阿里克谢马克西莫维奇彼什科夫
范文一：量子卫星发射的意义
量子卫星发射的意义
量子通信作为后摩尔时代的新技术～有望在10至15年之成为继电子和光电子之的新一代通信技术。下面是有关于量子卫星发射的意义～一起来看看。
世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”成功发射的意义 2016年8月16日北京时间凌晨1点40分～在酒泉卫星发射中心我国成功发射了全球首颗量子科学实验卫星“墨子号”。这两天该事件被铺天盖地扎堆报道～在各大网站、论坛、自媒体平台等引起了热烈的讨论(争论)。懂得科学原理的人毕竟不多～一些脑洞大开的解读诸如开启“任意门”、“瞬间移动”等愈发让人觉得这事很玄乎。当然～更多的一种反应是“你们说的每一个字我都认识～但是你们说的东西我一点都听不懂”。相信不少外行看到“量子卫星”、“量子通信”这样的词汇就不明觉厉、肃然起敬。事实上～追本溯源起来量子通信也的确算得上“高冷”。
量子通信是利用量子纠缠效应进行信息传递的一种新型的通信方式～是量子论和信息论相结合的新的研究领域。现有的非对称加密技术/公钥加密技术(RSA是常用的一种)并非不可破解～只是现有的计算机计算能力有限。随着计算机的性能不断提高～特别是未来量子计算机的研制～将有可能导致现有公钥加密被轻易解密。而量子通信可以极大
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地提高通信的安全性～甚至使传输的信息无法破解。
虽然我国信息技术落后于美国等国家～但是我们实现了在量子通信领域的突破～走在量子通信研究与应用领域的世界前列。世界第一条量子通信保密干线京沪量子通信干线于2016 年启动～2016 年初正式投入建设～计划于2016 年底建成。“墨子号”量子卫星是中国科学院空间科学先导专项首批科学实验卫星之一～其主要科学目标一是借助卫星平台～进行星地高速量子密钥分发实验～并在此基础上进行广域量子密钥网络实验～以期在空间量子通信实用化方面取得重大突破;二是在空间尺度进行量子纠缠分发和量子隐形传态实验～开展空间尺度量子力学完备性检验的实验研究。为达成上述目标～未来两年内将开展以下四项实验:星地高速量子密钥分发的实验;广域量子通信网络实验任务;星地双向纠缠分发的实验;空间尺度量子隐形传态的实验～目标建立星地量子信道。
对于量子信息研究来说～地面上的量子通信应用进展迅速～但自由空间量子通信还很落后～所以卫星在太空中实现量子通信实验是一个巨大的进步。我国的量子卫星将为全球量子通信系统提供一个试验台。借助“墨子号”卫星平台～如果能够实现星地间量子密钥分发～是对量子通信的发展的重要一步。可以说～我们有了新的实验技术和实验能力。毕竟量子力学在很多不同的环境和体系下被检验过多次～如果
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这个相关基础问题的实验验证能首次走向太空并取得进展～在科学和技术的角度上～也是有重要意义的。
当然如果能进一步实现星地双向量子纠缠分发、甚至空间尺度量子隐形传态～那此次量子卫星的发射就是为未来量子互联网的建设打下坚实的基础。虽然目前看起来会比较困难～但科学的魅力就在于无限的可能性。退一万步讲～就算实验不能获得成功～又有什么关系呢?探索自然规律、满足人类好奇心本来就是科学精神的基本秉性之一。
中科大量子信息实验室的郭光灿院士曾举例说明量子纠缠～如在美国的女儿生下孩子那一瞬间～远在中国的母亲就变成了姥姥～即便她自己还不知道～因为母亲与女儿之间是纠缠态。
中国发射的量子科学实验卫星有哪些重要意义? 人类历史上第一颗量子卫星。当然有重要的 象征意义。 我的印象中奥地利的量子通信卫星本来应该先上马的～但是似乎欧洲各国在经费的问题谈崩了。于是我们的这颗量子通信卫星就成了第一。这就是大国的优势吧。 美帝为什么不上?美帝的重心一直在量子计算上。
量子通信和量子计算是量子力学应用的两大方向。我国在量子通信领域的领先也有重要的 实际意义。 先是一颗卫星～之后会越来越多～由点成网。全球量子通信网形成之后～我们差不多就可以在地面上任意两个地方进行量子通信
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了。 最近几年量子通信发展很快～似乎是突破了瓶颈。 常人印象中量子通信还很远～但是实际上量子通信从原理到技术基本上都没有什么障碍。我本科的时候都玩过量子通信的实验。传输了一个彩色图片～以我那个渣技术失真率都只有百分之二。 最近几年的重要进展就是量子通信距离不断刷新～量子通信终于可以走出实验室了。两年前的记录大概就是好几百公里了。(刷到这个记录就刷了好几篇Nature...)
达到这个记录后～中科大的潘建伟教授立刻就开始筹备量子通信卫星的计划～这个记录已经够卫星上天玩了。 60周年国庆节上的通信就用上了量子通信。 城域量子通信网也首先在合肥建成。 所以～从原理、技术、经费上～量子通信的障碍都差不多扫清了。就等着【量子星座】挂上星空。
说一点不那么乐观的。
1)量子通信最重要的就是保密性了.. 所以～根据一位在潘组里的同学所述～目前不看好量子通信走入大众生活。政府完全没有普及量子通信的动力～都保密了还怎么监听啊。 2)量子通信和量子计算本自同更生～但是重要性真是差远了。 很简单的地点～听到量子通信卫星～大家大概是眼前一亮。要是2016年商用量子计算机来了～我会觉得天堂落入人间了。 我在量子计算机有什么实际的应用意义? - 知乎用户的回答这里写到的: 量子计算机会成为未来科技的引擎～是打开无限可能性的钥匙。
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商用级量子计算机具有难以估量的学术价值和工业价值。 对人类文明来说～它是真正的一大步。我想题主更在意是其工业价值。 最直接的应用当然是～各种量子算法终于可以运行～可以 商用化了。 目前为了运行某些量子算法～我们只能在实验室里造出特定的量子计算结构。而且这种结构一般都费时费力费钱。 一台计算机上可以运行各种程序在大多数码农眼里应该是显然的。但要造出一台可以实现各种量子算法的计算机非常困难。 假如现在我们可以造出商用级量子计算机～我们就可以在它上面运行各种量子算法。 1.这时～从Google这类行业顶级公司开始～几乎所有经典算法都会被其对应的量子算法替代。量子算法在处理许多任务时都会比经典算法有极大提升。 量子计算机的确是只在处理某些运算时有优势～但是这些运算实在是太基本了～以至于无处不在。 比如说几乎无处不在的希尔伯特空间～只要遇到它～基本上都有对应的量子算法。 所以实际上～量子计算机可以运用在许多类型的任务中。所有大公司都不会也不能错过这种技术。 2.一些经典算法不可能完成的任务～量子算法却可以轻松搞定。 比如说～用量子算法的Google可以 在“不知道”你的问题的情况下～就给出搜索结果。你的搜索记录将完全保密～连Google都不知道。这是由于量子不可克隆原理。 还有很多违反直觉的任务可以完成～因为量子力学本来就是违反人类直觉的。 3.计算
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能力的巨大提升+不可能任务的可能化=...? 这种时候就不要吝啬自己的想象力了。 想想机器学习在二十年前的落寞和现在的春风得意。二十年前机器学习在工业界很难找到使用价值～因为那时的计算能力实在太烂了。学习算法在train set测试一下都要几个月的话～谁还有时间调参数啊。 这二十年间～计算机结构不变的情况下～机器学习就已经强大了这么多倍。 想一想～假如我们获得比现在强大的多的计算能力～一个强大到我们无法想象的带量子任务处理的强AI是不是指日可待了? 【Google去年5月和NASA合建了Quantum AI Lab. 量子人工智能～听名字就很帅啊!】 当家家户户都有一台量子计算机～互联网又会进化成什么形态? 一句话～商业级量子计算机会成为未来科技的引擎。 就像蒸汽机是工业文明的象征一样～量子计算机带来的计算能力的突破将会有类似的意义～它是人类迈过那7nm鸿沟的桥梁。
我甚至觉得～在我们获得量子计算的强大能力后～强人工智能就将实现。 量子计算机+量子算法威力无穷～不过～又要40年。喂喂～上个世纪好像也是这么说的! 3)量子力学差不多100岁左右了。 人类还只能做到这种程度而已～真是很遗憾。 我们还完全没有消化上个世纪初基础科学大爆发的成果。所有的原理都摆出来了～我们还是花了100年的时间～终于才有了第一颗量子通信卫星。 量子力学的重要应用——量子通信和量子计算的理论基础早已稳固～但是
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这两者到现在离商业化都非常遥远。人类第一颗量子通信卫星两年后才升天～最好的量子计算机还只能解最简单的线性方程组。 从历史上来讲～科学革命后技术革命就会跟着爆发。 【什么是科学革命?请点击:为什么19世纪末世界诞生了如此多杰出的～其研究成果具有划时代意义的物理学家? - 知乎用户的回答】 几乎每个人都感觉到最近数十年来技术革命对这个世界的影响。但其实～我们还只消化了量子技术的很小的一部分。现在电子计算机芯片里的量子效用已经无处不在了～但这也只是开始而已。 商用量子计算机才是真正的丰碑。变革一切的力量。 当脑容量300的时候～我们只是猴子～当脑容量1500的时候～我们创造了文明。 但计算机还是经典计算机的时候～它就只能推荐一下商品。当它的计算能力时是现在的一万倍～一亿倍～甚至????倍时～它会干什么? 我的意思是～它 想干什么? 量子革命和计算革命都才刚开始呢。 我们离第二次技术革命的终点还很远很远很远... (第一次技术革命是工业革命。)
如何用通俗语言解释什么是量子通信?
