =p

E (X 2) =02?(1?p ) +12?p =p

所以 D (X ) =E (X 2) ?[E (X )]2

=p ?p 2=p (1?p )

8

范文三：第四版概率论与数理统计答案

第十三章马尔可夫链§1 马尔可夫过程马尔可夫性（无后效性 ）：已知过程“现在” 的条件下， “将来”不依赖于“过 去”。当X ( t 0 ) ? x 0已知时， X ( t ), t ? t 0 状态的条件分布 与过程在 t 0前所处状态无关。马尔可夫性（无后效性 ）定义( 严格)： P { X ( t n ) ? x n | X ( t 1 ) ? x 1 , X ( t 2 ) ? x 2 , ? , X ( t n ?1 ) ? x n ?1 } ? P{ X ( t n ) ? x n | X ( t n ?1 ) ? x n ?1 }马尔可夫过程：具有马 尔可夫性的随机过程， 称为马尔可夫过程。具备以下两个特性的 { X ( t ), t ? 0} 就是马尔可夫过程： （） X ( t ), t ? 0}是独立增量过程； 1{ （2 X ( 0 ) ? 0 ） 见P 355 证明 P319泊松过程 ? 时间连续、状态离散的 马尔可夫过程； 维纳过程 ? 时间连续、状态连续的 马尔可夫过程； 马尔可夫链： 时间、状态都离散的马 尔可夫过程称为马氏链 。马氏链表示为： { X n ? X ( n ), n ? 0 ,1 , 2 , 3 , ? } 链的状态空间为 I ? {a 1 , a 2 , a 3 ,?}X 2 ? a3 X 2 ? a3 X 2 ? a6 ? X n ? an ? X n ? a1 ? X n ? a4 ? ? ?时间集： T ? { 0 ,1 , 2 , 3 , ? }样本 1 X 0 ? a 1 样本 2 X 0 ? a 2 样本 3 X 0 ? a 3 X 1 ? a2 X 1 ? a4 X 1 ? a2马氏性：条件分布律表 示： P { X m ? n ? a j | X t1 ? a i 1 , X t 2 ? a i 2 , ? , X m ? a i }P( ? P { X m ? n ? a j | X m ? a i } ? Pij { m, m ? n)} ?n0t1t2?mX m ? aim?nX m?n ? a jt转移概率： Pij ( m , m ? n) ? P{ X m ? n ? a j | X m ? a i }转移概率： Pij ( m , m ? n) ? P{ X m ? n ? a j | X m ? a i }含义：时刻 m 处于状态 a i的条件下， 在时刻( m ? n)转移到状态 a j的条件概率。例如：P12 {1,3} ? P { X 3 ? a 2 | X 1 ? a1 }转移概率矩阵：阶数 ? 状态数 ? 状态数 P ( m , m ? n) ? ( Pij {m , m ? n})齐次马氏链： 当转移概率 Pij ( m , m ? n) ? Pij ( n)时， 称为齐次马氏链。含义：转移概率只与状 态a i , a j 及时间间距有关。齐次马氏链的 n 步转移概率： Pij ( n ) ? P { X m ? n ? a j | X m ? a i }齐次马氏链的 n 步转移概率矩阵： P ( n ) ? ( Pij { n})?Pjij( n ) ? 1(每行之和为 1)齐次马氏链的一步转移 概率： Pij (1) ? P { X m ? 1 ? a j | X m ? a i }齐次马氏链的一步转移 概率矩阵： P (1) ? ( P（） ij 1 )X ? Xm ? ? 的 ? ? 状 ? 态 ? ? p 11 p 21 ? p i1 ?m ?1的状态 ? ? ? p1 j p2 j ? p ij ? ?? ?? ? ? ? P (1 ) ? P ? ?? ? ?p 12 p 22 ? pi2 ?P 357 P321 例2、解：每一级传真率为 p; 误码率为 q; { X n , n ? 0 ,1, 2, ?} 一步转移概率： p ij (1) ? P { X n ? 1 ? p i ? j ( 传真率 ) ? j | X n ? i} ? ? ? q i ? j ( 误码率 ) 0 1 q? ? p? X n的状态空间 I ? { 0 ,1}0?p 一步转移概率矩阵： P ? P (1) ? ? 