首先～量子通信～有广义和狭义～张强说的是广义的定义～他是做这个的～这个定义没有问题。 我估计题主问的是狭义的～也就是我们所说的量子保密通信～或者量子密钥分配～我基于此理解作答。 狭义的量子通信希望解决的是通信的安全性问题。传统上说～信息需要加密才能安全～
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加密的方式有很多～唯一被证明了是“绝对安全”的密码体系～是所谓的一次一密。所谓的一次一密～就是要求用于加密的密钥长度与被加密的明文长度相同。所以若要达到这种加密标准～那么就要有很多很多的密钥～而且密钥要安全。 所以明确一下～量子保密通信干的事情并不是加密～而是把密钥分配给需要保密通信的双方～密文的发送仍然可以通过标准的通信手段来完成。明确了量子保密通信的任务之后～这个过程要保证的就是首先要能够在A B两人之间实现密钥的分配～其次要保证分配的过程中不会使未授权的第三方得到密钥的内容。 上述任务的完成就是借助了量子力学的基本特性～简单的说可以说基于量子态不可克隆原理和海森堡测不准原理。 不可克隆说的是不存在量子态的复印机～能够实现量子态的完美复制(不完美是可以的)。 测不准就是说你对量子态进行的测量很有可能改变它的状态。比如原来是1～可能测完就变成了。 有了以上两个定理作为利器～我们就可以进行量子密钥分配了。 假设A发给B一个态～对于A是已知的～对于B是未知的。E想来看看A发的是什么(E是无授权的第三方)～那么直接的办法是我先把你的截下来～测量一下我就知道了～但是实际上是不行的。第一～E截取了也无法完美复制～于是只能做单次测量～(若能完美复制～E就能复制无穷多个去测量去～总能测清楚)。那E来做单次测量～单次测量量子态之后～A发送的原始态就变化
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了～B收到之后再问问A你发的是什么啊?B一测量～太变化了～那就有人窃听了～我们分享的密钥不安全了～这就是窃听的发现。 保证安全性过程基本就是这样～实际上要复杂很多～包括安全漏洞的来源和防护～包括大家在做的量子攻防～就是解决实际过程的安全性的。 简单的说～一、量子密钥分配不做通信～只分配密钥;二、量子密钥分配不主动防护窃听～而是被动探测窃听;三、量子密钥分配需要常规通信～无法超光速(这点大家容易误解);四、窃听的探测基于量子力学的基本原理(不可克隆和测不准)～所以叫做量子密钥分配。 现在～量子密钥分配的研究很多针对实用化在做～机理上的深度研究比例不高～大家都在做应用。
后原理:神奇的力量——量子纠缠
量子纠缠现象是量子科学领域最古怪但也是最神奇的性质之一～因为它能够产生“幽灵般的超距离互动”。毫不夸张地讲～也许未来人类能够利用量子纠缠这一特殊性质真正实现“瞬间移动”。那这种性质究竟有怎样的奇妙之处呢? 想要理解量子纠缠有多么的诡异～我们通过电子的自旋这一典型的例子来解释。电子的自旋与实际物体的旋转有着巨大的不同～其旋转的状态总是不确定的～直到观测的某个瞬间才能够确定。而量子纠缠理论认为～假设有两个相互纠缠的电子对～即使它们一个在地球一个在月球～二者之间没有任何传输线相连。如果你在某个时刻观测到其中一个的自
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旋状态～那么另一个电子在同一时刻的自旋状态也会相应的发生变化。也就是说～如果你对其中一个粒子进行观测～那么你不止是影响了它～你的观测也同时影响了它所纠缠的伙伴～而且这与两个粒子间的距离无关。 二者之间存在的这种奇妙的互动就是量子纠缠～也曾被爱因斯坦称作“幽灵般的超距离互动”。所以～在量子纠缠的帮助下～我们可以将另一个粒子的未知量子态传送到遥远地点～而不用传送这个粒子本身。利用这种诡异的互动～人类也许可以在未来实现科幻电影中的“瞬间移动”。
量子科学的世界充满了经典物理学无法解释的神奇现象～但是科学家们正在通过不懈的努力一一验证这些听起来荒谬的理论。 作为量子力学的重要应用～近年来量子通信的飞速发展大大增加了人们对于量子科学的信心;作为量子通信领域的技术强国～中国正在用实力证明～人类渴望的绝对安全通信的梦想即将成为现实。
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范文二：“墨子”量子卫星意义解析
文章作者：lili | 2016-08-16
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中国16日凌晨在酒泉卫星发射中心，用长征二号丁运载火箭发射了世界首颗量子科学实验卫星，它将在太空向地面发送不可破解的密码以建立最安全保密的量子通信，并将对微观量子世界最离奇诡异的现象开展科学实验研究。
这颗卫星被起名为“墨子”，以纪念那位生活于2000多年前，崇尚科学的中国古代思想家。他是世界上第一位开展光学实验的科学家。
量子卫星将在两年的设计寿命中完成四大任务：星地高速量子密钥分发实验；广域量子通信网络实验；卫星向相距1200公里的地面站分发纠缠的光子，在更宏大的尺度上测试被爱因斯坦称为“诡异的”量子纠缠现象；还计划在“世界屋脊”西藏阿里和卫星之间实现量子隐形传态实验。
600多公斤重的量子卫星带有四个有效载荷：量子密钥通信机、量子纠缠源、量子纠缠发射机、量子实验控制与处理机，它将在距离地面500公里高的太阳同步轨道，大约90分钟绕地球一圈。
专家说，如果卫星成功运行，中国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，并结合地面已有的光纤量子通信网络，初步构建一个广域量子通信体系。这颗卫星将改变加密学，为中国打造坚不可摧的通信系统铺平道路，也意味着中国将成为全球量子通信技术的领头羊。
“量子科学实验卫星的发射，表明中国正从经典信息技术的跟随者，转变成未来信息技术的并跑者乃至领跑者。”量子卫星首席科学家、中国科学院院士潘建伟说。
这种安全的量子通信在国防、军事、金融等领域应用前景广阔。专家预测，量子通信技术可能在20至30年后对人类社会发展产生难以估量的影响。
诺贝尔物理学奖得主、美国科学院院士安东尼·勒盖特说：“在太空上远距离对量子力学的预测进行检验，我认为这将是非常有趣的一项实验。”“如果量子科学实验卫星上的实验能够获得成功，那么它肯定为最终的量子互联网打下坚实的基础。”
幽灵般的纠缠
除了在建立量子通信网络方面的巨大应用价值，这颗世界上首个专门用于量子研究的空间探测器还将为理解量子物理的一个最深远和最令人费解的现象——量子纠缠迈出重要一步，将为物理学家提供一个测试量子理论基础以及探索如何融合量子理论与爱因斯坦广义相对论的全新平台。
量子物理世界一个奇异现象是纠缠效应，量子纠缠可以把两个或者更多粒子的命运关联在一起。在这一奇特关联中的粒子“心心相印”，无论它们是在同一间实验室还是相隔整个星系，当测量其中一个状态时，另一个状态也会即刻发生相应改变。形象点比喻，这就如同两张相距甚远的纸张，人们在其中一张纸上书写的时候，另一张纸上会立刻显现所书写的信息。
爱因斯坦将其称为“遥远地点之间诡异互动。”但是为什么会有这种现象？这依然是一个深奥的谜。
“对量子纠缠而言，在宏观的大尺度距离上，会不会有什么变化，会不会受到引力的干扰，实验上还是未知的。在卫星的帮助下，我们可以对物理学的一些基本问题做一些基本探索和检验，可能有新的物理发现。”潘建伟说。
另外，中国科学家还计划在“世界屋脊”西藏阿里和卫星之间做一个有趣实验——量子隐形传态。
此前，科学家开展的量子隐形传态实验都是在地面进行的，“这次我们要测试能不能把地面的微观量子态传到太空。”潘建伟说。
虽然这与《星际迷航》中的“超时空传输”很类似，但目前科学家开展的量子隐形传态实验中，被传输的是信息而并非实物，而且仅限于一两个粒子的信息。距离隔空传输宏观物体的信息，哪怕是一粒沙子，都还很遥远。
即使永远无法进行真正的宏观物质的量子隐形传送，这并不意味着这种技术的发展不重要。量子隐形传态在量子计算机和量子通信中发挥着巨大作用。
量子“矛”“盾”
尽管神秘、令人琢磨不透的量子力学还迷雾重重，科学家们却已在利用量子世界的奇异特性开发威力强大的量子计算机和最为安全的量子通信。
量子计算利用量子态的叠加性质，可以实现计算能力的飞跃。太湖之光需要用100年计算的难题，量子计算机或许只需0.01秒。
然而，一些人对于量子计算机的恐惧多于期待。有专家指出，对于现有信息安全系统而言，一旦量子计算机横空出世，它将成为一支“利剑长矛”，可以攻破现在所有的密码。
所幸的是，量子物理同时提供了解决这一问题的办法。
如果量子计算机是“利剑长矛”，那量子密钥就是抵御它的“坚固盾牌”，它提供了一种不可窃听、不可破译的新一代密码技术。
潘建伟说，量子密钥分发就是在A和B之间共同生成一串只有他们两边知道的随机数，然后用这个随机数来加密。量子密钥一旦被截获或者被测量，其自身状态就会立刻发生改变，从而一定会被发送方察觉并规避。由于量子密钥分发是最先实用化的量子信息技术，一般所说的量子通信即是指的量子密钥分发。
他说，量子通信理论上在光纤中最远能做到400公里，再远就做不下去了。而量子信号的携带者光子在外层空间传播时几乎没有损耗，从天上向地面发送信号，大气厚度只相当于水平8至10公里，80%的光可以穿透大气，人们就可以在卫星的帮助下实现全球化的量子通信。
潘建伟介绍，量子卫星的首要任务就是在北京和乌鲁木齐之间分发量子密钥，还计划向奥地利地面站发送量子密钥。另外，意大利、德国、加拿大也有意与中国开展合作。
天地互动
量子卫星升空后，卫星与地面站之间的互动才是重头戏。
中国科学家利用已有的天文观测台站，在云南丽江、新疆乌鲁木齐、青海德令哈、河北兴隆建设了量子通信地面站。而量子隐形传态实验需要从地面向卫星发射光子，为了避免大气湍流的影响，空间量子隐形传态实验站建在了海拔5100米的西藏阿里。
潘建伟说：“我们的实验面积遍布60万平方公里，这形成了人类有史以来最大的‘天地一体化量子实验室’。”
在量子密钥分发和量子纠缠分发实验中，卫星产生光子并发射光子，与之对接的地面系统负责接收光子。如果天地间的光子“接发球”顺利完成，意味着以往局限于地球上的量子通信实验场，将移师太空，构建星地一体的广域量子通信体系。
然而，要做到天地互动并不容易。
量子卫星总设计师朱振才说：“量子卫星的一个显著特点是要对德令哈与丽江，或德令哈与乌鲁木齐两个光学地面站同时实现对准，星上的光轴与地面望远镜光轴要严格对准，用一个形象的比喻就是针尖对麦芒。”
科学家说，这要求卫星的对准精度高于普通卫星的10倍，实验才能顺利展开。真正的问题在于，这颗卫星将在人们的头顶以约8公里/秒的速度飞驰，地面观测站每次只能持续跟踪几分钟。
量子卫星工程常务副总师兼卫星总指挥王建宇说：“卫星的对准精度就好比我们在一万米高空的飞机上，向地面扔一个一个硬币，要准确投入储蓄罐狭长的投币口内，而储蓄罐还在慢慢旋转中；或者说从上海发射一束光，要瞄准北京任何一扇窗户，指哪打哪。而卫星的探测灵敏度也是国际上最高的，相当于在月球划一根火柴，在地球上都能看到。”
潘建伟说，国外专家也测算过，以这样的技术，可以从地面上看到木星的卫星上汽车的牌照。
王建宇说：“我们要把科学家的梦想变为现实。研制量子卫星载荷，是我几十年科研生涯从没遇到过的挑战。这是国际上第一颗量子卫星，我们原先的工作或多或少都能找到国际上的项目参考，但是这次的研发完全没有可以借鉴的，全部靠我们自己解决。”
他说，为了让穿越大气层后光子的“针尖”仍能对上接收站的“麦芒”，为了保证量子卫星与地面接收站间，超高精度地瞄准、捕获和跟踪信息，科研人员从2012年起就做了各种实验，包括用热气球来模拟空间探测器的振动、随机移动和高度变化，用行驶的车辆上装载的转盘来模拟卫星的飞驰而过。
科学家们在视野辽阔的青海湖畔苦战了三年。青海湖的中央有一座海心山，恰好用来向对岸发送密钥。他们住宿的帐篷就搭在湖边的一个尼姑庵旁。因为量子通信实验需要避开日光的干扰，所有这些实验都要晚上来做。每到入夜，青海湖畔的他们就忙碌起来。做实验时得注意灯光不能太亮，否则大如团团鹅绒的野生飞蛾，都会飞扑过来。最危险的是热气球实验，高原湖边气流变化莫测，有一次热气球刚放飞，就遇上一阵狂风，瞬间将气球吹到离地几百米的高空，又突然险些掉到地面，把所有人都吓出一身冷汗。
潘建伟说，目前的量子卫星空间覆盖能力和应用还有限。其团队还计划开展空间站“量子调控与光传输研究”，研发星间量子通信技术、全天时量子通信技术等，同时进行量子密钥组网应用。“如果国家支持发射多颗量子通信卫星，那么有希望到2030年左右，建成全球化的广域量子通信网络。”
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范文三：量子金融的意义
2003,23A(1):115-128
数学物理学报
量子金融的意义
陈泽乾
(中国科学院武汉物理与数学研究所 武汉430071)
摘要:金融市场中的风险资产的演化过程遵从某种统计规律。这种统计规律通常是采用经典概率理论来加以阐述的。最近,作者提出了从量子力学的角度来探讨金融问题的设想[1],[2],[3]。其中,作者不仅从量子力学的角度用Maxwell-Boltzmann统计重新推导了著名的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式,而且还用量子力学中的Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)得到了一个新的期权定价公式。这表明在理论上存在着一套关于金融市场的和谐的“量子理论”——量子金融。本文从对冲的角度来阐述这种潜在理论的金融意义和可能的实际内涵。作者给出了对冲定价的量子方案,详细讨论了单期金融市场的量子对冲问题。最后,作者解释了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子规律,而不是经典统计规律。
关键词:自伴算子;量子态;金融市场;量子交易策略;对冲;资产定价。
MR(2000)主题分类:91B28;46L53 中图分类号:G10;G12 文献标识码:A
文章编号:1003-3998(2003)01-115-14
1 量子的数学涵义
本文是作者关于“量子金融”的工作[1,2,3]的继续,我们只考虑多期金融市场,不考虑
[4]连续金融情形,因此我们只需考虑有限量子系统情形。量子是一个物理概念。在数学上,量
子是用复Hilbert空间来描述的[5]。有限量子系统可以用有限维复Hilbert空间来描述,因此,不失一般性,在本文中我们只需考虑n维复线性空间Cn。按照Dirac的记号[4],为描述那些与量子系统相联系的向量,我们用右矢这个特殊的名称,并用一个特殊的符号|〉来表示一个一般的右矢。如果我们要用一个字母,例如x来指明它们中特定的一个,我们把这个字母
n插在中间,写成|x〉。这里,右矢|x〉表示C中的向量,有时也直接记作x。
对每个右矢|,它确定H上的一个有界线x〉,由Riesz表示定理,相应地有一个左矢〈x|
性泛函:对任意y∈Cn有〈x‖y〉=〈x,y〉,这里〈x,y〉表示Cn中x和y的自然内积。注意,这里的内积关于第一个变元为共轭线性的,第二个为线性的,这与多数数学书上的约定是不一致的。这种约定以及下面的一些约定是Dirac[4]引进的,在量子物理中使用较方便。我们将沿袭他的用法。记‖x‖=〈x,x〉为|x〉的范数。范数为1的右矢称为单位向量。我们用
nn{|0〉,|1〉,…,|n-1〉}表示C中的自然基,其中|j-1〉表示C中在第j行为1而在其他行
为0的列向量。|0〉,|1〉,…,|n-1〉都是单位向量。
nnn用B(C)表示C上的全体算子。C上的算子在自然基{|0〉,|1〉,…,|n-1〉}下与n×n081/2
116数学物理学报 Vol.23A阶矩阵一一对应。我们以后对它们不加区分。给定Cn中的一个算子a,必有唯一算子a*满足:对Cn中所有的|x〉,|y〉有
〈x,ay〉=〈ax,y〉.