1 ?q齐次马氏链的分布1、马氏链的初始分布： p j ( 0 ) ? P { X 0 ? a j } 2、马氏链 n 时刻的分布： 全概率 ) (?p j (n) ? P{ X n ? a j } ?? p (0) Pi i ?1ij(n)3、马氏链多维联合分布 ：（乘法） P { X 0 ? a 0， X 2 ? a 2 } ? P{ X 2 ? a 2 | X 0 ? a 0 }P{ X 0 ? a 0 } ? p 0 ( 0 ) p 02 ( 2 )p 357 例2：状态空间 I ? {0,1}, 1 3 初始分布为： p 0 ( 0 ) ? p1 ( 0 ) ? 4 4 1 3 表示： P { X 0 ? 0} ? P { X 0 ? 1} ? 4 4 2维分布： P { X 0 ? 1, X 1 ? 0} ? P { X 1 ? 0 | X 0 ? 1} P { X 0 ? 1} ? 3 p10 (1) p1 ( 0 ) ? q 4§2 多步转移概率转移概率决定了马氏链 运动的统计规律， n 步转移概率的确定是马 氏链理论中的 重要问题。齐次马氏链n步转移概率矩阵 :P ( n) ? P ? P (1)nn例1、X n , n ? 0 }是具有三个状态 0， 2的齐次马氏链， { 1， ?3 1 ?4 4 ?1 1 P ?? ?4 2 ?0 3 ? 4 ? 求： ) P { X 0 (1 ? 0? 1 1? ? 初始分布 p i ( 0 ) ? i ? 0 ,1, 2 3 4? 1? 4? ? ? 0 , X 2 ? 1}( 2 ) P { X 2 ? 1}两个状态的齐次马氏链 ：a ? ?1 ? a 一步转移概率矩阵： P ? P (1) ? ? ? 1 ? b? ? b ?b a ? ?b a ? (1 ? a ? b) n ? ? ? n步转移概率矩阵： P ( n) ? a?b a?b ? b n? ? ? P ( n) ? ? a ? b b ? ?a ? b a ? a ? b? a ? ? a ? b?? a ? a? ?? b b ? ? ?§3 遍 历 性b ? ?lim p00 ( n) ? lim p10 ( n) ? a ? b ? ? 0 n? ? n? ? ? a ? lim p01 ( n) ? lim p11 ( n) ? ? ?1 n? ? a?b ? n? ?遍历性：对于状态 j（0， 1 ），不管链从什么 状态出发（ i ? 0 ,1 ），经过长时间转移， 到达 j的概率都为 ? j (与 i 无关 )。链的极限分布 (平稳分布 )： ? ? (? 0 , ? 1 )一般，iflim pij ( n) ? ? j (不依赖于i ) ? 称链具有遍历性。n? ??? 1 ? 2 ? ? j ? ? ? ?? ? 1 ? 2 ? ? j ?? n? ? ? P (n) ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 ? 2 ? ? j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (? 1 , ? 2 , ? ? j ? )为链的极限分布遍历性含义：齐次马氏 链经过长时间的转移后 ， 总会达到平稳分布 ?，而与起始状态无关。定理：齐次马氏链 { X n , n ? 1}, 有 N个状态 I ? {a 1 , a 2 , ? , a N }, 一步转移矩阵为 P , (1)若存在正整数 m 使得 p ij ? 0 ? P ( m )无零元 则此链具有遍历性。 ?? ? ?P ）极限分布求法： （2 ? ?? 1 ? ? 2 ? ? ? ? N ? 1习题10、 11无零元——遍历本 章 重 点内容齐次马氏链的一步转移 概率： Pij (1) ? P { X m ? 1 ? a j | X m ? a i }齐次马氏链的一步转移 概率矩阵： P (1) ? ( P（） ij 1 )P ( n) ? P (1) ? 初始分布p j ( 0) ? p j ( n), 联合分布nP ( m )无零元 ? 链具有遍历性。 ?? ? ? P 遍历性 ? ?? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?1N本章作业： P333 5，9

范文四：第四版概率论与数理统计答案

第三章

多维随机变量及其分布

关键词：

二维随机变量

(联合)分布函数(联合)分布律边缘分布函数边缘分布律条件分布函数条件分布律随机变量的独立性

(联合)概率密度边缘概率密度条件概率密度

1

§1 二维随机变量

为什么要研究二维随机变量？

▲实际中：有时用一个随机变量描述试验结果不够，

需要用到多个变量

研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一

样本空间{儿童}的两个随机变量。

研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。

2

§2 边缘分布

二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数F(x,y), 其中X和Y都

FY(y)，是随机变量，它们的分布函数FX(x)，分别称为随机变量

(X,Y）关于X和Y的边缘分布函数，其中：

FX(x)=F(x,+∞)FY(y)=F(+∞,y)

FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<>

即在分布函数F(x,y)中令y→+∞， 就能得到FX(x)同理得：FY(y)=P(Y≤y)=F(+∞,y)

14

对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为f(x,y)X,Y的边缘概率密度为：f+∞

X(x)=∫?∞f(x,y)dy

f+∞Y(y)=∫?∞f(x,y)dx

Fx+∞x

X(x)=F(x,+∞)=∫??∞??∫?∞f(t,y)dy???

dt=∫?∞fX(t)dt

FY(y)=F(+∞,y)=∫y?∫+∞f(x,t)dx?dt=∫y

?∞???∞??

?∞fY(t)dt边缘分布函数是边缘概率密度函数的积分，

边缘概率密度函数是边缘分布函数的导数。

同理：

16

作业2,3,8

22??

范文五：第四版概率论与数理统计答案

第十章二随 机程及过其统描述计

键关：词 机随过 随程机变量 族样本数族 函布分函族数 数特征字( 均值数、函相自函数关自协方、差函数 )立增量独过程

§1 随

机程的概过念

给一定机随试验，E样其空本间S{=}，将样本e间中空 每的元素作一下对应如便，得到一系结果列：e

?X (e ,)即 X—— 一随机变维量

e

? ( X ( e,)Y ( ))e,即( X Y,) ——二维随机变

e量 ? X 1 ((e) X , 2(e,? ) X (n))e, 即 (X 1, X 2 ,?, X n )——维随机变量ne

? X (e(, t) t? (??, ?)?,

即( X (t) ,) t? (??,? ))? —随机过程

随—机过程认为是概被论的率动“力学部”分 它研究的象是随对时演变的间随现象机它 是多从随机变量向维一族无(限多个随)机量变推广。

的机过程随与随机量变的 同异 ：1（ ）不同： 过是程 t T上?试的验结果，时是间 函数的合集 变量是；在定固时上的间试 验果结是，的数集合 。2（）联 ：系随机程过在t固定 时就为随成机量变

随。过机程表示： {的 X(t , t )? }T

3

随机过

程依：于参赖t数T的?族一无限(多)个随变量机,记为 { X(),tt?T}。 其中对，一每个?t,T (tX是)随一变量. 机数参：T集. 态：常把t状作看时为, 间称(t)X为时刻t过时的程态状. 态空间状对：一于t切T, ?X(t所有)能取可一的切的全体值. 样函数本或样曲本线：随对过程机X({t,)t ?}T进一次行验试,其 结果是t 的数函,记为 xt(, t)? 随T机过程与本函数样的系关像总体就和本的关系样4