**我们称a为a的共轭算子。如果a=a,我们称a为自伴算子或Hermite算子。通常,相应
*于自伴算子a的矩阵仍记为a,并称它为自伴矩阵或Hermite矩阵,即a与它的共轭转置a
nn相等。C上的自伴算子(矩阵)全体记作O(C)。自伴算子或Hermite算子(矩阵)在量子物理中又称为可观测量,它们是经典随机变量的量子对应物,在数学中称为非交换随机变量,是量子概率的研究对象。有两类很重要的自伴算子(矩阵),它们分别是正算子和投影算子。
n算子a称为正算子,如果对任何x∈C有
〈x,ax〉≥0。
nn对a,b∈O(C),如果a-b为正算子,那么就称a大于b,记作a≥b或b≤a。易证,≥在O(C)
中定义了一个偏序。
nn对C中的任意一个闭子空间E,由投影定理,每个x∈C在E上有唯一投影。由此我们
n定义一个算子,它将每个x∈C映射到E上的投影,我们称它为投影算子。这个算子由E唯
一确定,故我们不加区别地直接记作E。任何投影算子E满足0≤E≤1。这里以及下面,如
n果λ是一个数,它经常用来表示算子λI,其中I表示C中的恒等算子或单位矩阵。在量子概
率中,投影算子又称为事件,它们是经典概率中的事件的量子对应物。
一维投影称为原子,其意义是它不能表示为两个非零事件之和。在具有n个样本点的经
nn典概率空间中,其所有事件的Borel代数有2个元和n个原子。但在相应的量子对应C中,
它有连续统的事件,而且其原子全体与n维复投影平面形成一一对应,是一个2n-2维实流形。
nn|x〉〈y|表示|x〉和|y〉的外积,它是C中的算子,定义为:对任意|z〉∈C有
|x〉〈y||z〉=〈y,z〉|x〉。
任给C上的一个算子a和正交基{e1,…,en},数值
nn*
tra=
n∑〈e,ae〉,jjj=1n独立于正交基{e1,…,en},称为a的迹。C中具有迹为1的正算子称为态(states)。给定C的
一个态d,我们称(Cn,d)为一个简单(或n维)量子概率空间。对投影算子E,trdE称为事件E在态d上发生的概率。由谱分解定理,每个态d都可以表示为
d=
其中{u}njj=1n∑nj=1pj|uj〉〈uj|,n是C中的一个正交基,pj≥0,j=1,…,n,是d的n个特征值(计重数)且∑pj
j=1
=1。如果所有的pj>0,那么称d是诚实的(faithful)。由上述态的表示,全体态构成O(Cn)中的一个凸集,它的端点集为一维投影算子全体。为此,一维投影算子又称为纯态(purestates)。显然,当d=|u〉〈u|为纯态时,tr|u〉〈u|E=〈u,Eu〉。我们不规范地称任意单位向量u为一个纯态,其实它是代表|u〉〈u|。值得注意的是,在具有n个基本事件的经典概率空间上全体概率分布的端点集恰为n个只在一点不退化的概率测度全体。但在它的量子类似n维量子概率空间上,全体纯态是一个2n-2维实流形。
n如果一个量子系统用C来描述,那么它的每个物理量都要用一个自伴算子来表示。因
n此)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义117一个物理量。但是,即使在严格量子系统中,并不是每个可观测量都代表一个“有价值的”物理量,通常只有少数可观测量对描述这个物理系统有价值和意义,比如,能量、动量、位置和角动量等等。
但是,在数学上有一套普遍的方法来描述可观测量。下面就来讨论可观测量的数学运算。设a是一个可观测量,因为它是自伴算子,按照谱分解定理,它的本征值都是实数而且有如下唯一分解
a=∑λE,jj
j=1
m
j=1m其中λ1<><><>
的本征值和相应的本征投影,或用量子概率的语言讲,a取λ1,…,λm这些值且Ej是a取值λj的事件,或用量子物理的语言讲,对a测量我们能够且仅能够得到λ1,…,λm这些值。
有了谱分解,我们可以引进对a的泛函演算:对实数域R上任意(复值)函数f,定义f(a)如下
f(a)=∑m
j=1f(λj)Ej.
则f→f(a)定义了一个从R上有界实值函数的代数到B(Cn)的代数同态。
设d是一个态,可观测量a=
d下的期望值是Ed[a]=
jjjE。从而a在态∑λE。则在态d下a取值λ的概率是trdjjjjjjE∑λtrdkjj=trda。a在态d下的k阶矩等于jE∑λtrdk=trdjEj=trdak=Ed[ak].∑λ
一般地说,对R上的标量值函数f,f(a)在态d下的期望值Ed[f(a)]=trdf(a)。特别是,对一个单位元x∈Cn,可观测量a在态x(即d=|x〉〈x|)下的期望值是〈x,ax〉,k阶矩为〈x,ax〉。进一步,如果可观测量a是非负的(算子),那么在每个态d下的期望值trda≥0。因
n此,在一个态d下的期望是从O(C)到R的非负线性泛函且在单位可观测量1处取值为1。
我们这里描述的是量子系统在数学上的一些很基本的事实。需要说明的是,在物理上量子系统有一些与经典系统很不相同的基本属性,比如量子迭加、量子纠缠和量子干涉等,它们有着特别的理论意义和实际运用。在新近兴起的量子计算和量子信息理论中,这些量子属性有本质的作用[6]。这从一个侧面说明,量子理论的应用不仅仅局限于物理学本身,在其他领域的应用也是很广泛的。在表面上看来与量子力学不相关的领域,其实它们之间有着本质的联系。
作者提出从量子力学的角度来研究金融市场时,起初是从数学上来加以考虑的[3]。随后的研究表明,这样的探讨不只是数学形式上的推广,而是有着本质的物理内涵的。在[2]中我们不仅可以用量子二项式模型的Maxwell-Boltzmann统计(可分辨粒子模型)推出著名的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式,而且可以用量子二项式模型的Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)推出新的期权定价公式。这样,我们就不仅赋予了多期二项式市场的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式以明确的物理意义,还从基本的物理模型出发得出了新的期权定价公式。因此,金融市场与量子理论的联系是有意义的。
本文继续作者先前的工作,我们将从对冲的角度来阐述金融市场的量子意义。除本节外k
118数学物理学报 Vol.23A定价的量子理论。第四节详细研究单期金融市场的量子对冲的定价问题。最后,我们讨论了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子力学规律,而不是经典统计规律。
2 交易的量子方案
我们假设所考虑的多期证券市场的演化过程遵从某种量子统计规律,它的不确定经济环境由量子滤子
(Cn,(At)tT=0)(2.1)
来描述,其中(At)t=0表示量子信息结构。这里每个At(t=0,1,…,T)都是B(C)的*-子代数且
At-1 At, t=1,…,T,(2.2)
nn子代数A是指A是B(Cn)A0=CI为平凡子代数,其中I为C上的恒等算子。B(C)的*-
*中的一个复线性子空间且满足:对A中任意的算子a,b,有ab∈A和a∈A。量子滤子(2.