例热噪声：电压电子元 件或器件由于内微观部子(粒如子)电随的机骚热动所引起的端 电压它在，一任定时刻确t一是随变机量，为V(t)记 .机变随族:量 同时不对应刻同的随不机量变. 时间在当某间区变化，噪热 电压声现为表一族机变随量，记为{V()tt,0} 样本函数≥族 :在相条件同每次下量都测产生不将的同电-压间函数。不断地时独 立的复试重，便可验到得一电族-时压间函数v1(t),： 2vt)(,…vk (t…[可以)是有限个多样函本数 ]1(vt)v (t)2t t kvt)

(

t5j

t

例

抛1一枚硬币试验掷,样 空本间S是={,H}T, 现借定此义?

co?s t 当现H X (出 t ?)? 出当现 Tt?t ? ??? ,? ??其，中 ( P H) P ?(T ? 1) 2

则

X? ( t) t, ? ???, ? ?? ?是随一过机。 程x(t)

t =x

x

co=s?t t2 t

O

t

1

任对固定的意t ,X t( 是)机变随量取值为c，s? ott

P(和 (t ) ? Xcos? t ) ?( XP(t ) ? t )? 12

此随机过程

的本函数样有只个两{ocs? , tt} 态空间为状（?-,??

）

6例2：

考虑 (Xt ) ? cos?( t ?? ?,)t ?? ?, ??? ? ,式中 ?和?是 正常数,?是(在0 2?,) 上从服均分布的随机变量,匀这 一个随机过是。

程对每一定固时刻的t , (tX ? ?)

co(?t ? ?s)是随变量?机函的数 ,从也是随而机量。变的状态空间是它[- , ??]. 在0,(2 ?)内 机取一数?i随 , 相应就得的一到样本函数 xi (个t ?)? c o(?ts? i?) 这,样族函本数的差在于异它相们?位i不同的, 这故一程过称随为相机正位波。

弦

xt() x1t)(,1=0 O t?x2( )t ,?23?=/

22例x：X设( t) ? Vosc? tt? ? ?,? ??? 其中?是 常数 V ；在0,[1]服从上匀均布,分X则 ( t是一个)机随程。 对过每固定的t，一 X( t)? cVso?t随机是变量 V乘常以数 ocs?t，也是随机变量,对故0,[1上随]机变取量一vi ,值就得到相 应一个样本函数的ix t( ) ?v cos?it.

3 在例量测运目标的动距时存在离随误差机,若以 (?)表 t示在时t刻测的误差,量则 它是个一随变机量.当 标目 随时间t按一规定运动律时, 量误差?测(t)随时间也t变化,而换 句话,说 (?)t是赖依时间t的一于族机随量,变 亦即?({t) t?0}是,随机一过. 程它且们状的空态是 间(?-, +? .)

9

例

4设：城某的120市救中急电话心迟台早会接到用的户呼叫 以。X t()表示 时间隔间 ? 0, ?t内到接呼的次叫数， 它是个随机变量一，对且于不同的t? 0，X ( t是不)同的 机变随，量于 ? 是 (Xt ), t? 0 是一?机随过程且它的， 态状间空是x (

)t4

?0

,,12, ? ?.

x 2t(

)x1 t(

)3

21

1'tt

t12

'

2t

t

3'

t

3' t

4

4

tt

例

5考虑抛：掷颗一子的骰试：验(1

) X设n是 n次第(n ? 1抛掷)点数，对的于 n ?,12 ,?不的同， 值Xn是 随机变，量服从相的同布分P (，X n ? i ?)

16

, i

? 1 ,2,3 ,,45 6

因而,? n , X ?n1? 构成随一过程机，为伯努利过程称伯努利或机随序列 它的状,空间为 ?态,1,324,,,5?6

(2)

设Yn 是前 n次抛中出现掷的最大点, ?数Yn, n? ?也是1一 机过随，它的状程态间空 ?1, 是,3,2 4,, 56?下面 别给出它们分一的条样函数：

本xny

n

56 342

(11

)n

x6

54 3 2

1

(2n

yn

) 12 435 6 7

8

1 23 4 5 67 8

n

随

机过程的分类

：随机过可根程据参集数T和一时刻任的态分状 类任时刻的状态分别为一散离型随机变和连续型随量机量两种变 续连随型过机:程例2 例， 离3散型机过随程 例1，例:,4例5 参集T数可为离散分集和连集两续种况情连 续参数机过随程(主 要究研象) 对散离数参随过程机随或序机：列例51 .2 ..3 .4连 参数连续型的续随机程，过例如2，3 例续参数离散连的随型过程，机如例，例1 4离参数离散散型随机的过，如例5程 散离数连续型的参机过随程，例

如子下：于对随相机正位波， 弦只在时间若T集 ???t, 2? t? n,?t, ? 上观?察X t (，就得) 随机到列? 序 1 , X 2 X,? X, n, ?? , X n ? (n?X t)是连型续机随量。

变

2 §机随程的统计描述

过

?分函布数 两描述 种?? 字数特

征

一() 随机过的程分布函数 族设随过机 程?X t() t ? T ,?, 每一对定固的 t ? ,TF ( X,xt )?P ? X t() ?x?，x ? ，称为随机R过 程 ?X( t , t) ? ?T一的维布分数函 F?X( x , ),t t? T ?称 为维分布函一数族

般一，地对任n(意n ?2, 3,?个不同的时)刻t， 1,t2 ,?tn T ?维n随机变量? X( 1t ,) X (2t )?, X (tn) ?分的布函：x数i? R , i 1,? 2?, Fn ( xX 1 x2 ,?, xnt1 ；, t2,?t n) P ?? Xt1( ?) x , 1 X(2 t ? x)2 ? X ,t(n) ? x n?， 为称机变量?随 (tX ) , t?T ?的 n维分函布数

?

XF (x 1 ,2x,? x n t;1, t ,?2tn

)

i t? T?称 为 X?(t ) ,t? ?Tn维分布的函族

数一般

，地?F X(x1 ,x2 , x?n t1;, t ,2?tn ),n ? , 12, t?i? T ? 称 随机为过 ? X程(t , t) T? ?有限维的布函分族数 n充分大时，它当完确定全了随过机程统的计性特

二( )机过随的数字程特

给定征随机过 ? X程 t( ) t ,? T , ?均值数 函?? ? ? ? ? ? ?X ( t) ?[ X (t E)]2 均方值

函数? ?? ? ?? ?X(t ) ? [ E X2(t ]) 2 方函差数? ?? ? ? ??? X( t)? D (X )t ? E [ ? (Xt) ?? X (t )]2 ?2 标准差函 数? ?? ??? ? X( t ? ) ? (t )X

又

设意t1 任 ,2t? T ( )相关函自 ?数? ? ? ?RXX( 1t, t2 )? [EX t1() X (t 2]) ()自协方差数函 ?? ? ? ? CX (tX 1 t, )2 Co?[vX (1t ,) (X2 t) ? ] ?[E X(t 1 ) ? ? (Xt )][ 1X(t2 ) ?? X ( t2) ?

各]字数征之特的关系间下如：

2?X ?t ? ? RX ?t , ?

t

C X? 1t ,t 2 ? ?RX? 1t , t 2 ? ? X ??t 1 ??X ?2t? 2

2 ? X? t ??C X ? t,t ?? RX ? ,tt ? ? ?X t? ?

定义

：机随程 过 X? t () t ?, T ?，如对果每t一? T, E[ X 2t (])都在存， 称X则( t )是二阶过矩程 二阶矩，过的均值函数程相和函关总数存在是的。

定义

：

X? (t) ,t ? T ?是一 机随过，程若它每的一有限维个分布

是都正态分，布即对意任数n整? 及任意t1 ,1t2 ? t, n?T

,?