1)描述的是一个T期纯交换经济,在该经济中存在T+1个交易日t=0,1,…,T,自然的真实状态是随着时间的推移而逐渐显现出来的,直到经济的最后期限时真实状态才会完全显示出来。当然,从物理上讲,要得到实际的数据是要做量子测量的。此时,演化过程的不确定性才表现出来。
设该证券市场经济具有d+1种长期证券。不失一般性,我们设第0种证券为一种风险自由(risk-free)的证券,例如债券或者银行帐号,它由一列正数Bt(t=0,1,…,T)来刻划。另外d种证券为风险证券,如股票,它们的价格分别由正算子列(非交换随机过程)
Sj=(Stj)tT=0, j=1,…,d,(2.3)
描述,其中Sjt∈At,j=1,…,d;t=0,1,…,T。换言之,第j种证券在t时刻的价格,用量子物Tn理的语言来说,是观测Stj得到的值,即Stj的特征值。这些值一般不止一个,而且我们只知道jjSt∈At,因此,在t时刻以前我们是不能确定St的取值的。为了简便,我们把这个证券市场经济记作(B,S),称为量子(B,S)-市场,其中S=(S,…,S)。
现在我们来考虑在量子(B,S)-市场中的交易问题。因为用来描述风险证券演化行为的是算子而不是数值函数,我们不能以一种直接的方案来定义交易策略。为了从数学上合理地
nnn定义量子交易策略,我们考虑代数张量积空间B(C) B(C)。首先,在它上面由B(C)诱导
了一个自然的*-运算:对任何ak,bk∈B(Cn)和λk∈C定义
***-kak bk)kbk ak.(λ=λ(2.4)1d∑k∑k
其次,给定h=
∈B(C),n∑λa b∈kkkkB(Cn) B(Cn),我们在B(Cn)上定义一个#-运算:对任意c
h#c=(∑λkak bk)#c=k∑λacb.kkkk(2.5)
(2.6)
(2.7)如果c∈B(Cn)是自伴的,那么(h#c)*=h*#c.令*Ht={∑λkak ak|λk∈R,ak∈At-1}, t=1,…,T,
k
且0t(Cnn)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
定义1 向量序列119
C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}(2.8)
称为量子(B,S)-市场中的一个交易策略,如果对每个t=0,1,…,T,htj∈Ht,其中j=0,1,…,d。
按照(2.4)Ht中的元是B(Cn) B(Cn)中的自伴元,它的物理意义是它代表某种可观测量。因此,交易策略是一族可观测量。另外,Ht中的元的“At-1-可测性”说明了投资者的金融头寸由截止到时间t-1的信息确定。
1d定义2 在量子(B,S)-市场中,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}的价
值过程是如下自伴算子列
C#(B,S)={Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T},(2.9)
这里,对每个t=0,1,…,T,
Ct#(Bt,St)=h#Bt+0t01d∑h#jt
j=1dSt.j(2.10)
我们用C(B,S)记量子(B,S)-市场中的交易策略全体。
一旦赋予了交易策略在量子市场中的价值过程以确定的涵义,我们就可以定义量子市场中的套利机会了。
01定义3 在(B,S)-市场中的一个套利机会指的是一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,
htd),t=0,1,…,T},它满足C0#(B0,S0)=0,
CT#(BT,ST)≥0且trCT#(BT,ST)>0;(2.11)
或者,
C0#(B0,S0)<>
我们用Ca(B,S)记量子(B,S)-市场中的套利机会全体。
对任意t=1,…,T,我们记ΔBt=Bt-Bt-1,ΔSjt=Sjt-Sjt-1,Δhjt=hjt-htj-1和ΔCt#(Bt,St)=Ct#(Bt,St)-Ct-1#(Bt-1,St-1)。则有
dd
jtΔCt#(Bt,St)=h#ΔBt+0t∑h#j=1ΔS+(Δh#Bt-1+jt0t∑Δh#jtj=1St-1).j(2.13)
我们可以合理地假设价值过程的真实变化总是归于ΔB和ΔS的增减,而不是Δh的改变。因此,我们得出下述定义。
定义4 在(B,S)-市场中的交易策略C={Ct=(ht0,ht1,…,hdt),t=0,1,…,T}称为自融资的,如果它的价值过程C#(B,S)={C#(Bt,St),t=0,1,…,T}满足:对t=1,…,T有
td
Ct#(Bt,St)=C0#(B0,S0)+∑(h#ΔBk+0k
k=1∑h#jkj=1ΔSkj).(2.14)
我们用Cs(B,S)记量子(B,S)-市场中的自融资的交易策略全体。
由(2.13)式,自融资条件(2.14)等价于
d
Δh#Bt-1+0t∑Δh#0t
j=1Stj-1=0, t=1,…,T.(2.15)
我们将主要考虑自融资交易策略。以后没有特别说明,我们说的交易策略都是指自融资交易策略。
因为Bt>0,t=0,1,…,T,用第0种无风险证券B={Bt,t=0,1,…,T}做计量单位,我
t-,-们可以考虑一个新的证券市场经济(BS),其中-Bt=1,-St=,t=0,1,…,T。-S称为S的折
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
定义1 向量序列119
C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}(2.8)
称为量子(B,S)-市场中的一个交易策略,如果对每个t=0,1,…,T,htj∈Ht,其中j=0,1,…,d。
按照(2.4)Ht中的元是B(Cn) B(Cn)中的自伴元,它的物理意义是它代表某种可观测量。因此,交易策略是一族可观测量。另外,Ht中的元的“At-1-可测性”说明了投资者的金融头寸由截止到时间t-1的信息确定。
1d定义2 在量子(B,S)-市场中,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}的价
值过程是如下自伴算子列
C#(B,S)={Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T},(2.9)
这里,对每个t=0,1,…,T,
Ct#(Bt,St)=h#Bt+0t01d∑h#jt
j=1dSt.j(2.10)
我们用C(B,S)记量子(B,S)-市场中的交易策略全体。
一旦赋予了交易策略在量子市场中的价值过程以确定的涵义,我们就可以定义量子市场中的套利机会了。
01定义3 在(B,S)-市场中的一个套利机会指的是一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,
htd),t=0,1,…,T},它满足C0#(B0,S0)=0,
CT#(BT,ST)≥0且trCT#(BT,ST)>0;(2.11)
或者,
C0#(B0,S0)<>
我们用Ca(B,S)记量子(B,S)-市场中的套利机会全体。
对任意t=1,…,T,我们记ΔBt=Bt-Bt-1,ΔSjt=Sjt-Sjt-1,Δhjt=hjt-htj-1和ΔCt#(Bt,St)=Ct#(Bt,St)-Ct-1#(Bt-1,St-1)。则有
dd
jtΔCt#(Bt,St)=h#ΔBt+0t∑h#j=1ΔS+(Δh#Bt-1+jt0t∑Δh#jtj=1St-1).j(2.13)
我们可以合理地假设价值过程的真实变化总是归于ΔB和ΔS的增减,而不是Δh的改变。因此,我们得出下述定义。