(tX )1 ,X(t2 ,) X?( n )t? 服从 维正态分n，布 称则? X t (,) ?tT ? 正是态过程正态过程的全

部计统性特全由它完均值的数 和函协方差自函(数自相或关数)所函定。确

(三

)二 随维过程的机布函数和数字特分

设征 (Xt) ,Y (t )依赖是于同一数t参? T随机的程，过 对不同于的t ? ,(T (Xt) ,Y ( t)是不同)二维的随机变， 称量 ?X t () Y,( t ) t T ??为 维随二机程

给过二定随维过程机? X(t ), (t )Y t T ??，'

t 1 ,t2, tn?; 1t', t1' , ?tm T是任意两中实组数， ''),? Ytm ) (?的 则n? 维随机m量 ?变 (Xt1 ), Xt( ),?2X (t )n ; (t1Y' ,) Y t(2 ' 分'函布数F： ( 1 x x2 ,?,

xn ; t1, t2 ?,tn ; 1 ,y y 2, ?ym ;1' , tt 2? , tm )

称为维随二过程的n ?机 m维（联合）布函分

给定数维随二机过 程 ?X t( , Y (t ))t ?T ?

'任意对正的整数,nm 任，的意组t数 1 t2,,? tn ? T ;1' t ,1' t?, t mT?' 'n维 随变机 量 ?X t1 (, )X(t )2? X (,nt ) 与?m随机变量 ?维Y t(1' ,) Y (t2) ?, Yt( )?m

相独立互，称机过随程X(t ) Y和( t 是)相互立独

的

关于

数字特，除征了X( t) , Yt( 各)的均自值数和函相关自数，函还 有下如两个字特数:征

RXY(t 1 t, ) ?2E X[( t )1 Yt( 2) ]1 t,t2 ?T R Y X(t1, t 2 ) ?E[Y (t1 ) (t2 X) ]t1 ,t2 ?

T

互关函相数

C

X Y(t1 ,2t) ? E? [X (1 ) t? ? X(1 t])[Y (2 )t? Y? t2 (])? ? XY Rt1 ,( 2 ) t? ? X(t 1 ) Y?(t 2) CX (t1Y, t 2) ?RYX t( , t1 )2? ?Y t1() ?X( t )2 1 , t2t ?T t 1, 2 ? Tt

互协方函数差

如

果二维随过机程 ? (tX), Y t ()? 对 意任t1 ,的 t2? T , 有C恒 XY(t1 ,t2 ) ? , 0X称( t和)Y( t)是 不关相。

独立、不的相的关系关

例

：1设, BA两是个随变量，试求随机机过: X (t程) ?At ? 3B, t? T ? ? ??, ??? 的值均数函和自相函关数。 如A果, B互独相，立且A~ ?N ,0?1, B~ U 0?,2 ?, 问X(t )的均函值和自数关相数函是怎样的？

解又：? X (t ) ? E X? ( ) t?? Et (A ) ? E3( B )

RX

(t 1 t2, ) ?E [ (tX1) Xt2()]

? t1 2tE ( 2 )A? 3 (t 1 ?t2) E AB( ) 9 ? E ( B 2 )t ,1t2 ? T

A 当? ? N0,1 ? ,B? U ?,02 ? 时 ，

( EA)? ,0 (E A2 ) ? 1 E ,(B ?) , E1( B2 )? 4 ? 3 X ?( ) ?t3

又因 为A B,独，立 故 ( ABE ) E ? A( ) (EB )?

0? RX(t , t1 ) 2?t 12 t ?1 21t ,t2 ? T

例：求2机相随正位波X (t弦 )? ac os (t? ?) ? ??? t? ??

,

?? (0在 ,?2)上均匀 布 ?分的值均函、方差函数数自和关相函。数

1 ?? 2 ?解：假由?的概设密率为度： f ? ? ? ??? ?0 0 ? ?? 2? 其

他2? 于是? X

( t) ? [EX (t ) ] E ?? aos ?ct ? ??? d ?? 0 ???? 0a os ?c? t ? ? ? ?2 ?1?