定义4 在(B,S)-市场中的交易策略C={Ct=(ht0,ht1,…,hdt),t=0,1,…,T}称为自融资的,如果它的价值过程C#(B,S)={C#(Bt,St),t=0,1,…,T}满足:对t=1,…,T有
td
Ct#(Bt,St)=C0#(B0,S0)+∑(h#ΔBk+0k
k=1∑h#jkj=1ΔSkj).(2.14)
我们用Cs(B,S)记量子(B,S)-市场中的自融资的交易策略全体。
由(2.13)式,自融资条件(2.14)等价于
d
Δh#Bt-1+0t∑Δh#0t
j=1Stj-1=0, t=1,…,T.(2.15)
我们将主要考虑自融资交易策略。以后没有特别说明,我们说的交易策略都是指自融资交易策略。
因为Bt>0,t=0,1,…,T,用第0种无风险证券B={Bt,t=0,1,…,T}做计量单位,我
t-,-们可以考虑一个新的证券市场经济(BS),其中-Bt=1,-St=,t=0,1,…,T。-S称为S的折
120
现过程。数学物理学报 Vol.23A
01d任给一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T},它在量子(-B,-S)-市场中的
价值过程C#(-B,-S)={Ct#(-Bt,-St),t=0,1,…,T}满足:对t=0,1,…,T有
Ct#(-Bt,-St)=h0t#1+
01dd∑h#jtj=1-Sjt=Ct#(Bt,St).Bt(2.16)因此,交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是量子(B,S)-市场中的一个套利
机会当且仅当它是量子(-B,-S)-市场中的一个套利机会。从而,量子(B,S)-市场中存在一个套利机会当且仅当量子(-B,-S)-市场中存在一个套利机会。
因为对每个t=1,…,T有
dd
0jj0jj--Δht#Bt-1+∑Δht#St-1=(Δht#Bt-1+∑Δht#St-1),(2.17)Bt-1j=1j=1
所以,交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是量子(B,S)-市场中的自融资交-t=0,此时对t=1,…,易策略当且仅当它是量子(-B,-S)-市场中的自融资交易策略。因为ΔB
T有
-t,-Ct#(BSt)=C0#(-B0,-S0)+
因此,对t=1,…,T,由(2.16)和(2.18)得
Ct#(Bt,St)Δ()=Btdtk=1djkj=101d∑(∑h#jtΔ-Sjk).(2.18)jth#Δ(Bt).∑j=1(2.19)
在比较证券的价格时,人们感兴趣的是它们的相对值,而不是各自的绝对值。这就是为什么
t人们要考虑折现变量-B=B≡1和-S=(Bt)的原因。
3 对冲定价的量子理论
任何一种资产的现在值是未来收入流量在今天的价值,而根据资产的未来收入流量确定资产在今天的价值,就称为资产定价。众所周知,未来收入流量往往是不确定的,因此,如何描述这样的收入流过程就成为资产定价首先需要解决的问题。在经典的理论中,这种不确定的演化过程是用函数形式的随机过程来描述的。在“量子金融”中我们推广这种经典描述方式代之以算子(非交换随机变量)列来描述。从物理的角度来看,这样做意味着我们假设金融市场的演化遵从的是量子规律而不是经典规律。由此出发,我们看到,资产定价的核心问题就是研究未来收益或收益率的量子统计分布假设为已知的金融资产或金融合同在现今时刻的合理价值。在经典情形中,有资产的对冲(套期保值)定价和套利定价的理论。下面我们将经典对冲定价的理论推广到量子情形,至于套利定价理论的量子形式则在[2]中给出。
给定一个量子(B,S)-市场,它的交易日是t=0,1,…,T。以下考虑的交易策略都是指自融资交易策略。又设aT∈AT是一个正算子,它代表终端收入流的量子统计。下面我们简记
Xt=Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T,(3.1)
1d其中C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是一个自融资交易策略。
1d定义5 对于λ>0,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}称为一个上
(λ,aT)-对冲投资组合(或者,一个下(λ,aT)-对冲投资组合),如果CCCTaTTaC(3.
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
我们称C为完备的(λ,aT)-对冲投资组合,如果121
X0=λ,XT=aT.(3.3)
对冲是金融中的基本概念,在理论和实际中都起着重要的作用。下面我们用对冲投资组合来确定证券的合理价格。
令
K(λ,aT)={C:X0=λ,XT≥aT}
和
K*(λ,aT)={C:XC0=λ,XCT≤aT}.
*,aT)和K*(λ,aT)分别是上、下(λ,aT)-对冲投资组合全体。K(λ
定义6 我们分别称*CCCC(3.4)(3.5)
C(aT)=inf{λ≥0,K(λ,aT)≠O}
和
C*(aT)=sup{λ≥0,K*(λ,aT)≠O}**(3.6)(3.7)
为aT的对冲上、下价格。
如果对所有λ≥0,K*(λ,aT)=O,我们就置C*(aT)=∞。集合K*(0,aT)≠O,这只需考虑C≡0即可。如果对所有λ≥0,K*(λ,aT)≠O,那么C*(aT)=∞。
定理1 设在量子(B,S)-市场中某金融资产的最终收益分布由aT描述。如果在量子(B,S)-市场中不存在套利机会,那么
C*(aT)≤C(aT)。(3.8)
* 证 假设C*(aT)>C*(aT)。则对C*(aT)>λ1>λ2>C(aT)存在两个交易策略C1和
C2使得
CXC01=λ1, XT1≤aT,
CXC02=λ2, XT2≥aT。*
因此,C2-C1就是一个套利机会。矛盾.
对冲确定的上、下价格有明确的金融涵义,下面的定理说明了这一点。
定理2 设在量子(B,S)-市场中某金融资产的最终收益分布由aT描述。则当它的现今售出价格大于C*(aT)时,销售者就有套利机会;而当它的购买价格小于C*(aT)时,买方就可获得套利机会。
证 设现今售出价为x>C*(aT),即存在交易策略C(x)使得
(x)(x)XC0=x, XCT=aT.
取y满足C*(aT)<><>
(y)(y)XC0=y, XCT≥aT。
两次交易的总收益是
(y)(y)(x-aT)+(XCT-y)=(x-y)+(XCT-aT)≥x-y>0,
这里x+XT是分别在时刻0和时刻T的收入之和,而aT+y是分别在时刻T和时刻0的支出总和。因此,x-y是销售者在(B,S)-市场中的毫无风险的纯收入。销售者获得纯收入x-y的套利机会是交易策略C(y)-C(x)。
现在我们考虑对购买者存在的套利机会。假设他以低于C*(aT)的价格x购买了一个终端支付为aT的金融合同,即存在交易策略C(x)使得(x)(x)C0x,CTTC(y)
122数学物理学报 Vol.23A取y满足x<><>
(y)(y)XC0=y, XCT≤aT。
购买者为获得到T时刻支付流量aT的合同而花费了x,他作如下投资:在时刻0他按交易策略C(-y)=-C(y)在(B,S)-市场中投资(-y)笔钱(即他借y笔钱作投资)。则交易策略C(-y)=-C(y)在时刻T的价值是
(-y)C(y)(y)XCT=X-T=-XCT.
从而两次交易的总收益是
(-y)(y)(aT-x)+(XCT-(-y))=(aT-XCT)+(y-x)≥y-x>0.