R

(Xt 1 t, )2 ?E[ X (t 1)X t2( ) ]?E a [2cos (?t1 ?? )oc s? (t2 ?? ]

?)a

2

?

2?

0

osc( ? t1? ? )cso?( 2 ?t? ) ? 1 d? 2?

2

? cas? (to ?2 1t )

22 a

＝＝ ＝co?s ?

2

? ? t ?t12

a2? t )( ?R X( ,t )t ?? t )(? R X(t ,t ) 2

? X2 2X

例

设3(tX=Acos)?tB+sni?, t?tT=(?? ,?+),其 中AB,是 相互独立 且,都从正服分布态N(0?2,的)随机变, ?是实常量数. 证明X试(t)是正态程, 并求它的均过值数和自相关函数. 解函设A,B是 相互独的正立态变,量所以 (A,)B二是正态变 量维, 对意任一组数t实,t2,..1.tn,?,T (tiX)=Aocst?+isin?Bt, i=i1,2,..,. n都A是B,线性的组,合 正态而变量任何的线性组合

仍然 是态正变, 量因此(tX),X(12)t,..,.(Xt)是n维正n态变量 ,因为, ni 是任意t, 的因此X(t)正是态程.过

20

另因E(

A=)(EB=E(A))B0,=E (A)2E=(2B=?)2, 此由可得X算(t)的值函数均自和协差函方(数自关相函)分别 为数

:?

X()t=EA(csot?+sBin?)=0t,

CX(t1,t)=RX2t1,(t2 )=E[(Acso?t+B1in?st1)A(co?t2s+Bsint?)]2= ?2cos(?1costt?+s2n?i1tis?n2t) =?2ocs?t(?2t1)

.

12

例

：随机4过程W(t )三是随机过程X个 ( )t,Y (t ), Z ( )t和之，已知? X ( t,)?Y ( t,) ?Z (t) ,R X(t1 ,t2 ,)RY t(1, t2 ,) RZ t(1 , 2 )t ,RXY (1 ,t 2t ),RYZ t( , 12 t) RZ, (tX 1 ,t2 ，求?)W t (), RW( t1 , 2 ).t

：解 W( t)? X(t ?) (Yt) ? Z (t )

?W(t ) ? ?X t ) ? ?( (Yt ) ??Z (t )

WR (1t, 2t) ?RX(t1 t, ) 2? RY (t1, t2 ) ? RZ (1t, t 2 )

RX?Y(t1 ,t 2 )? RY Xt1 , (t2 ?) XZ (R1 t,t2 ) ?

ZR X(1 t t, ) 2 ?RZY( 1 t ,2t ?)R YZ( t1, t2) 特的别，? X若 (t ) ?? (Y )t ??Z ( t) ? ，0 (Xt), (Yt ), Zt ()两不两相 关即RXY(t 1 , t )2? ? (tX1) Y?( 2t )? 0 ,XR (Zt 1 t, ) 2? 0 R,Y (t1 Z ,t )2 0?

R则W t1(, 2t )? X Rt( ,1 t2 )? YR(t1 ,t )2 R?Z(t1 , 2t )

? 业：作 ?3， ，8

6§3

泊过松程及维纳过

给定程阶二过程 矩? Xt ), t(? 0? 对s,， ，t若 ?0s ? t 称随 机量X 变( t )?X ( s)为机随过程在间区? s, t ? 上 增的；量对任意 定选的整数n正任和意定的选0? t 0 ?1 t?? ? t n,n 个增X 量(1t) ? (Xt0 ,)X (t2 )? X t1 ),?(X (tn) ? X (tn? 1)相 互立独 称 ?， X(t ,) t? ?0 独为立的增量过；程 观地直说它，有“在具不重叠互区间的，状态的增上量相是互独” 的立一特征这；