所以,如果一个人以低于C*(aT)的价格x购买了一个终端支付为aT的金融合同,则他可以用借贷的方式投资y笔钱获得毫无风险的纯利y-x。购买者获得纯收入y-x的套利机会是交易策略C(x)+C(-y)。
*因此,两个价格区间[0,C*(aT))和(C(aT),∞)都提供套利机会。在公平合理的市场中
**(即(B,S)-市场无套利机会)我们有C*(aT)≤C(aT)。从而,当价格x∈[C*(aT),C(aT)]
*时,销售者和购买者就都没有套利机会,所以,[C*,C]是双方都可接受的浮动价格区间。
现在我们来考虑(B,S)-市场的完备性问题。回顾一下,对一固定的λ和支付形式aT,交
C易策略C称为(λ,aT)-完备的,如果XC0=λ,XCT=aT。这里,等式XT=aT意味着对冲投资组
合C可以复制未定权益aT。有许多理由期望每个金融证券的终端支付形式aT都是可复制
*的。此时,K(λ,aT)∩K*(λ,aT)≠O,从而它的对冲上、下价格相等(我们假设市场是公平合
*理的,从而事先有C*(aT)≤C(aT))。这个价格即为它的对冲价格。
这种情形有特别的意义,我们给予它一个特殊的名称:
定义7 我们称T-期量子(B,S)-证券市场为完备的,如果每个金融证券的终端支付形式aT∈AT都是可复制的。
完备性条件在资产定价中有特别的意义。当市场是完备的时候,我们能够由上市的证券构造出满足我们的要求的任何衍生证券,从而可以由上市证券的价格得到这些衍生证券的价格。反过来,如果我们知道这些衍生证券的价格,则我们又可以得出一般的证券的价格。所以,在完备的市场里任何金融证券的价格可以由上市证券的价格求得。
在实际金融中,完备性条件是一个很苛刻的限制,通常的市场是不会满足这个要求的。在下一节中,我们将证明(定理3),在“完全”量子背景下任何单期量子市场模型都是不完备的。这在很大程度上反应了实际情况。另外,在理论上完备性的判断是一个饶有兴趣的问题,它是与鞅态(风险中性态)的唯一性紧密联系的,见[2]。
4 对冲单期市场
本节我们来详细探讨由对冲确定一步(或单期)量子市场模型的上、下价格的问题和它们的完备性。我们假定单期资本市场(B,S)由一个债券B=(B0,B1)和某个股票(价格)S=(S0,S1)构成,其中B0和S0都是正常数且
B1=B0(1+r), S1=S0(1+a),(4.1)
这里,利率r>-1是一个常数,变化率a∈A1是一个自伴算子,表示股票的不确定浮动价格的变化率,它满足
a=∑λE, λ>jjj
j=1m-1,j=1,…,m,(4.2)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
m
j的事件(投影算子),EjEk=其中Ej是a取值λ0,j≠k,∑Ej=I。j=1123
设f是实数域R上任意实值函数。令a1=f(S1)且C=C(a1),C*=C*(a1)。因为A0=CI,在这个单期量子(B,S)-市场中,交易策略可以用一对实数(U,V)来描述。由定义
**C=inf{UB0+VS0:(U,V)∈K},
C*=sup{UB0+VS0:(U,V)∈K*},
其中
K={(U,V):UB1+VS1≥f(S1)},
K*={(U,V):UB1+VS1≤f(S1)}。
我们考虑K*中的约束条件:
UB0(1+r)+VS0(1+a)≥f(S0(1+a)),(4.3)
并引进一个量子态的集合P:d∈P当且仅当d是诚实的且满足
trda=r。(4.4)
* 从而,如果(U,V)∈K,那么对任何d∈P,有
0UB0+VS0≥tr,1+r
因此,
0*C*=inf{UB0+VS0:(U,V)∈K*}≥dsuptr=x.∈P1+r
同理可得
0C*=sup{UB0+VS0:(U,V)∈K*}≤dinftr=x*.∈P1+r
所以,
C*≤x*≤x*≤C*。(4.5)
这表明当P≠O时C*≤C*。比较定理1知,P≠O与市场没有套利机会存在有某种程度的联系。事实上,我们在[2,3]中证明了这二者是等价的,这就是所谓的资产定价的基本定理。
条件trda=r出现在这里并不是很直接的。但简单的计算可知它等价于
10tr=,B1B0
01,}是一个“鞅”。在[2]中我们详细地研究了这种(非交换)鞅与套利B0B1
的关系,得到了套利定价的量子方案。
现在我们来研究金融中最基本的单期二项式市场的量子模型。此时,股票的不确定浮动价格的变化率a满足
a=λ1E1+λ2E2, -1<><><>
令f1=f(S0(1+λ1)),f2=fS0(1+λ2))。解方程组
UB0(1+r)+VS0(1+λ1)=f1,
UB0(1+r)+VS0(1+λ2)=f2,
得唯一解
(1+λ2)f1-(1+λ1)f2f2-f1**U=B0(1+r), V=,21S0(λ2-λ1)
(4.8)***(4.7)
124数学物理学报 Vol.23A
UB1+VS1=f(S1).**(4.9)
从而,
**C*≤UB0+VS0=2-r1(λf1+f2)≤C*.1+rλ2-λ1λ2-λ1
因此,f(S1)的对冲价格是唯一的,为
21C=(f1+f2).(4.10)1+rλ2-λ1λ2-λ1
这个价格公式与用经典二项式模型推导出的公式是一致的。
但是,量子二项式模型比经典二项式模型有更多的物理内涵。这表现在,虽然在二项式市场的经典模型中风险中性世界只有一个元(唯一一个鞅测度),但是二项式市场的量子风险中性世界有连续统个风险中性态,而且它是不完备的。我们首先来刻画它的风险中性态(满足(4.4)的诚实的量子态)全体P。
事实上,单期二项式市场的量子模型可以用一个二能级的量子系统来描述。因此,我们
22只需考虑C,取A1B)。令
1 0 0
-i1 0I2
=,ex=,ey=,ez=,0 1 i 00 -22其中,ex,ey,ez是著名的Pauli旋转矩阵。易知,{I2,ex,ey,ez}是C上可观测量全体O(C)的
一个基。因此,a可以表示为
12a=I2+x0ex+y0ey+z0ez,(4.11)2
其中,x0,y0,z0是三个实数。又令量子态d为
1+zx-iyd=(I2+xex+yey+zez)=,(4.12)22x+iy1-z其中,x,y,z都是实数,它取两个值
λ1=(1-x+y+z),λ2=(1+x+y+z).22
因此,量子态d为诚实的,当且仅当
x2+y2+z2<>
如果d满足(4.4),那么
12x0x+y0y+z0z=r-。2
故,单期二项式市场的量子风险中性世界由如下量子态d全体构成
d=(I2+xex+yey+zez),2
其中,x,y,z满足条件
x2+y2+z2<>
(4.13)12x0x
+y0y+z0z=r-,2
12的开圆盘。λ2-λ1
尽管量子风险中性世界的元不是唯一的,但是,风险中性定价原理在单期二项式市场的,其几何意义为:这是R3的单位球中具有半径为
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
C=125Edf(S1)=trdf(S1).(4.14)1+r1+r
量子二项式模型与经典二项式模型的另一个不同之处是市场的完备性问题,即我们有
定理3 对C2上任意单期量子金融模型(B,S),在量子背景A0=CI和A1=B(C2)下它是不完备的。
证 因为A0=CI,我们有
{XC1=C#(B1,S1)|C∈C(B,S)}={T+US1|T,U∈R},
它至多是实二维的。因此,至少有两个Pauli旋转矩阵在(B,S)中是不可复制的。所以,金融
2模型(B,S)在量子背景A0=CI和A1=B(C)下是不完备的。
最后,我们来看一个简单例子。考虑在单期二项式的量子(B,S)-市场中买卖股票S的
+欧式看涨期权(S1-K),其中K为它的执行价格。因为
(S1-K)+=max(0,S0(1+λ1)-K)E1+max(0,S0(1+λ2)-K)E2,
记f1=max(0,S0(1+λ1)-K),f2=max(0,S0(1+λ2)-K),记0时刻该期权的价值为C,那么由(4.10)有
21C=(f1+f2)。(4.15)1+rλ2-λ1λ2-λ1
这个公式与用经典二项式模型推导出的公式是一致的。
5 结论性注释
不确定性是金融市场中风险资产演化的主要特征之一,合理地描述它要用到数学理论。在以往的理论中这种不确定性通常是采用经典概率理论来阐述的。那么,本文采用量子理论来阐述金融市场的统计规律的意义何在呢?让我们用金融中最基本的二项式模型来说明它的涵义。
二项式市场的经典模型由一个无风险资产(银行存款)B=(B0,B1)和风险资产(股票)S=(S0,S1)构成,其中B0和S0都是正常数且
B1=B0(1+r), S1=S0(1+R),
这里,利率r>-1是一个常数,R是一个随机变量,表示股票的不确定浮动价格的变化率,它取两个值λ1和λ2:
p=P(R=λ1), q=1-p=P(R=λ2)。
这里,p(或者,q)是人们通常所说的股票下跌(或者,上涨)的概率。同样,我们考虑在此市场
+中买卖股票S的欧式看涨期权(S1-K),其中K是执行价格。简记
f1=max(0,S0(1+λ1)-K), f2=max(0,S0(1+λ2)-K).
记今天期权价值为C,则有
211+C=1+r(λff2).2-λ1λ2-λ1
注意,这个公式就是(4.15),但它没有包含股票下跌(或者,上涨)的概率值p(或者,q)。这是什么原因呢?
在金融学界一种流行的解释是:“我们并不是在绝对意义下给期权定价,而是以标的股票的价格计算期权的值。而上涨和下跌的概率已经包含在股票的定价过程中,这说明我们依,])[7,8]
126数学物理学报 Vol.23A义下给期权定价”的金融涵义是什么,这种解释在数学上是站不住脚的。
我们知道,经典二项式模型是在概率论开创时期的十八世纪由J.Bernoulli建立的,也称为J.Bernoulli随机变量,是概率论中最基本的模型,其数学意义是很明确的;而且,它已被成功地用于物理、化学等自然科学中。让我们来说明它的数学涵义。不妨设S0=150,r=
,2=。则0和λ1=-5λ5
p=P(S1=90), q=P(S1=180).
令K=150,对欧式看涨期权(S1-K)有
f1=max(0,S0(1+λ1)-K)=0, f2=max(0,S0(1+λ2)-K)=30.