若任对的意实 数 h和 ?0 ? h s? t ?h,X (t ?) h X ?( s h) 与 X? (t) ? X( s) 有具同相的布分，称量增具有稳平； 这性时增量X (t， ?) X( s)分布的数函X与 (t s )? ? (0X的)分函数相布，同 即依只于赖时间t ?差 (s 0 ? ?st ) , 不而赖于依ts和身本， 增当量有平稳具时，性相称的应立独量增程过是齐次；

的独立量过增程性质：的若

? Xt() ,t ? ? 是0立独增过程，且X量(0) ?0, 则

：1 . (tX) 的限维有布分数族可函以由增X量( t) ?X s () 0(? s? t 的) 分布所确定；

事实，对任意上的及任意的tn 1,t 2,? t ，n妨不t设1 ?t ? ?2 ? tn,则：

?X (1t), X (2t) ?,X ( nt)

n ?? ?? X?( 1t )? X (), 0 ?X(t )2? (tX 1 ?)? X (1t )? X ( 0)),..,. ? ?X ( t )i ?X ( i ?1 )t? ? i ?1 ? ? ? X即 (1 )t,X ( 2 ),?t X (t )n? 分的函布数由：可

?

X(t1 ? X)( 0,) X (2 t)? X(t1 ) ,,?X tn() ? X t(?1n )的分布?数确函定

2 .设X Dt ()知已，C 则X( s ,t )? DX ? min (s, t ) ?

证 明：Y 记( t )? X( t ) ?? X(t )，当X 则( t)具独立有增

量性，时

Y( t) 也具有立增量独性，且Y 0) (? 0, [YE( t ) ? ], DY (t )0? DX (t

)s设 t ,?则 C X s( , )t ?[Y (E )sY( t )]

?E? [ Y(s) ? Y(0)][ (tY) ? Y( s) ] ?[ ( Ys) ? (Y)0] 2

2?? E ? Y[( )s ? (0Y)[Y ]t() ?Y( )s]? ? E? Y ?( )?s

? E ?Y ? s() ? Y(0 )?E ?Y(t ) ? (Y ) s ??E Y [ 2( s ) ? D]X( s)

同当理 ?ts时 ,证得可CX s(, t ) ?D (Xt

)(一) 泊松过程

泊

松程过的义： 若定数计程 ? N过( t ),t ? 0? 满足 下列三条件个：1 .是独立增量它过 2程 对.任意t的 ?t ?00, 量增N( t) ?N (0t ) ? ??? ? t ? t 0? ? 3 N. () ?0 0则 称? N (t ) ,t 0??是一强度 为?泊的松程过

强度为

?泊松的程的过数字特：征1.

?N ? t ?? E? ? Nt? ?? ?? ? t.2D ? N ? ? t ?D ? ? N ?t ? ?? ?

3t.CN ? ,s t ?? ND m?ni? s, t?? ? ? min ? s, t ?

s

,t ? 0

s t, ? 0

4 R. ? Ns t,? ? N C? s, t ?? ?N ? s ?? ?N ? t? ? mn i? ,st ?? ?2s

t

(二

)维过纳

定程义给：二阶定矩过 程?W(t ), t ? 0 ?如，果它足：满1 . 具有独增量 2.立 对任意t ? s?0 增，量W? ?t ? W? s ? ~ ? 0, ?N 2?t ? ?s? 且 ??0 3.W 0( ? 0 )称过程为维纳过此程

维纳过程

性质：的

1

.维纳程过是次的独齐增量过立程

2 维纳过程.是正过态程因此其分，布完由全它的均 函值和数自协差方函(即自相数关数)函所定

3.确 维纳过的数程特征:字

W? (t) E? W ? ?t ? ??0 DW (t

?)D W ? t ? ??? ? 2

t2 ,? ?C W? s, t ? ? W ? s, t ?R? DW ? imn s ? timn ?s, t ? s t, ?0? ? ? ?

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