如果股票下跌的概率为,则欧式看涨期权(S1-K)+的期望值为2
+E(S1-K)=30×+0×=15.22
可以追溯到概率论开创时期的J.Bernoulli和C.Huygens等先驱者们的经典观点是,除去
+折现值(我们已假设折现利率r=0),期望值E(S1-K)就应该是此期权的合理价格。这就
是经典二项式模型的数学涵义。必须强调的是,此刻的这个量是与股票下跌(或者,上涨)的
+概率有关的。当p=时。E(S1-K)=15.但当p≠时我们得到另一个期望值,从而得到22
另一个期权价格。这与我们上面所得公式(4.15)是不一致的。这是什么原因了?
毫无疑问,经典二项式模型的数学意义是没有问题的、正确的。当然,公式(4.15)也是正确的。那么问题到底出在哪里呢?作者认为,一方面,二项式市场是金融中的问题,另一方面,经典二项式模型是数学中的问题;问题就在于我们并没有先验的理由直接采用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场,把经典二项式模型等价于二项式市场。我们看到,在Hull的标准解释中并没有说明为什么一定要用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场,这就是他的解释站不住脚的地方,换言之,他并没有真正理解经典二项式模型的数学意义。事实上,在自然界中的二项式问题的涵义并不都是一样的。比如,掷硬币和光子的偏振都是二项式问题,但它们的意义是不同的。掷硬币可以用J.Bernoulli随机变量来描述,光子的偏振就不行,它要用量子变量描述,因为它的演化是量子行为。
由上面的分析,我们发现用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场是不恰当的——其实,这个问题早已发现,只是大金融专家们不愿意面对而已,所以才出现了Hull等人的那种似是而非的解释,之后的学者们也就人云亦云、三人成虎罢了。我们的量子二项式模型正好能弥补这一缺陷(详细的物理论述请见[1]),它似乎才真正反映金融市场的实在。用量子理论来阐述经典理论的困惑,这种情况曾不止一次地出现在物理学中。例如关于光的传播理论,首先是牛顿的粒子说,但它不能说明光的干涉和衍射现象。继而有C.Huygens的波动说,以及后来Maxwell建立的电磁波理论。但是,这个理论并不能解释黑体辐射、光电效应等问题。最终的正确解答是Planck和Einstein关于光的量子论。这说明在微观世界的活动中我们必须习惯于量子理论的描述。
为了进一步说明“量子金融”的意义,下面我们简要说明如何用量子模型推出著名的
期二项式市场(B,S),我Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式(详细情况见[2,11])。考虑N-
们用N个可分辨粒子模型来描述它,其中每个粒子都是二能级的。为此,令Hn=(C2) n且记1n1n1n+
No.1 陈泽乾:量子金融的意义127则{|1…Xn〉:X1,…,Xn=0,1}是Hn=(C2) n的自然基。给定-1<><><>
市场(B,S)为:B0和S0是正常数,对n=1,2,…,N,
Bn=B0(1+r), Sn=S0 (1+aj) IN-n,j=1
这里IN-n是HN-n上的恒等映射,
λ1+λ2λ2-λ12aj=I2+xjex+yjey+zjez,x2j+y2j+zj=, j=1,…,n.22
这个N-期市场的量子滤子为((C2) N,{An}Nn=0),这里A0=CIN,
An=B((C2) n) IN-n={a IN-n:a∈B((C2) n)},n=1,…,N.
Nnn
设dj是单期量子二项式市场((B0,B1),(S0,S0(1+aj)))的风险中性态。则易证 dj是j=1N-期二项式市场(B,S)的风险中性态。因此,对于N-期二项式市场(B,S)的欧式看涨期权
++(SN-K),由风险中性定价原理,(SN-K)的价值为
+CN=tr( dj(SN-K))j=1N
nN-nqn(1-q)N-n[S0(1+λ2)(1+λ1)-K]+,(5.1)(1+r)n=0n!(N-n)!
整理后即得Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式
-)-K(1+r)-NH(fCN=S0H(f;N,q;N,q),(5.2)
12nN-n-=q其中q=,q,f=min{n:S0(1+λ2)(1+λ1)>K}以及λ1-λ21+r
nH(m;n,p)=∑pj(1-p)n-j.j=mj!(n-j)!
上面我们用来推出Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式的模型是可分辨粒子模型。因此,经典的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式的N-期二项式市场遵从Maxwell-Boltzmann统计。这样,我们就赋予了Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式以明确的物理意义。
在物理中除了可分辨粒子模型外,还有不可分辨粒子模型,即所谓的全同粒子体系。我们用对称全同粒子体系来描述N-期二项式市场(B,S)(反对称全同粒子体系对多期二项式市场没有意义),则有
∧λ1+λ2SN=S0(1+a) N,a=I2+x0ex+y0ey+z0ez.2
因此,对这个N-期二项式市场(B,S)的欧式看涨期权(SN-K)+,由风险中性定价原理,其价值为=N∑
CN=tr(d(SN-K))
=(1+r)N
N∧+∑knN-nnN-n[S0(1+λ2)(1+λ1)-K]+,(5.3)n=0∑q(1-
k=0q)N-k
1.λ2-λ1
公式(5.3)是N-期二项式市场(B,S)遵从Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)的期权定价公式。这是一个新的期权定价公式[11]。由于Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型nn()这里d是满足(4.13)的任意一个态,q=
128数学物理学报 Vol.23A子模型,我们可以预见期权定价公式(5.3)如同Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式(5.2)一样将在金融市场的理论与实践中起基本的作用。
参 考 文 献
[1] ChenZeqian.Quantumtheoryforthebinomialmodelinfinancetheory.www.arxiv.org/quant-ph/0112156
[2] ChenZeqian.Quantumfinance:Thefinitedimensionalcase.www.arxiv.org/quant-ph/0112158
[3] ChenZeqian.Anon-commutativeversionofthefundamentaltheoremofassetpricing.SubmittedtoActaMathSci
[4] DiracPAM.ThePrinciplesofQuantumMechanics.Oxford:OxfordUniversityPress,1958.(中译本,量子力
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[6] ShorPW.Quantumcomputing.DocMathExtra,1998,ICMI:467-486.(中译文,量子计算,陈泽乾译,数学译
林,2002,21(4))
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[11] ChenZeqian.Quantummodelsforbinomialoptionpricing,preprint
TheMeaningofQuantumFinance
ChenZeqian
(WuhanInstituteofPhysicsandMathematics,ChineseAcademyofSciences,Wuhan430071,zqchen@wipm.ac.cn)Abstract:Thispaperisthesequeloftheauthor'spapers[1],[2],and[3].Quantummechanicsisinvolvedtopresentanewversionofhedgingcontingentclaims.Thefinancialmeaningofsomeresultsobtainedinthesenseofquantumtheoryisstudied.Finally,butnotatlast,theauthortrieshisbesttoexplain,insomedetails,whyweshouldusequantumfinancialmodelsinreal-worldfinancialmarkets.
Keywords:Self-adjointoperators;Quantumstates;Financialmarkets;Quantumtradingstrategies;Hedgingcontingentclaims;Assetpricing.
MR(2000)SubjectClassification:91B28;46L53
范文四：量子金融的意义
2003,23A(1):115-128
数学物理学报
(430071)摘要:。这种统计规律通常是采用经典概,作者提出了从量子力学的角度来探讨金融问题的设想[1],[2],[3]。其中,Maxwell2Boltzmann统计重新推导了著名的Cox2Ross2Rubinstein期权定价公式,而且还用量子力学中的Bose2Einstein统计(不可分辨粒子模型)得到了一个新的期权定价公式。这表明在理论上存在着一套关于金融市场的和谐的“量子理论”——量子金融。本文从对冲的角度来阐述这种潜在理论的金融意义和可能的实际内涵。作者给出了对冲定价的量子方案,详细讨论了单期金融市场的量子对冲问题。最后,作者解释了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子规律,而不是经典统计规律。
关键词:自伴算子;量子态;金融市场;量子交易策略;对冲;资产定价。
MR(2000)主题分类:91B28;46L53 中图分类号:G10;G12 文献标识码:A
文章编号:100323998(2003)012115214
1 量子的数学涵义
本文是作者关于“量子金融”的工作[1,2,3]的继续,我们只考虑多期金融市场,不考虑连续金融情形,因此我们只需考虑有限量子系统情形。量子是一个物理概念[4]。在数学上,量
[5]子是用复Hilbert空间来描述的。有限量子系统可以用有限维复Hilbert空间来描述,因
此,不失一般性,在本文中我们只需考虑n维复线性空间Cn。按照Dirac的记号[4],为描述那些与量子系统相联系的向量,我们用右矢这个特殊的名称,并用一个特殊的符号
